3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域最新
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课程资料：二元一次不等式(组)表示的平面区域
图)分别为65xx＋＋32yy≥≥4300，， x，y∈N.
3.点 P（1,-1）在直线y=ax＋b的上方,则a,b满足的 关系式:（ B ） A. a＋b>-1 B. a＋b<-1 C. a＋b>1 D. a－b<-1
7.确定m的范围，使点(1，2)和点(1，1)在y 3x m 0
的异侧.
5.若不等式组
y
≥
a，
表示的平面区域是一个三角
0 ≤ x ≤ 2
形，则 a 的取值范围是（ C ）
Ａ． a 5
Ｂ． a≥7
Ｃ． 5≤a 7
Ｄ． a 5 或 a≥7
[例4] 画出不等式(x＋2y＋1)(x－y＋4)＞0表示 的区域．
[解] 原不等式等价于
①xx－＋y2＋y＋4＞1＞0.0， 或
• §3.3.1二元一次不等式（组） 表示的平面区域
那么：x – y < 6或x – y形？
问题2
一条直线
直线将平面分成两部分，这与 x y ()6
有什么关联呢？
y
x –y =6
左上方区
O
域
x
右下方 区域
二元一次不等式x－y<6表示直 线x- y=6左上方的平面区域
2.有粮食和石油两种货物，可用轮船和飞机两种 方式运输，每天每艘轮船和每架飞机的运输量 如下表：
货物 轮船运输量 飞机运输量
粮食/t 300
150
石油/t 250
100
现在要在一天之内运输2 000 t粮食和1 500 t石
油，试用代数和几何两种方法表示运输工具和
运输数量满足的关系．
解：设需要 x 艘轮船，y 架飞机，代数关系式和几何描述(如
(3)
3.点 P（1,-1）在直线y=ax＋b的上方,则a,b满足的 关系式:（ B ） A. a＋b>-1 B. a＋b<-1 C. a＋b>1 D. a－b<-1
7.确定m的范围，使点(1，2)和点(1，1)在y 3x m 0
的异侧.
5.若不等式组
y
≥
a，
表示的平面区域是一个三角
0 ≤ x ≤ 2
形，则 a 的取值范围是（ C ）
Ａ． a 5
Ｂ． a≥7
Ｃ． 5≤a 7
Ｄ． a 5 或 a≥7
[例4] 画出不等式(x＋2y＋1)(x－y＋4)＞0表示 的区域．
[解] 原不等式等价于
①xx－＋y2＋y＋4＞1＞0.0， 或
• §3.3.1二元一次不等式（组） 表示的平面区域
那么：x – y < 6或x – y形？
问题2
一条直线
直线将平面分成两部分，这与 x y ()6
有什么关联呢？
y
x –y =6
左上方区
O
域
x
右下方 区域
二元一次不等式x－y<6表示直 线x- y=6左上方的平面区域
2.有粮食和石油两种货物，可用轮船和飞机两种 方式运输，每天每艘轮船和每架飞机的运输量 如下表：
货物 轮船运输量 飞机运输量
粮食/t 300
150
石油/t 250
100
现在要在一天之内运输2 000 t粮食和1 500 t石
油，试用代数和几何两种方法表示运输工具和
运输数量满足的关系．
解：设需要 x 艘轮船，y 架飞机，代数关系式和几何描述(如
(3)
二元一次不等式(组)与平面区域 课件
|AB|＝|3×1＋－32×－1＋6|＝ 122.
∴S△ABC＝12×
12 × 2
122＝36.
(2)画出2x－3＜y≤3表示的区域，并求所有的正整数解．
【思路分析】
原不等式等价于
y＞2x－3 y≤3.
而求正整数解，则意味着x，y还有限制条件，即求：
xy＞ ＞00 y＞2x－3，
y≤3
的整数解．
例3 画出不等式组2x＋x＋2yy－－51≤＞00 ，所表示的平面区域． y＜x＋2
【思路分析】 解决这种问题的关键在于正确地描绘出边 界直线，再根据不等号的方向，确定所表示的平面区域．
【解析】 先画直线x＋2y－1＝0，由于是大于号，从而将 直线画成虚线，∵0＋0－1<0，∴原点在它的相反区域内．
如图中阴影部分中横坐标、纵坐标均为整数的点．
探究5 充分利用已知条件，找出不等关系，画出适合条件 的平面区域，然后在该平面区域内找出符合条件的点的坐 标．实际问题要注意实际意义对变量的限制．必要时可用表格 的形式列出限制条件．
思考题6 一工厂生产甲、乙两种产品，生产每吨产品的资
源需求如下表：
品种 电力/kW·h 煤/t 工人/人
(2)设直线l方程为Ax＋By＋C＝0(A＞0)，则 ①Ax＋By＋C＞0表示l右侧平面区域． ②Ax＋By＋C＜0表示l左侧平面区域．
思考题1 (1)不等式x－2y≥0所表示的平面区域是下图中的 ()
【解析】
x－2y＝0的斜率为
1 2
，排除C、D.又大于0表示直
线右侧，选B.
【答案】 B
(2)不等式x＋3y－6＜0表示的平面区域在直线x＋3y－6＝0的
【解析】 如图，在其区域内的整数解为(1,1)、(1,2)、 (1,3)、(2,2)、(2,3)，共五组．
二元一次不等式(组)与平面区域
y
x0,y0
10
5x2y88
6
4
3x4y9 2
o
2
4
6
8 10
x
9
例 3 ( 3 ) 画 出 不 等 式 ( x 3 y 6 ) ( x y 2 ) 0 表 示 的 平 面 区 域
解 :不等 式 x x 3 yy 2 可 6 0 0 或 化 x x 3 yy 为 2 6 0 0
16
17
例5某人准备投资1200万元兴办一所完全中学，对教育 市场进行调查后，他得到了下面的数据表格（以班级为 单位）
学段 班级学生数 配备教师数 硬件建设（万元） 教师年薪（万元）
初中 45
2
26/班
2/人
高中 40
3
54/班
2/人
初、高中的教育周期均为三年，办学规模以20~30个班为宜， 教师实行聘任制。分别用数学关系式和图形表示上述限制条件。
14
解: 设生产甲,乙两种肥料分别为xt和yt 则x, y,应满足以下不等式组
4x y 10
y
18x 15y 66
25Βιβλιοθήκη x 0, y 020 15
18x15y6610
甲,乙两种肥料的产量范
5
围在直角坐标系中为图中
o 1 2 3 45
x
的阴影部分(包括边界)
4x y 10
15
小结: (1)看懂题,列好表格(若有表格,则不必) (2)用不等式(组)列出限制条件(要考虑实 际意义) (3)画图
直线AxByC0的一边
(不包括边,直 界线画成虚) 线 用特殊点来确定是直线的某一 (2)在直角坐边另标,找系一中一般不点用等原式点,A若x 直 B线y 过 C原点0(,则0)表示 :
高中数学必修5课件：第3章3-3-1二元一次不等式(组)与平面区域
数学 必修5
第三章 不等式
(3)若直线 l：Ax＋By＋C＝0，记 f(x，y)＝Ax＋By＋C，M(x1， y1)，N(x2，y2)，则
点M，N在l的同侧 ⇔ fx1，y1·fx2，y2>0 点M，N在l的异侧 ⇔ fx1，y1·fx2，y2<0
数学 必修5
第三章 不等式
1．不等式x－2y≥0表示的平面区域是( )
() A.32 4 C.3
B.23 D．34
数学 必修5
第三章 不等式
解析： 如图所示为不等式表示的平 面区域，平面区域为一三角形，三个顶点 坐标分别为(4,0)，43，0，(1,1)，所以三角 形的面积为 S＝12×4－43×1＝43.
答案： C
数学 必修5
第三章 不等式
用二元一次不等式(组)表示实际问题
数学 必修5
第三章 不等式
答案：
4x＋3y≤480， 2x＋5y≤500， x≥0， y≥0， x，y∈N*
数学 必修5
第三章 不等式
4．画出不等式组x0－≤yx≤＋1y0≤，20， 0≤y≤15，
表示的平面区域．
解析： 根据题意画出不等式组表示的平面区域，如图所
示．
数学 必修5
第三章 不等式
数学 必修5
第三章 不等式
3．一工厂生产甲、乙两种产品，生产每种1 t产品的资源 需求如下表：
品种 电力/kW·h 煤/t 工人/人
甲
2
3
5
乙ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
8
5
2
该厂有工人200人，每天只能保证160 kW·h的用电额度， 每天用煤不得超过150 t，请在直角坐标系中画出每天甲、乙两 种产品允许的产量的范围．
二元一次不等式(组)与平面区域
示的平面区域的面积等于 3 2 A. B. C.4 2 3 3 （ C D.3 4 ）
解：
x 3 y 4 得交点A的坐标为（1，1）. 由 , 3 x y 4
又B、C两点的坐标为（0，4）， (0, 4 ).
故S ABC
1 4 4 (4 ) 1 . 2 3 3
则a的取值范围是 （ A．a＜－7或a＞24 C．a＝－7或a＝24
B）
B．－7＜a＜24 D．以上都不对
解析：点(3,1)和(－4,6)在直线3x－2y＋a＝0的两 侧，说明将这两点坐标代入3x－2y＋a后，符号相反，
所以(9－2＋a)(－12－12 0, 8. 不等式组 x 3 y 4, 所表 3 x y 4
练习1：
画出下列不等式表示的平面区域：
（1）２ｘ＋３ｙ－６＞０ （2）４ｘ－３ｙ≤１２
Y Y
2
O
3
X
O
3 -4
X
（1）
（2）
二元一次不等式组表示平面区域
二元一次不等式组
表示平面区域
例2：画出不等式组
表示的平面区域
x y 5 0 x y 0 x 3
Y
x+y=0
3
x y 0 x 2 y 4 0 y 2 0
Y
x-y=0
x+2y-4=0 o
2
4
x -2 y+2=0
变式3、由直线
y20
， x 2 y-4 0 和
围成的三角形区域（包括边界）用不 等式可表示为 。
x-y 0
x y 0 x 2 y 4 0 y 2 0
方法总结：
解：
x 3 y 4 得交点A的坐标为（1，1）. 由 , 3 x y 4
又B、C两点的坐标为（0，4）， (0, 4 ).
故S ABC
1 4 4 (4 ) 1 . 2 3 3
则a的取值范围是 （ A．a＜－7或a＞24 C．a＝－7或a＝24
B）
B．－7＜a＜24 D．以上都不对
解析：点(3,1)和(－4,6)在直线3x－2y＋a＝0的两 侧，说明将这两点坐标代入3x－2y＋a后，符号相反，
所以(9－2＋a)(－12－12 0, 8. 不等式组 x 3 y 4, 所表 3 x y 4
练习1：
画出下列不等式表示的平面区域：
（1）２ｘ＋３ｙ－６＞０ （2）４ｘ－３ｙ≤１２
Y Y
2
O
3
X
O
3 -4
X
（1）
（2）
二元一次不等式组表示平面区域
二元一次不等式组
表示平面区域
例2：画出不等式组
表示的平面区域
x y 5 0 x y 0 x 3
Y
x+y=0
3
x y 0 x 2 y 4 0 y 2 0
Y
x-y=0
x+2y-4=0 o
2
4
x -2 y+2=0
变式3、由直线
y20
， x 2 y-4 0 和
围成的三角形区域（包括边界）用不 等式可表示为 。
x-y 0
x y 0 x 2 y 4 0 y 2 0
方法总结：
安徽省长丰县实验高级中学人教版高中数学五教案：3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域
3。
3。
1 二元一次不等式（组）与平面区域一、知识与技能1。
使学生了解并会用二元一次不等式表示平面区域以及用二元一次不等式组表示平面区域；2.能画出二元一次不等式(组)所表示的平面区域。
二、过程与方法1。
培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想；2。
提高学生“建模"和解决实际问题的能力;3.本节新课讲授分为五步(思考、尝试、猜想、证明、归纳）来进行，目的是为了分散难点，层层递进，突出重点,只要学生对旧知识掌握较好，完全有可能由学生主动去探求新知,得出结论.三、情感态度与价值观1。
通过本节教学着重培养学生掌握“数形结合”的数学思想，尽管侧重于用“数”研究“形”,但同时也用“形”去研究“数”，培养学生观察、联想、猜测、归纳等数学能力；2。
结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学"的意识，激励学生勇于创新。
教学重点会求二元一次不等式（组）表示平面的区域。
教学难点如何把实际问题转化为线性规划问题，并给出解答。
第1课时导入新课师在现实和数学中,我们会遇到各种不同的不等关系，需要用不同的数学模型来刻画和研究它们.前面我们学习了一元二次不等式及其解法，这里我们将学习另一种不等关系的模型。
先看一个实际例子。
一家银行的信贷部计划年初投入25 000 000元用于企业和个人贷款，希望这笔贷款资金至少可带来30 000元的效益，其中从企业贷款中获益12%，从个人贷款中获益10%，那么,信贷部应该如何分配资金呢？师 这个问题中存在一些不等关系，我们应该用什么不等式模型来刻画它们呢？ 生 设用于企业贷款的资金为x 元，用于个人贷款的资金为y 元，由资金总数为25 000 000元,得到x+y≤25 000 000。
①师 由于预计企业贷款创收12%，个人贷款创收10%.共创收30 000元以上，所以 (12％）x+（10％)y≥30 000，即12x+10y≥3 000 000.②师 最后考虑到用于企业贷款和个人贷款的资金数额都不能是负数，于是生 x≥0，y≥0.③师 将①②③合在一起，得到分配资金应该满足的条件：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥+≤+.0,0,30000001012,25000000y x y x y x 师 我们把含有两个未知数，且未知数的次数是1的不等式（组)称为二元一次不等式（组）.满足二元一次不等式（组）的x 和y 的取值构成有序数对(x,y),所有这样的有序数对（x，y)构成的集合称为二元一次不等式（组）的解集.有序数对可以看成直角坐标平面内点的坐标。
人教a版必修五课件：二元一次不等式(组)与平面区域(62页)
2．点(x0，y0)在直线Ax＋By＋C＝0的右上方，则一定 有Ax0＋By0＋C>0吗？
提示：不一定．与系数B的符号有关．
3．若A(x1，y1)，B(x2，y2)两点在直线Ax＋By＋C＝0的 同侧或两侧应满足什么条件？
提示：同侧(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)>0.异侧(Ax1＋ By1＋C)(Ax2＋By2＋C)<0.
新知初探
1．二元一次不等式及其解集的意义 (1)二元一次不等式 含有两 个未知数，并且含未知数的项的最高次数是 1 的不等式称为二元一次不等式． 二元一次不等式的一般形式是Ax＋By＋C>0，Ax＋By ＋C<0，Ax＋By＋C≥0，Ax＋By＋C≤0，其中A，B不同 时为零．
(2)二元一次不等式组 由几个 二元一次不等式 组成的不等式组称为二元一次 不等式组． (3)二元一次不等式(组)的解集 满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成有序数对 (x，y)，所以这样的有序数对(x，y)构成的集合称为二元一 次不等式(组)的解集．一个二元一次不等式，它的解是一些 数对(x，y)，因此，它的解集不能用数轴上一个区间表示， 而应是平面上的一个区域．
By＋C＝0划分平面成两个半平面的区域，分别由不等式Ax ＋By＋C>0与Ax＋By＋C<0决定．因此，如同前面所学平面 内的直线可以视为二元一次方程的几何表示一样，半平面 就是二元一次不等式的几何表示．
思考感悟
1．每一个二元一次不等式(组)都能表示平面上的一个 区域吗？ 提示：不一定．当不等式组的解集为空集时，不等式 组不表示任何图形．
7 答案：4
类型三 [例3]
点与平面区域的关系 已知点P(1，－2)及其关于原点的对称点中有
3.3.1二元一次不等式表示的平面区域
Y
x 3 2 y x 2 3 x 2 y 6 3 y x 9
Y
o
4
-2
x
3
O
2 3
X
应该注意的几个问题：
1、若不等式中不含0，则边界应画成虚线，
否则应画成实线。
2、画图时应非常准确，否则将得不到正确结果。 3、熟记“直线定界、特殊点定域”方法的内涵。
0-0+1=1>0
1
-1
o
x
x-y+1>0
猜一猜：
（1）对直线L右下方的点（x, y）， x-y+1＞0 成立。 （2）对直线L左上方的点（x, y）， x-y+1＜0 成立。 y
1 -1
x-y+1<0
x-y+1>0
x
o
证一证：
y
y= y0
1 -1
在直线 x-y+1=0上取一点P(x0, y0)， 过点 P做平行于x轴的直线y=y0 ，
在平面直角坐标系中，所有的点 被直线x+y-1=0分成三类：
y ②在直线 x-y+1=0 的左上方的平面区
域内
1 -1
x-y+1=0
①在直线 x-y+1=0上
问题是如何 判断呢??
o
?
③在直线 x-y+1=0 的右下方的平面区
域内；
x
在直线: x-y+1=0右下方取原点代入:x-y+1 y 尝试 x-y+1=0
巩固: 画出下列不等式表示的平面区域： (1) x-y+1＜0 (2) 2x+3y-6＞０ (3) 2x+5y-10≥０ (4) 4x-3y≤12
x 3 2 y x 2 3 x 2 y 6 3 y x 9
Y
o
4
-2
x
3
O
2 3
X
应该注意的几个问题：
1、若不等式中不含0，则边界应画成虚线，
否则应画成实线。
2、画图时应非常准确，否则将得不到正确结果。 3、熟记“直线定界、特殊点定域”方法的内涵。
0-0+1=1>0
1
-1
o
x
x-y+1>0
猜一猜：
（1）对直线L右下方的点（x, y）， x-y+1＞0 成立。 （2）对直线L左上方的点（x, y）， x-y+1＜0 成立。 y
1 -1
x-y+1<0
x-y+1>0
x
o
证一证：
y
y= y0
1 -1
在直线 x-y+1=0上取一点P(x0, y0)， 过点 P做平行于x轴的直线y=y0 ，
在平面直角坐标系中，所有的点 被直线x+y-1=0分成三类：
y ②在直线 x-y+1=0 的左上方的平面区
域内
1 -1
x-y+1=0
①在直线 x-y+1=0上
问题是如何 判断呢??
o
?
③在直线 x-y+1=0 的右下方的平面区
域内；
x
在直线: x-y+1=0右下方取原点代入:x-y+1 y 尝试 x-y+1=0
巩固: 画出下列不等式表示的平面区域： (1) x-y+1＜0 (2) 2x+3y-6＞０ (3) 2x+5y-10≥０ (4) 4x-3y≤12
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x 3y 6 0 3、不等式组 x y 2 0
表示的平面区域是（
B）
y 3 x 12 例2．用平面区域表示不等式组 的解集； x 2y
此区域为 所求
y 12 8 4 0 4 8 x y=-3x+12 x=2y
小结
1、二元一次不等式Ax+By+C>0(或<0)在平面直 角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点 组成的平面区域。 2、二元一次不等式表示直线哪一侧平面区域的 判断方法： C≠0时，取原点作特殊点; 直线定界，特殊点定域。 C＝0时，取其他特殊点。 注意:(1)画图时应非常准确，否则将得不到正确结果。
2A -5
B
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y=2
o
x
S= 3 5 2 8
2
1
x=2
课堂练习2
课本P86
T 1、2、3
1、不等式x – 2y + 6 > 0表示的区域在直线 x – 2y + 6 = 0的（ A.右上方
B）
C.左上方 D.左下方
B.右下方
2、不等式3x + 2y – 6 ≤0表示的平面区域是（ D ）
例题分析
例1：画出不等式 x + 4y < 4表示的平面区域 解：(1) 先画直线x + 4y – 4 = 0 直线定界 （画成虚线）
(2) 取原点（0，0）， 代入x + 4y – 4， ∵0 + 4×0 – 4 = – 4 < 0 特殊点定域
y 1
∴原点在x + 4y – 4 < 0表示的平 面区域内，不等式x + 4y – 4 < 0 表示的区域如图所示。
若区域包括边界， (2) 则把边界画成实线； 若区域不包括边界，则把边界画成虚线。
课后作业 P93 A组1(1)(3)；2
-1
1
x
x+y-1≤0 x-2y+2＞0 y≥-1
题型五：综合应用
例4、 试确定m的范围，使点（1，2）和 （1，1）在3x-y+m=0的异侧。 变式:若在同侧，m的范围又是什么呢？
解析： 由于在异侧，则（1，2）和（1，1） 解析： 由于在同侧，则（1，2）和（1，1）
代入3x-y+m 所得数值异号， 代入3x-y+m 所得数值同号， 则有（3-2+m）（3-1+m）<0 则有（3-2+m）（3-1+m）＞0
3.3.1 二元一次不等式( 组)与平面区域
新知探究：
《二元一次不等式(组)与平面区域 》
二元一次式z=ax+by+c的的值由 数对（x,y)确定，也可以说由点 （x,y)确定。我们知道使z为零的点 的集合是一条直线，即直线 ax+by+c=0.那么，直线外侧的点与z 的值有何联系呢？下面我们以 z=x+3y-3为例来研究一下这个问题。
所以（m+1）(m+2) <0 所以（m+1）(m+2)＞0
即：-2<m<-1 即：m <-2或m＞-1
题型四：综合应用 x-y+5≥0
例5、 求二元一次不等式组 y≥2
0≤x≤2
y
5
C x-y+5=0
D
所表示的平面区域的面积
解析： 如图，平面区域为直角梯形,易得 A(0,2),B(2,2),C(2,7),D(0,5) 所以AD=3,AB=2,BC=5 故所求区域的面积为
由于直线同侧的点的坐标代入Ax+By+C中，所得 2、 2、点定域（代入特殊点验证） 实数符号相同，所以只需在直线的某一侧取一个 特别地，当C≠0时常把原点作为特殊点。 特殊点代入Ax+By+C中，从所得结果的正负即可 判断Ax+By+C>0表示哪一侧的区域。
课堂练习1 分别在坐标系画出下列不等式表示的平面区域 (1) x-y+5≥0
典例精析 题型三：根据平面区域写出二元一次不等式（组）
例3、写出表示下面区域的二元一次不等式 y 解析：边界直线方程为 x+y-1≤0 紫色区域 x+y-1=0 代入原点（0，0) 绿色区域 x-2y+2＞0 得0+0-1＜0 即所求不等式为 蓝色区域 y≥-1 x+y-1≤0 黄色区域
1 -2
o
z=x+3y-3
《二元一次不等式(组)与平面区域 》
8 2 -1 -3 -7 1 5
10
-15
-12
《二元一次不等式(组)与平面区域 》
猜想：1是不是使z为正的点都在直线的上侧， 而使z为负的点总在直线的下侧？为什么？ 2是不是距离直线越远的点使z的绝对值越大？ 为什么？ 总结：1直线ax+by+c=0一侧的点满足二元一次 不等式ax+by+c>0,叫不等式ax+by+c>0表示的区 域，另一侧的点满足二元一次不等ax+by+c<0， 叫做不等式ax+by+c<0表示的区域。 2距离直线ax+by+x=0越远的点使z=ax+by+c的 绝对值越大.
y
(2) x+y≥0
y
(3) x<3
y
x-y+5=0
x=3
5
-5
0 x 0 x 0 x
x+y=0
例题分析 例2：画出不等式组
x y 5 0 x y 0 x 3
y
x+y=0
5
-5 O
x-y+5=0
x=3
x
表示的平面区域.
注：不等式组表示的平面区域是各不等式 所表示平面区域的公共部分。
4 x x+4y―4=0
《二元一次不等式(组)与平面区域 》
画二元一次不等式表示的平面区域的步骤：
方法总结：
1、一般地，在平面直角坐标系中,二元一次不等式 Ax+By+C>0表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的 1、线定界（注意边界的虚实） 平面区域，我们把直线画成虚线,以表示区域不包含 边界;不等式 Ax+By+C≥0表示的平面区域包括边界， 把边界画成实线。