关于用割圆术推导圆周率的计算公式的方法
割圆法求圆周率公式
割圆法求圆周率公式（原创版4篇）目录（篇1）1.割圆法求圆周率的原理2.割圆法求圆周率的公式推导3.割圆法求圆周率的实际应用4.割圆法求圆周率的误差分析正文（篇1）一、割圆法求圆周率的原理割圆法是古代数学家刘徽提出的一种求圆周率的近似值的方法。
该方法的基本思想是通过不断分割圆的周长，将其转化为多边形的周长，从而得到圆的周长。
这种方法可以有效地降低计算难度，提高计算精度。
二、割圆法求圆周率的公式推导割圆法求圆周率的公式为：π = 4a / b，其中a为圆的半径，b为多边形的边长。
当多边形的边数无限增多时，其周长趋近于圆的周长，因此可以近似认为π等于多边形周长与半径的比值，即π = a / b。
三、割圆法求圆周率的实际应用割圆法求圆周率的方法在古代被广泛应用，尤其是在算筹时代。
刘徽利用这种方法计算出了圆周率的前七位数字，为数学发展做出了重要贡献。
在现代，割圆法也广泛应用于测量领域，例如地球半径的测定等。
四、割圆法求圆周率的误差分析割圆法虽然可以快速地得到圆周率的近似值，但在实践中仍然存在一定的误差。
随着计算精度的提高，割圆法的局限性逐渐显现。
例如，当多边形的边数增多时，计算量也会随之增加，导致计算效率降低。
目录（篇2）1.割圆法求圆周率的原理2.割圆法求圆周率的公式推导3.割圆法求圆周率的实际应用4.割圆法求圆周率的误差分析正文（篇2）一、割圆法求圆周率的原理割圆法是古代数学家刘徽提出的一种求圆周率的近似值的方法。
该方法的基本思想是通过不断分割圆的周长，将其转化为多边形的周长，从而得到圆的周长。
这种方法可以有效地降低计算难度，提高计算精度。
二、割圆法求圆周率的公式推导割圆法求圆周率的公式为：π = 4a / b，其中a为圆的半径，b为多边形的边长。
当多边形的边数无限增多时，其周长趋近于圆的周长，因此π的值也趋近于圆的周率。
三、割圆法求圆周率的实际应用割圆法求圆周率的方法在古代和现代都有着广泛的应用。
圆周率π的计算方法
圆周率π的计算方法圆周率的计算方法古人计算圆周率，一般是用割圆法。
即用圆的内接或外切正多边形来逼近圆的周长。
Archimedes用正96边形得到圆周率小数点后3位的精度；刘徽用正3072边形得到5位精度；Ludolph Van Ceulen 用正262边形得到了35位精度。
这种基于几何的算法计算量大，速度慢，吃力不讨好。
随着数学的发展，数学家们在进行数学研究时有意无意地发现了许多计算圆周率的公式。
1、Machin公式这个公式由英国天文学教授John Machin于1706年发现。
他利用这个公式计算到了100位的圆周率。
Machin公式每计算一项可以得到1.4位的十进制精度。
因为它的计算过程中被乘数和被除数都不大于长整数，所以可以很容易地在计算机上编程实现。
用马青公式计算Pi至小数点后100位程序program Pi_Value;{$APPTYPE CONSOLE}//将Pi计算精确小数点后100位//Machin公式//Pi=16arctan(1/5)-4arctan(1/239)usesSysUtils;constN=100;S=2*N+50;aNum=5;bNum=239;typeNum=array [1..S] of byte;//初始化数组procedure AZero(var arr:Num);vari:smallint;beginfor i:=1 to S doarr:=0;end;//除法procedure Division(var arr:Num;const b:smallint); varc,y,i:smallint;beginc:=0;for i:=1 to S dobeginy:=arr+c*10;c:=y mod b;arr:=y div b;end;end;//加法procedure Addition(var arr:Num;const b:Num);vari,y,c:smallint;beginc:=0;for i:=S downto 1 dobeginy:=arr+b+c;if y>=10 thenbeginc:=1;arr:=y-10;endelsebeginc:=0;arr:=y;end;end;end;//减法procedure Minus(var arr:Num;const b:Num); vari,y,c:smallint;beginc:=0;for i:=S downto 1 dobeginy:=arr-b-c;if y<0 thenbeginc:=1;arr:=10+y;endelsebeginc:=0;arr:=y;end;end;end;vartag:boolean;a,b,Ra,Rb,t:Num;i,j:smallint;beginAZero(t);Ra:=t;Rb:=t;tag:=true;writeln('计算中，请等待......'); for i:=1 to N dobegina:=t;b:=t;a[1]:=16;b[1]:=4;for j:=1 to i*2-1 dobeginDivision(a,aNum);DiVision(b,bNum);end;Division(a,i*2-1);Division(b,i*2-1);if tag thenbegintag:=false;Addition(Ra,a);Addition(Rb,b);endelsebegintag:=true;Minus(Ra,a);Minus(Rb,b);end;end;Minus(Ra,Rb);writeln('计算结果如下：'); writeln(Ra[1],'.');for i:=2 to N+1 dowrite(Ra);readln;End.还有很多类似于Machin公式的反正切公式。
割圜密率捷法
割圜密率捷法
割圆密率捷法，又称割圆法、割圆术，是一种用直尺和圆规来构造近似于等分圆的方法。
该方法是古代希腊数学家阿基米德发展的一种近似方法，以求得圆周率的近似值。
割圆密率捷法的基本思想是通过在一个圆的内切正多边形中逐渐增加边数，并计算多边形的周长与直径的比值来逼近圆周率。
具体步骤如下：
1. 画一个圆，并在圆上确定一个点作为起始点。
2. 用直尺和圆规从起始点开始，按照一定的方法构造一个内切正多边形。
3. 计算多边形的周长，也就是各边之和。
4. 计算多边形的直径，也就是连接圆心与两个对角顶点的线段的长度。
5. 计算多边形的周长与直径的比值。
6. 再次使用直尺和圆规，按照一定的方法构造一个边数更多的内切正多边形。
7. 重复步骤3至步骤6，直到所构造的多边形边数足够多，或
者结果足够接近圆周率。
通过不断增加多边形的边数，割圆密率捷法可以逼近圆周率的精确值。
这一方法的优点是简单易行，不涉及复杂的数学推导和计算，适合初学者使用。
但是由于是近似方法，其结果仍然存在一定的误差。
数学文化之割圆术
割圆术3世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法，所谓割圆术，就是不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率的方法.“圜，一中同长也”.意思是说：圆只有一个中心，圆周上每一点到中心的距离相等.早在我国先秦时期，《墨经》上就已经给出了圆的这个定义，而公元前11世纪，我国西周时期数学家商高也曾与周公讨论过圆与方的关系.认识了圆，人们也就开始了有关于圆的种种计算，特别是计算圆的面积.我国古代数学经典《九章算术》在第一章“方田”章中写到“半周半径相乘得积步”，也就是我们现在所熟悉的公式.为了证明这个公式，我国魏晋时期数学家刘徽于公元263年撰写《九章算术注》，在这一公式后面写了一篇1800余字的注记，这篇注记就是数学史上著名的“割圆术”. 利用圆内接或外切正多边形，求圆周率近似值的方法，其原理是当正多边形的边数增加时，它的边长和逐渐逼近圆周.早在公元前5世纪，古希腊学者安蒂丰为了研究化圆为方问题就设计一种方法：先作一个圆内接正四边形，以此为基础作一个圆内接正八边形，再逐次加倍其边数，得到正16边形、正32边形等等，直至正多边形的边长小到恰与它们各自所在的圆周部分重合，他认为就可以完成化圆为方问题.到公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德在《论球和圆柱》一书中利用穷竭法建立起这样的命题：只要边数足够多，圆外切正多边形的面积与内接正多边形的面积之差可以任意小.阿基米德又在《圆的度量》一书中利用正多边形割圆的方法得到圆周率的值小于三又七分之一而大于三又七十分之十，还说圆面积与外切正方形面积之比为11：14，即取圆周率等于22/7.公元263年，中国数学家刘徽在《九章算术注》中提出“割圆”之说，他从圆内接正六边形开始，每次把边数加倍，直至圆内接正96边形，算得圆周率为 3.14或157/50，后人称之为徽率.书中还记载了圆周率更精确的值3927/1250（等于3.1416）.刘徽断言“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”.其思想与古希腊穷竭法不谋而合.割圆术在圆周率计算史上曾长期使用.1610年德国数学家柯伦用2^62边形将圆周率计算到小数点后35位.1630年格林贝尔格利用改进的方法计算到小数点后39位，成为割圆术计算圆周率的最好结果.分析方法发明后逐渐取代了割圆术，但割圆术作为计算圆周率最早的科学方法一直为人们所称道.。
割圆术的理解
割圆术的理解
割圆术，又称作圆周率的计算方法，是古代数学家们为了解决圆周率这一无理数的问题而提出的一种独特的数学技巧。
通过不断逼近、分割圆的方法，人们逐渐探索出了一系列近似值，使得这个神秘的圆周率逐渐呈现出一种规律性。
在古代，人们对圆周率的求解一直是一个难题。
圆周率是一个无限不循环小数，无法用简单的分数或有限小数来表示。
因此，数学家们努力探索各种方法，试图找到一种近似值来代表这个神秘的数。
最早的割圆术可以追溯到古代希腊数学家阿基米德。
他通过不断细分正多边形，逐渐逼近圆的周长，从而得到了一个相对准确的圆周率近似值。
这种方法被称为阿基米德割圆术，为后人提供了一个重要的启示。
除了阿基米德，古代中国的数学家刘徽也提出了类似的割圆方法。
他通过细分正方形、正六边形等多边形，逐步逼近圆的周长，得到了一系列圆周率的近似值。
这种方法被称为刘徽割圆术，为中国古代数学的发展做出了重要贡献。
随着数学的发展，人们逐渐发现，割圆术不仅可以用来计算圆周率，还可以应用于其他领域。
例如，在微积分中，割圆术可以用来计算曲线的长度、面积等问题。
在工程领域，割圆术可以用来设计各种复杂的曲线、图形等。
总的来说，割圆术是一种古老而神秘的数学方法，它通过不断逼近、分割圆的方式，揭示了圆周率这个神秘数的一些规律。
虽然我们无法用有限的小数或分数来精确表示圆周率，但通过割圆术这种方法，我们可以得到一系列近似值，从而更好地理解这个数学世界的奥秘。
c语言实现割圆术计算圆周率
割圆术计算圆周率“割圆术”是我国数学家刘徽创立的一种求圆周率的方法。
思想是当圆的内接正多边形的边数无限大时内接正多边形的面积就无限趋近于圆的面积，即所谓“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体无所失矣”。
“割圆术”理论上能把π的精度计算到任意精度。
现在我们利用计算机能够自动的完成这个过程。
我们先来分析一下圆的内接正六边形、正十二边形、正二十四边形······的面积之间的关系，寻求它们的递增规律。
如图，设圆的半径为1，弦心距为n h ；正n 边形的边长为n x ，面积为n s 。
由勾股定理，得)2(21n n x h -=，)1()2(222n n n h x x -+=,(n≥6)。
不难发现，正2n 边形的面积等于正n 边形的面积加上n 个等腰三角形的面积，即)6(),1(21s s 2≥-⋅⋅⋅+=n h x n n n n n 。
利用这个递推公式和n=6时的面积、弦心距就能不断循环得到一个比较接近圆的面积的值。
因为圆的半径是1，所以面积为π，那么正2n 边形的极限值即为π的值。
现在我们用c 语言来计算该近似值，利用初值和递推关系来循环计算。
由于用到了sqrt（）这个数学函数，所以要包含math.h 这个头文件。
程序结果的输出利用了printf()这个函数，所以要包含printf()所在的头文件，即Stdio.h。
我使用的编译器为gcc IDE 为Dev c++,下面是示例代码#include <stdio.h>#include <math.h>O 是原点、hn 是弦心距、xn 是正n 边形的边长、x2n 是正2n边形的边长int main(){long int n;/*定义内接正多边形的边数*/double h,x,s;/*h是弦心距,x是边长，s是面积*/for(n=6,x=1,s=3*sqrt(3)/2;n<=5999;n+=n)/*n的初值为6，此时设x的值就是单位圆的半径1，s的值为正六边形的面积。
求圆周率中国古代数学家的贡献
THANKS
谢谢
刘徽的割圆术
总结词
刘徽是中国南北朝时期的杰出数学家，他提出的割圆术是一种基于无穷级数展开 来计算圆周率的方法，这种方法在当时是具有创新性的。
详细描述
刘徽的割圆术是通过将圆不断分割成更小的多边形，然后利用多边形的周长来逼 近圆的周长，最终得到圆周率的值。这种方法为后来的研究提供了新的思路和方 向。
03
中国古代数学家对圆周率研究的贡献
最早的记录
刘徽与“割圆术”
中国最早的数学文献《周髀算 经》中已有关于圆周率的记载 ，可以追溯到公元前1世纪。
三国时期的数学家刘徽提出了 “割圆术”，通过不断割圆， 将圆周率精确计算到小数点后 六位。
祖暅恒等式
南北朝时期的数学家祖暅在研 究球体体积时，发现了祖暅恒 等式，这一公式在欧洲直到17 世纪才被重新发现。
CHAPTER
南北朝时期的圆周率研究
祖冲之与圆周率
祖冲之是中国南北朝时期杰出的数学 家和天文学家，他首次将圆周率精确 计算到小数点后七位，打破了此前世 界纪录。
祖冲之在研究过程中，采用了独特的 “割圆术”方法，通过不断割圆，将 圆周率精确到小数点后七位，这一成 果在当时世界上处于领先地位。
祖敩的圆周率研究
郭守敬与“正割幂级数展 开式”
元代天文学家郭守敬在研究天 文时，利用“正割幂级数展开 式”计算出了圆周率π的近似值， 精确到小数点后13位。
02
CHAPTER
早期的圆周率研究
《周髀算经》中的圆周率记载
总结词
这是中国最古老的数学著作，其中 记载了圆周率π的近似值，虽然精 度不高，但意义重大。
详细描述
如刘徽的“割圆术”、祖冲之的“缀术”等，这些算法在 当时具有很高的科学水平，体现了中国古代数学家的智慧 和创新。
关于用割圆术推导圆周率的计算公式的方法
关于用割圆术推导圆周率的计算公式的方法割圆术是一种传统数学方法，可以用来估算圆周率。
在古代，人们发现用割圆术来推导圆周率的计算公式是一种相对简单而有效的方法。
下面将详细介绍这种方法以及它的推导过程。
割圆术最早由古希腊数学家阿基米德于公元前三世纪发现并研究。
阿基米德通过割圆术，成功计算出了圆周率的近似值，并称之为“阿基米德的圆周率”。
这种方法的基本思想是通过构造正多边形逐渐逼近圆形，从而得到圆周率的估算值。
首先，让我们以半径为1的单位圆为例。
我们可以将单位圆分为n等分，并连接圆心与这些分点，形成一个正n边形。
我们知道正n边形的内角是(n-2)180度，因此每个内角是(1-2/n)180度。
接下来，我们可以计算正n边形的周长。
由于正n边形的n条边的长度都相等，我们只需要计算其中一条边的长度，然后乘以n即可。
设该边的长度为s，那么根据三角函数的定义，s可以表示为2sin(π/n)。
进一步，我们可以用割圆术来逼近sin(π/n)。
将圆分为n等分后，我们可以得到一个与单位圆相切的正n边形。
接着，我们将每个分点与圆心相连，形成一个小的扇形。
显然，扇形的面积是正n边形的1/n。
如果我们将所有的扇形堆叠在一起，可以构成一个与1/4单位圆相等的图形。
这是因为，这些扇形的总面积正好是圆的1/4，而圆的面积为πr^2，即π/4通过割圆术，我们得到了圆面积与正n边形面积的比值为π/4、而正n边形面积的计算公式为(n/2) * s^2 * tan(π/n)，其中n为边数，s为边长。
根据前面的分析，s可以表示为2sin(π/n)。
将这些代入计算公式，可以得到：π/4 = (n/2) * (2sin(π/n))^2 * tan(π/n)接下来，我们需要求解该方程，得到π的近似值。
由于这是一个三角函数的方程，我们可以使用数值计算的方法来逼近解。
我们可以通过逐步增大n的值，计算方程右边的值，直到得到满足精度要求的近似值。
值得注意的是，割圆术只是一种近似计算方法，并不能得到圆周率的确切值。
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关于用割圆术推导
圆周率的计算公式的方法
周家军
（家庭地址：广西陆川县良田镇冯杏村22队，邮编：537717）（目前所在地：广西柳州市，电子邮箱：************************）
摘要：圆周率的计算是有据可依的，它的计算公式在数学上可以推导出来。
利用割圆术，可以推导出圆周率的计算公式。
关键词：割圆术；直径分割；半径分割；圆心角。
1、绪言
利用割圆术，可以推导出圆周率的计算公式。
2、用外切圆分割正多边形
假设有一个圆，半径为R，圆心为O，用n根线段（直径）将其均匀分割，如图所示。
将各端点连接起来，那么它就是一个有2n个偶数边的正多边形。
由此可见，此圆周是正多形的外切圆。
假若组成正多边形的一个三角形为ΔAOB ，圆心角为α ,设AB=S ，正多边形的周长为L ，依题意，有：
OA=OB=R
正多边形的周长L 为： L=2*n*S
圆心角α和分割圆的线段（直径）n 的关系为：
n
n 180
2360=
=
α 根据三角函数，可以列出正多边形的边长S 和圆周半径R 的关系式，为：
S 2=R 2+R 2-2*R*R*cos （α）
)cos 1(*2*α-=R S
2.1、圆周率以正多边形的割边数n 为变量的计算形式
如果分割圆的线段（直径）n 越多，圆周就被分割得越细，组成的正多边形的边就越多。
那么正多边形的周长就越接近于圆周的周长，因此，依此就可推导出圆周率的计算公式，为：
)
180
cos 1(*2*2)cos 1(*22222n
n R
nR R
nS R L -=-=
==
απ
2.2、圆周率以正多边形的圆心角α为变量的计算形式 若以圆心角α为变量，也可得到圆周率的另一种计算公式。
圆心角α值越小，分割圆的直径数n 就越多，圆就被分割得越细，组成正多边形的边就越多，正多边形的周长就越接近于圆的周长。
因此，依题意有：
将n=
α
180
代入上式，可得：
α
αααπ)cos 1(*2*1802)
cos 1(*2**180
*2222-=
-=
==
R
R R
nS R L
3、用外切圆分割正多边形计算圆周率的另一种方式 过O 点作AB 的垂线OD ，如图所示：
在ΔAOD 中，依题意有： OA=R ∠AOD=2
α AD=2
S
根据三角函数，有如下的关系式：
AD=R*sin(2
α)
2S =R*sin(2
α) S=2*R*sin(2
α
)
正多边形的周长L 为： L=2*n*S =2*
α
180
* 2*R*sin(2
α)
3.1、圆周率以正多边形的圆心角α为变量的计算形式 圆周率的计算公式为：
α
α
ααπ2
sin *36022sin
**2*180*22=
=
=
R R R L 3.2、圆周率以正多边形的割边数n 为变量的计算形式 若要以线段（直径）n 为变量，将a =
n
180
代入上式，即可得 n
n n n
R
L 90
sin
**21802180sin *3602
sin *3602==
=
=
α
α
π
4、用内切圆分割正多边形
在上面的圆周率推导中，是以正多边形的外切圆来进行的。
也可以以正多边形的内切圆来推导。
用n 根线段（直径）将圆周均匀分割，在端点处作该线段的垂线，各垂线所形成的图形就是一个正多边形，圆圈就是正多边形的内切圆。
如下图所示：
假设组成正多边形的一个三角形为ΔAOB ，垂足点为D 。
边长AB=S ，正多边形的周长为L ，圆心角为α。
依题意，有：
OD=R
α的大小和分割的线段（直径）n 有关联，n 越大，正多边形的边就越多，α就越小；反之，意然。
它们的关系式如下：
n
n 180
2360=
=
α 在ΔOAD 中，根据三角函数关系，可列出如下关系式： AD=2
S ∠AOD=2
α
AD=OD*tg(2
α
)
2S = R* tg(2
α) S= 2*R* tg(2
α
)
正多边形的周长L 为： L=2*n*S
=2*
α
180
* 2*R* tg(2
α)
4.1、圆周率以正多边形的圆心角α为变量的计算形式
如果分割圆的线段（直径）n 越多，圆周就被分割得越细，组成的正多边形的边就越多。
那么正多边形的周长就越接近于圆的周长，因此，依此就可得出圆周率的计算公式，为：
α
α
ααπ2
*36022**2*180*22tg R tg
R R L =
=
=
4.2、圆周率以正多边形的割边数n 为变量的计算形式 将n
180
=
α代入上式，可得到以线段（直径）n 为变量的另一种形式的计算式子：
n
tg
n n n
tg tg
90
**21802180
*3602
*360==
=
α
α
π
5、圆周率的取值及祖冲之密率证明 将以上推导的圆周率的计算公式整理如下：
)180
cos
1(*2*n
n -=π ○
1
n n 90
sin
**2=π ○2 n
tg n 90
**2=π ○
3
或：
α
απ)
cos 1(*2*180-=
○4
α
α
π2sin
*360=
○
5
α
α
π2*360tg
=
○
6
公式○1和○4、○2和○5、○3和○6是等价的，可以相互转换，转换因子为n
180
=
α。
（用公式计算圆周率时，理论分析上，n 只能取正整数，a 为能被360整除并且结果为偶数的值，这样，才能和题意所说的条件相符合，也只有这样，计算出的圆周率值才能越准确。
）
以上是用直径分割圆周来推导圆周率计算公式，也可以用半径来分割圆周，推导出圆周率的计算式子。
在此就不一一叙述了，有兴趣的朋友可以做一做。
大概在2000年或2001年，我就推导出这些圆周率计算公式。
我曾经将公式给我的数学老师（梁春崇先生）看，他试图用洛必达法则来证明，因进入一个循环，未果。
历史上，祖冲之算出了圆周率在3.1415926和3.1415927之间。
他还得出圆的密率为
7
22
，这是可以证明的。
在以上有a 的式子里，将a=7代入公式，在内切圆中，Π≈7977.21≈7
22
,在外切圆中，Π
≈
7018.22≈722。
由此可知，祖冲之用了n=7
180
=25.7≈26，用了26根棍子（直径）去分割圆，才算出了圆周的这个密率。
如果将Π=3.1415926代入○1式，整理后，得： 2*n 2-2*n 2*cos
n
180
- 3.1415926*3.1415926=0 这个式子我不知道怎样解，如果哪位朋友如果知道解法，麻烦就请解一下，将n 值求出来，就可知道祖冲之当时用了多少根棍子去分割圆，才算出了这个圆周率。
不过，当我用数字代入n 值后计算时，我发现，只有当n=5000时，派=3.14159260，也就是说，用了5000根棍子（直径）去分割圆周。
6、圆周率的其他计算形式 当用n
k 360
*
1=α（k 为任意正数 ）代入上面的公式，可得到圆周率的另一种计算公式。
这个公式依然可以计算出圆周率的值。
比如说：当k=1时，n
n 360
360*11=
=α，代入上式： 代入○1式得
α
α
αα
π)
2cos 1(*2*360)360
180
cos
1(*2*360
)180
cos
1(*2*-=
-=-=n n 代入○2式得
α
α
α
α
π4
sin *72036090sin *360*290sin
**2=
==n
n
代入○5式得
n
n n n
180
sin
*3602360
sin *3602
sin
*360==
=
α
α
π （这就是用半径分割圆周推导的圆周率的计算公式）
用以上式子计算时，要记注n 和a 的取值范围，n →∞，而a →0，并且，n 要取整数，a 要取能被360整除的数，这样，计算出来的圆周率就越准确。
***完***。