高中数学人教A版必修二 第四章 圆与方程 学业分层测评24 Word版含答案
高中数学人教A版必修二第四章圆与方程学业分层测评含答案
学业分层测评（二十三）(建议用时：45分钟)[达标必做]一、选择题1．对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2的位置关系一定是() A．相离B．相切C．相交但直线不过圆心D．相交且直线过圆心【解析】易知直线过定点(0,1)，且点(0,1)在圆内，但是直线不过圆心(0,0)．【答案】 C2．若PQ是圆x2＋y2＝9的弦，PQ的中点是A(1,2)，则直线PQ的方程是() A．x＋2y－3＝0 B．x＋2y－5＝0C．2x－y＋4＝0 D．2x－y＝0【解析】结合圆的几何性质知直线PQ过点A(1,2)，且和直线OA垂直，故其方程为：y－2＝－12(x－1)，整理得x＋2y－5＝0.【答案】 B3．(2015·安徽高考)直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是()A．－2或12 B．2或－12C．－2或－12 D．2或12【解析】法一：由3x＋4y＝b得y＝－34x＋b4，代入x2＋y2－2x－2y＋1＝0，并化简得25x2－2(4＋3b)x＋b2－8b＋16＝0，Δ＝4(4＋3b)2－4×25(b2－8b＋16)＝0，解得b＝2或12.法二：由圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0可知圆心坐标为(1,1)，半径为1，所以|3×1＋4×1－b|32＋42＝1，解得b＝2或12.【答案】 D4．若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为22，则实数a的值为()A．－1或 3 B．1或3C．－2或6 D．0或4【解析】由弦长公式l＝2r2－d2，可知圆心到直线的距离d＝2，即|a－2|12＋－12＝2，解得a＝0或4.【答案】 D5．圆x2＋y2－4x＋6y－12＝0过点(－1,0)的最大弦长为m，最小弦长为n，则m－n＝()A．10－27 B．5－7C．10－3 3 D．5－32 2【解析】圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝25，圆心(2，－3)到(－1,0)的距离为0＋32＋－1－22＝32<5.∴最大弦长为直径，即m＝10，最小弦长为以(－1,0)为中点的弦，即n＝225－322＝27.∴m－n＝10－27.【答案】 A二、填空题6．直线x－y＝0与圆(x－2)2＋y2＝4交于点A、B，则|AB|＝________.【导学号：09960140】【解析】圆心到直线的距离d＝|2－0|2＝2，半径r＝2，∴|AB|＝2r2－d2＝2 2.【答案】2 27．(2015·烟台高一检测)圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为2的点有________个．【解析】圆的方程可化为(x＋1)2＋(y＋2)2＝8，所以弦心距为d＝|－1－2＋1|2＝ 2.又圆的半径为22，所以到直线x＋y＋1＝0的距离为2的点有3个．【答案】 3三、解答题8．过点A(1,1)，且倾斜角是135°的直线与圆(x－2)2＋(y－2)2＝8是什么位置关系？若相交，试求出弦长．【解】因为tan 135°＝－tan 45°＝－1，所以直线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.圆心到直线的距离d＝|2＋2－2|2＝2＜r＝22，所以直线与圆相交．弦长为2r2－d2＝28－2＝2 6.9．已知以点A(－1,2)为圆心的圆与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，过点B(－2,0)的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点．(1)求圆A的方程；(2)当|MN|＝219时，求直线l的方程．【解】(1)设圆A的半径为r，∵圆A与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，∴r＝|－1＋4＋7|5＝25，∴圆A的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝20.(2)当直线l与x轴垂直时，则直线l的方程x＝－2，此时有|MN|＝219，即x＝－2符合题意．当直线l与x轴不垂直时，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0，∵Q是MN的中点，∴AQ⊥MN，∴|AQ|2＋12|MN|2＝r2，又∵|MN|＝219，r＝25，∴|AQ|＝20－19＝1，解方程|AQ|＝|k－2|k2＋1＝1，得k＝34，∴此时直线l的方程为y－0＝34(x＋2)，即3x－4y＋6＝0.综上所述，直线l的方程为x＝－2或3x－4y＋6＝0.[自我挑战]10．直线y＝x＋b与曲线x＝1－y2有且仅有一个公共点，则实数b的取值范围是()A．b＝ 2 B．－1＜b≤1或b＝－ 2C．－1≤b≤1 D．以上都不正确【解析】如图，作半圆的切线l1和经过端点A，B的直线l3，l2，由图可知，当直线y＝x＋b为直线l1或位于l2和l3之间(包括l3，不包括l2)时，满足题意．∵l1与半圆相切，∴b＝－2；当直线y＝x＋b位于l2时，b＝－1；当直线y＝x＋b位于l3时，b＝1.∴b的取值范围是－1＜b≤1或b＝－ 2.【答案】 B11．(1)圆C与直线2x＋y－5＝0切于点(2,1)，且与直线2x＋y＋15＝0也相切，求圆C的方程；(2)已知圆C和y轴相切，圆心C在直线x－3y＝0上，且被直线y＝x截得的弦长为27，求圆C的方程.【导学号：09960141】【解】(1)设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.∵两切线2x＋y－5＝0与2x＋y＋15＝0平行，∴2r＝|15－－5|22＋12＝45，∴r＝25，∴|2a＋b＋15|22＋1＝r＝25，即|2a＋b＋15|＝10，①|2a＋b－5|22＋1＝r＝25，即|2a＋b－5|＝10，②又∵过圆心和切点的直线与过切点的切线垂直，∴b－1a－2＝12，③由①②③解得a＝－2，b＝－1.∴所求圆C的方程为(x＋2)2＋(y＋1)2＝20.(2)设圆心坐标为(3m，m)．∵圆C和y轴相切，得圆的半径为3|m|，∴圆心到直线y＝x的距离为|2m|2＝2|m|.由半径、弦心距、半弦长的关系得9m2＝7＋2m2，∴m＝±1，∴所求圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.。
高中数学人教A版必修二 第四章 圆与方程 学业分层测评24 Word版含答案
学业分层测评一、选择题1．点P在圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0上点Q在圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上则|PQ|的最小值是()A．5 B．1C．35－5 D．35＋5【解析】圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0即(x－4)2＋(y－2)2＝9圆心为C1(42)；圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0即(x＋2)2＋(y＋1)2＝4圆心为C2(－2－1)两圆相离|PQ|的最小值为|C1C2|－(r1＋r2)＝35－5【答案】 C2．设两圆C1、C2都和两坐标轴相切且都过点(41)则两圆心的距离|C1C2|＝()A．4 B．4 2C．8 D．8 2【解析】∵两圆与两坐标轴都相切且都经过点(41)∴两圆圆心均在第一象限且横、纵坐标相等．设两圆的圆心分别为(aa)(bb)则有(4－a)2＋(1－a)2＝a2(4－b)2＋(1－b)2＝b2即ab为方程(4－x)2＋(1－x)2＝x2的两个根整理得x2－10x＋17＝0∴a＋b＝10ab＝17∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝100－4×17＝32∴|C1C2|＝2(a－b)2＝32×2＝8【答案】 C3．过点P(23)向圆C：x2＋y2＝1上作两条切线P APB则弦AB所在的直线方程为()A．2x－3y－1＝0B．2x＋3y－1＝0C．3x＋2y－1＝0D．3x－2y－1＝0【解析】 弦AB 可以看作是以PC 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝1的交线而以PC为直径的圆的方程为(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝134根据两圆的公共弦的求法可得弦AB 所在的直线方程为：(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322－134－(x 2＋y 2－1)＝0整理可得2x ＋3y －1＝0故选B【答案】 B二、填空题6．过两圆x 2＋y 2－x －y －2＝0与x 2＋y 2＋4x －4y －8＝0的交点和点(31)的圆的方程是________．【解析】 设所求圆的方程为 (x 2＋y 2－x －y －2)＋λ(x 2＋y 2＋4x －4y －8)＝0(λ≠－1)将(31)代入得λ＝－25故所求圆的方程为x 2＋y 2－133x ＋y ＋2＝0【答案】 x 2＋y 2－133x ＋y ＋2＝07．两圆相交于两点A (13)和B (m －1)两圆圆心都在直线x －y ＋c ＝0上则m ＋c 的值为________．【解析】 由题意知线段AB 的中点在直线x －y ＋c ＝0上且k AB ＝41－m＝－1即m ＝5 又点⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m 2，1在该直线上 所以1＋m 2－1＋c ＝0所以c ＝－2所以m ＋c ＝3【答案】 3三、解答题8．求圆心为(21)且与已知圆x 2＋y 2－3x ＝0的公共弦所在直线经过点(5－2)的圆的方程．【解】 设所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝r 2即x 2＋y 2－4x －2y ＋5－r 2＝0①已知圆的方程为x 2＋y 2－3x ＝0②②－①得公共弦所在直线的方程为x ＋2y －5＋r 2＝0又此直线经过点(5－2)∴5－4－5＋r 2＝0∴r 2＝4故所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝49．有相距100 km 的AB 两个批发市场商品的价格相同但在某地区居民从两地运回商品时A 地的单位距离的运费是B 地的2倍．问怎样确定AB 两批发市场的售货区域对当地居民有利？【09960144】【解】 建立以AB 所在直线为x 轴AB 中点为原点的直角坐标系则A (－500)B (500)．设P (xy )由2|P A |＝|PB |得x 2＋y 2＋5003x ＋2 500＝0 所以在圆x 2＋y 2＋5003x ＋2 500＝0内到A 地购物合算；在圆x 2＋y 2＋5003x ＋2500＝0外到B 地购物合算；在圆x 2＋y 2＋5003x ＋2 500＝0上到AB 两地购物一样合算．[自我挑战]10．以圆C 1：x 2＋y 2＋4x ＋1＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0相交的公共弦为直径的圆的方程为( )A ．(x －1)2＋(y －1)2＝1B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1C ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋352＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋652＝45 D ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －352＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －652＝45 【解析】 两圆方程相减得公共弦所在直线的方程为x －y ＝0因此所求圆的圆心的横、纵坐标相等排除CD 选项画图(图略)可知所求圆的圆心在第三象限排除A 故选B【答案】 B11．设半径为3 km 的圆形村落A 、B 两人同时从村落中心出发A 向东B 向北A 出村后不久改变前进方向斜着沿切于村落圆周的方向前进后来恰好与B 相遇设A 、B 两人的速度一定其比为3∶1问A 、B 两人在何处相遇？【解】由题意以村中心为原点正东方向为x轴的正方向正北为y轴的正方向建立直角坐标系设A、B两人的速度分别为3v km/h v km/h设A出发a h在P处改变方向又经过b h到达相遇点Q则|PQ|＝3b v|OP|＝3a v|OQ|＝(a＋b)v则P(3a v0)Q(0(a＋b)v)在Rt△OPQ中由|PQ|2＝|OP|2＋|OQ|2得5a＝4bk PQ＝0－v(a＋b)3a v－0∴k PQ＝－34设直线PQ的方程为y＝－34x＋c(c>0)由PQ与圆x2＋y2＝9相切得|4c|42＋32＝3解得c＝154故A、B两人相遇在正北方离村落中心154km。
人教A版高中数学必修二第四章《圆与方程》测试题(含答案)
由于圆心 到该直线的距离为 ，
故 ，解得 ，
∴直线 的方程为 ，即 .
综上可得，直线 的方程为 或 .
18．解：（1）因为直线 的方程可化为 ，
所以 过直线 与 的交点 .
又因为点 到圆心 的距离 ，
所以点 在圆内，所以过点 的直线 与圆 恒交于两点．
参考答案
1．B2．D3．D4．C5．A6．C7．A8．B9．D10．D11．A12．A
13． .
14．
15．
16．
17．解：（1）设圆 的方程为 ，
因为圆 过 三点，
所以有 ，解得 ， ，
∴ 外接圆 的方程为 ，
即 .
（2）当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为 ，
联立 ，
得 或 ，此时弦长为 ，满足题意；
（2）由（1）可知：过点 的所有弦中，弦心距 ，
因为弦心距、半弦长和半径 构成直角三角形，
所以当 时，半弦长的平方的最小值为 ，
所以弦长的最小值为 .
此时， .
因为 ，所以 ，解得 ，
所以当 时，得到最短弦长为 .
19．解：将方程 化为标准方程为 ，
此方程表示以 为圆心，2为半径的圆．
（1） 表示圆上的点 与定点 连线的斜率，
A． B．
C． D．
6．在空间直角坐标系中，点 关于平面 对称的点的坐标为（）
A． B． C． D．
7．圆 的圆心到直线 的距离为1，则 （ ）
A． B． C． D．2
8．已知直线l：y＝x＋m与曲线 有两个公共点，则实数m的取值范围是( )
A．［－1, )B．(－ ，－1］C．[1， )D．(－ ，1］
教A版高中数学必修2第四章《圆与方程》综合测试题(含答案)
教A 版高中数学必修2第四章《圆与方程》综合测试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1.在空间直角坐标系中, 点()3,4,5P 与点(3,4,5)Q --的位置关系是（ ） A.关于x 轴对称B.关于xOy 平面对称C.关于坐标原点对称D.以上都不对2.圆1O :2220x y x +-=与圆2O ：2240x y y +-=的位置关系是( ) A.外离B.相交C.外切D.内切3.过点(1,1)A -与(1,1)B -且圆心在直线20x y +-=上的圆的方程为( ) A. 22(3)(1)4x y -++= B. 22(3)(1)4x y ++-= C. 22(1)(1)4x y -+-= D. 22(1)(1)4x y +++=4.已知直线l 过圆22(3)4x y +-=的圆心,且与直线10x y ++=垂直,则l 的方程是( ) A. 20x y +-=B. 20x y -+=C. 30x y +-=D. 30x y -+=5.若圆221:1C x y +=,与圆222:680C x y x y n +--+=外切,则n =（ ）A. 21B. 9C. 19D. -116.圆224x y +=和圆224440x y x y ++-+=关于直线l 对称,则l 的方程为( ) A.0x y +=B.20x y +-=C.20x y --=D.20x y -+=7.已知点(),M a b 在圆22:1O x y +=外, 则直线1ax by +=与圆O 的位置关系是( ) A.相切B.相交C.相离D.不确定8.若直线y x b =+与曲线3y =,则b 的取值范围是( )A.1,1⎡-+⎣B.1⎡-+⎣C.1⎡⎤-⎣⎦D.1⎡⎤⎣⎦9.在平面直角坐标系中, ,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点,若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切,则圆C 面积的最小值为( )A.45π B. 34πC. (6π-D.54π 10.已知半径为1的动圆与圆22(5)(7)16x y -++=相切,则动圆圆心的轨迹方程是 ( ) A. 22(5)(7)25x y -+-=B. 22(5)(7)17x y -++=或22(5)(7)25x y -++= C. 22(5)(7)9x y -++=D. 22(5)(7)25x y -++=或22(5)(7)9x y -++=11.已知点(,)(0)M a b ab ≠是圆222(0)x y r r +=>内一点,直线g 是以M 为中点的弦所在的直线,直线l 的方程为20ax by r ++=,则( ) A. //,l g 且l 与圆相离 B. l g ⊥且l 与圆相切 C. //,l g 且l 与圆相交 D. l g ⊥且l 与圆相离12.已知直线1y kx =+与圆22(2)(1)4x y -+-=相交于两,?P Q 点,若||PQ ≥则实数k的取值范围是( )A. 3[-,0]4B. [-, 33C. []1,1-D. [ 二、填空题13.过点()3,1作圆22(2)(2)4x y -+-=的弦,其中最短的弦长为__________.14.过点()2,4P -作圆22:(2)(1)25C x y -+-=的切线l ,直线1:320l ax y a ++=与l 平行,则1l 与l 间的距离为__________.15.圆心在直线20x y -=上的圆C 与y 轴的正半轴相切,圆C 截x 轴所得弦的长为则圆C 的标准方程为 .16.在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为228150x y x +-+=,若直线2y kx =-上至少存在一点,使得以该点为圆心, 1为半径的圆与圆C 有公共点,则k 的最大值是 . 三、解答题17.已知圆C :222440x y x y +-+-=,是否存在斜率为1的直线l ,使以l 被圆C 所截得的弦AB 为直径的圆经过原点?若存在,写出直线l 的方程;若不存在,请说明理由.18.已知方程22260x y x y m ++-+=.1.若m R ∈,试确定方程所表示的曲线;2.若方程表示的是圆,且圆的圆心到直线210x y --=的距离等于半径,求m 的值.19.在平面直角坐标系xOy 中,己知圆P 在x 轴上截得线段长为在y 轴上截得线段长为. （1）求圆心P 的轨迹方程;（2）若P 点到直线y x =求圆P 的方程.20.已知圆22:(1)5C x y +-=，直线():10R l mx y m m -+-=∈．（1）判断直线l 与圆C 的位置关系；（2）设直线l 与圆C 交于,A B 两点，若直线l 的倾斜角为120︒，求弦AB 的长．21.已知点()2,0P 及圆C :226440x y x y +-++=1.若直线l 过点P 且与圆心C 的距离为1,求直线l 的方程;2.设直线10ax y -+=与圆C 交于A ,B 两点,是否存在实数a ,使得过点()2,0P 的直线2l 垂直平分弦AB ?若存在,求出实数a 的值;若不存在,请说明理由.22.已知圆M 的圆心在 x 轴上,半径为1,直线41:32l y x =-被圆M 且圆心M在直线l 的下方. 1.求圆M 的方程;2.设(0,),(0,6)(52)A t B t t +-≤≤-,若圆M 是△ABC 的内切圆,求△ABC 的面积S 的最大值和最小值.参考答案1.答案：A 解析：点()3,4,5P 与点()3,4,5Q --的横坐标相同,而纵、竖坐标分别互为相反数,所以两点关于x 轴对称. 2.答案：B解析：本题考查圆的方程及其互相转化关系;圆与圆的位置关系及其判断也是考查重点. 要知道圆与圆的位置关系得知道圆心的坐标以及圆心距与两圆半径,因此先求坐标,再求距离. 1O :2220x y x +-=与圆2O :2240x y y +-=故,圆心坐标与半径分别为1(1,0)O ,2(0,2)O ,11r =,22r =,12O O =,211r r -=,13< 所以相交,选B点评:本题属于概念题,掌握基本概念及判断方法即可。
2017-2018学年高中人教A版数学必修二习题：第4章 圆与
学业分层测评(二十四) (建议用时：45分钟)一、选择题1．已知两圆的圆心距是6，两圆的半径分别是方程x 2－6x ＋8＝0的两个根，则这两个圆的位置关系是( )A ．外离B ．外切C ．相交D ．内切【解析】 由已知两圆半径的和为6，与圆心距相等，故两圆外切． 【答案】 B2．已知两圆相交于A (1,3)，B (m ，－1)，两圆的圆心均在直线x －y ＋c ＝0上，则m ＋2c 的值为( )A ．－1B ．1C ．3D ．0【解析】 由题意知：直线x －y ＋c ＝0为线段AB 的垂直平分线，且线段AB 的中点⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m 2，1在直线x －y ＋c ＝0上，所以1＋m 2－1＋c ＝0，即m ＋2c ＝1. 【答案】 B3．点P 在圆C 1：x 2＋y 2－8x －4y ＋11＝0上，点Q 在圆C 2：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0上，则|PQ |的最小值是( )A ．5B ．1C ．35－5D ．35＋5【解析】 圆C 1：x 2＋y 2－8x －4y ＋11＝0，即(x －4)2＋(y －2)2＝9，圆心为C 1(4,2)；圆C 2：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0，即(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝4，圆心为C 2(－2，－1)，两圆相离，|PQ |的最小值为|C 1C 2|－(r 1＋r 2)＝35－5.【答案】 C4．半径长为6的圆与x 轴相切，且与圆x 2＋(y －3)2＝1内切，则此圆的方程为( ) A ．(x －4)2＋(y －6)2＝6 B ．(x ±4)2＋(y －6)2＝6 C ．(x －4)2＋(y －6)2＝36 D ．(x ±4)2＋(y －6)2＝36【解析】 ∵半径长为6的圆与x 轴相切，设圆心坐标为(a ，b )，则b ＝6，再由a 2＋32＝5，可以解得a ＝±4，故所求圆的方程为(x ±4)2＋(y －6)2＝36.【答案】 D5．过点P (2,3)向圆C ：x 2＋y 2＝1上作两条切线PA ，PB ，则弦AB 所在的直线方程为( ) A ．2x －3y －1＝0 B ．2x ＋3y －1＝0 C ．3x ＋2y －1＝0 D ．3x －2y －1＝0【解析】 弦AB 可以看作是以PC 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝1的交线，而以PC 为直径的圆的方程为(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝134.根据两圆的公共弦的求法，可得弦AB 所在的直线方程为：(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322－134－(x 2＋y 2－1)＝0，整理可得2x ＋3y －1＝0，故选B.【答案】 B 二、填空题6．过两圆x 2＋y 2－x －y －2＝0与x 2＋y 2＋4x －4y －8＝0的交点和点(3,1)的圆的方程是________．【解析】 设所求圆的方程为 (x 2＋y 2－x －y －2)＋λ(x 2＋y 2＋4x －4y －8)＝0(λ≠－1)，将(3,1)代入得λ＝－25，故所求圆的方程为x 2＋y 2－133x ＋y ＋2＝0.【答案】 x 2＋y 2－133x ＋y ＋2＝07．与圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4相外切于点A (4，－1)且半径为1的圆的方程为__________. 【解析】 设所求圆的圆心为P (a ，b )，则 a －4 2＋ b ＋1 2＝1. ①因为两圆外切，则有 a －2 2＋ b ＋1 2＝1＋2＝3，②联立①②，解得a ＝5，b ＝－1，所以，所求圆的方程为(x －5)2＋(y ＋1)2＝1.【答案】 (x －5)2＋(y ＋1)2＝1 三、解答题8．求圆心为(2,1)且与已知圆x 2＋y 2－3x ＝0的公共弦所在直线经过点(5，－2)的圆的方程．【解】 设所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝r 2， 即x 2＋y 2－4x －2y ＋5－r 2＝0， ① 已知圆的方程为x 2＋y 2－3x ＝0，②②－①得公共弦所在直线的方程为x ＋2y －5＋r 2＝0，又此直线经过点(5，－2)，∴5－4－5＋r 2＝0，∴r 2＝4，故所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.9．有相距100 km 的A ，B 两个批发市场，商品的价格相同，但在某地区居民从两地运回商品时，A 地的单位距离的运费是B 地的2倍．问怎样确定A ，B 两批发市场的售货区域对当地居民有利？【解】 建立以AB 所在直线为x 轴，AB 中点为原点的直角坐标系(图略)，则A (－50,0)，B (50,0)．设P (x ，y )，由2|PA |＝|PB |，得x 2＋y 2＋5003x ＋2 500＝0，所以在圆x 2＋y 2＋5003x ＋2 500＝0内到A 地购物合算；在圆x 2＋y 2＋5003x ＋2 500＝0外到B 地购物合算；在圆x 2＋y 2＋5003x ＋2 500＝0上到A ，B 两地购物一样合算．10．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m,0)，B (m,0)(m >0)．若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为( )A ．7B ．6C ．5D ．4【解析】 若∠APB ＝90°，则点P 的轨迹是以AB 为直径的圆， 其方程为x 2＋y 2＝m 2.由题意知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1与圆O ：x 2＋y 2＝m 2有公共点， 所以|m －1|≤|OC |≤m ＋1，易知|OC |＝5， 所以4≤m ≤6，故m 的最大值为6. 【答案】 B11．已知圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，圆O 2的圆心为O 2(2,1)． (1)若圆O 1与圆O 2外切，求圆O 2的方程；(2)若圆O 1与圆O 2交于A ，B 两点，且|AB |＝22，求圆O 2的方程． 【解】 (1)设圆O 1、圆O 2的半径分别为r 1，r 2， ∵两圆外切，∴|O 1O 2|＝r 1＋r 2，∴r 2＝|O 1O 2|－r 1＝ 0－2 2＋ －1－1 2－2＝2(2－1)， ∴圆O 2的方程是(x －2)2＋(y －1)2＝12－8 2. (2)由题意，设圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝r 23，圆O 1，O 2的方程相减，即得两圆公共弦AB 所在直线的方程，为4x ＋4y ＋r 23－8＝0. ∴圆心O 1(0，－1)到直线AB 的距离为|0－4＋r 23－8|42＋42＝4－⎝ ⎛⎭⎪⎫2222＝2， 解得r 23＝4或20.∴圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4或(x －2)2＋(y －1)2＝20.。
人教A版高中数学必修二第四章 圆与方程练习题(含答案)
高中数学必修二 圆与方程练习题一、选择题１. 圆关于原点对称的圆的方程为 ( )A.B. C. D.2. 若为圆的弦的中点，则直线的方程是（ ） A. B.C. D.3. 圆上的点到直线的距离最大值是（ ） A. B. C. D.4. 将直线，沿轴向左平移个单位，所得直线与圆相切，则实数的值为（ ）A. B. C. D. 5. 在坐标平面内，与点距离为，且与点距离为的直线共有（ ）A. 条B. 条C. 条D. 条6. 圆在点处的切线方程为（ ） A.B. C. D.二、填空题1. 若经过点的直线与圆相切，则此直线在轴上的截距是 . .2. 由动点向圆引两条切线，切点分别为，则动点的轨迹方为 .3. 圆心在直线上的圆与轴交于两点,则圆的方程 为 .(0,0)P 22(2)5x y -+=22(2)5x y +-=22(2)(2)5x y +++=22(2)5x y ++=)1,2(-P 25)1(22=+-y x AB AB 03=--y x 032=-+y x 01=-+y x 052=--y x 012222=+--+y x y x 2=-y x 221+221+221+20x y λ-+=x 122240x y x y ++-=λ37-或2-或80或101或11(1,2)A 1(3,1)B 212340422=-+x y x )3,1(P 023=-+y x 043=-+y x 043=+-y x 023=+-y x (1,0)P -032422=+-++y x y x y P 221x y +=,PA PB 0,,60A B APB ∠=P 270x y --=C y (0,4),(0,2)A B --C４. 已知圆和过原点的直线的交点为则的值为________________.5. 已知是直线上的动点，是圆的切线，是切点，是圆心，那么四边形面积的最小值是________________.三、解答题1. 点在直线上，求的最小值.2. 求以为直径两端点的圆的方程.3. 求过点和且与直线相切的圆的方程.4. 已知圆和轴相切，圆心在直线上，且被直线截得的弦长为，求圆的方程.高中数学必修二 圆与方程练习题答案()4322=+-y x kx y =,P Q OQ OP ⋅P 0843=++y x ,PA PB 012222=+--+y x y x ,A B C PACB (),P a b 01=++y x 22222+--+b a b a (1,2),(5,6)A B --()1,2A ()1,10B 012=--y x C y 03=-y x x y =72C一、选择题1. A 关于原点得，则得2. A 设圆心为，则3. B 圆心为4. A 直线沿轴向左平移个单位得圆的圆心为5. B 两圆相交，外公切线有两条6. D的在点处的切线方程为 二、填空题1. 点在圆上，即切线为 2.3.圆心既在线段的垂直平分线即，又在 上，即圆心为，4. 设切线为，则5. 当垂直于已知直线时，四边形的面积最小三、解答题1.到直线的距离而，.2. 解：得3.解：圆心显然在线段的垂直平分线上，设圆心为，半径为，则，得，而(,)x y (0,0)P (,)x y --22(2)()5x y -++-=(1,0)C ,1,1,12CP AB AB CP k k y x ⊥=-=+=-max (1,1),1,1C r d ==20x y λ-+=x 1220x y λ-++=22240x y x y ++-=(1,2),3,7C r d λλ-====-=或2224x y -+=（）)3,1(P (12)(2)4x --=1(1,0)P -032422=+-++y x y x 10x y -+=224x y +=2OP =22(2)(3)5x y -++=AB 3y =-270x y --=(2,3)-r =5OT 25OP OQ OT ⋅==CP PACB (1,1)01=++y x d ==min 2=(1)(5)(2)(6)0x x y y +-+-+=2244170x y x y +-+-=AB 6y =(,6)a r 222()(6)x a y r -+-=222(1)(106)a r -+-=r =.4. 解：设圆心为半径为，令而，或22(13)(1)16,3,5a a a r --+===22(3)(6)20x y ∴-+-=(3,),t t 3r t=d ==22222,927,1r d t t t =--==±22(3)(1)9x y ∴-+-=22(3)(1)9x y +++=。
人教版高中数学必修二检测第四章 圆与方程 单元质量评估(四) Word版含解析
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单元质量评估(四)(第四章)(分钟分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求).(·平顶山高一检测)圆()关于轴对称的圆的方程为( ).()().()()()【解析】选.由题意知所求圆的圆心为(，)，半径为，故所求圆的方程为()..直线：与圆：的位置关系是( ).相交或相切 .相交或相离.相切 .相交【解析】选.圆的圆心(，)到直线的距离，因为<<，所以位置关系为相交.【一题多解】选.直线：过定点，而点在圆：内部，故直线与圆相交..(·广东高考)平行于直线且与圆相切的直线的方程是( )或或或或【解析】选.设所求切线方程为，依题有，解得±，所以所求的直线方程为或..若直线与圆有两个不同的交点，则点(，)与圆的位置关系是( ) .点在圆外.点在圆上.点在圆内.不能确定【解析】选.根据直线与圆相交得圆心到直线的距离小于半径，<，即>，所以点(，)在圆的外部.【延伸探究】若本题条件换为“直线与圆相切”则结论又如何呢？【解析】选.由题意知，即.则点在圆上..(·成都高一检测)圆：与圆：的位置关系是( ) .外离 .相交.外切 .内切【解析】选.圆(，)，，圆(，)，，<，且>，故两圆相交..(·全国卷Ⅱ)圆的圆心到直线的距离为,则( )【解析】选.圆化为标准方程为:()(),故圆心为(),。
高中人教A版数学必修二习题第4章 圆与方程 学业分层测评24 Word版含答案
学业分层测评(二十四)(建议用时：分钟)一、选择题．已知两圆的圆心距是，两圆的半径分别是方程－＋＝的两个根，则这两个圆的位置关系是( )．外离．外切．内切．相交【解析】由已知两圆半径的和为，与圆心距相等，故两圆外切．【答案】．已知两圆相交于()，(，－)，两圆的圆心均在直线－＋＝上，则＋的值为( )．．－．．【解析】由题意知：直线－＋＝为线段的垂直平分线，且线段的中点在直线－＋＝上，所以－＋＝，即＋＝.【答案】．点在圆：＋－－＋＝上，点在圆：＋＋＋＋＝上，则的最小值是( )．．．＋．－【解析】圆：＋－－＋＝，即(－)＋(－)＝，圆心为()；圆：＋＋＋＋＝，即(＋)＋(＋)＝，圆心为(－，－)，两圆相离，的最小值为－(＋)＝－.【答案】．半径长为的圆与轴相切，且与圆＋(－)＝内切，则此圆的方程为( )．(－)＋(－)＝．(±)＋(－)＝．(－)＋(－)＝．(±)＋(－)＝【解析】∵半径长为的圆与轴相切，设圆心坐标为(，)，则＝，再由＝，可以解得＝±，故所求圆的方程为(±)＋(－)＝.【答案】．过点()向圆：＋＝上作两条切线，，则弦所在的直线方程为( )．－－＝．＋－＝．＋－＝．－－＝【解析】弦可以看作是以为直径的圆与圆＋＝的交线，而以为直径的圆的方程为(－)＋＝.根据两圆的公共弦的求法，可得弦所在的直线方程为：(－)＋－－(＋－)＝，整理可得＋－＝，故选.【答案】二、填空题．过两圆＋－－－＝与＋＋－－＝的交点和点()的圆的方程是．【解析】设所求圆的方程为 (＋－－－)＋λ(＋＋－－)＝(λ≠－)，将()代入得λ＝－，故所求圆的方程为＋－＋＋＝.【答案】＋－＋＋＝．与圆(－)＋(＋)＝相外切于点(，－)且半径为的圆的方程为.【解析】设所求圆的圆心为(，)，则＝.①因为两圆外切，则有＝＋＝，②联立①②，解得＝，＝－，所以，所求圆的方程为(－)＋(＋)＝.【答案】(－)＋(＋)＝三、解答题．求圆心为()且与已知圆＋－＝的公共弦所在直线经过点(，－)的圆的方程．【解】设所求圆的方程为(－)＋(－)＝，即＋－－＋－＝，①已知圆的方程为＋－＝，②②－①得公共弦所在直线的方程为＋－＋＝，又此直线经过点(，－)，∴－－＋＝，∴＝，故所求圆的方程为(－)＋(－)＝.．有相距的，两个批发市场，商品的价格相同，但在某地区居民从两地运回商品时，地的单位距离的运费是地的倍．问怎样确定，两批发市场的售货区域对当地居民有利？【解】建立以所在直线为轴，中点为原点的直角坐标系(图略)，则(－)，()．设(，)，由＝，得＋＋＋＝，所以在圆＋＋＋＝内到地购物合算；在圆＋＋＋＝外到地购物合算；在圆＋＋＋＝上到，两地购物一样合算．．已知圆：(－)＋(－)＝和两点(－)，()(>)．若圆上存在点，使得∠＝°，则的最大值为( )．．。
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学业分层测评（二十四）
(建议用时：45分钟)
[达标必做]
一、选择题
1．已知两圆的圆心距是6，两圆的半径分别是方程x2－6x＋8＝0的两个根，则这两个圆的位置关系是()
A．外离B．外切
C．相交D．内切
【解析】由已知两圆半径的和为6，与圆心距相等，故两圆外切．
【答案】 B
2．半径为5且与圆x2＋y2－6x＋8y＝0相切于原点的圆的方程为()
A．x2＋y2－6x－8y＝0
B．x2＋y2＋6x－8y＝0
C．x2＋y2＋6x＋8y＝0
D．x2＋y2－6x－8y＝0或x2＋y2－6x＋8y＝0
【解析】已知圆的圆心为(3，－4)，半径为5，所求圆的半径也为5，由两圆相切于原点，知所求圆的圆心与已知圆的圆心关于原点对称，即为(－3,4)，可知选B.
【答案】 B
3．点P在圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆C2：x2＋y2＋4x＋2y ＋1＝0上，则|PQ|的最小值是()
A．5 B．1
C．35－5 D．35＋5
【解析】圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0，即(x－4)2＋(y－2)2＝9，圆心为C1(4,2)；圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0，即(x＋2)2＋(y＋1)2＝4，圆心为C2(－2，－1)，两圆相离，|PQ|的最小值为|C1C2|－(r1＋r2)＝35－5.
【答案】 C
4．设两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|＝()
A ．4
B ．4 2
C ．8
D ．8 2
【解析】 ∵两圆与两坐标轴都相切，且都经过点(4,1)，
∴两圆圆心均在第一象限且横、纵坐标相等．
设两圆的圆心分别为(a ，a )，(b ，b )，
则有(4－a )2＋(1－a )2＝a 2，(4－b )2＋(1－b )2＝b 2，
即a ，b 为方程(4－x )2＋(1－x )2＝x 2的两个根，整理得x 2－10x ＋17＝0. ∴a ＋b ＝10，ab ＝17，
∴(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ＝100－4×17＝32.
∴|C 1C 2|＝2(a －b )2＝32×2＝8.
【答案】 C
5．过点P (2,3)向圆C ：x 2＋y 2＝1上作两条切线P A ，PB ，则弦AB 所在的直线方程为( )
A ．2x －3y －1＝0
B ．2x ＋3y －1＝0
C ．3x ＋2y －1＝0
D ．3x －2y －1＝0
【解析】 弦AB 可以看作是以PC 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝1的交线，而以
PC 为直径的圆的方程为(x －1)2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫y －322＝134.根据两圆的公共弦的求法，可得弦AB 所在的直线方程为：(x －1)2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫y －322－134－(x 2＋y 2－1)＝0，整理可得2x ＋3y －1＝0，故选B.
【答案】 B
二、填空题
6．过两圆x 2＋y 2－x －y －2＝0与x 2＋y 2＋4x －4y －8＝0的交点和点(3,1)的圆的方程是________．
【解析】 设所求圆的方程为 (x 2＋y 2－x －y －2)＋λ(x 2＋y 2＋4x －4y －8)＝
0(λ≠－1)，将(3,1)代入得λ＝－25，故所求圆的方程为x 2＋y 2－133x ＋y ＋2＝0.
【答案】 x 2＋y 2
－133x ＋y ＋2＝0 7．两圆相交于两点A (1,3)和B (m ，－1)，两圆圆心都在直线x －y ＋c ＝0上，则m ＋c 的值为________．
【解析】 由题意知，线段AB 的中点在直线x －y ＋c ＝0上，
且k AB ＝41－m
＝－1，即m ＝5， 又点⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋m 2，1在该直线上， 所以1＋m 2－1＋c ＝0，所以c ＝－2，所以m ＋c ＝3.
【答案】 3
三、解答题
8．求圆心为(2,1)且与已知圆x 2＋y 2－3x ＝0的公共弦所在直线经过点(5，－2)的圆的方程．
【解】 设所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝r 2，
即x 2＋y 2－4x －2y ＋5－r 2＝0，①
已知圆的方程为x 2＋y 2－3x ＝0，②
②－①得公共弦所在直线的方程为x ＋2y －5＋r 2＝0，又此直线经过点(5，－
2)，∴5－4－5＋r 2＝0，∴r 2＝4，故所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.
9．有相距100 km 的A ，B 两个批发市场，商品的价格相同，但在某地区居民从两地运回商品时，A 地的单位距离的运费是B 地的2倍．问怎样确定A ，B 两批发市场的售货区域对当地居民有利？
【导学号：09960144】
【解】 建立以AB 所在直线为x 轴，AB 中点为原点的直角坐标系，则A (－50,0)，B (50,0)．
设P (x ，y )，由2|P A |＝|PB |，得x 2＋y 2＋5003x ＋2 500＝0，
所以在圆x 2＋y 2＋5003x ＋2 500＝0内到A 地购物合算；在圆x 2＋y 2＋5003x ＋2
500＝0外到B 地购物合算；在圆x 2＋y 2＋5003x ＋2 500＝0上到A ，B 两地购物一样
合算．
[自我挑战]
10．以圆C 1：x 2＋y 2＋4x ＋1＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0相交的公共弦为直径的圆的方程为( )
A ．(x －1)2＋(y －1)2＝1
B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1
C.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋352＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫y ＋652＝45 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －352＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫y －652＝45 【解析】 两圆方程相减得公共弦所在直线的方程为x －y ＝0，因此所求圆的圆心的横、纵坐标相等，排除C ，D 选项，画图(图略)可知所求圆的圆心在第三象限，排除A.故选B.
【答案】 B
11．设半径为3 km 的圆形村落，A 、B 两人同时从村落中心出发，A 向东，B 向北，A 出村后不久改变前进方向，斜着沿切于村落圆周的方向前进，后来恰好与B 相遇，设A 、B 两人的速度一定，其比为3∶1，问A 、B 两人在何处相遇？
【解】 由题意以村中心为原点，正东方向为x 轴的正方向，正北为y 轴的正方向，建立直角坐标系，设A 、B 两人的速度分别为3v km/h ，v km/h ，设A 出发a h ，在P 处改变方向，又经过b h 到达相遇点Q ，
则|PQ |＝3b v ，|OP |＝3a v ，|OQ |＝(a ＋b )v ，
则P (3a v ,0)，Q (0，(a ＋b )v )，
在Rt △OPQ 中，由|PQ |2＝|OP |2＋|OQ |2得5a ＝4b ，
k PQ ＝0－v (a ＋b )3a v －0
，∴k PQ ＝－34， 设直线PQ 的方程为y ＝－34x ＋c (c >0)，
由PQ 与圆x 2＋y 2＝9相切，得|4c |
42＋3
2＝3，
15
4，故A、B两人相遇在正北方离村落中心15
4km.
解得c＝。