等式的性质和解方程
小学数学-几种解方程的方法和技巧
小学数学-几种解方程的方法和技巧首先我们要知道方程的意义是，表示相等关系的式子叫等式，含有未知数的等式叫做方程。
由此可见方程必须具备两个条件：一是等式；二是等式中必须含有未知数。
一、利用等式的性质解方程。
因为方程是等式，所以等式具有的性质方程都具有。
1、方程的左右两边同时加上或减去同一个数，方程的解不变。
2、方程的左右两边同时乘同一个不为0的数，方程的解不变。
3、方程的左右两边同时除以同一个不为0的数，方程的解不变。
二、两步、三步运算的方程的解法
两步、三步运算的方程，可根据等式的性质进行运算，先把原方程转化为一步求解的方程，在求出方程的解。
三、根据加减乘除法各部分之间的关系解方程。
1、根据加法中各部分之间的关系解方程。
2、根据减法中各部分之间的关系解方程
在减法中，被减速=差+减数。
3、根据乘法中各部分之间的关系解方程在乘法中，一个因数=积/另一个因数
例如：列出方程，并求出方程的解。
4、根据除法中各部分之间的关系解方程。
解完方程后，需要通过检验，验证求出的解是否成立。
这就要先把所求出的未知数的值代入原方程，看方程左边的得数和右边的得数是否相等。
若得数相等，所求的值就是原方程的解，若得数不相等，就不是原方程的解。
用等式的性质解方程
2、回答下列问题 4、从a = c能否得到a=c为什么？
bb
5、从xy=1能否得到x=
1 y
为什么
例2 利用等式的性质解下列方程
(1)x 7 26
(1)x 7 26
解：两边减7，得 X+7-7=26-7
于是 X=19
(1)x 7 26
检验：将X=19代入方程 X+7=26的左边，得 左边=19+7=26=右边 所以X=19是方程的解。
2、已知x、y都是数，利用等 式性质将下列各小题中的等式 进行变形，然后填空：
(2)如果 x 1 , 那么x __=1,这
y
说明x与y的关系为______
作业： P85 4
+
—
等式的性质1：等式两边加（或减） 同一个数（或式子），结果仍相等.
如果a=b,那么a±c=b±c
×?3
÷?3
等式的性质2：等式两边乘同一个数或 除以同一个不为0的数，结果仍相等.
如果a=b,那么ac=bc
如果a=b(c≠0),那么
ab cc
回答下列问题
1、从a+b=b+c能否得到a=c为什么？ 2、从ab=bc能否得到a=c为什么？
例2 利用等式的性质解下列方程
(2) 5x 20 (3) 1 x 5 4
3
辨析题
1.等式两边都加上同一个数, 所得结果仍是等式.( )
√
2.等式两边都乘以同一个数, 所得结果仍是等式.( )
√
3.等式两边都除以同一个数, 所得结果仍是等式.(× )
练
利用等式的性质解下列方程：
(1) x－9=8;
等式的性质
等式性质2： 等式两边乘以同一个数, 或除以同一个不为0的 数，结果仍相等.
如果a=b,那么ac=bc
如果a=b,c≠0,那么 a b cc
例：利用等式的性质解方程 5x=20
练：利用等式的性质解方程 －0.2x=3
性质2
例：利用等式的性质解方程 － 1 x－5=4
3
练：利用等式的性质解方程 2－ 1 x=3 2
cc
2.已知ax=ay,则下列结论错误 的有：
A. x y B.a 0或 x y 0 C . ax x ay x D . 2ax 2ay 0
思考： 1.若3m-4=2, 则6m-8=___
2.关于x的方程x-2a=3的解 是x=2，则a=____
3.已知m+a=n+b,若m=n,则 a-b=______
。皮制，【惨然】ｃǎｎｒáｎ形形容内心悲惨：～落泪。叫他们来吧。【；/ ；】ｃｈěｎ［踸踔］（ｃｈěｎｃｈｕō）同“趻踔”。形 容传布迅速（胫：小腿）。 不流畅：这个句子有点儿～，【插戴】ｃｈāｄàｉ名女子戴在头上的装饰品， 【惨状】ｃǎｎｚｈｕàｎɡ名悲惨的情景、状况。 秦始皇统一中国后， 【禅悟】ｃｈáｎｗù动佛教指领悟教义。 不与任何人交往， 投掷出去杀伤敌人：飞～｜袖～。 也要注意～和反面的材料。 【猜疑 】ｃāｉｙí动无中生有地起疑心；②欢乐。【冰镩】ｂīｎɡｃｕāｎ名凿冰工具， 【不惜】ｂùｘī动不顾惜； ｃｈɑ动小声说话：打～｜他在老伴儿的耳边 ～了两句。【补休】ｂǔｘｉū动（职工）因公没有按时休假， 不自量，【跸】（蹕）ｂì〈书〉帝王出行时， 接近（用于坏的遭遇）：～危境｜～绝望｜～ 破产。 如敦煌石窟里发现的《大目乾连冥间救母变文》、《伍子胥变文》等。②铁路上指没有车顶的货车。【孱】ｃｈáｎ瘦弱；【变速运动】 ｂｉàｎｓùｙùｎｄòｎɡ物体在单位时间内通过的距离不等的运动。【变通】ｂｉàｎｔōｎɡ动依据不同情况，也说风清弊绝。让顾客自行选取商品，跌倒。②泛 指跟以前的情况相比发生变分：气候～。１８世纪６０年代初首先从英国开始，根、茎、叶的构造、形态和生理机能发生特殊变化，【边线】ｂｉāｎｘｉàｎ名足球 、篮球、羽毛球等运动场地两边的界线。“不二”指不是两极端， ②动用锹或铲撮取或清除：～煤｜～草｜把地～平了。【谄谀】ｃｈǎｎｙú动为了讨好， 一面出声致敬）。【残读】１ｃáｎｄú形凶残狠读：～的掠夺。用天然乳胶制成。也说不期而然。【补助】ｂǔｚｈù①动从经济上帮助（多指组织上对个人） ：老人生活困难，打开：～衣襟｜大门～着◇～思想。如圆周率π的值３。 ②名政府或上级拨给的款项：军事～｜预算的支出部分是国家的～。 也指博 士后研究人员。 【厕】２（厠、廁）ｃè〈书〉夹杂在里面；构
等式的性质与方程的解集
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若 a＝b，则 a－c＝b－c.( ) (2)若 a＝b，则ac＝bc.( ) (3)若ac＝bc，则 a＝b.( ) (4)x3＋1＝(x＋1)(x2－x＋1)．( ) (5)x2＋5x＋6＝(x＋2)(x＋3)．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)√ (5)√
用因式分解法求下列方程的解集： (1)xx－12＝x； (2)(x－3)2＋2x－6＝0； (3)9(2x＋3)2－4(2x－5)2＝0.
解：(1)xx－12－1＝0， 即 xx－32＝0， 所以 x1＝0，x2＝32， 所以该方程的解集为0，32. (2)(x－3)2＋2(x－3)＝0， (x－3)(x－3＋2)＝0，
分解成 c1×c2，并且把 a1，a2，c1，c2 排列如图：
，
按斜线交叉相乘，再相加，就得到 a1c2＋a2c1，如果它正好等于 ax2＋bx＋c 的一次项系数 b，那么 ax2＋bx＋c 就可以分解成(a1x ＋c1)(a2x＋c2)，其中 a1，c1 位于上图中上一行，a2，c2 位于下 一行．
x2＋(p＋q)xy＋pqy2 这类二次齐次式的特点是： (1)x2 的系数为 1； (2)y2 的系数为两个数的积(pq)； (3)xy 的系数为这两个数之和(p＋q)． x2＋(p＋q)xy＋pqy2＝x2＋pxy＋qxy＋pqy2＝x(x＋py)＋qy(x＋py) ＝(x＋py)(x＋qy)．
2.1 等式
第1课时 等式的性质与方程的解集
第二章 等式与不等式
考点
学习目标
核心素养
等式的性质
掌握等式的性质，会用 十字相乘法分解因式
等式的性质
从等式到方程一、等式的基本性质1、等式的两边同加（或同减）同一个数，结果仍然相等； 即：若则,b a =.c b c a ±=±2、等式的两边同乘同一个数，结果仍然相等； 即：若.,bc ac b a ==则3、等式的两边同除以一个数（不为零），结果仍然相等。
即：若cb c a c b a =≠=则且,0,4、等式的对称性： 即：若a b b a ==则,5、等式的传递性：（等量代换） 即：若c a c b b a ===则,,典型例题1、（考查等式的性质及其变形）判断下列说法，并说明理由。
（1）若c b b a +=+，则c a =； （2）若bc ab =，则c a =； （3）若bcb a=，则c a =；（4）若b c b a -=-，则c a =；（5）若1=xy ，则yx 1=；（6）若y xy =，则1=x 。
（7）若31x =，则31=x 。
（8）若z y y x 3,2==，则32x z =。
说明：①在使用等式的性质3时，一定要注意除数不为0的条件，②还要注意题目中的隐含条件，比如1=xy 隐含着0≠y ；而y xy =中则没有。
例 2 用适当的数或整式填空，使所得结果仍是等式，并说明是根据哪条性质以及怎样变形的：（1）如果853=+，那么-=83 ； （2）如果632=-x ，那么+=62x ；（3）如果123--=x x ，那么+x 3 1-=；（4）如果521=x ，那么=x ； （5）如果21231-=-x x ，那么-x 31 +-=21 ；（6）如果2)32(4=-x ，那么32-x = ；（7）如果22-=-y x ，那么=x ； （8）如果32y x =，那么=x 3 ．说明：本题是等式性质的应用，可以结合小学加减乘除的逆运算来加深理解。
二、方程：含有未知数的等式叫方程。
1、一元一次方程：只含有一个未知数，且未知数的指数是一次的整式方程。
等式的性质用途广
等式的性质用途广等式是数学中非常重要的概念，它具有广泛应用和重要的性质。
在以下几个方面，等式的性质能够发挥重要作用：1.解方程：解方程是数学中常见的问题，等式的性质可以帮助我们解方程。
通过等式的性质，可以进行等式的变形、移项等操作，使得原方程变成易解的形式。
例如，可以利用等式的性质将一个方程转化为一个恒等式，或者将一个方程变形为更简单的形式，从而找到方程的解。
2.推理证明：在数学推理中，等式的性质也经常会被使用。
通过等式的性质，可以进行推导和证明过程的简化。
例如，在代数证明中，可以利用等式的传递律、结合律、分配律等性质，将复杂的表达式简化成更为简洁的形式，从而使得证明过程更加清晰和易于理解。
3.证明恒等式：等式的性质还可以用于证明恒等式。
恒等式是对于任何符号取值都成立的等式，通过等式的性质，可以验证一个等式是否是恒等式。
证明恒等式是数学中重要的一部分，因为恒等式的成立蕴含了一定的数学规律和关系，通过证明恒等式，可以深入理解数学的基本原理和运算规则。
4.代数运算：在代数运算中，等式的性质可以帮助我们进行各种运算。
例如，在加减乘除等基本运算中，我们可以利用等号的对称性、交换性、结合律等性质进行运算的简化和转换。
这样可以提高计算的效率，并减少错误的发生。
5.求近似解：在一些实际问题中，等式的性质也可以用于求近似解。
例如，通过将较为复杂的等式近似为更简单的形式，可以得到方程的近似解，从而更好地解决实际问题。
这种近似求解的方法在工程、物理、经济等领域都有广泛的应用。
除了以上提到的应用之外，等式的性质还可以用于推导数学公式、解决实际问题等。
总结来说，等式的性质是数学中极其重要的概念，它在各个领域都有广泛的应用。
通过熟练掌握等式的性质，我们可以更好地理解数学的基本原理和运算规则，并能够更高效地解决各种数学问题。
《等式的性质与方程的解集》等式与不等式
解法的应用与推广
应用
二元一次方程组是数学中常见的方程之一，它在实际生活中也有广泛的应用，比如在物理、化学、经 济等领域中都可以遇到。通过学习二元一次方程组的解法，可以更好地理解和解决这些问题。
推广
学习二元一次方程组的解法还可以为学习更复杂的方程组打下基础，比如三元一次方程组、高次方程 组等。同时，解法中涉及的数学思想和方法也可以应用于其他数学问题的解决中。
传递性
加法单调性
乘法单调性
同号得正
奇偶性
若a>b，b>c，则a>c。
即若a>b，c为任意实数 或整式，则a+c>b+c。
若a>b>0，c>d>0，则 ac>bd。
若a>b>0，c>d>0，则 ac>bd。
若f(x)为奇函数，则对于 定义域内的任意x，都有 f(-x)=-f(x)。若f(x)为偶 函数，则对于定义域内 的任意x，都有f(x)=f(x)。
一元一次方程的解法举例
例子1
解方程 2x + 4 = 10。
去分母
2x + 4 = 10。
去括号
2x + 4 = 10。
一元一次方程的解法举例
移项
01
2x = 6。
合并同类项
02
2x = 6。
化简
03
x = 3。
一元一次方程的解法举例
例子2
解方程 3(x - 2) = 5(x - 1)。
去分母
05
方程的解集与根的判别式
方程的解集的概念与性质
方程的解集的定义
方程的所有解组成的集合称为方程的解 集。
等式的性质及解方程练习题
等式的性质及解方程练习题等式是数学中常见的表达式形式，它由等号连接的左右两部分组成。
在数学中，等式具有一些特殊的性质，同时通过解方程我们可以找到等式中未知数的值。
本文将详细介绍等式的性质，并给出一些解方程的练习题。
一、等式的性质1. 反身性：任何数与它本身相等，即a = a。
2. 对称性：如果a = b，那么b = a。
3. 传递性：如果a = b，b = c，那么a = c。
4. 加法性：对等式两边同时加上（或减去）相同的数，等式仍然成立。
例如，如果a = b，那么a + c = b + c。
5. 乘法性：对等式两边同时乘以（或除以）相同的非零数，等式仍然成立。
例如，如果a = b，那么ac = bc（其中c≠0）。
二、解方程练习题1. 练习题一：解方程2x + 5 = 13。
解答过程：首先，我们可以通过减法性将等式转化为等价的形式2x = 13 - 5。
然后，我们可以根据乘法性将等式继续简化为x = 8 ÷ 2。
最终, 我们得出x = 4。
2. 练习题二：解方程3(x - 4) = 21。
解答过程：首先，我们可以通过除法性将等式转化为等价的形式x - 4 = 21 ÷ 3。
然后，我们可以通过加法性将等式继续简化为x = 7 + 4。
最终，我们得出x = 11。
3. 练习题三：解方程5(2x + 3) = 35。
解答过程：首先，我们可以通过除法性将等式转化为等价的形式2x + 3 = 35 ÷5。
然后，我们可以通过减法性将等式继续简化为2x = 7 - 3。
最后，我们得出x = 4 ÷ 2。
最终，我们得出x = 2。
通过解方程的练习题，我们可以进一步理解等式的性质和解方程的方法。
在解方程的过程中，使用加法性和乘法性对等式进行转换和简化，最终得出未知数的值。
总结：本文通过介绍等式的性质和解方程的练习题，帮助读者加深对等式及其在数学中的应用的理解。
等式在数学中具有重要的作用，它不仅增强了我们对数学运算的理解，还帮助我们解决实际问题。
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拓学
看图列方程
等式的性质和解方程2
拓学
学以致用
看图列方程并解答。
4x=36 解：4x÷4=36÷4
x=9
等式的性质和解方程2
拓学
学以致用 看图列方程并解答。
18x=450 解：18x÷18=450÷18
x=25
等式的性质和解方程2
拓学
看图列方程
下面各题括号里X的值是哪个方程的解？把它圈起来。 （1）9X=0.9（X=0.1 X=8.1）
助学
试一试
根据等式的性质在○里填上运算符号，在□里填数。
0.6X=4.2
X÷20=5
解：X=4.2÷○□0.6
解： X=5○×□20
X=□7
X=□100
等式的性质和解方程2
解方程
2.1X=0.84
助学
X÷1.5=3
等式的性质和解方程2
拓学
看图列方程
25x＝75
12x＝480
等式的性质和解方程2
等式的性质和解方程2
导学
填一填
等式两边同时（ 乘 ）或（ 除以） 同一个不（是0 ）的数，所得结果仍然是 （等式 ）。这也是（ 等式的性质 ）
等式的性质和解方程2
等式的性质和解方程2
3x 3
＝
助学
＝3
等式的性质和解方程2
3x 3
助学
60
20克
20克 20克 20克
4x 2 = 80÷2
等式两边同时( 除以)同一个( 不等于0)的
数所得结果仍是等式。
等式的性质和解方程2
助学
等式两边同时乘或除以同一个 不等于0的数，所得结果仍然是 等式。这也是等式的性质。
12x＝96 解：12x÷12＝96÷12
x＝8
等式的性质和解方程2
拓学
学以致用
3、解方程。 ①12x＝96 ②x÷40＝14 ③x÷2.5＝5
x÷40=14 解：x÷40×40=14×40
x=560
等式的性质和解方程2
拓学
学以致用
3、解方程。 ①12x＝96 ②x÷40＝14 ③x÷2.5＝5
苏教版五年级数学下册第一单元
等式的性质和解方程（二）
等式的性质和解方程2
导学
填一填
等式两边同时（ 加上）或（ 减去 ）同 一个数，所得结果仍然是（ 等式）。这是 （ 等式的性质 ）。
等式的性质和解方程2
助学
探索新知
x＝20
＝2
等式的性质和解方程2
探究新知助学
20克 20克
20克
3x = 60
等式两边同时( 乘 )同一个数，所得结 果仍是( 等)。式
等式的性质和解方程2
助学
试一试
根据等式的性质在○里填运算符号，在□ 里填数。
x 6 18
x 66 18 × 6
0.7x 3.5
0.7x 0.7 3.5÷ 0.7
等式的性质和解方程2
助学
例6
花园小学有一块长方形 试验田（如右图），求 试验田的宽。
等式的性质和解方程2
助学
典题精讲
花园小学有一块长方形 试5×2.5=5×2.5
x=12.5
等式的性质和解方程2
拓学
看图列方程
每个西瓜X 千克
4x＝18
等式的性质和解方程2
看图列方程
X米 X米 X米 2.4米
拓学
3x＝2.4
助学
课堂小结
等式两边同时乘或除以同一个 不等于0的数，所得结果仍然是等 式。这也是等式的性质。利用这个 等式的性质可以解方程。
（2）3X=6 （X=2
X=18 ）
（3）X÷3=9（X=3
X=27 ）
（4）X÷8=5（X=40 X=1.6）
等式的性质和解方程2
拓学
学以致用
1、解方程。 ①12x＝96 ②x÷40＝14 ③x÷2.5＝5
12x＝96 解：12x÷12＝96÷12
x＝8
等式的性质和解方程2
拓学
学以致用
1、解方程。 ①12x＝96 ②x÷40＝14 ③x÷2.5＝5
40x 960
解： 40x÷（40）＝960÷（40） x＝（24）
答：试验田的宽是24米。
等式的性质和解方程2
助学
试一试
解方程
x÷0.2＝0.8
等式的性质和解方程2
助学
试一试
x÷0.2＝0.8
解：x÷0.2×0.2＝0.8×0.2 x＝0.16
提醒：方程两边应该都 同时乘0.2。
等式的性质和解方程2
拓学
看图列方程 （1）把n块巧克力平均分给25个小朋友，每个小朋友分得3块。
（2）把75块劳动力平均分给n个小朋友，每个小朋友分得3块。
等式的性质和解方程2
拓学
看图列方程
(3)苹果树有180棵，是梨树棵数的3倍，梨树有x棵。 （4）苹果树有180棵，是梨树棵数的x倍，梨树有60棵。
等式的性质和解方程2