VB梯度下降算法
梯度下降算法原理及推导
梯度下降算法原理及推导今天我们就来介绍用来优化代价函数的梯度下降算法（gradient descent algorithm）。
1 原理那梯度下降究竟为何方神圣？我来用最通俗的语言来介绍下：假设你站在华山之巅，你现在想以最快速度下山，那你肯定是找一条最陡峭的路走。
你环顾四周，找到了一条路线，恩，这个方向是最陡的。
于是你就出发了，走了一会发现，这个方向不是最陡的路了。
你就停下来，换了个最陡的方向，继续往下走。
重复这个步骤，你最终到达了山脚下。
那么，你从山顶到山脚的整个下山的过程，就是梯度下降。
为了在线性回归中应用梯度下降，我们先来回顾下线性回归模型的代价函数，它长这个样子：其中，f(x)为注意，我们变量的上标是指样本数量，从1到m；下标指特征数量，从0到n。
我们的目标是即在J(w)取最小值时，所对应的w值。
这时，梯度下降法就上场了，用公式表示为：其中，“:=”为赋值的含义；α为学习速率，又叫步长，可以理解为我们下山时每走一步的距离；α右边的是J(w)对w求的偏导（偏导就是对w向量中的每个元素分别求导）。
这个公式的含义就是，先初始确定一个w的值，然后用（1）式计算新的w值，反复迭代。
我们不断更新参数w的值，直到J(w)取得最小值时，停止迭代。
我们先把（1）式中J(w)对w的偏导求出来，会容易理解些：将（2）式代入（1）式，可得这就是线性回归中的梯度下降算法。
最后，我手画一张图来把梯度下降的原理大概表示下：如上图，我们先确定一个w，然后按步长α一步一步减小w的值。
最后当w取某一值时，J(w)取得最小值，任务就完成了。
说到这里，可能大家就有疑问了，梯度下降的公式（1）到底是怎么来的呢？别急，我们马上就来推导。
2 推导首先，我们需要泰勒近似定理的一阶展开式：上边那个倒三角符号表示梯度，就是对w求偏导的意思。
从上式不难看出：也就是说：上式说明了什么呢？注意到w和▽J(w)均为向量，也就是说，参数w变化的方向与梯度方向之间的夹角大于90°。
梯度下降算法及优化方法
梯度下降算法及优化⽅法序⾔对于y=f(wx+b),如何使⽤神经⽹络来进⾏求解，也就是给定x和y的值，如何让系统⾃动⽣成正确的权重值w和b呢？⼀般情况下，有两种尝试⽅法：1）随机试：纯概率问题，⼏乎不可能实现。
2）梯度下降法：先初始化w和b(可以随机设置，也可以⼈为默认)，然后使⽤下降算法来对w和b进⾏更新。
都有哪些⽅法？到底哪种⽅法更好？⽬录⼀、基础知识⼆、SGD三、Momentum四、Adagrad五、Adadelta六、RMSProp七、Adam正⽂⼀、基础知识斜率：在⼀维空间上，斜率就是函数的导数；梯度：在多维空间⾥，函数的导数叫梯度，梯度是偏导数组成的向量；⼆、SGD⼀般情况下，SGD指Mini-batch GD，（GD可分为三种：Batch GD，Stochastic GD，mini-batch GD）SGD就是每次迭代计算mini-batch的梯度，然后对参数进⾏更新：1）gt=∇θt−1f(θt−1)2）Δθt=−η∗gt其中，η是学习率，gt是梯度SGD完全依赖于当前batch的梯度，η可理解为允许当前batch的梯度多⼤程度影响参数更新。
劣势：1、学习率LR选择⽐较困难2、对所有参数都使⽤相同的LR：在数据不均衡的情况下，如稀疏特征希望更新快些，常出现特征出现慢些时，SGD不太满⾜要求。
3、容易收敛到局部最优，有可能被困于鞍点三、Momentum积累之前的动量来替代梯度1）mt=µ∗mt−1+gt2）Δθt=−η∗mt其中，µ是动量因⼦梯度下降前期：使⽤上⼀次参数来更新，下降⽅向⼀致，乘上较⼤的µ能够进⾏很好的加速梯度下降后期，在局部最⼩值来回震荡的时候，gradient→0，µ使得更新幅度增⼤，跳出陷阱梯度⽅向改变时，µ能够减少更新结论：momentum项能够加速SGD，抑制振荡，从⽽加快收敛四、Adagrad对学习率进⾏了约束：nt=nt−1+gt2Δθt=−η/(√nt+ϵ)∗gt此处，对gt从11到tt进⾏⼀个递推形成⼀个约束项regularizer:−1/√(∑r=1t(gr)2+ϵ) ，ϵ⽤来保证分母⾮0特点：前期gt较⼩的时候， regularizer较⼤，能够放⼤梯度后期gt较⼤的时候，regularizer较⼩，能够约束梯度适合处理稀疏梯度缺点：由公式可以看出，仍依赖于⼈⼯设置⼀个全局学习率η设置过⼤的话，会使regularizer过于敏感，对梯度的调节太⼤中后期，分母上梯度平⽅的累加将会越来越⼤，使gradient→0，使得训练提前结束五、Adadelta对Adagrad的扩展，也是对学习率进⾏⾃适应约束，但对计算进⾏了简化。
机器学习——梯度下降法
机器学习——梯度下降法1 前⾔ 机器学习和深度学习⾥⾯都⾄关重要的⼀个环节就是优化损失函数，⼀个模型只有损失函数收敛到⼀定的值，才有可能会有好的结果，降低损失的⼯作就是优化⽅法需做的事。
常⽤的优化⽅法：梯度下降法家族、⽜顿法、拟⽜顿法、共轭梯度法、Momentum、Nesterov Momentum、Adagrad、RMSprop、Adam等。
梯度下降法不论是在线性回归还是 Logistic 回归中，主要⽬的是通过迭代找到⽬标函数的最⼩值，或者收敛到最⼩值。
梯度下降法作为机器学习中较常使⽤的优化算法，其有着三种不同的形式：批量梯度下降（Batch Gradient Descent）随机梯度下降（Stochastic Gradient Descent）⼩批量梯度下降（Mini-Batch Gradient Descent） 其中⼩批量梯度下降法也常⽤在深度学习中进⾏模型的训练。
接下来，将逐步对这三种不同的梯度下降法进⾏理解。
为⽅便理解这三种梯度下降法，可以参考本博客2 梯度下降算法2.1 场景假设 梯度下降法的基本思想可以类⽐为⼀个下⼭的过程。
假设这样⼀个场景：⼀个⼈被困在⼭上，需要从⼭上找到⼭的最低点。
但此时⼭上的浓雾很⼤，导致可视度很低；因此，下⼭的路径就⽆法确定，必须利⽤⾃⼰周围的信息⼀步⼀步地找到下⼭的路。
这个时候，便可利⽤梯度下降算法来帮助⾃⼰下⼭。
怎么做呢？⾸先以他当前的所处的位置为基准，寻找这个位置最陡峭的地⽅，然后朝着下降⽅向⾛⼀步，然后⼜继续以当前位置为基准，再找最陡峭的地⽅，再⾛直到最后到达最低处。
2.2 梯度下降 梯度下降的基本过程就和下⼭的场景很类似。
⾸先，我们有⼀个可微分的函数，代表着⼀座⼭。
⽬标是找到这个函数的最⼩值，也就是⼭底。
根据之前的场景假设，最快的下⼭的⽅式就是找到当前位置最陡峭的⽅向，然后沿着此⽅向向下⾛。
对应到函数中，就是找到给定点的梯度 ，然后朝着梯度相反的⽅向，就能让函数值下降的最快！ 重复利⽤这个⽅法，反复求取梯度，最后就能到达局部的最⼩值，这就类似于我们下⼭的过程。
梯度下降算法和人工神经网络
梯度下降算法和人工神经网络梯度下降算法是一种优化算法，用于最小化一个函数的值。
它是基于函数的导数的方向来迭代地减小函数值的。
具体来说，梯度下降算法根据函数的梯度信息（即函数在其中一点的变化率）来确定当前位置的下降方向，然后按照一定的步长（学习率）在该方向上前进一步，以此来迭代地逼近函数的最小值点。
在机器学习中，梯度下降算法通常被用于求解损失函数的最小值点。
例如，在回归问题中，我们可以使用最小二乘法来定义一个损失函数，然后使用梯度下降算法来最小化该损失函数。
在分类问题中，我们可以使用交叉熵损失函数，并使用梯度下降算法来更新模型的参数，以最小化损失函数。
人工神经网络是一种通过模拟神经元之间的连接和传递信息来实现机器学习任务的模型。
它由多个神经元（节点）组成，这些神经元通过连接（边）相互传递信息。
每个神经元接收输入信号并产生一个输出信号，这个输出信号又可以作为其他神经元的输入。
人工神经网络通常具有输入层、隐藏层和输出层，其中隐藏层可以有多个。
人工神经网络的训练通常通过梯度下降算法进行。
我们首先定义一个损失函数，然后通过计算损失函数对模型参数的梯度来更新参数。
在更新参数时，我们可以使用不同的优化算法，例如批量梯度下降法（Batch Gradient Descent）、随机梯度下降法（Stochastic Gradient Descent）或者小批量梯度下降法（Mini-batch Gradient Descent）。
这些算法可以帮助我们在不同的场景下高效地训练神经网络，提高模型的性能。
总结起来，梯度下降算法是优化算法中的一种，用于求解最小化函数值的问题，而人工神经网络是一种模型，利用梯度下降算法对模型进行训练，以解决机器学习问题。
梯度下降算法可以有效地优化人工神经网络的损失函数，并帮助我们找到模型的最佳参数。
这使得人工神经网络成为了机器学习中非常重要且广泛应用的方法之一。
梯度下降法例子
梯度下降法例子梯度下降法是一种常用的优化算法，用于求解目标函数的最小值。
其基本思想是通过不断地迭代，沿着目标函数的负梯度方向更新参数，直到达到最小值。
下面我们将通过一个简单的例子来介绍梯度下降法的具体实现过程。
假设我们要求解以下目标函数的最小值：$$f(x) = x^2 + 2x + 1$$我们可以通过求导得到该函数的梯度：$$\nabla f(x) = 2x + 2$$接下来，我们可以随机初始化参数$x$的值，比如$x=0$，然后根据梯度下降法的更新规则，不断地迭代更新$x$的值，直到达到最小值。
具体的更新规则如下：$$x_{t+1} = x_t - \alpha \nabla f(x_t)$$其中，$x_t$表示第$t$次迭代时$x$的值，$\alpha$表示学习率，控制每次更新的步长。
一般来说，学习率的选择需要根据具体的问题进行调整，如果学习率过大，可能会导致算法不收敛；如果学习率过小，可能会导致算法收敛速度过慢。
假设我们选择学习率$\alpha=0.1$，则可以按照以下步骤进行迭代更新：1. 初始化$x=0$；2. 计算梯度$\nabla f(x) = 2x + 2$，得到$\nabla f(0) = 2$；3. 根据更新规则，更新$x$的值：$x_{t+1} = x_t - \alpha \nablaf(x_t) = 0 - 0.1 \times 2 = -0.2$；4. 重复步骤2和3，直到达到收敛条件。
在本例中，我们可以通过观察目标函数的图像来确定收敛条件。
由于目标函数是一个凸函数，因此它的最小值位于函数的谷底，也就是$x=-1$处。
因此，我们可以设置一个阈值$\epsilon$，当$x$的变化量小于$\epsilon$时，认为算法已经收敛。
下面是一个简单的Python代码实现：```pythondef gradient_descent(f, df, x_init, alpha=0.1, epsilon=1e-6,max_iters=1000):x = x_initfor i in range(max_iters):grad = df(x)x_new = x - alpha * gradif abs(x_new - x) < epsilon:breakx = x_newreturn xf = lambda x: x**2 + 2*x + 1df = lambda x: 2*x + 2x_init = 0x_min = gradient_descent(f, df, x_init)print("Minimum value of f(x) is %.4f at x=%.4f" % (f(x_min), x_min))```运行结果如下：```Minimum value of f(x) is 1.0000 at x=-1.0000```可以看到，经过不到10次迭代，算法就找到了目标函数的最小值，并且与理论值$x=-1$非常接近。
梯度下降法和牛顿迭代法
梯度下降法和牛顿迭代法梯度下降法和牛顿迭代法是常用的优化算法，用于求解函数的最小值。
它们在机器学习和数值优化等领域具有重要的应用。
本文将分别介绍梯度下降法和牛顿迭代法的原理和应用，并比较它们的优缺点。
梯度下降法是一种基于搜索的最优化方法，通过迭代的方式找到函数的最小值点。
其核心思想是沿着负梯度的方向更新参数，使得函数值逐渐减小。
梯度下降法可以分为批量梯度下降法和随机梯度下降法两种形式。
批量梯度下降法在每一次迭代中都使用所有样本的梯度来更新参数，这样做的优点是每次迭代都能朝着整体最优的方向前进，但计算梯度的时间复杂度较高，尤其在大规模数据集上的应用受到限制。
随机梯度下降法每次迭代只使用一个样本的梯度来更新参数，虽然更新速度较快，但由于每次迭代只使用一个样本，可能会出现参数更新的方向不准确的情况。
为了解决这个问题，可以使用小批量梯度下降法，即每次迭代使用一批样本的梯度来更新参数。
梯度下降法的优点是简单易实现，收敛性较好，但也存在一些缺点。
首先，梯度下降法的收敛速度较慢，特别是在函数的最小值点附近时，更新步长会变得很小，导致收敛速度减慢。
其次，梯度下降法对初始点的选择较为敏感，不同的初始点可能得到不同的最优解。
另外，梯度下降法通常只能找到局部最优解，无法保证找到全局最优解。
牛顿迭代法是一种基于二阶导数信息的优化方法，通过近似函数的二阶导数来更新参数。
其核心思想是利用二阶导数的信息来修正一阶导数的方向，从而加速收敛速度。
牛顿迭代法的更新公式为：θ = θ - H^(-1) * ∇J(θ)，其中H为函数的海森矩阵，∇J(θ)为函数的梯度。
牛顿迭代法的优点是收敛速度快，特别是在函数的最小值点附近时，收敛速度更快。
此外，牛顿迭代法对初始点的选择不敏感，通常能够找到全局最优解。
然而，牛顿迭代法也存在一些缺点。
首先，计算海森矩阵的逆矩阵需要较大的计算开销，特别是在高维问题上。
其次，海森矩阵的逆矩阵可能不存在或计算困难，导致无法更新参数。
机器学习概念之梯度下降算法（全量梯度下降算法、随机梯度下降算法、批量梯度下降算法）
机器学习概念之梯度下降算法（全量梯度下降算法、随机梯度下降算法、批量梯度下降算法） 不多说，直接上⼲货！回归与梯度下降 回归在数学上来说是给定⼀个点集，能够⽤⼀条曲线去拟合之，如果这个曲线是⼀条直线，那就被称为线性回归，如果曲线是⼀条⼆次曲线，就被称为⼆次回归，回归还有很多的变种，如本地加权回归、逻辑回归，等等。
⽤⼀个很简单的例⼦来说明回归，这个例⼦来⾃很多的地⽅，也在很多的开源软件中看到，⽐如说weka。
⼤概就是，做⼀个房屋价值的评估系统，⼀个房屋的价值来⾃很多地⽅，⽐如说⾯积、房间的数量（⼏室⼏厅）、地段、朝向等等，这些影响房屋价值的变量被称为特征(feature)，feature在机器学习中是⼀个很重要的概念，有很多的论⽂专门探讨这个东西。
在此处，为了简单，假设我们的房屋就是⼀个变量影响的，就是房屋的⾯积。
假设有⼀个房屋销售的数据如下： ⾯积(m^2) 销售价钱（万元） 123 250 150 320 87 160 102 220 … … 这个表类似于帝都5环左右的房屋价钱，我们可以做出⼀个图，x轴是房屋的⾯积。
y轴是房屋的售价，如下： 如果来了⼀个新的⾯积，假设在销售价钱的记录中没有的，我们怎么办呢？ 我们可以⽤⼀条曲线去尽量准的拟合这些数据，然后如果有新的输⼊过来，我们可以在将曲线上这个点对应的值返回。
如果⽤⼀条直线去拟合，可能是下⾯的样⼦： 绿⾊的点就是我们想要预测的点。
⾸先给出⼀些概念和常⽤的符号，在不同的机器学习书籍中可能有⼀定的差别。
房屋销售记录表 - 训练集(training set)或者训练数据(training data), 是我们流程中的输⼊数据，⼀般称为x 房屋销售价钱 - 输出数据，⼀般称为y 拟合的函数（或者称为假设或者模型），⼀般写做 y = h(x) 训练数据的条⽬数(#training set), ⼀条训练数据是由⼀对输⼊数据和输出数据组成的 输⼊数据的维度(特征的个数，#features)，n 下⾯是⼀个典型的机器学习的过程，⾸先给出⼀个输⼊数据，我们的算法会通过⼀系列的过程得到⼀个估计的函数，这个函数有能⼒对没有见过的新数据给出⼀个新的估计，也被称为构建⼀个模型。
梯度下降法的优点和缺点
梯度下降法的优点和缺点梯度下降法是机器学习中最为常用的优化算法之一。
它是一种基于函数梯度的迭代法，通过不断更新参数，使得目标函数的值不断减小。
虽然梯度下降法已经被广泛应用于各种机器学习问题中，但是它同样存在一些优点和缺点。
优点：1. 算法收敛速度快梯度下降法在进行参数更新时，是根据目标函数的梯度方向来进行的。
因此，每次更新的方向都是朝着函数值下降最快的方向，这使得算法收敛速度非常快。
在一些大规模的数据集中，梯度下降法甚至可以在数秒内就实现了模型的训练。
2. 应用广泛梯度下降法是一种通用的优化算法，不仅可以应用在线性回归和逻辑回归等简单模型中，同样也可以用于神经网络和深度学习的训练过程中。
这就使得梯度下降法成为了机器学习中最为重要和实用的优化算法之一。
3. 参数更新方便梯度下降法的参数更新过程非常简单，只需要计算目标函数的梯度，然后用计算得到的梯度乘以一个学习率，就可以得到更新后的参数。
这样不仅计算量小，而且可以方便地应用于各种不同的机器学习问题中。
缺点：1. 容易陷入局部最优解梯度下降法的一个最大的缺点就是容易陷入局部最优解。
在某些情况下，梯度下降法只能找到局部最优解而无法找到全局最优解。
这是因为梯度下降法只能根据当前位置的梯度方向来进行参数更新，而不能考虑整体的函数形状。
2. 受初始值影响大梯度下降法对初始值比较敏感。
不同的初始值可能会导致算法收敛到不同的点上，甚至可能无法收敛。
这就需要我们在使用梯度下降法时，需要仔细调节初始参数的值，来保证算法可以收敛到正确的最优解。
3. 难以处理稀疏数据梯度下降法在处理稀疏数据时会遇到一些问题。
在稀疏数据集中，大多数特征的值都是0，只有少数的特征有值。
这就导致了目标函数的梯度在这些特征上变化较大，而在其他特征上变化很小。
这会对梯度下降法的更新效果造成较大的影响，从而导致训练效果差。
综上所述，梯度下降法作为一种经典的优化算法，在机器学习中拥有很高的应用价值，但也有其明显的缺点。
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VB梯度下降算法
function grad_ascent(x,y,z,px,py,N,mu,xstart,ystart)
xga(1)= xstart;
yga(1)= ystart;
zga(1)=func(xga(1),yga(1));
for i=1:N
gradx = ( func(xga(i)+eps,yga(i))-func(xga(i),yga(i)) )/eps;
grady = ( func(xga(i),yga(i)+eps)-func(xga(i),yga(i)) )/eps;
xga(i+1) = xga(i) + mu*gradx;
yga(i+1) = yga(i) + mu*grady;
zga(i+1)=func(xga(i+1),yga(i+1));
end
hold off
contour(x,y,z,10)
hold on
quiver(x,y,px,py)
hold on
plot(xga,yga)
S = sprintf('Gradiant Ascent: N = %d, Step Size = %f',N,mu);
title(S)
xlabel('x axis')
ylabel('yaxis')
DEMO
clear
print_flag = 1;
width = 1.5;
xord = -width:.15:width;
yord = -width:.15:width;
[x,y] = meshgrid(xord,yord);
z = func(x,y);
hold off
surfl(x,y,z)
xlabel('x axis')
ylabel('yaxis')
if print_flag, print
else, input('Coninue?'), end
[px,py] = gradient(z,.2,.2);
xstart = 0.9*width;
ystart =-0.3*width;
N = 100;
mu = 0.02;
grad_ascent(x,y,z,px,py,N,mu,xstart,ystart)
if print_flag, print
else, input('Coninue?'), end
N = 100;
mu = 0.06;
grad_ascent(x,y,z,px,py,N,mu,xstart,ystart)
if print_flag, print
else, input('Coninue?'), end
N = 100;
mu = 0.18;
grad_ascent(x,y,z,px,py,N,mu,xstart,ystart)
if print_flag, print
else, input('Coninue?'), end