分段函数教学设计
新人教版九年级数学《分段函数》教案
新人教版九年级数学《分段函数》教案一、教学目标1. 了解分段函数的定义和特点。
2. 能够根据给定的函数图像和定义，确定其函数表达式。
3. 掌握分段函数的图像绘制方法。
4. 能够应用分段函数解决实际问题。
二、教学内容1. 分段函数的概念和定义。
2. 分段函数的图像绘制方法。
3. 分段函数的应用实例。
三、教学重难点1. 学生理解和掌握分段函数的定义和特点。
2. 学生能够根据给定的函数图像和定义确定其函数表达式。
3. 学生能够灵活运用分段函数解决实际问题。
四、教学过程第一节：分段函数的概念和定义教学内容：1. 介绍分段函数的概念和定义。
2. 分析分段函数在数学和实际生活中的应用。
教学步骤：1. 引入分段函数的概念，让学生了解其基本定义。
2. 呈现一些实际问题，引导学生思考如何用分段函数来描述和解决。
3. 给出一些例子，让学生通过观察图像和函数表达式，归纳分析分段函数的特点。
第二节：分段函数的图像绘制方法教学内容：1. 讲解分段函数的图像绘制方法。
2. 给出一些例题和练，巩固学生的图像绘制能力。
教学步骤：1. 介绍如何根据分段函数的定义绘制函数图像。
2. 演示一些例题的图像绘制过程，引导学生掌握方法和技巧。
3. 让学生进行练，检验他们的图像绘制能力。
第三节：分段函数的应用实例教学内容：1. 利用分段函数解决实际问题的应用实例。
2. 培养学生应用数学知识解决实际问题的能力。
教学步骤：1. 提供一些实际问题，让学生思考如何建立并求解相应的分段函数。
2. 引导学生分析问题的关键点和解题思路。
3. 给出一些实际应用实例的解题步骤和方法，让学生进行练。
五、教学评价1. 课堂参与情况和学生的讨论能力。
2. 学生的作业完成情况和正确率。
3. 学生在应用实例解题中的能力表现。
六、教学资源1. 教案和课件。
2. 分段函数的相关练题和题册。
七、拓展延伸1. 学生可以进一步探究其他类型的函数，如绝对值函数和指数函数的分段定义和图像特点。
分段函数教案
分段函数教案分段函数教案一、引言在数学学科中，分段函数是一个重要的概念。
它在实际问题的建模和解决中起着重要的作用。
本教案将介绍分段函数的概念、性质以及解题方法，帮助学生更好地理解和应用分段函数。
二、概念解释1. 分段函数的定义分段函数是由两个或多个函数组成的函数，每个函数在某个区间内有效。
函数的定义域可以分成多个不相交的区间，每个区间内有一个函数与之对应。
2. 分段函数的表示方式分段函数可以用符号表示，也可以用图像表示。
符号表示通常采用条件表达式，例如：f(x) = { x, x < 0{ x^2, x ≥ 0图像表示则是将每个函数的图像绘制在同一坐标系中，形成一个整体的图像。
三、性质探究1. 连续性分段函数在每个定义域内都是连续的，但在定义域之间可能存在间断点。
学生可以通过观察图像来判断分段函数的连续性。
2. 极值点分段函数的极值点可能出现在每个定义域内的端点，也可能出现在定义域之间的间断点。
学生需要通过求导或观察图像来确定极值点的位置。
3. 零点分段函数的零点是指函数取值为0的点。
学生可以通过求解方程或观察图像来确定分段函数的零点。
四、解题方法1. 确定定义域学生需要根据题目中给出的条件来确定每个函数的定义域，并将定义域整合成一个整体的定义域。
2. 绘制图像学生可以根据每个函数的表达式和定义域来绘制图像。
通过观察图像，学生可以更好地理解分段函数的性质。
3. 求解问题学生需要根据题目中的要求，利用分段函数的性质来解决问题。
例如，求函数的极值、零点和特定取值等。
五、案例分析以下是一个案例分析，帮助学生更好地理解和应用分段函数。
案例：某公司的销售业绩奖金制度如下：- 当销售额不超过100万时，奖金为销售额的5%；- 当销售额超过100万但不超过200万时，奖金为100万的5%加上超出部分的3%；- 当销售额超过200万时，奖金为100万的5%加上100万到200万的3%，再加上超出200万部分的1%。
分段函数教学设计
分段函数教学设计一、教学目标1.知识与技能：学生能够掌握分段函数的概念和性质，理解分段函数的图像表示，能进行相关的运算和求解问题。
2.过程与方法：通过引导学生分析实际问题，从中得出分段函数的数学表示方式，培养学生解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观：培养学生的数学思维能力和实际应用问题的解决能力，增强他们学习数学的兴趣和信心。
二、教学重难点1.教学重点：分段函数的概念和性质，图像表示和求解问题的方法。
2.教学难点：将实际问题转化为分段函数的数学表示方式，培养学生的应用问题解决能力。
三、教学过程设计1.导入新知利用一个实际问题引导学生思考，例如：商场的销售员工资规定如下：月销售额不超过500元，销售员的月工资是销售额的10%；月销售额超过500元但不超过1000元，月工资是销售额500元加上超出500元的20%；月销售额超过1000元，月工资是销售额1000元加上超出1000元的30%。
学生分小组，讨论如何将这个问题转化为数学的表示方式。
2.概念讲解通过引导学生的讨论，引出分段函数的概念，并给出分段函数的定义。
3.性质讲解讲解分段函数的性质，如定义域、值域、奇偶性等。
4.图像表示给出几个具体的例子，让学生绘制对应的分段函数图像，并进行解读和分析。
5.运算和求解问题给出一些运算和求解问题的例子，引导学生使用分段函数进行运算和解答问题。
6.拓展和深化引导学生分析更加复杂的实际问题，将其转化为分段函数的数学表示方式，并解答问题。
四、教学方法及学具准备1.教学方法：提问法、探究式教学法、案例分析法。
2.学具准备：板书、投影仪、计算器等。
五、教学评价1.对学生的评价：通过观察学生的参与和解答问题的程度，进行个别和集体评价。
2.对教学效果的评价：结合学生的表现、作业和考试成绩，评估教学效果。
高中数学讲解分段函数教案
高中数学讲解分段函数教案
一、教学目标：
1. 理解分段函数的概念；
2. 能够根据图像和定义求分段函数的值；
3. 能够解决实际问题中涉及到分段函数的计算和应用。
二、教学重点与难点：
重点：掌握分段函数的概念及应用方法；
难点：理解分段函数的图像和定义。
三、教学过程：
1. 概念引入
示意图展示，引导学生思考分段函数的概念，并举例说明分段函数的应用场景。
2. 分段函数的定义
通过简单的例题，引导学生理解分段函数的定义，并让学生学会根据定义求分段函数的值。
3. 分段函数的图像
通过绘制分段函数的图像，让学生直观感受分段函数的特点，掌握函数图像的变化规律。
4. 分段函数的计算与应用
练习题目，让学生熟练掌握分段函数的求解方法，并能够灵活运用于实际问题中。
四、教学总结：
总结分段函数的概念和应用方法，强调分段函数在解决实际问题中的重要性和实用性。
五、课后作业：
1. 完成练习题目，并总结解题方法；
2. 梳理课堂知识点，做好笔记。
六、扩展拓展：
扩展分段函数的应用领域，如金融、经济等领域中的分段函数应用案例，激发学生对分段函数的兴趣和学习积极性。
高中数学分段方程教案
高中数学分段方程教案
一、教学目标：
1. 掌握分段函数的概念和性质。
2. 能够准确地画出分段函数的图像。
3. 能够解决与分段函数相关的问题。
二、教学重点：
1. 理解分段函数的定义。
2. 掌握绘制分段函数图像的方法。
三、教学难点：
1. 解决包含分段函数的复杂问题。
2. 熟练运用分段函数的概念。
四、教学准备：
1. 教科书、课件和习题册。
2. 黑板、彩色粉笔。
3. 计算器。
五、教学步骤：
1. 引入分段函数的概念：让学生观察一个简单的分段函数，讨论其性质和特点。
2. 讲解分段函数的定义和性质：讲解分段函数的定义，解释其在实际问题中的应用。
3. 案例分析：通过几个实例来解释分段函数的应用和特性。
4. 练习：让学生自行计算并绘制几个分段函数的图像。
5. 总结：总结分段函数的性质和应用，强化重点知识。
6. 作业：布置一些与分段函数相关的题目，让学生巩固所学知识。
六、教学反馈：
1. 学生对分段函数的理解和应用情况。
2. 学生解题能力和图像绘制水平。
七、教学延伸：
1. 给学生更多的分段函数练习题，提高他们的解题能力。
2. 引入更多实际问题，让学生更好地理解分段函数的应用。
八、教学评估：
1. 学生解题情况和答题水平。
2. 学生对分段函数的理解和应用情况。
高中数学分段函数总结教案
高中数学分段函数总结教案教学内容分析：分段函数是高中数学中的一个重要内容，通过本课的学习，学生将能够掌握分段函数的定义、性质、图像及求解等知识。
本节课将对分段函数进行总结，让学生加深对分段函数的理解，同时通过解题训练提高学生的分析和解决问题的能力。
教学目标：1. 知识与技能：掌握分段函数的定义、性质及图像等知识，能够准确解析和应用分段函数进行实际问题的求解。
2. 过程与方法：培养学生分析问题的能力，引导学生探索问题解决的方法和思路。
3. 情感态度与价值观：培养学生勤奋学习、积极思考、团结合作的学习态度，促进学生的创新意识和实践能力的提升。
教学重点和难点：重点：分段函数的定义，性质及图像。
难点：分段函数的解析与应用。
教学过程设计：一、导入环节（5分钟）教师引导学生回顾分段函数的定义和性质，提出本节课的学习内容和目标。
二、知识讲解（15分钟）1. 分段函数的定义及性质；2. 分段函数的图像特点；3. 分段函数的求解方法。
三、示例讲解（15分钟）教师通过具体的例题，演示如何解析和应用分段函数进行求解。
四、练习环节（15分钟）学生进行课堂练习，巩固所学知识，提高解题能力。
五、反馈与讨论（10分钟）教师与学生一起总结学习内容，讨论学习中的问题及解题思路。
六、拓展延伸（5分钟）教师引导学生进行延伸思考，拓展分段函数的应用领域，提高学生的分析与解决问题的能力。
七、作业布置（5分钟）布置课后作业，巩固所学知识。
教学反思：通过本节课的教学，学生对分段函数的定义、性质及图像等知识有了更深入的理解，能够运用所学知识解答实际问题。
同时，学生在课堂练习中也提高了解题的能力。
在以后的教学中，需要引导学生多进行实际问题的应用，提高学生的解决问题的能力及创新思维。
分段函数教案
分段函数教案一、教学目标1. 知识与技能：了解和理解分段函数的概念和性质，掌握绘制分段函数图像的方法。
2. 过程与方法：通过讲解、示例和练习，帮助学生从实际问题中抽象出分段函数，并正确绘制其图像。
3. 情感态度价值观：培养学生对数学思维的兴趣和探索精神，增进对分段函数在实际问题中应用的认识和理解。
二、教学重难点1. 教学重点：分段函数的概念和性质，分段函数图像的绘制方法。
2. 教学难点：从实际问题中抽象分段函数，正确绘制分段函数图像。
三、教学过程1. 导入新知识：通过一个实际问题引入分段函数的概念。
例如：小明买东西总共花费了60元，如果货物单价小于等于10元，他要支付的运费是5元；如果货物单价大于10元，他要支付的运费是2元。
那么买货物的单价x和小明支付的总费用y之间的关系可以用一个分段函数来表示。
2. 介绍分段函数的定义和表示方法。
例如：一个分段函数可以写成f(x) = {x^2, x ≥ 0； 1/x, x < 0}。
3. 结合具体的实例，让学生通过思考和讨论，从实际问题中抽象出分段函数的定义和表示方法。
例如：一个池塘里有鱼，如果鱼的数量小于等于50条，鸟儿每天吃10条鱼；如果鱼的数量大于50条，鸟儿每天吃20条鱼。
那么鱼的数量x和鸟儿每天吃的鱼的数量y之间的关系可以用一个分段函数来表示。
4. 讲解分段函数图像的绘制方法。
例如：对于一个分段函数f(x) = {2x + 1, x ≥ 0；-x + 1, x < 0}，可以先分别绘制两个子函数的图像，然后将两个子函数的图像连接起来，形成整个分段函数的图像。
5. 示例演练：给出一个分段函数的例子，让学生根据定义和绘图方法，绘制出该函数的图像。
例如：f(x) = {2x + 1, x ≥ 0；-x + 1, x < 0}。
6. 课堂练习：让学生根据实际问题，抽象出分段函数，并正确绘制出该函数的图像。
7. 总结与拓展：对学生进行总结回顾，巩固已学知识。
高中数学分段方程问题教案
高中数学分段方程问题教案
教学目标：
1. 了解分段函数的概念；
2. 掌握分段函数的图像和性质；
3. 能够应用分段函数解决实际问题。
教学重点：
1. 分段函数的概念；
2. 分段函数图像的绘制；
3. 分段函数在实际问题中的应用。
教学难点：
1. 应用分段函数解决实际问题；
2. 理解分段函数的性质。
教学准备：
1. 教师准备ppt或板书；
2. 教师准备分段函数相关的练习题；
3. 学生准备纸笔。
教学环节：
一、导入（5分钟）
教师通过引入一个实际问题来引起学生的兴趣，让学生思考如何使用分段函数解决这个问题。
二、讲解分段函数的概念（10分钟）
1. 介绍分段函数的定义和用途；
2. 讲解如何表示和绘制分段函数的图像；
3. 解释分段函数的性质。
三、例题讲解（15分钟）
1. 给出一个简单的分段函数问题，并讲解如何解决；
2. 带着学生一起解决一个稍复杂一点的分段函数问题。
四、练习与巩固（15分钟）
1. 学生独立完成课堂练习；
2. 学生相互交流答案并讨论问题。
五、实际问题应用（10分钟）
1. 给出一个实际问题，并让学生尝试使用分段函数进行求解；
2. 学生讨论解决方案并写出答案。
六、总结与展望（5分钟）
教师总结本节课的重点内容，并展望下节课的学习内容。
教学反思：
通过本节课的教学，学生应该能够掌握分段函数的基本概念和应用能力，能够灵活运用分
段函数解决实际问题。
同时，教师应该注重引导学生思维，培养学生独立解决问题的能力。
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2.1.3生活中的成本计算
一、教学目标
知识与技能：以水费、出租车计费和个税为实例，学会构建分段函数模型解决生活中简单的成本计算问题
过程与方法：通过解决生活成本问题，初步建立利用分段函数解决生活问题的数学思想，学会借助数学模型解题
情感与价值观：通过生活实例，感悟数学建模与生活的联系，提升数学建模能力
二、教学重难点
重点：建立分段函数模型解决生活中的成本
难点：在复杂背景下，将分段函数模型中各段对应的表达式数学化、符号化
三、教学过程
（一）问题呈现
从2014年元旦起萧山区实行阶梯式水价
1.若我家4月份用水量是20立方米，则4月份水费是多少？
2.请建立所要的交水费和用水量之间的数学模型
(1)分析:从收费标准看，所交水费是分段计算的。
先找到所用水量的级数，再确定水价
(2)假设:本月用水量是 立方米，所交水费
元 (3)模型构建
当用水量为一级，即 时， 当用水量为二级，即 时， 当用水量为三级，即 时， (4)模型求解
设计意图:以具体实例引出分段函数，熟悉利用分段函数建模流程 （二）方法归纳 定义:对自变量 不同取值，有着不同的函数表达式，这样的函数通常叫做“分段函数”。
注意：对于分段函数，因为在不同的定义范围内，函数有着不同的对应关系，所以必须
先分段研究，再合并函数表达式。
构造分段函数时，要对自变量取值范围做合理划分，不重不漏。
150≤<x x
.y 52=2515≤<x )x (..y 15531552-+⨯=25>x )x (...y 254410531552-+⨯+⨯=⎪⎩
⎪
⎨⎧>-+⨯+⨯≤<-+⨯≤<=2525441053155225
151553155215
052x ),x (...x ),x (..x ,x .y x y x
设计意图:对模型和方法小结，提醒构建模型分段时注意点 （三）实战演练
A 同学从镇上出发坐公交到萧山汽车东站后发现，若再坐公交去学校怕迟到，于是打算
坐出租车。
经百度地图查询推荐路线：全程有6.3千米，11个红绿灯（预计等待4分钟）,车费约18元。
18元够了吗？ 萧山出租车计费方式（如下图）
一般出租车计价器显示以“元”为单位，即小于等于0.50元舍去，大于等于0.51元进为1元。
设计意图：通过更贴近生活的事例计算，巩固分段函数模型的求值 （四）学以致用
《中华人民共和国个人所得税法》规定，个人全月工资等收入不超过3500元时，不必
交税，超过3500元的部分为当月应纳税所得额，税款分段累计
全月工资收入额 税率 不超过3500元部分
0% 超过3500元，不超过5000元部分 3% 超过5000元，不超过8000元部分 10% 超过8000元，不超过12500元部分
20% ……
……
（1）计算月收入为10000元时所应缴税额
（2）若当月所交个税为169元，则当月的收入是多少？
（3）请建立所缴税款 与月收入
之间的函数关系
设计意图：以更多分级的税收问题，进一步巩固分段函数模型的构建及求值 (五)总结升华 利用分段函数建立的数学模型解决生活成本计算。
数学源于生活，更服务于生活
(六)课后作业 书本课后习题
x y
2.解决问题
（1）分析：①从表中可以看出，萧山出租车计费根据路程采用分段计费
②
（2）假设：①出租车行驶路程为x ，所需费用为y ②全程畅通，等候费忽略不计
（3）模型构建：⎪⎩
⎪⎨⎧>-+⨯+≤<-+≤<=101075375211103352113011x ),x (..x ),x (.x ,y
（4）模型求解：当路程x =6.3时，费用y =19.25元 （5）模型检验：18元打车费可能不够
3.方法小结
对自变量x 的不同取值，有着不同的函数表达式，这样的函数通常叫做“分段函数”
4.同类问题
某市的B 同学从商场打车回家，付费17元。
发票记录如下：4月10日20：30-20:48；里程4.2千米；单价2.40元，等候时间00:04.16。
已知B 市出租车计价标准如下：①起步价12元，起步里程3千米；超过起步里程部分按2.4元/公里；超过13千米以上（不含13千米），超过部分3.6元/公里。
②当日23点（含23点）至次日5点（不含5点），起步费、超起步里程价格上浮30%。
③非司机原因低速或等候费用按0.5元/每分钟计费（不足1分钟按1分钟计，1分15秒按2分钟计算，以此类推）④计价器以“元”为单位，即小于等于0.50元舍去，大于等于0.51元进为1元。
问题1：请写出行驶里程为x 千米和对应里程费y 之间函数关系
（1）分析
①该市出租车里程费根据路程采用分段计费
路程（千米） 价格 0<路程≤3
3<路程≤10 路程>10
路程x （千米）
价格
②
（2）模型建构
⎪⎩
⎪
⎨⎧>-+⨯+≤<-+≤<=131363105211133342113012x ),x (..x ),x (.x ,y
（3）模型求解
当路程=6.3时，费用 =19.25
元 问题2：最后应付款17元有无错误？请验证
5.学以致用
《中华人民共和国个人所得税法》规定，个人全月工资等收入不超过3500元时，不必交税，超过3500元部分为当月应纳税所得额，税款分段累计
（1）分别计算月收入为2950元，5000元,10000元时所应缴税额
（2）请建立所缴税款y 与月收入x 之间的函数关系
x y。