常用分布函数
常见的几种分布函数
常见的几种分布函数概率论中，分布函数（distribution function）是描述随机变量取值的概率分布的函数。
常见的几种分布函数包括离散型分布函数、连续型分布函数以及混合分布函数。
1. 离散型分布函数离散型分布函数是指随机变量在有限或可数个点上取值的分布函数。
离散型分布函数的特点是其概率质量函数只在有限或可数个点上取值，或者说离散型分布函数所描述的随机变量的取值是离散的。
比较常见的离散型分布函数有：- 二项分布函数：二项分布函数是描述n个独立的、相同概率的随机试验中成功的次数的分布函数。
- 泊松分布函数：泊松分布函数是描述一定时间间隔内一个随机事件发生次数的分布函数。
- 几何分布函数：几何分布函数是描述进行一系列独立的、相同概率的实验，成功的次数需要进行多次才能得到的情况的分布函数。
2. 连续型分布函数连续型分布函数是指随机变量的取值范围为连续区间的分布函数。
连续型分布函数所描述的随机变量的取值是连续的。
比较常见的连续型分布函数有：- 正态分布函数：正态分布函数又称高斯分布函数，是一种描述随机变量分布最为常用的分布函数之一。
- 均匀分布函数：均匀分布函数是描述随机变量在一定区间内取值时等概率分布的分布函数。
- 指数分布函数：指数分布函数是描述随机变量取值时间间隔的分布函数。
3. 混合分布函数混合分布函数是指一个随机变量可以同时满足两种或两种以上的分布函数时的情况。
比较常见的混合分布函数有：- 混合正态分布函数：混合正态分布函数是指由多个正态分布函数混合而成的分布函数。
- 混合伯努利分布函数：混合伯努利分布函数是指由多个伯努利分布函数混合而成的分布函数。
总之，分布函数是描述随机变量的 one-stop-shop，而离散型、连续型和混合型都是这一目的下的不同实现方式。
不同的分布函数有不同的特点和应用场景，选择合适的分布函数是进行概率论研究和应用的前提。
16种常见概率分布概率密度函数、意义及其应用
目录1. 均匀分布 (1)2. 正态分布（高斯分布） (2)3. 指数分布 (2)4. Beta分布（：分布） (2)5. Gamm 分布 (3)6. 倒Gamm分布 (4)7. 威布尔分布（Weibull分布、韦伯分布、韦布尔分布） (5)8. Pareto 分布 (6)9. Cauchy分布（柯西分布、柯西-洛伦兹分布） (7)210. 分布（卡方分布） (7)8 11. t分布................................................9 12. F分布 ...............................................10 13. 二项分布............................................10 14. 泊松分布（Poisson 分布）.............................11 15. 对数正态分布........................................1. 均匀分布均匀分布X ~U（a,b）是无信息的，可作为无信息变量的先验分布。
2. 正态分布（高斯分布）当影响一个变量的因素众多，且影响微弱、都不占据主导地位时，这个变量 很可能服从正态分布，记作X~N （」f 2）。
正态分布为方差已知的正态分布N （*2）的参数」的共轭先验分布。
1 空f （x ）： —— e 2-J2 兀 o'E(X)， Var(X) _ c 23. 指数分布指数分布X ~Exp （ ）是指要等到一个随机事件发生，需要经历多久时间。
其 中，.0为尺度参数。
指数分布的无记忆性：Plx s t|X = P{X t}。
f （X ）二 y oiE(X) 一4. Beta 分布（一：分布）f （X ）二 E(X)Var(X)=(b-a)2 12Var(X)二1~2Beta 分布记为X 〜Be(a,b)，其中Beta(1,1)等于均匀分布，其概率密度函数 可凸也可凹。
分布函数与正态分布
分布函数与正态分布分布函数是概率论和统计学中常用的一种工具，用来描述随机变量在一定范围内取值的概率分布情况。
正态分布是常用的概率分布之一，也称为高斯分布，由于其在自然界和社会科学中广泛存在，因此备受重视。
本文将介绍分布函数与正态分布的概念、公式及其应用。
一、分布函数1.1 概念分布函数是一种数学函数，用来描述随机变量 X 取值的概率分布情况。
分布函数F(x) 是 X 的一个实函数，表示X ≤ x 的概率，即：F(x) = P(X ≤ x)P(X ≤ x) 表示随机变量 X 在取值范围内小于等于 x 的概率。
1.2 性质（1）0 ≤ F(x) ≤ 1，对所有 x 成立。
（3）右连续：F(x) 在任何 x 的右端点连续。
（4）左极限存在：F(x-) = lim(x→x-)(F(x)) 存在。
1.3 应用分布函数在实际应用中非常重要，可以用来计算概率密度函数、求期望、方差以及其他与随机变量有关的概率和统计量。
在统计学和概率论中，经常使用分布函数来描述数据的分布情况，例如正态分布、伽马分布、泊松分布等。
二、正态分布正态分布，也称为高斯分布，是一种常见的概率分布，其分布函数呈钟形曲线。
正态分布是指具有均值μ 和标准差σ 的随机变量 X 的概率分布函数，记作N(μ, σ2)。
μ 表示分布的中心位置，σ2 表示分布的离散程度，即方差。
2.2 公式正态分布的概率密度函数可以根据上述定义得到，即：e 为自然常数，π 为圆周率。
（1）其分布函数呈钟形曲线，在μ 处取得最大值。
（2）根据 68-95-99.7 规则，约有 68% 的值在μ ± σ 的范围内，约有 95% 的值在μ ± 2σ 的范围内，约有 99.7% 的值在μ ± 3σ 的范围内。
（3）正态分布在很多自然界和社会科学现象中得到应用，例如身高、体重、智力、月收入、股票价格等。
（1）统计学：正态分布可以用来描述样本数据的分布情况，例如 t 分布、F 分布、卡方分布等。
16种常见概率分布概率密度函数、意义及其应用
目录1. 均匀分布 ...................................................................................................... 1 2. 正态分布（高斯分布） ........................................................................... 2 3. 指数分布 ...................................................................................................... 2 4. Beta 分布（β分布） ............................................................................. 2 5. Gamma 分布 .................................................................................................. 3 6. 倒Gamma 分布 ............................................................................................. 4 7. 威布尔分布(Weibull 分布、韦伯分布、韦布尔分布) ................. 5 8. Pareto 分布 ................................................................................................ 6 9. Cauchy 分布（柯西分布、柯西-洛伦兹分布） . (7)10. 2χ分布（卡方分布） (7)11. t 分布 ........................................................................................................ 8 12. F 分布 ........................................................................................................ 9 13. 二项分布 ................................................................................................ 10 14. 泊松分布（Poisson 分布） ............................................................. 10 15.对数正态分布 .......................................................................................111. 均匀分布均匀分布~(,)X U a b 是无信息的，可作为无信息变量的先验分布。
分布函数
分布函数分布函数（Cumulative Distribution Function, CDF）是概率统计中重要的函数，正是通过它，可用数学分析的方法来研究随机变量。
1.伯努利分布伯努利分布(Bernoulli distribution)又叫做两点分布或者0-1分布，是一个离散型概率分布，若伯努利实验成功，则伯努利随机变量取值为1，如果失败，则伯努利随机变量取值为0。
并记成功的概率为p，那么失败的概率就是1p-，则数学期望为p，方差为(1)p p-，概率密度函数为2.二项分布二项分布即重复n次独立的伯努利试验。
在每次试验中只有两种可能的结果，而且两种结果发生与否互相对立，并且相互独立，与其它各次试验结果无关，事件发生与否的概率在每一次独立试验中都保持不变，则这一系列试验总称为n重伯努利实验，当试验次数为1时，二项分布服从0-1分布。
假设每次试验的成功概率为p，则二项分布的密度函数为：二项分布函数的数学期望为np，方差为(1)-，记为~(,)np pX B n p。
概率密度分布图如下所示。
3.正态分布正态分布（Normal distribution）又名高斯分布（Gaussian distribution），若随机变量X服从一个数学期望为μ、标准方差为σ2的高斯分布，记为：X~N(μ,σ2),则其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。
通常所说的标准正态分布是μ = 0,σ = 1的正态分布。
分布曲线特征：图形特征集中性：正态曲线的高峰位于正中央，即均数所在的位置。
对称性：正态曲线以均数为中心，左右对称，曲线两端永远不与横轴相交。
均匀变动性：正态曲线由均数所在处开始，分别向左右两侧逐渐均匀下降。
曲线与横轴间的面积总等于1，相当于概率密度函数的函数从正无穷到负无穷积分的概率为1。
即频率的总和为100%。
关于μ对称，并在μ处取最大值，在正（负）无穷远处取值为0，在μ±σ处有拐点，形状呈现中间高两边低，正态分布的概率密度函数曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。
常用概率分布间简介
其中 c 为常数，解方程（1）得
f ( ) c f ( )
f
(
)
k
e
1 2
c
2
，
k
为常数.
为使 f ( ) 为概率密度函数，
f
( )d
1，
即
k
e
1 2
c
2
dy
1
故必须 c 0 ，不妨令 c 1 （ 0 ），代入（2）解得 2
k 1 ， 2 Biblioteka 于是f ( ) 1
2
e2 2 ， R ，
2
这是均值为 0，方差为 2 的正态分布的概率密度函数.
.
X
~
N(0, 2)
,
则Y
X2
~
Ga(
1 2
,
1 2
2
)
.
（1） （2）
Ga( n , 1) 2(n) . 22
m
Xi ~ N(0,1) , i 1,2,,n 且相互独立 , 则 X
X
2 i
~
2(n) .
i 1
⒊ 相当误差（比率）的概率分布
m
设
Xi
~
N(0, 2 ) ，i
1,2,, m,m 1,,m n且相互独立，则
i 1
二、随机误差的概率分布
⒈ 高斯随机误差模型 随机变量的高斯分解
可观测的指标
X
不可观测的随机干扰
指标的标准值(生产控制参数,理论均值)
原始测量误差的概率分布
由棣莫弗提出，高斯推证，拉普拉斯再证，原始测量误差的概率分布为：
~ N (0 , 2 )
高斯的推证要点如下：
设测量误差 X 的密度函数为 f ( ) ，由“最大后验概率”的原则得
分布函数-
分布函数概述分布函数是概率论和数理统计中的一个重要概念。
它描述了随机变量取某个值时，其概率是多少。
在实际应用中，我们经常需要求出随机变量的概率分布函数，以便通过它来计算一些重要指标，比如均值、方差等。
在概率论中，分布函数是指随机变量取某个值的概率累积值，即随机变量小于等于某个值的概率，它通常被表示为F(x)。
分布函数的定义随机变量X的累积分布函数F(x)定义为：F(x) = P(X <= x)其中，X是一个随机变量，x是实数。
F(x)表示的是随机变量小于等于x的概率。
根据定义，可以得到以下性质：1. F(x)是单调不降的。
2. F(x)的值域是[0,1]。
3. F(x)具有右连续性，即：lim F(x) = F(x+)x--> x+其中，F(x+)表示x的右极限。
分布函数的性质除了上述基本性质外，分布函数还具有以下重要性质：1. F(x)在x处的导数就是随机变量X在x时的概率密度函数f(x)。
即：F'(x) = f(x)2. 当x趋近于负无穷时，分布函数逼近于0；当x趋近于正无穷时，分布函数逼近于1。
3. 如果子集A包含在子集B中，则F(A)<=F(B)。
分布函数的分类分布函数按照性质和应用范围可以分为以下几类：1. 连续型分布函数如果随机变量X的取值属于某个区间上，那么X的分布函数为：$F(x)=\\int\\limits_{-\\infty}^{x} f(u)du$其中，f(x)是X的概率密度函数。
连续性分布函数通常表示为一个可导的曲线，而概率密度函数通常表示为函数图形下的面积。
常见的连续型分布函数有：(1) 均匀分布函数此型分布函数指随机变量在[a,b]之间取值相等的概率分布。
(2) 正态分布函数这是应用最广泛的分布函数之一。
正态分布函数由数学家德国心理学家阿多夫·奥古斯特·斯蒂度特在公元1805年提出。
它的图形呈现出一个钟形曲线。
2. 离散型分布函数如果随机变量只能取离散值，那么它的分布函数如下：$F(x)=P(X\\leq x)=\\sum\\limits_{x_i\\leq x}^{} p(x_i)$其中，p(x_i)表示随机变量X取到x_i时的概率。
常见的分布函数
常见的分布函数常见的分布函数包括：1. 正态分布函数（Normal Distribution Function）：也称为高斯分布函数，是最常见的概率分布函数之一，用于描述一组数据在平均值附近的分布情况。
其概率密度函数为：$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$$。
2. 均匀分布函数（Uniform Distribution Function）：是一种简单的概率分布函数，表示在一个区间内随机抽取数据的均匀分布情况。
其概率密度函数为：$$f(x)=\begin{cases}。
\frac{1}{b-a} & a\leq x \leq b \\。
0 & \text{其他}。
\end{cases}$$。
3. 伽马分布函数（Gamma Distribution Function）：适用于描述正值的数据分布情况，常用于计算无线电信号的强度、生物统计学等领域。
其概率密度函数为：$$f(x)=\frac{1}{\Gamma(\alpha)\beta^\alpha}x^{\alpha-1}e^{-\frac{x}{\beta}}$$。
4. 指数分布函数（Exponential Distribution Function）：是一种描述随机事件发生时间间隔的概率分布函数，常用于生物学、金融等领域。
其概率密度函数为：$$f(x)=\begin{cases}。
\lambda e^{-\lambda x} & x \geq 0 \\。
0&x<0。
\end{cases}$$。
5. 泊松分布函数（Poisson Distribution Function）：用于描述事件的随机发生次数，常用于工业、生物学等领域。
其概率密度函数为：$$f(x)=\frac{\lambda^x}{x!}e^{-\lambda}$$。
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1常用分布函数1
1常用分布函数
1.1均匀分布X∼U(a,b)
U(x|a,b)=
x
a
1
b−a
dt(a≤x≤b),
其中，期望E(X)和方差Var(X)分别为：
E(X)=a+b 2
Var(X)=(b−a)2
12
1.2正态分布X∼N(µ,σ2)
标准正态分布X∼N(0,1)：
Φ(x)=
x
−∞
φ(t)dt
=
1
√
2π
x
−∞
e−t22dt
其中，期望E(X)和方差Var(X)分别为：
E(X)=0
Var(X)=1正态分布X∼N(µ,σ2)：
F(x)=
x
−∞
f(t)dt
=
1
√
2πσ2
x
−∞
e−(t−µ)2
2σ2dt
其中，期望E(X)和方差Var(X)分别为：
E(X)=µ
Var(X)=σ2
1常用分布函数2 1.3指数分布X∼e(µ,λ)
E(x|µ,λ)=
x
µ
λe−λ(t−µ)dt(x≥µ)
其中，期望E(X)和方差Var(X)分别为：
E(X)=µ+1λ
Var(X)=1λ2
1.4Gamma分布X∼Γ(a,b)
G(x|a,b)=
b a
Γ(a)
x
t a−1e−bt dt(a>0,b>0;x≥0)
其中，Γ(a)为Gamma函数：Γ(a)= ∞
t a−1e−t dt,且期望E(X)和方差Var(X)分
别为：
E(X)=a b
Var(X)=a b2
1.5Beta分布X∼β(a,b)
I x(a,b)=
1
B(a,b)
x
t a−1(1−t)b−1dt
其中，B(a,b)为Beta函数：
B(a,b)=
1
t a−1(1−t)b−1dt
=B(b,a)=Γ(a)Γ(b)Γ(a+b)
1.6χ2分布X∼χ2(n)
H(x|n)=
1
2n2Γ
n
2
(n为正整数;x>0)
其中，期望E(X)和方差Var(X)分别为：
E(X)=n
Var(X)=2n
1常用分布函数3 1.7t分布X∼t(n)
T(x|n)=
1
√
nB
1
2
,n
2
X
−∞
1+
t2
n
−n+12
dt
(n为正整数;−∞<x<∞),其中，期望E(X)和方差Var(X)分别为：
E(X)=0(n>1时),
Var(X)=
n
n−2
(n>2时).
1.8F分布X∼F(m,n)
F(x|m,n)=
m
n
m2
B
m
2
,n
2
x
t m2−1
1+
mt
n
−m+n2
dt (n,n为正整数;x>0),
其中，期望E(X)和方差Var(X)分别为：
E(X)=
n
n−2
(n>2),
Var(X)=
2n2(m+n−2)
m(n−2)2(n−4)
(n>4).。