离散数学——公式与解释
离散数学公式
基本等值式1.双重否定律 A Û┐┐A2.幂等律 A Û A∨A, A Û A∧A3.交换律A∨B Û B∨A，A∧B Û B∧A4.结合律(A∨B)∨C Û A∨(B∨C) (A∧B)∧C Û A∧(B∧C)5.分配律A∨(B∧C) Û (A∨B)∧(A∨C) （∨对∧的分配律）A∧(B∨C) Û (A∧B)∨(A∧C) （∧对∨的分配律）6.德·摩根律┐(A∨B) Û┐A∧┐B ┐(A∧B) Û┐A∨┐B7.吸收律A∨(A∧B) Û A，A∧(A∨B) Û A8.零律A∨1 Û 1,A∧0 Û 09.同一律A∨0 Û A，A∧1 Û A10.排中律A∨┐A Û 111.矛盾律A∧┐A Û 012.蕴涵等值式A→B Û┐A∨B13.等价等值式A«B Û (A→B)∧(B→A)14.假言易位A→B Û┐B→┐A15.等价否定等值式A«B Û┐A«┐B16.归谬论(A→B)∧(A→┐B) Û┐A求给定公式范式的步骤(1)消去联结词→、«(若存在)。
(2)否定号的消去(利用双重否定律)或内移(利用德摩根律)。
(3)利用分配律：利用∧对∨的分配律求析取范式，∨对∧的分配律求合取范式。
推理定律--重言蕴含式(1) A Þ (A∨B) 附加律(2) (A∧B) Þ A化简律(3) (A→B)∧A Þ B假言推理(4) (A→B)∧┐B Þ┐A 拒取式(5) (A∨B)∧┐B Þ A析取三段论(6) (A→B) ∧ (B→C) Þ (A→C) 假言三段论(7) (A«B) ∧ (B«C) Þ (A « C) 等价三段论(8) (A→B)∧(C→D)∧(A∨C) Þ(B∨D) 构造性二难(A→B)∧(┐A→B)∧(A∨┐A) Þ B 构造性二难(特殊形式)(9)(A→B)∧(C→D)∧(┐B∨┐D) Þ(┐A∨┐C) 破坏性二难设个体域为有限集D={a1,a2,…,an},则有（1）"xA(x) Û A(a1)∧A(a2)∧…∧A(an)（2）$xA(x) Û A(a1)∨A(a2)∨…∨A(an)设A(x)是任意的含自由出现个体变项x的公式，则（1）┐"xA(x) Û $x┐A(x)（2）┐$xA(x) Û "x┐A(x)设A(x)是任意的含自由出现个体变项x的公式，B中不含x的出现，则（1） "x(A(x)∨B) Û "xA(x)∨B"x(A(x)∧B) Û "xA(x)∧B"x(A(x)→B) Û $xA(x)→B"x(B→A(x)) Û B→"xA(x)（2） $x(A(x)∨B) Û $xA(x)∨B$x(A(x)∧B) Û $xA(x)∧B$x(A(x)→B) Û "xA(x)→B$x(B→A(x)) Û B→$xA(x)设A(x)，B(x)是任意的含自由出现个体变项x的公式，则（1）"x(A(x)∧B(x)) Û "xA(x)∧"xB(x)（2）$x(A(x)∨B(x)) Û $xA(x)∨ $xB(x)全称量词“"”对“∨”无分配律。
命题公式及分类(离散数学)PPT
练习
P32： 1.6：（3）（4） 1.7：（7-10）
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说 公式A与B具有相同的或不同的真值表，是指真值表的最后 明 一列是否对应相同，而8 不考虑构造真值表的中间过程。
例1 求下列公式的真值表，并求成真赋值和成假赋值。
(1) ┐ (p∧q)→┐r
(2)(p∧┐p)(q∧┐q)
(3)┐(p→q)∧q∧r
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三、命题公式的分类 定义1.9（重言式、永真式、可满足式）
(5) ┐q∨p
(3) ┐(p∧┐q)
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例3 下列公式中,哪些具有相同的真值表? (1)p→q (2)┐q∨r (3)(┐p∨q)∧((p∧r)→p) (4)(q→r)∧(p→p)
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习题：求公式┐(p→(q∧r))的真值表。
p q r q∧r p→(q∧r) ┐(p→(q∧r))
00 0 0
例如 F:{0,1}2{0,1}，且F(00)=F(01)=F(11)=0，
F(01)=1，则F为一个确定的2元真值函数.
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命题公式与真值函数
对于任何一个含n个命题变项的命题公式A，都 存在惟一的一个n元真值函数F与A的真值表相同.
下表给出所有2元真值函数对应的真值表, 每一个 含2个命题变项的公式的真值表都可以在下表中找 到.
(A→B)，(AB)也是合式公式。 (4)只有有限次地应用(1)～(3)形式的符号串才
是合式公式。 合式公式也称为命题公式或命题形式，并简称 为公式。
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关于合式公式的说明
合式公式的定义方式称为归纳定义或递归定义方式。
定义中引进了A,B等符号，用它们表示任意的合式公式，而不 是某个具体的公式，这与p, p∧q, (p∧q)→r等具体的公式是有 所不同的。
离散数学命题公式的定义
离散数学命题公式的定义离散数学中的命题公式，就像是数学世界里的独特密码，等待着我们去破解和理解。
咱先来说说啥是命题公式。
简单来讲，命题公式就是由命题常量、命题变量、联结词还有括号，按照一定的规则组合起来的式子。
这就好像搭积木一样，不同的积木（元素）按照特定的方式拼凑在一起，就形成了一个独特的结构。
比如说，“P 并且Q”，这里的“P”和“Q”可以是简单的命题，像“今天是晴天”“小明喜欢吃苹果”，而“并且”就是那个把它们连接起来的桥梁，这样组合在一起就成了一个命题公式。
我记得有一次给学生们讲这个知识点的时候，有个小家伙一脸懵地问我：“老师，这命题公式有啥用啊，感觉好复杂！”我笑了笑，拿起一支笔在纸上画了个简单的逻辑图，跟他说：“你看啊，假如我们要判断一个事情能不能发生，是不是得先搞清楚各种条件之间的关系？命题公式就是帮我们理清这些关系的工具。
”然后我举了个例子，比如学校组织春游，“天气好”是 P，“有足够的车辆”是 Q，那么“天气好并且有足够的车辆”这个命题公式成立的时候，春游就能顺利进行。
这小家伙听完，眼睛一下子亮了起来，好像突然明白了其中的奥妙。
命题公式的定义可不是随便定的，它有着严格的规则。
命题常量和命题变量是基础的元素，就像盖房子的砖头。
而联结词呢，像是“并且”（∧）、“或者”（∨）、“如果……那么……”（→）等等，它们决定了这些元素之间的逻辑关系。
括号的作用也不能小觑，它能明确运算的顺序，避免出现混乱。
在实际应用中，命题公式的作用可大了去了。
比如说在计算机科学里，编程的时候需要通过逻辑判断来决定程序的走向，这时候命题公式就能派上用场，帮助程序员准确地表达和处理各种条件。
再比如在数学推理中，通过对命题公式的分析和变形，可以得出很多重要的结论。
总之，离散数学中的命题公式虽然看起来有点复杂，但只要我们用心去理解，掌握它的规律，就能像掌握了一把神奇的钥匙，打开数学世界中一扇又一扇充满奥秘的门。
所以啊，同学们可别被它一开始的样子吓住，只要多琢磨、多练习，就能发现其中的乐趣和奇妙之处！。
屈婉玲离散数学第四章
谓词
谓词——表示个体词性质或相互之间关系的词 谓词常项 如, F(a)：a是人 谓词变项 如, F(x)：x具有性质F n（n1）元谓词 一元谓词(n=1)——表示性质 多元谓词(n2)——表示事物之间的关系 如, L(x,y)：x与 y 有关系 L，L(x,y)：xy，… 0元谓词——不含个体变项的谓词, 即命题常项 或命题变项
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实例5
例5 设个体域为实数域, 将下面命题符号化 (1) 对每一个数x都存在一个数y使得x<y (2) 存在一个数x使得对每一个数y都有x<y 解 L(x,y):x<y (1) xyL(x,y) (2) xyL(x,y)
注意: 与不能随意交换 显然(1)是真命题, (2)是假命题
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4.2 一阶逻辑公式及解释
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封闭的公式
定义4.6 若公式A中不含自由出现的个体变项，则称A为封闭 的公式，简称闭式. 例如，xy(F(x)G(y)H(x,y)) 为闭式， 而 x(F(x)G(x,y)) 不是闭式
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公式的解释
定义4.7 设L 是L生成的一阶语言, L 的解释I由4部分组成： (a) 非空个体域 DI . (b) 对每一个个体常项符号aL, 有一个 aDI, 称 a 为a在I 中的解释. (c) 对每一个n元函数符号fL, 有一个DI上的n元函数 f : DIn DI , 称 f 为f在I中的解释. (d) 对每一个n元谓词符号FL, 有一个DI上的n元谓词常项F , 称 F 为F在I中的解释. 设公式A, 取个体域DI , 把A中的个体常项符号a、函数符 号f、谓词符号F分别替换成它们在I中的解释 a、 f 、F , 称 所得到的公式A为A在I下的解释, 或A在I下被解释成A.
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离散数学知识点总结
注意/技巧：析取符号为V，大写字母Vx + y = 3不是命题前件为假时，命题恒为真运用吸收律命题符号化过程中要注意命题间的逻辑关系，认真分析命题联结词所对应的自然语言中的联结词，不能只凭字面翻译。
也就是说，在不改变原意的基础上，按照最简单的方式翻译通用的方法：真值表法VxP（x）蕴含存在xP（x）利用维恩图解题证明两个集合相等：证明这两个集合互为子集常用的证明方法：任取待证集合中的元素<,>构造相应的图论模型第一章命题逻辑命题和联结词命题的条件：表达判断的陈述句、具有确定的真假值。
选择题中的送分题原子命题也叫简单命题，与复合命题相对简单联结词的真值表要记住非（简单）合取（当且仅当P，Q都为真时，命题为真）析取（当且仅当P，Q都为假时，命题为假），P，Q可以同时成立，是可兼的或条件（→）（当且仅当P为真，Q为假时，命题为假）P是前件，Q是后件只要P，就Q等价于P→Q只有P，才Q等价于非P→非Q，也就是Q→PP→Q特殊的表达形式：P仅当Q、Q每当P双条件（↔）（当且仅当P与Q具有相同的真假值时，命题为真，与异或相反）命题公式优先级由高到低：非、合取和析取、条件和双条件括号省略条件：①不改变先后次序的括号可省去②最外层的括号可省去重言式（永真式）、矛盾式（永假式）、偶然式可满足式：包括重言式和偶然式逻辑等价和蕴含（逻辑）等价:这是两个命题公式之间的关系，写作“⇔”，要与作为联结词的↔区分开来。
如果命题公式A为重言式，那么A⇔T常见的命题等价公式：需要背过被标出的，尽量去理解。
关键是掌握公式是将哪个符号转换为了哪个符号，这对于解证明题有很大的帮助！验证两个命题公式是否等价：当命题变元较少时，用真值表法。
当命题变元较多时，用等价变换的方法，如代入规则、替换规则和传递规则定理：设A、B是命题公式，当且仅当A↔B是一个重言式时，有A和B逻辑等价。
蕴含:若A→B是一个重言式，就称作A蕴含B，记作A⇒B常见的蕴含公式的运用方法同上面的命题等价公式证明A⇒B：①肯定前件，推出后件为真②否定后件，推出前件为假当且仅当A⇒B且B⇒A时，A⇔B，也就是说，要证明两个命题公式等价，可以证明它们相互蕴含联结词的完备集新的联结词：条件否定、异或（不可兼或）、或非（析取的否定）、与非（合取的否定）任意命题公式都可由仅含{非，析取}或{非，合取}的命题公式来等价地表示全功能联结词集合极小全功能联结词集合对偶式对偶式：将仅含有联结词非、析取、合取（若不满足，需先做转换）的命题公式A中的析取变合取，合取变析取，T变F，F变T得到的命题公式A*称为A的对偶式范式析取式：否定+析取合取式：否定+合取析取范式：（合取式）析取（合取式）……析取（合取式）。
离散数学排列组合公式简介
离散数学排列组合公式简介离散数学是一门研究离散对象的数学学科，其中排列组合是其重要的一部分。
排列组合是指在给定的元素集合中，通过选择和安排元素，得到不同的结果。
在离散数学中，排列和组合是两个基本概念，并且有相应的计算公式来帮助解决问题。
一、排列公式排列是指从给定的元素集合中，按照一定的顺序，选取若干元素进行排列。
在离散数学中，排列的计算方法有两种：允许重复和不允许重复。
下面分别介绍这两种排列的计算公式。
1. 允许重复的排列当元素集合中的元素可以重复出现在排列中时，就称为允许重复的排列。
对于含有n个元素的集合，要求选择r个元素进行排列，公式如下：P(n, r) = n^r其中，P表示排列的个数，n表示元素集合中的元素个数，r表示选择的元素个数。
举个例子，假设有一个字母集合{a, b, c}，要选择两个字母进行排列，那么根据公式，可以计算出排列的个数为：P(3, 2) = 3^2 = 9因此，共有9种不同的排列方式：aa、ab、ac、ba、bb、bc、ca、cb、cc。
2. 不允许重复的排列当元素集合中的元素不允许重复出现在排列中时，就称为不允许重复的排列。
对于含有n个元素的集合，要求选择r个元素进行排列，公式如下：P(n, r) = n! / (n - r)!其中，"!"表示阶乘，n!表示n的阶乘，即n × (n-1) × ... × 1。
举个例子，假设有一个字母集合{a, b, c}，要选择两个字母进行排列，那么根据公式，可以计算出排列的个数为：P(3, 2) = 3! / (3 - 2)! = 3! / 1! = 6因此，共有6种不同的排列方式：ab、ac、ba、bc、ca、cb。
二、组合公式组合是指从给定的元素集合中，不考虑顺序，选择若干元素进行组合。
在离散数学中，组合的计算方法也有两种：允许重复和不允许重复。
下面分别介绍这两种组合的计算公式。
离散数学6.命题公式及符号化
若写成(PQ) (P R)时，当P为F，Q为F时，即天没下雨而我没 上街，此时我说的是假话，但是表达式 (PQ) (P R) 的真值却是
“T” ，因为此时(P R)的真值是“T”.
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二、复合命题的符号化(翻译) 有了命题演算的合式公式的概念,我们可以把自然语言
中的有些语句(复合命题),翻译成数理逻辑中的符号形式. 基本步骤如下:
1)首先要明确给定命题的含义. 2)对于复合命题，找联结词，用联结词断句，分解出各
个原子命题. 3)设原子命题符号，并用逻辑联结词联结原子命题符号，
构成给定命题的符号表达式.
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例2 说离散数学无用且枯燥无味是不对的. P：离散数学是有用的. Q：离散数学是枯燥无味的. 该命题可写成： (P∧Q). 例3 如果小张与小王都不去，则小李去. P：小张去. Q：小王去. R：小李去. 该命题可写成： (P∧Q)R. 如果小张与小王不都去，则小李去. 该命题可写成： (P∧Q)R, 也可以写成： (P∨QP∧Q， PR， P∨Q∧R，PQ ∨S , (P W) Q)； 下面的式子才是合式公式：
(P∧Q)，(PR)，((P∨Q)∧R). 按照合式公式定义最外层括号必须写. 约定：为方便，最外层括号可以不写，上面的合式
公式可以写成： P∧Q，PR，(P∨Q)∧R.
命题公式及符号化
一、 命题公式
1.定义1-3.1 命题演算的合式公式
合式公式是由命题变元、命题常量、联结词和圆括号按 一定的逻辑关系联结起来的符号串.我们以如下递归的形 式来定义合式公式：
(1)单个命题变元是一个合式公式. (2)若A是合式公式，则┐A也是合式公式. (3)若A，B是合式公式，则(A∧B)，(A∨B)，(AB)，
离散数学-合式公式和谓词推理
定义： 谓词演算的合式 公式
（1）原子谓词公式是合式公式。 （2）若A是合式公式，则A是一个合式 公式。 （3）若A和B都是合式公式，则(AB)， (A B)，(A B)和(A B)是合式公式。 （4）如果A是合式公式，x是A中出现的 任何变元，则( x)A和( x)A都是合 式公式。 （5）只有经过有限次地应用规则(1)、(2)、 (3)、(4)所得到的公式是合式公式。
2-7 谓词演算的 推理理论
（1）全称指定规则， 它表示为US ( x) P (x) P (c)
这里P是谓词，而C是 论域中某个任意的客体( x) P (x)
这个规则是要对命题量化， 如果能够证明对论域中每一个 客体C断言P(c)成立。
（3）存在指定规则， 它表示为ES
( x) P (x) P (c)
C是论域中的某些客体， 必须注意，其指定的客体C不 是任意的。
（1）存在推广规则， 它表示为EG P (c) ( x) P (x)
这里C是论域中的一个
客体，对于某些客体C成立。
•命题演算中的P、T和 CP规则等亦可在谓 词推理理论中应用