离散数学基本公式
离散知识点公式总结
离散知识点公式总结1. 集合论集合是离散数学中的基本概念，它是由一些确定的对象所组成的一个整体。
集合之间的运算包括并集、交集、差集、补集等。
其相关公式如下：- 并集：对于集合A和B，它们的并集定义为包含A和B中所有元素的集合，记作A∪B。
公式：A∪B={x|x∈A或x∈B}- 交集：对于集合A和B，它们的交集定义为同时属于A和B的所有元素的集合，记作A∩B。
公式：A∩B={x|x∈A且x∈B}- 差集：对于集合A和B，A与B的差集定义为属于A但不属于B的元素所组成的集合，记作A-B。
公式：A-B={x|x∈A且x∉B}- 补集：对于集合A，相对于全集合U而言，A的补集定义为全集合中不属于A的元素所组成的集合，记作A'。
公式：A'={x|x∈U且x∉A}2. 关系和函数关系是一种描述元素之间的对应关系的数学工具，而函数则是一种特殊的关系。
在离散数学中，关系和函数的定义和性质是非常重要的内容。
其相关公式如下：- 关系R：对于集合A和B，关系R定义为A和B的笛卡尔积中的元素对所组成的集合。
公式：R={(a,b)|a∈A且b∈B}- 函数f：对于集合A和B，如果f是从A到B的一个映射，那么对于任意元素a∈A，都有唯一的元素b∈B与之对应。
公式：f:A→B3. 图论图论是离散数学中的一个重要分支，它研究的是由顶点和边组成的数学结构。
图论的基本概念包括图的类型、路径和回路、连通性、树等。
其相关公式如下：- 有向图：对于图G=(V,E)，如果E中的边是有方向的，则称G为有向图。
公式：G=(V,E)，E={(u,v)|u,v∈V，u→v}- 无向图：对于图G=(V,E)，如果E中的边是无方向的，则称G为无向图。
公式：G=(V,E)，E={{u,v}|u,v∈V，u≠v}- 路径：在图G中，顶点v1,v2,...,vn的一个路径是图G中的一个顶点序列，其中相邻的顶点用一条边连接。
公式：v1,v2, (v)- 回路：在图G中，如果一条路径的起点和终点是同一个顶点，则称其为回路。
离散数学重要公式定理汇总
关系的性质
一. 自反性
定义:设R是集合A中的关系，如果对于任意x∈A都 有<x,x>∈R (xRx)，则称R是A中自反关系。 即 R是A中自反的关系x(xAxRx) 例如： 在实数集合中,“”是自反关系，因
离散数学重要公式定理汇总
大一上
Formula
基本的等价公式
⑴ 对合律 PP ⑵ 幂等律 P∨PP P∧PP ⑶ 结合律 P∨(Q∨R)(P∨Q)∨R P∧(Q∧R)(P∧Q)∧R ⑷交换律 P∨QQ∨P P∧QQ∧P ⑸分配律 P∨(Q∧R)(P∨Q)∧(P∨R) P∧(Q∨R)(P∧Q)∨(P∧R) ⑹ 吸收律 P∨(P∧Q)P P∧(P∨Q)P ⑺德．摩根定律 (P∨Q)P∧Q (P∧Q)P∨Q
2013-12-16 7
Formula
• 蕴含的性质
*若AB且A为重言式，则B必为重言式 *若AB且BC，则AC (传递性) *若AB且AC，则A(B ∧ C) *若AB且C B，则(A∨C) B 证明见书P22
2013-12-16
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conjunction
一、全功能真值表
2013-12-16 10
normal form
主析取范式定义 析取范式 A1∨A2∨...∨An, , 其中每个Ai (i=1,2..n) 都是小项，称之为主析取范式。 思考：主析取范式与析取范式的区别是什么？ 主析取范式的写法 方法Ⅰ：列真值表 ⑴列出给定公式的真值表。 ⑵找出真值表中每个“T”对应的真值指派再对 应的小项。 ⑶用“∨”联结上述小项，即可。
离散数学重要公式定理汇总分解
关系的性质
一. 自反性
定义 :设 R是集合 A中的关系，如果对于任意x∈A都 有<x,x>∈R (xRx)，则称R是A中自反关系。 即 R是A中自反的关系x(xAxRx) 例如： 在实数集合中 , “ ”是自反关系，因
例 邻居关系和朋友关系是对称关系。
四.反对称性
定义:设R为集合A中关系,若对任何x, y∈A,如果有 xRy,和yRx,就有x=y,则称R为A中反对称关系 。
R是A上反对称的 xy((xAyAxRyyRx) x=y) xy((xAyAxyxRy)y Rx) (P112) 由R的关系图看反对称性：两个不同的结点之间 最多有一条边。 从关系矩阵看反对称性：以主对角线为对称的两 个元素中最多有一个1。 另外对称与反对称不是完全对立的，有些关系它 既是对称也是反对称的，如空关系和恒等关系。
如 实数的大于关系>，父子关系是反自反的。 注意：一个不是自反的关系，不一定就是反自反
的。
三.对称性 定义:R是集合A中关系,若对任何x, y∈A,如果有
xRy,必有yRx,则称R为A中的对称关系。 R是A上对称的
xy((xAyAxRy) yR方向相反的两 条边。 从关系矩阵看对称性：以主对角线为对 称的矩阵。
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2018/10/25
Formula
等价公式(前10个)与集合论的公式比较： ⑴ 对合律 ~~AA ~A表示A的绝对补集 ⑵ 幂等律 A∪AA A ∩ A A ⑶ 结合律 A∪(B∪C)(A∪B)∪C； A∩(B∩C)(A∩B)∩C ⑷交换律 A∪BB∪A A∩BB∩A ⑸分配律 A∪(B∩C)(A∪B)∩(A∪C) A∩(B∪C)(A∩B)∪(A∩C) ⑹ 吸收律 A∪(A∩B)A A∩(A∪B)A
离散数学基本公式
离散数学基本公式离散数学是数学的一个重要分支，它主要研究的是非连续的、分离的对象，如集合、图论、数论、逻辑等。
在这些领域中，一些基本的公式和定理是理解和应用离散数学的关键。
以下是一些离散数学的基本公式：1、德摩根定律德摩根定律是布尔代数中的基本公式之一，它表示对于任何逻辑运算，如果我们把所有的否命题和原命题结合在一起，我们就会得到一个恒等式。
用符号表示为：P ∧ Q) ∨(¬P ∧¬Q) ≡ P ∨ QP ∨ Q) ∧(¬P ∨¬Q) ≡ P ∧ Q2.集合论中的互补律在集合论中，互补律表示对于任何集合A和它的补集A'，我们有：A ∪ A' = U,其中U是全集A ∩ A' = ∅,其中∅表示空集3.图论中的欧拉公式欧拉公式是图论中的一个基本公式，它表示对于一个连通无向图G，其顶点数v、边数e和欧拉数euler(G)之间有以下关系：euler(G) = v + e - 2其中euler(G)是图G的欧拉数，v是图G的顶点数，e是图G的边数。
这个公式在计算图的欧拉数或者判断一个图是否连通等方面都有重要应用。
4.数论中的费马小定理费马小定理是数论中的一个重要定理，它表示对于任何正整数n，如果它是质数p的幂次方，那么我们可以找到一个整数x，使得x的n 次方等于1（模p）。
用数学语言表示为：x^n ≡ x (mod p)其中n是正整数，p是质数，x是整数。
这个定理在密码学、计算机科学等领域都有广泛的应用。
5.逻辑中的排中律和反证法排中律是指对于任何命题P，P或非P必定有一个是真命题。
反证法则是通过假设相反的命题成立来证明原命题的一种方法。
在证明过程中，如果假设的相反命题成立会导致矛盾，那么原命题就一定是正确的。
这些公式和定理只是离散数学中的一小部分，但它们是理解和应用离散数学的基础。
在学习的过程中，我们还需要掌握更多的公式和定理，以及它们的应用方法。
离散数学基本公式
一、基本等值式⑴双重否定律A A⑵幂等律A∧A A A∨A A⑶交换律A∧B B∧A A∨B B∨A⑷结合律A∨(B∨C)(A∨B)∨CA∧(B∧C)(A∧B)∧C⑸分配律A∨(B∧C)(A∨B)∧(A∨C)A∧(B∨C)(A∧B)∨(A∧C)(6)德摩根律(A∨B)A ∧B(A∧B)A ∨B(7)吸收律A∨(A∧B) AA∧(A∨B)A(8)零律A∨1 1 A∧00(9)同一律A∧1 AA∨0A(10)排中律A ∨A1(11)矛盾律A ∧A0(12)蕴含等值式A B A∨B(13)等价等值式A B (A B)∧(B A)A B (A∨B)∧(A ∨B)A B(A∧B)∨(A ∧ B )(14)假言易位A B B A(15)等价否定等值式A B A B(16)归谬论(A B)∧(A B) A二、推理定律——重言蕴涵式1.A (A B)附加律2.(A B)A化简律3.(A B)A B假言推理4.(A B)B A拒取式5.(A B)B A析取三段论6.(A B)(B C)(A C)假言三段论7.(A B)(B C)(A C)等价三段论8.(A B)(C D)(A C)(B D)构造性二难(A B)(A B)B构造性二难(特殊形式)9.(A B)(C D)(B D)(A C)破坏性二难三、量词辖域收缩与扩张x(A(x)∨B)xA(x)∨B x(A(x)∧B)xA(x)∧B x(A(x)→B)xA(x)→B x(B1/ 2→A(x))B→xA(x)x(A(x)∨B)xA(x)∨B x(A(x)∧B)xA(x)∧B x(A(x)→B )xA(x)→B x(B→A(x))B→xA(x)四、量词分配x(A(x)∧B(x))xA(x)∧xB(x)x(A(x)∨B(x))xA(x)∨xB(x)x(A(x)∨B(x) )xA(x)∨xB(x)x(A(x)∨B(x))xA(x)∨xB(x)个体域为全体自然数; A(x)：x是偶数, B(x)：x是奇数;左1,右0x(A(x)∧B(x))xA(x)∧xB(x)x(A(x)∧B(x))xA(x)∧xB(x)个体域为全体自然数; A(x)：x是偶数B(x)：x是奇数;左0,右 12/ 2。
离散数学公式
离散数学公式基本等值式1.双重否定律 A ⇔┐┐A2.幂等律 A ⇔ A∨A, A ⇔ A∧A3.交换律A∨B ⇔ B∨A，A∧B ⇔ B∧A4.结合律(A∨B)∨C ⇔ A∨(B∨C) (A∧B)∧C ⇔ A∧(B∧C)5.分配律A∨(B∧C) ⇔ (A∨B)∧(A∨C) （∨对∧的分配律）A∧(B∨C) ⇔ (A∧B)∨(A∧C) （∧对∨的分配律）6.德·摩根律┐(A∨B) ⇔┐A∧┐B ┐(A∧B) ⇔┐A∨┐B7.吸收律 A∨(A∧B) ⇔ A，A∧(A∨B) ⇔ A8.零律A∨1 ⇔ 1,A∧0 ⇔ 09.同一律A∨0 ⇔ A，A∧1 ⇔ A10.排中律A∨┐A ⇔ 111.矛盾律A∧┐A ⇔ 012.蕴涵等值式A→B ⇔┐A∨B13.等价等值式A↔B ⇔ (A→B)∧(B→A)14.假言易位A→B ⇔┐B→┐A15.等价否定等值式 A↔B ⇔┐A↔┐B16.归谬论(A→B)∧(A→┐B) ⇔┐A求给定公式范式的步骤(1)消去联结词→、↔(若存在)。
(2)否定号的消去(利用双重否定律)或内移(利用德摩根律)。
(3)利用分配律：利用∧对∨的分配律求析取范式，∨对∧的分配律求合取范式。
推理定律--重言蕴含式(1) A ⇒ (A∨B) 附加律(2) (A∧B) ⇒ A 化简律(3) (A→B)∧A ⇒ B 假言推理(4) (A→B)∧┐B ⇒┐A 拒取式(5) (A∨B)∧┐B ⇒ A 析取三段论(6) (A→B) ∧(B→C) ⇒ (A→C) 假言三段论(7) (A↔B) ∧(B↔C) ⇒ (A ↔ C) 等价三段论(8) (A→B)∧(C→D)∧(A∨C) ⇒(B∨D) 构造性二难(A→B)∧(┐A→B)∧(A∨┐A) ⇒ B 构造性二难(特殊形式)(9)(A→B)∧(C→D)∧(┐B∨┐D) ⇒(┐A∨┐C)破坏性二难设个体域为有限集D={a1,a2,…,an},则有（1）∀xA(x) ⇔ A(a1)∧A(a2)∧…∧A(an)（2）∃xA(x) ⇔ A(a1)∨A(a2)∨…∨A(an)设A(x)是任意的含自由出现个体变项x的公式，则（1）┐∀xA(x) ⇔∃x┐A(x)（2）┐∃xA(x) ⇔∀x┐A(x)设A(x)是任意的含自由出现个体变项x的公式，B中不含x的出现，则（1）∀x(A(x)∨B) ⇔∀xA(x)∨B∀x(A(x)∧B) ⇔∀xA(x)∧B∀x(A(x)→B) ⇔∃xA(x)→B∀x(B→A(x)) ⇔ B→∀xA(x)（2）∃x(A(x)∨B) ⇔∃xA(x)∨B∃x(A(x)∧B) ⇔∃xA(x)∧B∃x(A(x)→B) ⇔∀xA(x)→B∃x(B→A(x)) ⇔ B→∃xA(x)设A(x)，B(x)是任意的含自由出现个体变项x的公式，则（1）∀x(A(x)∧B(x)) ⇔∀xA(x)∧∀xB(x)（2）∃x(A(x)∨B(x)) ⇔∃xA(x)∨∃xB(x)全称量词“∀”对“∨”无分配律。
离散数学知识点(可编辑修改word版)
1.内容及范围主要来自 ppt，标签对应书本2.可能有错，仅供参考离散数学知识点说明：定义：红色表示。
定理性质：橙色表示。
公式：蓝色表示。
算法: 绿色表示页码：灰色表示数理逻辑：1.命题公式：命题，联结词(⌝，∧，∨，→，↔)，合式公式，子公式2.公式的真值：赋值，求值函数，真值表，等值式，重言式，矛盾式3.范式：析取范式，极小项，主析取范式，合取范式，极大项，主合取范式4.联结词的完备集：真值函数，异或，条件否定，与非，或非，联结词完备集5.推理理论：重言蕴含式，有效结论，P 规则，T 规则， CP 规则，推理6.谓词与量词:谓词，个体词，论域，全称量词，存在量词7.项与公式:项，原子公式，合式公式，自由变元，约束变元，辖域，换名，代入8.公式语义:解释，赋值，有效的，可满足的，不可满足的9.前束范式:前束范式10.推理理论:逻辑蕴含式，有效结论，∀-规则（US），∀+规则（UG），∃-规则(ES)，∃+规则(EG), 推理集合论：1.集合: 集合, 外延性原理, ∈, ⊆, ⊂, 空集, 全集, 幂集, 文氏图, 交, 并, 差, 补, 对称差2.关系: 序偶, 笛卡尔积, 关系, domR, ranR, 关系图, 空关系, 全域关系, 恒等关系3.关系性质与闭包:自反的, 反自反的, 对称的, 反对称的, 传递的,自反闭包 r(R),对称闭包 s(R), 传递闭包 t(R)4.等价关系: 等价关系, 等价类, 商集, 划分5.偏序关系:偏序, 哈斯图, 全序(线序), 极大元/极小元, 最大元/最小元, 上界/下界6.函数: 函数, 常函数, 恒等函数, 满射,入射,双射，反函数, 复合函数7.集合基数:基数, 等势, 有限集/无限集, 可数集, 不可数集代数结构：1.运算及其性质：运算，封闭的,可交换的,可结合的,可分配的,吸收律, 幂等的，幺元,零元,逆元2.代数系统：代数系统，子代数，积代数，同态，同构。
数理逻辑重要公式(离散数学)
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(AB)(AB)(AA) B 构造性二难（特殊形式） (AB)(CD)( BD) (AC) 破坏性二难 推理定律 (续)
说明： A, B, C为元语言符号 若某推理符合某条推理定律，则它自然是正确的 AB产生两条推理定律: A B, B A
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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基本等值式
2
蕴涵等值式: 等价等值式: 假言易位: 等价否定等值式: 归谬论:
ABAB AB(AB)(BA) ABBA ABAB (AB)(AB) A
A,B,C代表任意的命题公式
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推理定律——重言蕴涵式
重要的推理定律 A (AB) (AB) A (AB)A B (AB)B A (AB)B A (AB)(BC) (AC) (AB)(BC) (AC) (AB)(CD)(AC) (BD) 附加律 化简律 假言推理 拒取式 析取三段论 假言三段论 等价三段 构造性二难
推理规则(续)
(12) 全称量词消去规则（简记为UI规则或UI） (13) 全称量词引入规则（简记为UG规则或UG） (14) 存在量词引入规则（简记为EG规则或EG） (15) 存在量词消去规则（简记为EI规则或EI） 闭 式
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1、基本等值式:
命题逻辑中基本等值式的代换实例
2、消去量词等值式 设D={a1,a2,…,an} xA(x)A(a1)A(a2)…A(an) xA(x)A(a1)A(a2)…A(an) 3、否定等值式 x(x)= x(x) x(x)= x(x)
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量词辖域收缩与扩张等值式 设A(x)是含x自由出现的公式，B中不含x的出现 关于存在量词的: 关于全称量词的：
量词分配等值式 x(A(x)B(x))xA(x)xB(x) x(A(x)B(x))xA(x)xB(x) 注意：对无分配律，对无分配律
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、基本等值式
⑴双重否定律 A A
⑵籍等律 A A A A A V A A
⑶交换律 A A B BA A A V B BV A
⑷结合律 A V (B V C) (A V B) V C A A (B A C) (A A B) A C
⑸分配律 A V (B A C) (A V B) A (A V C) A A (B V C) (A A B) V (A A
C)
(6)德摩根律(A V B) AA B (A A B) AV B
⑺吸收律 A
(8)零律A
⑼同一律 A
(10) 排中律 A
(11) 矛盾律 A
(12) 蕴含等值式A
(13) 等价等值式A V (A A B)
V1 1
A1 A
V A 1
A A 0
B AV
B (A
A A
A
A
B
B) A (B A)
A (A V B)
A 0 0
V 0 A
A
A B (AV B) A (A V B)
A B (A A B) V ( AA B )
(14) 假言易位ABBA
(15) 等价否定等值式ABA B
(16)归谬论(A B) A (A B) A
一、推理定律里口编涵式
1.A ( A B) 附加律
2.( A B) A 化简律
3.( A B) A B 假言推理
4.( A B) B A 拒取式
5.( A B) B A 析取三段论
6.( A B) (B C) (A 假言三段论
7.( A B) (B Q (A C) 等价三段论
8.( A B) (C D) (A C) (B D) 构造性二难
(A B) ( A B) B 构造性二难(特殊形式)
9.( A B) (C D) ( B D) ( A Q 破坏性二难
三、量词辖域收缩与扩张
x(A(x) V B) xA(x) VB
x(A(x) A B) xA(x) AB
x(A(x) —B) xA(x) F
x(B t A(x)) B T xA(x)
x(A(x) V B) xA(x) VB
x(A(x) A B) xA(x) A B
x(A(x) —B) xA(x) F
x(B t A(x)) B T xA(x)
四、量词分配
x(A(x) A B(x)) xA(x) A xB(x)
x(A(x) V B(x)) xA(x) V xB(x)
x(A(x) V B(x)) xA(x) V xB(x)
x(A(x) V B(x)) xA(x) V xB(x)
个体域为全体自然数；A(x): x 是偶数，B(x): x 是奇数；左1,右0 x(A(x) A B(x)) xA(x) A xB(x)
x(A(x) A B(x)) xA(x) A xB(x)
个体域为全体自然数；A(x): x 是偶数
B(x): x 是奇数；左0,右1。