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高等数学基础试题及答案

高等数学基础试题及答案一、选择题（每题10分，共40分）1. 设函数f(x) = e^x，下列叙述正确的是（）A. f(x) 在 (-∞, +∞) 上单调递增B. f(x) 在 (-∞, +∞) 上单调递减C. f(x) 在(0, +∞) 上单调递增D. f(x) 在(0, +∞) 上单调递减答案：A2. 设函数f(x) = sin(x)，下列叙述正确的是（）A. f(x) 在 (-∞, +∞) 上连续B. f(x) 在 (-π, π) 上可导C. f(x) 在[0, π] 上单调递增D. f(x) 在[0, 2π] 上单调递减答案：A3. 设函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 4，下列叙述正确的是（）A. f(x) 在 (-∞, +∞) 上单调递增B. f(x) 在 (-∞, +∞) 上单调递减C. f(x) 在(0, +∞) 上单调递增D. f(x) 在(0, +∞) 上单调递减答案：C4. 设函数f(x) = x^2 + 2x + 1，下列叙述正确的是（）A. f(x) 在 (-∞, +∞) 上单调递增B. f(x) 在 (-∞, +∞) 上单调递减C. f(x) 在 (-1, +∞) 上单调递增D. f(x) 在 (-1, +∞) 上单调递减答案：C二、填空题（每题20分，共60分）5. 设函数f(x) = x^2 + 3x + 2，求f(2)的值。

答案：f(2) = 2^2 + 3*2 + 2 = 126. 求函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4 在x = 1处的导数。

答案：f'(1) = 6*1^2 - 6*1 + 0 = 07. 求函数f(x) = e^x 在x = 0处的切线方程。

答案：y = 1解题过程：首先，求出f(x)在x = 0处的导数：f'(x) = e^x，f'(0) = 1。

然后，求出f(x)在x = 0处的切点：f(0) = e^0 = 1。

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高等数学基础第一次作业点评1责任教师：许院年第1章函数第 2 章极限与连续（一）单项选择题 ⒈下列各函数对中，（C ）中的两个函数相等．A. f ( x) ( x) 2， g (x)xB.f ( x)x 2 ， g( x) xC. f ( x) ln x 3 ， g(x) 3ln xD. f ( x)x 1， g( x)x 2 1x1点评：从函数的两要素可知：两个函数相等，当且仅当他们的定义域相同，对应规则也相同。

而与自变量或因变量所用的字母无关。

⒉设函数 f ( x) 的定义域为 ( , ) ，则函数f ( x) f ( x) 的图形关于（ C ）对称．A. 坐标原点B. x 轴C.y 轴D.y x点评：可先用奇偶函数的定义来判断它是什么函数，若是奇函数就关于坐标原点对称，若是偶函数就关于 Y 轴对称。

⒊下列函数中为奇函数是（ B ）．A. y ln(1 x 2 )B.yx cos xC. ya x a xD. yln(1 x)2f ( x) f (x) ，则函数为偶函点评：可直接用奇偶函数的定义来判断它是什么函数。

若数；若 f ( x)f ( x) ，则函数为奇函数。

⒋下列函数中为基本初等函数是（ C ）．A. y x 1B. y xC.y x2D.y1, x 0 1 ,x点评：基本初等函数是指：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数及三角函数。

⒌下列极限存计算不正确的是（ D ）．A. limx 21B.lim ln(1 x)2xx2x 0C.lim sin xD. lim x sin1xxxx点评：只有无穷小量乘以有界变量才为无穷小量，如 C ，没有无穷大量乘以有界变量为无穷小量。

⒍当 x0 时，变量（ C ）是无穷小量．A.sin xB.1xxC.x sin1D. ln( x 2)x点评：无穷小量乘以有界变量为无穷小量⒎若函数 f ( x) 在点 x 0 满足（ A ），则 f ( x) 在点 x 0 连续。

电大高等数学数学基础综合练习题解答

高等数学基础综合练习题解答一．填空题1．函数y =的定义域为 12x x >≠且。

()40410121ln 1011x x x x x x x x +≥⎧≥-⎧⎪⎪->⇒⇒>≠>⎨⎨⎪⎪-≠-≠⎩⎩解：且2．函数y =的定义域是 12x -<< 。

2101122240x x x x x +>>-⎧⎧⇒⇒-<<⎨⎨-<<->⎩⎩解： 3．函数3y x =-的定义域是 23x x ≥-≠且。

202303x x x x +≥≥-⎧⎧⇒⎨⎨-≠≠⎩⎩解： 4．设2(2)2f x x +=-，则)(x f 246x x -+ 。

解：设2x t +=，则2x t =-且原式2(2)2f x x +=-即()2()22f t t =--＝242t t -+亦即()f x =242x x -+4．若函数4(1),0(),x x x f x k x ⎧⎪-≠=⎨⎪=⎩在0x =处连续，则k = 4e - 。

()()()()()()()4144004lim lim 1lim ,lim 1(0)xxx x x f x x x e f k k e -⨯--→→→→-=-=-==∴==x 0函数f x 在x=0连0 续x 则f f5．曲线x y e -=在0x =处的切线方程为 1y x -=- 。

曲线()y f x =在点()00,x y 处的切线方程为()000xy y y x x '-=-解：()001xx x y e-=='=-=-，00001x y e ===时，1(0)1y x y x -=--⇒-=-，6. 函数ln(3)1x y x +=+的连续区间为 ()()3,1,1,---+∞ 。

初等函数在其定义区间连续。

ln(3)1x y x +=+⇒3010x x +>⎧⎨+≠⎩⇒3x >-且1x ≠-⇒()()3,1,1,---+∞7．曲线ln y x =在点(1,0)处的切线方程为 1y x =- 。

(word完整版)高等数学习题集及答案

第一章函数一、选择题1. 下列函数中，【】不是奇函数A. x x y +=tanB. y x =C. )1()1(-⋅+=x x yD. x xy 2sin 2⋅=2. 下列各组中，函数)(x f 与)(x g 一样的是【】A. 33)(,)(x x g x x f == B.x x x g x f 22tan sec )(,1)(-== C. 11)(,1)(2+-=-=x x x g x x f D. 2ln )(,ln 2)(x x g x x f ==3. 下列函数中，在定义域内是单调增加、有界的函数是【】A. +arctan y x x =B. cos y x =C. arcsin y x =D. sin y x x =⋅4. 下列函数中，定义域是[,+]-∞∞,且是单调递增的是【】A. arcsin y x =B. arccos y x =C. arctan y x =D. arccot y x = 5. 函数arctan y x =的定义域是【】A. (0,)πB. (,)22ππ-C. [,]22ππ-D. (,+)-∞∞6. 下列函数中，定义域为[1,1]-，且是单调减少的函数是【】A. arcsin y x =B. arccos y x =C. arctan y x =D. arccot y x = 7. 已知函数arcsin(1)y x =+，则函数的定义域是【】A. (,)-∞+∞B. [1,1]-C. (,)ππ-D. [2,0]- 8. 已知函数arcsin(1)y x =+，则函数的定义域是【】A. (,)-∞+∞B. [1,1]-C. (,)ππ-D. [2,0]-9. 下列各组函数中，【】是相同的函数A. 2()ln f x x =和 ()2ln g x x =B. ()f x x =和()g x =C. ()f x x =和()2g x = D. ()sin f x x =和()arcsin g x x = 10. 设下列函数在其定义域内是增函数的是【】A. ()cos f x x =B. ()arccos f x x =C. ()tan f x x =D. ()arctan f x x = 11. 反正切函数arctan y x =的定义域是【】A. (,)22ππ-B. (0,)πC. (,)-∞+∞D. [1,1]-12. 下列函数是奇函数的是【】A. arcsin y x x =B. arccos y x x =C. arccot y x x =D. 2arctan y x x = 13. 函数53sin ln x y =的复合过程为【】A.x w w v v u u y sin ,,ln ,35==== B.x u u y sin ln ,53== C.x u u y sin ,ln 53== D.x v v u u y sin ,ln ,35===二、填空题1. 函数5arctan 5arcsin x x y +=的定义域是___________.2.()arcsin3xf x =的定义域为 ___________.3. 函数1()arcsin3x f x +=的定义域为 ___________。

(完整word版)高等数学练习题(附答案)

《高等数学》专业年级学号姓名一、判断题. 将√或×填入相应的括号内.（每题2分，共20分）（）1. 收敛的数列必有界.（）2. 无穷大量与有界量之积是无穷大量. （）3. 闭区间上的间断函数必无界. （）4. 单调函数的导函数也是单调函数.（）5. 若)(x f 在0x 点可导，则)(x f 也在0x 点可导.（）6. 若连续函数)(x f y =在0x 点不可导，则曲线)(x f y =在))(,(00x f x 点没有切线.（）7. 若)(x f 在[b a ,]上可积，则)(x f 在[b a ,]上连续.（）8. 若),(y x f z =在（00,y x ）处的两个一阶偏导数存在，则函数),(y x f z =在（00,y x ）处可微.（）9. 微分方程的含有任意常数的解是该微分方程的通解.（）10. 设偶函数)(x f 在区间)1,1(-内具有二阶导数，且 1)0()0(+'=''f f , 则)0(f 为)(x f 的一个极小值.二、填空题.（每题2分，共20分）1. 设2)1(x x f =-，则=+)1(x f .2. 若1212)(11+-=xxx f ，则=+→0lim x .3. 设单调可微函数)(x f 的反函数为)(x g , 6)3(,2)1(,3)1(=''='=f f f 则=')3(g .4. 设yxxy u +=, 则=du .5. 曲线326y y x -=在)2,2(-点切线的斜率为 .6. 设)(x f 为可导函数,)()1()(,1)1(2x f xf x F f +==',则=')1(F .7. 若),1(2)(02x x dt t x f +=⎰则=)2(f .8. x x x f 2)(+=在[0,4]上的最大值为 . 9. 广义积分=-+∞⎰dx e x 20.10. 设D 为圆形区域=+≤+⎰⎰dxdy x y y x D5221,1 . 三、计算题（每题5分，共40分）1. 计算))2(1)1(11(lim 222n n n n ++++∞→Λ. 2. 求1032)10()3()2)(1(++++=x x x x y ΛΛ在（0，+∞）内的导数.3. 求不定积分dx x x ⎰-)1(1.4. 计算定积分dx x x ⎰-π53sin sin .5. 求函数22324),(y xy x x y x f -+-=的极值. 6. 设平面区域D 是由x y x y ==,围成，计算dxdy yyD⎰⎰sin . 7. 计算由曲线x y x y xy xy 3,,2,1====围成的平面图形在第一象限的面积.8. 求微分方程yxy y 2-='的通解. 四、证明题（每题10分，共20分）1. 证明：2tan arcsin1x arc x x=+ )(+∞<<-∞x .2. 设)(x f 在闭区间[],b a 上连续，且,0)(>x fdt t f dt t f x F x xb⎰⎰+=0)(1)()( 证明：方程0)(=x F 在区间),(b a 内有且仅有一个实根.《高等数学》参考答案一、判断题. 将√或×填入相应的括号内（每题2分，共20分）1.√ ；2.× ；3.×；4.× ；5.×；6.× ；7.× ；8.× ；9.√ ；10.√.二、填空题.（每题2分，共20分）1.442++x x ； 2. 1； 3. 1/2； 4.dy y x x dx y y )/()/1(2-++；5. 2/3 ；6. 1 ；7.336 ； 8. 8 ； 9. 1/2 ； 10. 0.三、计算题（每题5分，共40分）1.解：因为 21(2)n n +222111(1)(2)n n n <+++<+L 21n n+ 且 21lim 0(2)n n n →∞+=，21lim n n n →∞+=0由迫敛性定理知： ))2(1)1(11(lim 222n n n n ++++∞→Λ=0 2.解：先求对数)10ln(10)2ln(2)1ln(ln +++++=x x x y Λ101022111++++++='∴x x x y y Λ )(10()1(++='∴x x y Λ)10102211++++++x x x Λ 3.解：原式=⎰-x d x112=⎰-x d x 2)(112=2c x +arcsin4.解：原式=dx x x ⎰π23cos sin=⎰-2023sin cos πxdx x ⎰ππ223sin cos xdx x=⎰-2023sin sin πx xd ⎰ππ223sin sin x xd=2025][sin 52πx ππ225][sin 52x -=4/55.解： 02832=--='y x x f x 022=-='y x f y故 ⎩⎨⎧==00y x 或⎩⎨⎧==22y x当 ⎩⎨⎧==0y x 时8)0,0(-=''xxf ，2)0,0(-=''yy f ，2)0,0(=''xy f 02)2()8(2>--⨯-=∆Θ 且A=08<-∴ （0，0）为极大值点且0)0,0(=f当 ⎩⎨⎧==22y x 时4)2,2(=''xxf ， 2)2,2(-=''yy f ，2)2,2(=''xy f 02)2(42<--⨯=∆Θ ∴无法判断6.解：D={}y x y y y x ≤≤≤≤2,10),(⎰⎰⎰⎰=∴102sin sin y y Ddx y y dy dxdy y y=dy x y y y y 2][sin 10⎰=dy y y y )sin (sin 1⎰-=⎰+-110cos ]cos [y yd y=⎰-+-110cos ]cos [1cos 1ydy y y=1sin 1- 7.解：令xy u =，xyv =；则21≤≤u ，31≤≤v v vuu vv v uuv y y x x J v uvu 212221=-==∴ 3ln 212131===⎰⎰⎰⎰Ddv v du d A σ 8.解：令 u y =2，知x u u 42)(-=' 由微分公式知：)4(222c dx xe e y u dxdx+⎰-⎰==⎰-)4(22c dx xe e x x +-=⎰-)2(222c e xe e x x x ++=--四.证明题（每题10分，共20分）1.解：设 21arcsinarctan )(xx x x f +-=222222211111111)(xx x x x x xx f ++-+⋅+--+='Θ=0c x f =∴)( +∞<<∞-x令0=x 0000)0(=∴=-=c f Θ 即：原式成立。

电大高等数学数学基础综合练习题解答

高等数学基础综合练习题解答一．填空题1．函数ln(1)y x =-的定义域为 12x x >≠且。

()40410121ln 1011x x x x x x x x +≥⎧≥-⎧⎪⎪->⇒⇒>≠>⎨⎨⎪⎪-≠-≠⎩⎩解：且2．函数y =的定义域是 12x -<< 。

2101122240x x x x x +>>-⎧⎧⇒⇒-<<⎨⎨-<<->⎩⎩解： 3．函数y =的定义域是 23x x ≥-≠且。

202303x x x x +≥≥-⎧⎧⇒⎨⎨-≠≠⎩⎩解： 4．设2(2)2f x x +=-，则)(x f 246x x -+ 。

解：设2x t +=，则2x t =-且原式2(2)2f x x +=-即()2()22f t t =--＝242t t -+亦即()f x =242x x -+4．若函数4(1),0(),x x x f x k x ⎧⎪-≠=⎨⎪=⎩在0x =处连续，则k = 4e - 。

()()()()()()()4144004lim lim 1lim ,lim 1(0)xxx x x f x x x e f k k e -⨯--→→→→-=-=-==∴==x 0函数f x 在x=0连0 续x 则f f5．曲线x y e -=在0x =处的切线方程为 1y x -=- 。

曲线()y f x =在点()00,x y 处的切线方程为()000x y y y x x '-=-解：()001xx x y e-=='=-=-，00001x y e ===时，1(0)1y x y x -=--⇒-=-，6. 函数ln(3)1x y x +=+的连续区间为 ()()3,1,1,---+∞ 。

初等函数在其定义区间连续。

ln(3)1x y x +=+⇒3010x x +>⎧⎨+≠⎩⇒3x >-且1x ≠-⇒()()3,1,1,---+∞7．曲线ln y x =在点(1,0)处的切线方程为 1y x =- 。

高数基础教程练习册答案

高数基础教程练习册答案一、选择题1. 函数 \( f(x) = x^2 \) 的导数是：A. \( x \)B. \( 2x \)C. \( x^2 \)D. \( 2 \)答案：B2. 若 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = L \)，则 \( L \) 的值为：A. 0B. 1C. \( \frac{\pi}{2} \)D. \( \infty \)答案：B3. 定积分 \( \int_{0}^{1} x^2 dx \) 的值为：A. \( \frac{1}{3} \)B. \( \frac{1}{2} \)C. \( 1 \)D. \( \frac{1}{4} \)答案：A二、填空题1. 函数 \( y = \ln x \) 的导数是 __________。

答案：\( \frac{1}{x} \)2. 若 \( \int f(x)dx = F(x) + C \)，则 \( \int x^2 dx \) 的结果是 __________。

答案：\( \frac{x^3}{3} + C \)3. 函数 \( y = e^x \) 的不定积分是 __________。

答案：\( e^x + C \)三、解答题1. 求函数 \( f(x) = 3x^3 - 2x^2 + 5x - 7 \) 在 \( x = 1 \) 处的导数值。

解：首先求导数 \( f'(x) = 9x^2 - 4x + 5 \)，然后将 \( x =1 \) 代入得到 \( f'(1) = 9(1)^2 - 4(1) + 5 = 9 - 4 + 5 = 10 \)。

2. 计算定积分 \( \int_{1}^{2} (2x + 1) dx \)。

解：首先求不定积分 \( \int (2x + 1) dx = x^2 + x + C \)，然后计算定积分 \( \int_{1}^{2} (2x + 1) dx = [x^2 + x]_{1}^{2} = (2^2 + 2) - (1^2 + 1) = 4 + 2 - 1 - 1 = 4 \)。

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3.解: 《髙等数学基础》作业丄参考贅案第1章函数第2章极限与连续/(2)—2,/(0) = 0,/ ⑴"之.2x —1 ------ >0, x x^O.•.函数y = lg 红丄的定义域为(-8, 0)ol-,+oo I.如图，梯形ABCD 为半圆o 的内接梯形，ABDDC, AB=2R,高DE=x连接OD,则DDEO 为直角三角形，OD=R, QE=^J R 2-X 2, DC = IOC= 2^R 2-x 2,梯形的面积S=gr ＞E （DC+AB ）=［（27?+2保一/） +兀2）,（其中0＜兀＜人）X sin 3x 2x 3 3“ sin3x “ 2x 34.解：原式=lim -------------------- =—lim -------- lim ------- =—io 3X sin 2x 2 2 3x sin 2x 2解：原式=lim 沁•丄 = 31im 沁Jim 丄" XTO 3x cos 3x “To 3X XTOCOS 3兀二、填空题1.(3,+8);2.—X ； 3.? ； 4.e;5.兀=0 ；6.无穷小量.一、单项选择题1.C2. C3.B4. C5. D6. C7. A三、计算题2.解: 要使ig2口有意义，必须X 5.X+1解：原式=lim —(x-1) = lim — xT-isin(x + l) xT-isi _¥ + ]———・lim(x-1) = -2sin(x + l)工*+ x 2解：原式=limXT Olimx 2 •smx+ x 2 +1 • sin x(5)解：/ = --—^―——2x sinx-(lnx-x 2)cosx sin x x 丿1-2x 2 x 2 - In x = -------------- H ---------- T ----- COS X• • 2xsmx sin x（6）解：二 4兀3 — cos 兀In 兀一 *m 兀.8.解：原式=limXT8 x+3x-1x+39.解：原式=lim XT 4 (x-4)(x-2) (x —4)(x —1) = i im £z^ = Z XT4 X -1 3 第三章导数与微、单项选择题 l.B 2.D 3. A 4.D 5. C 二、填空题 21nx+511. 0；2.；3.—；x24. y —1 = 0；5. 2%2X(in x+1)；6.三、计算题 1.求下列函数的导数；/：(W ： 3 —x^e 2、 y 丿 C 3 込+3 /,・•・ (2)解： y = ----- ——2xlnx + x 2 • —= ----- ——2xlnx+xsin x x sin xxIn 2x(21nx-l).1cosx + 2x)-3x ln3(sinx+x 2)J⑵解：y - 1 •(cosx ) cos x ( 12 (3)解：y = X x - X 1I 7 J(4)解：y =2 sin x-(sinx) =2sinx-cos x =sin 2x.(8)解：= e x tan x + e x------- + — COS X X x ( 1)1—c tan x -\ ------ - — H —.V COS X) X 2.求下列函数的导数;/：(1)解：V 二”・(石)-~—j=e^.(5) 解：/ = cosx 2 -(x 2) = 2xcos x (6) 解：)/二—sine" •(/) = -e x -sin e x ・(7) 解：y = n sin n_1 x-cosx-cos nx +sin n x (-sinnx)-n =n sin n_1 x• (cosxcos nx-sin x sin nx) - nsin M_1 x-cos(n + l)x (8) 解:/ = 5sinx -In5 (sin x) = 5sinx cosxIn5. (9)解:y =严空容打=—sin 兀严二 3.在下列方程中，y = y(x)是由方程确定的函数，求;/：(1) 解:/cosx+ y(-sinx) = e 2y - 2y\ y(cosx-^2y ) = ysin x,⑺解：y'\2smx ----- = -tanx cosxZ 7 -1ysinx 「•y=-cosx-^ 丿(2)解：/ = -sin y- /Inx+ C0S ,xa • i x , cosy(l + smylnx)y = -------- ,x.,_ cos yx(l + sin yin x)(3)解：ysiny = p两边求导，得，.丄,1y smy + ycosy y =—,.,= 12(siny+ycosy)(4)解：y=i+—=i+—.y y(5)解丄+ e y -y' = 2y- /,x1(6)解：2y y =e x sin y + e x・cosy[ly-e x cosy)y = e siny,, e x sin y・•・y = ----------- .2y-e x cosy(7)解:e y -y=e x-3y2 -y,("+3b)y = k/ b-(8)解:y = 5x ln5 + 2y ln2-y,(l-2y ln2)/ = 5r ln5,,5Tn5.•- y = .1-2524.求下列函数的微分芳:(1)解：y' = — esc2 x-cot2 x esc x = - esc x(cotx + esc x), dy = y dx —一esc x (cot x + esc x) dx.— sin x 一 cos xln x.(c 、心 / r sin x - xcos xln x 2 解:v y = 2 ------------- --- ---------- = ------------- -- ---------sin x xsin x , sin x -兀cos xln x . ay = --------------- -- ------- ax. x sin x (3) 解：T y f = 2 sin % cos x = sin 2x, dy = sin 2xdx. (4)解:・.・ y - sec 2 e x • e x = e x sec 2 x, dy = e x sec 2 xdx.5. 求下列函数的二阶导数:(2)解：y = 3Tn3, = 3X In 2 3.⑶解：y=-,X“ 1(4)解:/ = sinx + xcosx,^ = cosx + (cosx-xsinx) = 2cosx-xsin x.四、证明题证：由题设，有/ （一兀）=一 / （兀）,••• [/（—X ）]' = [_八尢）]'' 即/'（-兀）（- 1）= -厂（兀），厂（-兀）=厂（兀） /.厂（X ）是偶函数.《髙等数学基础》、作业3参考答案'第四章导数的应用一、单项选择题1. D2. D3. A4.C5. C6. A二、填空题1.极小值；2. 0；3. (-00,0)；4.(0,+8)；5. /(a)；6. (0,2).三、计算题1•解：令# =（兀-5『+ 2（兀+1）（兀一5） = 3（兀一 5）（兀一1） = 0, 得：x x = l,x 2 =5.(i)解:y=^=2 I 2 丿 432列表如下・・・函数y的单调增区间为（-汽1）,（5,+-）,单调减区间为（1,5）. 当x二1时，函数取得极大值32；当x二5时，函数取得极小值0.2.解：令# = 2兀一2 = 2（兀一1） = 0,得兀=1.当兀丘［0,1）时,y <0；当兀w（1,3］时,y >0.・・・函数y = / _ 2兀+3在区间［0,3］上的极值点为兀=1.又・・・y（O）= 3,y（l） = 2,y（3）= 6,・・・函数y = X2-2X+3在［0,3］上的最大值为6,最小值为0.3解设所求的点P（兀,y）,|PA| = d,则尸=2x,（x> 0）〃=J（x_2）2 +（y _0『=y/x2 -4x + 4 + 2x = A/X2-2X +4令F__ ：x_2 _ 兀_］2A/X2— 2x+4 yj — 2x+4得兀二］易知，兀=1是函数d的极小值点，也是最小值点.此时,y2 = 2x1 = 2, y = ±V2,・・・所求的点为P（1,V2）或4.解：如图所示，圆柱体高/z与底半径厂满足A2 + r2 = £2I圆柱体的体积公式为rV = 7rr2h L L将/ =L2-7Z2代入得V二兀①一代）h求导得令宀°得靑L ,并由此解出r伞.即当底半径吕,高"晅厶时’圆柱体的体积3答mg・•・R= £最大.5.解：设圆柱体半径为R,高为h,则h = " ,S 夷面和=2兀Rh + 27rR 2 - 2匕 + 27T R 2 TT R2表面积 R 令& = 4历7?—学=0 得R =R-\171当Refo 30时，S'<0,当RwI 工是函数S 的极小值点，也是最小值点. 2龙此时h=淫.\ 714Vh = 3——时表面积最大.V 716.角军：设长方体的底边长为兀米，高为h 米.则由62.5 = x 2/z 得 h —62?x250用料的面积为：S — %2 + 4x/z = x 2 ，（兀＞0）x令 S‘ = 2;r -2^ = 0 得 x 3 = 125, x = 5x易知，兀=5是函数S 的极小值点，也是最小值点. 答：当该长方体的底边长为5米，高为2. 5米时用料最省。

高等数学基础综合练习题及

试卷代号： 7032上海开放大学2017 至 2018 学年第一学期《高等数学基础》期末复习题一．选择题sin( x24)x 2在 x 2 连续，则常数k 的值为（1．函数f ( x)x 2）。

k x2A．1；B． 2；C． 4 ；D． 42．以下函数中（）的图像关于y 轴对称。

A．e x cos x B． cos( x 1)C． x3 sin x D． ln 1x 1x3．以下函数中（）不是奇函数。

A．sin( x1) ； B ．e x e x；C． sin 2x cosx ；D． ln x x2 1 4．当x0时，（）是无量小量。

A． sin 2xx 5．函数 f ( x)A．0 6．函数f ( x)B． (11) x C. cosxsin 4x ，则f ( x)）。

limx（x0．1； B． 4；C；4ln x ，则 lim f ( x) f (2)（x2x211D． x sinx xD．不存在）。

A．ln 2；B．1；C．1x2； D ． 27. 设f ( x)在点 x x0可微，且 f (x0 )0 ，则以下结论成立的是（）。

A．x x0是 f (x) 的极小值点B． x x0是 f ( x) 的极大值点；C．x x0是 f ( x) 的驻点；D． x x0是 f ( x) 的最大值点；8．以下等式中，成立的是（）。

A．1dx d x B． e 2x dx2de 2 x xC．e3x dx1de 3x D．1dx d ln 3x33x9．当函数f (x)不恒为 0，a,b为常数时，以下等式不成立的是（）A. ( f ( x)dx)f ( x)B.d bf ( x) dx f (x)dx aC.f ( x) dxf ( x) cD.b f ( x)f (b)f ( a)da10．曲线 ye x x 在 (0,) 内是（）。

A ．降落且凹；B ．上涨且凹；C ．降落且凸；D ．上涨且凸 11．曲线 y 1 x 3 2x 2 3x 在区间 2,3 内是（）。

(完整word版)高等数学练习题(附答案)(2)

1 《高等数学》专业年级学号姓名一、判断题. 将√或×填入相应的括号内.（每题2分，共20分）（）1. 收敛的数列必有界. （）2. 无穷大量与有界量之积是无穷大量. （）3. 闭区间上的间断函数必无界. （）4. 单调函数的导函数也是单调函数.

（）5. 若)(xf在0x点可导，则)(xf也在0x点可导.

（）6. 若连续函数)(xfy在0x点不可导，则曲线)(xfy在))(,(00xfx点没有切线. （）7. 若)(xf在[ba,]上可积，则)(xf在[ba,]上连续.

（）8. 若),(yxfz在（00,yx）处的两个一阶偏导数存在，则函数),(yxfz在

（00,yx）处可微. （）9. 微分方程的含有任意常数的解是该微分方程的通解. （）10. 设偶函数)(xf在区间)1,1(内具有二阶导数，且 1)0()0(ff, 则

)0(f为)(xf的一个极小值.

二、填空题.（每题2分，共20分）

1. 设2)1(xxf，则)1(xf .

2. 若1212)(11xxxf，则0limx . 3. 设单调可微函数)(xf的反函数为)(xg, 6)3(,2)1(,3)1(fff则)3(g .

4. 设yxxyu, 则du . 2

5. 曲线326yyx在)2,2(点切线的斜率为 . 6. 设)(xf为可导函数,)()1()(,1)1(2xfxfxFf,则)1(F . 7. 若),1(2)(02xxdttxf则)2(f . 8. xxxf2)(在[0,4]上的最大值为 . 9. 广义积分dxex20 . 10. 设D为圆形区域dxdyxyyxD5221,1 . 三、计算题（每题5分，共40分） 1. 计算))2(1)1(11(lim222nnnn.

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试卷代号： 7032 上海开放大学 2017 至 2018 学年第一学期《高等数学基础》期末复习题一．选择题 sin( x2 4)

x 2 在 x 2 连续，则常数 k 的值为（ 1．函数 f ( x) x 2 ）。

k x 2

A． 1 ；B ． 2 ；C ． 4 ； D ．

2．下列函数中（）的图像关于 y 轴对称。

A． ex cos x B ． cos( x 1) C ． x3 sin xD ． ln 1

x 1 x 3．下列函数中（）不是奇函数。

A． sin( x 1) ； B ． ex e x ； C ． sin 2x cosx ； D ．

ln x

x2 1

4．当 x 0

时，（）是无穷小量。

A． sin 2x

5．函数 f ( x)

A． 0 6．函数 f ( x)

B ． (1 1

)

C . cos

sin 4x ，则

f ( x)

）。 lim

x （

x 0

． 1

； B ． 4 ； C ；

ln x ，则 lim f ( x) f (2)

（

x 2 x 2

1 1 D ． x sin

x x

D ．不存在）。 A． ln 2 ； B ． 1 ； C ． 1

x 2 ； D ． 2

7. 设 f ( x) 在点 x x0 可微，且 f (x0 ) 0 ，则下列结论成立的是（）。

A． x x0 是 f (x) 的极小值点 B ． x x0 是 f ( x) 的极大值点；

C． x x0 是 f ( x) 的驻点； D ． x x0 是 f ( x) 的最大值点；

8．下列等式中，成立的是（）。

A． 1 dx d x B ．

e 2x dx 2de

2 x

C． e 3xdx 1 de

D ． 1 dx d ln 3x

3 3x

9．当函数 f (x) 不恒为 0， a,b 为常数时，下列等式不成立的是（） A. ( f ( x)dx) f ( x) B. d b f ( x) dx f (x) dx a

C. f ( x) dx f ( x) c D. b f ( x) f (b) f ( a) d

10．曲线 y ex x 在 (0, ) 内是（）。

A．下降且凹； B ．上升且凹； C ．下降且凸； D ．上升且凸 11．曲线 y 1 x3 2x2

3x 在区间 2,3 内是（）。

A．下降且凹 3 B C D ．上升且凹．下降且凸．上升且凸

12．下列无穷积分为收敛的是（）。

A. sin xdx B. 0 e2x dx C. 0 1 e xdx D. 1 1 dx 0 2 x

13．下列无穷积分为收敛的是（）。

x2 dx 1 dx x 2 dx x A. B.

1 C. 1 D. 1 e2 dx 1 x

14．下列广义积分中（）发散。

1 1 1 3 x 2 dx ； x 2 dx

A． B ． x 3 dx ； C ．

x 2

dx ； D

．

1 1 1 1

15．设函数 f ( x) 的原函数为 F (x) ，则 1 1

2 f ( )dx （）。

x x

A． F (x) C ； B ． F ( 1 ) C ； C ． F ( 1 ) C ； D ． f ( 1 ) C x x x 16．下列广义积分中收敛的是（）

A.x 3dx 2 B. 1x 3dx C. 1 cosxdx D. 1 xdx 1

二．填空题 1．函数 f ( x) ln( x

3) 的定义域是。

4 x

2．函数 y x

1 的定义域是。

x 3

3．函数 y 5 x 的定义域是。

ln( x 1)

4．曲线 y e 2x 在点 M 处的切线斜率为 2e 2 ，则点 M 处的坐标为。

5．曲线 y ln x 在 x 2 处的切线方程为。 6．设函数 y f (cos 2x) 可导，则

7. 设 f ( x) x2 1，则 f ( f ( x)) 8. 设 f ( x) 的一个原函数是 sin 2x ，则 f ( x)

9．已知 F (x) f (x) ，则 xf (x2 1)dx

1 1 x2 )dx 10． x(x 。

11． 1 1)dx x3 (cos x 。

12． d 0 2dt = t cost

。

dx x

13．设 F (x) x ) e sin t dt ，则

F (

0 2

14．设 F (x) 为 f (x) 的原函数，那么 f (cosx)sin xdx

15．设 F (x) x ( t 1)2 dt ，那么 F (1)

。。。。

。。。三．计算题 1 2x 4 x 1 1、求极限 lim 4x 1

2 、求极限 lim 2x 1

x 4x 1 x 2x 3

3x 4 x sin 3x 3、求极限 lim 4 、求极限 lim

3x 2 1 4x 1

x x 0

5、求极限 lim xln(1 3x2 ) 6 、求极限 lim ln(1 2x)

x 0 1 3x3 1 x 0 1 4 x 1

7、设函数 y x ecos x 2 x ，求 dy 。 8 、设函数 y x cos(3x 1) ，求 dy 9、设函数 y x2 ln 2x x ，求

11、设函数 y 2x ，求 dy 。 1 e3x 13、设函数 y sin 2x ，求 dy 。 1 cosx cos x dx 15、计算不定积分 x2 3 dy 。 10 3x 1 、设函数 y ，求 dy 。 cos2x 12 e 2 x ，求 dy 。、设函数 y

x2 1

14 、计算不定积分 x2 sin x dx 2 16 、计算不定积分 x2e 3 xdx

四、应用题 1、求由抛物线 y 2 x2 与直线

y x

所围的面积。

2、求由抛物线 y x2 与直线 y 2 x

所围的面积。

y 2 x y x2 x

3、求由抛物线 y x2 x 与直线 y x 所围的面积。

y x y x2 x x

4、求由抛物线 y x2 2 与直线

y x

所围的面积。

y x x

4 3 2 1

y x2 2