安徽省安庆市五校联盟2015年高三下学期3月联考数学试卷(理)

安徽省安庆市五校联盟2015年高三下学期3月联考数学试卷（理）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若复数ib ia 3-+（Rb a ∈,）对应的点在虚轴上，则ab 的值是 A.15- B. 3 C. 3- D. 152．设抛物线214y x =上的一点P 到x 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离为 A.3 B.4 C.5 D.6 3．下列命题是假命题的是A. ,a b R +∀∈，lg()lg lg a b a b +≠+B. R ϕ∃∈，使得函数()sin(2)f x x ϕ=+是偶函数C. ,R αβ∃∈，使得cos()cos cos αβαβ+=+D. m R ∃∈，使243()(1)m m f x m x -+=-⋅是幂函数，且在(0,)+∞上递减4．设函数()sin cos f x x x x =+的图像在点(,())t f t 处切线的斜率为k ，则函数()k g t =的部分图像为5．由直线x y e x y 2,,0===及曲线xy 2=所围成的封闭的图形的面积为 A. 2ln 23+B. 3C. 322-eD. e6．已知函数()|lg |f x x =，0a b >>，()()f a f b =，则22a b a b+-的最小值等于A. B. C. 2+ D.7．已知数列{}n a 是等差数列，1tan 225a =，5113a a =，设n S 为数列{(1)}n n a -的前n 项和，则2015S =A.2015B.2015-C. 3024D.3022-8．已知a 、b 为平面向量，若+a b 与a 的夹角为3π，+a b 与b 的夹角为4π，则||||=a bB.9．已知1F 、2F 是双曲线22221x y a b-=(0,0a b >>)的左、右焦点，点1F 关于渐近线的对称点恰好落在以2F 为圆心，2OF 为半径的圆上，则该双曲线的离心率为B. C.2D.310．定义在R 上的函数()f x 满足1(2)()2f x f x +=，当[0,2)x ∈时，231||212,01,2()2,1 2.x x x f x x --⎧-≤<⎪=⎨⎪-≤<⎩函数32()3g x x x m =++．若[4,2)s ∀∈--，[4,2)t ∃∈--，不等式()()0f s g t -≥成立，则实数m 的取值范围是 A. (,12]-∞-B. (,4]-∞-C. (,8]-∞D. 31(,]2-∞ 第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知直线1:260l ax y ++=，()22:110l x a y a +-+-=，若12l l ⊥，则a =________．12．设1m >,在约束条件1y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下,目标函数z x my =+的最大值等于2,则m =_________．13．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为 ．14．已知定义在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时，3()log (1)=+f x x ．若关于x 的不等式2[(2)](22)f x a a f ax x ++≤+的解集为A ，函数()f x 在[8,8]-上的值域为B ，若“xA ∈”是“xB ∈”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是 ．15．已知曲线C ：22y x a =+在点n P (n （0,a n >∈N ）处的切线n l 的斜率为n k ，直线n l 交x 轴，y 轴分别于点(,0)n n A x ，(0,)n n B y，且00=x y ．给出以下结论： ①1a =；②当*n ∈N 时，n y 的最小值为54； ③当*n ∈N时，n k < ④当*n ∈N 时，记数列{}n k 的前n 项和为n S ，则1)n S ． 其中，正确的结论有 ．（写出所有正确结论的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16.（本小题满分12分）已知函数2()sin (2cossin )cos f x x x x x =⋅-+． (Ⅰ)讨论函数()fx 在[0,]π上的单调性；(Ⅱ)设42ππα<<，且()f α=，求sin 2α的值．17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、sin cC=， （Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）若6=a ，求b c +的取值范围.18．（本小题满分12分）已知圆C ：4)4()3(22=-+-y x ，直线1l 过定点(1,0)A . (Ⅰ)若1l 与圆C 相切，求1l 的方程；(Ⅱ)若1l 与圆C 相交于P 、Q 两点，求CPQ ∆的面积的最大值，并求此时直线1l 的方程.19.（本小题满分13分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21441,,n n a S n n N *+=++∈且2514,,a a a 恰好是等比数列{}n b 的前三项．（Ⅰ）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记数列{}n b 的前n 项和为n T ,若对任意的*n N ∈，3()362n T k n +≥-恒成立，求实数k 的取值范围．20.（本小题满分13分）已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为，且经过点．(Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅱ)A 是椭圆E 与y 轴正半轴的交点, 椭圆E 上是否存在两点M 、N ，使得AMN ∆是以A 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由.21.（本小题满分13分）已知函数()e x f x ax a =--（其中a ∈R ，e 是自然对数的底数， 2.71828e =）． (Ⅰ)当a e =时，求函数()f x 的极值；(Ⅱ)若()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；(Ⅲ)求证：对任意正整数n ，都有222221212121en n ⨯⨯⨯>+++．安徽省安庆市五校联盟2015年高三下学期3月联考数学试卷（理）答案1-5：BCABB 6-10:ADDCC11．4312．1+ 14．20a -≤≤ 15．①③④ 16.（本小题满分12分）解析：(Ⅰ) 22()sin 2sin cos f x x x x =-+sin2cos2x x =+)4x π=+， ············ 2分由[0,]x π∈得92[,]444x πππ+∈，当2[,]442x πππ+∈即[0,]8x π∈时，()f x 递增； 当32[,]422x πππ+∈即5[,]88x ππ∈时，()f x 递减；当392[,]424x πππ+∈即5[,]8x ππ∈时，()f x 递增．综上，函数()f x 在区间[0,]8π、5[,]8ππ上递增，在区间5[,]88ππ上递减． ············· 6分(Ⅱ)由()f α=)4πα+=，得5sin(2)413πα+=-， ··············· 7分因为42ππα<<，所以35244πππα<+<，可得12cos(2)413πα+=-， ······················· 9分则sin 2αsin[(2)]4ππα=+-))44ππαα=+-+ ································· 11分512()()1313=--． ······················································································· 12分17.（本小题满分12分）解析：sin sin c aC A==从而sin A A =，tan A = ∵0A π<<，∴3A π=．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（Ⅱ）法一：由已知：0,0b c >>，6b c a +>= 由余弦定理得：222362cos ()33b c bc b c bc π=+-=+-22231()()()44b c b c b c ≥+-+=+（当且仅当b c =时等号成立）∴（2()436b c +≤⨯，又6b c +>，∴612b c <+≤，从而b c +的取值范围是(6,12].．．．．．．．．．．12分18.（本小题满分12分）19（本小题满分12分）(Ⅱ) 11(1)3(13)331132n n n n b q T q +---===--， 1333()3622n k n +-∴+≥-对*n N ∈恒成立， 243nn k -∴≥对*n N ∈恒成立，----9分，20.（本小题满分13分）(Ⅰ)由题22223,131,4a b ab ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩解得24a =，21b =． 所以椭圆Ω的方程为2214x y +=． ················································································· 4分(Ⅱ)由题意可知，直角边AM ，AN 不可能垂直或平行于x 轴，故可设AM 所在直线的方程为1y kx =+，不妨设0k >，则直线AN 所在的方程为11y x k=-+． ······················································· 5分联立方程221,44,y kx x y =+⎧⎨+=⎩消去y 整理得22(14)80k x kx ++=，解得2814M k x k =-+， ·· 6分 将2814M kx k =-+代入1y kx =+可得228114M k y k -=++，故点M 22288(,1)1414k k k k --+++.所以AM == ·················································· 8分同理可得AN =，由AM AN =，得22(4)14k k k +=+， ·························· 10分所以324410k k k -+-=，则2(1)(31)0k k k --+=，解得1k =或k ． ······· 12分 当AM 斜率1k =时，AN 斜率1-；当AM斜率k =时，AN；当AM斜率k =时，AN．综上所述，符合条件的三角形有3个. ·········································································· 13分21.（本小题满分13分）解析：(Ⅰ) 当e a =时，()e e e x f x x =--，()e e x f x '=-， 当1x <时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>．所以函数()f x 在(,1)-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，所以函数()f x 在1x =处取得极小值(1)e f =-，函数()f x 无极大值． ····················· 3分(Ⅱ)由()e x f x ax a =--，()e x f x a '=-，若0a <，则()0f x '>，函数()f x 单调递增，当x 趋近于负无穷大时，()f x 趋近于负无穷大；当x 趋近于正无穷大时，()f x 趋近于正无穷大，故函数()f x 存在唯一零点0x ，当0x x <时，()0f x <；当0x x >时，()0f x >．故0a <不满足条件． ···························································································· 5分 若0a =，()e 0x f x =≥恒成立，满足条件． ································································· 6分若0a >，由()0f x '=，得ln x a =，当ln x a <时，()0f x '<；当ln x a >时，()0f x '>，所以函数()f x 在(,ln )a -∞上单调递减，在(ln ,)a +∞上单调递增，所以函数()f x 在ln x a =处取得极小值(ln )f a ln e ln ln a a a a a a =-⋅-=-⋅，由(ln )0f a ≥得ln 0a a -⋅≥，解得01a <≤．综上，满足()0f x ≥恒成立时实数a 的取值范围是[0,1]． ········································· 8分(Ⅲ)由(Ⅱ)知，当1a =时，()0f x ≥恒成立，所以()e 10x f x x =--≥恒成立，即e 1x x ≥+，所以ln(1)x x +≤， ···························································································· 9分令12n x =(*n ∈N )，得11ln(1)22n n +<， ·········································································· 10分则有2111ln(1)ln(1)ln(1)222n ++++++211[1()]1111221()11222212n n n -<+++==-<-，…………11分 所以2111(1)(1)(1)e 222n ++⋅⋅+<，所以211111e (1)(1)(1)222n >++⋅⋅+，即222221212121e n n ⨯⨯⨯>+++． ······················ 13分。