湖南省炎德英才杯2019_2020学年高一数学下学期基础学科知识竞赛试题

湖南省炎德英才杯2019-2020学年高一数学下学期基础学科知识竞赛
试题
时量：120分钟满分：100分
一、单项选择题(本题共8小题，每小题3分，共24分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

)
1.已知集合A＝{x|2x>2}，B＝{y|y＝x2，x∈R}，则(
R
A)∩B＝
A[0，1) B.(0，2) C.(－∞，1] D.[0，1]
2.设f(x)是定义域为R的偶函数，且f(x＋3)＝f(x－1)，若当x∈[－2，0]时，f(x)＝2－x，
记a＝f(log21
4
)，b＝f(3)，c＝f(32)，则a，b，c的大小关系为
Aa>b>c B.c>b>a C.c>a>b D.a>c>b
3.在△ABC中，D是边AC上的点，且AD＝AB，BD＝3AB，BC＝2BD，则sinC的值为
A 1
2
B.
1
4
C.
1
8
D.
1
12
4.如图，圆O是边长为23的等边三角形ABC的内切圆，其与BC边相切于点D，点M为圆O 上任意一点，若BM xBA yBD
=+(x，y∈R)，则2x＋y的最大值为
A.2
B.3
C.2
D.22
5.如图，正四面体ABCD中，E是棱AD的中点，P是棱AC上一动点，BP＋PE的最小值为14，则该正四面体的外接球的表面积是
A.12π
B.32π
C.8π
D.24π
6.已知函数f(x)＝x 2＋ax ＋b ，m ，n 满足m<n 且f(m)＝n －m ，f(n)＝m －n ，则当m<x<n 时，有
Af(x)＋x<n B.f(x)＋x>m C.f(x)－x<0 D.f(x)－x>0
7.将函数f(x)＝sin 4x ＋cos 4x 的图象向左平移8π个单位长度后，得到g(x)的图象，若函数y ＝g(ωx)在[,124ππ-
]上单调递减，则正数ω的最大值为 A.12 B.1 C.32 D.23
8.在平面直角坐标系xOy 中，过点P(1，4)，向圆C ：(x －m)2＋y 2＝m 2＋5(1<m<6)引两条切线，
切点分别为A 、B ，则直线AB 过定点
A(－12，1) B(－1，32) C(－12，32) D.(－1，12
) 二、多项选择题(本题共4小题，每小题4分，共16分。

在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

)
9.已知圆O ：x 2＋y 2＝4和圆C ：(x －2)2＋(y －3)2
＝1。

现给出如下结论，其中正确的是 A 圆O 与圆C 有四条公切线
B 过
C 且在两坐标轴上截距相等的直线方程为x ＋y ＝5或x －y ＋1＝0
C 过C 且与圆O 相切的直线方程为9x －16y ＋30＝0
D.P 、Q 分别为圆O 和圆C 上的动点，则|PQ|的最大值为13＋3，最小值为13－3
10.如图，在四棱锥E －ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，△CDE 是正三角形，M 为线段DE 的中点，点N 为底面ABCD 内的动点，则下列结论正确的是
A.若BC ⊥DE ，则平面CDEI 平面ABCD
B.若BC ⊥DE ，则直线EA 与平面ABCD 6
C.若直线BM 和EN 异面，则点N 不可能为底面ABCD 的中心
D.若平面CDE ⊥平面ABCD ，且点N 为底面ABCD 的中心，则BM ＝EN
11.已知函数f(x)＝sinx ＋sin(πx)，现给出如下结论，其中正确的是
Af(x)是奇函数 B.f(x)是周期函数
C.f(x)在区间(0，π)上有三个零点
D.f(x)的最大值为2
12.已知函数f(x)＝{}1x x -，其中{x}为不小于x 的最小整数，如{3.5}＝4，{3}＝3，则关于f(x)性质的表述，正确的是
A.定义域为{x|x ≠Z}
B.在定义域内为增函数
C.函数为周期函数
D.函数为奇函数 三，填空题(共4小题，每小题4分，共16分。

) 13.若两个非零向量a 、b 满足(a ＋b)·(a －b)＝0，且|a ＋b|＝2|a －b|，则a 与b 夹角的余弦值为 。

14.函数22y x 2x 2x 4x 8=+++-+的最小值为 。

15.如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的梭长为1，中心为O ，1BF BC 2=，111A E A A 4=，则四面体OEBF 的体积为 。

16.已知圆O ：x 2＋y 2＝1，直线l ：y ＝2x ＋a ，过直线l 上的点P 作圆O 的切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，若存在点P 使得3PA PB PO 2
+=，则实数a 的取值范围是 。

四、解答题(共4小题，每小题11分，共44分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

)
17.在平面直角坐标系xOy 中，动点P(x ，y)到两坐标轴的距离之和等于它到定点A(1，1)的距离，记点P 的轨迹为C 。

(1)求点P 的轨迹C 的方程并作出动点P 的轨迹的图形；
(2)设Q(x ，y)是轨迹C 上的任意一点，求：①x ＋2y 的最大值；②x 2＋y 2的最小值。

18.如图，在平面直角坐标系中，角α，β的始边均为x 轴正半轴，终边分别与圆O 交于A ，B 两点，若α∈(7,12ππ)，β＝12
π，且点A 的坐标为A(－1，m)。

(1)若tan2α＝－
4
3
，求实数m的值；
(2)若tan∠AOB＝－3
4
，求sin2α的值。

19.如图1，图2，在矩形ABCD中，已知AB＝2，AD＝3，点E，F分别在AD，CD上，且AE＝CF＝1，将四边形ABCE沿EC折起，使点B在平面CDE上的射影H在直线DE上。

(1)求证：CD⊥BE；
(2)求证：HF//平面ABCE；
(3)求直线AC与平面CDE所成角的正弦值。

20.已知log2x4
2
+
·
2
x4
3
+
≤0。

(1)求x的取值的集合A；
(2)x∈A时，求函数f(x)＝4x＋1－2x＋3的值域；
(3)设g(x)＝
x
210x32
x22x0
⎧-≤≤
⎨
+-≤<
⎩
,
，
，若y＝g(x)－a有两个零点x1、x2(x1<x2)，求ax1的取值范
围。