导数与函数、方程、不等式综合含参问题处理方法归纳总结学生版
含参问题归纳总结一、与函数零点（或者方程的根）有关的参数范围问题函数的零点，即的根，亦即函数的图象与轴交点横坐标，与函数零点有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点，从而判断函数的大致图像，讨论其图象与轴的位置关系（或者转化为两个熟悉函数交点问题），进而确定参数的取值范围．题型1.有关()x f 型1．已知函数f(x)=e x x −a ，g(x)=3(e x −ax)e x ，若方程f(x)=g(x)有4个不同的实数解，则实数a 的取值范围是A ． (−∞,e )B ． (e,3)∪(3,+∞)C ． (−∞,0)∪(e,+∞)D ． (e,+∞)2．若函数f(x)={e x , x ≥0−x 2+2x +1, x <0（其中e 是自然对数的底数），且函数y =|f(x)|−mx 有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是（ ）A ． (0,1)B ． (0,e)C ． (−∞,0)∪(1,+∞)D ． (−∞,0)∪(e,+∞)3．设函数f (x )是定义在R 上周期为2的函数，且对任意的实数x ，恒f (x )−f (−x )=0，当x ∈[−1,0]时，f (x )=x 2．若g (x )=f (x )−log a x 在x ∈(0,+∞)上有且仅有三个零点，则a 的取值范围为（ ）A ． [3,5]B ． [4,6]C ． (3,5)D ． (4,6)()f x ()0f x =()f x x x4．已知函数f(x)={xlnx−2x,x>0x2+32x,x≤0，若方程f(x)−mx+1=0恰有四个不同的实数根，则实数m的取值范围是（ （A．(−1,−13)B．(−1,−12)C．(−34,−12)D．(−2,−12)5．设f(x)=lnx+1x，若函数y=|f(x)|−ax2恰有3个零点，则实数a的取值范围为（）A．(0,e23)B．(e23,e)C．(1e,1)D．(0,1e)∪{e23}6．已知函数f(x)={x+1x−1,x>12−e x,x≤1，若函数g(x)=f(x)−m(x−1)有两个零点，则实数m的取值范围是7．若函数f(x)={2x+2−a,x≤0x3−ax+2,x>0有三个不同的零点，则实数a的取值范围是_____.8．已知函数f(x)={|lgx|,x>0.2|x|,x≤0.若函数y=|2f(x)−a|−1存在5个零点，则实数a的取值范围为________.9．已知函数f(x)={−x2(x≥0),2x−1(x<0)，若函数g(x)=f(x)−b有两个零点，则实数b的取值范围是___________.10．已知函数f(x)=x(x−1)lnx，偶函数g(x)=kx2+b e x(k≠0)的图像与曲线y= f(x)有且仅有一个公共点，则k的取值范围为_________.11．函数f(x)满足f(x)=f(−x),f(x)=f(2−x),当x∈[0,1]时, f(x)=x2,过点P(0,94)且斜率为k的直线与f(x)在区间[0,4]上的图象恰好有3个交点,则k的取值范围为_________．12．函数g(x)(x∈R)的图象如图所示，关于x的方程[g(x)]2+m⋅g(x)+2m+ 3=0有三个不同的实数解，则m的取值范围是__________13．已知f(x)={x 2,x ≤0−x(e 1−x +ax 2−a),x >0是减函数，且y=f(x)+bx 有三个零点，则b 的取值范围为（ （A ． (0,ln22)∪[e −1,+∞)B ． (0,ln22) C ． [e −1,+∞) D ． {ln22}∪[e −1,+∞)题型2.有关()x f 复合型 14．已知函数f (x )={x 2−1,x <1lnx x,x ≥1 ，关于x 的方程2[f(x)]2+(1−2m)f (x )−m =0，有5个不同的实数解，则m 的取值范围是（ ）A ． {−1,1e }B ． (0,+∞)C ． (0,1e )D ． (0,1e ]15．已知函数f(x)=x e x ，要使函数g(x)=k[f(x)]2−f(x)+1的零点个数最多，则k 的取值范围是A ． k <−e 2B ． k <−e 2−eC ． k >−e 2−eD ． k >−e 216．已知函数f(x)={e |x−1|,x >0−x 2−2x +1,x ≤0，若关于x 的方程f 2(x)−3f(x)+a =0(a ∈R)有8个不等的实数根，则a 的取值范围是（ ）A ． (0,14)B ． (13,3)C ． (1,2)D ． (2,94)题型3.多变量问题17．设函数f(x)={|x+1|,x≤0,|log4x|,x>0,若关于x的方程f(x)=a有四个不同的解x1,x2,x3,x4,且x1<x2<x3<x4,则x3(x1+x2)+1x32x4的取值范围是A．(−1,72]B．(−1,72)C．(−1,+∞)D．(−∞,72]18．对于任意的y∈[1,e]，关于x的方程x2ye1−x=ay+lny在x∈[−1,4]上有三个根，则实数a的取值范围是A．[16e3,3e)B．(0，16e3]C．[16e3,e2−3e]D．[16e3,e2−1e)二、与函数定义域、值域有关参数范围问题19．已知函数f(x)=−x 2+2x+4x，g(x)=11x⋅3x−1−2x3x，实数a，b满足a<b<0.若∀x1∈[a,b]，∃x2∈[−1,1]，使得f(x1)=g(x2)成立，则b−a的最大值为（）A． 3 B． 4 C． 5 D．2√520．设m∈R，若函数f(x)=|x3−3x−m|在x∈[0,√3]上的最大值与最小值之差为2，则实数m的取值范围是__________．21．已知函数f(x)=x2−2ax+a2−1，g(x)=2x−a，∀x1∈[−1,1],∃x2∈[−1,1]，使f(x2)=g(x1)，则实数a的取值范围是__________.22．已知函数f(x)={x2−x+a ， x ≥−a ，x2+x+3a ， x<−a ． 记A={x|f(x)=0}，若A∩(−∞ ， 2)≠∅，则实数a的取值范围为______．三、与函数切线、单调性、极值有关参数范围问题23．已知曲线f(x)=−13x3+a2x2−2x(a>0)与直线y=kx−13相切，且满足条件的k值有且只有3个，则实数a的取值范围是（）A．[2,+∞) B．(2,+∞) C．[1,+∞) D．(1,+∞)24．已知函数f(x)=aln(x+1)−x2在区间(0,1)内任取两个实数p,q，且p≠q，不等式f(p+1)−f(q+1)p−q>1恒成立，则实数a的取值范围是 ( )A．[11,+∞) B．[13,+∞) C．[15,+∞) D．[17,+∞)25．已知函数f(x)=x 2+2(1−a)x +(1−a)2,g(x)=x −1，若f (x )和g (x )图象有三条公切线，则a 的取值范围是（ ）A ． a >1+√43B ． a <1+√43C ． 0<a <1+√43D ． 1+√43<a <426．已知函数f(x)={x 22e ， x ≥a ， lnx ， 0<x <a．若对任意实数k ，总存在实数x 0，使得f(x 0)=kx 0成立，求实数a 的取值集合为____．27．若f(x)=e x −ae −x 为奇函数，则满足f(x −1)>1e −e 2的x 的取值范围是（ ）A ． (−2,+∞)B ． (−1,+∞)C ． (2,+∞)D ． (3,+∞)28．若函数f(x)=52ln(x +1)+1a(x+1)−ax 在(0,1)上为增函数，则a 的取值范围为（ ）A ． (−∞,0)∪[14,2]B ． [−1,0)∪[12,1]C ． [−1,0)∪(0,14]D ． (−∞,0)∪[12,1]29．若函数f(x)=52ln(x +1)+1a(x+1)−ax 在(0,1)上为增函数，则a 的取值范围为（ ）A ． (−∞,0)∪[14,2]B ． (−∞,0)∪[12,1]C ． [−1,0)∪(0,14]D ． [−1,0)∪[12,1]30．若函数f(x)=52lnx +1ax −ax −1在(1,2)上为增函数，则a 的取值范围为（ ）A ． (−∞,0)∪[14,2]B ． (−∞,0)∪[12,1]C ． [−1,0)∪(0,14]D ． [−1,0)∪[12,1]31．若函数f(x)={e 2x −2x +a,x >0ax +3a −2,x ≤0在(−∞,+∞)上是单调函数，且f(x)存在负的零点，则a 的取值范围是（ ）A ． (23,1]B ． (23,32]C ． (0,32]D ． (23,+∞)32．已知函数f (x )=2e x +12ax 2+ax +1有两个极值，则实数a 的取值范围为______．四、与不等式恒成立问题有关的参数范围问题含参数的不等式恒成立的处理方法：①的图象永远落在图象的上方；②构造函数法，一般构造，；③参变分离法，将不等式等价变形为，或，进而转化为求函数的最值.题型1.参变分离33．已知函数f(x)=alnx −bx 2，a,b ∈R .若不等式f(x)≥x 对所有的b ∈(−∞,0]，x ∈(e ,e 2]都成立，则a 的取值范围是（ ）A ． [e,+∞)B ． [e 22,+∞)C ． [e 22,e 2)D ． [e 2,+∞)34．已知不等式xy ≤ax 2+2y 2对于x ∈[1,2],y ∈[2,3]恒成立,则a 的取值范围是A ． [1,+∞)B ． [−1,4)C ． [−1,+∞)D ． [−1,6]35．不等式(acos 2x −3)sinx ≥−3对∀x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________（36．已知函数f(x)=2x +1−√4−2x 的定义域为D ，当x ∈D 时，f(x)≤m 恒成立，则实数m 的取值范围是__________()()f x g x >()y f x =()y g x =()()()F x f x g x =-min ()0F x >()a h x >()a h x <()h x37．已知函数f (x )=xlnx ，g (x )=−x 2+ax −3，对一切x ∈(0,+∞)，2f (x )≥g (x )恒成立，则实数a 的取值范围为________.题型2.数形结合38．设函数f(x)=e x (2x −1)−ax +a ，其中，a <1，若存在唯一的整数t ，使得f(t)<0，则a 的取值范围是（ （A ． [−32e ,1)B ． [32e ,1)C ． [−32e ,34)D ． [32e ,34)39．已知函数f(x)={cos (π2+x), x ≤0e x −1, x >0，若f(x)≥ax −1恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ． [0,+∞)B ． [0,e]C ． [0,1]D ． [e,+∞)40．设函数f(x)=lnx +a(x 2−3x +2)，若f(x)>0在区间(1 ， +∞)上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ． [0 ， 1]B ． [−1 ， 0]C ． [0 ， 2]D ． [−1 ， 1]41．已知函数f(x)={a −e x ,x <1x +4x ,x ≥1（e 是自然对数的底）.若函数y =f(x)的最小值是4，则实数a 的取值范围为__________．题型3.构造函数42．已知函数h(x)=alnx +(a −1)x 2+1 (a <0) ，在函数h(x)图象上任取两点A,B ，若直线AB 的斜率的绝对值都不小于5，则实数a 的取值范围是（ （A ． (−∞,0)B ． (−∞,2−3√64] C ． (−∞,−2+3√64] D ． (2−3√64,0)43．设f ′(x)是奇函数f(x)(x ∈R)的导函数，当x >0时，xlnx ⋅f ′(x)<−f(x)，则使得(x 2−2x −8)f(x)>0成立的x 的取值范围是（ ）A ． (−2,0)∪(4,+∞)B ． (−∞,−4)∪(0,2)C ． (−∞,−2)∪(0,4)D ． (−∞,−2)∪(4,+∞)44．设函数f (x )在定义域(0,+∞)上是单调函数，且∀x ∈(0,+∞),f [f (x )−e x +x ]=e ，若不等式f (x )+f′(x )≥ax 对x ∈(0,+∞)恒成立，则a 的取值范围是（ （A ． (−∞,e −2]B ． (−∞,e −1]C ． (−∞,2e −3]D ． (−∞,2e −1]45．设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，当x>0时，xlnx⋅f′(x)<−f(x)，则使得(x2−4)f(x)>0成立的x的取值范围是（）A．(−2,0)∪(0,2)B．(−∞,−2)∪(2,+∞)C．(−2,0)∪(2,+∞)D．(−∞,−2)∪(0,2)46．已知函数f(x)=e xx −ax，x∈(0,+∞)，当x2>x1时，不等式f(x1)x2−f(x2)x1<0恒成立，则实数a的取值范围为A．(−∞,e]B．(−∞,e)C．(−∞,e2)D．(−∞,e2]47．定义在R上的偶函数f(x)的导函数为f′(x)，若对任意的实数x，都有2f(x)+ xf′(x)<2恒成立，则使x2f(x)−f(1)<x2−1成立的实数x的取值范围为（）A．{x|x≠±1}B．(−∞,−1)∪(1,+∞)C．(−1,1)D．(−1,0)∪(0,1)五、对称点、存在性问题48．已知函数f(x)=x2+2x−12(x<0)与g(x)=x2+log2(x+a)的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（）A．(−∞,−√2)B．(−∞,√2)C．(−∞,2√2)D．(−2√2,√22)49．已知函数f(x)={log a x,x>0|x+2|,−3≤x≤0（a>0且a≠1），若函数f(x)的图象上有且仅有两个点关于y轴对称，则a的取值范围是（）A．(0,1)B．(1,3)C．(0,1)∪(3,+∞)D．(0,1)∪(1,3)50．已知函数f(x)={lnx，x>0ax2+x，x<0，其中a>0，若函数y=f(x)的图象上恰好有两对关于y轴对称的点，则实数a的取值范围为____（51．已知函数f(x)=(m+3)(x+m+1)(x+m),g(x)=2x−2，若对任意x∈R，有f(x)>0 或g(x)>0 成立，则实数m的取值范围是____________52．已知f(x)=(x+1)3⋅e−x+1，g(x)=(x+1)2+a，若∃x1,x2∈R，使得f(x2)≥g(x1)成立，则实数a的取值范围是__________．。
考前归纳总结导数中的有关方程根的问题
导数中的有关方程根的问题一、常见基本题型：(1) 判断根的个数问题，常常转化为函数图象的交点个数问题，通过构造函数来求解，例1.已知函数221()ln(1),().1f x x g x a x =+=+-求方程()()f x g x =的根的个数. 解： 令221()()()ln(1)1h x f x g x x a x =-=+--- '2222222211()21(1)1(1)x x h x x x x x x ⎡⎤=+=+⎢⎥+-+-⎣⎦当[0,1)(1,)x ∈⋃+∞时，'()0h x ≥当(,1)(1,0)x ∈-∞-⋃-时，'()0h x <因此，()h x 在(,1),(1,0)-∞--时，()h x 单调递减，在(0,1),(1,)+∞时，()h x 单调递增.又()h x 为偶函数，当(1,1)x ∈-时，()h x 极小值为(0)1h a =-当1x -→-时，()h x →-∞， 当1x +→-时，()h x →+∞当x →-∞时，()h x →+∞， 当x →+∞时，()h x →+∞故()()f x g x =的根的情况为：当10a ->时，即1a <时，原方程有2个根；当10a -=时，即1a =时，原方程有3个根；当10a -<时，即1a >时，原方程有4个根（2）已知方程在给定的区间上解的情况，去求参数的取值范围，另外有关方程零点的 个数问题其实质也是方程根的问题。
例1.已知32()(),(,f x ax bx b a x a b =++-是不同时为零的常数），其导函数为()f x '，（1）求证：函数()y f x '=在(1,0)-内至少存在一个零点；（2）若函数()f x 为奇函数，且在1x =处的切线垂直于直线230x y +-=，关于x的方程1()4f x t =-在[1,](1)t t ->-上有且只有一个实数根，求实数t 的取值 范围.解：（1）证明：因为2()32f x ax bx b a '=++-当0a =时，12x =-符合题意； 当0a ≠时，2321b b x x a a ++-，令b t a =，则2321x tx t ++- 令2()321h x x tx t =++-，11()024h -=-<， 当1t >时，(0)10h t =->， ()y h x ∴=在1(,0)2-内有零点；当1t ≤时，(1)210h t -=-≥>，()y h x ∴=在1(1,)2--内有零点.∴当0a ≠时，()y h x =在(1,0)-内至少有一个零点. 综上可知，函数()y f x '=在(1,0)-内至少有一个零点（2） 因为32()()f x ax bx b a x =++-为奇函数，所以0b =，所以3()f x ax ax =-，2()3f x ax a '=-. 又()f x 在1x =处的切线垂直于直线230x y +-=，所以1a =，即3()f x x x =-.()f x ∴在(,),()33-∞-+∞上是单调递增函数，在[上是单调递减函数，由()0f x =解得1x =±，0x =，由1()4f x x =-解之得0x x ==作()y f x =与14y x =-的图知交点横坐标为02x x =±=当383[(0,){}x ∈时，过14y x =-图象上任意一点向左作平行于 x 轴的直线与()y f x =都只有唯一交点，当x 取其它任何值时都有两个或没有交点。
综合考试常考知识点总结
综合考试常考知识点总结一、数学1.代数与函数代数知识：四则运算、代数式、方程、不等式、函数、导数、积分、极限等。
函数知识：基本初等函数、导数与微分、积分与定积分、微分方程及其解、级数等。
2.几何与空间几何知识：平面几何、立体几何、空间几何、向量、解析几何、几何证明、几何运算等。
空间知识：空间点、向量、坐标变换、曲面与曲线、方向余弦、应用题等。
3.概率论与数理统计概率论知识：概率空间、随机事件、概率的计算、条件概率、独立事件、随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量、随机变量的分布、数学期望、方差等。
数理统计知识：总体与样本、数据描述、参数估计、假设检验、方差分析、相关与回归分析等。
4.常见数学公式与方法常见数学公式：数列与数学、螺线、空间几何作图等。
常见数学方法：数学归纳法、递推法、否定法、逻辑推理法、消元法等。
5.解答办法解答数学题的基本方法：分类讨论、换元法、配方法、化简法、综合利用法、分步综合法等。
二、物理1.力学力学知识：运动学、牛顿运动定律、动能、动量、功、功率、机械能、作用与反作用、平衡条件、简谐运动等。
2.热学热学知识：理想气体状态方程、热力学过程、内能、功、热、热功当量、热容、热传导、热辐射、等温过程等。
3.光学光学知识：光的直线传播、反射率、折射率、光的波动、波动方程、光的干涉、衍射、偏振、光的色散、光的波粒二象性等。
4.电磁学电磁学知识：静电场、静电力、电场强度、电势、电位能、电场中的运动、匀强磁场、洛伦兹力、磁场中的运动、电磁感应、安培环路定理等。
5.原子物理与核物理原子物理知识：原子结构、X射线、原子核、原子核的结构、原子核的辐射、核反应等。
6.解答方法解答物理题的方法：画图分析、正面对待、观察法、分析归纳法、利用规律法等。
三、化学1.离子反应离子反应知识：离子的判定、离子反应的方程式、配位化合物、化学反应的判定及应用等。
2.化学平衡化学平衡知识：氧化还原反应、电化学方程式、化学反应的热力学法、瓦尔登·赫尔姆霍兹方程式等。
高中数学的归纳函数与方程的常见问题解析与解题技巧
高中数学的归纳函数与方程的常见问题解析与解题技巧数学是一门既有理论基础又有实际应用的学科，对于学生们来说，掌握数学知识和解题技巧是非常重要的。
而在高中数学中，归纳函数与方程是常见的知识点，也是学生们经常遇到的难题。
本文将针对这一知识点，对常见问题进行解析，并分享一些解题技巧供读者参考。
一、归纳函数归纳函数是指根据一个或多个已知的函数值，推导出函数的一个或多个性质，并应用到未知的函数值上。
在高中数学中，归纳函数的常见问题主要包括等差数列、等比数列和二次函数。
1. 等差数列问题：等差数列是指数列中相邻两项之间的差值保持不变。
在解决等差数列问题时，我们需要确定首项、公差以及项数，并运用相应的公式。
例如，给定一个等差数列的前三项为2，5，8，求该等差数列的第n项。
解决步骤如下：首先，计算出公差d = 5 - 2 = 3；然后，利用等差数列通项公式an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，n 为项数，d为公差；带入已知信息，我们可以得到an = 2 + (n-1)3。
2. 等比数列问题：等比数列是指数列中相邻两项之间的比值保持不变。
在解决等比数列问题时，我们需要确定首项、公比以及项数，并运用相应的公式。
例如，给定一个等比数列的前三项为3，6，12，求该等比数列的第n项。
解决步骤如下：首先，计算出公比r = 6 / 3 = 2；然后，利用等比数列通项公式an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，n为项数，r为公比；带入已知信息，我们可以得到an = 3 * 2^(n-1)。
3. 二次函数问题：二次函数是指函数表达式为ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数，且a不等于0。
在解决二次函数问题时，我们需要确定函数的相关参数，并注意判别式的正负情况。
例如，给定一个二次函数y = x^2 + 2x + 1，求函数的极值点和图像的开口方向。
解决步骤如下：首先，通过求导数，得到一次函数y' = 2x + 2；然后，使一次函数的导数等于0，解方程2x + 2 = 0，可以求得极值点；接着，通过判别式b^2 - 4ac的正负情况，可以确定图像的开口方向。
初中数学中的函数与导数解题技巧详解
初中数学中的函数与导数解题技巧详解函数和导数是初中数学中的重要概念，它们在解题过程中起到了关键的作用。
本文将为大家详细介绍初中数学中函数与导数的解题技巧。
一、函数解题技巧函数是数学中常见的概念，它描述了一种因果关系。
在解函数相关的题目时，可以采用以下技巧：1. 描述函数关系：首先要明确函数的定义域、值域和函数的性质。
通过对函数的性质进行分析，可以更好地理解函数在题目中的作用。
2. 利用函数图像：函数的图像能够直观地展示函数的性质和规律。
在解题中，我们可以利用函数的图像进行推理，并通过图像上的特点来解决问题。
3. 运用函数的性质：函数的性质是解题的关键。
比如，奇偶性、单调性、周期性等。
在解题过程中，可以根据函数的性质筛选出符合条件的解。
4. 利用函数值：函数的值可以通过计算得到。
在解题时，我们可以通过计算函数的值，得到解的范围或者特定的解。
这样可以帮助我们缩小解的范围，更快地找到答案。
5. 利用函数的变化率：通过计算函数的导数，我们可以得到函数的变化率。
在解题中，可以利用函数的变化率判断函数的增减性，从而帮助我们找到满足条件的解。
二、导数解题技巧导数是函数的一个重要性质，它描述了函数在某一点的变化率。
在解导数相关的题目时，可以采用以下技巧：1. 计算导数：首先要掌握常见函数的导数计算方法，比如常数函数、幂函数、三角函数等。
通过计算导数，我们可以得到函数的变化率。
2. 利用导数的性质：导数具有一些特殊的性质，比如导数为零的点可能是函数的极值点，导数的符号可以反映函数的单调性等。
在解题时，根据导数的性质进行分析和判断，可以更好地解决问题。
3. 运用导数的定义：导数的定义是导数计算的基础，也是解题的关键。
在一些特殊的题目中，我们可以运用导数的定义来求解问题。
4. 利用导数的几何意义：导数还具有几何意义，它等于函数曲线在某一点切线的斜率。
在解题过程中，可以利用导数的几何意义帮助我们理解和分析问题。
总结：函数和导数是初中数学中的重要知识点，掌握函数与导数的解题技巧对于解决数学问题至关重要。
解答含参不等式问题常用的几种方法
考点透视含参不等式问题较为复杂，常与导数、函数、方程等知识相结合.这类问题侧重于考查不等式的性质、简单基本函数的图象和性质、导数的性质等，对同学们的运算和分析能力有较高的要求.下面举例说明解答含参不等式问题的几种常用方法.一、判别式法判别式法主要适用于求解含参二次不等式问题.解答这类问题主要有三个步骤：第一步，根据二次不等式构造一元二次方程；第二步，运用二次方程的判别式，建立关于参数的新不等式；第三步，解新不等式，求得问题的答案.例1.若ax2-2ax+1≥0在R上恒成立，则实数a的取值范围为_____.解：当a=0时，1≥0，不等式ax2-2ax+1≥0成立；当a≠0时，{a>0，Δ≤0，解得0<a≤1；综上所述，实数a的取值范围为0≤a≤1.该二次不等式的二次项和一次项中含有参数，需分a=0和a≠0两种情况进行讨论.运用判别式法求解含参一元二次不等式问题，需先根据不等式构造一元二次函数和一元二次方程；然后根据一元二次方程的根的分布情况，建立关于判别式、根与系数、对称轴的不等式，从而求得参数的取值范围.二、分离参数法分离参数法适用于求解变量和参数可分离的不等式问题.解题时，需先判断出参数系数的正负；然后根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端含有参数、另一端含有变量的不等式；再求出含变量一边的式子的最值；最后求出参数的取值范围.例2.当x∈()1,+∞时，(e x-1-1)ln x≥a(x-1)2恒成立，则实数a的取值范围为_____.解：因为x∈()1,+∞，则x-1>0，由(e x-1-1)ln x≥a(x-1)2，可得e x-1-1x-1⋅ln xx-1≥a，即e x-1-1x-1⋅1x-1ln x≥a，则e x-1-1x-1⋅1e ln x-1ln x≥a，令f()x=e x-1x()x>0，则f′()x=()x-1e x+1x2，令g()x=()x-1e x+1，则g′()x=xe x>0，所以g()x在()0,+∞上单调递增，则g()x>g()0=0，即f′()x>0，所以f()x在()0,+∞上单调递增，则f()x>0，令h()x=ln x-x+1，则h′()x=1-xx<0，则h()x在()1,+∞上单调递减，则h()x<h()1=0，即ln x-x+1<0，则x-1>ln x，所以f()x-1>f()ln x>0，即e x-1-1x-1>eln x-1ln x>0，可得e x-1-1x-1⋅1e ln x-1ln x>1，则a≤1，解答本题，要先将不等式进行整理，使参数和变量分离；再构造出函数f()x=e x-1x()x>0，将问题转化为函数最值问题.对其求导，判断其单调性，即可求得参数的取值范围.三、函数性质法若含参不等式中含有简单基本函数，则可直接将不等式进行变形，将其构造成函数，把问题转化为f(x,a)≥0、f(x,a)<0、f(x,a)≥g(x,a)、f(x,a)<g(x,a)等函数不等式问题.再根据简单基本函数的单调性，以及导数与函数单调性之间的关系，判断出函数的单调性，即可根据函数的单调性，求得函数的最值，顺利求出问题的答案.例3.若不等式sin x-ln()x+1+e x≥1+x+ax2-13x3恒成立，则a的取值范围为_____.解：由x>-1得，sin x-ln(x+1)+e x-x-1-ax2+13x3≥0，设f(x)=sin x-ln(x+1)+e x-x-1-ax2+13x3，则g(x)=f′(x)=cos x-1x+1+e x-1-2ax+x2，则h(x)=g′(x)=-sin x+1(x+1)2+e x-2a+2x，则z(x)=h′(x)=-cos x-2(x+1)3+e x+2，z′(x)=sin x+6(x+1)4+e x，当x>-1时，z′(x)>0，则h(x)单调递增，又当x∈(-1,0)时，z(x)<0，则h(x)单调递减，当x∈(0,+∞)时，z(x)>0，则h(x)单调递增，又h(0)=2-2a，①当2-2a≥0，即1≥a时，h(0)≥0，则当x∈(-1,+∞)孙小芳35考点透视时，h (x )≥0，此时g (x )单调递增，又g (0)=0，故当x ∈(-1,0)时，g (x )<0，则f (x )单调递减，当x ∈(0,+∞)时，g (x )>0时，f (x )单调递增，所以f (x )min =f (0)，又f (0)=0，故f (x )≥0恒成立，满足题意；②当2-2a <0，即a >1时，h (0)<0，x →+∞，h (x )→+∞，故存在x 0>0，且h (x 0)=0，则当x ∈(-1,x 0)时，h (x )<0，则g (x )单调递减，当x ∈(x 0,+∞)时，h (x )>0，所以g (x )单调递增，又g (0)=0，故g (x 0)<0，x →+∞，g (x )→+∞，故存在x 1>x 0，且g (x 1)=0，所以当x ∈(-1,x 1)时，g (x )<0，则f (x )单调递减，又因为f (0)=0，所以f (x )<f (0)=0，与f (x )≥0恒成立不相符；综上所述，a ≤1.根据不等式构造函数f (x )=sin x -ln(x +1)+e x -x -1-ax 2+13x 3，通过多次求导，判断出导函数的符号，进而判断出函数的单调性，求得函数最值.求得使f (x )min ≥0成立时a 的取值范围，即可解题.四、主参换位法主参换位法，也叫反客为主法，适用于解答已知参数的范围求自变量取值范围的不等式问题.解答这类问题一般分三个步骤：第一步，将原不等式转化成关于参数的不等式；第二步，以参数为自变量，构造函数式，将问题转化为函数问题；第三步，根据函数的性质、图象讨论不等式成立的情形，建立关系即可解题.例4.已知函数f ()x =ax 2+bx -6，不等式f ()x ≤0的解集为[]-3,2.若当0≤m ≤4时，不等式mf ()x +6m <x +1恒成立，求实数x 的取值范围．解：由题意知：-3,2是方程ax 2+bx -6=0的根，且a >0，∴ìíîïï-b a=-3+2，-6a=(-3)×2，解得a =1，b =1．∴f ()x =x 2+x -6，∴mf ()x +6m <x +1可变形为()x 2+x m -x -1<0，令g ()m =()x 2+x m -x -1，∴{g (0)<0，g (4)<0，即{-x -1<0，4x 2+3x -1<0，解得ìíîx >-1，-1<x <14，-1<x <14．解答本题主要采用了主参换位法.因为已知参数m 的取值范围，故把m 当成自变量，通过主参换位，将问题转化为g ()m =()x 2+x m -x -1对任意0≤m ≤4恒成立，根据一次函数的性质，列出不等式组，即可解题．五、数形结合法当把不等式两边的式子看成两个函数式时，可根据其几何意义画出两个函数的图象，分析两个曲线间的位置，确保不等式恒成立，即可通过数形结合，求得参数的取值范围.例5.若关于x 的不等式||||kx -4-x 2-3≤3k 2+1恒成立，则k 的取值范围是_____.解：由题意可得4-x 2≥0，得-2≤x ≤2，则||||kx -4-x 2-3≤3k 2+1可转化为：||kx -4-x 23，设直线l :kx -y -3=0，上半圆C :x 2+y 2=4()y >0，即y =4-x 2，半径为r =2，||kx -4-x 2≤3表示圆C 小于或等于3，如图，设圆心（原点O ）到直线l 的距离为d ，由于圆C 上半部分上的点到直线l 的最大距离为d +r =d +2，所以d +2≤3，即d ≤1，即||0-0-3k 2+1≤1，解得k ≤-22或k ≥22，所以k 的取值范围为(]-∞,-22⋃[)22,+∞.解答本题，需挖掘代数式的几何意义，采用数形结合法，将原问题转化为使圆C 上半部分上的任意一点到直线l 的距离小于或等于3时参数的取值范围.分析直线与圆的位置关系，便可建立新不等式.由此可见，求解含参不等式问题的方法多样.但由于不等式与函数的关系紧密，且利用函数的单调性和图象容易建立不等关系式，因此函数思想是破解含参不等式问题的主要思想.（作者单位：江苏省南京市大厂高级中学）36。
考点18导数与函数的极值、最值(2种核心题型)(学生版) 2025年高考数学大一轮复习(新高考版)
考点18导数与函数的极值、最值（2种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）【考试提醒】1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值.3.掌握利用导数研究函数最值的方法.4.会用导数研究生活中的最优化问题．【知识点】1．函数的极值(1)函数的极小值函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧，右侧，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)函数的极大值函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧，右侧，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．(3)极小值点、极大值点统称为，极小值和极大值统称为．2．函数的最大(小)值(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：①求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的；②将函数y＝f(x)的各极值与比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．常用结论对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件【核心题型】题型一 利用导数求解函数的极值问题根据函数的极值(点)求参数的两个要领(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；(2)验证：求解后验证根的合理性．命题点1 根据函数图象判断极值【例题1】（2024·四川广安·二模）已知函数()()1e xf x ax =+，给出下列4个图象：其中，可以作为函数()f x 的大致图象的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【变式1】（23-24高三上·黑龙江·阶段练习）如图是函数()y f x =的导函数()y f x ¢=的图象，下列结论正确的是（ ）A ．()y f x =在=1x -处取得极大值B ．1x =是函数()y f x =的极值点C ．2x =-是函数()y f x =的极小值点D ．函数()y f x =在区间()1,1-上单调递减【变式2】（2023·河北·模拟预测）函数4211()f x x x =-的大致图象是（ ）A ． B ．C ．D ．【变式3】（2024高三·全国·专题练习）已知函数f （x ）的导函数f ′（x ）的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线斜率小于零B ．函数f （x ）在区间（－1，1）上单调递增C ．函数f （x ）在x ＝1处取得极大值D ．函数f （x ）在区间（－3，3）内至多有两个零点命题点2 求已知函数的极值【例题2】（2024·宁夏银川·一模）若函数()2()2e xf x x ax =--在2x =-处取得极大值，则()f x 的极小值为（ ）A ．26e -B ．4e-C ．22e -D ．e-【变式1】（2023·全国·模拟预测）函数()2tan πf x x x =--在区间ππ,22æö-ç÷èø的极大值、极小值分别为（ ）A ．π12+，π12-+B ．π12-+，3π12-+C ．3π12-，π12-+D ．π12--，3π12-+【变式2】（多选）（2024·全国·模拟预测）已知2e ,0,()41,0,xx f x x x x x ì>ï=íï---£î则方程2()(3)()30f x k f x k -++=可能有（ ）个解.A ．3B ．4C ．5D ．6【变式3】（2024·辽宁鞍山·二模）()2e xf x x -=的极大值为 ．命题点3 已知极值(点)求参数【例题3】（2024·全国·模拟预测）设12,x x 为函数()()()2f x x x x a =--（其中0a >）的两个不同的极值点，若不等式()()120f x f x +³成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[]1,4B ．(]0,4C ．()0,1D ．()4,+¥【变式1】（2024·四川绵阳·三模）若函数()()21ln 02f x ax x b x a =-+¹有唯一极值点，则下列关系式一定成立的是（）A ．0,0a b ><B ．0,0a b <>C ．14ab <D ．0ab >【变式2】（2024·辽宁·一模）已知函数()322f x x ax bx a =+++在=1x -处有极值8，则()1f 等于 ．【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知函数()()2ln 2f x x x ax a =-+-ÎR ．(1)若()f x 的极值为－2，求a 的值；(2)若m ，n 是()f x 的两个不同的零点，求证：()0f m n m n ¢+++<．题型二 利用导数求函数最值求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f (x )的最值．命题点1 不含参函数的最值【例题4】（2024·陕西·模拟预测）[]1,2x "Î，有22ln a x x x ³-+恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[)e,+¥B ．[)1,+¥C ．e ,2éö+¥÷êëøD ．[)2e,+¥【变式1】（2024·四川·模拟预测）已知 ()()22ln f x x x a x x =-+-，若存在(]0,e 0x Î，使得()00f x £成立，则实数a 的取值范围是.【变式2】（2024·上海徐汇·二模）如图，两条足够长且互相垂直的轨道12,l l 相交于点O ，一根长度为8的直杆AB 的两端点,A B 分别在12,l l 上滑动（,A B 两点不与O 点重合，轨道与直杆的宽度等因素均可忽略不计），直杆上的点P 满足OP AB ^，则OAP △面积的取值范围是 .【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知函数()ln f x x =．(1)求函数()()f xg x x=的最值．(2)证明：()2431e 3e e 044xx x x f x ---->（其中e 为自然对数的底数）．命题点2 含参函数的最值【例题5】（2024·四川成都·模拟预测）已知函数21()e (R)2(1)xf x x bx a b a =--Î+，没有极值点，则1ba +的最大值为（ ）A B ．e 2C ．eD ．2e 2【变式1】（23-24高三下·重庆·阶段练习）若过点(),a b 可以作曲线ln y x =的两条切线，则（ ）A ．ln b a>B ．ln b a<C ．0a <D ．e ab >【变式2】．（2024·全国·模拟预测）函数()()()2ln 1f x x x ax =++-只有3个零点1x ，2x ，3x ()1233x x x <<<，则2a x +的取值范围是 ．【变式3】（2024·北京海淀·一模）已知函数12()e a x f x x -=.(1)求()f x 的单调区间；(2)若函数2()()e ,(0,)g x f x a x -=+Î+¥存在最大值，求a 的取值范围.【课后强化】基础保分练一、单选题1．（2023·广西·模拟预测）函数()3f x x ax =+在1x =处取得极小值，则极小值为（ ）A ．1B ．2C ．2-D ．1-2．（2024·四川凉山·二模）若()sin cos 1f x x x x =+-，π,π2x éùÎ-êúëû，则函数()f x 的零点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．33．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）在同一平面直角坐标系内，函数()y f x =及其导函数()y f x =¢的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为()0,1，则（ ）A ．函数()e xy f x =×的最大值为1B ．函数()e xy f x =×的最小值为1C ．函数()exf x y =的最大值为1D ．函数()e xf x y =的最小值为14．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数()2e e 2x xf x a b x =++有2个极值点，则（ ）A ．2016b a <<B ．0b >C ．4a b <D ．2b a>5．（2024·全国·模拟预测）已知函数()()sin cos e xa f x x x x +=+在()0,π上恰有两个极值点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．π4e æöç÷ç÷èøB ．()π,e-¥C ．()π0,eD ．π4e ,ö÷÷ø+¥二、多选题6．（2024·全国·模拟预测）已知函数()e xbf x a x=+在定义域内既存在极大值点又存在极小值点，则（ ）A ．0ab > B ．24e b a £C ．24e 0a b ->D ．对于任意非零实数a ，总存在实数b 满足题意7．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知各项都是正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且122n n na S a =+，则下列结论正确的是（ ）A ．当()*m n m n >ÎN ，时，m na a >B ．212n n n S S S +++<C ．数列{}2n S 是等差数列D ．1ln n nS n S -³三、填空题8．（2024·上海黄浦·二模）如图是某公园局部的平面示意图，图中的实线部分（它由线段,CE DF 与分别以,OC OD 为直径的半圆弧组成）表示一条步道.其中的点,C D 是线段AB 上的动点，点O 为线段,AB CD 的中点，点,E F 在以AB 为直径的半圆弧上，且,OCE ÐODF Ð均为直角.若1AB =百米，则此步道的最大长度为百米.9．（2023·江西赣州·模拟预测）当0x =时，函数()e x f x a bx -=+取得极小值1，则a b +=.四、解答题10．（2023·河南洛阳·一模）已知函数()211122f x x x =++．(1)求()f x 的图像在点()()22f ,处的切线方程；(2)求()f x 在1,22éùêúëû上的值域．11．（2024·上海静安·二模）已知R k Î，记()x x f x a k a -=+×（0a >且1a ¹）．(1)当e a =（e 是自然对数的底）时，试讨论函数()y f x =的单调性和最值；(2)试讨论函数()y f x =的奇偶性；(3)拓展与探究：① 当k 在什么范围取值时，函数()y f x =的图象在x 轴上存在对称中心？请说明理由；②请提出函数()y f x =的一个新性质，并用数学符号语言表达出来．（不必证明）综合提升练一、单选题1．（2024·全国·模拟预测）若函数()()1ln 1f x x x ax =+-+是()0,¥+上的增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(],2ln 2-¥B ．(]0,2ln 2C ．(],2-¥D ．(]0,22．（2024·陕西渭南·模拟预测）已知函数()e x f x x a =+在区间[]0,1上的最小值为1，则实数a 的值为（ ）A ．-2B ．2C ．-1D ．13．（23-24高三下·内蒙古赤峰·开学考试）已知函数()ln f x x x ax =-有极值e -，则=a （ ）A ．1B ．2C ．eD ．34．（2024·广东佛山·二模）若函数()24ln bf x a x x x =++（0a ¹）既有极大值也有极小值，则下列结论一定正确的是（ ）A ．a<0B ．0b <C ．1ab >-D ．0a b +>5．（2023·甘肃兰州·一模）已知函数()2e ln 2xx f x x =+-的极值点为1x ，函数()ln 2x h x x =的最大值为2x ，则（ ）A ．12x x >B ．21x x >C ．12x x ³D ．21x x ³6．（2024·全国·模拟预测）记函数()y f x =的导函数为y ¢，y ¢的导函数为y ¢¢，则曲线()y f x =的曲率()3221y K y ¢¢=éù+ëû¢．则曲线ln y x =的曲率的极值点为（ ）ABCD7．（2024·北京朝阳·一模）已知n 个大于2的实数12,,,n x x x ×××，对任意()1,2,,i x i n =×××，存在2i y ³满足i i y x <，且i i y x i i x y =，则使得12115n n x x x x -++×××+£成立的最大正整数n 为（ ）A ．14B ．16C ．21D ．238．（2023·河南洛阳·模拟预测）已知函数()f x 及其导函数()f x ¢的定义域均为R ，且()()()22e ,00x f x f x x f ¢-==，则()f x （ ）A ．有一个极小值点，一个极大值点B ．有两个极小值点，一个极大值点C ．最多有一个极小值点，无极大值点D ．最多有一个极大值点，无极小值点二、多选题9．（2023·全国·模拟预测）对函数()f x ，()g x 公共定义域内的任意x ，若存在常数M ÎR ，使得()()f x g x M -£恒成立，则称()f x 和()g x 是M -伴侣函数，则下列说法正确的是（ ）A ．存在常数M ÎR ，使得()()2log 5f x x =与()125log g x x=是M -伴侣函数B ．存在常数M ÎR ，使得()13x f x +=与()13x g x -=是M -伴侣函数C ．()ln f x x =与()2g x x =+是1-伴侣函数D ．若()()f x g x ¢¢=，则存在常数M ÎR ，使得()f x 与()g x 是M -伴侣函数10．（2024·全国·模拟预测）已知函数()()2e =++xf x ax bx c 的极小值点为0，极大值点为()0m m >，且极大值为0，则（ ）A ．2m =B ．4b a=C ．存在0x ÎR ，使得()00f x >D ．直线3y a =与曲线()y f x =有3个交点11．（2024·全国·模拟预测）已知函数()()2ln e e x f x a b a x =+-，其中e 为自然对数的底数，则（ ）A ．若()f x 为减函数，则()00f <B ．若()f x 存在极值，则e 1b a >C ．若()10f =，则ln2b >D ．若()0f x ³，则b a³三、填空题12．（2022·广西·模拟预测）已知函数()21xx x f x e++=，则()f x 的极小值为 .13．（2023·广东汕头·一模）函数()36f x ax x =-的一个极值点为1，则()f x 的极大值是 ．14．（2024·上海闵行·二模）对于任意的12x x ÎR 、，且20x >，不等式1122e ln x x x x a -+->恒成立，则实数a 的取值范围为 .四、解答题15．（2024·安徽·二模）已知函数2()103(1)ln f x x x f x ¢=-+.(1)求函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；(2)求()f x 的单调区间和极值.16．（2024·海南·模拟预测）已知函数()2ln 1,f x x a x a =-+ÎR .(1)当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；(2)当0a >时，若函数()f x 有最小值2，求a 的值.17．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数ln 1()ex f x x =-．(1)求()f x 的最大值；(2)证明：当0x >时，()e x f x x <．18．（2024·福建·模拟预测）已知函数()ln f x a x bx =-在()()1,1f 处的切线在y 轴上的截距为2-．(1)求a 的值；(2)若()f x 有且仅有两个零点，求b 的取值范围．19．（2024·全国·模拟预测）已知函数()()21e 2e 22xx f x a ax =+--．(1)若曲线()y f x =在30,2a æö-ç÷èø处的切线方程为4210ax y ++=，求a 的值及()f x 的单调区间．(2)若()f x 的极大值为()ln2f ，求a 的取值范围．(3)当0a =时，求证：()2535e ln 22x f x x x x +->+．拓展冲刺练一、单选题1．（2023·湖南衡阳·模拟预测）若曲线()(0)kf x k x=<与()e x g x =有三条公切线，则k 的取值范围为（ ）A ．1,0e æö-ç÷èøB ．1,eæö-¥-ç÷èøC ．2,0e æö-ç÷èøD ．2,e æö-¥-ç÷èø2．（2023·河南·三模）已知函数2()ln f x x x =，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 在=x 12e -B ．()f x 在x =e2C ．()f x 在=x 12e -D ．()f x 在x =e 23．（2023·湖北·模拟预测）设函数3()22f x x x =-，若正实数a 使得存在三个两两不同的实数b ，c ，d 满足(,())a f a ，(,())b f b ，(,())c f c ，(,())d f d 恰好为一个矩形的四个顶点，则a 的取值范围为（ ）A ．10,2æùçúèûB ．1,12éùêúëûC ．æçèD ．ùúû4．（2024·湖北·二模）已知函数()1e e e x x xaxf x x +=++（e 为自然对数的底数）．则下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 的定义域为RB ．若函数()f x 在()()0,0P f 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为2e 2e 2-，则1a =C ．当1a =时，()f x m =可能有三个零点D ．当1a =时，函数的极小值大于极大值二、多选题5．（2023·安徽·一模）已知函数()()3R f x x x x =-Î，则（ ）A ．()f x 是奇函数B ．()f x 的单调递增区间为,æ-¥ççè和ö¥÷÷ø+C ．()f xD ．()f x 的极值点为,æççè6．（2024·浙江杭州·二模）过点()2,0P 的直线与抛物线C ：24y x =交于,A B 两点．抛物线C 在点A 处的切线与直线2x =-交于点N ，作NM AP ^交AB 于点M ，则（ ）A ．直线NB 与抛物线C 有2个公共点B ．直线MN 恒过定点C ．点M 的轨迹方程是()()22110x y x -+=¹D ．3MN AB的最小值为三、填空题7．（2024·全国·模拟预测）函数()()2ln ln f x x k x x k =-++在定义域内为增函数，则实数k的取值范围为 ．8．（2023·江苏淮安·模拟预测）已知函数()2ln f x x ax =-有三个零点，则a 的取值范围是 .四、解答题9．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）已知函数()()21e x f x x ax =--，R a Î.(1)当e2a =时，求()f x 的单调区间；(2)若方程()0f x a +=有三个不同的实根，求a 的取值范围．10．（2024·山西吕梁·二模）已知函数()()2ln 20a f x a x x a x =--¹.(1)当1a =时，求()f x 的单调区间和极值；(2)求()f x 在区间(]0,1上的最大值.。
导数中的不等式问题的解题策略
导数中的不等式问题的解题策略导数的综合问题是高考数学的压轴题之一，其包含信息量大，计算繁琐，对学生的思维能力要求较高，令很多同学望而生畏，造成严重失分。
而利用导数解决不等式问题更是压轴题中的压轴题，很多同学直接选择放弃，其实导数中的不等式问题并不像很多同学想象的那样，只是我们缺少对它的研究才觉得它高不可攀,下面我们通过具体的实例来分析导数中的不等式问题，解密其隐藏的规律轻松解决导数中的不等式问题。
1。
承上启下型在解决导数问题中的不等式时，经常会出现这样一类问题，其证明需要应用到前一问的结论。
由前一问的结论得到一个不等式，再根据其与要证明的不等式的关系进行证明，这类题在证明的过程中也经常应用到一些常见的结论,如：ln(1),1xx x e x +≤≥+等。
例1。
已知(),P x y 为函数1ln y x =+图象上一点，O 为坐标原点，记直线OP 的斜率()k f x =.（I ）若函数()f x 在区间1,3m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()0m >上存在极值,求实数m 的取值范围； (II)当 1x ≥时，不等式()1t f x x ≥+恒成立，求实数t 的取值范围； （III)求证()()()22*1!1n n n en N -+>+∈⎡⎤⎣⎦。
分析：本题考查了函数的极值、恒成立问题及不等式的证明。
（I)由极值的定义其极值点,极值点在1,3m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭内，从而确定m 的范围。
（II)分离参数t,利用导数求最值。
（III)利用第（II)问的结论结合所要证明的不等式的特点进行适当的放缩求解。
解:(Ⅰ）由题意()1ln x k f x x +==，0x > 所以()21ln ln x x f x x x '+⎛⎫'==- ⎪⎝⎭当01x <<时，()0f x '>；当1x >时,()0f x '<。
所以()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减. 故()f x 在1x =处取得极大值 因为函数()f x 在区间1,3m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（其中0m >)上存在极值, 所以01113m m <<⎧⎪⎨+>⎪⎩得213m <<。
导数中的含参问题总结
导数中的含参问题总结什么是导数在微积分中，导数是描述函数变化率的概念。
它是一个数值，表示函数在某一点上的瞬时变化率。
导数可以帮助我们研究函数的性质和行为。
导数的含参问题当函数中出现参数（常量）时，我们称之为含参问题。
在导数中，含参问题是经常遇到的，因为函数往往不仅仅是与自变量有关，还可能与其他参数相关。
下面总结了导数中的常见含参问题及其解决方法。
1. 含参函数的导数问题描述对于含参函数f(x;a)，求其对自变量x的导数。
解决方法对于含参函数f(x;a)，我们可以通过求偏导数的方式来求其对自变量x的导数。
偏导数是将函数中除了自变量x之外的参数视为常量，对x求导。
例如，对于函数f(x;a)=x2+ax，我们可以求出其对x的导数为f′(x;a)=2x+a。
2. 含参数的求导法则问题描述如何处理含有参数的复合函数、乘积函数和商函数的求导问题？解决方法对于含参数的复合函数，我们可以使用链式法则进行求导。
链式法则告诉我们，对于复合函数y=f(g(x))，其导数可以通过将外函数对内函数求导，并乘以内函数对自变量求导的结果。
对于含有参数的乘积函数，我们可以使用乘积法则进行求导。
乘积法则告诉我们，对于函数y=u(x)v(x)，其导数可以通过将u(x)对x求导后与v(x)进行乘法，再加上将v(x)对x求导后与u(x)进行乘法。
对于含有参数的商函数，我们可以使用商法则进行求导。
商法则告诉我们，对于函数 $y = \\frac{u(x)}{v(x)}$，其导数可以通过将u(x)对x求导后与v(x)进行乘法，再减去将v(x)对x求导后与u(x)进行乘法，然后除以v(x)的平方。
3. 含参数的隐函数求导问题描述对于含有参数的隐函数，如何求其导数？解决方法对于含有参数的隐函数，我们可以使用隐函数求导法进行求导。
隐函数求导法告诉我们，对于方程F(x,y;a)=0所定义的隐函数y=f(x;a)，其导数可以通过将y对x求导，并将x和y的导数代入方程F(x,y;a)=0中，解得。
函数与导数解题方法知识点技巧总结材料
函数与导数解题方法知识点技巧总结1. 高考试题中，关于函数与导数的解答题(从宏观上)有以下题型： 〔1〕求曲线()y f x =在某点出的切线的方程 〔2〕求函数的解析式〔3〕讨论函数的单调性，求单调区间 〔4〕求函数的极值点和极值 〔5〕求函数的最值或值域 〔6〕求参数的取值X 围 〔7〕证明不等式 〔8〕函数应用问题2. 在解题中常用的有关结论〔需要熟记〕：〔1〕曲线()y f x =在0x x =处的切线的斜率等于0()f x '，且切线方程为000()()()y f x x x f x '=-+。
〔2〕假如可导函数()y f x =在0x x =处取得极值，如此0()0f x '=。
反之不成立。
〔3〕对于可导函数()f x ，不等式()0(0)f x '><的解是函数()f x 的递增〔减〕区间。
〔4〕函数()f x 在区间I 上递增〔减〕的充要条件是：,()0(0)x I f x '∀∈≥≤恒成立〔()f x '不恒为0〕. 〔5〕假如函数()f x 在区间I 上有极值，如此方程()0f x '=在区间I 上有实根且非二重根。
〔假如()f x '为二次函数且I R =，如此有0∆>〕。
〔6〕假如函数()f x 在区间I 上不单调且不为常量函数,如此()f x 在I 上有极值。
〔7〕假如,()0x I f x ∀∈>恒成立，如此min ()0f x >；假如,()0x I f x ∀∈<恒成立，如此max ()0f x < 〔8〕假如0x I ∃∈使得0()0f x >，如此max ()0f x >；假如0x I ∃∈使得0()0f x <，如此min ()0f x <. 〔9〕设()f x 与()g x 的定义域的交集为I ，假如,()()x I f x g x ∀∈>恒成立，如此有min [()()]0f x g x ->. 〔10〕假如对112212,,()()x I x I f x g x ∀∈∈>恒成立，如此min max ()()f x g x >.假如对1122,x I x I ∀∈∃∈，使得12()()f x g x >，如此min min ()()f x g x >. 假如对1122,x I x I ∀∈∃∈，使得12()()f x g x <，如此max max ()()f x g x <.〔11〕()f x 在区间1I 上的值域为A ,()g x 在区间2I 上值域为B ，假如对1122,x I x I ∀∈∃∈使得12()()f x g x =成立，如此A B ⊆。
导数方法解决函数不等式的综合问题
利用导数证明不等式
导数与不等式证明的 关系
通过构造函数并利用导数的性质， 可以证明某些不等式成立。
证明步骤
首先根据不等式构造一个适当的 函数，然后利用导数的性质分析 该函数的性质，从而证明原不等 式。
示例
证明不等式$e^xgeq x+1$对任 意实数$x$成立。构造函数 $f(x)=e^x-(x+1)$，求导得到 $f'(x)=e^x-1$。当$x<0$时， $f'(x)<0$，函数单调递减；当 $x>0$时，$f'(x)>0$，函数单调 递增。因此，函数在$x=0$处取 得最小值0，即$f(x)geq 0$恒成 立，从而证明了原不等式。
利用导数求最值
导数与函数最值的关系
求解步骤
示例
当函数在某点处取得极值时，该点处 的导数为0或不存在。通过求解导数 等于0的点，可以找到函数的潜在极 值点。
首先求出函数的导数，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ后令导数等 于0解出潜在极值点，最后通过比较 这些点的函数值来确定最值。
求函数$f(x)=x^3-3x^2+4$在区间$[-2,3]$内 的最大值和最小值。通过求导得到 $f'(x)=3x^2-6x$，令$f'(x)=0$解得$x=0$或 $x=2$。比较这两点及区间端点的函数值，得 到最大值为$f(3)=4$，最小值为$f(0)=4$。
03
函数不等式类型及解法
一元函数不等式解法
确定函数单调性
通过求导判断函数的单调性，从而确定不等式的解集 范围。
寻找临界点
令导数等于零，找到函数的临界点，判断函数在这些 点的变化情况。
判断函数值
根据临界点将函数分成若干区间，判断每个区间上函 数的正负，从而得到不等式的解集。