关于用割圆术推导圆周率的计算公式的方法

关于用割圆术推导

圆周率的计算公式的方法

周家军

（家庭地址：广西陆川县良田镇冯杏村22队，邮编：537717）（目前所在地：广西柳州市，电子邮箱：************************）

摘要：圆周率的计算是有据可依的，它的计算公式在数学上可以推导出来。利用割圆术，可以推导出圆周率的计算公式。

关键词：割圆术；直径分割；半径分割；圆心角。

1、绪言

利用割圆术，可以推导出圆周率的计算公式。

2、用外切圆分割正多边形

假设有一个圆，半径为R，圆心为O，用n根线段（直径）将其均匀分割，如图所示。将各端点连接起来，那么它就是一个有2n个偶数边的正多边形。由此可见，此圆周是正多形的外切圆。

假若组成正多边形的一个三角形为ΔAOB ，圆心角为α ,设AB=S ，正多边形的周长为L ，依题意，有：

OA=OB=R

正多边形的周长L 为： L=2*n*S

圆心角α和分割圆的线段（直径）n 的关系为：

n

n 180

2360=

=

α 根据三角函数，可以列出正多边形的边长S 和圆周半径R 的关系式，为：

S 2=R 2+R 2-2*R*R*cos （α）

)cos 1(*2*α-=R S

2.1、圆周率以正多边形的割边数n 为变量的计算形式

如果分割圆的线段（直径）n 越多，圆周就被分割得越细，组成的正多边形的边就越多。那么正多边形的周长就越接近于圆周的周长，因此，依此就可推导出圆周率的计算公式，为：

)

180

cos 1(*2*2)cos 1(*22222n

n R

nR R

nS R L -=-=

==

απ

2.2、圆周率以正多边形的圆心角α为变量的计算形式 若以圆心角α为变量，也可得到圆周率的另一种计算公式。 圆心角α值越小，分割圆的直径数n 就越多，圆就被分割得越细，组成正多边形的边就越多，正多边形的周长就越接近于圆的周长。因此，依题意有：

将n=

α

180

代入上式，可得：

α

αααπ)cos 1(*2*1802)

cos 1(*2**180

*2222-=

-=

==

R

R R

nS R L

3、用外切圆分割正多边形计算圆周率的另一种方式 过O 点作AB 的垂线OD ，如图所示：

在ΔAOD 中，依题意有： OA=R ∠AOD=2

α AD=2

S

根据三角函数，有如下的关系式：

AD=R*sin(2

α)

2S =R*sin(2

α) S=2*R*sin(2

α

)

正多边形的周长L 为： L=2*n*S =2*

α

180

* 2*R*sin(2

α)

3.1、圆周率以正多边形的圆心角α为变量的计算形式 圆周率的计算公式为：

α

α

ααπ2

sin *36022sin

**2*180*22=

=

=

R R R L 3.2、圆周率以正多边形的割边数n 为变量的计算形式 若要以线段（直径）n 为变量，将a =

n

180

代入上式，即可得 n

n n n

R

L 90

sin

**21802180sin *3602

sin *3602==

=

=

α

α

π

4、用内切圆分割正多边形

在上面的圆周率推导中，是以正多边形的外切圆来进行的。也可以以正多边形的内切圆来推导。用n 根线段（直径）将圆周均匀分割，在端点处作该线段的垂线，各垂线所形成的图形就是一个正多边形，圆圈就是正多边形的内切圆。如下图所示：

假设组成正多边形的一个三角形为ΔAOB ，垂足点为D 。边长AB=S ，正多边形的周长为L ，圆心角为α。依题意，有：

OD=R

α的大小和分割的线段（直径）n 有关联，n 越大，正多边形的边就越多，α就越小；反之，意然。它们的关系式如下：

n

n 180

2360=

=

α 在ΔOAD 中，根据三角函数关系，可列出如下关系式： AD=2

S ∠AOD=2

α

AD=OD*tg(2

α

)

2S = R* tg(2

α) S= 2*R* tg(2

α

)

正多边形的周长L 为： L=2*n*S

=2*

α

180

* 2*R* tg(2

α)

4.1、圆周率以正多边形的圆心角α为变量的计算形式

如果分割圆的线段（直径）n 越多，圆周就被分割得越细，组成的正多边形的边就越多。那么正多边形的周长就越接近于圆的周长，因此，依此就可得出圆周率的计算公式，为：

α

α

ααπ2

*36022**2*180*22tg R tg

R R L =

=

=

4.2、圆周率以正多边形的割边数n 为变量的计算形式 将n

180

=

α代入上式，可得到以线段（直径）n 为变量的另一种形式的计算式子：

n

tg

n n n

tg tg

90

**21802180

*3602

*360==

=

α

α

π

5、圆周率的取值及祖冲之密率证明 将以上推导的圆周率的计算公式整理如下：

)180

cos

1(*2*n

n -=π ○

1