分段函数教学设计
2.1.3生活中的成本计算
一、教学目标
知识与技能：以水费、出租车计费和个税为实例，学会构建分段函数模型解决生活中简单的成本计算问题
过程与方法：通过解决生活成本问题，初步建立利用分段函数解决生活问题的数学思想，学会借助数学模型解题
情感与价值观：通过生活实例，感悟数学建模与生活的联系，提升数学建模能力
二、教学重难点
重点：建立分段函数模型解决生活中的成本
难点：在复杂背景下，将分段函数模型中各段对应的表达式数学化、符号化
三、教学过程
（一）问题呈现
从2014年元旦起萧山区实行阶梯式水价
1.若我家4月份用水量是20立方米，则4月份水费是多少？
2.请建立所要的交水费和用水量之间的数学模型
(1)分析:从收费标准看，所交水费是分段计算的。先找到所用水量的级数，再确定水价 (2)假设:本月用水量是立方米，所交水费元 (3)模型构建
当用水量为一级，即时， 当用水量为二级，即时， 当用水量为三级，即时， (4)模型求解
设计意图:以具体实例引出分段函数，熟悉利用分段函数建模流程 （二）方法归纳 定义:对自变量不同取值，有着不同的函数表达式，这样的函数通常叫做“分段函数”。
注意：对于分段函数，因为在不同的定义范围内，函数有着不同的对应关系，所以必须
先分段研究，再合并函数表达式。
构造分段函数时，要对自变量取值范围做合理划分，不重不漏。
150≤ .y 52=2515≤ x (...y 254410531552-+?+?=?? ? ??>-+?+?≤<-+?≤<=2525441053155225 151553155215 052x ),x (...x ),x (..x ,x .y x y x 设计意图:对模型和方法小结，提醒构建模型分段时注意点 （三）实战演练 A 同学从镇上出发坐公交到萧山汽车东站后发现，若再坐公交去学校怕迟到，于是打算 坐出租车。经百度地图查询推荐路线：全程有6.3千米，11个红绿灯（预计等待4分钟）,车费约18元。18元够了吗？萧山出租车计费方式（如下图） 一般出租车计价器显示以“元”为单位，即小于等于0.50元舍去，大于等于0.51元进为1元。 设计意图：通过更贴近生活的事例计算，巩固分段函数模型的求值 （四）学以致用 《中华人民共和国个人所得税法》规定，个人全月工资等收入不超过3500元时，不必 交税，超过3500元的部分为当月应纳税所得额，税款分段累计 （1）计算月收入为10000元时所应缴税额 （2）若当月所交个税为169元，则当月的收入是多少？ （3）请建立所缴税款与月收入之间的函数关系 设计意图：以更多分级的税收问题，进一步巩固分段函数模型的构建及求值 (五)总结升华 利用分段函数建立的数学模型解决生活成本计算。数学源于生活，更服务于生活 (六)课后作业书本课后习题 x y 2.解决问题 （1）分析：①从表中可以看出，萧山出租车计费根据路程采用分段计费 ② （2）假设：①出租车行驶路程为x ，所需费用为y ②全程畅通，等候费忽略不计 （3）模型构建：?? ???>-+?+≤<-+≤<=101075375211103352113011x ),x (..x ),x (.x ,y （4）模型求解：当路程x =6.3时，费用y =19.25元 （5）模型检验：18元打车费可能不够 3.方法小结 对自变量x 的不同取值，有着不同的函数表达式，这样的函数通常叫做“分段函数” 4.同类问题 某市的B 同学从商场打车回家，付费17元。发票记录如下：4月10日20：30-20:48；里程4.2千米；单价2.40元，等候时间00:04.16。 已知B 市出租车计价标准如下：①起步价12元，起步里程3千米；超过起步里程部分按2.4元/公里；超过13千米以上（不含13千米），超过部分3.6元/公里。②当日23点（含23点）至次日5点（不含5点），起步费、超起步里程价格上浮30%。③非司机原因低速或等候费用按0.5元/每分钟计费（不足1分钟按1分钟计，1分15秒按2分钟计算，以此类推）④计价器以“元”为单位，即小于等于0.50元舍去，大于等于0.51元进为1元。 问题1：请写出行驶里程为x 千米和对应里程费y 之间函数关系 （1）分析 ①该市出租车里程费根据路程采用分段计费 ② （2）模型建构 ?? ? ??>-+?+≤<-+≤<=131363105211133342113012x ),x (..x ),x (.x ,y （3）模型求解 当路程=6.3时，费用 =19.25 元 问题2：最后应付款17元有无错误？请验证 5.学以致用 《中华人民共和国个人所得税法》规定，个人全月工资等收入不超过3500元时，不必交税，超过3500元部分为当月应纳税所得额，税款分段累计 （1）分别计算月收入为2950元，5000元,10000元时所应缴税额 （2）请建立所缴税款y 与月收入x 之间的函数关系 x y 学科数学课型新授课课时2课时课题§3.3《函数的实际应用举例之分段函数》班级 教材高等教育出版社《数学》（基础模块）上册 教学目标知识目标 1.掌握分段函数的定义、图象和性质； 2.学会函数应用题一般解法； 3.理解分段函数在实际问题中的应用。 能力目标 1.能利用分段函数去解决一些的实际生活问题； 2.强化学生对函数应用题的分析能力和解答能力； 3.养成学生严谨、认真的数学做题习惯。 情感目标 1.培养学生的团队合作意识和竞争意识； 2.体会服务生活、服务专业的数学思想； 3.倡导“关心，关怀，关爱”的人文精神和“一方有难，八方 支援“的社会责任感。 教学重点 分段函数的定义、性质和图象以及函数应用题 的一般解法教学 用具 电脑及课件； 多媒体教室； 辅助软件。 教学 难点 能利用分段函数去解决一些的实际生活问题 教法学法微课教学法、情境教学法、引导教学法、激励教学法；自主学习法、代入学习法、探究学习法、合作学习法。 学情分析 有利因素：经贸专业的学生思维活跃，兴趣广泛；对一般函数的定义、性质和图像已经有了充足的理解，具备了对函数应用题的理解能力；对与自身专业相关的经贸类问题有较大兴趣。 不利因素：讨厌抽象的理论知识和枯燥的说教；在心理上对应用题存在厌恶感和恐惧感，缺乏解决函数应用题的信心和技巧。 设计思路 本节内容，我抛弃了传统的“先教后学”的教学模式，结合微课采用“反转课堂式”的信息化教学模式，学生课下可通过多种方式反复观看我提供的微课视频，进行自主学习。而课堂上，教师则有了更充足的时间进行知识的拓展和强化，通过五幅篇章配合情境主线，结合了专业与生活，强化了重点和难点，不仅巩固了自学成果，而且实现了教学目标。 对应学生用书P 102 基础达标 一、选择题 1．已知函数f (x )＝????? 1x ＋1，x <1， x －1，x >1，则f (2)等于( ) A ．0 B.13 C ．1 D ．2 解析：f (2)＝2－1＝1. 答案：C 2．函数f (x )＝x ＋|x | x 的图象是( ) 解析：f (x )＝? ???? x ＋1，x >0， x －1，x <0， 画出f (x )的图象可知选C. 答案：C 3．已知a 、b 为实数，集合M ＝{b a ，1}，N ＝{a,0}，f ：x →x 表示把集合M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．±1 解析：∵f ：x →x ，∴M ＝N . ∴????? a ＝1， b a ＝0，解得a ＝1，b ＝0.∴a ＋b ＝1. 答案：C 4．已知映射f ：A →B ，其中集合A ＝{－3，－2，－1,1,2,3,4}，集合B 中的元素都是集合A 中某个元素在映射f 下对应的元素，且对任意的a ∈A ，在B 中和它对应的元素是|a |， 则集合B 中的元素的个数是( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 解析：∵|±3|＝3，|±2|＝2，|±1|＝1，|4|＝4， ∴B ＝{1,2,3,4}． 答案：A 5．函数f (x )＝???? ? 2x ，0≤x ≤1，2，1 教学内容 第一部分 知识梳理 知识点一，函数的概念 1．函数的定义 设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数.记作：， x A ． 其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x A}叫做函数的值域. 2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 ①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等(或为同一函数)； ②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关. 3．区间的概念 (1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间； (2)无穷区间； (3)区间的数轴表示． 课题名称 函数及其表示 学科 数学 年级 高一 学校 雷锋中学 课时时长（分钟） 120分钟 知识点 函数的概念 教学目标 会用集合与对应的语言刻画函数； 会求一些简单函数的定义域和值域， 初步掌握换元法的简单运用. 能理解函数与映射的关系与区别。 教学重点 函数概念的理解 教学难点 对于求值域问题能灵活运用各种方法解题 区间表示： {x|a≤x≤b}=[a，b]； ；； . 知识点二、映射与函数 1.映射定义： 设A、B是两个非空集合，如果按照某个对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从A到B的映射；记为f：A→B. 象与原象：如果给定一个从集合A到集合B的映射，那么A中的元素a对应的B中的元素b叫做a的象，a叫做b的原象. 注意： (1)A中的每一个元素都有象，且唯一； (2)B中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一； (3)a的象记为f(a). 2.函数： 设A、B是两个非空数集，若f：A→B是从集合A到集合B的映射，这个映射叫做从集合A到集合B 的函数，记为y=f(x). 注意： (1)函数一定是映射，映射不一定是函数； (2)函数三要素：定义域、值域、对应法则； (3)B中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一； (4)原象集合=定义域，值域=象集合. 三、规律方法指导 1.函数定义域的求法 (1)当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合.具体地讲，就是考虑分母不为零，偶次根号的被开方数、式大于或等于零，零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件. (2)当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义. (3)求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示. 3.函数值域的求法 实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就完全确定了，但求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有： 观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的"最高点"和 第一章函数与极限 教学目的： 1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。 2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4、掌握基本初等函数的性质及其图形。 5、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限 之间的关系。 6、掌握极限的性质及四则运算法则。 7、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限 的方法。 8、理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有 界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。 教学重点： 1、复合函数及分段函数的概念； 2、基本初等函数的性质及其图形； 3、极限的概念极限的性质及四则运算法则； 4、两个重要极限； 5、无穷小及无穷小的比较； 6、函数连续性及初等函数的连续性； 7、区间上连续函数的性质。 教学难点： 1、分段函数的建立与性质； 2、左极限与右极限概念及应用； 3、极限存在的两个准则的应用； 4、间断点及其分类； 5、闭区间上连续函数性质的应用。 §1. 1 映射与函数 一、集合 1. 集合概念 集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用A, B, C….等表示. 元素: 组成集合的事物称为集合的元素. a是集合M的元素表示为a?M. 集合的表示: 列举法: 把集合的全体元素一一列举出来. 例如A?{a, b, c, d, e, f, g}. 描述法: 若集合M是由元素具有某种性质P的元素x的全体所组成, 则M可表示为 微课——《分段函数》教学设计 天台第二职业技术学校占志勇 一、教学背景分析 （一）教学内容分析 1、本节课内容是全章知识的综合应用。这一节主要体现了强化应用意识的要求，让学生能把数学知识应用到生产、生活的实际中去，形成应用数学的意识。 2、在解决实际问题过程中常用到函数的知识有：函数的概念，函数解析式的确定，分段函数的概念及性质。在方法上涉及到数形结合的思想方法。本节的学习，既是对知识的复习，也是对方法和思想的再认识。 3、数学在职高属于基础课程，学习目的是为专业课程服务，为学生将来的社会生活服务，本节内容正体现了这一特点。 （二）学情分析 学生对分段函数的表示方法是完全陌生的，需要一个接受过程。分段函数是一个函数还是两个或多个函数，学生可能会理解错误。正确理解分段函数的概念对学生来讲是个难点。 二、教学目标和教学重点、难点 （一）知识目标 （1）理解分段函数的概念； （2）了解实际问题中的分段函数问题。 （二）能力目标 会求分段函数的定义域和分段函数在x0处的函数值f(x0)。 （三）情感目标 （1）体会数学与生活实际的密切联系，激发学习兴趣； （2）通过学习探索过程，培养分析问题解决问题的能力。 （四）教学重点 分段函数的概念。 （五）教学难点 会求分段函数在x0处的函数值f(x0)。 三、教学方法 （一）教法 1、启发式教学、问题引导，由特殊到一般； 2、激发兴趣、发挥学生主观能动性。 （二）学法 实践操作、主动参与、成功参与、快乐体验。 四、教学设计 是难点需 要仔细讲解分 析 ( x≤ 10 五、教学总结 本微课的设计采用黑板图片作为PPT的背景图片，意在让学员感受到学习的环境氛围，使人由如在教室的感觉。 该设计遵循教材实例，但不局限于教材，采用先特殊后一般的教学模式，使学员更容易接受分段函数这个知识点。两个练习题的设计是由易到难，作业设计既强化了知识点又体现了数学源于生活又服务于生活。 《变量与函数》教学设计 第2课时 进一步研究运动变化过程中变量之间的对应关系，在观察具体问题中变量之间对应关系的基础上，抽象出函数的概念． 1．进一步体会运动变化过程中的数量变化； 2．从典型实例中抽象概括出函数的概念，了解函数的概念． 概括并理解函数概念中的对应关系． 多媒体：PPT课件、电子白板. 一、观察思考，分析变化 问题1 下面变化过程中，是否包含两个变量？同一问题中的变量之间有什么联系？ （1）汽车以60 km/h 的速度匀速行驶，行驶的时间为t h，行驶的路程为s km； （2）每张电影票的售价为10 元，设某场电影售出 x张票，票房收入为y 元； （3）圆形水波慢慢地扩大，在这一过程中，圆的半径为 r ，面积为 S ； （4）用10 m 长的绳子围一个矩形，当矩形的一边长为 x，它的邻边长为 y． [活动说明与建议]说明：本问题主要是给出具体事例让学生认识并抽象得到函数的概◆教材分析 ◆教学目标 ◆教学重难点 ◆ ◆课前准备 ◆ ◆教学过程 念，函数概念的抽象应循序渐进，首先让学生知道这些事例是一个变换的过程，其次这些变换过程中都含有两个变量，这两个变量之间存在着某种联系，最后由教师引导通过具体的数据，发现当给定一个变量的值时，有唯一的另一个变量的值与之对应，这种对应关系每个问题都不同. 建议：在教师的引导下，充分的让学生通过实例感知函数，感知这种对应关系. 【归纳】上面每个问题中的两个变量相互联系，当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就有唯一的值与之对应. 二、观察思考，再次概括 问题2：一些用图或表格表达的问题中，也能看到两个变量之间存在上面那样的关系. （1）下面是中国代表团在第23 届至30 届夏季奥运会上获得的金牌数统计表，届数和金牌数可以分别记作 x 和 y，对于表中每一个确定的届数 x，都对应着一个确定的金牌数y 吗？ （2）如图是北京某天的气温变化图，你能根据图象说出某一时刻的气温吗？ 问题3：综合以上这些现象，你能再次归纳出上面所有事例的变量之间关系的共同特点吗？函数的定义： 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x 与y，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是 x 的函数．如果当 x =a 时，对应的 y =b，那么 b 叫做当自变量的值为 a 时的函数值． 三、初步应用，巩固知识： 第 16次课 学生： 蒋昊秋 授课时间: 2012 年 7 月 28 日 10 ： 00 --- 12 ： 00 教师 唐文 审核教师 授课课题 解函数解析式 一、 授课目的与考点分析： 1． 会用待定系数法以及配凑法求函数解析式 2． 会求分段函数定义域及值域。 3． 掌握反函数的性质，会求反函数。 二、 授课内容： 一：函数解析式的常用方法： 1、直接法：由题给条件可以直接寻找或构造变量之间的联系。 例1. 已知函数y ＝f （x ）满足xy ＜0，4x 2－9y 2＝36，求该函数解析式。 说明：这是一个分段函数，必须分区间写解析式，不可以写成 229 3 x y -=± 的形式。 2、待定系数法：由题给条件可以明确函数的类型，从而可以设出该类型的函数的一般式，然后再求出各个参变量的值。 例2. 已知在一定条件下，某段河流的水流量y 与该段河流的平均深度x 成反比，又测得该段河流某段平均水深为2m 时，水流量为340m 3/s ，试求该段河流水流量与平均深度的函数关系式。 变式.已知()f x 为二次函数，过原点，且f(1)=3, f(3)=6,求()f x 的解析式 。 说明：二次函数的表达形式有三种：一般式：2 ()f x ax bx c =++；顶点式：2 ()()f x a x m n =-+；零点式： 12()()()f x a x x x x =--，要会根据已知条件的特点，灵活地选用二次函数的表达形式）。 3、换元法：题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式，可将内函数用一个变量代换。 例3. 已知2211 ()x x x f x x +++= ，试求()f x 。 说明：要注意转换后变量范围的变化，必须确保等价变形。 变式：（1）已知,sin )cos 1(2 x x f =-求()2 x f 的解析式 起航学校个性化辅导教案提纲 2.1.3生活中的成本计算 一、教学目标 知识与技能：以水费、出租车计费和个税为实例，学会构建分段函数模型解决生活中简单的成本计算问题 过程与方法：通过解决生活成本问题，初步建立利用分段函数解决生活问题的数学思想，学会借助数学模型解题 情感与价值观：通过生活实例，感悟数学建模与生活的联系，提升数学建模能力 二、教学重难点 重点：建立分段函数模型解决生活中的成本 难点：在复杂背景下，将分段函数模型中各段对应的表达式数学化、符号化 三、教学过程 （一）问题呈现 从2014年元旦起萧山区实行阶梯式水价 1.若我家4月份用水量是20立方米，则4月份水费是多少？ 2.请建立所要的交水费和用水量之间的数学模型 (1)分析:从收费标准看，所交水费是分段计算的。先找到所用水量的级数，再确定水价 (2)假设:本月用水量是立方米，所交水费元 (3)模型构建 当用水量为一级，即时， 当用水量为二级，即时， 当用水量为三级，即时， (4)模型求解 设计意图:以具体实例引出分段函数，熟悉利用分段函数建模流程 （二）方法归纳 定义:对自变量不同取值，有着不同的函数表达式，这样的函数通常叫做“分段函数”。 注意：对于分段函数，因为在不同的定义范围内，函数有着不同的对应关系，所以必须 先分段研究，再合并函数表达式。 构造分段函数时，要对自变量取值范围做合理划分，不重不漏。 150≤ 函数的概念和性质 考点 分段函数 分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内, 有不同的对应法则的函数, 它是一个函数, 却又常常被学生误认为是几个函数; 它的定义域是各段函数定义域的并集, 其值域也是各段函数值域的并集. 由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的程度的考察上有较好的作用, 时常在高考试题中“闪亮”登场, 本文就几种具体的题型做了一些思考, 解析如下： 1．求分段函数的定义域和值域 例1．求函数1222[1,0];()(0,2);3[2,);x x f x x x x +∈-?? =-∈??∈+∞? 的定义域、值域. 2．求分段函数的函数值 例2．已知函数2 |1|2,(||1)()1,(||1)1x x f x x x --≤?? =?>?+?求12[()]f f . 例3．求函数43(0)()3(01)5(1)x x f x x x x x +≤?? =+<≤??-+>? 的最大值. 4．求分段函数的解析式 例4．在同一平面直角坐标系中, 函数()y f x =和()y g x =的图象关于直线y x =对称, 现将()y g x =的图象沿x 轴向左平移2个单位, 再沿y 轴向上平移1个单位, 所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示）, 则函数()f x 的表达式为（ ） 222(10) .()2(02)x x x A f x x +-≤≤?=?+<≤? 222(10) .()2(02)x x x B f x x --≤≤?=?-<≤? 222(12) .()1(24)x x x C f x x -≤≤?=?+<≤? 2 26(12) .()3(24)x x x D f x x -≤≤?=?-<≤? y x 分段函数的实际应用 清远工贸职业技术学校数学组 教师：陈学军班级：15春数控1班课时安排：1课时 课程分析 职业高中数学课程教学是专业建设与专业课程体系改革的一部分，应与专业课教学融为一体，立足于为专业课服务，解决实际生活中常见问题，结合中职学生的实际，强调数学的应用性，以满足学生在今后的工作岗位上的实际应用为主，这也体现了新课标中突出应用性的理念。 分段函数的实际应用在本课程中的地位： （1）函数是高中数学学习的重点和难点，函数的思想贯穿于整个高中数学之中，分段函数在科技和生活的各个领域有着十分广泛的应用。 （2）本节所探讨学习分段函数在生活生产中的实际问题上应用，培养学生分析与解决问题的能力，养成正确的数学化理性思维的同时，形成一种意识，即数学“源于生活、寓于生活、用于生活”。 教材分析 教材使用的是中等职业教育课程改革国家规划教材，分段函数内容安排在第三章函数的最后一部分讲解。本节内容是在学生熟知函数的概念，表示方法和对函数性质有一定了解的基础上研究分段函数，同时深化学生对函数概念的理解和认识，也为接下来学习指数函数和对数函数作了良好铺垫。由生活生产中的实际问题入手，求得分段函数此部分知识以学生生活常识为背景，可以引导学生分析得出，分段函数作图可以略讲由学生自己完成。 学情分析 （1）知识层面：学生在初中学习了一次函数、二次函数、正比例函数、反比例函数这些基本初等函数图像和性质，对函数有一定程度的认识和理解；在本学期对函数知识又进一步系统的学习，加深学生对函数概念和性质的理解，为学习分段函数奠定良好的基础。 （2）能力层面：学生对函数具有一定的理解，在此基础上能够建立简单实际问题的分段函数的关系式，通过分段函数的应用，培养学生分析与解决问题的能力，了解什么是数学建模，提高学生基本科学素质。 教学目标 教学准备 1. 教学目标 1、知识与技能： 函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．高中阶段不仅把函数看成变量之间的依 赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型化的思想与意识． 2、过程与方法： （1）通过实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用； （2）了解构成函数的要素； （3）会求一些简单函数的定义域和值域； （4）能够正确使用“区间”的符号表示函数的定义域； 3、情感态度与价值观，使学生感受到学习函数的必要性和重要性，激发学习的积极性. 2. 教学重点/难点 重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数； 难点：符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示； 3. 教学用具 多媒体 4. 标签 函数及其表示 教学过程 （一）创设情景，揭示课题 1、复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想； 2、阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想： （1）炮弹的射高与时间的变化关系问题； （2）南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题； （3）“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题. 3、分析、归纳以上三个实例，它们有什么共同点； 4、引导学生应用集合与对应的语言描述各个实例中两个变量间的依赖关系； 5、根据初中所学函数的概念，判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数关系． （二）研探新知 1、函数的有关概念 （1）函数的概念： 设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B 为从集合A到集合B的一个函数（function）． 记作：y=f(x)，x∈A． 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域（range）． 注意： ①“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”； ②函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x． （2）构成函数的三要素是什么？ 定义域、对应关系和值域 （3）区间的概念 ①区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间； 分段函数的几种常见题型及解法 分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内, 有不同的对应法则的函数, 它是一个函数, 却又常常被学生误认为是几个函数; 它的定义域是各段函数定义域的并集, 其值域也是各段函数值域的并集. 由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的程度的考察上有较好的作用, 时常在高考试题中“闪亮”登场, 笔者就几种具体的题型做了一些思考, 解析如下： 1．求分段函数的定义域和值域 例1．求函数1222[1,0]; ()(0,2);3 [2,);x x f x x x x +∈-?? =-∈?? ∈+∞?的定义域、值域. 【解析】 作图, 利用“数形结合”易知()f x 的定义域为 [1,)-+∞, 值域为(1,3]-. 2．求分段函数的函数值 例2．（05年浙江理）已知函数2 |1|2,(||1) ()1,(||1)1x x f x x x --≤?? =?>?+?求12 [()]f f . 【解析】 因为311222()|1|2f =--=-, 所以3 12 22 3 2 14[()]()1() 13 f f f =-== +-. 3．求分段函数的最值 例3．求函数43(0)()3(01)5(1)x x f x x x x x +≤?? =+<≤??-+>? 的最大值. 【解析】当0x ≤时, max ()(0)3f x f ==, 当01x <≤时, m ax ()(1)4f x f ==, 当1x >时, 5154x -+<-+=, 综上有m ax ()4f x =. 4．求分段函数的解析式 例4．在同一平面直角坐标系中, 函数()y f x =和()y g x =的图象关于直线y x =对称, 现将()y g x =的图象沿x 轴向左平移2个单位, 再沿y 轴向上平移1个单位, 所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示）, 则函数()f x 的表达式为（ ） 222(10) .()2(02)x x x A f x x +-≤≤?=?+<≤? 222(10) .()2(02)x x x B f x x --≤≤?=?-<≤? 222(12) .()1(24)x x x C f x x -≤≤?=?+<≤? 2 26(12) .()3(24)x x x D f x x -≤≤?=?-<≤? 【解析】 当[2,0]x ∈-时, 1 2 1y x =+, 将其图象沿x 轴向右平移2个单位, 再沿y 轴向下 平移 1个单位, 得解析式为11 2 2 (2)111y x x = -+-= -, 所以 ()22 ( [f x x x = + ∈-, 当[0,1]x ∈时, 21y x =+, 将其图象沿x 轴向右平移2 个单位, 再沿y 轴向下平移1个单位, 得解析式2(2)1124y x x =-+-=-, 所以 1 2 ()2([0,2])f x x x = +∈, 综上可得2 22(10) ()2(02)x x x f x x +-≤≤?=?+<≤?, 故选A . 5．作分段函数的图像 例5．函数|ln | |1|x y e x =--的图像大致是（ ） y x 广西民族师范学院 数计系《高等数学》课程教案 课程代码：061041210 总学时/周学时：_________ 51/3 开课时间：2015年9月16日第3周至第18周授课年级、专业、班级：制药本152班 使用教材：高等数学同济大学第7版 教研室：数学与应用数学教研室 授课教师: 、课程教学计划表 、教案正文 第一章函数与极限 （一）教学目的： 1. 理解映射与函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。 2?了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3?理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4?掌握基本初等函数的性质及其图形。 5?理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。 6?掌握极限的性质及四则运算法则。 7?了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。 8?理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。9?理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型 10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质 (有界性、最大值和最小值定理、介值定理) ，并会应用这些性质。 (二)重点、难点 1．重点函数与复合函数的概念，基本初等函数与初等函数，实际问题中的函数关系，极限概念与极限运算，无穷小，两个重要极限公式，函数连续的概念与初等函数的连续性。 2 ．难点函数符号的运用，复合函数的复合过程，极限定义的理解，两个重要极限的灵活运用。 三)教学方法、手段： 教师讲授，提问式教学，多媒体教学 第一节映射与函数 一、映射 1. 映射概念 定义4.设X、Y是两个非空集合,如果存在一个法则f,使得对X中每个元素X,按法则f,在Y中有唯一确定的元素y与之对应，则称f为从X到Y的映射，记作 f : X Y. 第2课时分段函数 ［目标］1. 了解分段函数的概念，会求分段函数的函数值，能画出分段函数的图象，培 养数学运算核心素养；2.能在实际问题中列出分段函数， 并能解决有关问题，培养数学建模 核心素养. ［重点］分段函数求值、分段函数的图象及应用. ［难点］对分段函数的理解. 分段函数 ［填一填］ 如果函数y = f (x ) ,x € A 根据自变量x 在A 中不同的取值范围，有着不同的对应关系, 则称这样的函数为分段函数. ［答一答］ 1. 分段函数的定义域部分可以相交吗？ 提示：分段函数的定义域部分是不可以相交的，这是由函数定义中的唯一性决定的. 2. 分段函数各段上的对应关系不同，那么分段函数是由几个函数构成的呢？ 提示：(1)分段函数是一个函数，切不可把它看成是几个函数，它只不过是在定义域的 不同子集内解析式不一样而已. (2)分段函数在书写时用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式，并且必须指明各 段函数自变量的取值范围. 3. 已知函数f (x )的图象如图所示，则 f (x )的值域为［—4,3］. “要点整合夯基础 横mum ■■主学儿 整介知讯?Am* 知识点 解析：由题图可知，当 x € ［ — 2,4］时，f (x ) € ［ — 2,3］;当 x € ［5,8］时，f (x ) € ［— 4,2.7］.故函数f (x )的值域为［—4,3］. B. (0，+m ) D. ( —s, 0) U (0 ,+口 的定义域为 ，值域为 . ［分析］分段函数的定义域、值域 ？各段函数的定义域、值域. ［答案］(1)D (2)( — 1,1) ( — 1,1) |x | 1, x >0, ［解析］ ⑴ 由于f (x )= = 故定义域为(一s, 0) U (0，+s ). x — 1, x <0, (2)由已知定义域为 {x |0 1．2．1函数的概念（教学设计） 教学目的： 1．理解函数的定义；明确决定函数的定义域、值域和对应法则三个要素； 2．理解静与动的辩证关系，激发学生学习数学的兴趣和积极性。 教学重点：理解函数的概念 教学难点：函数的概念 教学过程： 一、复习回顾，新课引入： 初中（传统）的函数的定义是什么？初中学过哪些函数？ 设在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数.并将自变量x 取值的集合叫做函数的定义域，和自变量x 的值对应的y 值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.这种用变量叙述的函数定义我们称之为函数的传统定义. 初中已经学过：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等。 问题1：1=y （R x ∈）是函数吗？ 问题2：x y =与x x y 2 =是同一函数吗？ 观察对应： 300450600 90212 22 3941 1-12-23-3 3-32-21-1 149 123 123456 (1) (2)(3)(4) 开平方 求正弦 求平方 乘以2 A A A A B B B B 1 二、师生互动，新课讲解： （一）函数的有关概念 设A ，B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的函数，记作 )(x f y =， x ∈A 其中x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做函数)(x f y =的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合 {}A x x f ∈|)(（?B ）叫做函数y=f(x)的值域.值域是集合B 的子集。 分段函数的几种常见题型及解法 分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内, 有不同的对应法则的函数, 它是一个函数, 却又常常被学生误认为是几个函数; 它的定义域是各段函数定义域的并集, 其值域也是各段函数值域的并集. 若能画出其大致图像, 定义域、值域、最值、单调性、奇偶性等问题就会迎刃而解, 方程、不等式等可用数形结合思想、等价转化思想、分类讨论思想及函数思想来解, 使问题得到大大简化 1．求分段函数的定义域和值域 例1．求函数1222[1,0];()(0,2);3[2,);x x f x x x x +∈-?? =-∈??∈+∞? 的定义域、值域. 2．求分段函数的函数值 例2．已知函数2 |1|2,(||1)()1,(||1)1x x f x x x --≤?? =?>?+?求12[()] f f . 3．求分段函数的最值 例3．求函数43(0)()3(01)5(1)x x f x x x x x +≤?? =+<≤??-+>? 的最大值. 4．求分段函数的解析式 例4．在同一平面直角坐标系中, 函数()y f x =和()y g x =的图象关于直线y x =对称, 现将()y g x =的图象沿x 轴向左平移2个单位, 再沿y 轴向上平移1个单位, 所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示）, 则函数()f x 的表达式为（ ） 2 22(10) .()2(02)x x x A f x x +-≤≤?=?+<≤? 222(10) .()2(02)x x x B f x x --≤≤?=?-<≤? 222(12) .()1(24)x x x C f x x -≤≤?=?+<≤? 2 26(12) .()3(24)x x x D f x x -≤≤?=?-<≤? 5．作分段函数的图像 例5．函数|ln ||1|x y e x =--的图像大致是（ ） A C D 6．求分段函数得反函数 例6已知()y f x =是定义在R 上的奇函数, 且当0x >时, ()31x f x =-, 设 ()f x 得反函数为()y g x =, 求()g x 的表达式. 7．判断分段函数的奇偶性 例7．判断函数22(1)(0) ()(1)(0) x x x f x x x x ?-≥?=?-+ [A 基础达标] 1.函数f (x )＝? ????x －2，x <2，f （x －1），x ≥2，则f (2)＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 解析：选A.f (2)＝f (2－1)＝f (1)＝1－2＝－1. 2.下列给出的式子是分段函数的是( ) ①f (x )＝?????x 2＋1，1≤x ≤5，2x ，x <1. ②f (x )＝? ????x ＋1，x ∈R ，x 2，x ≥2. ③f (x )＝? ????2x ＋3，1≤x ≤5，x 2，x ≤1. ④f (x )＝? ????x 2＋3，x <0，x －1，x ≥5. A ．①② B ．①④ C ．②④ D ．③④ 解析：选B.对于①，符合函数的定义，且在定义域的不同区间，有不同的对应关系．对于②，当x ＝2时，f (2)＝3或4，故不是函数．对于③，当x ＝1时，f (1)＝5或1，故不是函数．对于④，符合函数定义，且在定义域的不同区间，有不同的对应关系． 3．函数y ＝x ＋|x |x 的图象是( ) 解析：选D.y ＝x ＋|x |x ＝?????x ＋1，x ＞0，x －1，x ＜0. 4．a ，b 为实数，集合M ＝???? ??b a ，1，N ＝{a ，0}，f ：x →2x 表示把集合M 中的元素x 映射到集合N 中为2x ，则a ＋b ＝( ) A ．－2 B ．0 C ．2 D ．±2 解析：选C.由题意知M 中元素b a 只能对应0，1只能对应a ， 所以2b a ＝0，a ＝2， 所以b ＝0，a ＝2， 因此a ＋b ＝2，故选C. 5．设集合A ＝{a ，b }，B ＝{0，1}，则从A 到B 的映射共有( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 解析：选C.如图． 6．f (x )＝? ????x ，x ∈[0，1]，2－x ，x ∈（1，2]的定义域为________，值域为________． 解析：函数定义域为[0，1]∪(1，2]＝[0，2]． 当x ∈(1，2]时， f (x )∈[0，1)， 故函数值域为[0，1)∪[0，1]＝[0，1]． 答案：[0，2] [0，1] 7.已知A ＝B ＝R ， x ∈A ，y ∈B ，f ：x →y ＝ax ＋b ，5→5且7→11.若x →20，则x ＝________． 解析：由题意知， ?????5＝5a ＋b ，11＝7a ＋b ?? ????a ＝3，b ＝－10. 所以y ＝3x －10. 由3x －10＝20，得x ＝10. 答案：10 8.已知函数f (x )的图象如图，则f (x )的解析式为________． 解析：因为f (x )的图象由两条线段组成，由一次函数解析式求法可得f (x )＝? ????x ＋1，－1≤x <0，－x ，0≤x ≤1. 答案：f (x )＝? ????x ＋1，－1≤x <0，－x ，0≤x ≤1 课题：19.1.1《变量与函数》 教 学 设 计 一、教学任务分析 教 学 目 标 知识技能 掌握函数的概念，初步理解对应的思想，能正确地判断 一些关系式是否是函数，能列出简单的函数关系式． 数学思考 通过对实际问题的分析、对比，归纳函数的概念，并在 此基础上理解掌握函数的概念． 解决问题 理解函数概念并且能从实际问题中提炼出函数关系式． 情感态度 学生通过对问题的分析，感受现实生活中函数的普遍性， 体会事物之间的相互联系与制约． 教学重点 理解函数概念并且能从实际问题中提炼出函数关系式． 教学难点 领悟函数概念；能把实际问题抽象概括为函数问题． 教学方法 探究发现、启发式教学． 教学手段 多媒体辅助教学． 二、教学准备 课件、学案、笔记本电脑、焟烛、网络等 三、教学流程 四、教学过程 1、导入新课 （1）复习变量、常量的概念； （2）利用网络，了解当日天气情况。进入“南康整点天气实况”， 导入新课 思考 概念详解 探究 拓展延伸 例题讲解 小结提高 课堂巩固 课后思考 从气温、湿度、风向风力和降水量等几个方面了解变化关系。 时间/h 9 11 13 15 …… 气温/0C …… （3）汽车以60千米/时的速度匀速行驶，设行驶里程为S千米，行驶时间为t 时，其中变量是．用含t的式子表示S：． 共同特征：1．两个变量；２．当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就有唯一确定的对应值. 2、思考： （1）.下图是体检时的心电 图，其中图上点的横坐标x 表 示时间，纵坐标y 表示心脏 部位的生物电流，它们是两个变量，在心电图中，对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的对应值吗？x y 生活中的成本计算 一、教学目标 知识与技能：以水费、出租车计费和个税为实例，学会构建分段函数模型解决生活中简单的成本计算问题 过程与方法：通过解决生活成本问题，初步建立利用分段函数解决生活问题的数学思想，学会借助数学模型解题 情感与价值观：通过生活实例，感悟数学建模与生活的联系，提升数学建模能力 二、教学重难点 重点：建立分段函数模型解决生活中的成本 难点：在复杂背景下，将分段函数模型中各段对应的表达式数学化、符号化 三、教学过程 （一）问题呈现 从2014年元旦起萧山区实行阶梯式水价 1.若我家4月份用水量是20立方米，则4月份水费是多少 2.请建立所要的交水费和用水量之间的数学模型 (1)分析:从收费标准看，所交水费是分段计算的。先找到所用水量的级数，再确定水价 (2)假设:本月用水量是 立方米，所交水费 元 (3)模型构建 当用水量为一级，即 时， 当用水量为二级，即 时， 当用水量为三级，即 时， (4)模型求解 150≤ 设计意图:以具体实例引出分段函数，熟悉利用分段函数建模流程 （二）方法归纳 定义:对自变量不同取值，有着不同的函数表达式，这样的函数通常叫做“分段函数”。 注意：对于分段函数，因为在不同的定义范围内，函数有着不同的对应关系，所以必须先分段研究，再合并函数表达式。 构造分段函数时，要对自变量取值范围做合理划分，不重不漏。 设计意图:对模型和方法小结，提醒构建模型分段时注意点 （三）实战演练 A同学从镇上出发坐公交到萧山汽车东站后发现，若再坐公交去学校怕迟到，于是打算坐出租车。经百度地图查询推荐路线：全程有千米，11个红绿灯（预计等待4分钟）,车费约18元。18元够了吗萧山出租车计费方式（如下图） 一般出租车计价器显示以“元”为单位，即小于等于元舍去，大于等于元进为1元。设计意图：通过更贴近生活的事例计算，巩固分段函数模型的求值 （四）学以致用 《中华人民共和国个人所得税法》规定，个人全月工资等收入不超过3500元时，不必交税，超过3500元的部分为当月应纳税所得额，税款分段累计 全月工资收入额 税率 x分段函数教案
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