【区级联考】陕西省西安市莲湖区2021届中考数学第三模拟数学试题
2021年陕西省西安市中考数学模拟试卷(有答案)
陕西省西安市2021年中考数学模拟试卷（解析版）一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分，每小题只有一个选项是符合题意的）1．的相反数是（）A．﹣B．C．﹣D．1.414【分析】根据相反数的意义，可得答案．【解答】解：的相反数是﹣，故选：A．【点评】本题考查了实数的性质，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．2．下列几何体中，左视图与主视图相同的是（）A．B．C．D．【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，从正面看得到的图形是主视图，可得答案．【解答】解：的主视图与左视图都是下边是梯形上边是矩形，故选：A．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图，从正面看得到的图形是主视图．3．下列计算正确的是（）A．（﹣3a2b）3=﹣3a5b3B． ab2•（﹣4a3b）=﹣2a4b3C．4m3n2÷m3n2=0 D．a5﹣a2=a3【分析】根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．【解答】解：∵（﹣3a2b）3=﹣27a6b3，故选项A错误，∵，故选项B正确，∵4m3n2÷m3n2=4，故选项C错误，∵a5﹣a2不能合并，故选项D错误，故选B．【点评】本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式的混合运算的计算方法．4．如图，直线a、b被c所截，若a∥b，∠1=45°，∠3=100°，则∠2的度数为（）A．70° B．65° C．60° D．55°【分析】先根据平行线的性质，得到∠4=∠1=45°，再根据∠3=∠2+∠4，即可得到∠2的度数．【解答】解：∵a∥b，∠1=45°，∴∠4=∠1=45°，∵∠3=∠2+∠4，∴100°=∠2+45°，∴∠2=55°，故选：D．【点评】本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等．5．如果y=（1﹣m）x是正比例函数，且y随x的增大而减小，则m的值为（）A．m=﹣B．m=C．m=3 D．m=﹣3【分析】先根据正比例函数的定义列出关于m的不等式组，求出m的值即可．【解答】解：∵y=（1﹣m）x是正比例函数，且y随x的增大而减小，∴，∴m=，故选B．【点评】本题考查的是正比例函数的定义和性质，即形如y=kx（k≠0）的函数叫正比例函数．6．如图，已知△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，DE是AC的垂直平分线，DE交AB于点D，交AC于点E，连接CD，则CD=（）A．3 B．4 C．4.8 D．5【分析】直接利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而得出线段DE是△ABC的中位线，再利用勾股定理得出AD，再利用线段垂直平分线的性质得出DC的长．【解答】解：∵AB=10，AC=8，BC=6，∴BC2+AC2=AB2，∴△ABC是直角三角形，∵DE是AC的垂直平分线，∴AE=EC=4，DE∥BC，且线段DE是△ABC的中位线，∴DE=3，∴AD=DC==5．故选：D．【点评】此题主要考查了勾股定理以及其逆定理和三角形中位线的性质，正确得出AD的长是解题关键．7．如图，1﹣4月份，甲、乙两工厂月生产增长量的变化情况，则甲工厂和乙工厂生产增长量差值最大的月份是（）A．1月份B．2月份C．3月份D．4月份【分析】折线最陡的一段线，就是增长量差值最大的月份．【解答】解：甲工厂和乙工厂生产增长量差值最大的月份是2月份，故选B．【点评】本题考查了折线统计图，根据图中的折线的变化和数据进行求解．8．已知一次函数y=kx+b﹣x的图象与x轴的正半轴相交，且函数值y随自变量x的增大而增大，则k，b 的取值情况为（）A．k＞1，b＜0 B．k＞1，b＞0 C．k＞0，b＞0 D．k＞0，b＜0【分析】先将函数解析式整理为y=（k﹣1）x+b，再根据图象在坐标平面内的位置关系确定k，b的取值范围，从而求解．【解答】解：一次函数y=kx+b﹣x即为y=（k﹣1）x+b，∵函数值y随x的增大而增大，∴k﹣1＞0，解得k＞1；∵图象与x轴的正半轴相交，∴图象与y轴的负半轴相交，∴b＜0．故选：A．【点评】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，由于y=kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．熟知一次函数的增减性是解答此题的关键．9．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，将矩形ABCD绕B逆时针旋转30°后得到矩形GBEF，延长DA交FG 于点H，则GH的长为（）A．8﹣4B．﹣4 C．3﹣4 D．6﹣3【分析】作辅助线，构建直角△AHM，先由旋转得BG的长，根据旋转角为30°得∠GBA=30°，利用30°角的三角函数可得GM和BM的长，由此得AM和HM的长，相减可得结论．【解答】解：如图，延长BA交GF于M，由旋转得：∠GBA=30°，∠G=∠BAD=90°，BG=AB=4，∴∠BMG=60°，tan∠30°==，∴，∴GM=，∴BM=，∴AM=﹣4，Rt△HAM中，∠AHM=30°，∴HM=2AM=﹣8，∴GH=GM﹣HM=﹣（﹣8）=8﹣4，故选A．【点评】本题考查了矩形的性质、旋转的性质、特殊角的三角函数及直角三角形30°的性质，熟练掌握直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半及特殊角的三角函数值，属于基础题．10．如图是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间．则下列结论：①a﹣b+c＞0；②3a+b=0；③b2=4a（c﹣n）；④一元二次方程ax2+bx+c=n﹣1有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣2，0）和（﹣1，0）之间，则当x=﹣1时，y＞0，于是可对①进行判断；利用抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，即b=﹣2a，则可对②进行判断；利用抛物线的顶点的纵坐标为n得到=n，则可对③进行判断；由于抛物线与直线y=n有一个公共点，则抛物线与直线y=n﹣1有2个公共点，于是可对④进行判断．【解答】解：∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x=1，∴抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣2，0）和（﹣1，0）之间．∴当x=﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0，所以①正确；∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，即b=﹣2a，∴3a+b=3a﹣2a=a，所以②错误；∵抛物线的顶点坐标为（1，n），∴=n，∴b2=4ac﹣4an=4a（c﹣n），所以③正确；∵抛物线与直线y=n有一个公共点，∴抛物线与直线y=n﹣1有2个公共点，∴一元二次方程ax2+bx+c=n﹣1有两个不相等的实数根，所以④正确．故选C．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）：抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分）11．﹣13+﹣12sin30°= ﹣5 ．【分析】根据乘方的意义，开平方、特殊角三角函数值，可得答案．【解答】解：原式=﹣1+2﹣12×=﹣1+2﹣6=﹣5，故答案为：﹣5．【点评】本题考查了实数的运算，利用乘方的意义，开平方、特殊角三角函数值，注意﹣13的底数是1．12．（1）正三角形的边长为4，则它的面积为2（2）31+2sin18°≈31.62 （保留两位小数）【分析】（1）求出等边三角形一边上的高，即可确定出三角形面积；【解答】解：如图，过A作AD⊥BC，∵AB=AB=BC=4，∴BD=CD=BC=2，在Rt△ABD中，根据勾股定理得：AD==2，则S△ABC=BC•AD=2；（2）31+2sin18°≈31+2×0.3090=31.62．故答案为：2，31.62．【点评】此题考查了等边三角形的性质，计算器﹣三角函数，熟练掌握等边三角形的性质是解本题的关键．13．如图所示，直线y=kx（k＜0）与双曲线y=﹣交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，则x1y2﹣3x2y1的值为﹣．【分析】由反比例函数图象的特征，得到两交点坐标关于原点对称，故x1=﹣x2，y1=﹣y2，再代入x1y2﹣3x2y1，由k=xy得出答案．【解答】解：由图象可知点M（x1，y1），N（x2，y2）关于原点对称，即﹣x1=x2，﹣y1=y2，把M（x1，y1）代入双曲线y=﹣，得x1y1=﹣2，则x1y2﹣3x2y1=﹣x1y1+3x1y1=﹣6=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了正比例函数与反比例函数交点坐标的性质，解决问题的关键是利用两交点坐标关于原点对称．14．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=12，经过点C且与AB边相切的动圆与BC、CA分别相交于点M、N，则线段MN长度的最小值为．【分析】设MN的中点为P，⊙P与AB的切点为D，连接PD，连接CP，CD，则有PD⊥AB；由勾股定理可求得BC的长，由MN=PD+CP可得到MN≥CD，故此当MN=CD时，MN有最小值，此时点C、P、D在一条直线上，最后利用面积法可求得CD的长，从而得到MN的最小值．【解答】解：如图，设MN的中点为P，⊙P与AB的切点为D，连接PD，连接CP，CD，则有PD⊥AB；∵AB=13，AC=12，∴BC==5．∵PC+PD=MN，∴PC+PD≥CD，MN≥CD．∴当MN=CD时，MN有最小值．∵PD⊥AB，∴CD⊥AB．∵AB•CD=BC•AC，∴CD===．∴CD的最小值．∴MN的最小值为．故答案为：．【点评】此题主要考查了切线的性质，勾股定理的逆定理，三角形的三边关系，直角三角形的面积公式求解，得出CD=BC•AC÷AB是解题关键．三、解答题．（共11小题，满分78分，解答题后写出过程）15．（5分）1﹣1﹣2sin30°+|3.14﹣π|+（﹣1）0．【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．【解答】解：原式=1﹣1+π﹣3.14+1=π﹣2.14．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．16．（5分）解方程：﹣=1．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：3﹣x2+x=x2﹣1，即2x2﹣x﹣4=0，解得：x=，经检验x=是分式方程的解．【点评】此题考查了解分式方程，利用转化的思想，解分式方程注意要检验．17．（5分）如图，已知锐角三角形ABC，求作⊙C，使⊙C与AB所在的直线相切于点D（保留作图痕迹，不写作法）．【分析】根据切线的性质，过C先作AB的垂线，垂足为D，以C为圆心，由CD作半径的圆即和AB相切．【解答】解：作法：①过C作CE⊥AB于D，②以C为圆心，以CD为半径画圆，则⊙C就是所求作的圆．【点评】本题考查了切线的性质和复杂作图问题，明确过直线外一点作已知直线的垂线，并熟练掌握圆的切线的性质．18．（5分）某校为了了解七年级学生课外活动情况，随机调查了该校若干名学生，调查他们喜欢各类课外活动的情况（课外活动分为四类：A﹣﹣喜欢打乒乓球的人，B﹣﹣喜欢踢足球的人，C﹣﹣喜欢打篮球的人，D﹣﹣喜欢其他的人），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．根据统计图信息完成下列问题：（1）调查的学生人数为120 人．（2）补全条形统计图和扇形统计图．（3）若该校七年级共有600人，请估计七年级学生中喜欢打乒乓球的人数．【分析】（1）利用A人数除以所占百分比即可得到调查学生数；（2）首先计算出喜欢踢足球的人数，然后计算出喜欢踢足球的人所占百分比，再计算出喜欢其他的人所占百分比，然后补图即可；（3）利用总人数乘以样本中喜欢打乒乓球的人数所占百分比即可．【解答】解：（1）30÷25%=120，故答案为：120；（2）喜欢踢足球的人数：120﹣30﹣60﹣6=24，所占百分比：×100%=20%，喜欢其他的人所占百分比：×100%=5%，如图所示；（3）600×=150（人），答：七年级学生中喜欢打乒乓球的人数为150人．【点评】此题主要考查了条形统计图，以及利用样本估计总体，关键是读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．19．（7分）已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，点F在边BC上，且AE=CF，作EG∥FH，分别与对角线BD交于点G、H，连接EH，FG．（1）求证：△BFH≌△DEG；（2）连接DF，若BF=DF，则四边形EGFH是什么特殊四边形？证明你的结论．【分析】（1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，AD=BC，OB=OD，由平行线的性质得出∠FBH=∠EDG，∠OHF=∠OGE，得出∠BHF=∠DGE，求出BF=DE，由AAS即可得出结论；（2）先证明四边形EGFH是平行四边形，再由等腰三角形的性质得出EF⊥GH，即可得出四边形EGFH是菱形．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴∠FBH=∠EDG，∵AE=CF，∴BF=DE，∵EG∥FH，∴∠OHF=∠OGE，∴∠BHF=∠DGE，在△BFH和△DEG中，，∴BFH≌△DEG（AAS）；（2）解：四边形EGFH是菱形；理由如下：连接DF，如图所示：由（1）得：BFH≌△DEG，∴FH=EG，又∵EG∥FH，∴四边形EGFH是平行四边形，∵DE=BF，∠EOD=∠BOF，∠EDO=∠FBO，∴△EDO≌△FBO，∴OB=OD，∵BF=DF，OB=OD，∴EF⊥BD，∴EF⊥GH，∴四边形EGFH是菱形．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，菱形的判定，等腰三角形的性质，平行四边形的性质和判定等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．20．（7分）已知某山区的平均气温与该山的海拔高度的关系见下表：（2）若某种植物适宜生长在18℃～20℃（包含18℃，也包含20℃）山区，请问该植物适宜种植在海拔为多少米的山区？【分析】（1）分析数据可知：高度每增加100米，温度下降0.5℃．据此列关系式；（2）取y=18，20，分别求出高度x的值，再回答问题．【解答】解：（1）y=22﹣0.5×=22﹣0.005x；（2）当y=18时，即 22﹣0.005x=18，解得 x=800；当y=20时，即 22﹣0.005x=20，解得 x=400．∴若某种植物适宜生长在18℃～20℃（包含18℃，也包含20℃）山区，那么该植物适宜种植在海拔为400～800米的山区．【点评】此题考查一次函数的应用，正确表示函数关系式是关键．难度不大．21．（7分）如图，某水平地面上建筑物的高度为AB，在点D和点F处分别竖立高是2米的标杆CD和EF，两标杆相隔52米，并且建筑物AB、标杆CD和EF在同一竖直平面内，从标杆CD后退2米到点G处，在G 处测得建筑物顶端A和标杆顶端C在同一条直线上；从标杆FE后退4米到点H处，在H处测得建筑物顶端A和标杆顶端E在同一条直线上，求建筑物的高．【分析】根据题意可得出△CDG∽△ABG，△EFH∽△ABH，再根据相似三角形的对应边成比例即可得出结论．【解答】解：∵AB⊥BH，CD⊥BH，EF⊥BH，∴AB∥CD∥EF，∴△CDG∽△ABG，△EFH∽△ABH，∴=， =，∵CD=DG=EF=2m，DF=52m，FH=4m，∴=，=，∴=，解得BD=52，∴=，解得AB=54．答：建筑物的高为54米．【点评】本题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．22．（7分）“五一”小长假期间，某超市为了吸引顾客，设计了一种促销活动：在一个不透明的箱子里放有4个相同的小球，球上分别标有“0元”、“10元”、“20元”、“30元”的字样．规定：顾客在本超市一次性购物满500元以上均可获得两次摸球的机会（摸出小球后放回）．超市根据两小球所标金额的和返还相应的代金券．（1）顾客甲购物1000元，则他最少可获0 元代金券，最多可获60 元代金券．（2）请用树形图或列表方法，求出顾客甲获得不低于30元（含30元）代金券的概率．【分析】（1）至少得到的金额数为0+0=0元，至多得到的金额数为30+30=60元；（2）列举出所有情况，看该顾客所获得购物券的金额不低于30元的情况数占总情况数的多少即可．【解答】解：（1）至少得到的金额数为0+0=0元，至多得到的金额数为30+30=60元，故答案为0、60；（2）画树状图如下：共16种情况，不低于30元的情况数有10种，所以所求的概率为=．【点评】本题考查概率的求法；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比；得到所求的情况数是解决本题的关键．23．（8分）已知：如图，在△ABC中，D是AB边上一点，圆O过D、B、C三点，∠DOC=2∠ACD=90°．（1）求证：直线AC是圆O的切线；（2）如果∠ACB=75°，圆O的半径为2，求BD的长．【分析】（1）证明OC⊥AC即可．根据∠DOC是等腰直角三角形可得∠DCO=45°．又∠ACD=45°，所以∠ACO=90°，得证；（2）如果∠ACB=75°，则∠BCD=30°；又∠B=∠O=45°，解斜三角形BCD求解．所以作DE⊥BC，把问题转化到解直角三角形求解．先求CD，再求DE，最后求BD得解．【解答】（1）证明：∵OD=OC，∠DOC=90°，∴∠ODC=∠OCD=45°．∵∠DOC=2∠ACD=90°，∴∠ACD=45°．∴∠ACD+∠OCD=∠OCA=90°．∵点C在圆O上，∴直线AC是圆O的切线．（2）解：方法1：∵OD=OC=2，∠DOC=90°，∴CD=2．∵∠ACB=75°，∠ACD=45°，∴∠BCD=30°，作DE⊥BC于点E，则∠DEC=90°，∴DE=DCsin30°=．∵∠B=45°，∴DB=2．方法2：连接BO∵∠ACB=75°，∠ACD=45°，∴∠BCD=30°，∴∠BOD=60°∵OD=OB=2∴△BOD是等边三角形∴BD=OD=2．【点评】此题考查了切线的判定方法和解直角三角形，内容单一，难度不大．注意：解斜三角形通常通过作垂线把问题转化为解直角三角形求解．24．（10分）已知抛物线y=3ax2+2bx+c，（Ⅰ）若a=b=1，c=﹣1，求该抛物线与x轴公共点的坐标；（Ⅱ）若a=b=1，且当﹣1＜x＜1时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，求c的取值范围；（Ⅲ）若a+b+c=0，且x1=0时，对应的y1＞0；x2=1时，对应的y2＞0，试判断当0＜x＜1时，抛物线与x 轴是否有公共点？若有，请证明你的结论；若没有，阐述理由．【分析】（Ⅰ）把a，b，c的值代入可得抛物线的解析式，求出两根即可；（Ⅱ）把a，b代入解析式可得△=4﹣12c≥0，等于0时可直接求得c的值；求出y的相应的值后可得c的取值范围；（Ⅲ）抛物线y=3ax2+2bx+c与x轴公共点的个数就是一元二次方程3ax2+2bx+c=0的实数根的个数，因此，本题的解答就是研究在不同的条件下一元二次方程3ax2+2bx+c=0根的判别式的符号，依据判别式的符号得出相应的结论．【解答】解：（Ⅰ）当a=b=1，c=﹣1时，抛物线为y=3x2+2x﹣1，方程3x2+2x﹣1=0的两个根为x1=﹣1，．∴该抛物线与x轴公共点的坐标是（﹣1，0）和（，0）；（Ⅱ）当a=b=1时，抛物线为y=3x2+2x+c，且与x轴有公共点．对于方程3x2+2x+c=0，判别式△=4﹣12c≥0，有c≤．①当时，由方程3x2+2x+=0，解得x1=x2=﹣．此时抛物线为y=3x2+2x+与x轴只有一个公共点（﹣，0）；（4分）②当时，x1=﹣1时，y1=3﹣2+c=1+c；x2=1时，y2=3+2+c=5+c．由已知﹣1＜x＜1时，该抛物线与x轴有且只有一个公共点，考虑其对称轴为，应有即，解得﹣5＜c≤﹣1．综上，或﹣5＜c≤﹣1．（6分）（Ⅲ）对于二次函数y=3ax2+2bx+c，由已知x1=0时，y1=c＞0；x2=1时，y2=3a+2b+c＞0，又∵a+b+c=0，∴3a+2b+c=（a+b+c）+2a+b=2a+b．∴2a+b＞0．∵b=﹣a﹣c，∴2a﹣a﹣c＞0，即a﹣c＞0．∴a＞c＞0．（7分）∵关于x的一元二次方程3ax2+2bx+c=0的判别式△=4b2﹣12ac=4（a+c）2﹣12ac=4[（a﹣c）2+ac]＞0，∴抛物线y=3ax2+2bx+c与x轴有两个公共点，顶点在x轴下方．（8分）又该抛物线的对称轴，由a+b+c=0，c＞0，2a+b＞0，得﹣2a＜b＜﹣a，∴．又由已知x1=0时，y1＞0；x2=1时，y2＞0，观察图象，可知在0＜x＜1范围内，该抛物线与x轴有两个公共点．（10分）【点评】借助图象，可将抽象的问题直观化；二次函数与x轴的交点的纵坐标为0；抛物线与x轴交点的个数就是一元二次方程根的个数．25．（12分）问题探究（1）请在图①的正方形ABCD的对角线BD上作一点P，使PA+PC最小；（2）如图②，点P为矩形ABCD的对角线BD上一动点，AB=2，BC=2，点E为BC边的中点，求作一点P，使PE+PC最小，并求这个最小值．问题解决（3）如图③，李师傅有一块边长为1000米的菱形ABCD采摘园，AC=1200米，BD为小路，BC的中点E为一水池，李师傅现在准备在小路BD上建一个游客临时休息纳凉室P，为了节省土地，使休息纳凉室P到水池E与大门C的距离之和最短，那么是否存在符合条件的点P？若存在，请作出的点P位置，并求出这个最短距离；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用正方形的对称性直接连接AC即可；（2）作出点C关于BD的对称性，连接C'E交BD于P，进而判断出△CEC'是直角三角形，利用勾股定理即可求出；（3）直接连接AE交BD于P，再过点E作EF⊥AC，构造出直角三角形，再利用三角形的中位线求出EF，进而利用勾股定理求出CF，最后在Rt△AEF中利用勾股定理即可．【解答】解：（1）如图①，连接AC交BD于P，则AP+CP最小=AC；（2）如图②，作点C关于BD的对称点C'交BD于F，连接C'E交BD于P，则PE+PC最小=C'E．∵BD是矩形ABCD的对角线，∴CD=AB=2，∠BCD=90°，在Rt△BCD中，CD=2，BC=2，∴tan∠CBD===，∴∠CBD=30°，由对称知，CC'=2CF，CC'⊥BD，∴∠CFD=90°，∴∠BCF=60°，∠DCF=30°，在Rt△CDF中，CD=2，∠DCF=30°，∴CF=，∴CC'=2CF=2，∵点E为BC边的中点，∴CE=BC=，∴CF=CE，连接EF，∴△CEF是等边三角形，∴EF=CF=C'F，∴△CEC'是直角三角形，在Rt△CEC'中，CC'=2，CE=，∴C'E=3，∴PE+PC最小为3；（3）如图③，菱形ABCD的对角线相交于点O，∴OC=OA=AC=600，AC⊥BD，在Rt△BOC中，OB==800，过点E作EF⊥AC于F，∴EF∥OB，∵点E是BC的中点，EF=OB=400，∵CE=BC=500，根据勾股定理得，CF==300，∴AF=AC﹣CF=1200﹣300=900，连接AE交BD于P，即：PC+PE最小=AE，在Rt△AEF中，根据勾股定理得，AE==100，【点评】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质，菱形的性质，对称的性质，三角形的中位线，勾股定理；解（2）的关键是判断出△CEC'是直角三角形，解（3）的关键是构造出直角三角形AEF．。
2021年陕西西安莲湖区西安市第一中学高三三模理科数学试卷-学生用卷
2021年陕西西安莲湖区西安市第一中学高三三模理科数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、【来源】在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，则“a ⩽b ”是“sinA ⩽sinB ”的（ ）A. 充分必要条件B. 充分非必要条件C. 必要非充分条件D. 非充分非必要条件2、【来源】 2021年陕西西安莲湖区西安市第一中学高三三模理科第2题5分2017~2018学年河南郑州金水区郑州市第七中学高一下学期期中第9题5分2018~2019学年天津和平区高一上学期期末第6题2016~2017学年辽宁沈阳和平区沈阳铁路实验中学高一下学期期中理科第2题5分2020~2021学年陕西西安雁塔区西安市曲江第一中学高一下学期期中第4题已知sinα−cosα=√2，α∈(0,π)，则tanα=（ ）．A. −1B. −√22C. √22D. 13、【来源】 2021年陕西西安莲湖区西安市第一中学高三三模理科第3题5分2017~2018学年广西南宁兴宁区广西南宁市第三中学高二上学期期中2017~2018学年广西南宁兴宁区广西南宁市第三中学高三上学期期中2018~2019学年贵州贵阳南明区贵阳市第一中学高一月考在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若3a =2b ，则2sin 2B−sin 2Asin 2A 的值为()A. −19B. 13C. 1D. 724、【来源】 2021年陕西西安莲湖区西安市第一中学高三三模理科第4题5分2018~2019学年江苏南京南京外国语学校高一期中2018~2019学年江苏南京南京外国语学校高三期中若tanα=2tanπ5，则cos(α−3π10)sin(α−π5)=( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 45、【来源】 2021年陕西西安莲湖区西安市第一中学高三三模理科第5题5分2017年湖南长沙岳麓区湖南师范大学附属中学高三三模文科第6题5分在△ABC 中，AC =√7，BC =2，B =60°，则BC 边上的高等于（ ）．A. √32B. 3√32C. √3+√62D. √3+√3946、【来源】 2021年陕西西安莲湖区西安市第一中学高三三模理科第6题5分2017~2018学年江西南昌青山湖区南昌第三中学高一上学期期末第7题5分2017~2018学年浙江杭州拱墅区杭州第十四中学康桥校区高一上学期期末第12题3分2016~2017学年北京高三上学期单元测试《函数的图像》第11题已知a 是实数，则函数f (x )=1+asinax 的图象不可能是 （ ）．A.B.C.D.7、【来源】 2021年陕西西安莲湖区西安市第一中学高三三模理科第7题5分2016~2017学年3月陕西西安长安区西安市长安区第一中学高一下学期月考第11题5分2012年高考真题新课标卷理科第9题2012年北京高考2016~2017学年4月陕西西安莲湖区西安市第一中学高一下学期月考第11题3分已知ω>0，函数f(x)=sin(ωx+π4)在(π2,π)上单调递减，则ω的取值范围是（）．A. [12,5 4 ]B. [12,3 4 ]C. (0,12]D. (0,2]8、【来源】 2021年陕西西安莲湖区西安市第一中学高三三模理科第8题5分2019~2020学年福建福州台江区福州第八中学高一上学期期末第18题4分设函数f (x )=cosωx (ω>0)，将y =f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( )A. 13B. 3C. 6D. 99、【来源】 2021年陕西西安莲湖区西安市第一中学高三三模理科第9题5分2017~2018学年山东济宁兖州区高二上学期期中第2题5分2014年高考真题浙江卷文科第4题2019~2020学年安徽合肥蜀山区合肥市第八中学高一下学期段考（二）第6题5分2018~2019学年江苏南京建邺区中华中学高一下学期期中第9题5分为了得到函数y =sin3x +cos3x 的图像，可以将函数y =√2cos3x 的图像（ ）．A. 向右平移π12个单位B. 向右平移π4个单位C. 向左平移π12个单位D. 向左平移π4个单位10、【来源】 2021年陕西西安莲湖区西安市第一中学高三三模理科第10题5分2014年高考真题天津卷文科第8题已知函数f(x)=√3sinωx +cosωx(ω>0),x ∈R ，在曲线y =f(x)与直线y =1的交点中，若相邻交点距离的最小值为π3，则f(x)的最小正周期为（ ）．A. π2B. 2π3C. πD. 2π11、【来源】 2021年陕西西安莲湖区西安市第一中学高三三模理科第11题5分2016~2017学年北京西城区北京市第四中学高三上学期期中文科第8题5分2013年高考真题四川卷理科第5题2013年高考真题四川卷文科第5题2017~2018学年4月广东广州海珠区广州市南武中学高一下学期月考第6题5分函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,−π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则ω,φ的值分别是（）．A. 2,−π3B. 2,−π6C. 4,−π6D. 4,π312、【来源】 2021年陕西西安莲湖区西安市第一中学高三三模理科第12题5分2018~2019学年重庆九龙坡区重庆市杨家坪中学高一下学期单元测试《解三角形》第8题4分如图，E，F是等腰直角△ABC斜边AB的三等分点，则tan∠ECF=（）．A. 1627B. 23C. √33D. 34二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2021年陕西西安莲湖区西安市第一中学高三三模理科第13题5分2020~2021学年4月陕西西安雁塔区西北大学附属中学高三下学期月考理科（十模）第14题5分2015~2016学年北京西城区北京市第四中学高一下学期期中2015~2016学年北京西城区北京市第四中学高一下学期期中=．在△ABC中，a=4,b=5,c=6，则sin2Asin C14、【来源】 2021年陕西西安莲湖区西安市第一中学高三三模理科第14题5分2018~2019学年广东广州天河区广州市第一一三中学高一下学期期中第16题5分2016~2017学年北京海淀区北京市十一学校高一下学期期中第15题4分2017~2018学年福建厦门思明区福建省厦门第一中学高二上学期期中理科第15题5分2017~2018学年9月贵州贵阳云岩区贵阳市第六中学高三上学期月考理科第16题5分在△ABC中，B=60∘,AC=√3，则AB+2BC的最大值为．15、【来源】 2021年陕西西安莲湖区西安市第一中学高三三模理科第15题5分2019~2020学年11月天津南开区天津市南开中学高三上学期月考第14题5分2018~2019学年天津南开区天津市南开中学高三下学期开学考试理科第13题5分2018~2019学年2月天津南开区天津市南开中学高三下学期月考理科第13题5分2018~2019学年河南郑州金水区郑州市第七中学高一下学期期中第16题5分已知函数f(x)=sinωx+√3cosωx(ω>0)，x∈R，若函数f(x)在区间(−ω,ω)内单调递增，且函数f(x)的图象关于直线x=ω对称，则ω的值为．16、【来源】 2021年陕西西安莲湖区西安市第一中学高三三模理科第16题5分设函数f(x)=sinx−cosx+x+1(0<x<2π)，函数f(x)的极大值为．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）17、【来源】 2021年陕西西安莲湖区西安市第一中学高三三模理科第17题12分解答下列各题：(1) 化简：sin (540°−x )tan (900°−x )⋅1tan(450°−x )tan(810°−x )⋅cos (360°−x )sin (−x )． (2) 求函数y =2cos 2x +sin2x 的最小值．18、【来源】 2021年陕西西安莲湖区西安市第一中学高三三模理科第18题12分回答下列问题：(1) 叙述并证明两角和的余弦公式．(2) 已知cosα=−45，α∈(π,32π)，tanβ=−13，β=(π2,π)，求cos(α+β)．19、【来源】 2021年陕西西安莲湖区西安市第一中学高三三模理科第19题12分设f (x )=sinxcosx −cos 2(x +π4)．(1) 求f (x )的单调区间；(2) 在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若f (A 2)=0，a =1，求△ABC 面积的最大值．20、【来源】 2021年陕西西安莲湖区西安市第一中学高三三模理科第20题12分2012年高考真题重庆卷理科第18题设f(x)=4cos(ωx −π6)sinωx −cos(2ωx +π)，其中ω>0． (1) 求函数y =f(x)的值域；(2) 若f(x)在区间[−3π2,π2]上为增函数，求ω的最大值．21、【来源】 2021年陕西西安莲湖区西安市第一中学高三三模理科第21题12分2009年高考真题辽宁卷文科第21题12分设f (x )=e x (ax 2+x +1)，且曲线y =f (x )在x =1处的切线与x 轴平行．(1) 求a 的值，并讨论f (x )的单调性．(2) 证明：当θ∈[0,π2]时，|f (cos θ)−f (sin θ)|<2．四、选做题（本大题共2小题，每小题10分，选做1小题）22、【来源】 2021年陕西西安莲湖区西安市第一中学高三三模理科第22题10分在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =3+12ty =√32t（t 为参数）．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ=2√3sinθ．(1) 写出⊙C 的直角坐标方程．(2) P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标．23、【来源】 2021年陕西西安莲湖区西安市第一中学高三三模理科第23题10分2016~2017学年2月湖南长沙开福区长沙市第一中学高三下学期月考文科第23题10分 2018~2019学年5月陕西西安新城区西安市第八十九中学高二下学期月考第23题10分 已知a >0，b >0，c >0，函数f(x)=|x +a|+|x −b|+c 的最小值为4．(1) 求a +b +c 的值．(2) 求14a 2+19b 2+c 2的最小值．1 、【答案】 A;2 、【答案】 A;3 、【答案】 D;4 、【答案】 C;5 、【答案】 B;6 、【答案】 D;7 、【答案】 A;8 、【答案】 C;9 、【答案】 A;10 、【答案】 C;11 、【答案】 A;12 、【答案】 D;13 、【答案】 1;14 、【答案】2√7;15 、【答案】√6π6;16 、【答案】π+2;17 、【答案】 (1) sinx．;(2) 1−√2．;18 、【答案】 (1) cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ，证明见解析．;(2) 3√1010．;19 、【答案】 (1) f(x)的单调递增区间是[−π4+kπ,π4+kπ](k∈Z)；单调递减区间是[π4+kπ,3π4+kπ](k∈Z)．;(2) △ABC面积的最大值为2+√34．;20 、【答案】 (1) [1−√3,1+√3]．;(2) 16．;21 、【答案】 (1) f(x)在(−∞,−2)，(1,+∞)单调减少，在(−2,1)单调增加．;(2) 证明见解析．;22 、【答案】 (1) x2+(y−√3)2=3．;(2) (3,0)．;23 、【答案】 (1) 4．;(2) 8．7;。
2021年陕西省西安市中考数学模拟试卷解析版
2021年陕西省西安市中考数学模拟试卷解析版
一、填空题（每小题3分，共10小题，计30分）
1．（3分）下列实数中，无理数是（）
A ．
B ．
C ．D．3.3030030003
【分析】根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
【解答】解：A .，属于有理数；
B .，属于有理数；
C .是无理数；
D.3.3030030003是有限小数，属于有理数．
故选：C．
2．（3分）如图，点E在AD的延长线上，下列条件中能判断BC∥AD的是（）
A．∠3＝∠4B．∠A+∠ADC＝180°
C．∠1＝∠2D．∠A＝∠5
【分析】结合图形分析两角的位置关系，根据平行线的判定方法判断．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴BC∥AD（内错角相等，两直线平行）．
故选：C．
3．（3分）下列运算正确的是（）
A．a2•a3＝a5B．（m2）3＝m5
C．（x+y）2＝x2+y2D．2a2+2b2＝4a2b2
【分析】根据合并同类项、完全平方公式、同底数幂的乘法和积的乘方与幂的乘方计算即可．
【解答】解：A、a2•a3＝a5，故符合题意；
B、（m2）3＝m6，故不符合题意；
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【2021】陕西省西安市中考数学模拟试卷(含答案)
陕西省西安市中考数学模拟试卷（含答案）一、单选题1．计算：0(2020)-（ ）A ．1B ．0C ．2020D ．﹣2020 2．如图，该几何体的俯视图是（ ）A ．B ．C ．D ． 3．已知直线a ∥b ，将一块含45°角的直角三角板（∠C=90°）按如图所示的位置摆放，若∠1=55°，则∠2的度数为（ ）A ．80°B ．70°C ．85°D ．75° 4．若正比例函数为y =3x ，则此正比例函数过（m ，6），则m 的值为（ ）A ．﹣2B ．2C ．-D ．5．下列计算中，结果是a 7的是（ ）A ．a 3﹣a 4B ．a 3•a 4C ．a 3+a 4D ．a 3÷a 4 6．若线段,AP AQ 分别是ABC 边上的高线和中线，则（）A ．AP AQ >B ．AP AQ ≥C ．AP AQ <D ．AP AQ ≤7．一次函数()403y x b b =+>与413=-y x 图象之间的距离等于3，则b 的值为（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．68．如图，矩形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，304ADB AB ∠︒＝，＝，则OC 等于（）A ．5B ．4C ．3.5D ．39．如图，已知⊙O 是正方形 ABCD 的外接圆，点 E 是弧 AD 上任意一点，则∠BEC 的度数为（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°10．若抛物线2y x ax b =++与x 轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线1x =，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点( )A ．()3,6--B ．()3,0-C ．()3,5--D ．()3,1--二、填空题11．分解因式：()()198m m m +-+=______.12．若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是______． 13．如图所示，点C 在反比例函数k y (x 0)x=>的图象上，过点C 的直线与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，且AB BC =，已知AOB 的面积为1，则k 的值为______．14．如图，在△ABC中，AC=BC=2, ∠ACB=90°,D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC+ED的最小值是_______.三、解答题1521|22-⎛⎫- ⎪⎝⎭．16．计算：222111442x xx x x x--⋅---+-．17．已知：如图，∠ABC，射线BC上一点D，求作：等腰△PBD，使线段BD为等腰△PBD的底边，点P在∠ABC内部，且点P到∠ABC 两边的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）18．在“弘扬传统文化，打造书香校园”活动中，学校计划开展四项活动：“A-国学诵读”、“B-演讲”、“C-课本剧”、“D-书法”，要求每位同学必须且只能参加其中一项活动，学校为了了解学生的意思，随机调查了部分学生，结果统计如下：（1）根据题中信息补全条形统计图．（2）所抽取的学生参加其中一项活动的众数是．（3）学校现有800名学生，请根据图中信息，估算全校学生希望参加活动A有多少人？19．如图，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，点D,E分别在边AB、AC上，且AD=AE，连接BE、CD，交于点F.(1)求证：∠ABE＝∠ACD；(2)求证：过点A、F的直线垂直平分线段BC．20．如图，为了测量山顶铁塔AE的高，小明在27m高的楼CD底部D测得塔顶A的仰角为45°，在楼顶C测得塔顶A的仰角36°52′．已知山高BE为56m，楼的底部D与山脚在同一水平线上，求该铁塔的高AE．（参考数据：sin36°52′≈0.60，tan36°52′≈0.75）21．在一段长为1000的笔直道路AB上，甲、乙两名运动员均从A点出发进行往返跑训练．已知乙比甲先出发30秒钟，甲距A点的距离y（米）与其出发的时间x（分钟）的函数图象如图所示，乙的速度是150米分钟，且当乙到达B点后立即按原速返回．（1）当x为何值时，两人第一次相遇？（2）当两人第二次相遇时，求甲的总路程．22．如图1，一枚质地均匀的正四面体骰子，它有四个面并分别标有数字1，2，3，4．如图2，正方形ABCD顶点处各有一个圈．跳圈游戏的规则为：游戏者每掷一次骰子，骰子着地一面上的数字是几，就沿正方形的边顺时针方向连续跳几个边长．如：若从圈A起跳，第一次掷得3，就顺时针连续跳3个边长，落到圈D；若第二次掷得2，就从D开始顺时针连续跳2个边长，落到圈B；…设游戏者从圈A起跳．（1）嘉嘉随机掷一次骰子，求落回到圈A的概率P1；（2）淇淇随机掷两次骰子，用列表法求最后落回到圈A的概率P2，并指出她与嘉嘉落回到圈A的可能性一样吗？23．已知：△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，作EG⊥AB于H，交BC于F，延长GE 交直线MC于D，且∠MCA＝∠B，求证：（1）MC是⊙O的切线；（2）△DCF是等腰三角形．24．如图，已知抛物线y＝x2﹣4与x轴交于点A，B（点A位于点B的左侧），C为顶点，直线y＝x+m经过点A，与y轴交于点D．（1）求线段AD的长；（2）平移该抛物线得到一条新拋物线，设新抛物线的顶点为C′．若新抛物线经过点D，并且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线CC′平行于直线AD，求新抛物线对应的函数表达式．25．问题提出（1）如图①．在△ABC中，AB=4，∠A=135°，点B关于AC所在直线的对称点为B'，则BB'的长度为．问题探究（2）如图②，半圆O的直径AB=10，C是AB的中点，点D在BC上，且2，CD BDP是AB上的动点，试求PC+PD的最小值．问题解决（3）如图③，扇形花坛AOB的半径为20m，∠AOB=45°．根据工程需要．现想在AB上选点P，在边OA上选点E，在边OB上选点F，用装饰灯带在花坛内的地面上围成一个△PEF，使晚上点亮时，花坛中的花卉依然赏心悦目．为了既节省材料，又美观大方，需使得灯带PE+EF+FP的长度最短，并且用长度最短的灯带围成的△PEF为等腰三角形．试求PE+EF+FP的值最小时的等腰△PEF的面积．（安装损耗忽略不计）答案1．A2．A【解析】分析：找到从几何体的上面所看到的图形即可．详解：从几何体的上面看可得，故选A．3．A【解析】∵∠1=∠3=55°，∠B=45°，∴∠4=∠3+∠B=100°，∵a∥b，∴∠5=∠4=100°，∴∠2=180°﹣∠5=80°，故选A．4．B5．B6．D【详解】解：如图，AP是ABC的高，AQ是ABC的中线，,AP AQ ∴≤当ABC 为等腰三角形，且AB AC =时，等号成立．故,,A B C 错误，D 正确，故选：D ．7．C【详解】 如图，设直线413=-y x 与x 轴交点为点C ，与y 轴交点为点A ，过点A 作AD ⊥直线()403y x b b =+>于点D 由一次函数图象的性质可知，直线413=-y x 与直线()403y x b b =+>平行 则AD 为两直线间的距离，且与两直线均垂直3AD ∴= 对于直线413=-y x 令0x =得1y =-，则点(0,1)A -令0y =得4103x -=，解得34x =，则点3(,0)4C351,,44OA OC AC ∴==== 3cos 5OC ACO AC ∴∠== 又90ACO CAO BAD CAO ∠+∠=∠+∠=︒ACO BAD ∴∠=∠ cos cos AD ACO BAD AB ∴∠=∠=，即335AB = 解得5AB =对于直线()403y x b b =+> 令0x =得0y b =>则(1)15AB b b =--=+= 解得4b =故选：C ．8．B【解析】试题解析：∵四边形ABCD 是矩形，,,90AC BD OA OC BAD ∴==∠=，30ADB ∠=，∴AC =BD =2AB =8， 142OC AC ∴==； 故选B.9．B 【详解】连接OB ，OC ，∵⊙O 是正方形ABCD 的外接圆， ∴∠BOC=90°，∴∠BEC=12∠BOC=45°． 故选B ．10．B 【解析】∵某定弦抛物线的对称轴为直线x=1， ∴该定弦抛物线过点（0，0）、（2，0），∴该抛物线解析式为y=x （x-2）=x 2-2x=（x-1）2-1．将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到新抛物线的解析式为y=（x-1+2）2-1-3=（x+1）2-4．当x=-3时，y=（x+1）2-4=0， ∴得到的新抛物线过点（-3，0）． 故选B ．11．（m+3）（m-3） 12．8 13．13．4解：设点A 的坐标为()a,0-，过点C 的直线与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，且AB BC =，AOB 的面积为1，∴点k C a,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴点B 的坐标为k 0,2a ⎛⎫⎪⎝⎭，1k a 122a∴⋅⋅=， 解得，k 4=， 故答案为4．14解：如图，过点C 作CO ⊥AB 于O ，延长CO 到C′，使OC′=OC ，连接DC′，交AB 于E ，连接CE ，此时DE+CE=DE+EC′=DC′的值最小．连接BC′，由对称性可知∠C′BE=∠CBE=45°， ∴∠CBC′=90°，∴BC′⊥BC ，∠BCC′=∠BC′C=45°， ∴BC=BC′=2， ∵D 是BC 边的中点， ∴BD=1，根据勾股定理可得DC '===则EC+ED15．2-． 16．2xx -． 【详解】222111442x x x x x x --⋅---+- 22(1)(1)11(2)2x x x x x x -+-=⋅---- 1122x x x +=--- 2x x =-． 17． 【详解】∵点P 在∠ABC 的平分线上，∴点P 到∠ABC 两边的距离相等（角平分线上的点到角的两边距离相等），∵点P 在线段BD 的垂直平分线上，∴PB=PD （线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等）， 如图所示：18． 【详解】（1）由题意可得，被调查的总人数为12÷20%=60，希望参加活动B 的人数为60×15%=9，希望参加活动D 的人数为60-27-9-12=12，故补全条形统计图如下：（2）由条形统计图知众数为“A -国学诵读”；（3）由题意得全校学生希望参加活动A 的人数为800×2760=360（人） 19． 【详解】（1）在△ABE 和△ACD 中，AB AC A A AE AD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝， ∴△ABE ≌△ACD ， ∴∠ABE=∠ACD ； （2）连接AF ．∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，由（1）可知∠ABE=∠ACD，∴∠FBC=∠FCB，∴FB=FC，∵AB=AC，∴点A、F均在线段BC的垂直平分线上，即直线AF垂直平分线段BC．20．52【详解】如图，过点C作CF⊥AB于点F.设塔高AE=x，由题意得,EF=BE−CD=56−27=29m,AF=AE+EF=(x+29)m，在Rt△AFC中,∠ACF=36°52′,AF=(x+29)m，则29411636520.7533AF xCF xtan+=≈=+︒'，在Rt△ABD中,∠ADB=45°，AB=x+56，则BD=AB=x+56，∵CF=BD，∴41165633x x+=+，解得：x=52，答：该铁塔的高AE为52米.21．【详解】（1）甲的速度为：100÷4＝250米/分钟，令250x＝150（x3060 +），解得，x＝0.75，答：当x为0.75分钟时，两人第一次相遇；（2）当x＝5时，乙行驶的路程为：150×（53060+）＝825＜1000，∴甲乙第二次相遇的时间为：10008255 5.5100015010-5-+=+（分钟），则当两人第二次相遇时，甲行驶的总路程为：1000+（5.5-5）×200＝1100（米），答：当两人第二次相遇时，甲行驶的总路程是1100米．22．【解析】（1）掷一次骰子，有4种等可能结果，只有掷到4时，才会回到A圈.P1=1 4(2)列表如下，所有等可能的结果共有16种，当两次掷得的数字和为4的倍数，即（1,3），（2,2），（3,1），（4,4）时，才可落回A圈，共4种，∴241P164==.∴可能性一样. 23．【详解】证明：（1）连接OC，如图，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，即∠2+∠3＝90°，∵OB＝OC，∴∠B＝∠3，而∠1＝∠B，∴∠1＝∠3，∴∠1+∠2＝90°，即∠OCM＝90°，∴OC⊥CM，∴MC是⊙O的切线；（2）∵EG⊥AB，∴∠B+∠BFH＝90°，而∠BFH＝∠4，∴∠4+∠B＝90°，∵MD为切线，∴OC⊥CD，∴∠5+∠3＝90°， 而∠3＝∠B ， ∴∠4＝∠5，∴△DCF 是等腰三角形． 24． 【详解】解：（1）由x 2﹣4＝0得，x 1＝﹣2，x 2＝2， ∵点A 位于点B 的左侧， ∴A （﹣2，0），∵直线y ＝x +m 经过点A ， ∴﹣2+m ＝0， 解得，m ＝2，∴点D 的坐标为（0，2），∴AD ；（2）设新抛物线对应的函数表达式为：y ＝x 2+bx +2，y ＝x 2+bx +2＝（x +2b ）2+2﹣24b ，则点C ′的坐标为（﹣2b ，2﹣24b ），∵CC ′平行于直线AD ，且经过C （0，﹣4）， ∴直线CC ′的解析式为：y ＝x ﹣4，∴2﹣24b ＝﹣2b ﹣4，解得，b 1＝﹣4，b 2＝6，∴新抛物线对应的函数表达式为：y ＝x 2﹣4x +2或y ＝x 2+6x +2． 25． 【详解】 （1）如图①中，∴B，B'关于直线AC对称，∴∠CAB=∠CAB'=135°，AB=AB'=4，∴∠BAB'=360°﹣135°﹣135°=90°，∴BB==．故答案为：（2）如图中，作点C关于AB的对称点C'，连接DC'交AB于P，连接PC，此时PC+PD 的值最小，根据圆的对称性质，知：点C'在⊙O上，且CC'为⊙O的直径，∴∠CDC'=90°．∵AB是直径，AC BC=，∴OC⊥AB，∴∠COB=90°．∵2=，CD BD∴∠COD=60°．∵OC=OD，∴△OCD是等边三角形．∴OC=OD=CD=5，∠C'CD=60°，∴在Rt△CDC'中，DC'=CD tan60⋅︒=，∴PC+PD的最小值为；（3）如图③中，连接OP，作点P关于OA的对称点M，点P关于OB的对称点N，连接MN交OA于E，交OB于F，连接PE，PF，OM，ON，此时△PEF的周长最小，∵∠AOP=∠AOM，∠BOP=∠BON，∠AOB=45°，∴∠MON=90°，∴OM=ON=OP=20m，∴MN（m）．∵OP=OM=ON，∴∠OMP=∠OPM，∠ONP=∠OPN，∴2∠OPM+2∠OPN=360°﹣90°，∴∠OPM+∠OPN=135°，∴∠MPN=135°，∴∠PMN+∠PNM=45°．∵EP=EM，FP=FN，∴∠EMP=∠EPM，∠FNP=∠FPN，∴∠PEF=2∠EMP，∠PFE=2∠FNP，∴∠EPF+∠PFE=2（∠EMP+∠FNP）=90°，∴∠EPN=90°．∵△PEF是等腰直角三角形，∴PE =PF ，设PE =PF =x ，∴则有x x +x解得：x =（﹣20）（m ），∴S △PEF =12•PE •PF =12（20）2=（600﹣）（m 2）．。
2024年陕西省西安市莲湖区中考三模数学试卷
2024年陕西省西安市莲湖区中考三模数学试卷一、单选题(★) 1. 计算：（）A．B．-3C．D．3(★) 2. 四个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，它的主视图是（）A．B．C．D．(★★) 3. 如图，已知，，，则的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°(★) 4. 下列计算正确的是（）A．B．C．D．(★★) 5. 与直线关于y轴对称的直线经过点，则m的值为（）A．B．2C．D．4(★★★) 6. 如图，在中，D、E、F分别是边、、的中点，于点H，若，则的长为（）A．6B．C．8D．10(★★) 7. 如图，在中，半径互相垂直，点C在弧上．若则（）A．B．C．D．(★★★) 8. 已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：x012411下列说法正确的是（）A．该二次函数的开口向下B．图象与x轴有两个交点C．当时，y随x的增大而增大D．若，都在该函数的图象上，则二、填空题(★) 9. 比较大小： _______ ．（填“>”，“<”或“=”）(★★) 10. 如图，一个正多边形被撕掉了一块，若，则原正多边形的边数为_______ ．(★★) 11. 如图，点是线段的黄金分割点（即），若以为边的正方形的面积为100，则长为，宽为的矩形的面积为_______ ．(★★) 12. 已知反比例函数的图象上有两点，若，则m的取值范围为 _______ ．(★★★) 13. 如图，，，点E、F分别在边、上，点G为线段上一动点，过点G作EF的垂线分别交、于点M、N．若线段恰好平分矩形的面积，且则的长为 _______ ．三、解答题(★★) 14. 计算：(★★) 15. 解不等式组：．(★★) 16. 解分式方程：．(★★★) 17. 如图，在中，，请用尺规在边上找一点D，使得(保留作图痕迹，不写作法)(★★) 18. 如图，是平行四边形的对角线，点、点是直线上的两点，且满足求证：(★★★) 19. 列方程解应用题．我国古代数学名著《算法统宗》中有这样一个问题：隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．问：人数多少？银子几何？意思是：有若干客人分银若干两，如果每人分7两，还多4两；如果每人分9两，还差8两（题中斤、两为旧制，1斤两）．问：有多少位客人？多少两银子？(★★★) 20. 作为2024年中央春晚首个登场的分会场，西安用一场极具艺术底蕴和历史内涵的文化盛宴，再现了千年长安的盛世气象，吸引了世界各地成千上万的游客．乐乐和父母也开启了心心念念的西安之旅．在做好攻略后，他们准备采用抽签的方式，在4个热门景点( A：兵马俑，B：城墙，C：华清池，D：大唐不夜城)中选择2个景点游玩，抽签规则如下：把四个地点分别写在四张背面相同的卡片的正面，然后背面朝上放在水平桌面上搅匀，随机抽取一张，不放回，再抽取一张．(1)乐乐随机抽取一张卡片，抽取到的地点恰好是A景点的概率为；(2)请用画树状图或列表的方法，求乐乐选取的景点恰好是兵马俑和华清池这两个地方的概率．(★★★) 21. 某中学为了解学生参加家务劳动的情况，从全体学生中随机抽取部分学生在某个休息日做家务的劳动时间t（单位：h）作为样本，将收集的数据整理后按劳动时间分为五组：A组“”，B组“”，C组“”，D组“”，E组“”，绘制成如下两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：(1)这次抽样调查的样本容量是，E组所在扇形的圆心角的大小是，将频数直方图补充完整；(2)这次抽样调查中某个休息日做家务的劳动时间的中位数落在组；(3)该校共有1800名学生，请你估计该校学生某个休息日做家务劳动的时间超过的学生人数．(★★) 22. 如图1 是位于西安市的具有“西北第一高”称号的摩天轮，它的“成像效果”全球第一．图2是它的简化示意图，点O是摩天轮的圆心，是摩天轮垂直地面的直径，小颖想利用数学知识实地测量该摩天轮的高度，她在A处测得摩天轮顶端M的仰角为，接着沿水平方向向左行走 140 米到达点B，再沿着坡度的斜坡走了20 米到达点C，最后再沿水平方向向左行走40米到达摩天轮最低点N处( A，B，C，M，N均在同一平面内)，求摩天轮的高度．(结果精确到1 米)（参考数据：）(★★★) 23. 甲乙两人相约去华山踏青，上午，甲开车从南郊出发，同时乙坐出租车从东郊出发．上午，甲在离南郊处的地方追上乙并继续前行，途中甲在某高速服务区加油休息，然后继续按原速前行，最后甲乙同时到达华山风景区入口处．甲乙离南郊的路程与所用时间的函数关系如图所示．(1)求乙离南郊的路程与所用时间的函数表达式；(2)求甲在某高速服务区加油休息所用的时间．(★★★) 24. 如图，在中，，以为直径的交于点D，点E是线段的中点，连接并延长交的延长线于点F．(1)求证：直线是的切线；(2)若的半径为，求的长．(★★★) 25. 如图，在一场校园羽毛球比赛中，小华在P点选择吊球进行击球，当羽毛球飞行的水平距离是1米时，达到最大高度3.2米，建立如图所示的平面直角坐标系．羽毛球在空中的运行轨迹可以近似的看成抛物线的一部分；队友小乐则在点P选择扣球进行击球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似的 f ．满足一次函数关系．(1)根据如图所示的平面直角坐标系，求吊球时羽毛球满足的二次函数表达式；(2)在（1）的条件下，已知球网与y轴的水平距离( 且点A，C都在x轴上，实践发现击球和吊球这两种方式都能使羽毛球过网．要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断应该选择哪种击球方式？(★★★★) 26. 在菱形中，点E是对角线上一点，点F是边上一点，连接、、．【初步探究】（1）如图1，若，，线段、满足的数量关系是．【深入探究】（2）如图2，若，，探究线段、满足的数量关系，并说明理由．(用含α的式子表示)【理解应用】（3）如图3，菱形是某校劳动实践园，经过调研，学校现要在的内部搭建一个三角形的动物养殖区，点E为动物养殖区的入口，满足点E、点F分别在、上，，且，已知菱形的边长为50米，问入口E建在何处，能使的面积最大，最大面积为多少？。
2021年陕西省西安市莲湖区中考数学模拟试卷
2021年陕西省西安市莲湖区中考数学模拟试卷（3月份）一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.计算：(−3)−1=()A. 3B. −3C. 13D. −132.如图，平行线AB，CD被直线AE所截.若∠1=105°，则∠2的度数为()A. 75°B. 85°C. 95°D. 105°3.2021年1月20日，陕西省统计局发布陕西2020年经济运行情况.根据地区生产总值统一核算结果，2020年全省实现生产总值26181.86亿元，比上年增长2.2%.将数据26181.86亿用科学记数法表示为()A. 2.618186×104B. 26.18186×1011C. 2.618186×1011D. 2.618186×10124.计算：2a(5a−3b)=()A. 10a−6abB. 10a2−6abC. 10a2−5abD. 7a2−6ab5.已知y是关于x的函数，函数图象如图，则当y>0时，自变量x的取值范围是()A. x<0B. −1<x<1或x>2C. x>−1D. x<−1或1<x<26.如图，在由边长均为1的小正方形组成的4×4网格中，将连接任意两个格点的线段称作“格点线”，则“格点线”的长度不可能为()A. √11B. √13C. √5D. 57.若直线y=kx+b与直线y=−2x+2平行，且与x轴交于点M(4,0)，则该直线的函数关系式为()A. y=−2x+4B. y=2x−8C. y=−2x+8D. y=2x−48.如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，连接CD，则CD的长为()A. 2B. √3C. √5D. √69.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠A=90°，∠B=60°，AB=2，BC=4−√3，则CD的长为()A. √3−1B. 1C. 4−√32D. 3−√310.已知二次函数y=a(x−m)2(a>0)的图象经过点A(−1,p)，B(3,q)，且p<q，则m的取值范围是()A. m≤−1B. m<1C. −1≤m<1D. m>1二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）11.请写出一个大于−√5且小于√2的整数：______ ．12.一个正五边形和一个正六边形按如图方式摆放，它们都有一边在直线了l上，且有一个公共顶点O，则∠AOB的度数是________．13.如图，点A在x轴正半轴上，B(5,4)，四边形AOCB为平行四边形，反比例函数y=8的图象经过点C，交ABx边于点D，则点D的坐标为______ ．14.如图，菱形ABCD的边长为12，∠ABC=60°，连接AC，EF⊥AC.垂足为H，分别交AD，AB，CB的延长线于点E，M，F.若AE：FB=1：2，则CH的长为______ ．三、解答题（本大题共11小题，共78.0分）15.解不等式组：{2x+1>−1x+1≤2．16.解分式方程：2x +xx−1=1．17.如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD是BC边上的中线.请用尺规作图法，求作△ABC的内切圆.(保留作图痕迹，不写作法)18.如图，在四边形ABCD中，AB//CD，∠1=∠2，AD=EC.求证：AB+BE=CD．19.劳动教育是新时代对教育的新要求，是中国特色社会主义教育制度的重要内容，是全面发展教育体系的重要内容，是大、中、小学必须开展的教育活动.某中学为落实劳动教育，组织八年级学生进行了劳动知识技能竞赛，现随机抽取了部分同学的成绩(百分制)，制成不完整的统计图表：表一成绩x x<6060≤x<7070≤x<8080≤x<9090≤x≤100人数12a84表二统计量平均数中位数众数成绩79.7b72根据以上信息回答下列问题．(1)若抽取的学生成绩处在80≤x<90这一组的数据如下：8887818082888486.根据以上数据填空：a=______ ；b=______ ．(2)在扇形统计图中，表示问卷成绩在90≤x≤100这一组的扇形圆心角度数为______ ．(3)已知该校八年级共有学生500名.若将成绩不少于80分的学生称为“劳动达人”，请你估计该校八年级一共有多少名学生是“劳动达人”．20.如图，数学兴趣小组成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶A的仰角为60°.然后在坡顶D测得树顶A的仰角为30°，已知斜坡CD的坡度(坡面的铅直高度与水平宽度的比)i=1：√3，斜坡CD=10√3m，求树AB的高度.(结果精确到1m，参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73)21.某商店销售两种品牌的书包，已知A品牌书包的单价是150元，B品牌书包的单价是200元.为迎接开学季的到来，该商店对这两种品牌的书包给出相应的优惠活动：A品牌的书包按原价的八折销售，B品牌的书包购买10个以上，前10个原价销售，超出10个的部分按原价的五折销售．(1)设购买x个A品牌书包的费用为y1元，购买x个B品牌书包的费用为y2元，请分别求出y1，y2与x(x>10)的函数关系式．(2)学校准备购买同一品牌的书包(超过10个)，如何购买更省钱？22.在一个不透明的口袋中装有4个依次写有数字1，2，3，4的小球，它们除数字外其余都相同，每次摸球前都将小球摇匀．(1)从中随机摸出一个小球，求上面的数字不小于3的概率．(2)从中随机摸出一个球后不放回，再随机摸出一个球.请用列表或画树状图的方法，求两次摸出小球上的数字之和恰好是偶数的概率．23.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AB为直径作⊙O，过点C作⊙O的切线CD交AB的延长线于点D．(1)求证：∠BCD=∠A．(2)将△ADC折叠，使AD与DC边重合，折痕DE分别交AC，BC于点E，F.当CE=1时，求EF的长．24.如图，抛物线y=x2+2x−c与x轴负半轴，y轴负半轴分别交于点A，点C，OA=OC，它的对称轴为直线l．(1)求抛物线的表达式及顶点坐标．(2)P是直线AC上方对称轴上的一动点，过点P作PQ⊥AC于点Q，若PQ=PO，求点P的坐标．25.问题提出(1)如图1，在△ABC中，CD⊥AB，∠A=a，AC=b，AB=c.则S△ABC=______ ．问题探究(2)如图2，在△ABC中，AB=5，AC=3，D为BC上一点，且满足∠BAD=30°，∠CAD=45°.设AD=a，△ABC的面积为S，求S与a之间的关系式．问题解决(3)如图3，矩形ABCD是一片试验田的平面示意图，农科人员将试验田分成四部分用于不同作物的种植，各部分的示意图分别为△ABE，△CEF，△ADF，△AEF.在试验田划分好之后，为了能够给△AEF部分的试验田进行充分灌溉，农科人员需要从点F处修建一条输水管FG，且满足点G在AE上，FG//AD.已知点E、F分别在边BC和边CD上，∠EAF=45°，AD=120m，AB=80m，输水管FG的修建费用为200元/米，请你根据以上数据求修建输水管FG的最低费用．答案和解析1.【答案】D．【解析】解：(−3)−1=−13故选：D．直接利用负整数指数幂的性质得出答案．此题主要考查了负整数指数幂的性质，正确掌握相关性质是解题关键．2.【答案】A【解析】解：∵AB//CD，∴∠1+∠2=180°．又∵∠1=105°，∴∠2=180°−105°=75°．故选：A．由AB//CD，利用“两直线平行，同旁内角互补”可得出∠1+∠2=180°，再结合∠1= 105°即可得出∠2的度数．本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．3.【答案】D【解析】解：26181.86亿=26181860000000=2.618186×1012．故选：D．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4.【答案】B【解析】解：2a(5a−3b)=10a2−6ab．故选：B．单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．依此即可求解．本题考查了单项式乘多项式，单项式与多项式相乘时，应注意以下几个问题：①单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；②用单项式去乘多项式中的每一项时，不能漏乘；③注意确定积的符号．5.【答案】D【解析】解：y>0时，即x轴上方的部分，∴自变量x的取值范围分两个部分是x<−1，1<x<2．故选D．观察图象和数据即可求出答案．本题主要考查了函数图象的读图能力和函数与实际问题结合的应用，要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件．6.【答案】A【解析】解：∵√11=√32+(√2)2，故√11不可能是“格点线”的长度，故选项A符合题意；∵√13=√32+22，故√13可能是“格点线”的长度，故选项B不符合题意；∵√5=√22+12=3，故√5可能是“格点线”的长度，故选项C不符合题意；∵5=√32+42，故5可能是“格点线”的长度，故选项D不符合题意；故选：A．根据题意和各个选项中的数据，可以得到哪个数据不可能是“格点线”的长度，从而可以解答本题．本题考查勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的知识解答．7.【答案】C【解析】解：∵直线y=kx+b与y=−2x+2平行，∴k=−2，∵点M(4,0)在直线y=−2x+b上，∴b=8，∴所求直线解析式为y=−2x+8．故选：C．先根据两直线平行的问题得到k=−2，然后根据一次函数图象上点的坐标特征，把(4,0)代入y=−2x+b求出b的值即可．本题考查了两直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．8.【答案】C【解析】解：过点D作DF⊥CB交CB的延长线于点F，如图，∵Rt△ABC是等腰直角三角形，∴AC=CB=1，∠CAB+∠ABC−90°，∵四边形ABDE是正方形，∴∠ABD=90°，AB=BD，∴∠ABC+∠DBF=90°，∴∠CAB=∠FBD，在Rt△ACB和Rt△DFB中，{∠CAB=∠FBD∠ACB=∠BFD=90°AB=BD，∴Rt△ACB≌Rt△DFB(AAS)，∴BF=AC，FD=CB，∴BF=AC=FD=CB=1，∴CF=CB+BF=1+1=2，在Rt△CFD中，由勾股定理得：CD=√CF2+FD2=√22+12=√5，故选：C．过点D作DF⊥CB交CB的延长线于点F，证明△ACB≌△DFB得DF=BF=CB=AC= 1，再根据勾股定理求解即可．此题考查了勾股定理，正方形的性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．9.【答案】B【解析】解：延长AD、BC交于E，∵∠A=90°，∠B=60°，∴∠DCB=90°，∠E=30°，在Rt△ABE中，BE=2AB=4，在Rt△CDE中，CE=BE−BC=4−4+√3=√3，CE=1，∴DC=√33故选：B．延长AD、BC交于E，解直角三角形即可得到结论．本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．10.【答案】B【解析】解：∵y=a(x−m)2(a>0)，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=m，∴当抛物线上的点与直线x=m的距离越小，对应的y值就越小，∵A(−1,p)，B(3,q)，且p<q，∴A点到直线x=m的距离小于B点到直线x=m的距离，∴m≤−1，或m+1<3−m，解得m<1，故选：B．二次函数y=a(x−m)2(a>0)开口向上，对称轴为直线x=m，根据抛物线上的点与直线x=m的距离越小对应的y值就越小即可得到m的取值范围．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解决问题的关键．11.【答案】−2(或−1或0或1)【解析】解：设所求整数为x，∵2<√5<3，∴−3<−√5<−2，∵1<√2<2，∴所求的整数x的范围是−3<x<2，即整数x可以是−2、−1、0、1．故答案为：−2、−1、0、1(填其中一个即可)．首先确定√5和√2的整数部分，然后在取值范围内确定整数即可，答案不唯一．本题主要考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题．12.【答案】84°【解析】【分析】本题考查正多边形的内角与外角、三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．利用正多边形的性质求出∠AOE，∠BOF，∠EOF即可解决问题．【解答】解：由题意：∠AOE=108°，∠BOF=120°，∠OEF=72°，∠OFE=60°，∴∠EOF=180°−72°−60°=48°，∴∠AOB=360°−108°−48°−120°=84°，故答案为：84°．13.【答案】(4,2)【解析】解：作CE⊥OA于E，∵B(5,4)，四边形AOCB为平行四边形，∴C的纵坐标为4，∵反比例函数y=8的图象经过点C，x∴4=8，x∴x=2，∴C(2,4)，OA=BC=5−2=3，∴A(3,0)，设直线OC为y=kx，把C(2,4)代入得，4=2k，解得k=2，∵AB//OC，∴设直线AB 的解析式为y =2x +b ，代入A(3,0)解得，b =−6，∴直线AB 的解析式为y =2x −6，由{y =2x −6y =8x得{x =−1y =−8或{x =4y =2， ∴点D 的坐标为(4,2)，故答案为(4,2)．作CE ⊥OA 于E ，根据平行四边形的性质可知C 的纵坐标为4，代入反比例函数解析式即可求得C 的坐标，从而求得直线OC 的解析式，根据平行线的性质设直线AB 的解析式为y =2x +b ，根据待定系数法即可求得解析式，然后与反比例函数解析式联立，解方程组即可求得D 的坐标．本题考查了平行四边形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，解方程组等，求得直线AB 的解析式是解题的关键．14.【答案】10【解析】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AD//BC ，AB =BC =12，∠MAH =∠EAH ，∵EF ⊥AC ，∴∠AHM =∠AHE =90°，在△AHM 和△AHE 中，{∠AHM =∠AHE AH =AH ∠MAH =∠EAH，∴△AHM≌△AHE(ASA)，∴MH =EH ，∵AD//BC ，∴△AME∽△BMF ，∴AE FB =EM FM ，∵AE ：FB =1：2，∴EM FM =12，∴EH FH =15，∵∠ABC =60°，∴△ABC 是等边三角形，∴AC =AB =12，∵AD//BC ，∴△AHE∽△CHF ，∴EH FH =AH CH =15， ∵AC =12，∴12−CH CH =15， 解得：CH =10，故答案为：10．根据菱形的性质得出AD//BC ，AB =BC =12，求出△ABC 是等边三角形，根据等边三角形的性质得出AC =AB =12，求出HM =HE ，△AME∽△BMF ，△AHE∽△CHF ，再根据相似三角形的性质得出比例式，最后求出答案即可．本题考查了菱形的性质，相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定等知识点，能灵活运用定理进行推理和计算是解此题的关键．15.【答案】解：{2x +1>−1①x +1≤2②， 解不等式①得：x >−1，解不等式②得：x ≤1．故不等式组的解集为−1<x ≤1．【解析】分别计算出两个不等式的解集，再根据大小小大中间找确定不等式组的解集即可．此题主要考查了解一元一次不等式组，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．16.【答案】解：去分母得：2(x −1)+x 2=x(x −1)，解得：x =23，检验：把x =23代入x(x −1)得：23×(23−1)=−29≠0，则x =23是分式方程的解．【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．17.【答案】解：如图，⊙O即为所求作．【解析】作∠ABC的角平分线交AD于点O，以O为圆心，OD为半径作⊙O即可．本题考查作图−复杂作图，等腰三角形的性质，三角形的内切圆与内心等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．18.【答案】证明：∵AB//CD，∴∠ABD=∠EDC．在△ABD和△EDC中，{∠ABD=∠EDC ∠1=∠2AD=EC，∴△ABD≌△EDC(AAS)，∴AB=DE，BD=CD，∴DE+BE=CD，∴AB+BE=CD．【解析】由“AAS”可证△ABD≌△EDC，可得AB=DE，BD=CD，可得结论；本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是本题的关键．19.【答案】5 81.572°【解析】解：(1)本次抽取的学生有：8÷40%=20(人)，a=20−1−2−8−4=5，80≤x<90这一组的数据按照从小到大排列是：80，81，82，84，86，87，88，88，b=(81+82)÷2=81.5，故答案为：5，81.5；(2)问卷成绩在90≤x≤100这一组的扇形圆心角度数为：360°×420=72°，故答案为：72°；(3)500×8+420=300(名)，即估计该校八年级一共有300名学生是“劳动达人”．(1)根据80≤x<90这一组的人数和所占的百分比，可以计算出本次抽取的学生人数，然后即可计算出a和b的值；(2)根据统计图中的数据，可以计算出问卷成绩在90≤x≤100这一组的扇形圆心角度数；(3)根据统计图中的数据，可以计算出该校八年级一共有多少名学生是“劳动达人”．本题考查扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．20.【答案】解：∵斜坡CD的坡度(坡面的铅直高度与水平宽度的比)i=1：√3，∴tan∠DCE=√3=√33．∴∠DCE=30°．∵∠ACB=60°，DF//AE，∴∠BGF=60°．∴∠ABC=30°，∠DCB=90°．∵∠BDF=30°，∴∠DBF=60°．∴∠DBC=30°．∴BC=CDtan30∘=10√3√33=30(m)．∴AB=BC⋅sin60°=30×√32=15√3≈26(m)．答：树AB的高度约为26米．【解析】首先得出∠DCB=90°，再由∠BDF=30°可知∠DBE=60°，由DF//AE可得出∠BGF=∠BCA=60°，故∠GBF=30°，所以∠DBC=30°，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键．21.【答案】解：(1)当x>10时，y1=150×0.8x=120x；当x>10时，y2=200×10+200×0.5×200(x−10)=100x+1000；(3)由x>10，①当y1=y2时，120x=100x+1000，解得：x=50；②当y1>y2时，120x>100x+1000，解得：x>50；③当y1<y2时，120x<100x+1000，解得：x<50；答：若购买50个书包，选A，B品牌都一样；若购买50个以上书包，选B品牌划算；若购买书包个数超过10个但小于50个，选A品牌划算．【解析】(1)分别利用当0≤x≤10时，当x>10时，分别得出函数关系式；(2)分别利用①当y1=y2时，②当y1>y2时，③当y1<y2时，求出答案．此题主要考查了一次函数的应用，正确得出函数关系式进而分类讨论是解题关键．22.【答案】解：(1)从中随机摸出一个小球，上面的数字不小于3的概率为24=12；(2)画树状图如下：共有 12 种等可能结果，两次摸出小球上的数字之和恰好是偶数的结果有4种，∴两次摸出小球上的数字之和恰好是偶数的概率为412=13．【解析】(1)直接根据概率公式求解即可；(2)画树状图得出所有等可能的情况数，找出两次摸出的小球上的数字之和恰好是偶数的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．23.【答案】(1)证明：连接OC，如图：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠A+∠ABC=90°，又∵OC=OB，∴∠ABC=∠OCB，∵CD是⊙O的切线，∴CD⊥OC，∴∠OCB+∠BCD=90°，∴∠BCD=∠A；(2)解：由折叠的性质得：∠CDE=∠ADE，又∵∠BCD=∠A，∴∠A+∠ADE=∠BCD+∠CDE，即∠CEF=∠CFE，∴CF=CE=1，∵∠ACB=90°，∴△CEF是等腰直角三角形，∴EF=√2CE=√2．【解析】(1)连接OC，欲证明CD是⊙O的切线，只需求得∠OCD=90°；(2)证出∠CEF=∠CFE，则CE=CF，再由等腰直角三角形的性质可求得EF的长．此题主要考查切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、折叠的性质等知识；熟练掌握切线的性质和等腰三角形的判定与性质是解题的关键．24.【答案】解：(1)∵抛物线y=x2+2x−c与y轴交于点C，∴C(0,−c)，∵OA=OC，且A点在x轴负半轴上，∴A(−c,0)，把A(−c,0)，代入y=x2+2x−c得，c2−3c=0，解得c1=3，c2=0(舍去)，∴抛物线为y=x2+2x−3，∵y=x2+2x−3=(x+1)2−4，∴顶点为(−1,−4)；(2)∵抛物线y=x2+2x−3的对称轴为直线x=1，∴设点P(−1,t)，如图，则OP=√(−1−0)2+(t−0)2=√t2+1，设直线AC 的解析式为y =kx +b ，把A(−3,0)，C(0,−3)代入上式得，{−3k +b =−3b =−3， 解得{k =−1b =−3， ∴直线AC 得解析式为y =−x −3，取直线AC 与对称轴直线x =1的交点为D ，则D(−1,−2)，∵P 点在直线AC 的上方，∴t >−2，∴PD =t +2，又∵AO =CO =3，∠AOC =90°，∴∠ACB =45°，又∵PQ ⊥AC ，∴∠QDP =∠PQD =45°，∴PQ =DQ ，∴PD =√2PQ =√2PO ，即t +2=√2⋅√t 2+1，解得t 1=2+√6.t 2=2−√6>−2，∴点P 的坐标为P(−1,2+√6)或(−1,2−√6).【解析】(1)由题意可知A 的坐标为(−c,0)，代入解析式即可求得c 的值，把解析式化成顶点式，即可求得顶点坐标；(2)先设P 的坐标为(−1,t)，则可计算PO ，由直线AC 的解析式与对称轴直线x =−1可计算出其交点坐标D ，则可计算PD ，由题意可知△PQD 是等腰直角三角形，PD =√2PQ ，PQ =PD ，即可算出点P 的坐标．本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，根据等腰直角三角形的性质列式计算是解决本题的关键．25.【答案】12cb ⋅sinα【解析】解：(1)在Rt △ACD 中，CD =AC ⋅sinα=bsinα，∴S △ABC =12AB ⋅CD =12cb ⋅sinα，(2)如图1，过点B作BE⊥AD，交AD的延长线于点E，过点C作CF⊥AD于点F，在Rt△ABE中，BE=AB⋅sin∠BAD=5×sin30°=52，在Rt△ACF中，CF=AC⋅sin∠CAD=3×sin45°=3√22，∵S△ABC=S△ABD+S△ACD=12AD⋅BE+12AD⋅CF=12AD⋅(BE+CF)，∴S=12a(52+3√22)=5+3√24a；(3)如图2，延长FG与AB交于点Q，根据题意可知：S△AEF=S△AGF+S△EGF=12GF⋅AQ+12GF⋅BQ=12GF⋅(AQ+BQ)=12GF⋅AB=40FG，即FG=S△AEF40，故当△AEF的面积最小时，FG最小，进而达到修建费用最低；由(1)可知S△AEF=12AE⋅AF⋅sin∠EAF=√24AE⋅AF，∴当AE⋅AF最小时，S△AEF最小；过点A作AF的垂线，与CB延长线交于点H，作△AEH的外接圆，记圆心为O，连接OA、OH、OE，过点O作OP⊥CH，根据作图可知∠HAB=∠FAD，∠ABH=∠D=90°，∴△AHB∽△AFD，∴AHAF =ABAD=80120=23，即AH=23AF，∵∠FAD+∠BAE=90°−∠EAF=45°，∠HAB=∠FAD，∴∠HAB+∠BAE=∠HAE=45°，∴S△AHE=12AH⋅AE⋅sin45°=12×23AF⋅AE⋅√22=√26AE⋅AF，∴当△AHE的面积最小时，即满足AE⋅AF最小；设⊙O的半径为r，∠HOE=2∠HAE=90°，则OP=√22r，HE=√2r，∴S△AHE=12HE⋅AB=12×√2r⋅80=40√2r，∵AO+OP≥AB，∴r+√22r≥80，∴r≥80(2−√2)，∴S△AHE最小=40√2×80(2−√2)=6400(√2−1)，∴(AE⋅AF)最小=△AHE√26=√2−1)√26=19200(2−√2)，∴FG最小=140S△AHE最小=140×√24×19200(2−√2)=240(√2−1)，故修建输水管FG的最小费用为200×240(√2−1)=48000(√2−1)元．(1)在Rt△ACD中，运用解直角三角形知识求出CD，即可解决问题；(2)过点B作BE⊥AD，交AD的延长线于点E，过点C作CF⊥AD于点F，通过解直角三角形可求出BE，CF，则S△ABC=S△ABD+S△ACD=12AD⋅BE+12AD⋅CF，从而求得结果；(3)延长FG与AB交于点Q，可得S△AEF=S△AGF+S△EGF=12GF⋅(AQ+BQ)=40FG，则可得FG=S△AEF40，当△AEF的面积最小时，FG最小，修建费用最低；又S△AEF=√24AE⋅AF，即当AE⋅AF最小时，S△AEF最小；为此过点A作AF的垂线，与CB延长线交于点H，作△AEH的外接圆，记圆心为O，连接OA、OH、OE，过点O作OP⊥CH，通过证明△AHB∽△AFD，可得S△AHE=12AH⋅AE⋅sin45°=√26AE⋅AF，转化为求△AHE面积最小的问题，设⊙O的半径为r，求得半径r的最小值，即可解决问题．本题属于四边形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，图形面积，最值问题等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线和辅助圆，学会用转化的思想思考问题．。
2021年陕西师大附中中考数学三模试卷
2021年陕西师大附中中考数学三模试卷1.27的立方根是()A. 9B. −9C. 3D. −32.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是()A.B.C.D.3.小明在学习平行线的性质后，把含有60°角的直角三角板摆放在自己的文具上，如图，AD//BC，若∠2=70°，则∠1=()A. 22°B. 20°C. 25°D. 30°4.已知正比例函数y=3x，若该正比例函数图象经过点(a,4a−1)，则a的值为()A. 1B. −1C. 13D. −135.化简x2+y2x−y +2xyy−x的结果是()A. x+yB. x−yC. (x+y)2x−y D. (x−y)2x+y6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，CD为中线，延长CB至点E，使BE=BC，连接DE，F为DE的中点，连接BF，若BF=3，则BC的长为()A. 6B. 3√10C. 6√3D. 87.如图，一次函数y=34x+6的图象与x轴，y轴分别交于点A、B.过点B的直线l交x轴于点C，BC平分△ABO的面积，则与直线l关于y轴对称的直线表达式为()A. y=53x+6 B. y=35x+6 C. y=32x+6 D. y=−32x+68.如图，在▱ABCD中，BC=6√3，∠A=135°，S▱ABCD=12√3.若点E、F分别在边BC、AD上，且AF=CE，∠EFD=30°，则AF的长为()A. √3−1B. 2√3−1C. 6√3−6D. 4√3−29.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OA、OB、OC.若∠AOB=40°，∠OBC=50°，AC=4，则⊙O的直径为()A. 4√33B. 4C. 8√33D. 810.已知抛物线C1：y=13x2−2x+1，将抛物线C1绕着点(0,m)旋转180°得到抛物线C2，如果抛物线C2与直线y=12x+4有两个交点且交点在其对称轴两侧，则m的取值范围是()A. m>14B. m>94C. m<94D. m<1411.已知实数−0.21，√8，π2，√36，27，−√93，其中为无理数的是______ ．12.若圆内接正方形的边心距为3，则这个圆内接正三角形的边长为______ ．13.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，BC//x轴，点A、B都在反比例函数y=10x(x>0)上，点C在反比例函数y=5x(x>0)上，则AB=______ ．14.如图，矩形ABCD中，M为边AD上的一点.将△CDM沿CM折叠，得到△CMN，若AB=6，DM=2，则N到AD的距离为______ ．15.解不等式组：{3(x+1)>x−1 x+92>2x16.解分式方程：x−2x+2−16x2−4=x+2x−2．17.如图，在四边形ABCD中，BD为对角线，∠ADC=∠DBC=90°，点E为AD边上一点，请用尺规在BD边上求作一点P，使△DEP∽△CDB.(保留作图痕迹，不写作法)18.如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且△AEF是等边三角形.求证：CE=CF．19.2020年2月，某市响应国家疫情期间“停课不停学”的号召，精选全市优秀一线教师为全市中学生录制免费优质视频课，学生通过市“停课不停学”平台进行线上学习.为了解某中学初二学生每天进行线上学习的时间，随机调查了该校部分初二学生.根据调查结果，绘制出了如下统计图表(不完整)，请根据相关信息，解答下列问题：部分初二学生每天线上学习时间的人数统计表：时间/ℎ 1.52 2.53 3.54人数/人4121220a8(1)本次共调查的学生人数为______ ，在表格中，a=______ ；(2)统计的这组数据中，学生每天进行线上学习时间的中位数是______ ，众数是______ ；(3)根据样本数据，请你估计该中学初二学生每天线上学习的平均时间是多少？20.如图，地面上小山的两侧有A、B两地，为了测量A、B两地的距离，让一热气球从小山西侧A地出发沿与AB成30°角的方向，以每分钟50m的速度直线飞行，8分钟后到达C处，此时热气球上的人测得CB与AB成70°角，请你用测得的数据求A，B两地的距离AB长.(√3取1.7，sin20°取0.3，cos20°取0.9，tan20°取0.4，sin70°取0.9，cos70°取0.3，tan70°取2.7.)21.某水果店每天都会进一些草莓销售.在一周销售过程中他发现每天的销售量y(单位：千克)会随售价x(单位：元/千克)的变化而变化，部分数据记录如表：售价x(单位：元/千克)302520每天销售量y(单位：千克)54585如果已知草莓每天销量y与售价x(14<x<30.625)满足一次函数关系．(1)请根据表格中数据求出这个一次函数关系式；(2)如果进价为14元/千克，请判断售价分别定为20元/千克和25元/千克时，哪个的销售利润更高？22.一只不透明的袋子里装有2个白球，1个黑球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，从中任意摸出1个球，是红球的概率为2．5(1)袋子里红球有______ 个；(2)现从袋子中一次摸出两个球，请用树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求摸到的两个球中有一个是黑球的概率．23.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，F为弧AD上一点，且D是弧BF的中点，过点D作DE⊥AF，交线段AF的延长线于点E．(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若⊙O的直径为8，tanC=4，求DE的值．324.在平面直角坐标系中，抛物线L1：y=ax2+bx−3a的图象经过点A(−1,0)和B(1,4)，其关于y轴对称的抛物线L2与x轴交于M、N两点(点N在点M的右侧)，与y轴交于点C．(1)求抛物线L2的表达式；(2)点D在抛物线L2对称轴上，则在平面直角坐标系中是否存在点E，使得以CN为边，且以点C、N、D、E为顶点的四边形是菱形，若存在，请求出满足条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由．25.问题提出：有一组对角互余的四边形称为对余四边形．(1)若四边形ABCD是对余四边形，则∠A与∠C的度数之和为______ ．问题探究：(2)如图①，在四边形ABCD中，AD=BD，AD⊥BD，当2CD2+BC2=AC2时，判断四边形ABCD是否为对余四边形.证明你的结论；问题解决：(3)为贯彻“精准扶贫”战略思想，某驻村扶贫干部准备帮助村民老王在他家的田地中划出部分区域来种植经济作物以提高家庭经济收入.如图②，四边形ABCD是老王家的田地示意图.其中AF为一条小路、AD，∠ADC=120°，DF=20米.根据规划老王要在原有地块上划分∠BAD=60°，AD=40米.AB>12出一个互余四边形AEFH来种粮食，剩余部分种植经济作物，十四五规划提出：严守18亿亩耕地红线，粮食一定要自给自足，当用来种粮的四边形地块AEFH满足点E在边AB上、点H在边AD上，且AE=AH时；此地块出产粮食能够满足老王家生活所需.为切实落实扶贫工作，尽可能多种经济作物，要使四边形AEFH占地面积最小.请问能否找到满足条件的点E、H？如果能，求出四边形AEFH面积的最小值及面积最小时线段AH的值；如果不能，请说明理由.(小路的宽度忽略不计)答案和解析1.【答案】C【解析】解：27的立方根为3．故选C．直接根据立方根的定义求解．3．本题考查了立方根：若一个数的立方等于a，那么这个数叫a的立方根，记作√a2.【答案】C【解析】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是三角形可判断出这个几何体应该是三棱柱．故选：C．由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．此题主要考查了由三视图判断几何体．主视图和左视图的大致轮廓为长方形的几何体为柱体，俯视图为几边形就是几棱柱．3.【答案】B【解析】解：如图，过F作FG//AD，则FG//BC，∴∠2=∠EFG=70°，又∵∠AFE=90°，∴∠AFG=90°−70°=20°，∴∠1=∠AFG=20°，故选：B．过F作FG//AD，则FG//BC，即可得到∠2=∠EFG=70°，再根据∠AFE=90°，即可得出∠AFG=90°−70°=20°，进而得到∠1=∠AFG=20°．本题考查了平行线的性质，三角板的知识，比较简单，熟记平行线的性质是解题的关键．4.【答案】A【解析】解：∵正比例函数y=3x的图象经过点(a,4a−1)，∴代入得：4a−1=3a，解得：a=1，故选：A．把点的坐标代入函数的解析式，即可得出关于a的方程，求出方程的解即可．本题考查了一次函数图象上点的坐标特征和解一元一次方程，能得出关于a的一元一次方程是解此题的关键．5.【答案】B【解析】解：原式=x 2+y2x−y −2xyx−y=x2+y2−2xyx−y=(x−y)2x−y=x−y．故选：B．原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果．此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．6.【答案】C【解析】解：∵F为DE的中点，∴EF=FD，∵BE=BC，∴CD=2BF，∵BF=3，∴CD=2×3=6，∵∠ACB=90°，CD为中线，∴AB=2CD=12，∴BC=√AB2−AC2=√122−62=6√3，故选：C．根据三角形中位线的性质定理和直角三角形的性质即可得到结论．本题主要考查了勾股定理，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线，此题的突破口是推知线段CD 的长度和线段BF是△CDE的中位线．7.【答案】Dx+6的图象与x轴，y轴分别交于点A、B，【解析】解：∵一次函数y=34∴令y=0，则求得x=−8，令x=0，求得y=6，∴A(−8,0)，B(0,6)，∵过点B的直线l平分△ABO的面积，∴AC=OC，∴C(−4,0)，设直线l的解析式为y=kx+6，把C(−4,0)代入得−4k+6=0，，解得k=32x+6，∴直线l的解析式为y=32x+6，∴与直线l关于y轴对称的直线表达式为y=−32故选：D．x+6求得A、B的坐标，根据题意求得C的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线l，由一次函数y=34然后根据关于y轴对称的点的坐标特征即可求得．本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求一次函数的解析式，求得C点的坐标是解题的关键．8.【答案】B【解析】解：作CN⊥AD于点N，作EM⊥AD于点M，则CE=MN，∵S▱ABCD=12√3，BC=6√3，=2，∴EM=CN=√36√3∵四边形ABCD是平行四边形，∠A=135°，∴∠A+∠B=180°，∠B=∠D，AD=BC=6√3，∴∠B=∠D=45°，∵∠CND=90°，∴∠D=∠DCN=45°，∴DN=CN=2，∵EM⊥AD，∵CM⊥AD，∠EFD=30°，∴MF=EMtan30∘=2√33=2√3，∵AD=6√3，AF=CE，CE=MN，∴AF+FM+MN+DN=AD=6√3，∴AF+2√3+MN+2+6√3，∴2AF=4√3−2，∴AF=2√3−1，故选：B．根据题意，作出合适的辅助线，然后根据平行四边形的性质和锐角三角函数，可以求得AF的长，本题得以解决．本题考查平行四边形的性质、锐角三角函数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．9.【答案】C【解析】解：作直径CD，连接AD，如图，∵OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=50°，∵∠ACB=12∠AOB=12×40°=20°，∴∠ACD=∠OCB−∠ACB=50°−20°=30°，∵CD为直径，∴∠CAD=90°，∴AD=√33AC=√33×4=4√33，∴CD=2AD=8√33，即⊙O的直径为8√33．故选：C．作直径CD，连接AD，如图，利用等腰三角形的性质得到∠OCB=50°，利用圆周角定理得到∠ACB=20°，∠CAD=90°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系求出CD即可．本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理．10.【答案】A【解析】解：∵y =13x 2−2x +1=13(x −3)2−2，∴抛物线C 1：y =13x 2−2x +1的顶点为(3,−2)，将抛物线C 1绕着点(0,m)旋转180°得到抛物线C 2，则抛物线C 2的顶点为(−3,2m +2)，如图，∵抛物线C 2与直线y =12x +4有两个交点且交点在其对称轴两侧，∴当x =−3时，12x +4<2m +2，即−32+4<2m +2，解得m >14．故选：A ．求得抛物线C 1的顶点坐标，根据旋转的性质求得抛物线C 2的顶点为(−3,2m +2)，由抛物线C 2与直线y =12x +4有两个交点且交点在其对称轴两侧，得出当x =−3时，12x +4<2m +2，即−32+4<2m +2，解得即可．本题考查了二次函数图象与几何变换，一次函数的性质，旋转的性质，根据题意得到关于m 的不等式是解题的关键． 11.【答案】√8，−√93，π2【解析】解：−0.21是有限小数，属于有理数；27是分数，属于有理数；√36=6，是整数，属于有理数；√8=2√2，是无理数；−√93是无理数；故答案为：√8，−√93，π2．无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．此题考查了无理数的定义．解题的关键是掌握无理数的定义，注意初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．12.【答案】3√6【解析】解：正方形外接圆直径为正方形的对角线长．∵正方形边长为6，∴正方形的对角线长为6√2，外接圆半径为3√2．如图所示：在Rt△BOD中，OB=3√2，∠OBD=30°，∴BD=cos30°×OB=3√62．∵BD=CD，∴BC=2BD=3√6．故答案为3√6．明确正方形外接圆直径为正方形的对角线长，求出对角线长即可求得其外接圆的半径，然后再求内接正三角形的边长即可．本题主要考查圆锥的计算，解题时根据三角形外接圆半径求其边长．13.【答案】√10【解析】解：设C(a,5a)，AC=BC=m，∴A(a,5a +m)，B(a+m,5a)，∵点A、B都在反比例函数y=10x上，∴a(5a +m)=(a+m)⋅5a=10，解得m=√5，∴AC=BC=√5，在Rt△ABC中，AB=√AC2+BC2=√10，故答案为√10．设C(a,5a )，AC=BC=m，则A(a,5a+m)，B(a+m,5a)，根据反比例函数系数k的几何意义得到a(5a+m)=(a+m)⋅5a=10，解得m=√5，利用勾股定理求得AB=√10．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数k的几何意义，等腰直角三角形的性质，表示出点的坐标是关键．14.【答案】65【解析】解：过点N作NE⊥AD于点E，并延长EN交BC于点F，则NF⊥BC，∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=6，∠D=90°，∵将△CDM沿CM折叠，得到△CMN，∴DM=MN=2，DC=NC=6，∠D=∠MNC=90°，∴∠ENM+∠FNC=∠FNC+∠FCN=90°，∴∠ENM=∠FCN，∵∠NEM=∠NFC，∴△ENM∽△NFC，∴EMNF =MNNC，设EN=x，则NF=6−x，∴EM=√22−x2，∴√4−x26−x =26，解得x=65．故答案为：65．过点N作NE⊥AD于点E，并延长EN交BC于点F，则NF⊥BC，证明△ENM∽△NFC，由相似三角形的性质得出EMNF =MNNC，设EN=x，则NF=6−x，求出x可得出答案．本题考查了相似三角形的判定与性质，折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．15.【答案】解：{3(x+1)>x−1①x+92>2x②∵解不等式①得：x>−2，解不等式②得：x<3，∴不等式组的解集为−2<x<3．【解析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集得出不等式组的解集是解此题的关键．16.【答案】解：方程两边同乘(x+2)(x−2)，得(x−2)2−16=(x+2)2，x2−4x+4−16=x2+4x+4，−8x=16，解得x=−2．经检验：x=−2不是方程的解．因此原方程无解．【解析】本题考查解分式方程的能力．因为x2−4=(x+2)(x−2)，所以可确定最简公分母为(x+2)(x−2)，去分母，转化为整式方程求解，结果要检验．解分式方程的关键是去分母，因此将分式方程转化为整式方程时要准确确定最简公分母．找最简公分母时，要注意把各分母按同一字母降幂排列，是多项式能因式分解的要先进行分解．17.【答案】解：如图，点P即为所求作．【解析】过点E作PE⊥BD交BD于P，△PDE即为所求作．本题考查作图−相似变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．18.【答案】证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠D=∠B=90°，∵△AEF是等边三角形，∴AF=AE，在Rt△ADF和Rt△ABE中，{AD=ABAF=AE，∴Rt△ADF≌Rt△ABE(HL)，∴DF=BE，∴CE=CF．【解析】由“HL”可证Rt△ADF≌Rt△ABE，可得结论．本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．19.【答案】100 44 3.5 3.5【解析】解：(1)4÷4%=100(人)，a=100×44%=44(人)，故答案为：100，44；(2)将这100名学生线上学习时间从小到大排列后，处在中间位置的两个数都是3.5ℎ，因此中位数是3.5，出现次数最多的数据是3.5ℎ，共出现44次，因此众数是3.5，故答案为：3.5，3.5；(3)1.5×4%+2×12%+2.5×12%+3×20%+3.5×44%+4×8%=3.06(ℎ)，答：该中学初二学生每天线上学习的平均时间是3.06ℎ．(1)从统计图表中可知，每天线上学习时间为1.5ℎ的有4人，占调查人数的4%，可求出调查人数；(2)根据中位数、众数的意义求解即可；(3)根据加权平均数的计算方法进行计算即可．本题考查加权平均数，众数、中位数，理解众数、中位数的意义，掌握加权平均数的计算方法是正确解答的前提．20.【答案】解：过点C作CM⊥AB交AB延长线于点M，由题意得：AC=50×8=400(m)，在Rt△ACM中，∵∠A=30°，∴CM =12AC =200(m)，AM =AC ⋅cos∠A =400×√32=200√3(m)， 在Rt △BCM 中，∵∠CBM =70°，∴∠BCM =20°，∵tan20°=BM CM ，∴BM =200tan20°，∴AB =AM −BM =200√3−200tan20°=200(√3−tan20°)=200(1.7−0.4)=260(m)，因此A ，B 两地的距离AB 长为260m ．【解析】过点C 作CM ⊥AB 交AB 延长线于点M ，通过解直角△ACM 得到AM 和CM 的长度，通过解直角△BCM 得到BM 的长度，则AB =AM −BM ．本题考查解直角三角形的应用、三角函数等知识，解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形． 21.【答案】解：(1)设这个一次函数的解析式为y =kx +b ，则{30k +b =525k +b =45，得{k =−8b =245， 即这个一次函数的解析式为y =−8x +245；(2)当进价为14元/千克，售价为20元/千克时，利润为：(20−14)×(−8×20+245)=510(元)， 当进价为14元/千克，售价为25元/千克时，利润为：(25−14)×(−8×25+245)=495(元)， ∵510>495，∴当售价为20元/千克时的销售利润更高．【解析】(1)根据题意和表格中的数据可以求得这个一次函数的解析式；(2)根据题意和(1)中的函数解析式可以求得相应的利润，然后比较大小即可解答本题．本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．22.【答案】2【解析】解：(1)设袋子里红球有x 个，根据题意得：x x+2+1=25，解得：x =2(检验合适)，∴布袋里红球有2个，故答案为：2；(2)画树状图如图：共有20个等可能的结果，摸到的两个球中有一个是黑球的结果有8个，∴摸到的两个球中有一个是黑球的概率为820=25．(1)设袋子里红球有x个，根据概率公式得出方程，解方程即可；(2)画树状图，共有20个等可能的结果，摸到的两个球中有一个是黑球的结果有8个，再由概率公式求解即可．本题考查了列表法或树状图法以及概率公式；通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．23.【答案】(1)证明：连接OD，BF，交点为点M，∵D是弧BF的中点，∴OD⊥BF，∵AB为⊙O的直径，∴∠AFB=90°，∴OD//AE，∵DE⊥AF，∴OD⊥DE，∴DE为⊙O的切线；(2)解：∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠ABD+∠DBC=∠DBC+∠C=90°，∴∠ABD=∠C，∴tan∠ABD=tan∠C=43，设AD =4x ，BD =3x ，由勾股定理得，AD 2+BD 2=AB 2，∴(4x)2+(3x)2=82，∴x =85，∴AD =325，∵D 为BF⏜的中点， ∴∠FAD =∠DAB ，∴∠FAD =∠DAB ，∴∠EDA =∠ABD ，∴tan∠EDA =43，设AE =4a ，DE =3a ，∴(4a)2+(3a)2=(325)2， 解得a =3225，∴DE =3a =9625．【解析】(1)连接OD ，BF ，交点为点M ，由圆周角定理证出OD//AE ，得出OD ⊥DE ，则可得出结论；(2)由勾股定理求出AD =325，由直角三角形的性质得出∠EDA =∠ABD ，根据锐角三角函数的定义可得出答案．本题考查了切线的判定，圆周角定理，平行线的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，熟练掌握切线的判定方法是解题的关键． 24.【答案】解：(1)A(−1,0)和B(1,4)代入y =ax 2+bx −3a 得：{0=a −b −3a 4=a +b −3a，解得{a =−1b =2， ∴抛物线L 1解析式为y =−x 2+2x +3，它关于y 轴对称的抛物线L 2解析式为y =−(−x)2+2(−x)+3=−x 2−2x +3，∴抛物线L 2的表达式为y =−x 2−2x +3，(2)以点C 、N 、D 、E 为顶点的四边形是菱形，如答图：∵抛物线L2：y=−x2−2x+3，与x轴交于M、N两点(点N在点M的右侧)，与y轴交于点C，令y=0得x=−3或x=1，令x=0得y=3，∴M(−3,0)，N(1,0)，C(0,3)，OC=3，ON=1，对称轴x=−1，∴CN=√(1−0)2+(0−3)2=√10，设对称轴上的D(−1,m)，则CN=CD，∴√(0+1)2+(3−m)2=√10，解得m=0或m=6，∴D(−1,0)或(−1,6)当D(−1,6)时，N、C、D在同一直线上，不能构成菱形，舍去，∴D(−1,0)，过D作DE//CN，过N作NE//CD，二平行线交于E，则四边形DENC是满足条件的菱形，过E作直线x=−1的垂线，垂足为F，∵∠DEF=∠EDN=∠DNC，∠DFE=∠CON，DE=CN，∴△DFE≌△CON(AAS)，∴DF=OC，EF=ON，而N(1,0)，C(0,3)，∴DF=3，EF=1，又D(−1,0)，∴E(0,−3)．【解析】(1)先求出抛物线L1解析式，再求出它关于y轴对称的抛物线L2的解析式即可；(2)画出图形，先求D坐标，再由全等三角形性质求E坐标．本题考查关于y轴对称的抛物线解析式及构成菱形的条件，解题的关键是画出符合条件的图形．25.【答案】90°或270°【解析】解：(1)∵四边形ABCD是对余四边形，∴∠A+∠C=90°或∠A+∠C=360°−90°=270°，故答案为：90°或270°；(2)如图①中，结论：四边形ABCD是对余四边形．理由：过点D作DM⊥DC，使得DM=DC，连接CM，BM，AC，∵四边形ABCD中，AD=BD，AD⊥BD，∴∠DAB=∠DBA=45°，∵∠DCM=∠DMC=45°，∴∠CDM=∠ADB=90°，∴∠ADC=∠BDM，∵AD=DB，CD=DM，∴△ADC≌△BDM(SAS)，∴AC=BM，∵2CD2+CB2=CA2，CM2=DM2+CD2=2CD2，∴CM2+CB2=BM2，∴∠BCM=90°，∴∠DCB=45°，∴∠DAB+∠DCB=90°，∴四边形ABCD是对余四边形；(3)如图②，过点A作AN⊥CD，交CD的延长线于点N，∵∠ADC=120°，∴∠ADN=60°，∵AN⊥DN，∴∠NAD=30°，AD=20(米)，AN=√3DN=20√3(米)，∴DN=12∴NF=ND+DF=40(米)，∴AF=√AN2+NF2=√1600+1200=20√7(米)，∵对余四边形AEFH中，∠DAB=60°，∴∠HFE=30°，∵AH=AE，∴将△AEF绕点A逆时针旋转60°，得到△AHM，连接FM，延长AD交MF于Q，如图③所示：∴△AEF≌△AHM，∠FAM=60°∴AM=AF，MH=HF，∠AFE=∠AMH，S△AHF=S△AMH，∴△AFM是等边三角形，∴AF=AM=MF=20√7(米)，∵∠HFE=30°，∴∠HFA+∠AFE=30°，∴∠HFA+∠AMH=30°，∵∠MAF+∠AMH+∠AFH+∠HMF+∠MFH=180°，∴60°+30°+∠HMF+∠MFH=180°，∴∠HMF+∠MFH=90°，∴∠FHM=90°，∴点H在以MF为直径的圆上，∵四边形AEFH面积=S△AMF−S△MFH=√3×(20√7)2−S△MFH，4∴当△MFH的面积最大时，四边形AEFH面积有最小值，∵当点H在MF的垂直平分线上时，△MFH的面积最大，×20√7×10√7=700(平方米)，∴△MFH的最大的面积=12∴四边形AEFH的最小面积=(700√3−700)(平方米)，∵AM=AF，MH=HF，∴AQ是MF的垂直平分线，∴QF=10√7(米)，∵MH=HF，∠MHF=90°，∴QH=10√7(米)，∵∠AQF=90°，∠AFQ=60°，∴AQ=√3QF=10√21(米)，∴AH=(10√21−10√7)(米)．(1)对余四边形的定义即可得出结果；(2)通过构造手拉手模型，即构造等腰直角三角形，通过证明三角形全等，利用勾股定理来证明四边形ABCD 为对余四边形；(3)过点A作AN⊥CD，交CD的延长线于点N，由直角三角形的性质和勾股定理可求AF的长，将△AEF绕点A逆时针旋转60°，得到△AHM，连接FM，延长AD交MF于Q，可证∠FHM=90°，由四边形AEFH×(20√7)2−S△MFH，则当△MFH的面积最大时，四边形AEFH面积有最小值，面积=S△AMF−S△MFH=√34即可求解．本题是四边形的综合题，考查了对余四边形的定义，圆周角定理，旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识；熟练掌握对余四边形的定义和旋转的性质是解题的关键．。
2021年陕西省西安市莲湖区中考数学三模试卷(含答案解析)
2021年陕西省西安市莲湖区中考数学三模试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列说法正确的是()A. 最小的整数是0B. 互为相反数的两个数的绝对值相等C. 如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等D. 有理数分为正数和负数2.下列说法的正确是()A. 如果两条直线被第三条直线所截，那么同位角的角平分线必平行B. 如果两条直线被第三条直线所载，那么内错角必相等C. 如果两角的两边分别平行，那么这两个角必相等D. 如果同旁内角互补，那么它们的角平分线必互相垂直3.PM2.5是大气中直径小于或等于0.0000025m的颗粒物，它能较长时间悬浮于空气中，其在空气中含量浓度越高，就代表空气污染越严重．请将0.0000025用科学记数法表示为()A. 0.25×10−5B. 25×10−7C. 2.5×10−6D. 2.5×10−54.正确反映龟兔赛跑的图象是()A. B.C. D.5.下列运算正确的是()A. a6÷a2=a8B. 3x2⋅5x3=15x5C. (−3a2b)2=−6a4b2D. (3a+b)(3a−b)=3a2−b26.菱形和矩形都具有的性质是()A. 对角线互相垂直B. 对角线相等C. 对角线平分一组对角D. 对角线互相平分并且是中心对称图形7.如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC与△DEF是位似图形，原点O是位似中心，位似比OA：OD=1：3，若AB=3，则DE的长为()A. 5B. 6C. 9D. 128.如果一次函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限，那么k、b应满足的条件是()A. k>0，且b>0B. k>0，且b<0C. k<0，且b>0D. k<0，且b<09.下列语句中正确的是()A. 长度相等的两条弧是等弧B. 圆上一条弧所对的圆心角等于它所对圆周角的一半C. 垂直于圆的半径的直线是圆的切线D. 三角形有且只有一个外接圆10.二次函数y=−2x2的图象开口方向是()A. 向下B. 向左C. 向上D. 向右二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）11.分解因式：4a2+8ab+4b2=______12.若一个多边形每一个外角都等于36°，则这个多边形有______条边．13.直线y与反比例函数(x<0)的图象交于点A，与x轴相交于点B，过点B作x轴垂线交双曲线于点C，若AB=AC，则k的值为_________。
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（1）设租用A型号客车x辆，租车总费用为y元，求y与x的函数解析式；
（2）哪种租车方案最省钱？
22．元旦放假期间，小明和小华准备到西安的大雁塔（记为A）、白鹿原（记为B）、兴庆公园（记为C）、秦岭国家植物园（记为D）中的一个景点去游玩，他们各自在这四个景点中任选一个，每个景点被选中的可能性相同．
A． B． C． D．
3．如图，直线AB，AB相交于点E，EF⊥AB于点E，若∠CEF＝59°，则∠AED的度数为( )
A．149°B．121°C．95°D．31°
4．化简 的结果是（ ）
A．xx的图象上任一点（除原点外）的横坐标与纵坐标的比为（ ）
A．2B．±2C． D．±
9．如图，∠A=∠B=90°，AB=7，AD=2，BC=3，如果边AB上的点P使得以P，A，D为顶点的三角形和以P，B，C为顶点的三角形相似，则这样的P点共有几个（ ）
A．1B．2C．3D．4
10．如图一段抛物线：y=﹣x（x﹣3）（0≤x≤3），记为C1，它与x轴交于点O和A1；将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x轴于A3，如此进行下去，直至得到C10，若点P（28，m）在第10段抛物线C10上，则m的值为（ ）
【区级联考】陕西省西安市莲湖区2018届中考数学第三模拟数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列算式中，运算结果为负数的是（）
A．﹣（﹣2）B．|﹣2|
C．﹣22D．（﹣2）2
2．如图，下列选项中不是正六棱柱的三视图的是（）
17．已知Rt△ABC，∠A=90°，求作正方形ADEF，使D、E、F三点都在三角形的三条边上．
18．某中学八年级组织了一次“汉字听写比赛”，每班选25名同学参加比赛，成绩分为A，B，C，D四个等级，其中A等级得分为100分，B等级得分为85分，C等级得分为75分，D等级得分为60分，语文教研组将八年级一班和二班的成绩整理并绘制成如下的统计图，请根损换供的信息解答下列问题.
（1）请直接写出抛物线C2的解析式
（2）现将抛物线C1向左平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A、B；将抛物线C2向右也平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N，与x轴的交点从左到右依次为D、E．
①当B、D是线段AE的三等分点时，求m的值；
②在平移过程中，是否存在以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由
6．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD，CE是角平分线，则图中的等腰三角形共有
A．8个B．7个C．6个D．5个
7．不等式组 的最小整数解是（ ）
A．﹣3B．﹣2C．0D．1
8．无沦m为何实数，直线y=-2x+2m与y=x-4的交点都不可能在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
A．1B．﹣1C．2D．﹣2
二、填空题
11．如果a，b分别是2018的两个平方根，那么a＋b－ab＝_____．
12．一个多边形的每个外角都是36°，这个多边形是______边形．
13．为美化校园，学校决定将花园边墙上的矩形门ABCD改为以AC为直径的圆弧形门，如图所示，量得矩形门宽为1m，对角线AC的长为2m，则要打掉墙体的面积为_____m2．
14．如图，在矩形OABC中，OA=3，OC=2，F是AB上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比例函数y= （k＞0）的图象与BC边交于点E．当常数k=_____时，△EFA的面积有最大值，其最大面积=_____．
三、解答题
15．计算：2sin60°+|3﹣ |+（π﹣5）0﹣（ ）﹣1
16．解方程：
(1)把一班比赛成统计图补充完整；
(2)填表:
平均数(分)
中位数(分)
众数(分)
一班
a
b
85
二班
84
75
c
表格中:a=______，b=______，c=_______.
(3)请从以下给出的两个方面对这次比赛成绩的结果进行分析:
①从平均数、众数方面来比较一班和二班的成绩；
②从B级以上(包括B级)的人数方面来比较-班和二班的成绩.
19．如图，点E在△ABC外部，点D在BC边上，DE交AC于点F，若∠C=∠E，DE=BC，AC=AE，求证：AD平分∠BDE．
20．如图，足球场边有一路灯P，在灯下足球门横梁AB在地面上的影子为CD，经测量得知CD=10.8米，已知足球门横梁AB=7.2米，高AE=BF=2.44米，
试求路灯P距地面的高度．
21．为树立“绿水青山就是金山银山”理念，在建设美丽中国的活动中，某社会团体组织1501名志愿者到相关部门规划的林区植树，决定租用当地租车公司共60辆A、B两种型号客车作为交通工具．下表是租车公司提供给该团体有关两种型号客车的载客量和租金信息．
型号
载客量
租金单价
A
30人/辆
380元/辆
B
20人/辆
280元/辆
（1）求小明选择去白鹿原游玩的概率；
（2）用树状图或列表的方法求小明和小华都选择去秦岭国家植物园游玩的概率．
23．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AC的延长线上有点D，AC=3CD，连接BD，E为BD的中点，CE是⊙O的切线．
（1）求证：BD与⊙O相切；
（2）求∠ACE的度数．
24．将抛物线C1：y=﹣ x2+ 沿x轴翻折，得到抛物线C2，如图所示
②如图二，线段CD是△ABC的一条面径，求CD的长；
③等腰三角形ABC的面径长的最小值是底边上的中线长吗？如果是说明理由，如果不是举一反例．
参考答案
1．C
【分析】
根据相反数、绝对值、乘方的定义逐项分析即可.
25．问题探究
（1）新知学习：我们把一个平面图形分为面积相等的两部分的直线叫做该平面图形的“面线”，其“面线”被该平面图形截得的线段叫做该平面图形的“面径”（例如圆的直径就是圆的“面径”）．
（2）解决问题：已知如图，等腰△ABC，AB=AC=2a（a＞0），∠A=120°．
①请你在图一中画出等腰△ABC的一条面径；