2020届重庆市七校高三下学期联考数学(理)试题

绝密★启用前2020届重庆市七校高三下学期联考数学（理）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知集合2{|2}A x x =<，201x B x x ⎧⎫-=≤⎨⎬+⎩⎭，则A B =（）A ．([)1,-∞-+∞B ．(-C ．⎡-⎣D ．2⎤⎦答案：B先分别求出集合A 与B ，再利用集合的交集运算进行求解. 解：{2{|2}A x x x x =<=-<<；{}20121x B x x x x ⎧⎫-=≤-<≤⎨⎬+⎩⎭，∴(A B ⋂=-.故选：B. 点评：本题主要考查集合的基本运算，属于基础题.解决此类问题，一般要把参与运算的集合化为最简形式，再进行集合的基本运算.求交集时，要考虑端点是否可以取到，这是一个易错点. 2．已知,,a b c ∈R ，则“实数,,a b c 均不为零”是“实数,,a b c 成等比数列”的（） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案：A根据充分条件和必要条件的定义以及等比数列的性质判断即可. 解：由“实数,,a b c 均不为零”推不出“实数,,a b c 成等比数列”， 比如1a =，2b =，3c =， 反之成立，所以“实数,,a b c 均不为零”是“实数,,a b c 成等比数列”的必要不充分条件.故选：A. 点评：本题主要考查必要不充分条件的判断，涉及的知识点包括等比数列的性质，举反例是解决本题的关键，属于基础题.判断p 是q 的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p 能否推出条件q ；二是由条件q 能否推出条件p .3．如果向量a ＝(k,1)与b ＝(6，k ＋1)共线且方向相反，那么k 的值为( ) A ．－3 B ．2C ．－17D ．17答案：A由题意可得（k ，1）=λ（6，k+1），λ＜0，即k=6λ，1=（k+1）λ，解得k 值． 解：∵向量()1a k =，与()61b k =+，共线且方向相反，∴（k ，1）=λ（6，k+1），λ＜0，∴k=6λ，1=（k+1）λ，解得k=﹣3， 故答案为：A 点评：（1）本题主要考查向量的运算和共线向量的坐标表示，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)本题不要漏掉了方向相反这个条件.4．若函数sin cos y a x b x =+（其中,a b ∈R ，且,0a b >）可化为)y x ϕ=-，则ϕ应满足条件（）A ．tan b aϕ= B．cos ϕ=．tan a bϕ=D．sin ϕ=答案：C先逆用两角和的正弦公式进行化简，再结合诱导公式，得到22k πϕθπ-=+，进而求得tan abϕ=. 解：sin cos y a x b x =+x x ⎫=⎪⎭)x θ=+，其中tan baθ=，函数sin cos y a x b x =+（其中,a b ∈R ，且,0a b >）可化为22cos()y a b x ϕ=+-，∴()sin()cos x x θϕ+=-，即sin()sin 2x x πθϕ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭，∴22k πϕθπ-=+()k Z ∈，∴()tan tan 22k πϕθπ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，即cot tan ϕθ=，∴1tan tan a b ϕθ==，故选：C. 点评：本题考查了两角和的正弦公式以及诱导公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，需熟记公式，属于基础题. 5．已知ln0.5a =，b e =，c 满足1ln c c e=，则实数a ，b ，c 满足（） A ．a b c << B ．a c b <<C ．b a c <<D ．c a b <<答案：A利用指数函数与对数函数的性质确定出,a b 的范围，借助图象确定出c 的范围，即可得出,,a b c 的大小关系. 解：ln0.50a =<，01b e<=<， 1ln c c e =，即1ln cc e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，画出1xy e ⎛⎫= ⎪⎝⎭和ln y x =的图象，如图，可知1c >，所以01a b c <<<<，故a b c <<， 故选：A. 点评：本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性以及图象，确定其对应值的范围. 比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：（1）利用指数函数的单调性：xy a =，当1a >时，函数递增；当01a <<时，函数递减； （2）利用对数函数的单调性：log a y x =，当1a >时，函数递增；当01a <<时，函数递减；（3）借助于中间值，例如：0或1等. 6．函数()f x 是R 上的偶函数，且()()1f x f x +=-，若()f x 在[]1,0-上单调递减，则函数()f x 在[]3,5上是（） A ．增函数 B ．减函数C ．先增后减的函数D ．先减后增的函数答案：D根据题意，先由f （x+1）＝﹣f （x ）确定函数的周期为2，结合函数的奇偶性与在[﹣1，0]上单调递减，分析可得答案． 解：根据题意，∵f （x+1）＝﹣f （x ），∴f （x+2）＝﹣f （x+1）＝f （x ），∴函数的周期是2； 又f （x ）在定义域R 上是偶函数，在[﹣1，0]上是减函数， ∴函数f （x ）在[0，1]上是增函数，∴函数f （x ）在[1，2]上是减函数，在[2，3]上是增函数，在[3，4]上是减函数，在[4，5]上是增函数，∴f （x ）在[3，5]上是先减后增的函数； 故选：D ． 点评：本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，涉及函数的周期性，关键是求出函数的周期． 7．已知函数()2sin()(0)f x x ωϕϕπ=+<<的图像与直线2y =的某两个交点的横坐标分别为1x ，2x ，若12x x -的最小值为π，且将函数()f x 的图象向右平移4π个单位后得到的函数()g x 为奇函数，则函数()f x 的一个递减区间为（） A ．,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．,44ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ C ．0,2π⎛⎫⎪⎝⎭D ．3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭答案：C根据12x x -的最小值，求出最小正周期，进而求出ω值，再根据函数图象向右平移4π个单位后得到的函数()g x 为奇函数，可得2ϕπ=，从而得到函数的解析式，进而求出函数()f x 的递减区间，从而得解. 解：函数()f x 的图象与直线2y =的某两个交点的横坐标分别为1x ，2x ， 且12x x -的最小值为π，∴()f x 的最小正周期为π， ∴2ππω=，解得2ω=，∴()2sin(2)(0)x x f ϕϕπ=+<<，将函数()f x 的图象向右平移4π个单位后， 得到()2sin 2()2sin 242f x x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫=-+=-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭， 即()2sin 22g x x πϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 函数()g x 为奇函数，∴2k ϕπ-+=π()k Z ∈，∴2k πϕπ=+()k Z ∈， 又0ϕπ<<，∴2ϕπ=，∴()2sin(2)2cos 22f x x x π=+=，要求()2cos2f x x =的递减区间，需满足{}222,x k x k k Z πππ≤≤+∈，∴函数()f x 的递减区间为,2x k x k k Z πππ⎧⎫≤≤+∈⎨⎬⎩⎭，结合选项可知，C 选项正确， 故选：C. 点评：本题考查函数的奇偶性、三角函数的图象及其性质，考查运算求解能力，熟练掌握诱导公式和正余弦函数的性质是求解本题的关键，属于中档题. 8．已知()y f x =为()0,∞+上的可导函数，且有()()'0f x f x x+>，则对于任意的(),0,a b ∈+∞，当a b >时，有( ) A ．()()af a bf b < B ．()()af a bf b > C ．()()af b bf a > D ．()()af b bf a <答案：B构造函数h （x ）=xf （x ），根据函数的单调性判断即可． 解：不妨设h （x ）=xf （x ），则h ′（x ）=f （x ）+xf ′（x ）． ∵当x ＞0，有()()'0f x f x x+＞，∴当x ＞0时，xf ′（x ）+f （x ）＞0，即h ′（x ）＞0，此时函数h （x ）单调递增， 则对于任意的a ，b ∈（0，+∞），当a ＞b 时，则g （a ）＞g （b ），即af （a ）＞bf （b ）， 故选B ． 点评：本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道基础题．9．如图所示，正方体1111ABCD A B C D -中，点P ，Q 分别为边1AA ，11C D 的中点，过点B ，P ，Q 作一平面与线段1CC 所在直线有一交点E ，若正方体边长为4，则多面体EABCD 的体积为（）A ．16B ．323C ．643D ．32答案：A借助空间直角坐标系求出平面PBQ 的法向量，再由0BE n ⋅=，求出点E 到平面PBQ 的距离，即可得出结果. 解：建立如图所示的空间直角坐标系，则()4,0,2P ，()4,4,0B ，()0,2,4Q ， 设()10,4,E z ，则()0,4,2PB =-，()4,2,2PQ =-，()14,0,BE z =-， 设平面PBQ 的法向量为(),,n x y z =，则00PB n PQ n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即4204220y z x y z -=⎧⎨-++=⎩，令2y =，解得()3,2,4n =，B ，E 两点均在平面PBQ 内，∴0BE n ⋅=，即14340z -⨯+=，解得13z =， ∴点E 到平面PBQ 的距离为3，∴1443163E ABCD V -=⨯⨯⨯=，故选：A. 点评：本题主要考查空间向量的坐标运算以及立体几何体积的求解，同时考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，求出平面PBQ 的法向量以及点E 到平面PBQ 的距离是解题的关键，属于中档题.10．设点P 是以1F ，2F 为左、右焦点的双曲线2222 1(0,0)x y a b a b-=>>右支上一点，且满足120PF PF ⋅=，直线1PF 与圆2224ax y +=有且只有一个公共点，则双曲线的离心率为（）A ．32B ．324C ．104D ．102答案：D首先证得12PF PF ⊥，1OE PF ⊥，进而求得2PF a =，2214aF E c =-，再由122PF PF a -=，即可求出双曲线的离心率. 解： 如图所示，1F ，2F 为双曲线的左、右焦点， ∴()1,0F c -，()2,0F c ，120PF PF ⋅=，∴12PF PF ⊥，直线1PF 与圆2224ax y +=有且只有一个公共点，∴直线1PF 与圆2224a x y +=相切，设切点为E ， ∴1OE PF ⊥，∴2OE PF ，又O 为12F F 的中点，∴E 为1PF 的中点，22PF OE a ==，又1OF c =，2a OE =，∴2214a F E c =-，根据双曲线定义，222224a PF PF c a a -=--=，解得102c e a ==， 故选：D. 点评：本题考查双曲线的离心率问题，涉及的知识点包括向量垂直的应用、直线与圆的位置关系、双曲线定义的应用，属于中档题.对于离心率的求解问题，关键是建立关于a 和c 的齐次方程，主要有两个思考方向：一方面，可以从几何的角度，结合曲线的几何性质以及题目中的几何关系建立方程；另一方面，可以从代数的角度，结合曲线方程的性质以及题目中的代数的关系建立方程. 11．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．23B ．43C ．223D ．23答案：C根据三视图，可知该几何体是边长为2的正四面体，求出正四面体的底面积和高即可得解. 解：由几何体的三视图可知，该几何体为正四面体11B D AC -，则112AC B D ==，12BB =12AB BC BB ===2， 所以1132232D ACS=⨯⨯=取AC的中点E，连接1D E，过1B作1B O⊥底面1D AC，交1D E于点O，则1123D O D E===，1B O===，所以该几何体的体积为11133D ACV S d=⨯⨯==，故选：C.点评：本题考查的知识点是由三视图求几何体的体积，解决本题的关键是得到该几何体的形状，属于中档题.将三视图还原为空间几何体，首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.12．函数||()xxf xe=，方程2[()](1)()10f x m f x m-++-=有4个不相等实根，则m的取值范围是（）A．22,1e ee e⎛-+⎫⎪⎝⎭B．221,e ee e⎛⎫⎪⎝++∞+⎭-C．221,1e ee e⎛⎫⎪⎝-+⎭+D．22,e ee e-+∞+⎛⎫⎪⎝⎭答案：C解：函数()xxf xe=是连续函数，x＝0时，y＝0．x＞0时，函数的导数为f′（x）1xxe-=，当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）递增；当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）递减，可得f（x）在x＝1处取得极大值1e，f（x）∈（0，1e]x＜0时，f′（x）1xxe-=-＜0，函数是减函数，作出y＝f（x）的图象，设t＝f（x），关于x的方程[f（x）]2﹣（m+1）f（x）+1﹣m＝0即为t2﹣（m+1）t+1﹣m＝0，有1个大于1e实根，一个根在（0，1e）；由题意可得：()()21111001010m me em m⎧-++-⎪⎨⎪-+⨯+-⎩＜＞解得m ∈2211e e e e ⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭，． 故选：C ．点睛：函数的零点或方程的根的问题，一般以含参数的三次式、分式、以e 为底的指数式或对数式及三角函数式结构的函数零点或方程根的形式出现，一般有下列两种考查形式： (1)确定函数零点、图象交点及方程根的个数问题；(2)应用函数零点、图象交点及方程解的存在情况，求参数的值或取值范围问题．研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最值、函数的变化趋势等，根据题目要求，通过数形结合的思想去分析问题，可以使得问题的求解有一个清晰、直观的整体展现．同时在解题过程中要注意转化与化归、函数与方程、分类讨论思想的应用． 二、填空题13．已知复数z 满足()3412i z i +⋅=-，则z =________. 答案：1255i -- 将()3412i z i +⋅=-化为1234iz i-=+，再利用复数的代数形式的乘除法运算化简，即可得到答案. 解：由()3412i z i +⋅=-，可得1234iz i-=+ ()()()()12343434i i i i --=+-223108916i i i -+=- 51025i--=1255i =--故答案为：1255i --. 点评：本题主要考查复数代数形式的乘除运算，考查运算求解能力，属于基础题.14．二项式71x ⎫+⎪⎭的展开式中含x 的项为______. 答案：140x先求出二项展开式的通项721rr r T C x --+=，再令721r -=即得解.解：由题得二项展开式的通项为7172177)()rr r r r r T C x C x ----+==，令721,3r r -=∴=.所以二项式71x ⎫+⎪⎭的展开式中含x 的项为3=140C x x -.故答案为：140x 点评：本题主要考查二项式的指定项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 15．在OAB ∆中，已知2OB =1AB =，45AOB ∠=︒，点P 满足OP OA OB λμ=+，其中23λμ+=，OP 的最小值为______.由已知得OA AB ⊥,以A 为原点建立直角坐标系，设(,)P x y 利用向量坐标计算OP ，转化为求函数最值可解. 解：2OB =1AB =，45AOB ∠=︒ ∴OA AB ⊥,建立如图坐标系.则(0,0),(0,1),(1.0)A B O 设(,)P x y(,)OP OA OB λμλμμ=+=--,xy又23λμ+=，∴3,32xy222=(3)(32)51818OP λλλλ-+-=-+∴当9=5时，min 355OP =35 点评：本题考查平面向量的模与几何综合问题.其坐标求解方法：把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决． 16．已知数列{}n a 满足：对任意*n N ∈，0,2n a π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且13a π=，()()1n n f a f a +='()tan f x x =，则使得121sin sin sin 10k a a a ⨯⨯⨯<成立的最小正整数k 为________. 答案：298 先求出21()cos f x x'=，确定{}2tan n a 是以3为首项，1为公差的等差数列，求出tan 2n a n =+从而2sin 3n n a n +=+求出123sin sin sin 3k a a a k ⋅=+31310k <+，得出正整数k 的最小值. 解：sin ()tan cos x f x x x ==，所以2222cos sin 1()cos cos x x f x x x+'==，由()1n f a +=111tan cos cos n n na a α+===，∴2222122sin cos 1tan 1tan cos cos n n n n n na a a a a a ++===+， 即221tan tan 1n n a a +-=，∴数列{}2tan n a 是首相为221tan tan 33a π==，公差为1的等差数列，∴2tan 3(1)12n a n n =+-⨯=+，又0,2n a π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴tan 0n a >，∴tan n a =，从而sin n a =∴12sin sin sin k a a a ⋅==，110<，解得297k >，又*k N ∈，∴k 的最小值为298， 故答案为：298. 点评：本题考查了三角函数的求导、等差数列的定义、同角三角关系式以及根式不等式的求解，属于综合题，难度较大. 三、解答题17．已知函数()2sin cos ,3f x x x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最大值与最小值. 答案：（1）π；（2）()max12f x =+，()min12f x -=（1）利用三角函数的恒等变换化简函数()f x 的解析式，得到()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，再利用min 2T πω=即可求解；（2）根据,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求出52636x πππ-≤+≤，进而求出sin 23x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭的范围，从而得解. 解：（1）解：()2sin cos 3f x x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭12sin cos cos 22x x x ⎛⎫=⋅+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭2sin cos cos x x x =⋅ 1cos 21sin 222x x +=sin 232x π⎛⎫=++⎪⎝⎭ min 22T ππ==， 故函数()f x 的最小正周期为π.（2）,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴52636x πππ-≤+≤，∴1sin 2123x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，∴sin 23x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，∴()max1f x =()min f x =点评：本题主要考查三角函数的恒等变换，涉及三角函数的周期性和最值，考查了推理能力与运算能力，属于基础题.18．如图所示，AE ⊥平面ABCD ，//CF AE ，//AD BC ，AD AB ⊥,222BC AB AD ===，22AE FC ==.（1）求证：//BF 平面ADE ；（2）求二面角E BD F --的平面角的余弦值. 答案：（1）证明见解析；（2）6（1）通过证明面//BCF 面ADE ，即可证得//BF 平面ADE ；（2）建立空间直角坐标系，求出平面EDB 和平面FDB 的法向量，求出法向量夹角的余弦值，结合角的范围，即可得出结果. 解： （1）证明：//CF AE ，CF ⊄面ADE ，AE ⊂面ADE ，∴//CF 面ADE ，同理：//BC 面ADE ， 又CFBC C =，CF ⊂面BCF ，BC ⊂面BCF ，∴面//BCF 面ADE ，又BF ⊂面BCF ，∴//BF 面ADE . （2）由题可知，,,AB AD AE 两两互相垂直，故可以以AB 为x 轴，AD 为y 轴，AE 为z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,2E ，()0,1,0D ，()1,0,0B ，()1,2,0C ，()1,2,1F ，因此，()0,1,2ED =-，()1,0,2EB =-，()1,1,1FD =---，()0,2,1FB =--，若设平面EDB 的法向量为()111=,,u x y z ，则00u ED u EB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即11112020y z x z -=⎧⎨-=⎩，令11z =，解得：()2,2,1u =，同理：若设平面FDB 的法向量为()222,,v x y z =，则00v FD v FB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即22222020x y z y z ---=⎧⎨--=⎩，令21x =，解得：()1,1,2v =-，所以6cos ,9u v u v u v ⋅==⋅， 即二面角E BD F --的余弦值为9点评：本题主要考查线面平行的证明，利用空间直角坐标系求二面角的余弦值，其中涉及的知识点包括平面与平面平行的判定定理以及平面法向量的求解，属于中档题.空间直角坐标系中，用向量法求二面角的余弦值的过程：首先求出构成二面角的两个平面的法向量m 和n ，再代入公式cos m n m nθ⋅=±⋅，其中θ为二面角的平面角，最后求解（结合角的范围对正负号进行取舍）.19．新型冠状病毒属于β属的冠状病毒，人群普遍易感，病毒感染者一般有发热咳嗽．．．．等临床表现，现阶段也出现无症状感染者.基于目前的流行病学调查和研究结果，病毒潜伏期一般为1-14天，大多数为3-7天.为及时有效遏制病毒扩散和蔓延，减少新型冠状病毒感染对公众健康造成的危害，需要对与确诊新冠肺炎病人接触过的人员进行检查.某地区对与确诊患者有接触史的1000名人员进行检查，检查结果统计如下：（1）能否在犯错率不超过0.001的情况下，认为新冠肺炎密切接触者有发热症状与最终确诊患病有关. 临界值表：（2）在全国人民的共同努力下，尤其是全体医护人员的辛勤付出下，我国的疫情得到较好控制，现阶段防控重难点主要在境外输入病例和无症状感染者（即无相关临床表现但核酸检测或血清特异性免疫球蛋白M抗体检测阳性者）.根据防控要求，无症状感染者虽然还没有最终确诊患2019新冠肺炎，但与其密切接触者仍然应当采取居家隔离医学观察14天，已知某人曾与无症状感染者密切接触，而且在家已经居家隔离10天未有临床症状，若该人员居家隔离第k天出现临床症状的概率为1012k-⎛⎫⎪⎝⎭，()11,12,13,14k=，两天之间是否出现临床症状互不影响，而且一旦出现临床症状立刻送往医院核酸检查并采取必要治疗，若14天内未出现临床症状则可以解除居家隔离，求该人员在家隔离的天数（含有临床症状表现的当天）ξ的分布列以及数学期望值.（保留小数点后两位）答案：（1）能；（2）分布列见解析，()12.20Eξ≈（1）填写22⨯列联表，计算2K值，再与临界值表进行比较，即可得出结论；（2）确定随机变量ξ的所有取值，通过人员居家隔离第k天出现临床症状的概率为1012k-⎛⎫⎪⎝⎭，()11,12,13,14k=，计算概率得到分布列，利用数学期望的计算公式，即可得解. 解：（1）由表可得，患者有发热症状与确诊的22⨯列联表如下：由公式可得：()22100035024030011010404000=46.02610.828 460540650350226044K⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，故在犯错率不超过0.001的情况下，有把握认为新冠肺炎密切接触者有发热症状与最终确诊患病有关.（2）由题可知，随机变量ξ的所有取值：11，12，13，14，()()()()111113131372111;12;13;1322482486424864P P P P ξξξξ====⨯===⨯⨯===⨯⨯=其分布列为：其数学期望为：()=11+12+13+14=12.2028646464E ξ⨯⨯⨯⨯≈. 点评：本题考查了独立性检验、离散型随机变量的分布列及数学期望的求解，属于中档题.对于求离散型随机变量的分布列问题，首先要清楚离散型随机变量的可能取值，计算得出概率，列出离散型随机变量概率分布列，最后按照数学期望公式计算出数学期望.20．已知函数()()2ln 1f x ax x x ax a R =--+∈在定义域内有两个不同的极值点.（1）求a 的取值范围;（2）设两个极值点分别为：1x ，2x ，证：()()2212122f x f x x x +<-+.答案：（1）2a e >.（2）见解析（1）由题得()'ln 2f x a x x =-，令()()ln 20g x a x x x =->，则函数()f x 在定义域内有两个不同的极值点等价于()g x 在区间()0,∞+内至少有两个不同的零点，再利用导数得到ln 022a a g a a ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，解不等式即得解；（2）分析得到要证：()()2212122f x f x x x +<-+，只需证明()21122a x x x <+，即证22221121ln x x x x x -<，不妨设120x x <<，即证22211ln 1x x x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，构造函数构造函数2()ln 1(1)h t t t t =-+>，其中21x t x =，证明()()10h t h <=即得证. 解：（1）由题意可知，()f x 的定义域为()0,∞+， 且()'ln 2f x a x x =-，令()()ln 20g x a x x x =->，则函数()f x 在定义域内有两个不同的极值点等价于()g x 在区间()0,∞+内至少有两个不同的零点. 由()2'a xg x x-=可知， 当0a ≤时，()'0g x <恒成立，即函数()g x 在()0,∞+上单调，不符合题意，舍去. 当0a >时，由()'0g x >得，02a x <<，即函数()g x 在区间0,2a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；由()'0g x <得，2a x >，即函数()g x 在区间,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减； 故要满足题意，必有ln 022a a g a a ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，解得2a e >. （2）证明：由（1）可知，1122ln 2ln 2a x x a x x =⎧⎨=⎩，故要证()()2212122f x f x x x +<-+， 只需证明()21122ax x x <+， 即证22221121ln x x x x x -<，不妨设120x x <<，即证22211ln 1x x x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭， 构造函数2()ln 1(1)h t t t t =-+>，其中21x t x =， 由212'()0t h t t-=<，所以函数()h t 在区间()1,+∞内单调递减，所以()()10h t h <=得证. 即证()()2212122f x f x x x +<-+.点评：本意主要考查利用导数研究函数的极值问题，考查利用导数证明不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.21．已知()1,2A 为抛物线22(0)y px p =>上的一点，E ，F 为抛物线上异于点A 的两点，且直线AE 的斜率与直线AF 的斜率互为相反数.（1）求直线EF 的斜率；（2）设直线l 过点(),0M m 并交抛物线于P ，Q 两点，且(0)PM MQ λλ=>，直线x m =-与x 轴交于点N ，试探究NM 与NP NQ λ-的夹角是否为定值，若是则求出定值，若不是，说明理由. 答案：（1）1-；（2）是定值，2π （1）根据点A 的坐标求出抛物线方程，设出点E 和点F 的坐标，利用斜率公式和抛物线方程，求出AE k 和AF k ，再根据AE k 和AF k 互为相反数，得到124y y +=-，进而求出直线EF 的斜率；（2）设出点P 和点Q 的坐标，根据PM MQ λ=，得到34y y λ=-，再设出直线l 的方程，与抛物线联立，利用韦达定理，并结合34y y λ=-，化简NP NQ λ-，得到NP NQ λ-的坐标表示，求出NM ，借助向量的数量积，即可求得NM 与NP NQ λ-的夹角.解：（1）设()11,E x y ，()22,F x y ，因为点()1,2A 为抛物线()220y px p =>上的一点， 所以42p =，解得2p =，所以24y x =，同时，有2114y x =，2224y x =，()()()()()()11111111112+22444=11+21+22AE y y y x k x x y x y y ---===---+， 同理，2222412AF y k x y -==-+， 因为直线AE 的斜率与直线AF 的斜率互为相反数， 所以124422y y =-++，即124y y +=-， 故()()()()2121212121212141EF y y y y y y k x x x x y y y y -+-====---++. （2）设直线l 的方程为:l x ty m =+，()33,P x y ，()44,Q x y ，(),0N m -，将直线l 的方程代入24y x =，得2440y ty m --=，所以344y y t +=，344y y m =-，()33,PM m x y =--，()44,MQ x m y =-，且()0PM MQ λλ=>，∴34y y λ-=，解得34y y λ=-， ()()3344,,NP NQ x m y x m y λλ-=+-+()()3434,x m x m y y λλ=+-+-223434=,44y y m m y y λλ⎛⎫⎛⎫+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又2222333444=4444y y y y y m m m m y λ⎛⎫⎛⎫+-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 23343444y y y y m m y =+++ 2343444y y my m m y +=+- ()3344404y y y m y +==， ∴()340,NP NQ y y λλ-=-，又()=2,0NM m ，∴()0NM NP NQ λ⋅-=， ∴()NM NP NQ λ⊥-，即NM 与NP NQ λ-的夹角为2π. ∴NM 与NP NQ λ-的夹角是定值，定值为2π. 点评： 本题考查了抛物线标准方程的求解、斜率公式的运用以及直线与抛物线的位置关系中的定值问题，其中涉及到向量的坐标运算等知识，属于中档题.在处理直线与抛物线的位置关系的题时，一般要用到根与系数的关系.22．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为：12cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），直线():0l y kx k =>，以坐标原点O 为极点，x 轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求OA OB +的取值范围.答案：（1）22cos 30ρθρ--=；（2）()（1）将曲线C 的参数方程消去参数，可得曲线C 的普通方程，再将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入普通方程，即可得解；（2）将直线l 的极坐标方程代入曲线C 的极坐标方程，借助韦达定理，可求得OA OB +=，再利用三角函数的性质即可求出OA OB +的取值范围.解：（1）由曲线C 的参数方程12cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩消去参数α， 得曲线C 的普通方程为：()2214x y -+=，即22230x y x +--=， 将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入22230x y x +--=， 得曲线C 的极坐标方程为：22cos 30ρθρ--=. （2）由直线()0y kx k =>可得其极坐标方程：=02πθββ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，， 将=θβ代入曲线C 的极坐标方程得：22cos 30ρβρ--=， ∴122cos ρρβ+=，123ρρ=-，∴12,ρρ异号，故1212=+=OA OB ρρρρ+-===，1cos 21β-<<，∴()4OA OB +∈.点评：本题主要考查参数方程与普通方程、极坐标方程的转化，极坐标方程的几何意义，三角函数的取值范围等知识.参数方程化为普通方程的关键是消参数，要根据参数的特点进行转化；普通方程化为极坐标方程，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入普通方程，即可化为极坐标方程；极坐标方程转化为普通方程，要巧用极坐标方程两边同乘以ρ或同时平方技巧，将极坐标方程构造成含有cos ρθ，sin ρθ，2ρ的形式，然后利用公式代入化简得到普通方程.23．已知函数()212f x x x a =++-.（1）求不等式()3f x ≥恒成立，求a 的范围;（2）若()21g x x ax =-+，且对1x R ∀∈，总存在2x R ∈，使得()()12f x g x =，求实数a 的取值范围.答案：（1）4a ≤-或2a ≥；（2）2a ≤-0a ≥（1）利用绝对值三角不等式，求出()f x 最小值为1a +，再由13a +≥进行求解即可；（2）根据题意得出函数()g x 的值域包含()f x 的值域，结合()f x 和()g x 的最小值，即可得解. 解：（1）()()()2122121f x x x a x x a a =++-≥+--=+，当且仅当()()2+120x x a -≤时，等号成立，∴()f x 的最小值为1a +， ∴13a +≥，解之得：4a ≤-或2a ≥.（2）对1x R ∀∈，总存在2x R ∈，使得()()12f x g x =成立，∴函数()g x 的值域包含()f x 的值域，()2222111244a a a g x x ax x ⎛⎫=-+=-+-≥- ⎪⎝⎭， ∴21+14a a ≥-，解得2a ≤-0a ≥.点评：本题主要考查了绝对值三角不等式的应用，不等式的恒成立问题，绝对值不等式的求解，属于基础题.不等式恒成立问题关键在于利用转化思想，常见的有：()f x a >恒成立⇔()min f x a >；()f x a <恒成立⇔()max f x a <；()f x a >有解⇔()max f x a >；()f x a <有解⇔()min f x a <；()f x a >无解⇔()max f x a ≤；()f x a <无解⇔()min f x a ≥.。