湖南省炎德英才杯2019_2020学年高一数学下学期基础学科知识竞赛试题
湖南省炎德英才杯2019-2020学年高一数学下学期基础学科知识竞赛
试题
时量：120分钟满分：100分
一、单项选择题(本题共8小题，每小题3分，共24分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
)
1.已知集合A＝{x|2x>2}，B＝{y|y＝x2，x∈R}，则(
R
A)∩B＝
A[0，1) B.(0，2) C.(－∞，1] D.[0，1]
2.设f(x)是定义域为R的偶函数，且f(x＋3)＝f(x－1)，若当x∈[－2，0]时，f(x)＝2－x，
记a＝f(log21
4
)，b＝f(3)，c＝f(32)，则a，b，c的大小关系为
Aa>b>c B.c>b>a C.c>a>b D.a>c>b
3.在△ABC中，D是边AC上的点，且AD＝AB，BD＝3AB，BC＝2BD，则sinC的值为
A 1
2
B.
1
4
C.
1
8
D.
1
12
4.如图，圆O是边长为23的等边三角形ABC的内切圆，其与BC边相切于点D，点M为圆O 上任意一点，若BM xBA yBD
=+(x，y∈R)，则2x＋y的最大值为
A.2
B.3
C.2
D.22
5.如图，正四面体ABCD中，E是棱AD的中点，P是棱AC上一动点，BP＋PE的最小值为14，则该正四面体的外接球的表面积是
A.12π
B.32π
C.8π
D.24π
6.已知函数f(x)＝x 2＋ax ＋b ，m ，n 满足m<n 且f(m)＝n －m ，f(n)＝m －n ，则当m<x<n 时，有
Af(x)＋x<n B.f(x)＋x>m C.f(x)－x<0 D.f(x)－x>0
7.将函数f(x)＝sin 4x ＋cos 4x 的图象向左平移8π个单位长度后，得到g(x)的图象，若函数y ＝g(ωx)在[,124ππ-
]上单调递减，则正数ω的最大值为 A.12 B.1 C.32 D.23
8.在平面直角坐标系xOy 中，过点P(1，4)，向圆C ：(x －m)2＋y 2＝m 2＋5(1<m<6)引两条切线，
切点分别为A 、B ，则直线AB 过定点
A(－12，1) B(－1，32) C(－12，32) D.(－1，12
) 二、多项选择题(本题共4小题，每小题4分，共16分。
在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
)
9.已知圆O ：x 2＋y 2＝4和圆C ：(x －2)2＋(y －3)2
＝1。
现给出如下结论，其中正确的是 A 圆O 与圆C 有四条公切线
B 过
C 且在两坐标轴上截距相等的直线方程为x ＋y ＝5或x －y ＋1＝0
C 过C 且与圆O 相切的直线方程为9x －16y ＋30＝0
D.P 、Q 分别为圆O 和圆C 上的动点，则|PQ|的最大值为13＋3，最小值为13－3
10.如图，在四棱锥E －ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，△CDE 是正三角形，M 为线段DE 的中点，点N 为底面ABCD 内的动点，则下列结论正确的是
A.若BC ⊥DE ，则平面CDEI 平面ABCD
B.若BC ⊥DE ，则直线EA 与平面ABCD 6
C.若直线BM 和EN 异面，则点N 不可能为底面ABCD 的中心
D.若平面CDE ⊥平面ABCD ，且点N 为底面ABCD 的中心，则BM ＝EN
11.已知函数f(x)＝sinx ＋sin(πx)，现给出如下结论，其中正确的是
Af(x)是奇函数 B.f(x)是周期函数
C.f(x)在区间(0，π)上有三个零点
D.f(x)的最大值为2
12.已知函数f(x)＝{}1x x -，其中{x}为不小于x 的最小整数，如{3.5}＝4，{3}＝3，则关于f(x)性质的表述，正确的是
A.定义域为{x|x ≠Z}
B.在定义域内为增函数
C.函数为周期函数
D.函数为奇函数 三，填空题(共4小题，每小题4分，共16分。
) 13.若两个非零向量a 、b 满足(a ＋b)·(a －b)＝0，且|a ＋b|＝2|a －b|，则a 与b 夹角的余弦值为 。
14.函数22y x 2x 2x 4x 8=+++-+的最小值为 。
15.如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的梭长为1，中心为O ，1BF BC 2=，111A E A A 4=，则四面体OEBF 的体积为 。
16.已知圆O ：x 2＋y 2＝1，直线l ：y ＝2x ＋a ，过直线l 上的点P 作圆O 的切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，若存在点P 使得3PA PB PO 2
+=，则实数a 的取值范围是 。
四、解答题(共4小题，每小题11分，共44分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
)
17.在平面直角坐标系xOy 中，动点P(x ，y)到两坐标轴的距离之和等于它到定点A(1，1)的距离，记点P 的轨迹为C 。
(1)求点P 的轨迹C 的方程并作出动点P 的轨迹的图形；
(2)设Q(x ，y)是轨迹C 上的任意一点，求：①x ＋2y 的最大值；②x 2＋y 2的最小值。
18.如图，在平面直角坐标系中，角α，β的始边均为x 轴正半轴，终边分别与圆O 交于A ，B 两点，若α∈(7,12ππ)，β＝12
π，且点A 的坐标为A(－1，m)。
(1)若tan2α＝－
4
3
，求实数m的值；
(2)若tan∠AOB＝－3
4
，求sin2α的值。
19.如图1，图2，在矩形ABCD中，已知AB＝2，AD＝3，点E，F分别在AD，CD上，且AE＝CF＝1，将四边形ABCE沿EC折起，使点B在平面CDE上的射影H在直线DE上。
(1)求证：CD⊥BE；
(2)求证：HF//平面ABCE；
(3)求直线AC与平面CDE所成角的正弦值。
20.已知log2x4
2
+
·
2
x4
3
+
≤0。
(1)求x的取值的集合A；
(2)x∈A时，求函数f(x)＝4x＋1－2x＋3的值域；
(3)设g(x)＝
x
210x32
x22x0
⎧-≤≤
⎨
+-≤<
⎩
,
，
，若y＝g(x)－a有两个零点x1、x2(x1<x2)，求ax1的取值范
围。
湖南省炎德英才杯2019-2020学年高一下学期基础学科知识竞赛 数学(含答案)
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湖南省炎德英才杯2019_2020学年高一物理下学期基础学科知识竞赛试题
湖南省炎德英才杯2019-2020学年高一物理下学期基础学科知识竞赛试题时量：90分钟满分：100分一、单项选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.牛顿时代的科学家们围绕万有引力的研究，经历了大量曲折顽强而又闪烁智慧的科学实践。
在万有引力定律的发现历程中，下列叙述符合史实的是A.伽利略研究了第谷的行星观测记录，提出了行星运动定律B卡文迪许将行星与太阳、地球与月球、地球与地面物体之间的引力推广到宇宙中的一切物体，得出了万有引力定律C.哈雷在实验室中准确地得出了引力常量G的数值，使得万有引力定律有了现实意义D.牛顿通过月地检验，验证了万有引力定律2.甲，乙两物体同时以相同的速度经过某个位置时开始计时，从t＝0时刻开始两物体沿同一直线做减速运动，最终又都停止在另一相同的位置，整个过程甲、乙运动的v－t图象如图所示，则A.整个过程中甲的平均速度大于乙的平均速度B.从t＝0时刻到下一次速度相等的过程中，乙的平均速度要大于甲的平均速度C.在运动过程中甲的加速度一直小于乙的加速度D.在运动过程中甲，乙两物体的加速度不可能相同3.如图所示，重物M沿竖直杆下滑，并通过一根不可伸长的细绳带动小车沿水平面向右运动。
若当滑轮右侧的绳与竖直方向成β＝60°角，且重物下滑的速率为v＝2m/s时，滑轮左侧的绳与水平方向成α＝45°角，则小车的速度为A.23m/sB.3m/sC.22m/sD.2m/s4.在一斜面頂端，将质量相等的甲、乙两个小球分别以2v 和v 的速度沿同一方向水平抛出，两球都落在该斜面上。
则下列说法正确的是A 乙球落到斜面上时速度方向与水平方向的夹角要比甲球的小B.从抛出到落到斜面上重力对甲，乙两球做功之比为1：2C.落到斜面上时甲，乙两球重力的瞬时功率之比为1：2D.两球从抛出到落到斜面上运动的时间相同5.2019年春节期间，中国科幻电影里程碑作品《流浪地球》热播，影片中为了让地球逃离太阳系，人们在地球上建造特大功率发动机，使地球完成一系列变轨操作，其逃离过程可设想成如图所示，地球在椭圆轨道I 上运行到远日点B 变轨，进入圆形轨道II 。
高一数学答案--2019炎德英才杯基础学科知识竞赛
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湖南省炎德英才杯2019-2020学年高二下学期基础学科知识竞赛试题 数学 Word版含答案
2020年“炎德英才杯”高二基础学科知识竞赛数学时量：120分钟 满分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1.已知命题p ：∀x>0，ln(x ＋1)>0，则命题p 的否定是A.∀x>0，ln(x ＋1)≤0B.∀x ≤0，ln(x ＋1)>>0C.∃x 0>0，ln(x 0＋1)>0D.∃x 0>0，ln(x 0＋1)≤02.已知集合A ＝{x|－1<x<2}，B ＝{t ∈Z|t ＝2x ＋1，x ∈A}，则A ∩B ＝A.{－1，0，1} B{－1，0} C{0，1} D.{0}3.已知正项等比数列{a n }的公比为q ，若a 2a 6＝4a 52，则公比q ＝ A.12 B.22 C.2 D.24.已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60°，c ＝λa ＋µb ，若a ⊥c ，则下列结论正确的是 Aλ－μ＝0 B.λ＋μ＝0 C.2λ－μ＝0 D.2＋μ＝05.(2x 2＋1x)5的展开式中，x 4的系数是 A160 B.80 C.50 D.106.已知cos(α－4π)sin(34π－α)＝33，α∈(3,24ππ)，则sin2α＝ A.231- B.231- C.31- D.31+ 7.唐朝著名的凤鸟花卉纹浮雕银杯如图1所示，它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体(如图2).当这种酒杯内壁表面积(假设内壁表面光滑，表面积为S 平方厘米，半球的半径为R 厘米)固定时，若要使得酒杯的容积不大于半球体积的2倍，则R 的取值范围为A.(0 ) ) 8.巳知实数a ，b 满足ab>0，则2a a a b a b-++的最大值为A.2B.2C.3－D.3＋二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
【35套精选试卷合集】炎德英才大联考2019-2020学年数学高一下期末模拟试卷含答案
13..在 ABC 中，已知 2 3ab sin C a2 b2 c2 ，则 C
。
x y 1
14.设变量 x, y 满足 x y 0
,则目标函数 z 3x y 的最小值为______.
2x y 2 0
15.已知斜三棱柱的三视图如图所示，该斜三棱柱的体积为______.
16..已知点 P 在直线 x 2y 1 0 上,点 Q 在直线 x 2y 3 0 上，PQ 的中点 M (x0 , y0 ) ，且 y0 x0 2 ，则
lg x
x
C. 当 x R 时， x2 1 2x
D．当 x 0时， x 1 的最小值为 2 x
3.已知 m，n 表示两条不同直线， 表示平面，下列说法正确的是（ ）
A．若 m / /, n / /, 则 m / /n
B．若 m ，m n ，则 n / /
C．若
m / / ， m n ，则 n
A. 2 11 C. 38
B. 4 2 D. 16 3
12.已知三棱柱 ABC A1B1C1 的 6 个顶点都在球 O 的球面上，若 AB=3，AC=4， AB AC， AA1 =12，则球 O 的半径为
A． 3 17 2
B． 2 10
C． 13 2
D． 3 10
第 II 卷（非选择题 共 90 分） 二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填写在答题卡中的横线上.）
b1 b2
bn
2 23
n n1 n1
所以数列{ 1 }的前 n 项和为 2n ……………………………………………12 分
18..（本小题满分
12
分）等比数列
an
的各项均为正数，且
湖南省长沙市长郡中学“炎德英才杯”高一数学基础学科知识竞赛试题(PDF,无答案)【含答案】
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炎德英才大联考2019届长沙一中高三月考理数(答案)
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炎德英才杯2019-2020学年高二数学下学期基础学科知识竞赛试题
炎德英才杯2019-2020学年高二数学下学期基础学科知识竞赛试题时量：120分钟满分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1.已知命题p：x>0，ln(x＋1)>0，则命题p的否定是A.x>0，ln(x＋1)≤0B.x≤0，ln(x＋1)>>0C.x0>0，ln(x0＋1)>0D.x0>0，ln(x0＋1)≤02.已知集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{t∈Z|t＝2x＋1，x∈A}，则A∩B＝A.{－1，0，1} B{－1，0} C{0，1} D.{0}3.已知正项等比数列{an}的公比为q，若a2a6＝4a52，则公比q＝A. B. C. D.24.已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，c＝λa＋µb，若a⊥c，则下列结论正确的是Aλ－μ＝0 B.λ＋μ＝0 C.2λ－μ＝0 D.2＋μ＝05.(2x2＋)5的展开式中，x4的系数是A160 B.80 C.50 D.106.已知cos(α－)sin(－α)＝，α∈()，则sin2α＝A. B. C. D.7.唐朝著名的凤鸟花卉纹浮雕银杯如图1所示，它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体(如图2).当这种酒杯内壁表面积(假设内壁表面光滑，表面积为S平方厘米，半球的半径为R厘米)固定时，若要使得酒杯的容积不大于半球体积的2倍，则R的取值范围为A.(0，]B.[，＋∞)C.(，]D.[，)8.巳知实数a，b满足ab>0，则的最大值为A.2－B.2＋C.3－2D.3＋2二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
9.在平面直角坐标系xOy中，双曲线A的焦点F位于x轴上，且双曲线A与双曲线B：有相同渐近线，则下列结论正确的是A双曲线A与双曲线B的离心率相等B双曲线A与双曲线B的焦距相等C.若双曲线A的焦点F到渐近线距离为2，则双曲线A的标准方程为D.若双曲线A的焦点F到渐近线距离为2，则双曲线A的标准方程为10.2019年国际数学奥林匹克竞赛(IMO)中国队王者归来，6名队员全部摘金，总成绩荣获世界第一，数学奥林匹克协会安排了分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车，等可能随机顺序前往机场接参赛选手。
2019-2020学年湖南省炎德英才杯高一下学期基础学知识竞赛数学试题(解析版)
2019-2020学年湖南省炎德英才杯高一下学期基础学知识竞赛数学试题一、单选题 1．已知集合{}|22xA x =>，{}2|,RB y y x x ==∈，则()R A B =( )A ．[0,1)B ．(0,2)C ．(,1]-∞D ．[0,1]【答案】D【解析】根据指数函数单调性，求出{|1}A x x =>，得出R{|1}A x x =，求出集合B ，根据交集的计算即可得出答案. 【详解】解：由题可知，{}|22{|1}xA x x x =>=>，R {|1}A x x ∴=，{}2|,{|0}B y y x x y y ==∈=R ，所以()R{|01}B x A x ⋂=.故选：D. 【点睛】本题考查集合的交集和补集运算，属于基础题.2．设()f x 是定义域为R 的偶函数，且()()31f x f x +=-，若当[]2,0x ∈-时，()2x f x -=，记21log 4a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，b f=，()23c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．c b a >>C ．c a b >>D ．a c b >>【答案】A【解析】根据()()31f x f x +=-可得函数()f x 是周期为4的周期函数，根据()f x 是定义域为R 的偶函数，可得()f x 为(0,2]上的增函数，再根据周期性和单调性可比较大小. 【详解】∵()()31f x f x +=-，∴()()4f x f x +=，即函数()f x 是周期为4的周期函数， 当[]2,0x ∈-时，()2xf x -=，则函数()f x 为减函数，即当(]0,2x ∈时，()f x 为增函数， 21log 24=-，则()()21log 224a f f f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭， ()()()()239811c f f f f ===+=，∵132<<，且当(]0,2x ∈时，()f x 为增函数，∴()()()132f f f <<，∴a b c >>，故选：A . 【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性、周期性和单调性比较大小，属于基础题. 3．在ABC 中，D 是边AC 上的点，且AD AB =，3BD AB =，2BC BD =，则sin C 的值为（ ）A ．12B ．14C ．18D ．112【答案】B【解析】设AB x =，则AD x =，3BD x =，23BC x =，过点A 作AE BD ⊥，利用正弦定理sin sin BC ABBAC C=∠，即可得答案；【详解】在ABC 中，D 是边AC 上的点，且AD AB =，3BD AB =，2BC BD =，设AB x =，则AD x =，3BD x =，23BC x =，如图所示，过点A 作AE BD ⊥，所以32BE x =，3BAE π∠=，所以23BAC π∠=， 在ABC 中，利用正弦定理sin sin BC ABBAC C=∠，所以23sin 32x xC =，整理得1sin 4C =, 故选：B. 【点睛】本题考查正弦定理在解三角形中的运用，考查运算求解能力.4．如图，圆O 是边长为23的等边三角形ABC 的内切圆，其与BC 边相切于点D ，点M 为圆上任意一点，BM xBA yBD =+(,)x y ∈R ，则2x y +的最大值为（ ）A 2B 3C ．2D ．2【答案】C【解析】建立坐标系，写出相应的点坐标，得到2x y +的表达式，进而得到最大值. 【详解】以D 点为原点，BC 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，建立坐标系，设内切圆的半径为1，以（0，1）为圆心，1为半径的圆； 根据三角形面积公式得到011sin 6022l r S AB AC ⨯⨯==⨯⨯⨯周长， 可得到内切圆的半径为1; 可得到点的坐标为：())()()()3,0,3,0,0,3,0,0,cos ,1sin B CA D M θθ-+()cos 3,1sin ,BM θθ=+()()3,3,3,0BD BA == 故得到 ())cos 3,1sin 33,3x BM x θθ=++=故得到cos 333,sin 31x x θθ=+=-1sin 3sin 2333x y θθ+⎧=⎪⎪⇒⎨⎪=+⎪⎩，()sin 4242sin 2.33333x y θθϕ+=++=++≤ 故最大值为：2. 故答案为C. 【点睛】这个题目考查了向量标化的应用，以及参数方程的应用，以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.5．如图所示，正四面体ABCD 中,E 是棱AD 的中点,P 是棱AC 上一动点，BP PE +14 ）A ．12πB ．32πC ．8πD ．24π【答案】A【解析】将侧面ABC 和ACD △沿AC 边展开成平面图形为菱形ABCD ,可得到BE 的长即为BP PE +的最小值,设DE x =,在Rt BCE 中,利用勾股定理可得2x =,则棱长为22,进而可求得正四面体的外接球的表面积 【详解】将侧面ABC 和ACD △沿AC 边展开成平面图形,如图所示,菱形ABCD ,在菱形ABCD 中,连接BE ,交AC 于点P ,则BE 的长即为BP PE +的最小值,即14BE =因为正四面体ABCD ,所以AC AB =,所以120BCD ∠=︒, 因为E 是棱AD 的中点,所以30DCE ∠=︒， 所以90BCE BCD DCE ∠=∠-∠=︒, 设DE x =,则2AB BC CD AD x ====, 所以3CE x =,则22714BE BC CE x =+=所以2x =,则正四面体ABCD 的棱长为22623=所以该正四面体外接球的表面积为24312S ππ==,故选：A 【点睛】本题考查线段和最短问题,考查外接球问题,考查运算能力6．已知函数2()f x x ax b =++，,m n 满足m n <且()f m n m =-，()f n m n =-，则当m x n <<时，有（ ） A ．()f x x n +< B ．()f x x m +> C ．()0f x x -< D ．()0f x x ->【答案】A【解析】设(,)(,)A m n m B n m n --，，写出直线AB 的方程，可知其斜率为负；又因为()f x 开口向上，所以在m x n <<时，()2f x x m n <-++，进而变形得出答案. 【详解】解：设(,)(,)A m n m B n m n --，，则直线AB 的方程为2y x m n =-++，即A ，B 为直线2y x m n =-++与()f x 的图像的两个交点，由于()f x 图像开口向上，所以当m x n <<时，()2f x x m n <-++，即()f x x x m n n +<-++<；故选：A. 【点睛】本题考查二次函数的性质，考查运算求解能力，属于基础题型. 7．将函数44()sin cos f x x x =+的图像向左平移8π个单位长度后，得到()g x 的图像，若函数()y g x ω=在[,]124ππ-上单调递减，则正数ω的最大值为 A ．12B ．1C ．32D ．23【答案】A【解析】先化简()f x 的表达式，平移后得到()g x 的解析式，再求出()g x ω的解析式，然后利用()g x ω的单调减区间列不等式组，求得ω的取值范围，进而求得正数ω的最大值. 【详解】依题意，()2221cos 21cos 21cos 23cos 42224x x x x f x -+++⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，向左平移π8个单位长度得到31π31π31cos 4cos 4sin 444844244x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++=++=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故()()31sin 444g x x ωω=-，下面求函数的减区间：由ππ2π42π22k x k ω-+≤≤+，由于0>ω故上式可化为ππππ8282k k x ωω-++≤≤，由于函数()g x ω在,124ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，故πππ8212πππ824k k ωω⎧-+⎪≤-⎪⎪⎨⎪+⎪≥⎪⎩，解得362122kk ωω⎧≤-⎪⎪⎨⎪≤+⎪⎩，所以当0k =时，12ω=为正数ω的最大值.故选A. 【点睛】本小题主要考查三角函数降次公式，考查三角函数图像变化的知识，考查三角函数的单调区间的求法，综合性较强，需要较强的运算能力.44sin cos x x +是不能够直接合并起来的，需要通过运用降次公式两次，才能化简为()sin A x B ωϕ++的形式.求解三角函数单调区间时，要注意A 是正数还是负数.8．在平面直角坐标系xOy 中，过点(1,4)P ，向圆C ：222()5x m y m -+=+（16m <<）引两条切线，切点分别为A 、B ，则直线AB 过定点（ ） A ．1(,1)2-B ．3(1,)2-C ．13(,)22-D ．1(1,)2-【答案】B【解析】在平面直角坐标系xOy 中，过点()1,4P ，向圆C ：()2225x m y m -+=+（16m <<）引两条切线，则切线的长为==∴以点P 为圆心，切线长为半径的圆的方程为()()2214122x y m -+-=-∴直线AB 的方程为()()()222221427x m y x y m m ⎡⎤-+--+-=+-⎣⎦，即(1)(45)0m x x y +-+-=∴令10{450x x y +=+-=，得1{32x y =-=∴直线AB 恒过定点3(1,)2- 故选B.9．已知函数1(){}f x x x=-，其中{}x 为不小于x 的最小整数，如{}3.54=，{}33=，则关于()f x 性质的表述，正确的是（ ） A ．定义域为()(),00,-∞⋃+∞ B ．在定义域内为增函数 C ．函数为周期函数 D ．函数为奇函数【答案】C【解析】只需要研究分母对应的函数(){}g x x x =-即可．求出定义域排除A 选项；利用周期函数的定义得出(1)()g x g x +=，故函数是周期函数，由此排除B 选项，C 选项正确；利用奇函数定义容易得到D 选项错误． 【详解】解：易知{}0x x -≠，故定义域为{|}x x Z ≠，故A 选项错误，令(){}g x x x =-，易知(1){1}(1){}11{}()g x x x x x x x g x +=+-+=+--=-=， 故{}f x 是以1为周期的函数，故C 选项正确，B 项错误， 因为()()f x f x --≠，故D 选项错误． 故选：C ． 【点睛】本题考查新定义问题，涉及对函数周期性、单调性、奇偶性等知识，同时考查分析问题与解决问题的能力．二、多选题10．已知圆O ：224x y +=和圆C ：22231x y .现给出如下结论，其中正确的是（ ）A ．圆O 与圆C 有四条公切线B ．过C 且在两坐标轴上截距相等的直线方程为5x y +=或10x y -+= C ．过C 且与圆O 相切的直线方程为916300x y -+=D ．P ､Q 分别为圆O 和圆C 上的动点，则PQ 3+3 【答案】AD【解析】对于A ，先由已知判断两圆的位置关系，从而可判断两圆的公切线的条数； 对于B ，截距相等可以过原点或斜率只能为1-，从而可得直线方程； 对于C ，由于点C 在圆O 外，所以过点C 与圆O 相切的直线有两条；对于D ，PQ 的最大值为圆心距与两圆半径的和，最小值为圆心距与两圆半径的差， 【详解】解：由题意可得，圆O ：224x y +=的圆心为(0,0)O ，半径12r =，圆C ：22231x y 的圆心(2,3)C ，半径21r =,因为两圆圆心距121321OC r r =>+=+， 所以两圆相离，有四条公切线，A 正确；截距相等可以过原点或斜率只能为1-，B 不正确； 过圆外一点与圆相切的直线有两条，C 不正确；PQ 的最大值等于12OC r r ++，最小值为12OC r r --，D 正确.故选：AD 【点睛】此题考查两圆的位置关系的有关性质，属于基础题11．如图，在四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，CDE △是正三角形，M 为线段DE 的中点，点N 为底面ABCD 内的动点，则下列结论正确的是（ ）A ．若BC DE ⊥，则平面CDE ⊥平面ABCDB ．若BC DE ⊥，则直线EA 与平面ABCD 所成的角的正弦值为64C ．若直线BM 和EN 异面，则点N 不可能为底面ABCD 的中心D ．若平面CDE ⊥平面ABCD ，且点N 为底面ABCD 的中心，则BM EN = 【答案】ABC【解析】根据面面垂直的判定，线面夹角的求解办法，以及异面直线的定义，结合面面垂直的性质，对每个选项进行逐一分析，即可容易判断选择. 【详解】∵BC CD ⊥，BC DE ⊥，CDDE D =，,CD DE ⊂平面CDE ，∴BC ⊥平面CDE ，∵BC ⊂平面ABCD ，∴平面ABCD ⊥平面CDE ，A 项正确；设CD 的中点为F ，连接EF ､AF ，则EF CD ⊥. ∵平面ABCD ⊥平面CDE ，平面ABCD平面CDE CD =，EF ⊂平面CDE∴EF ⊥平面ABCD ，设EA 与平面ABCD 所成的角为θ，则EAF θ=∠， 223EF CE CF =-=225AF AD FD =+=，222AE EF AF =+= 则6sin EF AE θ==，B 项正确； 连接BD ，易知BM ⊂平面BDE ，由B ､M ､E 确定的面即为平面BDE ， 当直线BM 和EN 异面时，若点N 为底面ABCD 的中心，则N BD ∈， 又E ∈平面BDE ，则EN 与BM 共面，矛盾，C 项正确；连接FN ，∵FN ⊂平面ABCD ，EF ⊥平面ABCD ，∴EF FN ⊥， ∵F ､N 分别为CD ､BD 的中点，则112FN BC ==， 又3EF=222EN EF FN =+=，227BM BC CM =+则BM EN ≠，D 项错误. 故选：ABC . 【点睛】本题综合考查面面垂直的判定以及性质、异面直线的定义、线面夹角的求解，属综合困难题.12．已知函数()()sin sin f x x x π=+，现给出如下结论，其中正确的是（ ） A ．()f x 是奇函数B ．()f x 是周期函数C ．()f x 在区间()0,π上有三个零点D ．()f x 的最大值为2【答案】AC【解析】根据奇函数的定义和周期函数的定义，函数的零点等价于方程的根，反证法求函数最值，即可得答案；∵x ∈R ，()()()()sin sin sin sin f x x x x x f x ππ-=-+-=--=-， ∴()f x 是奇函数，A 正确；sin y x =的周期12T k π=，k ∈Z ，()sin y x π=的周期22T n =，n ∈Z ，∵{}{}1122|2,|2,T T k k T T n n π=∈=∈=∅Z Z ，∴()f x 不是周期函数，B 错误；令()()sin sin 0f x x x π=+=，得()()sin sin sin x x x π=-=-， ∴2x x k ππ=-+，k ∈Z ，或2x x k πππ-=+，k ∈Z ， 解得21k x ππ=+，k ∈Z 或()211k x ππ+=-，k ∈Z ，又()0,x π∈，21x ππ=+或41x ππ=+或1x ππ=-，C 正确； 当sin 1x =时，22x k ππ=+，k ∈Z ，当()sin 1x π=时，122x k =+，k ∈Z ， ∵12,2,22x x k k x x k k ππ⎧⎫⎧⎫=+∈⋂=+∈=∅⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭Z Z ， 即sin y x =与()sin y x π=不可能同时取得最大值1，故D 错误. 故选：AC . 【点睛】本题考查根据三角函数的解析式求函数的性质，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.三、填空题13．若两个非零向量a ､b 满足()()0a b a b +⋅-=，且2a b a b +=-，则a 与b 夹角的余弦值为__________. 【答案】35【解析】设平面向量a 与b 的夹角为θ，在等式2a b a b +=-两边平方，再利用向量的数量积运算，即可得答案；设平面向量a 与b 的夹角为θ，∵()()22220a b a b a b a b+⋅-=-=-=，可得a b =，在等式2a b a b +=-两边平方得22222484a a b b a a b b +⋅+=-⋅+， 化简得3cos 5θ=. 【点睛】本题考查向量夹角公式和数量积运算，考查逻辑推理能力、运算求解能力.14．函数y =__________.【答案】【解析】根据两点之间的距离公式改写目标函数解析式，即可根据几何意义求得结果. 【详解】因为y ==其几何意义为点(),0Px 到点()1,1A -､()2,2B 两点的距离之和，()1,1A -关于x 轴的对称点()1,1C --， ||||||||||y PA PB PC PB BC =+=+≥当且仅当B ､P ､C 三点共线时y 的值最小为BC ==故答案为：【点睛】本题考查两点之间距离公式的妙用，涉及函数最值的求解，属基础题.15．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，中心为O ，12BF BC =，1114A E A A =，则四面体OEBF 的体积为__________.【答案】196【解析】根据中心的特点，结合点E 的位置，求得E 到平面OBF 的距离和A 到平面OBF 距离的关系，结合三角形OBF 是直角三角形，即可求得棱锥体积.【详解】根据题意，连接11,A B D C ，如下所示：因为O 是正方体的中心，故O 在平面11A D CB 中. 点E 满足1114A E A A =， 故点E 到平面OBF 的距离为点A 到平面OBF 距离的14. 故三棱锥E OBF -的高122428h =⨯=. 又容易知三角形OBF 是角OFB ∠为直角的直角三角形， 且112122OF A B BF ===， 故三角形OBF 的面积112222S =⨯=.故四面体OEBF 的体积111338896V S h =⨯⨯=⨯=. 故答案为：196. 【点睛】本题考查棱锥体积的求解，注意本题中正方体中心的性质，属基础题.16．已知圆O ：221x y +=直线l ：2y x a =+，过直线l 上的点P 作圆O 的切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，若存在点P 使得32PA PB PO +=，则实数a 的取值范围是______.【答案】[-【解析】取AB 中点C ，则,,O P C 三点共线，且OP AB ⊥，由已知可得322PC PO =，即3||||4PC PO =，利用Rt PAO Rt ACO △△，求出||PO ，要使得点P 存在，坐标原点O 到直线l 的距离不大于||PO 的值，建立a 的不等量关系，求解即可. 【详解】连,,,AB OA OB OP ，直线PA ，PB 是圆O 的切线，切点分别为A ，B ，||||,PA PB PC AB ∴=∴⊥， ||||,,,,OA OB OC AB O C P =∴⊥∴三点共线，AC OP ∴⊥，24331,,||||24PA PB PC PO PC PO OC OP +===∴=， ||||,||||OA OP Rt PAO Rt ACO OC OA ∴=△△， 221||||1,||24||||O OP OA OP C OP ∴==∴==⋅， 要使在直线l 上存在点P 使得||2OP =，则点O 到直线l 的距离2≤d ，2,||d a =≤≤a ∴-≤≤故答案为：[- 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系以及切线性质的应用，注意平面几何知识和向量知识的合理利用，考查数形结合思想，属于中档题.四、解答题17．在平面直角坐标系xOy 中，动点(),P x y 到两坐标轴的距离之和等于它到定点()1,1A 的距离，记点P 的轨迹为C .（1）求点P 的轨迹C 的方程并作出动点P 的轨迹的图形； （2）设(),Q x y 是轨迹C 上的任意一点，求： ①2x y +的最大值； ②22xy +的最小值.【答案】（1）答案见解析；（2）①2；②6-【解析】(1)动点P 到两坐标轴的距离之和等于它到定点()1,1A 的距离，即可得到方程10xy x y ++-=，讨论xy 与0的大小去绝对值，即得轨迹方程，根据相应的范围画出轨迹图形即可；(2)利用2x y +、22x y +与P 的轨迹C 的几何意义可求最值【详解】（1）由动点(),P x y 到两坐标轴的距离之和等于它到定点()1,1A 的距离∴x y +=10xy x y ++-=当0xy ≥时，可得10xy x y ++-=，即11x y x -=+，故211y x=-++(1x <-或01)x ≤≤当0xy <时，10xy x y -++-=，即()1)0(1x y --=，故1(0)x y =<或1(0)y x =<动点P 的轨迹为：（2）①设2x y t +=，依t 的几何意义：直线20x y t +-=与P 的轨迹有交点的情况下，在x 或y 轴上的截距最大即可∴当20x y t +-=过(0,1)时2x y +有最大值为2②设22x z y +=，依z 的几何意义：圆222x y r +=与P 的轨迹有交点的情况下，半径r 最小的情况∴当222x y r +=与211y x=-++在01x ≤≤分支相切时，22x y +有最小值，切点为221)-，22r =故z 的最小值为642-【点睛】本题考查了动点轨迹的方程及其图形，利用代数式与轨迹图形的几何意义求它们的最值，注意找到图形中出现最值的边界点18．如图，在平面直角坐标系中，角αβ，的始边均为x 轴正半轴，终边分别与圆O交于A ，B 两点，若712παπ∈（，），12πβ=，且点A 的坐标为1A m -（，）．（1）若423tan α=-，求实数m 的值； （2）若34tan AOB ∠=-，若sin2α的值．【答案】（1）12m =（27243- 【解析】（1）由题意利用二倍角的正切公式求得tan α的值，再利用任意角的三角函数的定义求得m 的值．（2）利用同角三角函数的基本关系，求得12sinπα-（）和12cosπα-（）的值，再利用两角和的正弦公式求得2266sin sin ππαα⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦（）的值．【详解】（1）由题意可得224213tan tan tan ααα==--，12tan α∴=-，或2tan α=．712παπ∈（，），12tan α∴=-，即112m =--，12m ∴=． （2）sin 312124cos 12tan AOB tantan παπαβαπα⎛⎫- ⎪⎝⎭∠=-=-==-⎛⎫- ⎪⎝⎭（）（）， 22111,,121212212sin cos πππππααα⎛⎫⎛⎫⎡⎤-+-=-∈ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 34125125sin cos ππαα∴-=-=-（），（）， 24226121225sin sin cos （）（）（）πππααα∴-=--=-，2722161225cos cos ππαα-=--=（）（），7243222266666650sin sin sin cos cos sin ππππππαααα-⎡⎤∴=-+=-+-=⎢⎥⎣⎦（）（）（）．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦公式，用两角和的正弦公式的应用，属于中档题．19．如图1，图2，在矩形ABCD 中，已知2AB =，3AD =，点E ，F 分别在AD ，CD 上，且1AE CF ==，将四边形ABCE 沿EC 折起，使点B 在平面CDE 上的射影H 在直线DE 上.（1）求证：CD BE ⊥； （2）求证：//HF 平面ABCE ；（3）求直线AC 与平面CDE 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3213. 【解析】（1）推导出BH CD ⊥，CD DE ⊥，从而CD ⊥平面DBE ，由此能证明CD BE ⊥．（2）设BH h =，EH k =，过F 作FG 垂直ED 于点G ，由勾股定理得线段2BH =．推导出//HF EC ，由此能证明//HF 平面ABCE ．（3）延长BA 交BE 于点M ，点A 到平面EFCD 的距离为点B 到平面EFCD 距离的13，点A 到平面EFCD 的距离为23，由此能求出直线AF 与平面EFCD 正弦值．【详解】（1）∵BH ⊥平面CDE ，∴BH CD ⊥， 又CD DE ⊥，BHDE H =，∴CD ⊥平面DBE ，∵BE ⊂平面DBE ，∴CD BE ⊥. （2）设BH x =，EH y =，由（1）知CDB △为直角三角形，在BHE 与CDB △中有()2222225,223,x y x y ⎧+=⎪⎨+-+=⎪⎩ 解方程得2,1,x y =⎧⎨=⎩，∴H 为DE 的中点.又F 为CD 中点，∴//HF CE ，且HF ⊄平面ABCE ，CE ⊂平面ABCE ， ∴//FH 平面ABCE .（3）在梯形ABCE 中，延长BA 交CE 于点M ， ∵::1:3AE BC MA MB ==，.点A 到平面CDE 的距离为点B 到平面CDE 距离的13， ·点A 到平面CDE 的距离为23，而13AC =， 故直线AC 与平面CDE 所成角的正弦值为21339.【点睛】本题考查线面垂直、线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题． 20．已知2244log log 02x x ++⋅≤. （1）求x 的取值的集合A ； （2）x A ∈时，求函数()1342x x f x ++=-的值域；（3）设()21,032,2,20,x x g x x x ⎧-≤≤=⎨+-≤<⎩若()y g x a =-有两个零点1x ､2x (12x x <)，求1ax 的取值范围.【答案】（1）{}|25A x x =-≤≤；（2）[]4,3840-；（3）[]1,0-.【解析】（1）利用对数运算，化简不等式，结合对数函数单调性，求解不等式即可； （2）根据（1）中所求，将()f x 配凑为关于2x 的二次函数，求其值域即可；（3）根据题意，用1x 表示出a ，求出1x 的范围，再求目标式的范围即可.【详解】（1）由2244log log 023x x ++⋅≤得， ()()222log 41log 4log 90x x +-+-≤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，∴()221log 4log 9x ≤+≤，∴25x -≤≤，故{}|25A x x =-≤≤为所求.（2）当x A ∈时，()1342x x f x ++=-()()2242824214x x x =⋅-⋅=--， ∵25x -≤≤，∴12324x ≤≤， ∴()43840f x -≤≤，即为()f x 的值域.（3）作出函数()g x 的图象，∵()y g x a =-有两个零点1x ､2x 且12x x <，∴120x -≤<，02a ≤<，且()112a f x x ==+，∴()()()2111111211ax f x x x x x ==+=+-，∵120x -≤<，∴110ax -≤≤即1ax 的取值范围为[]1,0-.【点睛】本题考查对数运算、对数不等式的求解，对数型复合函数值域的求解，以及对数函数图像的应用，属综合中档题.。
炎德英才大联考2019届长沙一中高三月考理数(答案)
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