熵权法
熵权法
熵权法的概述 熵权法的基本原理 熵权法的计算步骤 熵权法的适用范围及优缺点
一、熵权法的概述
熵的概念源于热力学,表示不能用来做功的热能为 热能的变化量除以温度所得的商。
在信息论中，信息是系统有序程度的一个度量， 熵是系统无序程度的一个度量。二者绝对值相等，方 向相反。
熵是对不确定信息的度量，如果一个指标的信息 熵越小，该指标提供的信息量越大，在综合评价中所 起的作用理应越大，权重就应该越高。
若系统可能处于多种不同的状态。而每种状态 出现的概率为 fi （i=1,2,……,m）时，则该系 统的熵就定义为：
m
H j fi ln fi i 1
现有m个待评项目，n个评价指标，形成原始评
价矩阵 R rij mn 。对于某个指标j的信息熵：
m
Hj
fij ln fij， fij rij / m rij
j
j wj
n
j wj
j 1
当各备选项目在指标j上的值完全相同时,该指 标的熵达到最大值1,其熵权为零。这说明该指标未 能向决策者供有用的信息,即在该指标下,所有的备 选项目对决策者说是无差异的,可考虑去掉该指标。 熵权并非实际意义上的重要性系数，而是各指标在 竞争意义上的相对激烈程度系数。
1、确定评价对象,建立评价指标体系,构造指标水
平矩阵 R 。
r11
R
r21 rm1
r12 r22 rm 2
r1n
r2n
rmn
mn
2、对评价矩阵R 进行标准化处理得矩阵 R rij mn
j为正指标： j为负指标：
i 1
i 1
从信息熵的公式可以看出：
熵权法
一、熵权法介绍熵最先由申农引入信息论，目前已经在工程技术、社会经济等领域得到了非常广泛的应用。
熵权法的基本思路是根据指标变异性的大小来确定客观权重。
一般来说，若某个指标的信息熵越小，表明指标值得变异程度越大，提供的信息量越多，在综合评价中所能起到的作用也越大，其权重也就越大。
相反，某个指标的信息熵越大，表明指标值得变异程度越小，提供的信息量也越少，在综合评价中所起到的作用也越小，其权重也就越小。
二、熵权法赋权步骤1.数据标准化将各个指标的数据进行标准化处理。
假设给定了k个指标，其中。
假设对各指标数据标准化后的值为，那么。
2.求各指标的信息熵根据信息论中信息熵的定义，一组数据的信息熵。
其中，如果，则定义。
3.确定各指标权重根据信息熵的计算公式，计算出各个指标的信息熵为。
通过信息熵计算各指标的权重：。
三、熵权法赋权实例1.背景介绍某医院为了提高自身的护理水平，对拥有的11个科室进行了考核，考核标准包括9项整体护理，并对护理水平较好的科室进行奖励。
下表是对各个科室指标考核后的评分结果。
但是由于各项护理的难易程度不同，因此需要对9项护理进行赋权，以便能够更加合理的对各个科室的护理水平进行评价。
2.熵权法进行赋权1）数据标准化根据原始评分表，对数据进行标准化后可以得到下列数据标准化表表2 11个科室9项整体护理评价指标得分表标准化表根据信息熵的计算公式，可以计算出9项护理指标各自的信息熵如下：表3 9项指标信息熵表根据指标权重的计算公式，可以得到各个指标的权重如下表所示：表4 9项指标权重表3.对各个科室进行评分根据计算出的指标权重，以及对11个科室9项护理水平的评分。
设Z l为第l 个科室的最终得分，则，各个科室最终得分如下表所示表5 11个科室最终得分表。
熵权法
r
i 1
ij
（1）
(2)计算第j个指标的熵值 e j ：
e j k pij ln pij
i 1 m
其中
k 1 ln m
（2）
(3)计算第j个指标的熵权 w j ：
w j (1 e j )
(1 e )
j 1 j
n
（3）
(4)确定指标的综合权数 j：
si 3. 计算对象到理 评价对象到理想点的距离 S+为 想解和负理想解 评价对象到负理想点的距离 S- si 的距离 为
v
j 1 n j 1
n
ij
vj 2, i 1,2,...,m （
5） vij vj 2, i 1,2,...,m（6）
2
在具体应用时：
可根据各指标值的变异程度，利用熵来计算各指标的 熵权，利用各指标的熵权对所有的指标进行加权，从而得
出较为客观的评价结果
利用熵权法计算权重
•
我们将综合指标的重要性和指标提供的信息量这 两方面来确定各指标的最终权重。 现有m个待评项目，n个评价指标，形成原始数据 矩阵 R rij ：
指标上比其他项目更优。本例就是在表 1 的基础上对各项
目进行分析、评价和排序的。
表 1工程质量评价指标数据表 评价 指标 强度 78 87 82 防火 86 90 84 抗震 89 86 85 通风 84 89 82 采光 86 82 80 隔音 82 91 86 隔热 86 80 84 社会 环境 82 89 79 生态 环境 84 88 80 基础 设施 88 85 81
2. 确定理想 解 V+和负理 想解 V-
熵权法算法介绍
熵权法算法介绍熵权法是一种多指标综合评价方法，最早由我国学者贾樟柯于1988年提出。
它采用信息熵理论中的熵值概念，将各指标的权重进行分配。
熵权法算法的主要特点是能够在具有不确定性和不完备信息的情况下，更加科学、客观、合理地评估各指标的重要性。
一、熵值概念熵值是指能量散失的程度，即不确定性、混乱程度。
信息熵越大，说明系统的混乱程度越大。
在熵值计算中，熵值越大，对应的指标权重越小。
因此，每个指标的熵值越大，说明该指标在评价体系中的作用越小；反之，熵值越小，说明该指标在评价体系中的作用越大。
二、熵权法算法步骤1. 收集指标数据。
将需要评估的关键指标进行收集，并将其转化为数值形式，方便计算。
2. 计算指标权重。
通过信息熵公式计算每个指标的熵值，并将其与其他指标的熵值比较。
每个指标的权重按照其熵值的大小进行分配。
3. 计算评价结果。
根据指标权重和指标数据，计算出综合评价结果，从而得出最终的评估结论。
三、熵权法算法优缺点优点：1. 熵权法算法能够考虑各指标之间的相互关系，并综合考虑多个指标的作用；2. 熵权法算法可以很好地适应评价对象的特点和不同需求，能够提高评价结果的总体客观性和可信度；3. 熵权法算法适用于具有不确定性和不完备信息的情况下，能够较好地避免主观因素的影响。
缺点：1. 熵权法算法需要进行繁琐的计算过程，相对来说比较复杂；2. 熵权法算法依赖于指标数据的选取和处理，如果数据选取存在偏差，会影响最终评价的结果。
四、熵权法算法应用熵权法算法已经广泛应用于企业综合评价、环境评价、质量控制等领域。
在企业的投资决策、质量管理、市场分析等方面，都有很好的应用效果。
总之，熵权法算法是一种非常有用的多指标综合评价方法，能够在不确定性和不完备信息的情况下，更加科学、客观、合理地评估各指标的重要性。
随着评价体系的深入研究和不断完善，相信熵权法算法在实践中的应用会越来越广泛。
熵权法-指标权重确定
熵权法的原理
熵权法的基本原理是利用信息熵的性 质，对指标进行客观的权重赋值。
信息熵是信息论中的概念，表示系统 的不确定性和无序程度。在熵权法中 ，信息熵用于度量指标的离散程度和 重要性程度。
熵权法的应用领域
熵权法广泛应用于多属性决策分析、综合评价、预测等领域 。
在城市管理、环境监测、经济评价、农业规划等领域，熵权 法被广泛应用于确定各指标的权重，为决策提供科学依据。
案例二：企业绩效评价
总结词
熵权法在企业绩效评价中，能够综合考 虑各项财务和非财务指标，客观地确定 各指标的权重，为企业绩效评价提供全 面、准确的评估结果。
VS
详细描述
熵权法通过计算各指标的信息熵，判断各 指标的离散程度，从而确定各指标的权重 。在企业绩效评价中，可以利用熵权法对 企业的盈利能力、营运能力、偿债能力等 各个方面的指标进行评价，确定各指标的 重要程度和贡献度，为企业绩效评价提供 全面、准确的评估结果。
总结词
熵权法在城市可持续发展评价中，能够根据各项指标的实际数据客观地确定各指标的权重，为城市可 持续发展提供科学依据。
详细描述
熵权法通过计算各指标的信息熵，判断各指标的离散程度，从而确定各指标的权重。在城市可持续发 展评价中，可以利用熵权法对城市的经济、社会、环境等各个领域进行评价，确定各领域的重要程度 和发展潜力，为城市可持续发展提供科学依据。
Delphi法
通过匿名方式征询专家意见，经 过多轮反馈和调整，最终形成较 为一致的指标权重。
客观权重法
主成分分析法
通过降维技术，将多个指标转化为少 数几个主成分，以各主成分的方差贡 献率确定指标权重。
因子分析法
通过提取公共因子，以各公共因子对 总体的贡献率确定指标权重。
熵权法
r
i 1
ij
（1）
(2)计算第j个指标的熵值 e j ：
e j k pij ln pij
i 1 m
其中
k 1 ln m
（2）
(3)计算第j个指标的熵权 w j ：
w j (1 e j )
(1 e )
j 1 j
n
（3）
8
(4)确定指标的综合权数 j：
指标上比其他项目更优。本例就是在表 1 的基础上对各项
目进行分析、评价和排序的。
表 1工程质量评价指标数据表 评价 指标 强度 78 87 82 防火 86 90 84 抗震 89 86 85 通风 84 89 82 采光 86 82 80 隔音 82 91 86 隔热 86 80 84 社会 环境 82 89 79 生态 环境 84 88 80 基础 设施 88 85 81
2
在具体应用时：
可根据各指标值的变异程度，利用熵来计算各指标的 熵权，利用各指标的熵权对所有的指标进行加权，从而得
出较为客观的评价结果
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利用熵权法计算权重
•
我们将综合指标的重要性和指标提供的信息量这 两方面来确定各指标的最终权重。 现有m个待评项目，n个评价指标，形成原始数据 矩阵 R rij ：
2. 确定理想 解 V+和负理 想解 V-
V
min v
房地产
项目建设工程的质量评
价涉及很多内容。我们的例子是根据工
程建设质量控制的关键点，参考有关研
究资料，从安全性、适用性和协调性三
个方面建立了房地产项目建设工程质量
评价标体系。如下图
11
工程质量评价指标体系
指标权重确定方法之熵权法(计算方法
指标权重确定方法之熵权法(计算方法熵权法（Entropy Weighting Method）是一种常用的指标权重确定方法，它通过计算指标数据的熵值来确定指标的权重。
熵值体现了指标数据的离散程度，离散程度越大，熵值越大，即指标的重要性越高。
熵值的计算方法如下：设有n个指标，每个指标有m个样本，设第i个指标的第j个样本为Xij，熵值计算公式为：Ei = - (Xij * ln(Xij)）其中，i表示指标的序号，j表示样本的序号，ln表示自然对数。
计算完每个指标的熵值后，进一步对熵值进行归一化处理，得到权重。
具体的计算步骤如下：1.归一化处理：将指标数据进行归一化处理，将其范围限定在(0,1)之间。
2.计算指标熵值：按照上述公式，计算每个指标的熵值。
3.计算指标权重：将每个指标的熵值除以所有指标熵值的和，得到每个指标的权重。
4.权重归一化：对指标权重进行归一化处理，使得所有指标权重的和等于1下面通过一个例子来说明熵权法的计算过程。
假设有3个指标，每个指标有4个样本，指标数据如下：指标1：1,2,3,4指标2：5,6,7,8指标3：10,20,30,40首先进行归一化处理，计算每个指标的最小值和最大值，然后将指标数据进行归一化，得到如下结果：指标1：0.0,0.25,0.5,1.0指标2：0.0,0.2,0.4,1.0指标3：0.0,0.0714,0.2143,1.0接下来计算指标熵值，根据前面的熵值计算公式，计算每个指标的熵值，并取负值，得到如下结果：然后将熵值进行归一化处理，将每个指标的熵值除以所有指标熵值的和，得到如下结果：最后对指标权重进行归一化处理，使得所有指标权重的和等于1，得到最终的权重结果：通过以上计算可以得到每个指标的权重，可以根据权重进行综合评价。
熵权法能够充分考虑指标的离散程度，提高了指标权重的准确性，因此被广泛应用于各种指标权重确定的问题中。
熵权法
e pi ln pi
• 显然，当 p i =1/m（i=1,2,……,m）时，即各种状态出现的概率相同时， 熵取最大值，为：
i 1
m
• 现有m个待评项目，n个评价指标，形成原始评价矩阵 R rij mn 对于某 个指标 r j 有信息熵：
e j pij ln pij ，其中 pij rij / rij
郑州大学
熵权法
目录
熵权法概述 熵权法基本原理
熵权法计算权重过程 熵权法适用范围 熵权法的优缺点
Page 2
1.熵权法概述
• 熵原本是一热力学概念，它最先由申农 C. E.Shannon 引入信息论 ，称之为信息熵。现已在工 程技术，社会经济等领域得到十分广泛的应用。 •申农定义的信息熵是一个独立于热力学熵的概念， 但具有热力学熵的基本性质(单值性、可加性和极 值性)，并且具有更为广泛和普遍的意义，所以称 为广义熵。它是熵概念和熵理论在非热力学领域泛 化应用的一个基本概念。
(1 e
j 1
n
j
)
Page 8
3.利用熵权法计算权重
• (4)确定指标的综合权数 j ： 假设评估者根据自己的目的和要求将指标重要性的权重
确定为 j ,j=1,2,…,n，结合指标的熵权 w j 就可以得到指
标j的综合权数：
j i wi
w
i 1 i
m
i
Page 9
3.利用熵权法计算权重
•当各备选项目在指标j上的值完全相同时,该指标的 熵达到最大值1,其熵权为零。这说明该指标未能向 决策者供有用的信息,即在该指标下,所有的备选项 目对决策者说是无差异的,可考虑去掉该指标。因 此,熵权本身并不是表示指标的重要性系数,而是表 示在该指标下对评价对象的区分度。
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基于熵权法评价指标权值的确定
熵权法原理是把评价中各个待评价单元的信息进行量化与综合后的方法；采用熵权法对各因子赋权，可以简化评价过程。
因此，本文采用熵值法对指标的权值进行确定。
首先，由以上四个评价指标，可以得到一个449⨯的原始数据矩阵为：
m
n nm n n n n x x x x x x x x x X ⨯⎥
⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡= 2122221
11211 其中，n 为日期，其取值为49天，m 为评价指标，其取值为4，n x x 111~表示排队长，n x x 221~表示逗留时间，n x x 331~表示周转次数，n x x 441~表示病床使用率。
由此，X 矩阵可知。
其次，对指标进行同趋势性变换，建立同正向矩阵；因为以上四个指标在评价时有高优指标和低优指标，其中，高优指标为周转次数和病床使用率，低优指标为排队长和逗留时间；评价时不同指标之间应该具有同趋势性，所以将低优指标化为高优指标即采用倒数法，转化后的矩阵为：
m
n nm n n n n y y y y y y y y y Y ⨯⎥
⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=
2
1
22221
11211 将该矩阵进行归一化处理，即取Y 矩阵中列向量ij y 与该矩阵中所有元素之和的比值作为归一化结果，其计算公式如下：
),,2,1(,1
m j Y
y z n
i ij
ij
ij ==
∑=
其中，ij z 为归一化后矩阵中的元素；归一化后的矩阵见附录1。
在确定评价指标的熵权值时，本文规定其运算公式如下：
m j z z k x H n
i ij ij j ,,2,1,
ln )(1 =-=∑=
其中，k 为调节系数，n k ln 1=,因此2569.0=k ；ij z 为第i 个评价单元第j 个指标标准化值。
通过计算可得0569.0)(1=x H ；0155.0)(2=x H ；
1549.38)(3-=x H ；8242.4)(4-=x H 。
将评价指标的熵值转化为权重值：
m j x H m x H d m
j j j j ,,2,1,)
()(11 =--=
∑=
其中，10≤≤j d ，∑==m
j j d 1
1；至此，得到权重值，计算得出其权值如表5
所示。
表5.指标的权值
评价指标 排队长 逗留时间 周转次数 病床使用率 权重值 0.0201 0.0210 0.8347 0.1242
最后，确定各评价指标的熵权综合评价值。
将各指标的权值分别与其所对应的指标相乘后求和，其评价模型为：
),,2,1(,
4
1n i z d U j ij j ==∑=
其中，U 表示各评价指标的熵权综合评价函数。
该评价体系可以对病床的安排等作出评价，其评价结果如表6所示。