文科立体几何证明
高考立体几何证明知识点
高考立体几何证明知识点立体几何是数学中的一个重要分支，旨在研究空间中的图形和物体的性质及其相互关系。
在高考中，立体几何是一个重要的考点，其中涉及到很多证明题。
本文将介绍几个高考常见的立体几何证明知识点，帮助考生更好地理解和掌握这些内容。
一、平行关系证明在立体几何中，平行关系是经常需要证明的一个知识点。
首先，我们需要了解平行的定义：若两条直线在同一个平面内，且不相交，则称这两条直线平行。
为了证明两条直线平行，我们可以利用以下几个常见的方法：1.同位角相等法：如果两条直线被平行线所截，那么可以利用同位角的性质来确定这两条直线平行。
同位角是指两条直线被平行线所截时，对应角或内错角两对角，它们的度数相等。
在证明过程中，我们需要找到直线间的对应角或内错角，将它们的度数相等证明出来，从而得出两条直线平行的结论。
2.共线错角相等法：如果两条直线被平行线所截，可以利用共线错角相等的性质来确定这两条直线平行。
共线错角是指两条直线被平行线所截时，同侧的内错角，它们的度数相等。
在证明过程中，我们需要找到两条直线间的共线错角，将它们的度数相等证明出来，从而得出两条直线平行的结论。
二、相似三角形证明相似三角形是立体几何中另一个重要的证明知识点。
首先，我们需要了解相似三角形的定义：若两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形是相似的。
证明相似三角形的方法主要有以下几个：1.对应边成比例法：若两个三角形的两对对应边成比例，那么可以证明这两个三角形相似。
在证明过程中，我们需要找到两个三角形中对应的边，并运用对应边成比例的性质来证明它们相似。
2.三角形内相等角法：若两个三角形中，其中一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角相等，那么可以证明这两个三角形相似。
在证明过程中，我们需要找到这两个相等的角，并证明它们与其他角的关系，从而得出两个三角形相似的结论。
三、垂直关系证明垂直关系也是立体几何中常见的一个证明知识点。
首先，我们需要了解垂直的定义：两条直线或线段在平面或空间中互相垂直，即两条直线或线段相交且相交的角度为90度。
必修2 立体几何证明
1.正方形ABCD交正方形ABEF于AB，M、N在对角线AC、FB上，且FNAM，求证：//MN 平面BCE
2 .已知ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH、
7 如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，M、N分别是BC和A1B1的中点. 求证：MN∥平面AA1C1.
8 已知P为△ABC所在平面外一点，G1、G2、G3分别是△PAB、△PCB、△PAC的重心. （1）求证：平面G1G2G3∥平面ABC；
9 .如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是BC、CC1、C1D1、A1A 的中点.求证：（1）BF∥HD1；（2）EG∥平面BB1D1D；（3）平面BDF∥平面B1D1H.
10 如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形. （1）求证：AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH.
（2）若AB=4，CD=6，求四边形EFGH周长的取值范围.
11 正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE、BD上各有一点P、Q，且AP=DQ. 求证：PQ∥平面BCE.。
立体几何常见证明方法
立体几何常见证明方法在几何学中，立体几何是研究物体在三维空间中的形状、大小、位置和相互关系的分支。
在证明一个立体几何问题时，我们通常需要运用一些常见的证明方法来得出结论。
本文将介绍几种常见的立体几何证明方法。
一、平行四边形面积证明法平行四边形面积证明法是一种常见的证明方法。
对于一个平行四边形，我们可以通过证明它的底边乘以高得到的面积与对角线的乘积相等来验证其正确性。
具体来说，我们可以按照以下步骤进行证明：1. 画出平行四边形的底边和高线；2. 证明底边乘以高得到的面积等于对角线的乘积。
可以通过运用三角形的面积公式和勾股定理进行证明。
二、等腰三角形证明法等腰三角形证明法是另一种常见的证明方法。
对于一个等腰三角形，我们可以通过证明其底边上的两个角相等来验证其正确性。
具体来说，我们可以按照以下步骤进行证明：1. 画出等腰三角形；2. 证明底边上的两个角相等。
可以通过等腰三角形的定义进行证明，即等腰三角形的两边相等，所以其对应的两个角也相等。
三、垂直证明法垂直证明法是证明两条线垂直的常见方法。
它通常基于垂直线的特性，如垂直线的斜率之积为-1等。
具体来说，我们可以按照以下步骤进行证明：1. 给定两条线段；2. 证明两条线段所在的直线的斜率之积为-1。
可以通过计算两条线段的斜率，然后对其进行运算得出结论。
四、相似三角形证明法相似三角形证明法常用于证明两个或多个三角形之间的相似关系。
它基于相似三角形的一些性质，如对应角相等、对应边成比例等。
具体来说，我们可以按照以下步骤进行证明：1. 给定两个或多个三角形；2. 证明对应角相等或对应边成比例，以确定两个或多个三角形之间的相似关系。
五、共面证明法共面证明法常用于证明多个点是否处于同一个平面上。
它基于共面点的一些性质，如共线的三个点必然共面等。
具体来说，我们可以按照以下步骤进行证明：1. 给定多个点的坐标或描述；2. 证明这些点共面。
可以通过计算这些点的坐标或应用共线点的条件来证明。
高中立体几何知识点(文科)2012.12.8
立体几何知识点(文科)一．平行关系1. 线线平行：方法一：用线面平行实现。
m l m l l ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂⊂βαβα方法二：用面面平行实现。
m l m l ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂=⋂βγαγβα 方法三：用线面垂直实现。
若αα⊥⊥m l,，则m l //。
方法四：用向量方法：若向量l 和向量m 共线且l 、m 不重合，则m l //。
2. 线面平行：方法一：用线线平行实现。
ααα////l l m m l ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂ 方法二：用面面平行实现。
αββα////l l ⇒⎭⎬⎫⊂方法三：用平面法向量实现。
若n 为平面α的一个法向量，⊥且α⊄l ,则α//l 。
3. 面面平行：方法一：用线线平行实现。
βααβ//',','//'//⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂⊂且相交且相交m l m l m m l l方法二：用线面平行实现。
βαβαα//,////⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂且相交m l m l 二．垂直关系： 2. 线面垂直：方法一：用线线垂直实现。
αα⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂=⋂⊥⊥l AB AC A AB AC AB l ACl ,方法二：用面面垂直实现。
αββαβα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊥=⋂⊥l l m l m ,2. 面面垂直：方法一：用线面垂直实现。
βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥l l方法二：计算所成二面角为直角。
3. 线线垂直：方法一：用线面垂直实现。
m l m l ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥αα方法二：三垂线定理及其逆定理。
PO l OA l PA l αα⊥⎫⎪⊥⇒⊥⎬⎪⊂⎭三 夹角问题。
(一) 异面直线所成的角：(1) 范围：]90,0(︒︒(2)求法：方法一：定义法。
l步骤1：平移，使它们相交，找到夹角。
步骤2：解三角形求出角。
(常用到余弦定理)余弦定理：abc b a 2cos 222-+=θ(计算结果可能是其补角)(二) 线面角(1)定义：直线l 上任取一点P （交点除外），作PO ⊥α于O,连结AO ，则AO 为斜线PA 在面α内的射影，PAO ∠(图中θ)为直线l 与面α所成的角。
立体几何定理的推导与证明方法
立体几何定理的推导与证明方法一、概述立体几何是我们生活中常见的一种几何形式，它涉及到空间中的各种图形的性质和关系。
在立体几何中，有许多重要的定理和性质，这些定理和性质对于我们理解和应用立体几何至关重要。
在本文中，我们将探讨立体几何定理的推导和证明方法，希望能够为读者提供一些启发和帮助。
二、立体几何定理的推导方法1. 利用几何图形的性质在推导立体几何定理时，我们可以利用几何图形的性质来进行推导。
对于一个立体图形，我们可以利用它的各个面的性质和相互关系，来推导出一些定理和性质。
在推导过程中，我们可以通过作图和构造辅助线等方法，来帮助我们理解和推导定理。
2. 利用几何变换的性质在推导立体几何定理时，我们还可以利用几何变换的性质来进行推导。
我们可以通过平移、旋转、镜像等几何变换，来帮助我们理解和推导定理。
在推导过程中，我们可以通过构造适当的几何变换，来将一个复杂的问题转化为一个简单的问题，从而更容易理解和证明定理。
3. 利用解析几何的方法在推导立体几何定理时，我们还可以利用解析几何的方法来进行推导。
我们可以通过引入坐标系和方程等工具，来帮助我们理解和推导定理。
在推导过程中，我们可以通过求解方程组、计算向量等方法，来证明某个定理或性质的成立。
三、立体几何定理的证明方法1. 利用数学归纳法在证明立体几何定理时，我们可以利用数学归纳法来进行证明。
数学归纳法是一种常用的数学证明方法，它适用于形式化的推理过程。
通过证明基本情况成立，并假设某个结论对于一个整数成立，来证明该结论对于下一个整数也成立。
在证明立体几何定理时，我们可以通过数学归纳法来推导出某个定理的成立。
2. 利用反证法在证明立体几何定理时，我们可以利用反证法来进行证明。
反证法是一种常用的数学证明方法，它适用于证明某个命题的否定是否成立。
通过假设某个结论不成立，来推导出矛盾的结论，从而证明该结论的成立。
在证明立体几何定理时，我们可以通过反证法来证明某个定理的成立。
立体几何证明方法总结
、线线平行的证明方法1 、利用平行四边形。
2 、利用三角形或梯形的中位线。
3 、如果一条直线与一个平面平行,经过这条直线的平面与这个平面相交, 那么这条直线就与交线平行。
（线面平行的性质定理）4 、如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。
（面面平行的性质定理）5 、如果两条直线垂直于同一个平面,那么这两条直线平行。
（线面垂直的性质定理）6 、平行于同一条直线的两条直线平行。
7 、夹在两个平行平面之间的平行线段相等。
（需证明）二、线面平行的证明方法:1 、定义法:直线与平面没有公共点。
2 、如果平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行,那么这条直线与这个平面平行。
（线面平行的判定定理）3 、两个平面平行,其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面。
三、面面平行的证明方法:1 、定义法:两平面没有公共点。
2 、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行。
（面面平行的判定定理）3 、平行于同一平面的两个平面平行。
4 、经过平面外一点,有且只有一个平面与已知平面平行。
5 、垂直于同一直线的两个平面平行。
四、线线垂直的证明方法:1 、勾股定理。
2 、等腰三角形。
3 、菱形对角线。
圆所对的圆周角就是直角 点在线上的射影 。
如果一条直线与一个平面垂直 ,那么这条直线就与这个平面内任意的直线都垂直。
在平面内的一条直线 ,如果与这个平面一条斜线的射影垂直 ,那么它也与这条斜线垂直 。
（三垂线定理 ,需证明 ） 在平面内的一条直线 ,如果与这个平面一条斜线垂直 ,那么它也与这条斜线的射影垂直 。
（三垂线逆定理 ,需证 如果两条平行线中的一条垂直于一条直线 ,则另一条也垂直于这条直线 。
线面垂直的证明方法 :定义法 : 直线与平面内任意直线都垂直 。
点在面内的射影 。
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直 ,那么 这条直线垂直于这个平面 。
（线面垂直的判定定理 ） 如果两个平面互相垂直 ,那么在一个平面内垂直于它们 交线的直线垂直于另一个平面 。
立体几何证明主要步骤
立体几何证明主要步骤1.明确问题：首先需要明确待证明的问题是什么，明确目标是证明一些定理还是推导一些结论。
2.给出已知条件：给出已知的条件和信息，这是证明过程中的基础。
有时候需要通过已知条件使用一些已知定理或公式，进而推导出要证明的结论。
3.建立几何图形：根据已知条件，建立几何图形，使其符合题目要求。
对于一些特殊的问题，需要利用特殊的几何图形，例如平行四边形、正方体、正六面体等，从而更方便地推导证明。
4.根据图形特点和定理等运用逻辑：运用几何图形的特点、已知定理或定义，利用推理和逻辑，按照严密的证明思路，逐步推导出结论。
5.运用代数和几何方法：有时证明过程中需要运用代数方法，例如方程、向量等。
可以适当地将几何问题转化为代数问题，从而更容易推导证明。
6.合理使用辅助线和构造方法：为了更好地推导证明，有时需要引入辅助线或添加一些构造，使问题更好处理。
辅助线的引入可以分离角度、切分图形，构造方法可以帮助建立一些平行线、相似三角形等。
7.利用图形的对称性和比例关系：图形的对称性和比例关系可以提供一些有用的信息，可以将不易证明的问题化简为易证明的问题。
8.反证法和归谬法：有时证明过程中可以采用反证法，假设结论不成立，通过推理和推导，推出矛盾，从而证明结论的成立。
归谬法是证明过程中用到的一种常见的推理方式。
9.写出完整的证明过程：在证明的最后，需要将整个推导过程进行总结和归纳，确保对证明过程的论证逻辑完整和严密。
10.列出原则和定理：最后，可以总结出在证明过程中使用的原则和定理，这些原则和定理是对几何问题研究的基础和规律。
以上是立体几何证明的主要步骤，通过严密的逻辑推导和推理，可以得出准确的结论。
在实际应用中，常需要通过几何证明来解决复杂的空间关系问题。
高中数学的归纳立体几何基本定理与证明总结
高中数学的归纳立体几何基本定理与证明总结在高中数学中，立体几何是一个重要的内容领域。
归纳立体几何基本定理与证明是数学学习中的重要环节，本文将对高中数学中常见的归纳立体几何基本定理进行总结和证明，旨在帮助读者更好地理解和掌握这些定理。
一、半正多面体的顶点、棱和面数关系在立体几何中，一个多面体称为半正多面体，是指其每个顶点周围的所有面所成的角相等。
根据欧拉公式，半正多面体的顶点数V、棱数E和面数F满足以下关系：V - E + F = 2证明：考虑一个半正多面体中的一个顶点，该顶点周围有k个面，每个面的边数均为n。
那么根据半正多面体的定义，每个面所成的角相等，所以一个面的内角为360°/n，因此每个顶点所成的内角和为360°。
由于半正多面体的内角和为360°，所以我们可以得到以下等式：k × 360°/n = 360°进一步地，考虑每个面，每个面的所有顶点组成了一个简单多边形，所以每个面的顶点数为n。
而每个顶点都会被k个面共享，所以总的顶点数V可以表示为V = (n × k) / k = n。
同理，我们可以得到每个面的边数为E = n。
那么根据欧拉公式得到：V - E + F = 2n - n + F = 2F = 2所以半正多面体的顶点、棱和面数关系满足V - E + F = 2。
二、平行四边形面积公式在立体几何中，平行四边形是一个重要的概念。
对于平行四边形ABCD，其面积可以由向量的叉乘来表示。
证明：设平行四边形ABCD的对角线交点为O，且向量OA为a，向量OB为b。
由平行四边形的性质可知，向量AD与向量BO平行且长度相等，所以向量AD可以表示为向量BO的某个倍数。
设向量AD 为向量BO的倍数，即AD = k × BO。
由向量的性质可知，向量的叉乘可以表示平行四边形的面积，所以平行四边形ABCD的面积为：S = |向量AD ×向量BO| = |k ×向量BO ×向量BO|由于向量的叉乘具有交换律和结合律，所以：S = |k × (向量BO ×向量BO)| = |k × (0向量)| = 0所以平行四边形ABCD的面积为0。
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A B CDP EF立体几何证明题常见题型1、如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是正方形，侧棱⊥PD 底面ABCD ，1==DC PD ，E 是PC 的中点，作PB EF ⊥交PB 于点F ．(I) 证明： PA ∥平面EDB ；(II) 证明：PB ⊥平面EFD ；(III) 求三棱锥DEF P -的体积．2、如图，已知四棱锥P ABCD -的底面为等腰梯形，AB ∥CD ,AC BD ⊥,垂足为H ，PH 是四棱锥的高。
（Ⅰ）证明：平面PAC ⊥ 平面PBD ;（Ⅱ）若6AB =,APB ADB ∠=∠=60°,求四棱锥P ABCD -的体积。
3、如图，矩形A B C D 中，A B E AD 平面⊥，2===BC EB AE ，F 为CE 上的点，且A C EBF 平面⊥. （Ⅰ）求证：BCE AE 平面⊥； （Ⅱ）求证；BFD AE 平面//；（Ⅲ）求三棱锥BGF C -的体积.4、如图，正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直。
EF//AC ，AB=2,CE=EF=1 （Ⅰ）求证：AF//平面BDE ； （Ⅱ）求证：CF ⊥平面BDF;ABCDHPABCDEFABCD EF G5、在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，BCD A MA 平面⊥,PD ∥MA ,E G F 、、分别为MB 、PC PB 、的中点，且2MA PD AD ==.(Ⅰ) 求证：平面PDC EFG 平面⊥;(Ⅱ)求三棱锥的体积之比与四棱锥ABCD P MAB P --.6、如图所示，矩形ABCD 中，AD ⊥平面ABE ，AE=EB=BC=2，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE （1）求证：AE ⊥平面BCE ；（2）求证：AE ∥平面BFD ； （3）求三棱锥C-BGF 的体积。
7、在三棱锥S —ABC 中，∠SAB =∠SAC =∠ACB =90°，且AC =BC =5，SB =55。
（如图 所示） （Ⅰ）证明：SC ⊥BC ； （Ⅱ）求三棱锥的体积V S －AB C 。
8、如图在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，E 为BC 边中点 （1）求三棱锥D 1-DBC 的体积（2）证明BD 1//平面C 1DEGＢＡ Ｄ Ｃ ＦＥA 1B 1C 1D 19、如图1所示，已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 、L 、M 、N 分别为A 1D 1，A 1B 1，BC ，CD ，DA ，DE ，CL 的中点，求证：EF ⊥GF 。
10、如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝BC ，D 、E 分别为BB 1、AC 1的中点， 证明：ED 为异面直线BB 1与AC 1的公垂线。
11，如图，ABCD —A 1B 1C 1D 1是正四棱柱，求证：BD ⊥平面ACC 1A 1。
12，如图，在五面体ABCDEF 中，点O 是矩形ABCD 的对角线的 交点，面CDE 是等边三角形，棱12EF BC ∥。
（I ）证明FO ∥平面;CDE ；（II ）设3,BC CD =证明EO ⊥平面。
13、如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1 中，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，AA 1 ＝2，D 是A 1B 1 中点．（1）求证C 1D ⊥平面A 1B ；（2）当点F 在BB 1 上什么位置时，会使得AB 1 ⊥平面C 1DF ？并证明你的结论。
ABC DEA 1B 1C 1 OFABC D A 1B 1C 1D 1DCABEOFM1B1DA 1C14，在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1 中，E 是AC 中点，求证：111A ACC BEC 平面平面⊥ 15，如图，△ABC 为正三角形，EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，CE ＝CA ＝2 BD ， M 是EA 的中点，求证：（1）DE ＝DA ；（2）平面BDM ⊥平面ECA ； （3）平面DEA ⊥平面ECA 。
16、如图所示，正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面边长为22，侧棱长为4.E ，F 分别为棱AB ，BC 的中点，EF ∩BD =G 。
（Ⅰ）求证：平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1； 17、（1）如图，⊥SA 正方形ABCD 所在平面，过A 作与SC 垂直的平面分别交SB 、SC 、SD 于E 、K 、H ，求证：E 、H 分别是点A 在直线SB 和SD 上的射影．18、如图1所示，已知A 1B 1C 1—ABC 是正三棱柱，D 是AC 的中点。
（1）证明AB 1∥DBC 1；（2）假设AB 1⊥BC 1，BC=2。
求线段AB 1在侧面B 1BCC 1上的射影长。
19、已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，O 是底ABCD 对角线的交点． 求证：（1）C 1O//平面AB 1D 1； （2）A 1C ⊥平面AB 1D 1．20、如图，在长方体1111D C B A ABCD -中,1,11>==AB AA AD ，点E 在棱AB 上移动。
D 1ODBA C 1B 1A 1CD C 1B 1A1CBA B C A D EFM求证：E D 1⊥D A 1；21、如图平面ABCD ⊥平面ABEF ， ABCD 是正方形，ABEF 是矩形， 且,221==AD AF G 是EF 的中点， （1）求证平面AGC ⊥平面BGC ； （2）求空间四边形AGBC 的体积。
22、如图，在直三棱柱(侧棱与底面垂直的三棱柱)111ABC A B C -中，8AB =，6AC =，10BC =，D 是BC 边求证：1AB A C ⊥； （Ⅱ）求证：1A C ∥ 面1AB D ；的中点.（Ⅰ）23，如图，四边形ABCD 为矩形，AD ⊥平面ABE ，AE ＝EB ＝BC ＝2，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE ． （1）求证：AE ⊥BE ；（2）设M 在线段AB 上，且满足AM ＝2MB ，试在线段CE 上确定一点N ，使得MN ∥平面DAE.24、在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，3AB BC CA ===，M 为AB 的中点，四点P 、A 、M 、C 都在球O 的球面上。
（1）证明：平面PAB ⊥平面PCM ；_ M_ P_ C_ B_ AED CBA P S ABCDE25、如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，三角形ACD 为等边三角形，2AD DE AB ==，F 为CD 的中点（1）求证：//AF 平面BCE ；（2）求证：平面BCE ⊥平面CDE ；26、如图所示，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB=BB 1，AC 1⊥平面A 1BD ，D 为AC 的中点。
（I ）求证：B 1C//平面A 1BD ； （II ）求证：B 1C 1⊥平面ABB 1A（III ）设E 是CC 1上一点，试确定E 的位置，使平面A 1BD ⊥平面BDE ，并说明理由。
27、如图，四棱锥ABCD P -中，⊥PA 底面ABCD ，AD AB ⊥，CD AC ⊥，︒=∠60ABC ，BC AB PA ==， E 是PC 的中点．（1）求证：AE CD ⊥； （2）求证：⊥PD 面ABE ．28、如图，四棱锥P —ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，P A =AB ，底面ABCD 为直角梯形，∠ABC =∠BAD =90°， P A =BC =.21AD （I ）求证：平面P AC ⊥平面PCD ；（II ）在棱PD 上是否存在一点E ，使CE ∥平面P AB ？若存在，请确定E 点的位置；若不存在，请说明理由.29、如图，在四棱锥S ABCD -中，2SA AB ==，22SB SD ==，底面ABCD 是菱形，且60ABC ∠=︒，E 为CD 的中点．（1）证明：CD ⊥平面SAE ；（2）侧棱SB 上是否存在点F ，使得//CF 平面SAE ？并证明你的结论．30、P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，E 为PB 的中点，O 为AC ，BD 的交点. （1）求证：PCD EO 平面// ； （2）图中EO 还与哪个平面平行？31、在正三棱柱111C B A ABC - 中，E 是AC 中点，（1）求证：11//BEC AB 平面 ；（2）求证：111A ACC BEC 平面平面⊥ ；31、如图，已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，M 、N 分别是AB 、PC 的 中点 （1）求证：//MN 平面PAD ；（2）（2）若4MN BC ==，43PA =， 求异面直线PA 与MN 所成的角的大小32、如图,正方形ABCD 与ABEF 不在同一平面内,M 、N 分别在AC 、BF 上，且AM FN = 求证：//MN 平面CBE33、如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，,E P 分别是11,BC A D 的中点，,M N 分别是1,AE CD 的中点，1,2AD AA a AB a ===，求证：//MN 面11ADD A 。
34、如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1 的棱长为a 。
证明：平面ACD 1 ∥平面A 1C 1B 。
35、P 是△ABC 所在平面外一点，A ′、B ′、C ′分别 是△PBC 、△PCA 、△PAB 的重心。
（1）求证：平面A ′B ′C ′∥平面ABC ；36、如图, 在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AA 1＝4，点D 是AB 的中点， （I ）求证：AC ⊥BC 1；（II ）求证：AC 1//平面CDB 1；,37、如图，在底面为平行四边表的四棱锥P ABCD -中，AB AC ⊥，PA ⊥平面ABCD ，且PA AB =， 点E 是PD 的中点.（Ⅰ）求证：AC PB ⊥；（Ⅱ）求证：//PB 平面AEC ；HT AB C DFEMN。