人教版九年级下册相似三角形之相似模型(一)学案

相似模型（一）（讲义）
➢∙课前预习
1. 请证明以下结论：
①如图1，在△ABC中，DE∥BC，求证：△ADE∽△ABC．
②如图2，在△ABC中，∠B=∠AED，求证：△AED∽△ABC．
③如图3，在△ABC中，∠B=∠ACD，求证：△ACD∽△ABC．
④如图4，直线AB，CD相交于点O，连接AC，BD，且
AC∥BD，求证：△AOC∽△BOD．
⑤如图5，直线AB，CD相交于点O，连接AC，BD，∠B=∠C，求证：△AOC∽△DOB．
⑥如图6，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，求证：△ADB∽△CDA，△
ADB∽△CAB．
图1 图2 图3
图4 图5 图6
➢∙知识点睛
1. 六种相似基本模型：
DE∥BC∠B=∠AED∠B=∠ACD
A型
A C∥BD∠B=∠C AD是Rt△ABC斜边上的高
X型母子型
2. 相似、角相等、比例线段间的关系：
相似往往与_______________等信息组合搭配起来使用．多个相似之间一般会通过
___________________来转移条件．一般碰到不熟悉的线段间关系（线段乘积等）时，常需要还原成____________来观察和分析．
3. 平行特征——作平行，得相似（构造X型、A型）
➢ 精讲精练
1. 如图，在△ABC中，点D是边AB上的一点，∠ADC=∠ACB，AD=2，BD=6，则边AC
的长为（）
A．2 B．4 C．6 D．8
2. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，C D=4，AD=8，则AC=________，
BD=_________，BC=________．
3. 如图，在△ABC中，EF∥DC，∠AFE=∠B，AE=6，ED=3，AF=8，则AC=_________，
_________．
4. 如图，AB∥CD，线段BC，AD相交于点F，点E是线段AF上一点且满足∠BEF=∠C，
其中AF=6，DF=3，CF=2，则AE=_________．
5. 如图，在△ABC中，DE∥BC，BF平分∠ABC，交DE的延长线于点F，若AD=1，BD=2，
BC=4，则EF=__________．
6. 《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中
容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，股（长直角边）长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是___________步．
7. 如图，在Rt△ABD中，过点D作CD⊥BD，垂足为D，连接BC交AD于点E，过点E作EF
⊥BD于点F，若AB=15，CD=10，则BF:F D=_____________．
8. 如图，在□ABCD中，E为BC的中点，连接AE，AC，分别交BD于M，N，则
BM:DN=_____________．
9. 如图1，在△ABC中，AE=CE，BC=CD．则
______．
10. 如图1，直线l与△ABC三边所在直线分别交于点E，F，D，且BF:AF=2:3，EF:FD=5:4，
求AD:CD的值．
图1
11. 如图，AG:GD=4:1，BD:DC=2:3，则AE:EC的值是（）
A．3:2 B．4:3 C．6:5 D．8:5
12. 如图，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE=3ED，
DF=CF，则的值是（）
A． B． C． D．
13. 如图，在□ABCD中，E是BA延长线上一点，CE分别与AD，BD交于点G，F．则下
列结论：①；②；③；④．其中正确的是_________．
14. 如图所示，AB∥CD，AD，BC相交于点E，过E作EF∥AB交BD于点F．则下列结论：
①△EF D∽△ABD；
②；③；④．其中正确的有
___________．
15. 如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，正方形EFGH的四个顶点都在△ABC的边上．求
证：．
16. 如图，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共
顶点，∠BAC=∠AGF=90°，它们的斜边长为2．若△ABC固定不动，△AFG绕点A旋转，
A F，AG与边BC的交点分别为D，E（点D不与点B重合，点E不与点C重合）．
①请写出图中所有的相似三角形___________________；②若BD，则CE=________.
17. 如图，M为线段AB上一点，AE与BD相交于点C，∠DME=∠A=∠B=α，且DM交AE于点F，
ME交BD于点G．
（1）写出图中的三对相似三角形；
（2）连接FG，当AM=MB时，求证：△MFG∽△BMG．
相似模型（一）（习题）
➢ 复习巩固
1. 如图，在锐角三角形ABC中，高CD，BE相交于点H，则图中与△CEH相似（除△CEH自身
外）的三角形有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
第1题图第2题图
2. 如图，E是□ABCD的边CD上一点，连接AC，BE交于点F．
若DE:EC=1:2，则BF:E F=________．
3. 如图，某树高为4 m，小明在A时刻测得某树的影长为2m，B时刻又测得该树的影长
为x m，若两次日照的光线互相垂直，则x=________．
4. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，若BD:A D=3:，则AC:AB=（）
A．B．C．D．
第4题图第5题图
5. 如图，已知□ABCD，过点B的直线依次与AC，AD及CD的延长线相交于点E，F，G．若
BE=5，EF=2，则FG的长为_________．
6. 如图，梯形ABCD的中位线EF分别交对角线BD，AC于点M，N，AD=1，BC=3，则
EF=________，MN=________．
第6题图第7题图
7. 如图，D是AB的中点，AF∥C E，若CG:GA=3:1，BC=8，则AF=________．
8. 如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，若AB=4，AD=3，
则CF的长为_________．
9. 如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠BAD=∠BDC=90°，E为BC的中点，AE
与BD相交于点F，若BC=4，∠CBD=30°，则DF的长为（）
A． B． C． D．
第9题图
第10题图
10. 如图，已知正方形DEFG的顶点D，E在△ABC的边BC上，顶点G，F分别在边AB，
AC上．如果BC=4，△ABC的面积是6，那么这个正方形的边长是_________．
11. 如图，直线l1∥l2，若AF:FB=2:3，BC:CD=2:1，则CE:AE=_________．
12. 如图，在△ABC中，AF:FB=2:3，延长BC至点D，使得BC=2CD，求的值．
13. 如图，P是□ABCD的对角线BD上一点，一直线过点P分别交BA，BC的延长线于点Q，
S，交AD，CD于点R，T．
有下列结论：①△R QA∽△RTD；②；
③；④.其中正确的是_______．
14. 如图，在△ABC中作内接菱形CDEF，设菱形的边长为a．
求证：．
➢∙思考小结
1. 相似基本模型除了图形本身往往有公共角、对顶角相等之外，还需要满足一些其他特征，
这些特征能够帮助我们快速验证模型．
①平行线，往往配合对顶角相等（X型）、有公共角（A型）②一组角对应相等，往往
配合对顶角相等（X型）、有公共角（A型）
③多直角结构，往往利用互余关系得到角相等后，配合有公共角（母子型）
【参考答案】
➢∙课前预习
1. 证明略．
➢∙知识点睛
2. 角相等、比例线段；比例的传递与整合；比例形式
➢∙精讲精练
1. B
2. ；2；
3. 12；
4.
5.
6.
7. 3:2
8. 2:3
9. 3
10. A D:C D=7:18
11. D
12. C
13. ①②③④
14. ①②③④
15. 证明略．
16. ①△A BE∽△DAE，△D AC∽△D EA，△ABE∽△DCA，
△ABC≌△GAF．
②
17. （1）△AMF∽△BGM，△AME∽△MFE，△BMD∽△MGD；
（2）证明略．
【参考答案】
➢ 复习巩固
1. C
2. 3:2
3. 8m
4. D
5.
6. 2；1
7. 4
8.
9. D
10.
11. 1:2
12. 的值为2．
13. ①②③④
14. 证明略．。