高考理科数学公式总结
新课标高考数学公式(理科)
高考数学常用公式1．德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B == ．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n个；真子集有21n-个；非空子集有21n-个；非空的真子集有22n-个2．U U A B A A B B A B C B C A =⇔=⇔⊆⇔⊆ U A C B ⇔=ΦU C A B R ⇔=3．二次函数的解析式的三种形式 ①一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠；② 顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠；③零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠．4．设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]1212()()0(),f x f x f x a b x x ->⇔-在上是增函数；[]1212()()()0x x f x f x --<⇔[]1212()()0(),f x f x f x a b x x -<⇔-在上是减函数．设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数．5．函数的奇偶性：（注：是奇偶函数的前提条件是：定义域必须关于原点对称），奇函数定义：在前提条件下，若有()()f x f x -=-或()()0f x f x -+=，则()f x 是奇函数；性质：①奇函数的图像关于原点对称；②奇函数在对称区间具有相同的单调性；③定义在R 上的奇函数，有(0)0f =；偶函数定义：在前提条件下，若有()()f x f x -=，则()f x 是偶函数；性质：①偶函数的图像关于y 轴对称；②偶函数在对称区间具有相反的单调性．奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图像关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图像关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数．函数()y f x =的图像的对称性：①函数()y f x =的图像关于直线x a =对称()()f a x f a x ⇔+=-(2)()f a x f x ⇔-=．②函数()y f x =的图像关于直线2a bx +=对称()()f a mx f b mx ⇔+=-()()f a b mx f mx ⇔+-=．6．解析几何与函数的几个常用结论：①点),(b a 关于x 轴的对称点是),(b a -；②点),(b a 关于y 轴的对称点是),(b a -；③点),(b a 关于原点的对称点是),(b a --；④点),(b a 关于直线x y =的对称点是),(a b ；⑤点),(b a 关于直线x y -=的对称点是),(a b --；⑥点),(b a 关于直线m x y +=的对称点是),(m a m b +-；⑦点),(b a 关于直线m x y +-=的对称点是),(m a m b +-+-；⑧点),(b a 关于直线)0(0≠=++B C By Ax 的对称点是),(11y x ；则满足下列两个条件：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-⋅--=++++1)(0221111B A ax by C y b B x a A7．两个函数图像的对称性：①函数()y f x =与函数()y f x =-的图像关于直线0x =(即y 轴)对称．②函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图像关于直线2a bx m+=对称．③函数)(x f y =和)(1x fy -=的图像关于直线y x =对称．函数的周期性：对函数()f x ，若存在0T >，使得()()f x T f x +=，则就叫()f x 是周期函数，其中T 是()f x 的一个周期．周期函数几种常见的表述形式：①若()()f x T f x +=-，此时周期为2T ；②1()()f x m f x +=-，此时周期为2m ．常见函数的图像：8．分数指数幂m na=0,,a m n N *>∈，且1n >）．1mnm naa-=（0,,a m n N *>∈，且1n >）．9． log (0,1,0)b a N b a N a a N =⇔=>≠>．对数性质：①log log log ()a a a M N MN +=；②log log log a a a M M N N-=； ③log log m a a b m b =⋅；④log log m na a nb b m=⋅； ⑤log 10a =；⑥log 1a a =；⑦log a b a b =；⑧log a N a N =10．对数的换底公式 log log log m a m N N a=．推论 log log m na a nb b m =．11．11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩( 数列{}n a 的前n 项的和为12n n S a a a =+++ )．12．等差数列的通项公式*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈；其前n 项和公式 1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+211()22d n a d n =+-． 常用性质：①若m n p q +=+，则有m n p q a a a a +=+；注：若,m n p a a a 是的等差中项，则有2m n p a a a =+⇔n 、m 、p 成等差．②若{}n a 、{}n b 为等差数列，则{}n n a b ±为等差数列；③{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，则232,,m m m m m S S S S S --也成等差数列；④,,0p q p q a q a p a +===则；⑤(1)1232n n n +++++=． 13．等比数列的通项公式1*11()n nn a a a qq n N q-==⋅∈； 其前n 项的和公式11(1),11,1n n a q q S q na q ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩或11,11,1n n a a qq q S na q -⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩． 常用性质：①若m n p q +=+，则有 m n p q a a a a ⋅=⋅；注：若,m n p a a a 是的等比中项，则有 2m n p a a a =⋅⇔n 、m 、p 成等差．②若{}n a 、{}n b 为等比数列，则{}n n a b ⋅为等比数列．14．等比差数列{}n a ：11,(0)n n a qa d a b q +=+=≠的通项公式为1(1),1(),11n n n b n d q a bq d b q d q q -+-=⎧⎪=+--⎨≠⎪-⎩；其前n 项和公式为(1),11(),1111n n nb n n d q S d q db n q q q q +-=⎧⎪=-⎨-+≠⎪---⎩． 15．同角三角函数的基本关系式 22sin cos 1θθ+=，tan θ＝θθcos sin ，tan 1cot θθ⋅=． 16．正弦、余弦的诱导公式212(1)sin ,sin()2(1)cos ,n n n n n απαα-⎧-⎪+=⎨⎪-⎩为偶数为奇数；212(1)cos ,cos()2(1)sin ,nn n n n απαα+⎧-⎪+=⎨⎪-⎩为偶数为奇数17．和角与差角公式sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±； cos()cos cos sin sin αβαβαβ±= ；tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±= ．22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-=-(平方正弦公式)； 22cos()cos()cos sin αβαβαβ+-=-．sin cos a b αα+＝)αϕ+(辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 的象限决定，tan baϕ= )．18．二倍角公式 sin 2sin cos ααα=．2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-．22tan tan 21tan ααα=-． 19．三角函数的周期公式 函数sin()y x ωϕ=+，x R ∈及函数cos()y x ωϕ=+，x R ∈(,,A ωϕ为常数，且0,0A ω≠>)的周期2T πω=；函数t a n()y x ωϕ=+，,2x k k Z ππ≠+∈(,,A ωϕ为常数，且0,0A ω≠>)的周期T πω=． 三角函数的图像：20．正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===（R 为△ABC 外接圆的半径）． 2sin ,2sin ,2sin aR A b R B c R C ⇔===::sin :sin :sin a b c A B C ⇔=21．余弦定理2222cos a b c bc A=+-；2222cos b c a ca B=+-；2222cos c a b ab C =+-．22．面积定理（1）111222a b c S ah bh ch ===（a b c h h h 、、分别表示a 、b 、c 边上的高）．（2）111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===．23．三角形内角和定理 在ABC 中，有()222C A BA B C C A B πππ+++=⇔=-+⇔=-222()C A B π⇔=-+．24．平面两点间的距离公式,A B d ＝||AB = =11(,)A x y ，22(,)B x y )．25．向量的平行与垂直 设11(,)a x y = ，22(,)b x y =，且0b ≠ ，则 a ∥b 12210a b x y x y λ⇔=⇔-=． a ⊥b 121200a b x x y y ⇔⋅=⇔+=．26．三角形五“心”向量形式的充要条件：设O 为ABC ∆所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则①O 为ABC ∆的外心222OA OB OC ⇔== .②O 为ABC ∆的重心0OA OB OC ⇔++=.③O 为ABC ∆的垂心OA OB OB OC OC OA ⇔⋅=⋅=⋅.④O 为ABC ∆的内心0aOA bOB cOC ⇔++=.⑤O 为ABC ∆的A ∠的旁心aOA bOB cOC ⇔=+.27．三角形的重心坐标公式ABC 三个顶点的坐标分别为11(,)A x y 、22(,)B x y 、33(,)C x y ，则ABC 的重心的坐标是123123(,)33x x x y y y G ++++． 28．点的平移公式x x h x x hOP OP PP y y k y y k''=+=-⎧⎧''⇔⇔=+⎨⎨''=+=-⎩⎩ (图形F 上的任意一点(,)P x y 在平移后图形F '上的对应点为(,)P x y '''，且PP '的坐标为(,)h k )．29．常用不等式：（1）,a b R ∈⇒222a b ab +≥(当且仅当a b =时取“＝”号)．（2）,a b R +∈⇒2a b+≥当且仅当a b =时取“＝”号)． （3）3333(0,0,0).a b c abc a b c ++≥>>>（4）柯西不等式22222()()(),,,,.a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈ （5）b a b a b a +≤+≤- 30．极值定理 已知y x ,都是正数，则有（1）如果积xy 是定值p ，那么当y x =时和y x +有最小值p 2； （2）如果和y x +是定值s ，那么当y x =时积xy 有最大值241s ． （3）已知,,,a b x y R +∈，若1ax by +=则有21111()()by ax ax by a b a b x y x y x y+=++=+++≥++=． （4）已知,,,a b x y R +∈，若1a bx y+=则有2()()a b ay bxx y x y a b a b x y x y+=++=+++≥++=31．一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或2(0,40)a b ac ≠∆=->，如果a 与2ax bx c ++同号，则其解集在两根之外；如果a 与2ax bx c ++异号，则其解集在两根之间．简言之：同号两根之外，异号两根之间．121212()()0()x x x x x x x x x <<⇔--<<； 121212,()()0()x x x x x x x x x x <>⇔--><或．32．含有绝对值的不等式 当0a >时，有22x a x a a x a <⇔<⇔-<<．22x a x a x a >⇔>⇔>或x a <-．33．无理不等式（1()0()0()()f x g x f x g x ≥⎧⎪≥⎨⎪>⎩．（22()0()0()()0()0()[()]f x f x g x g x g x f x g x ≥⎧≥⎧⎪>⇔≥⎨⎨<⎩⎪>⎩或． （32()0()()0()[()]f x g x g x f x g x ≥⎧⎪⇔>⎨⎪<⎩． 34．指数不等式与对数不等式 (1)当1a >时，()()()()f x g x a a f x g x >⇔>；()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩．(2)当01a <<时，()()()()f x g x a a f x g x >⇔<；()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩35．斜率公式 2121y y k x x -=-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）． 36．直线的四种方程（1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )． （2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距)． （3）两点式112121y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠))．两点式的推广：211211()()()()0x x y y y y x x -----=（无任何限制条件！）（4）截距式1x ya b+=(a b 、分别为直线的横、纵截距，00a b ≠≠、) （5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0)．直线0Ax By C ++=的法向量：(,)l A B '= ，方向向量：(,)l B A =-37．两条直线的平行和垂直（1）若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+①212121,b b k k l l ≠=⇔∥；②12121l l k k ⊥⇔=-．（2）若1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=，且1A 、2A 、1B 、2B 都不为零，①21212121C C B B A A l l ≠=⇔∥；②1212120l l A A B B ⊥⇔+=； 38．点到直线的距离d =(点00(,)P x y ，直线l ：0Ax By C ++=)．39．圆的四种方程（1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=．（2）圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0)． （3）圆的参数方程 cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩．（4）圆的直径式方程 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=(圆的直径的端点是11(,)A x y 、22(,)B x y )．40．点与圆的位置关系：点00(,)P x y 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种：若d =d r >⇔点P 在圆外;d r =⇔点P 在圆上; d r <⇔点P 在圆内.直线与圆的位置关系：直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种(22BA CBb Aa d +++=):0<∆⇔⇔>相离r d ;0=∆⇔⇔=相切r d ;0>∆⇔⇔<相交r d .两圆位置关系的判定方法:设两圆圆心分别为1O ，2O ，半径分别为1r ，2r ，d O O =21，则：12d r r >+⇔外离⇔4条公切线； 12d r r =+⇔外切⇔3条公切线；1212||r r d r r -<<+⇔相交⇔212||d r r =-⇔内切⇔1条公切线； 120||d r r <<-⇔内含⇔无公切线；41．椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的参数方程是cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩．离心率c e a ==准线到中心的距离为2a c，焦点到对应准线的距离(焦准距)2b pc =．过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为：22b a.42．椭圆22221(0)x y a b a b +=>>焦半径公式 )(21c a x e PF +=，)(22x ca e PF -=． 两焦半径与焦距构成三角形的面积: 12212||tan 2F PF P F PF S c y b ∆∠==；椭圆的的内外部:（1）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的内部2200221x y a b ⇔+<. （2）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的外部2200221x y a b⇔+>. 椭圆的切线方程:1212（1）椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y a b +=.（2）过椭圆22221x y a b+=外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y y a b +=.（3）椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A aB b c +=.43．双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的焦半径公式21|()|a PF e x c =+，22|()|a PF e x c=-．双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率c e a ==2a c ，焦点到对应准线的距离(焦准距)2b p c =．过焦点且垂直于实轴的弦叫通经，其长度为：22b a.两焦半径与焦距构成三角形的面积12212cot 2F PF F PF S b ∆∠=双曲线的方程与渐近线方程的关系:（1）若双曲线方程为12222=-by a x ⇒渐近线方程：22220x y a b -=⇔x a by ±=.（2）若渐近线方程为x a by ±=⇔0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222by a x .（3）若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222by a x（0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）. （4）焦点到渐近线的距离总是b ．双曲线的切线方程:（1）双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y a b -=.（2）过双曲线22221x y a b-=外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y y a b -=.（3）双曲线22221x y a b-=与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A aB b c -=.44．抛物线px y 22=上的动点可设为200(,)2y P y p或或)2,2(2pt pt P 00(,)P x y ，其中2002y px =．抛物线px y 22=的焦半径公式:抛物线22(0)y px p =>焦半径02p CF x =+.过焦点弦长p x x px p x CD ++=+++=212122.45．二次函数2224()24b ac b y ax bx c a x a a-=++=++(0)a ≠的图像是抛物线：（1）顶点坐标为24(,)24b ac b a a --；（2）焦点的坐标为241(,)24b ac b a a -+-；（3）准线方程是2414ac b y a--=．46．直线与圆锥曲线相交的弦长公式AB =1212||||AB x x y y ==-=-（弦端点1122(,),(,)A x y B x y ，由方程(,)0y kx b F x y =+⎧⎨=⎩ 消去y 得到02=++c bx ax ，0∆>，α为直线AB 的倾斜角，k 为直线的斜率）．47．“四线”一方程 对于一般的二次曲线220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=，用0x x 代2x ，用0y y 代2y ，用002x y xy +代xy ，用02x x +代x ，用02y y+代y 即得方程 0000000222x y xy x x y yAx x B Cy y D E F ++++⋅++⋅+⋅+=，曲线的切线，切点弦，中点弦，弦中点方程均是此方程得到．48．证明直线与平面的平行的思考途径: （1）转化为直线与平面无公共点； （2）转化为线线平行； （3）转化为面面平行.证明直线与平面垂直的思考途径:（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直； （2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直； （3）转化为该直线与平面的一条垂线平行； （4）转化为该直线垂直于另一个平行平面． 证明平面与平面的垂直的思考途径： （1）转化为判断二面角是直二面角； （2）转化为线面垂直；（3）转化为两平面的法向量平行．49．共线向量定理 对空间任意两个向量a 、(0)b b ≠ ，a ∥⇔存在实数λ使a b λ=．50．对空间任一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，满足OP xOA yOB zOC =++， 则四点P 、A 、B 、C 是共面⇔1x y z ++=．51． 空间两个向量的夹角公式cos ,a b <>=（111(,,)a x y z = ， 222(,,)b x y z =）．52．直线AB 与平面所成角sin ||||AB m arc AB m β⋅= (m为平面α的法向量)．53．二面角l αβ--的平面角cos ||||m n arc m n θ⋅= 或cos ||||m n arc m n π⋅- （m ，n为平面α，β的法向量）． 54．设AC 是α内的任一条直线，且BC AC ⊥，垂足为C ，又设AO 与AB 所成的角为1θ，AB 与AC 所成的角为2θ，AO 与AC 所成的角为θ．则12cos cos cos θθθ=．55．空间两点间的距离公式 若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则,A B d ＝||AB = =56．点Q 到直线l 距离h =(点P 在直线l 上，直线l 的方向向量a PA = ，向量b PQ = )．57．异面直线间的距离 ||||CD n d n ⋅=(12,l l 是两异面直线，其公垂向量为n ，C D 、分别是12,l l 上任一点，d 为12,l l 间的距离)．58．点B 到平面α的距离 ||||AB n d n ⋅=（n为平面α的法向量，AB 是经过面α的一条斜线，A α∈）．59．异面直线上两点距离公式 d =(两条异面直线a 、b 所成的角为θ，其公垂线段'AA 的长度为h ．在直线a 、b 上分别取两点E 、F ，'A E m =，AF n =，EF d =)．60． 2222123l l l l =++222123cos cos cos 1θθθ⇔++=（长度为l 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为123l l l 、、，夹角分别为123θθθ、、）（立几中长方体对角线长的公式是其特例）． 61． 面积射影定理 'cos S S θ=(平面多边形及其射影的面积分别是S 、'S ，它们所在平面所成锐二面角的为θ)． 62．欧拉定理(欧拉公式) 2V F E +-=(简单多面体的顶点数V 、棱数E 和面数F )63．球的半径是R ，则其体积是343V R π=，其表面积是24S R π=． 64．分类计数原理（加法原理）12n N m m m =+++ ．65．分步计数原理（乘法原理）12n N m m m =⨯⨯⨯ ．66．排列数公式 m n A ＝)1()1(+--m n n n ＝！！)(m n n -．(n ，*m N ∈，且m n ≤)．67．排列恒等式 （1）1(1)m m n n A n m A -=-+；（2）1m m n n n A A n m-=-；（3）11m m n n A nA --=； （4）11n n n n n n nA A A ++=-；（5）11m m m n n n A A mA -+=+．68．组合数公式 m n C＝m n mmA A ＝m m n n n ⨯⨯⨯+-- 21)1()1(＝！！！)(m n m n -⋅(n ，*m N ∈，且m n ≤)．69．组合数的两个性质(1) m n C ＝mn n C - ；(2) m n C +1-m nC ＝mn C 1+70．组合恒等式（1）11-+-=m n mn C m m n C ；（2）m n m n C m n n C 1--=；（3）11--=m n mnC mn C ； （4）∑=nr rn C 0＝n2；（5）1121++++=++++r n r n r r r r r r C C C C C ．71．排列数与组合数的关系是：m nm m m n C A A ⋅=． 72．二项式定理 n n n r r n r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+--- 222110)( ； 二项展开式的通项公式：rr n r n r b a C T -+=1)210(n r ，，，=． 73．等可能性事件的概率nmA P =)(． 74．互斥事件A ，B 分别发生的概率的和()()()P A B P A P B +=+．75．n 个互斥事件分别发生的概率的和1212()()()()n n P A A A P A P A P A +++=+++ ．76．独立事件A ，B 同时发生的概率()()()P A B P A P B = ． 77．n 个独立事件同时发生的概率1212()()()()n n P A A A P A P A P A =． 78．n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率k n k k n n P P C k P --=)1()(79．离散型随机变量的分布列的两个性质： （1）0(1,2,)i P i ≥= ；（2）121P P ++= 80．数学期望1122n n E x P x P x P ξ=++++数学期望的性质：（1）()()E a b aE b ξξ+=+；（2）若~(,)B n p ξ，则E np ξ=81．方差：2221122()()()n n D x E P x E P x E P ξξξξ=-⋅+-⋅++-⋅+ ；标准差：σξ=方差的性质：（1）22()()D E E ξξξ=-；（2）2()D a b a D ξξ+=；（3）若~(,)B n p ξ，则(1)D np p ξ=-82.正态分布密度函数()()()226,,x f x x μ--=∈-∞+∞，式中的实数μ，σ（σ>0）是参数，分别表示个体的平均数与标准差.标准正态分布密度函数()()22,,x f x x -=∈-∞+∞.对于2(,)N μσ，取值小于x 的概率()x F x μσ-⎛⎫=Φ ⎪⎝⎭.()()()12201x x P x x P x x x P <-<=<<()()21F x F x =-21x x μμσσ--⎛⎫⎛⎫=Φ-Φ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.83.回归直线方程y a bx =+，其中()()()1122211nni i i ii i n ni i i i x x y y x y nx yb x x x nx a y bx====⎧---⎪⎪==⎨--⎪⎪=-⎩∑∑∑∑.84.相关系数()()niix x y y r --=∑ ()()niix x y y --=∑.||r ≤，且越接近于1，相关程度越大；越接近于0，相关程度越小.85．)(x f 在0x 处的导数xx f x x f x yy x f x x x x ∆-∆+=∆∆==→∆→∆=)()(lim lim |')('000000．86．函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-．瞬时速度00()()()lim lim t t s s t t s t v s t t t∆→∆→∆+∆-'===∆∆.瞬时加速度00()()()lim lim t t v v t t v t a v t t t∆→∆→∆+∆-'===∆∆.函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-.87．几种常见函数的导数（1）0='C （C 为常数）；（2） )()'(1Q n nx x n n ∈=-；（3）(sin )cos x x '=；（4）(cos )sin x x '=-（5）1(ln )x x '=；1(log )log a a x e x'=；（6）()x x e e '=；()ln x xa a a '= 88．复合函数的求导法则：设函数()u x ϕ=在点x 处有导数()x u x ϕ''=，函数()y f u =的点x 处的对应点u 处有导数()u y f u ''=，则复合函数(())y f x ϕ=在点x 处有导数，且x u x y y u '''=⋅，或写作(())()()x f x f u x ϕϕ'''=89.导数的运算法则 （1）'''()u v u v ±=±. （2）'''()uv u v uv =+.（3）'''2()(0)u u v uv v v v -=≠. 90.判别)(0x f 是极大（小）值的方法 当函数)(x f 在点0x 处连续时，（1）如果在0x 附近的左侧0)(>'x f ，右侧0)(<'x f ，则)(0x f 是极大值； （2）如果在0x 附近的左侧0)(<'x f ，右侧0)(>'x f ，则)(0x f 是极小值.91.复数的相等,a bi c di a c b d +=+⇔==.（,,,a b c d R ∈） 92.复数z a bi =+的模（或绝对值）||z =||a bi +93.复数的四则运算法则（1）()()()()a bi c di a c b d i +++=+++; （2）()()()()a bi c di a c b d i +-+=-+-; （3）()()()()a bi c di ac bd bc ad i ++=-++; （4）2222()()(0)ac bd bc ada bi c di i c di c d c d +-+÷+=++≠++.94.复数的乘法的运算律 对于任何123,,z z z C ∈，有 交换律:1221z z z z ⋅=⋅.结合律:123123()()z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅. 分配律:1231213()z z z z z z z ⋅+=⋅+⋅ . 95.复平面上的两点间的距离公式12||d z z =-=111z x y i =+，222z x y i =+）.96.零点：对于函数()y f x =，我们把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点．零点定理：如果函数()y f x =，在区间[],a b 上的图像是连续不断的一条并且有()()0f a f b ⋅<，那么函数()y f x =在区间[],a b 内有零点，即存在(),c a b ∈，使得()0f c =，这个c 也是方程()0f x =的根．关系：方程()0f x =有实数根⇔函数()y f x =有零点⇔函数()y f x =的图像与x 轴有交点97．二分法求方程的近似解：（1）确定区间[],a b ，验证()()0f a f b ⋅<，给定精确度ε；（2）求区间(),a b 的中点c ；（3）计算()f c ：①若()0f c =，则c 是函数的零点；②若()()0f a f c ⋅<，则令b c =（此时零点0(,)x a c ∈）；③若()()0f c f b ⋅<，则令a c =（此时零点0(,)x c b ∈）；（4）判断是否达到精确度ε；即若||a b ε-<，则得到零点的近似值a （或b ）；否则重复（2）～（4）．98．柱、锥、台、球的结构特征99．空间几何体的三视图定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、俯视图（从上向下）注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度；俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度；侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度．100．算法初步：秦九韶算法计算多项式：654323456781x x x x x x++++++，当0.4x=时，需要做几次加法和乘法运算？答案：6，6．即：(((((34)5)6)7)8)1x x x x x x++++++．（1）算法的特征：①有限性：算法执行的步骤总是有限的，不能无休止的进行下去；②确定性：算法的每一步操作内容和顺序必须含义确切，而且必须有输出，输出可以是一个或多个．没有输出的算法是无意义的；③可行性：算法的每一步都必须是可执行的，即每一步都可以通过手工或者机器在一定时间内可以完成，在时间上有一个合理的限度．（2）算法含有两在要素：①操作：算术运算，逻辑运算，函数运算，关系运算等；②控制结构：顺序结构，选择结构，循环结构．AB顺序结构选择结构PA BY NAPNY直到型循环AP YN当型循环高考数学监考50个易误点提示在高考备考的过程中，熟化这些解题小结论，防止解题易误点的产生，对提升高考数学成绩将会起到较大的作用．1．求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，你标注了该函数的定义域了吗？ 2．函数与其反函数之间的一个有用的结论：a b f b a f=⇔=-)()(13．原函数在区间],[a a -上单调递增，则一定存在反函数，且反函数)(1x f y -=也单调递增；但一定函数存在反函数，此函数不一定单调．4．判断一个函数的奇偶性时，你注意到函数的定义域是否关于原点对称这个必要非充分条件了吗？5．根据定义证明函数的单调性时，规范格式是什么？（取值、作差、判正负） 6．你知道函数)0,0(>>+=b a xbax y 的单调区间吗？（该函数在],(ab --∞或),[+∞ab 上单调递增；在)0,[ab -或],0(ab 上单调递减）这可是一个应用广泛的函数！7．解对数函数问题时，你注意到真数与底数的限制条件了吗？（真数大于零，底数大于零且不等于1）字母底数还需讨论呀！8．你知道判断对数b a log 符号的快捷方法吗？9．“实系数一元二次方程02=++c bx ax 有实数解”转化为“042≥-=∆ac b ”，你是否注意到必须0≠a ；当0=a 时，“方程有解”不能转化为042≥-=∆ac b ．若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，你是否考虑到二次项系数可能为零的情形？10．在解三角问题时，你注意到正切函数、余切函数的定义域了吗？你注意到正弦函数、余弦函数的有界性了吗？11．在三角中，你知道1等于什么吗？（=-=+=x x x x 2222tan sec cos sin 1====⋅0cos 2sin4tancot tan ππx x 这些统称为1的代换）常数“1”的各种代换有着广泛的应用．12．你还记得三角化简的通性通法吗？（切割化弦、降幂公式、用三角公式转化出现特殊角、异角化同角，异名化同名，高次化低次）13．你还记得在弧度制下弧长公式和扇形面积公式吗？（lr S r l 21,||＝扇形α=） 14．在用反三角函数表示直线的倾斜角、两条异面直线所成的角等时，你是否注意到它们各自的取值范围及意义？①异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的取值范围依次是：],0[],2,0[],2,0(πππ②直线的倾斜角、1l 到2l 的角、1l 与2l 的夹角的取值范围依次是：)2,0[),,0[),,0[πππ③反正弦、反余弦、反正切函数的取值范围分别是：)2,2(],,0[],2,2[πππππ--15．分式不等式)0(0)()(≠>a x g x f 的一般解题思路是什么？（移项通分） 16．解指对不等式应该注意什么问题？（指数函数与对数函数的单调性，对数的真数大于零．）17．利用重要不等式ab b a 2≥+以及变式2)2(b a ab +≤等求函数的最值时，你是否注意到+∈R b a ,（或b a ,非负），且“等号成立”时的条件，积ab 或b a +其中之一应是定值？18．在解含有参数的不等式时，怎样进行讨论？（特别是指数和对数的底10<<a 或1>a ）讨论完之后，要写出：综上所述，原不等式的解是……．19．等差数列中的重要性质：若q p n m +=+，则q p n m a a a a +=+； 等比数列中的重要性质：若q p n m +=+，则q p n m a a a a ⋅=⋅ 20．你是否注意到在应用等比数列求前n 项和时，需要分类讨论．（qq a q na S q n n n --=≠==1)1(S 1;111时，时，）21．等差数列的一个性质：设n S 是数列}{n a 的前n 项和，}{n a 为等差数列的充要条件是bn an S n +=2（b a ,为常数）其公差是a 2．22．你知道怎样的数列求和时要用“错位相减”法吗？（若n n n b a c =，其中}{n a 是等差数列，}{n b 是等比数列，求}{n c 的前n 项的和）23．用1--=n n n S S a 求数列的通项公式时，你注意到11S a =了吗？ 24．你还记得裂项求和吗？ （如111)1(1+-=+n n n n ，1111(1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n ⎡⎤=-⎢⎥+++++⎣⎦） 25．解排列组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合．26．解排列组合问题的规律是：相邻问题捆绑法；不相邻问题插空法；多排问题单排法；定位问题优先法；选取问题先排后排法；至多至少问题间接法．27．作出二面角的平面角主要方法是什么？（定义法、三垂线法、垂面法）三垂线法：一定平面，二作垂线，三作斜线，射影可见．（求二面角还有法向量法）28．求点到面的距离常规方法是什么？（直接法、体积法、向量法，公式：||||→→→⋅=n n a d ）29．求多面体积的常规方法是什么？（割补法、等积变换法）30．你知道三垂线定理的关键是什么吗？（一面、四线、三垂直、立柱即面的垂线是总关键）一面四直线，立柱是关键，垂直三处见．31．设直线议程时，一般可设直线的斜率为k ，你是否注意到直线垂直于x 轴时，斜率k 不存在的情况？（例如：一条直线经过点)23,3(--，且被圆2522=+y x 截得的弦长为8，求此弦所在直线的方程．该题就要注意，不要漏掉03=+x 这一解．）32．定比分点的坐标公式是什么？（起点，中点，分点以及λ值可要搞清）33．对不重合的两条直线0:,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l ，有0;2121211221122121=+⇔⊥⎩⎨⎧≠=⇔B B A A l l C A C A B A B A l l ∥．34．直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为0．35．处理直线与圆的位置关系有两种方法：（1）点到直线的距离；（2）直线方程与圆的方程联立，判别式．一般来说，前者更简捷．36．处理圆与圆的位置关系，可用两圆的圆心距与半径之间的关系． 37．在圆中，注意利用半径、半弦长、及弦心距组成的直角三角形． 38．还记得圆锥曲线的两种定义吗？解有关题是否会联想到这两个定义？39．还记得圆锥曲线方程中的ca a c p cb a 2,,,,,的意义吗？40．在利用圆锥曲线统一定义解题时，你是否注意到定义中的定比的分子分母的顺序？ 41．离心率的大小与曲线的形状有何关系？（圆扁程度，张口大小）等轴双曲线的离心率是多少？42．在用圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零？判别式0∆≥的限制．（求交点，弦长，中点，斜率，对称，存在性问题都在0∆>下进行．）43．椭圆中，注意焦点、中心、短轴端点所组成的直角三角形．（c b a ,,） 44．通径是抛物线的所有焦点弦中最短的弦．45．解答选择题的特殊方法是什么？（顺推法，估算法，特例法，特征分析法，直观选择法，逆推验证法等等）46．解答开放型问题时，需要思维广阔全面，知识纵横联系．47．解答信息型问题时，透彻理解问题中的新信息，这是准确解题的前提．48．解答多参型问题时，关键在于恰当地引出参变量，想方设法摆脱参变量的困绕，这当中，参变量的分离、集中、消去、代换以及反客为主等策略，似乎是解答这类问题的通性通法．49．“对勾函数”：(0)ky x k x=+>，利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？例如：求函数2()f x =的最小值．该函数变形为2()f x ==，求得最小值为：当0x =时，()f x 的最小值为52．在这里应该注意些什么．50．用“穿轴法”解高次不等式——“奇穿，偶不穿”，从最大根的右上方开始，并注意x 的最高次项为正，例如：解不等式：①23(1)(1)(2)0x x x +--<；②101xx+>-．对于第二个应该变形为101x x +<-，再用“穿根法”，如图2数学高考应试技巧数学考试时，有许多地方都要考生特别注意．在考试中掌握好各种做题技巧，可以帮助各位在最后关头鲤鱼跃龙门．考试注意：1．考前5分钟很重要在考试中，要充分利用前5分钟的时间．考卷发下后，可浏览题目．当准备工作（填写姓名、考号等）完成后，可以翻到后面的解答题，通读一遍，做到心中有数．2．区别对待各档题目考试题目分为易、中、难三种，它们分值比约为3∶5∶2．考试中大家要根据自身状况分别对待．（1）做容易题时，要争取一次做完，不要中间拉空．这类题要100％的拿分． （2）做中等题时，要静下心来，尽量保证拿分，起码有80％的完成度． （3）做难题时，大家通常会感觉无从下手．这时要做到： ①多读题目，仔细审题； ②在草稿上简单感觉一下；③不要轻易放弃．许多同学一看是难题、大题，不多做考虑，就彻底投降．解答题多为小步设问，许多小问题同学们都是可以解决的，因此，每一个题、每一个问，考生都要认真对待．图2图13．时间分配要合理（1）考试时主要是在选择题上抢时间；（2）做题时要边做边检查，充分保证每一题的正确性．不要抱着“等做完后再重新检查”的念头而在后面浪费太多的时间用于检查；（3）在交卷前30分钟要回头再检查一下自己的进度．注意及时填机读卡．高考数学选择题的解题策略数学选择题在当今高考试卷中，不但题目多，而且占分比例高，即使今年全国有些省份试题的题量发生了一些变化，选择题由原来的12题改为10题，但其分值仍占到试卷总分的三分之一．数学选择题具有概括性强，知识覆盖面广，小巧灵活，且有一定的综合性和深度等特点，考生能否迅速、准确、全面、简捷地解好选择题，成为高考成功的关键．解答选择题的基本策略是准确、迅速．准确是解答选择题的先决条件，选择题不设中间分，一步失误，造成错选，全题无分，所以应仔细审题、深入分析、正确推演、谨防疏漏，确保准确；迅速是赢得时间获取高分的必要条件，对于选择题的答题时间，应该控制在不超过40分钟左右，速度越快越好，高考要求每道选择题在1～3分钟内解完，要避免“超时失分”现象的发生．高考中的数学选择题一般是容易题或中档题，个别题属于较难题，当中的大多数题的解答可用特殊的方法快速选择．解选择题的基本思想是既要看到各类常规题的解题思想，但更应看到选择题的特殊性，数学选择题的四个选择支中有且仅有一个是正确的，因而，在解答时应该突出一个“选”字，尽量减少书写解题过程，要充分利用题干和选择支两方面提供的信息，依据题目的具体特点，灵活、巧妙、快速地选择解法，以便快速智取，这是解选择题的基本策略．特殊位置例．过2(0)y ax a =>的焦点F 作直线交抛物线与P 、Q 两点，若PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则11p q+＝ A ．2aB ．12aC ．4aD ．14a解析：考虑特殊位置PQ OF ⊥时，1||||2PF FQ a ==，所以11224a a a p q+=+=，故选C ．2012年6月10日。
高考数学必背知识点及公式归纳总结大全
高考数学必背知识点及公式归纳总结大全高考数学必背知识点及公式归纳总结大全高中数学理科是10本书,其中的数学公式非常多,那么关于高考数学的公式及知识点有哪些呢?以下是小编准备的一些高考数学必背知识点及公式归纳总结，仅供参考。
高考数学必考知识点归纳必修一：1、集合与函数的概念(部分知识抽象，较难理解);2、基本的初等函数(指数函数、对数函数);3、函数的性质及应用(比较抽象，较难理解)。
必修二：1、立体几何(1)、证明：垂直(多考查面面垂直)、平行(2)、求解：主要是夹角问题，包括线面角和面面角。
这部分知识是高一学生的难点，比如：一个角实际上是一个锐角，但是在图中显示的钝角等等一些问题，需要学生的立体意识较强。
这部分知识高考占22---27分。
2、直线方程：高考时不单独命题，易和圆锥曲线结合命题。
3、圆方程：必修三：1、算法初步：高考必考内容，5分(选择或填空);2、统计：3、概率：高考必考内容，09年理科占到15分，文科数学占到5分。
必修四：1、三角函数：(图像、性质、高中重难点，)必考大题：15---20分，并且经常和其他函数混合起来考查。
2、平面向量：高考不单独命题，易和三角函数、圆锥曲线结合命题。
09年理科占到5分，文科占到13分。
必修五：1、解三角形：(正、余弦定理、三角恒等变换)高考中理科占到22分左右，文科数学占到13分左右;2、数列：高考必考，17---22分;3、不等式：(线性规划，听课时易理解，但做题较复杂，应掌握技巧。
高考必考5分)不等式不单独命题，一般和函数结合求最值、解集。
文科：选修1—1、1—2。
选修1--1：重点：高考占30分。
1、逻辑用语：一般不考，若考也是和集合放一块考;2、圆锥曲线;3、导数、导数的应用(高考必考)。
选修1--2：1、统计;2、推理证明：一般不考，若考会是填空题;3、复数：(新课标比老课本难的多，高考必考内容)。
理科：选修2—1、2—2、2—3。
选修2--1：1、逻辑用语;2、圆锥曲线;3、空间向量：(利用空间向量可以把立体几何做题简便化)。
高考理科数学常用公式139个
1.德摩根公式 CU ( A ∩ B ) = CU A ∪ CU B; CU ( A ∪ B ) = CU A ∩ CU B . 2. A ∩ B = A ⇔ A ∪ B = B ⇔ A ⊆ B ⇔ CU B ⊆ CU A ⇔ A ∩ CU B = Φ ⇔ CU A ∪ B = R 3. 集合 {a1 , a2 , 4.真值表 ｐ ｑ 非ｐ 真 真 假 真 假 假 假 真 真 假 假 真 5.常见结论的否定形式 原结论 是 都是 大于 小于 对所有 x ， 成立 对任何 x ， 不成立 6.四种命题的相互关系 原命题 若ｐ则ｑ 互 互 否 否 否命题 若非ｐ则非ｑ 互逆 为 逆 为 逆 否 逆否命题 若非ｑ则非ｐ 互逆 互 互 否 逆命题 若ｑ则ｐ ｐ或ｑ 真 真 真 假 反设词 不是 不都是 不大于 不小于 存在某 x ， 不成立 存在某 x ， 成立 ｐ且ｑ 真 假 假 假 原结论 至少有一个 至多有一个 至少有 n 个 至多有 n 个 反设词 一个也没有 至少有两个 至多有（ n − 1 ）个 至少有（ n + 1 ）个
m − n
−1
( x) 的图象关于直线 y = x 对称.
（ a > 0, m, n ∈ N ，且 n > 1 ）.
∗
=
1 a
m n
=
n
1
n
a
m
13.根式的性质： （1） ( n a ) = a .（2）当 n 为奇数时， a = a ；当 n 为偶数时， a =| a |= ⎨
n n n n
⎧ a, a ≥ 0 . ⎩ − a, a < 0
= N ， log a a n = n ，
M = log a M － log a N ； log a M n = n log a M N n 1 . log a m b n = log a b ； log a b = m log b a
高考数学(理)考前必记的60个知识点含公式推理推论总结及提醒
高考理科数学考前必记的60个知识点集合(1)集合之间关系的判断方法①A真含于B⇔A⊆B且A≠B，类比于a<b⇔a≤b且a≠b.②A⊆B⇔A真含于B或A＝B，类比于a≤b⇔a<b或a＝b.③A＝B⇔A⊆B且A⊇B，类比于a＝b⇔a≤b且a≥b.(2)集合间关系的两个重要结论①A⊆B包含A＝B和A B两种情况，两者必居其一，若存在x∈B且x∉A，说明A≠B ，只能是A B.②集合相等的两层含义：若A⊆B且B⊆A，则A＝B；若A＝B，则A⊆B且B⊆A.[提醒]1任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A.2对于集合A，B，C，如果A⊆B且B⊆C，则有A⊆C.3含有n个元素的集合有2n个子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集．4集合中元素的三大特性：确定性、互异性、无序性．常见关键词及其否定形式关键词等于大于小于是一定是都是至少有一个至多有一个存在否定词不等于不大于不小于不是不一定是不都是一个也没有至少有两个不存在命题(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假性原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假[提醒]1两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．3在判断一些命题的真假时，如果不容易直接判断，则可以判断其逆否命题的真假．(3)含有一个量词的命题的否定全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，如下所述：命题命题的否定∀x∈M，p(x)∃x0∈M，非p(x0)∃x0∈M，p(x0)∀x∈M非p(x) 充分、必要条件(1)充分条件与必要条件的相关概念①如果p⇒q，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件．②如果p⇒q，但q⇒/ p，那么p是q的充分不必要条件．③如果p⇒q，且q⇒p，那么p是q的充要条件．④如果q⇒p，且p⇒/ q，那么p是q的必要不充分条件．⑤如果p⇒/ q，且q⇒/ p，那么p是q的既不充分也不必要条件．(2)充分、必要条件与集合的对应关系从逻辑观点看从集合观点看p是q的充分条件(p⇒q)A⊆Bp是q的必要条件(q⇒p)A⊇Bp是q的充分不必要条件(p⇒q，q⇒/ p)A真含于Bp是q的必要不充分条件(q⇒p，p⇒/ q)A真包含Bp是q的充要条件(p⇔q)A＝B函数的定义域及相关的6个结论(1)如果f(x)是整式函数，那么函数的定义域是R.(2)如果f(x)是分式函数，那么函数的定义域是使分母不等于0的实数的集合．(3)如果f(x)是偶次根式函数，那么函数的定义域是使被开方数大于或等于0的实数的集合．(4)如果f(x)是对数函数，那么函数的定义域是使真数大于0的实数的集合．(5)如果f(x)是由几个代数式构成的，那么函数的定义域是使各式子都有意义的实数的集合．(6)如果f(x)是从实际问题中得出的函数，则要结合实际情况考虑函数的定义域．函数的值域求函数值域常用的7种方法(1)配方法：二次函数及能通过换元法转化为二次函数的函数类型．(2)判别式法：分子、分母中含有二次项的函数类型，此函数经过变形后可以化为x2A(y)＋xB(y)＋C(y)＝0的形式，再利用判别式加以判断．(3)换元法：无理函数、三角函数(用三角代换)等，如求函数y＝2x－3＋13－4x的值域．(4)数形结合法：函数和其几何意义相联系的函数类型，如求函数y＝3－sin x2－cos x的值域．(5)不等式法：利用几个重要不等式及推论求最值，如a2＋b2≥2ab，a＋b≥2ab(a，b为正实数)．(6)有界性法：一般用于三角函数类型，即利用sin x∈[－1，1]，cos x∈[－1，1]等．(7)分离常数法：适用于解析式为分式形式的函数，如求y＝x＋1x－1的值域．指数函数与对数函数(1)指数函数与对数函数的对比区分表解析式y＝a x(a>0且a≠1)y＝log a x(a>0且a≠1)定义域R(0，＋∞)值域(0，＋∞)R图象关系指数函数对数函数奇偶性非奇非偶非奇非偶单调性0<a<1时，在R上是减函数；0<a<1时，在(0，＋∞)上是减函数；a>1时，在R上是增函数a>1时，在(0，＋∞)上是增函数[提醒]直线x＝1与所给指数函数图象的交点的纵坐标即底数，直线y＝1与所给对数函数图象的交点的横坐标即底数．(2)比较幂值大小的方法①若指数相同，底数不同，则考虑幂函数．②若指数不同，底数相同，则考虑指数函数．③若指数与底数都不同，则考虑借助中间量，这个中间量的底数与所比较的一个数的底数相同，指数与另一个数的指数相同，那么这个数就介于所比较的两数之间，进而比较大小．(3)常见抽象函数的性质与对应的特殊函数模型的对照表抽象函数的性质特殊函数模型①f(x＋y)＝f(x)＋f(y)(x∈R，y∈R)；②f(x－y)＝f(x)－f(y)(x∈R，y∈R)正比例函数f(x)＝kx(k≠0)①f (x )f (y )＝f (x ＋y )(x ，y ∈R )； ②f （x ）f （y ）＝f (x －y )(x ，y ∈R ，f (y )≠0) 指数函数f (x ) ＝a x (a >0，a ≠1)①f (xy )＝f (x )＋f (y )(x >0，y >0)；②f (xy)＝f (x )－f (y )(x >0，y >0)对数函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)①f (xy )＝f (x )f (y )(x ，y ∈R )； ②f (x y )＝f （x ）f （y ）(x ，y ∈R ，y ≠0)幂函数f (x )＝x n函数零点的判断方法(1)利用零点存在定理判断法：如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )<0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0.这个c 也就是方程f (x )＝0的根．口诀：函数零点方程根，数形本是同根生，函数零点端点判，图象连续不能忘．(2)代数法：求方程f (x )＝0的实数根．(3)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y ＝f (x )的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点． 导数(1)基本初等函数的导数公式①(sin x )′＝cos x ，(cos x )′＝－sin x .②(ln x )′＝1x (x >0)，(log a x )′＝1x ln a(x >0，a >0，且a ≠1)．③(e x )′＝e x ，(a x )′＝a x ln a (a >0，且a ≠1)． (2)导数的四则运算法则 ①(u ±v )′＝u ′±v ′⇒[f 1(x )＋f 2(x )＋…＋f n (x )]′ ＝f ′1(x )＋f ′2(x )＋…＋f ′n (x )．②(u v )′＝v u ′＋v ′u ⇒(c v )′＝c ′v ＋c v ′＝c v ′(c 为常数)． ③⎝⎛⎭⎫u v ′＝v u ′－v ′u v 2(v ≠0)．[提醒] 1若两个函数可导，则它们的和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导．2利用公式求导时，一定要注意公式的适用范围及符号，如(x n )′＝nx n －1中n ∈Q *，(cos x )′＝－sin x . 3注意公式不要用混，如(a x )′＝a x ln a ，而不是(a x )′＝xa x －1.4导数的加法与减法法则，可由两个可导函数推广到任意有限个可导函数的情形，即[u (x )±v (x )±…±w (x )]′＝u ′(x )±v ′(x )±…±w ′(x )．5一般情况下，[f (x )g (x )]′≠f ′(x )g ′(x )，[f (x )·g (x )]′≠f ′(x )＋g ′(x )，⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′≠f ′（x ）g ′（x ），⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′≠f ′(x )－g ′(x )．6。
高考数学公式大全(完整版)
高中数学常用公式及常用结论1. 元素与集合的关系U x A x C A ∈⇔∉,U x C A x A ∈⇔∉. 2.德摩根公式();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==.3.包含关系A B A A B B =⇔=U U A B C B C A ⇔⊆⇔⊆ U A C B ⇔=ΦU C A B R ⇔=4.容斥原理()()card A B cardA cardB card A B =+-()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++-()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+.5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n–1个；非空的真子集有2n–2个.6.二次函数的解析式的三种形式(1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式()N f x M <<⇔[()][()]0f x M f x N --<⇔|()|22M N M Nf x +--<⇔()0()f x N M f x ->- ⇔11()f x N M N>--. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21<k f k f 不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地, 方程)0(02≠=++a c bx ax 有且只有一个实根在),(21k k 内,等价于0)()(21<k f k f ,或0)(1=k f 且22211k k a bk +<-<,或0)(2=k f 且22122k abk k <-<+. 9.闭区间上的二次函数的最值二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 在闭区间[]q p ,上的最值只能在abx 2-=处及区间的两端点处取得，具体如下：(1)当a>0时，若[]q p a bx ,2∈-=，则{}min max max ()(),()(),()2b f x f f x f p f q a=-=； []q p abx ,2∉-=，{}max max ()(),()f x f p f q =，{}min min ()(),()f x f p f q =. (2)当a<0时，若[]q p a bx ,2∈-=，则{}min ()min (),()f x f p f q =，若[]q p abx ,2∉-=，则{}max ()max (),()f x f p f q =，{}min ()min (),()f x f p f q =. 10.一元二次方程的实根分布依据：若()()0f m f n <，则方程0)(=x f 在区间(,)m n 内至少有一个实根 . 设q px x x f ++=2)(，则（1）方程0)(=x f 在区间),(+∞m 内有根的充要条件为0)(=m f 或2402p q p m ⎧-≥⎪⎨->⎪⎩；（2）方程0)(=x f 在区间(,)m n 内有根的充要条件为()()0f m f n <或2()0()0402f m f n p q p m n >⎧⎪>⎪⎪⎨-≥⎪⎪<-<⎪⎩或()0()0f m af n =⎧⎨>⎩或()0()0f n af m =⎧⎨>⎩； （3）方程0)(=x f 在区间(,)n -∞内有根的充要条件为()0f m <或2402p q p m ⎧-≥⎪⎨-<⎪⎩ .11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据(1)在给定区间),(+∞-∞的子区间L （形如[]βα,，(]β,∞-，[)+∞,α不同）上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是min (,)0()f x t x L ≥∉.(2)在给定区间),(+∞-∞的子区间上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是(,)0()man f x t x L ≤∉.(3)0)(24>++=c bx ax x f 恒成立的充要条件是000a b c ≥⎧⎪≥⎨⎪>⎩或2040a b ac <⎧⎨-<⎩.12.13.14.四种命题的相互关系15.充要条件（1）充分条件：若p q ⇒，则p 是q 充分条件.（2）必要条件：若q p ⇒，则p 是q 必要条件.（3）充要条件：若p q ⇒，且q p ⇒，则p 是q 充要条件.注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 16.函数的单调性(1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔>--上是增函数；[]1212()()()0x x f x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔<--上是减函数. (2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.17.如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f +也是减函数; 如果函数)(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([x g f y =是增函数.18．奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数．19.若函数)(x f y =是偶函数，则)()(a x f a x f --=+；若函数)(a x f y +=是偶函数，则)()(a x f a x f +-=+.20.对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是函数2b a x +=;两个函数)(a x f y +=与)(x b f y -= 的图象关于直线2ba x +=对称. 21.若)()(a x f x f +--=,则函数)(x f y =的图象关于点)0,2(a对称; 若)()(a x f x f +-=,则函数)(x f y =为周期为a 2的周期函数.22．多项式函数110()n n n n P x a x a x a --=+++的奇偶性多项式函数()P x 是奇函数⇔()P x 的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数()P x 是偶函数⇔()P x 的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 23.函数()y f x =的图象的对称性(1)函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ⇔+=-(2)()f a x f x ⇔-=.(2)函数()y f x =的图象关于直线2a bx +=对称()()f a mx f b mx ⇔+=- ()()f a b mx f mx ⇔+-=.24.两个函数图象的对称性(1)函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称. (2)函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a bx m+=对称. (3)函数)(x f y =和)(1x fy -=的图象关于直线y=x 对称.25.若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数b a x f y +-=)(的图象；若将曲线0),(=y x f 的图象右移a 、上移b 个单位，得到曲线0),(=--b y a x f 的图象.26．互为反函数的两个函数的关系a b f b a f =⇔=-)()(1.27.若函数)(b kx f y +=存在反函数,则其反函数为])([11b x f ky -=-,并不是)([1b kx fy +=-,而函数)([1b kx fy +=-是])([1b x f ky -=的反函数. 28.几个常见的函数方程(1)正比例函数()f x cx =,()()(),(1)f x y f x f y f c +=+=.(2)指数函数()xf x a =,()()(),(1)0f x y f x f y f a +==≠.(3)对数函数()log a f x x =,()()(),()1(0,1)f xy f x f y f a a a =+=>≠. (4)幂函数()f x x α=,'()()(),(1)f xy f x f y f α==.(5)余弦函数()cos f x x =,正弦函数()sin g x x =，()()()()()f x y f x f y g x g y -=+，()(0)1,lim1x g x f x→==. 29.几个函数方程的周期(约定a>0)（1）)()(a x f x f +=，则)(x f 的周期T=a ； （2）0)()(=+=a x f x f ，或)0)(()(1)(≠=+x f x f a x f ， 或1()()f x a f x +=-(()0)f x ≠,或[]1(),(()0,1)2f x a f x +=+∈,则)(x f 的周期T=2a ； (3))0)(()(11)(≠+-=x f a x f x f ，则)(x f 的周期T=3a ； (4))()(1)()()(212121x f x f x f x f x x f -+=+且1212()1(()()1,0||2)f a f x f x x x a =⋅≠<-<，则)(x f 的周期T=4a ；(5)()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a +++++++()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a =++++,则)(x f 的周期T=5a ； (6))()()(a x f x f a x f +-=+，则)(x f 的周期T=6a.30.分数指数幂(1)m na =（0,,a m n N *>∈，且1n >）. (2)1m nm naa-=（0,,a m n N *>∈，且1n >）.31．根式的性质（1）na =.（2）当na =； 当n,0||,0a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩.32．有理指数幂的运算性质 (1) (0,,)rsr sa a aa r s Q +⋅=>∈.(2) ()(0,,)r s rs a a a r s Q =>∈. (3)()(0,0,)rr rab a b a b r Q =>>∈.注： 若a ＞0，p 是一个无理数，则a p 表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.33.指数式与对数式的互化式log b a N b a N =⇔=(0,1,0)a a N >≠>.34.对数的换底公式log log log m a m NN a=(0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >).推论 log log m na a nb b m =(0a >,且1a >,,0m n >,且1m ≠,1n ≠, 0N >).35．对数的四则运算法则若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则 (1)log ()log log a a a MN M N =+;(2) log log log aa a MM N N =-; (3)log log ()na a M n M n R =∈.36.设函数)0)((log )(2≠++=a c bx ax x f m ,记ac b 42-=∆.若)(x f 的定义域为R ,则0>a ，且0<∆;若)(x f 的值域为R ,则0>a ，且0≥∆.对于0=a 的情形,需要单独检验.37. 对数换底不等式及其推广若0a >,0b >,0x >,1x a ≠,则函数log ()ax y bx = (1)当a b >时,在1(0,)a 和1(,)a +∞上log ()ax y bx =为增函数.， (2)当a b <时,在1(0,)a 和1(,)a+∞上log ()ax y bx =为减函数. 推论:设1n m >>，0p >，0a >，且1a ≠，则 （1）log ()log m p m n p n ++<.（2）2log log log 2a a am nm n +<. 38. 平均增长率的问题如果原来产值的基础数为N ，平均增长率为p ，则对于时间x 的总产值y ，有(1)x y N p =+.39.数列的同项公式与前n 项的和的关系11,1,2n n n s n a s s n -=⎧=⎨-≥⎩( 数列{}n a 的前n 项的和为12n n s a a a =+++).40.等差数列的通项公式*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈；其前n 项和公式为1()2n n n a a s +=1(1)2n n na d -=+ 211()22d n a d n =+-. 41.等比数列的通项公式1*11()n nn a a a q q n N q-==⋅∈； 其前n 项的和公式为11(1),11,1n n a q q s q na q ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩或11,11,1n n a a qq q s na q -⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩.42.等比差数列{}n a :11,(0)n n a qa d a b q +=+=≠的通项公式为1(1),1(),11n n n b n d q a bq d b q d q q -+-=⎧⎪=+--⎨≠⎪-⎩；其前n 项和公式为(1),(1)1(),(1)111n n nb n n d q s d q db n q q q q +-=⎧⎪=-⎨-+≠⎪---⎩. 43.分期付款(按揭贷款)每次还款(1)(1)1nnab b x b +=+-元(贷款a 元,n 次还清,每期利率为b ). 44．常见三角不等式 （1）若(0,)2x π∈，则sin tan x x x <<.(2) 若(0,)2x π∈，则1sin cos x x <+≤(3) |sin ||cos |1x x +≥.45.同角三角函数的基本关系式22sin cos 1θθ+=，tan θ=θθcos sin ，tan 1cot θθ⋅=. 46.正弦、余弦的诱导公式212(1)sin ,sin()2(1)s ,nn n co απαα-⎧-⎪+=⎨⎪-⎩212(1)s ,s()2(1)sin ,nn co n co απαα+⎧-⎪+=⎨⎪-⎩47.和角与差角公式sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=;tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=.22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-=-(平方正弦公式); 22cos()cos()cos sin αβαβαβ+-=-.sin cos a b αα+=)αϕ+(辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan baϕ= ).48.二倍角公式sin22sin cos ααα=.2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-.22tan tan 21tan ααα=-. 49. 三倍角公式3sin 33sin 4sin 4sin sin()sin()33ππθθθθθθ=-=-+.3cos34cos 3cos 4cos cos()cos()33ππθθθθθθ=-=-+.323tan tan tan 3tan tan()tan()13tan 33θθππθθθθθ-==-+-.50.三角函数的周期公式函数sin()y x ωϕ=+，x ∈R 及函数cos()y x ωϕ=+，x ∈R(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期2T πω=；函数tan()y x ωϕ=+，,2x k k Z ππ≠+∈(A,ω,ϕ为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T πω=.51.正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===. 52.余弦定理2222cos a b c bc A =+-; 2222cos b c a ca B =+-; 2222cos c a b ab C =+-.53.面积定理（1）111222a b c S ah bh ch ===（a b c h h h 、、分别表示a 、b 、c 边上的高）. （2）111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===.(3)22(||||)()OAB S OA OB OA OB ∆=⋅-⋅.54.三角形内角和定理在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=⇔=-+222C A Bπ+⇔=-222()C A B π⇔=-+. 55. 简单的三角方程的通解sin (1)arcsin (,||1)kx a x k a k Z a π=⇔=+-∈≤. s 2arccos (,||1)co x a x k a k Z a π=⇔=±∈≤.tan arctan (,)x a x k a k Z a R π=⇒=+∈∈.特别地,有sin sin (1)()k k k Z αβαπβ=⇔=+-∈.s cos 2()co k k Z αβαπβ=⇔=±∈.tan tan ()k k Z αβαπβ=⇒=+∈.56.最简单的三角不等式及其解集sin (||1)(2arcsin ,2arcsin ),x a a x k a k a k Z πππ>≤⇔∈++-∈.sin (||1)(2arcsin ,2arcsin ),x a a x k a k a k Z πππ<≤⇔∈--+∈. cos (||1)(2arccos ,2arccos ),x a a x k a k a k Z ππ>≤⇔∈-+∈.cos (||1)(2arccos ,22arccos ),x a a x k a k a k Z πππ<≤⇔∈++-∈.tan ()(arctan ,),2x a a R x k a k k Z πππ>∈⇒∈++∈.tan ()(,arctan ),2x a a R x k k a k Z πππ<∈⇒∈-+∈.57.实数与向量的积的运算律 设λ、μ为实数，那么(1) 结合律：λ(μa )=(λμ)a ; (2)第一分配律：(λ+μ)a =λa +μa; (3)第二分配律：λ(a +b )=λa +λb . 58.向量的数量积的运算律： (1) a ·b= b ·a （交换律）; (2)（λa ）·b= λ（a ·b ）=λa ·b = a ·（λb ）; (3)（a +b ）·c= a ·c +b ·c. 59.平面向量基本定理如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e 1+λ2e 2．不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 60．向量平行的坐标表示设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则a b(b ≠0)12210x y x y ⇔-=. 53. a 与b 的数量积(或内积) a ·b =|a ||b |cos θ． 61. a ·b 的几何意义数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积． 62.平面向量的坐标运算(1)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a+b=1212(,)x x y y ++.(2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a-b=1212(,)x x y y --. (3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--.(4)设a =(,),x y R λ∈，则λa=(,)x y λλ.(5)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a ·b=1212()x x y y +. 63.两向量的夹角公式cos θ=(a =11(,)x y ,b =22(,)x y ).64.平面两点间的距离公式 ,A B d=||AB AB AB =⋅=11(,)x y ，B 22(,)x y ).65.向量的平行与垂直设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则 A ||b ⇔b =λa 12210x y x y ⇔-=. a ⊥b(a ≠0)⇔a ·b=012120x x y y ⇔+=. 66.线段的定比分公式设111(,)P x y ，222(,)P x y ，(,)P x y 是线段12P P 的分点,λ是实数，且12PP PP λ=，则121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩⇔121OP OP OP λλ+=+ ⇔12(1)OP tOP t OP =+-（11t λ=+）. 67.三角形的重心坐标公式△ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC 的重心的坐标是123123(,)33x x x y y y G ++++. 68.点的平移公式''''x x h x x h y y k y y k⎧⎧=+=-⎪⎪⇔⎨⎨=+=-⎪⎪⎩⎩''OP OP PP ⇔=+ . 注:图形F 上的任意一点P(x ，y)在平移后图形'F 上的对应点为'''(,)P x y ，且'PP 的坐标为(,)h k .69.“按向量平移”的几个结论（1）点(,)P x y 按向量a =(,)h k 平移后得到点'(,)P x h y k ++.(2) 函数()y f x =的图象C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的函数解析式为()y f x h k =-+.(3) 图象'C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象C ,若C 的解析式()y f x =,则'C 的函数解析式为()y f x h k =+-.(4)曲线C :(,)0f x y =按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的方程为(,)0f x h y k --=.(5) 向量m =(,)x y 按向量a =(,)h k 平移后得到的向量仍然为m =(,)x y .70. 三角形五“心”向量形式的充要条件设O 为ABC ∆所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则 （1）O 为ABC ∆的外心222OA OB OC ⇔==. （2）O 为ABC ∆的重心0OA OB OC ⇔++=.（3）O 为ABC ∆的垂心OA OB OB OC OC OA ⇔⋅=⋅=⋅. （4）O 为ABC ∆的内心0aOA bOB cOC ⇔++=. （5）O 为ABC ∆的A ∠的旁心aOA bOB cOC ⇔=+. 71.常用不等式：（1）,a b R ∈⇒222a b ab +≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．（2）,a b R +∈⇒2a b+≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)． （3）3333(0,0,0).a b c abc a b c ++≥>>>（4）柯西不等式22222()()(),,,,.a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈（5）b a b a b a +≤+≤-. 72.极值定理已知y x ,都是正数，则有（1）若积xy 是定值p ，则当y x =时和y x +有最小值p 2； （2）若和y x +是定值s ，则当y x =时积xy 有最大值241s . 推广 已知R y x ∈,，则有xy y x y x 2)()(22+-=+ （1）若积xy 是定值,则当||y x -最大时,||y x +最大； 当||y x -最小时,||y x +最小.（2）若和||y x +是定值,则当||y x -最大时, ||xy 最小； 当||y x -最小时, ||xy 最大.73.一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或2(0,40)a b ac ≠∆=->，如果a 与2ax bx c ++同号，则其解集在两根之外；如果a 与2ax bx c ++异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.121212()()0()x x x x x x x x x <<⇔--<<； 121212,()()0()x x x x x x x x x x <>⇔--><或.74.含有绝对值的不等式 当a> 0时，有22x a x a a x a <⇔<⇔-<<.22x a x a x a >⇔>⇔>或x a <-.75.无理不等式 （1()0()0()()f x g x f x g x ≥⎧⎪>⇔≥⎨⎪>⎩. （22()0()0()()0()0()[()]f x f x g x g x g x f x g x ≥⎧≥⎧⎪>⇔≥⎨⎨<⎩⎪>⎩或. （32()0()()0()[()]f x g x g x f x g x ≥⎧⎪<⇔>⎨⎪<⎩. 76.指数不等式与对数不等式 (1)当1a >时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔>;()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩.(2)当01a <<时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔<;()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩77.斜率公式2121y y k x x -=-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）.78.直线的五种方程（1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )． （2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距).（3）两点式112121y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)).(4)截距式 1x ya b+=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、)（5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0).79.两条直线的平行和垂直(1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ①121212||,l l k k b b ⇔=≠; ②12121l l k k ⊥⇔=-.(2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零, ①11112222||A B C l l A B C ⇔=≠；②1212120l l A A B B ⊥⇔+=； 80.夹角公式 (1)2121tan ||1k k k k α-=+.(111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-)(2)12211212tan ||A B A B A A B B α-=+.(1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠).直线12l l ⊥时，直线l 1与l 2的夹角是2π. 81. 1l 到2l 的角公式(1)2121tan 1k k k k α-=+.(111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-)(2)12211212tan A B A B A A B B α-=+.(1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠).直线12l l ⊥时，直线l 1到l 2的角是2π. 82．四种常用直线系方程(1)定点直线系方程：经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()y y k x x -=-(除直线0x x =),其中k 是待定的系数; 经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()()0A x x B y y -+-=,其中,A B 是待定的系数．(2)共点直线系方程：经过两直线1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=的交点的直线系方程为111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=(除2l )，其中λ是待定的系数．(3)平行直线系方程：直线y kx b =+中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程．与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程是0Ax By λ++=(0λ≠)，λ是参变量．(4)垂直直线系方程：与直线0Ax By C ++= (A ≠0，B ≠0)垂直的直线系方程是0Bx Ay λ-+=,λ是参变量．83.点到直线的距离d =(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=).84. 0Ax By C ++>或0<所表示的平面区域设直线:0l Ax By C ++=，则0Ax By C ++>或0<所表示的平面区域是： 若0B ≠，当B 与Ax By C ++同号时，表示直线l 的上方的区域；当B 与Ax By C ++异号时，表示直线l 的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下. 若0B =，当A 与Ax By C ++同号时，表示直线l 的右方的区域；当A 与Ax By C ++异号时，表示直线l 的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左.85. 111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或0<所表示的平面区域设曲线111222:()()0C A x B y C A x B y C ++++=（12120A A B B ≠），则111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或0<所表示的平面区域是： 111222()()0A x B y C A x B y C ++++>所表示的平面区域上下两部分； 111222()()0A x B y C A x B y C ++++<所表示的平面区域上下两部分.86. 圆的四种方程（1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=.（2）圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0).（3）圆的参数方程 cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩.（4）圆的直径式方程 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=(圆的直径的端点是11(,)A x y 、22(,)B x y ).87. 圆系方程(1)过点11(,)A x y ,22(,)B x y 的圆系方程是1212112112()()()()[()()()()]0x x x x y y y y x x y y y y x x λ--+--+-----= 1212()()()()()0x x x x y y y y ax by c λ⇔--+--+++=,其中0ax by c ++=是直线AB 的方程,λ是待定的系数．(2)过直线l :0Ax By C ++=与圆C :220x y Dx Ey F ++++=的交点的圆系方程是22()0x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=,λ是待定的系数．(3) 过圆1C :221110x y D x E y F ++++=与圆2C :222220x y D x E y F ++++=的交点的圆系方程是2222111222()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=,λ是待定的系数．88.点与圆的位置关系点00(,)P x y 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种若d =d r >⇔点P 在圆外;d r =⇔点P 在圆上;d r <⇔点P 在圆内.89.直线与圆的位置关系直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:0<∆⇔⇔>相离r d ; 0=∆⇔⇔=相切r d ; 0>∆⇔⇔<相交r d .其中22BA C Bb Aa d +++=.90.两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21条公切线外离421⇔⇔+>r r d ; 条公切线外切321⇔⇔+=r r d ;条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ; 条公切线内切121⇔⇔-=r r d ; 无公切线内含⇔⇔-<<210r r d .91.圆的切线方程(1)已知圆220x y Dx Ey F ++++=．①若已知切点00(,)x y 在圆上，则切线只有一条，其方程是0000()()022D x xE y y x x y yF ++++++=. 当00(,)x y 圆外时, 0000()()022D x xE y y x x y yF ++++++=表示过两个切点的切点弦方程．②过圆外一点的切线方程可设为00()y y k x x -=-，再利用相切条件求k ，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y 轴的切线．③斜率为k 的切线方程可设为y kx b =+，再利用相切条件求b ，必有两条切线．(2)已知圆222x y r +=．①过圆上的000(,)P x y 点的切线方程为200x x y y r +=;②斜率为k 的圆的切线方程为y kx =±.92.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的参数方程是cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩.93.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>焦半径公式)(21c a x e PF +=，)(22x ca e PF -=.94．椭圆的的内外部（1）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的内部2200221x y a b ⇔+<. （2）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的外部2200221x y a b ⇔+>. 95. 椭圆的切线方程(1)椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y ya b +=.（2）过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y ya b+=. （3）椭圆22221(0)x y a b a b+=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A a B b c +=.96.双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的焦半径公式21|()|a PF e x c =+，22|()|a PF e x c=-.97.双曲线的内外部(1)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ⇔->. (2)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的外部2200221x y a b⇔-<.98.双曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为12222=-b y a x ⇒渐近线方程：22220x y a b -=⇔x aby ±=.(2)若渐近线方程为x aby ±=⇔0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222b y a x .(3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222by a x （0>λ，焦点在x轴上，0<λ，焦点在y 轴上）.99. 双曲线的切线方程(1)双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y ya b -=.（2）过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y ya b-=. （3）双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A a B b c -=.100. 抛物线px y 22=的焦半径公式抛物线22(0)y px p =>焦半径02p CF x =+.过焦点弦长p x x px p x CD ++=+++=212122.101.抛物线px y 22=上的动点可设为P ),2(2 y py 或或)2,2(2pt pt P P (,)x y ，其中22y px =.102.二次函数2224()24b ac b y ax bx c a x a a-=++=++(0)a ≠的图象是抛物线：（1）顶点坐标为24(,)24b ac b a a --；（2）焦点的坐标为241(,)24b ac b a a-+-；（3）准线方程是2414ac b y a--=.103.抛物线的内外部(1)点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =>的内部22(0)y px p ⇔<>. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =>的外部22(0)y px p ⇔>>. (2)点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =->的内部22(0)y px p ⇔<->. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =->的外部22(0)y px p ⇔>->. (3)点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的内部22(0)x py p ⇔<>. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的外部22(0)x py p ⇔>>. (4) 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的内部22(0)x py p ⇔<>. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =->的外部22(0)x py p ⇔>->.104. 抛物线的切线方程(1)抛物线px y 22=上一点00(,)P x y 处的切线方程是00()y y p x x =+.（2）过抛物线px y 22=外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00()y y p x x =+.（3）抛物线22(0)y px p =>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22pB AC =.105.两个常见的曲线系方程(1)过曲线1(,)0f x y =,2(,)0f x y =的交点的曲线系方程是12(,)(,)0f x y f x y λ+=(λ为参数).(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程22221x y a k b k+=--,其中22max{,}k a b <.当22min{,}k a b >时,表示椭圆; 当2222min{,}max{,}a b k a b <<时,表示双曲线.106.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB =1212|||AB x x y y ==-=-（弦端点A ),(),,(2211y xB y x ，由方程⎩⎨⎧=+=0)y ,x (F b kx y 消去y 得到02=++c bx ax ，0∆>,α为直线AB 的倾斜角，k 为直线的斜率）.107.圆锥曲线的两类对称问题（1）曲线(,)0F x y =关于点00(,)P x y 成中心对称的曲线是00(2-,2)0F x x y y -=. （2）曲线(,)0F x y =关于直线0Ax By C ++=成轴对称的曲线是22222()2()(,)0A Ax By C B Ax By C F x y A B A B++++--=++. 108.“四线”一方程对于一般的二次曲线220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=，用0x x 代2x ，用0y y 代2y ，用002x y xy +代xy ，用02x x +代x ，用02y y+代y 即得方程0000000222x y xy x x y yAx x B Cy y D E F ++++⋅++⋅+⋅+=，曲线的切线，切点弦，中点弦，弦中点方程均是此方程得到.109．证明直线与直线的平行的思考途径 （1）转化为判定共面二直线无交点； （2）转化为二直线同与第三条直线平行； （3）转化为线面平行； （4）转化为线面垂直； （5）转化为面面平行.110．证明直线与平面的平行的思考途径 （1）转化为直线与平面无公共点； （2）转化为线线平行； （3）转化为面面平行.111．证明平面与平面平行的思考途径 （1）转化为判定二平面无公共点； （2）转化为线面平行； （3）转化为线面垂直.112．证明直线与直线的垂直的思考途径 （1）转化为相交垂直； （2）转化为线面垂直；（3）转化为线与另一线的射影垂直； （4）转化为线与形成射影的斜线垂直. 113．证明直线与平面垂直的思考途径（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直； （2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直； （3）转化为该直线与平面的一条垂线平行； （4）转化为该直线垂直于另一个平行平面； （5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 114．证明平面与平面的垂直的思考途径 （1）转化为判断二面角是直二面角； （2）转化为线面垂直.115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 (1)加法交换律：a ＋b =b ＋a ．(2)加法结合律：(a ＋b )＋c =a ＋(b ＋c )． (3)数乘分配律：λ(a ＋b )=λa ＋λb ．116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广 始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量.117.共线向量定理对空间任意两个向量a 、b (b ≠0 )，a ∥b ⇔存在实数λ使a =λb ．P A B 、、三点共线⇔||AP AB ⇔AP t AB =⇔(1)OP t OA tOB =-+.||AB CD ⇔AB 、CD 共线且AB CD 、不共线⇔AB tCD =且AB CD 、不共线.118.共面向量定理向量p 与两个不共线的向量a 、b 共面的⇔存在实数对,x y ,使p ax by =+． 推论 空间一点P 位于平面MAB 内的⇔存在有序实数对,x y ,使MP xMA yMB =+， 或对空间任一定点O ，有序实数对,x y ，使OP OM xMA yMB =++.119.对空间任一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，满足OP xOA yOB zOC =++（x y z k ++=），则当1k =时，对于空间任一点O ，总有P 、A 、B 、C 四点共面；当1k ≠时，若O ∈平面ABC ，则P 、A 、B 、C 四点共面；若O ∉平面ABC ，则P 、A 、B 、C 四点不共面．C A B 、、、D 四点共面⇔AD 与AB 、AC 共面⇔AD x AB y AC =+⇔(1)OD x y OA xOB yOC =--++（O ∉平面ABC ）.120.空间向量基本定理如果三个向量a 、b 、c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组x ，y ，z ，使p ＝x a ＋y b ＋z c ．推论 设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数x ，y ，z ，使OP xOA yOB zOC =++.121.射影公式已知向量AB =a 和轴l ，e 是l 上与l 同方向的单位向量.作A 点在l 上的射影'A ，作B 点在l 上的射影'B ，则''||cos A B AB =〈a ，e 〉=a ·e122.向量的直角坐标运算设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b 则 (1)a ＋b ＝112233(,,)a b a b a b +++； (2)a －b ＝112233(,,)a b a b a b ---；(3)λa ＝123(,,)a a a λλλ (λ∈R)； (4)a ·b ＝112233a b a b a b ++； 123.设A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则AB OB OA =-= 212121(,,)x x y y z z ---.124．空间的线线平行或垂直设111(,,)a x y z =，222(,,)b x y z =，则a b ⇔(0)a b b λ=≠⇔121212x x y y z zλλλ=⎧⎪=⎨⎪=⎩；a b ⊥⇔0a b ⋅=⇔1212120x x y y z z ++=.125.夹角公式设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则 cos 〈a ，b 〉.推论 2222222112233123123()()()a b a b a b a a a b b b ++≤++++，此即三维柯西不等式.126. 四面体的对棱所成的角四面体ABCD 中, AC 与BD 所成的角为θ,则2222|()()|cos 2AB CD BC DA AC BDθ+-+=⋅.127．异面直线所成角cos |cos ,|a b θ==21||||||a b a b x ⋅=⋅+（其中θ（090θ<≤）为异面直线a b ,所成角，,a b 分别表示异面直线a b ,的方向向量）128.直线AB 与平面所成角sin||||AB marc AB m β⋅=(m 为平面α的法向量).129.若ABC ∆所在平面若β与过若AB 的平面α成的角θ,另两边AC ,BC 与平面α成的角分别是1θ、2θ,A B 、为ABC ∆的两个内角，则2222212sin sin (sin sin )sin A B θθθ+=+.特别地,当90ACB ∠=时,有22212sin sin sin θθθ+=.130.若ABC ∆所在平面若β与过若AB 的平面α成的角θ,另两边AC ,BC 与平面α成的角分别是1θ、2θ,''A B 、为ABO ∆的两个内角，则222'2'212tan tan (sin sin )tan A B θθθ+=+.特别地,当90AOB ∠=时,有22212sin sin sin θθθ+=. 131.二面角l αβ--的平面角cos||||m n arc m n θ⋅=或cos ||||m narc m n π⋅-（m ，n 为平面α，β的法向量）.132.三余弦定理设AC 是α内的任一条直线，且BC ⊥AC ，垂足为C ，又设AO 与AB 所成的角为1θ，AB 与AC 所成的角为2θ，AO 与AC 所成的角为θ．则12cos cos cos θθθ=.133. 三射线定理若夹在平面角为ϕ的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是1θ,2θ,与二面角的棱所成的角是θ，则有22221212sin sin sin sin 2sin sin cos ϕθθθθθϕ=+- ;1212||180()θθϕθθ-≤≤-+(当且仅当90θ=时等号成立).134.空间两点间的距离公式若A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则,A B d =||AB AB AB =⋅=135.点Q 到直线l 距离h =(点P 在直线l 上，直线l 的方向向量a =PA ，向量b =PQ ).136.异面直线间的距离||||CD n d n ⋅=(12,l l 是两异面直线，其公垂向量为n ，C D 、分别是12,l l 上任一点，d 为12,l l 间的距离).137.点B 到平面α的距离||||AB n d n ⋅=（n 为平面α的法向量，AB 是经过面α的一条斜线，A α∈）. 138.异面直线上两点距离公式2cos d mn θ=.',d EA AF =.d =（'E AA F ϕ=--）.(两条异面直线a 、b 所成的角为θ，其公垂线段'AA 的长度为h.在直线a 、b 上分别取两点E 、F ，'A E m =,AF n =,EF d =). 139.三个向量和的平方公式2222()222a b c a b c a b b c c a ++=+++⋅+⋅+⋅2222||||cos ,2||||cos ,2||||cos ,a b c a b a b b c b c c a c a =+++⋅+⋅+⋅140. 长度为l 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为123l l l 、、，夹角分别为123θθθ、、,则有2222123l l l l =++222123cos cos cos 1θθθ⇔++=222123sin sin sin 2θθθ⇔++=.（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.141. 面积射影定理'cos S S θ=.(平面多边形及其射影的面积分别是S 、'S ，它们所在平面所成锐二面角的为θ). 142. 斜棱柱的直截面已知斜棱柱的侧棱长是l ,侧面积和体积分别是S 斜棱柱侧和V 斜棱柱,它的直截面的周长和面积分别是1c 和1S ,则①1S c l =斜棱柱侧. ②1V S l =斜棱柱.143．作截面的依据三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行. 144．棱锥的平行截面的性质如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比．145.欧拉定理(欧拉公式)2V F E +-=(简单多面体的顶点数V 、棱数E 和面数F).（1）E =各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为n 的多边形，则面数F 与棱数E 的关系：12E nF =； （2）若每个顶点引出的棱数为m ，则顶点数V 与棱数E 的关系：12E mV =. 146.球的半径是R ，则其体积343V R π=, 其表面积24S R π=．147.球的组合体(1)球与长方体的组合体:长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. (3) 球与正四面体的组合体:棱长为a ,. 148．柱体、锥体的体积13V Sh =柱体（S 是柱体的底面积、h 是柱体的高）.13V Sh =锥体（S 是锥体的底面积、h 是锥体的高）.149.分类计数原理（加法原理） 12n N m m m =+++. 150.分步计数原理（乘法原理） 12n N m m m =⨯⨯⨯. 151.排列数公式m n A =)1()1(+--m n n n =！！)(m n n -.(n ，m ∈N *，且m n ≤)．注:规定1!0=.152.排列恒等式(1）1(1)m m n n A n m A -=-+;（2）1mmn n n A A n m -=-; （3）11m m n n A nA --=;（4）11n n nn n n nA A A ++=-; （5）11m m m n n n A A mA -+=+.(6) 1!22!33!!(1)!1n n n +⋅+⋅++⋅=+-.153.组合数公式m nC =m n m mA A =m m n n n ⨯⨯⨯+-- 21)1()1(=！！！)(m n m n -⋅(n ∈N *，m N ∈，且m n ≤).154.组合数的两个性质 (1)mn C =mn nC - ; (2) m n C +1-m nC =mn C 1+.注:规定10=n C .155.组合恒等式（1）11mm n n n m C C m --+=; （2）1m mn n n C C n m -=-;（3）11mm n n n C C m--=;（4）∑=nr r nC0=n2;（5）1121++++=++++r n r n r r r r r rC C C C C . (6)nn n r n n n n C C C C C 2210=++++++ . (7)14205312-+++=+++n n n n n n n C C C C C C . (8)1321232-=++++n n n n n n n nC C C C . (9)rn m r n r m n r m n r m C C C C C C C +-=+++0110 . (10)nn n n n n n C C C C C 22222120)()()()(=++++ .156.排列数与组合数的关系m m n n A m C =⋅！ .157．单条件排列以下各条的大前提是从n 个元素中取m 个元素的排列. （1）“在位”与“不在位”①某（特）元必在某位有11--m n A 种；②某（特）元不在某位有11---m n m n A A （补集思想）1111---=m n n A A （着眼位置）11111----+=m n m m n A A A （着眼元素）种.（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）①定位紧贴：)(n m k k ≤≤个元在固定位的排列有km k n k k A A --种.②浮动紧贴：n 个元素的全排列把k 个元排在一起的排法有kk k n k n A A 11+-+-种.注：此类问题常用捆绑法；③插空：两组元素分别有k 、h 个（1+≤h k ），把它们合在一起来作全排列，k 个的一组互不能挨近的所有排列数有kh hh A A 1+种.（3）两组元素各相同的插空m 个大球n 个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？当1+>m n 时，无解；当1+≤m n 时，有n m n nn m C A A 11++=种排法.（4）两组相同元素的排列：两组元素有m 个和n 个，各组元素分别相同的排列数为nn m C +. 158．分配问题（1）(平均分组有归属问题)将相异的m 、n 个物件等分给m 个人，各得n 件，其分配方法数共有mnn nn nn mn nn mn nmn n mn C C C C C N )!()!(22=⋅⋅⋅⋅⋅=-- . （2）(平均分组无归属问题)将相异的m ·n 个物体等分为无记号或无顺序的m 堆，其分配方法数共有mn nn n n n mn n n mn n mn n m mn m C C C C C N )!(!)!(!...22=⋅⋅⋅⋅=--.（3）(非平均分组有归属问题)将相异的)12m P(P=n +n ++n 个物体分给m 个人，物件必须被分完，分别得到1n ，2n ，…，m n 件，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数彼此不相等，则其分配方法数共有!!...!!!! (212)11m n n n n p n p n n n m p m C C C N m m =⋅⋅=-.（4）(非完全平均分组有归属问题)将相异的)12m P(P=n +n ++n 个物体分给m 个人，物件必须被分完，分别得到1n ，2n ，…，m n 件，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数中分别有a 、b 、c 、…个相等，则其分配方法数有!...!!!...211c b a m C C C N m m n n n n p n p ⋅⋅=- 12!!!!...!(!!!...)m p m n n n a b c =.（5）(非平均分组无归属问题)将相异的)12m P(P=n +n ++n 个物体分为任意的1n ，2n ，…，m n 件无记号的m 堆，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数彼此不相等，则其分配方法数有!!...!!21m n n n p N =.（6）(非完全平均分组无归属问题)将相异的)12m P(P=n +n ++n 个物体分为任意的1n ，2n ，…，m n 件无记号的m 堆，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数中分别有a 、b 、c 、…个相等，则其分配方法数有!...)!!(!!...!!21c b a n n n p N m =.（7）(限定分组有归属问题)将相异的p （2m p n n n =1+++）个物体分给甲、乙、丙，……等m 个人，物体必须被分完，如果指定甲得1n 件，乙得2n 件，丙得3n 件，…时，则无论1n ，2n ，…，m n 等m 个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有!!...!!...21211m n n n n p n p n n n p C C C N m m =⋅=-.159．“错位问题”及其推广。
高考数学公式归纳总结
高考数学公式归纳总结1. 函数相关公式平面直角坐标系中，若函数y=f(x)与x轴交点为(x0,0)，则点(x0,f(x0))为该函数的一个零点。
极坐标系中，若函数r=f(θ)，则点(P(x,y))满足以下关系：x=r*cosθ, y=r*sinθ。
2. 三角函数相关公式sin(a±b)=sinacosb±cosasinbcos(a±b)=cosacosb∓sinasinbtan(a±b)=tanatanb∓1tanatanbsin2a=2sinacosasinbcos2a=cos²a-sin²atan2a=2tanatanb1−tan²a3. 导数相关公式一阶导数：(a^n)′=nan-1，(sinx)′=cosx，(cosx)′=-sinx，(e^x)′=e^x，(lnx)′=1/x 二阶导数：(a^n)′′=n(n-1)a^n-2，(sinx)′′=-sinx，(cosx)′′=-cosx，(e^x)′′=e^x，(lnx)′′=-1/x²高阶导数：用连续求导法则可得到。
4. 极限相关公式(a)极限的四则运算法则：①如果limf(x)=A，g(x)不等于0，那么limf(x)/g(x)=A/limg(x)②如果limf(x)=A, limg(x)=B，那么limf(x)±g(x)=A±B③如果limf(x)=A，那么limkf(x)=kA④如果limf(x)=0，那么lim1/f(x)=±∞⑤如果limf(x)=∞，那么lim1/f(x)=0(b)重要极限①lim(1+x)^1/x=e②lim(1+x/n)^n=e^x③lim(1/n)=0④lim(1-x^n)/(1-x)=n (x≠1)5. 概率相关公式(a)基本概率公式P(A)=N(A)/N(S)其中，P(A)表示事件A发生的概率；N(A)表示事件A包含的基本事件数；N(S)表示样本空间中基本事件的总数。
高考数学公式理科总结
高考数学公式理科总结高考数学公式理科总结数学作为高考的一门科目，深受大多数理科生的青睐。
因为无论是数学的思维锻炼还是需要掌握的数学公式，都是高考备考不可或缺的一部分。
今天，我们就来总结一下理科数学中常用的数学公式及其应用。
一、代数部分1.一元二次方程公式：ax²+bx+c=0，求根公式为x=（-b±√b²-4ac）/2a。
应用：用于求解一元二次方程，例如求解公路修建所需要的材料和成本等。
2.等比数列公式：an=a1q^(n-1)（其中a1为首项，q为公比，an为第n项）。
应用：用于解决各种与成长或增长相关的问题，如人口增长、利润的增长等。
3.排列组合公式：排列公式为A(n,m)=n!/(n-m)!，组合公式为C(n,m)=n!/m!(n-m)!。
应用：用于处理不同的复杂问题，例如排列组合问题、选择问题、不重复随机抽样问题等。
二、几何部分1.三角函数公式：sinθ=对边/斜边，cosθ=邻边/斜边，tanθ=对边/邻边。
应用：用于三角函数问题，例如角度求解、三角函数值等。
2.圆公式：圆的面积公式为A=πr²，圆的周长公式为C=2πr。
应用：用于解决圆形问题，例如圆周运动、圆的切线、圆的切点等。
3.立体几何公式：三棱锥表面积公式为S=ab+a√(a²+b²+c²-2abcosA)，三棱锥体积公式为V=1/3abh。
应用：用于解决空间几何问题，例如三棱锥表面积和体积的计算等。
三、概率统计部分1.样本调查公式：样本调查中常用的统计量有平均数、中位数、众数、方差、标准差、相关系数、回归方程等。
应用：用于处理随机事件、样本调查、统计数据等问题。
2.基本概率公式：P(A)=m/n，其中m表示事件A的样本点个数，n表示整个样本点个数。
应用：用于基本的统计概率问题，例如计算事件发生的概率等。
3.正态分布公式：正态分布的概率密度函数为f(x)=1/σ√2πexp(-(x-μ)²/(2σ²))。
高考数学知识点总结及公式大全
高考数学知识点总结及公式大全《高考数学知识点总结及公式大全》一、函数与方程1. 一次函数- 方程：y = ax + b- 直线的斜率公式：a = Δy / Δx- 直线的截距公式：b = y - ax2. 二次函数- 方程：y = ax^2 + bx + c- 抛物线的顶点坐标公式：(h, k) = (-b / (2a), c - b^2 / (4a))3. 三角函数- 正弦函数：y = sin(x)- 余弦函数：y = cos(x)- 正切函数：y = tan(x)- 三角函数间的关系：sin^2(x) + cos^2(x) = 14. 指数函数与对数函数- 指数函数：y = a^x- 对数函数：y = loga(x)- 对数运算法则：loga(m * n) = loga(m) + loga(n)5. 不等式- 线性不等式：ax + b > 0- 二次不等式：ax^2 + bx + c > 0二、解析几何1. 直线与曲线- 一次函数的图像是一条直线- 二次函数的图像是一个抛物线2. 二维坐标系- 直角坐标系：以x轴和y轴为基准构建的坐标系- 极坐标系：以原点O和角度θ为基准构建的坐标系3. 几何图形- 圆：由所有与一个点的距离相等的点所组成的图形- 圆柱体：由一个圆沿着一条平行于其平面的直线旋转一周形成的立体图形三、概率与统计1. 概率- 事件的概率：P(A) = n(A) / n(S)- 互斥事件：P(A ∩ B) = 0- 独立事件：P(A ∩ B) = P(A)P(B)2. 统计- 平均数：A = (x1 + x2 + ... + xn) / n- 方差：Var(X) = (x1^2 + x2^2 + ... + xn^2) / n - (A)^2- 标准差：σ = √[ (x1 - A)^2 + (x2 - A)^2 + ... + (xn - A)^2 / n ]四、解题技巧1. 代入法：将未知数用已知条件中的数进行代入，并求解方程。
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高考理科常用数学公式总结1. 德摩根公式: ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==.2. U U A B A A B B A B C B C A =⇔=⇔⊆⇔⊆U A C B ⇔=Φ3.()()card A B cardA cardB card A B =+-含有n 个元素的集合的子集个数为2n,真子集个数为21n-.4. 二次函数的解析式的三种形式: ①一般式:2()(0)f x ax bx c a =++≠;② 顶点式:2()()(0)f x a x h k a =-+≠;③零点式:12()()()(0)f x a x x x x a =--≠.5. 函数单调性：设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]1212()()0(),f x f x f x a b x x ->⇔-在上是增函数；[]1212()()()0x x f x f x --<⇔[]1212()()0(),f x f x f x a b x x -<⇔-在上是减函数.设函数)(x f y =在某个区间D 内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数. 6. 函数()y f x =的图象的对称性:奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于y 轴对称.① 函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ⇔+=-(2)()f a x f x ⇔-=. ②函数()y f x =的图象关于直线2a bx +=对称()()f a x f b x ⇔+=-()()f a b x f x ⇔+-=. ③函数()y f x =的图象关于点(,)a b 对称,则()(2)2f x f a x b +-=.7. 两个函数图象间的对称性:① 函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称.② 函数()y f x =与函数()y f x =--的图象关于原点对称.③ 函数()y f x a =-与函数()y f b x =-的图象关于直线2a bx +=对称.8. 分数指数幂mn a =0,,a m n N *>∈，且1n >）.1m n m na a -=（0,,a m n N *>∈，且1n >）.9. log (0,1,0)ba Nb a N a a N =⇔=>≠>.10.log log log ,log log log aa a a a aM M N MN M N N+=-=,log log na a M n M =,对数的换底公式log log log m a m N N a=.推论log log m n a a nb b m=. 11log log log aa aN N N ==-.11.11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩( 数列{}n a 的前n 项的和为12n n S a a a =+++). 12. 等差数列的通项公式*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈；其前n 项和公式1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+211()22d n a d n =+-.13. 等比数列的通项公式1*11()n n n a a a qq n N q-==⋅∈； 其前n 项的和公式11(1),11,1n n a q q S q na q ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩或11,11,1n n a a qq q S na q -⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩.14. 等比差数列{}n a :11,(0)n n a qa d a b q +=+=≠的通项公式为:1(1),1(),11n n n b n d q a bq d b q d q q -+-=⎧⎪=+--⎨≠⎪-⎩；其前n 项和公式为(1),11(),1111n n nb n n d q S d q db n q q q q +-=⎧⎪=-⎨-+≠⎪---⎩. 15. 分期付款(按揭贷款) 每次还款(1)(1)1nnab b x b +=+-元(贷款a 元,n 次还清,每期利率 为b ).16. 同角三角函数的基本关系式 :22sin cos 1θθ+=，tan θ=θθcos sin ，tan 1cot θθ⋅=.17. 正弦、余弦的诱导公式 把角表示成:,,2πααπα±--,口诀:函数名不变,符号看象限; 把角表示成:3,22ππαα±±,口诀:函数名改变,符号看象限18. 和角与差角公式sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=;tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=.辅助角公式:sin cos a b αα+)αϕ+(辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan baϕ= ).19. 二倍角公式 sin 2sin cos ααα=.2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-.22tan tan 21tan ααα=-. 变形应用: 221cos 22sin ,1cos 22cos αααα-=+=,221sin 2(sin cos ),1sin 2(sin cos )αααααα+=+-=-22(sin cos )(sin cos )2αααα++-=20. 三角函数的周期公式: 函数sin(),y A x x Rωϕ=+∈，及函数cos()y A x ωϕ=+，x R∈(,,A ωϕ为常数，且0,0A ω≠>)的周期2T πω=；函数tan()y A x ωϕ=+，,2x k k Z ππ≠+∈(,,A ωϕ为常数，且0,0A ω≠>)的周期T πω=.函数sin(),y A x x R ωϕ=+∈的对称轴为00,,2x x x k k Z πωϕπ=+=+∈其中;对称中心为00(,0),,x x k k Z ωϕπ+=∈其中;函数cos(),y A x x R ωϕ=+∈的对称轴00,,x x x k k Z ωϕπ=+=∈其中;对称中心为00(,0),,2x x k k Z πωϕπ+=+∈其中;函数tan()y A x ωϕ=+对称中心为00(,0),,x x k k Z ωϕπ+=∈其中.21. 正弦定理:2sin sin sin a b cR A B C===.(其中R 为△ABC 外接圆半径)(注意用于边与角转化)22. 余弦定理: 2222cos a b c bc A =+-;2222cos b c a ca B =+-;2222cos c a b ab C =+-.推论:222222cos ,cos 22b c a a c b A B bc ac +-+-==,222cos 2a b c C ab+-=23. 面积定理 （1）111222a b c Sah bh ch ===（a b c h h h 、、分别表示a 、b 、c 边上的高）. （2）111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===.24. 三角形内角和定理: 在△ABC 中，有()222C A BA B C C A B πππ+++=⇔=-+⇔=-222()C A B π⇔=-+. sin sin(),cos cos()C A B C A B =+=-+,sin cos22C A B+=, sin 2sin 222,22.A B A B A B π=⇒=+=或等 (与三角形有关的恒等变形或者解三角形的题目会用到这些关系) 25. 平面两点间的距离公式,A B d =||AB AB AB =⋅2(x =-A 11(,)x y ，B 22(,)x y ).26. 向量的平行与垂直: 设11(,)a x y =,22(,)b x y =，且0b≠，则22||a a =1212||||cos ,a b a b a b x x y y ⋅=⋅<>=+1221//0a b a b x y x y λ⇔=⇔-=;121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=. 27. 线段的定比分点公式: 设111(,)P x y ，222(,)P x y ，(,)P x y 是线段12PP 的分点,λ是 实数，且12PP PP λ=，则12112212()(,)(,)()x x x x x x y y x x y y y y y y λλλ-=-⎧--=--⇒⎨-=-⎩121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⇒⎨+⎪=⎪+⎩28. 三角形的重心坐标公式: △ABC 三个顶点的坐标分别为11(,)A x y 、22(,)B x y 、33(,)C x y ,则△ABC 的重心的坐标是123123(,)33x x x y y y G ++++. 三角形四心: 重心: 三条中线的交点,线段之比2:1; 垂心: 高的交点;内心: 角平分线的交点,到三边距离相等; 外心: 边的垂直平分线的交点. 29.,,A B C 三点共线,则(1)(1)OA mOB nOC m n OB OC λλ=++==+-其中.30. 基本不等式：（1）,a b R∈⇒222a b ab +≥(当且仅当a b =时取“=”号)．（2）,a b R +∈⇒2a b +≥(当且仅当a b =时取“=”号)．2()2a b ab +≤(和为定值,积有最大值;积为定值,和有最小值)31. 一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或2(0,40)a b ac ≠∆=->，如果a 与2ax bx c ++同号，则其解集在两根之外；如果a 与2ax bx c ++异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间. 32.含有绝对值的不等式: 当0a>时，有22x a x a a x a <⇔<⇔-<<. 22x a x a x a >⇔>⇔>或x a <-.含绝对值问题的处理方法:(1) 定义法: 分情况讨论,去绝对值符号. (2) 公式法: 如||(0)ax b c cax b c ax b c +>>⇒+>+<-或.(3) 几何法: ||x a -表示数轴上的点x 到a 的距离.(4) 平方法: 两边平方去绝对值符号..33. 指数不等式与对数不等式:利用函数单调性转化. (1)当1a >时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔>; ()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩.(2)当01a <<时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔<;()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩34. 直线斜率公式:2121y y k x x -=-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）.斜率的绝对值越大,直线越陡.(一些代数问题可以利用这个公式转化为几何问题,简化解题过程,这是数形结合思想的重要体现)35. 直线的四种方程 （1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )．（2）斜截式y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距).（3）两点式 112121y y x x y y x x --=-- (111(,)P x y 、222(,)P x y ,12x x ≠,12y y ≠).（4）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0).36. 两条直线的平行和垂直（1）若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+①121212//,l l k k b b ⇔=≠; ② 12121l l k k ⊥⇔=-.(2) 若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零,①11112222//A B C l l A B C ⇔=≠；② 1212120l l A A B B ⊥⇔+=. 37. 夹角公式2121tan ||1k kk k α-=+(111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-,)其中α为直线1l 与2l 的夹角,当直线12l l ⊥时，直线l 1与l 2的夹角是2π. 38. 直线系方程:直线11112222:0:0l A x B y C l A x B y C ++=++=与的交点为00(,)P x y ，则直线111222:()0()l A x B y C A x B y C R λλ+++++=∈恒过定点00(,).P x y38. 点到直线的距离公式d =(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=).39. 圆的四种方程 （1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=.（2）圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0).（3）圆的参数方程cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩.(θ为参数) （4）圆的直径式方程 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=(圆的直径的端点是11(,)A x y 、22(,)B x y ).（可利用向量垂直理解之）40. 椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的参数方程是cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩.(θ为参数)43. 抛物线px y 22=上的动点可设为200(,)2y P y p或或)2,2(2pt pt P 00(,)P x y ，其中2002y px =.44. 二次函数2224()24b ac b y ax bx c a x a a-=++=++(0)a ≠的图象是抛物线：顶点坐标为24(,)24b ac b a a--. 45. 直线与圆锥曲线相交的弦长公式:AB =2121||AB x x x x =-=-==（弦的两端点1122(,),(,)A x y B x y ，由方程(,)0y kx m F x y =+⎧⎨=⎩ 消去y 得到02=++c bx ax ，0∆>,α为直线AB 的倾斜角，k 为直线的斜率）.46. 曲线的对称问题：曲线(,)0F x y =关于点00(,)P x y 成中心对称的曲线是00(2,2)0F x x y y --=.47. 共线向量定理 对空间任意两个向量,(0)a b b ≠，//a b ⇔存在实数λ使a b λ=.48. 对空间任一点O 和不共线的三点,,A B C ，满足OP xOA yOB zOC =++，则四点,,,P A B C 共面⇔1x y z ++=．49. 空间两个向量的夹角公式: cos ,a b <>=（其中123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =）. 50. 直线AB 与平面α所成角θ:||sin ||||AB m AB m θ⋅=(m 为平面α的法向量).51. 二面角l αβ--的平面角:θ|||cos |||||m n m n θ⋅=⋅（m ，n 为平面α，β的法向量）.52. 空间两点间的距离公式: 若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则,A B d=||AB AB AB =⋅=.53. 点B 到平面α的距离: ||||AB n d n ⋅=（n 为平面α的法向量，AB 是平面α的一条斜线，且A α∈）.54.2222123l l l l =++222123cos cos cos 1θθθ⇔++=（长度为l 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为123l l l 、、，夹角分 别为123θθθ、、）（立几中长方体对角线长的公式是其特例）.55. 球的半径是R ，则其体积是343V R π=,其表面积是224(2)S R R ππ==． 56. 分类计数原理（加法原理）12n N m m m =+++. 57. 分步计数原理（乘法原理）12n N m m m =⨯⨯⨯.58. 排列数公式m n A =)1()1(+--m n n n =！！)(m n n -.(n ，m N *∈，且m n ≤)．59. 排列数恒等式 （1）1(1)m m n n A n m A -=-+;（2）1m mn n n A A n m-=-;（3）11m m n n A nA --=;（4）11n n n n n n nA A A ++=-;（5）11m m m n n n A A mA -+=+.60.组合数公式m nC=m n mmA A =m m n n n ⨯⨯⨯+-- 21)1()1(=！！！)(m n m n -⋅(n ，m N *∈，且m n ≤). 61. 组合数的两个性质: (1) m n C =m n n C - ; (2) m n C +1-m n C =mn C 1+62. 组合数恒等式（1）11mm nn n m C C m --+=;（2）1m mn n n C C n m-=-; （3）11mm nn n C C m --=; （4）∑=nr r n C 0=n 2;（5）1121++++=++++r n r n r r r r r r C C C C C . 63. 排列数与组合数的关系是：m m mn n m A C A =⋅ .64.二项式定理:nn n r r n r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+--- 222110)( ;二项展开式的通项公式：rr n r n r b a C T -+=1)210(n r ，，， =.65. 古典概型:基本事件的总数包含的基本事件的个数A A P =)( .几何概型:()()()A P A =构成事件的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积66. 互斥事件,A B 分别发生的概率的和()()()p A B P A p B +=+.67.n 个互斥事件分别发生的概率的和1212()()()()n n p A A A P A p A p A +++=+++68. 独立事件,A B 同时发生的概率()()()p A B p A p B ⋅=⋅69. n 个独立事件同时发生的概率1212()()()()n n p A A A P A p A p A ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅．70.n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率()(1).k kn k n n P k C P P -=-71. 在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率：)()()()()|(A P AB P A n AB n A B P ==.如果B 和C 是两个互斥事件，则)|()|()|(A C P A B P A C B P +=72. 离散型随机变量的分布列的两个性质： （1）0(1,2,)i p i ≥=;（2）121n p p p +++=.73. 数学期望:1122n n E x P x P x P ξ=+++.74. 数学期望的性质：（1）()E a b aE b ξξ+=+；（2）若ξ～(,)B n p ，则E np ξ=. 75. 方差()()()2221122n n D x E p x E p x E p ξξξξ=-⋅+-⋅++-⋅76. 标准差σξ=ξD .77. 方差的性质 (1) ()22()D E E ξξξ=-; (2) ()2D a b a D ξξ+=；（3）若ξ～(,)B n p ，则(1)D np p ξ=-.78.)(x f 在0x 处的导数（或变化率）00000()()()limlim x x x x f x x f x yf x y x x=∆→∆→+∆-∆''===∆∆. 79. 瞬时速度00()()()lim limt t s s t t s t s t t tυ∆→∆→∆+∆-'===∆∆. 80. 瞬时加速度00()()()lim limt t v v t t v t a v t t t∆→∆→∆+∆-'===∆∆. 81.)(x f 在),(b a 上的导数()dy df f x y dx dx ''===00()()lim lim x x y f x x f x x x∆→∆→∆+∆-==∆∆.82. 函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率 )(0x f '，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-.83. 几种常见函数的导数 (1) 0='C （C 为常数） (2) '1()()n n x nx n Q -=∈. (3) x x cos )(sin ='. (4) x x sin )(cos -='.(5)x x 1)(ln ='；1(log )ln a x x a'=. (6) x x e e =')(; a a a xx ln )(='.84. 复合函数的求导法则 设函数()u x ϕ=在点x 处有导数''()x u x ϕ=，函数)(u f y =在点x 处的对应点u 处有导数''()u y f u =，则复合函数(())y f x ϕ=在点x 处有导数，且'''x u x y y u =⋅，或写作'''(())()()x f x f u x ϕϕ=.85.,a bi c di a c b d +=+⇔==.（,,,a b c d R ∈）86. 复数z a bi =+的模（或绝对值）||z =||a bi +87. 复数的四则运算法则(1) ()()()()a bi c di a c b d i +++=+++; (2) ()()()()a bi c di a c b d i +-+=-+-; (3) ()()()()a bi c di ac bd bc ad i ++=-++;(4)2222()()(0)ac bd bc ada bi c di i c di c d c d +-+÷+=++≠++.88. 复平面上的两点间的距离公式:12||dz z =-=（111z x y i =+，222z x y i =+）.89. 实系数一元二次方程的解: 实系数一元二次方程20axbx c ++=，① 若240b ac ∆=->,则1,22b x a -±=;② 若240b ac ∆=-=,则122b x x a==-;③ 若240b ac ∆=-<，它在实数集R 内没有实数根；在复数集C 内有且仅有两个共轭复数根240)x b ac =-<.预祝同学们高考顺利,考出理想成绩!。