数列上课学习上课学习教案_1
数列的概念教案
数列的概念教案数列的概念教案一、教学目标1. 了解数列的概念和定义；2. 能够判断一个数列的规律；3. 能够根据给定的数列规律，推导出数列的通项公式；4. 能够应用数列的概念解决实际问题。
二、教学内容1. 数列的概念和定义；2. 数列的通项公式；3. 数列的前n项和；4. 应用数列解决实际问题。
三、教学步骤步骤一：引入数列的概念通过举例子的方式，让学生观察一些数的排列，找出其中的规律性。
例如：1、2、3、4、5...；1、3、5、7、9...等。
并引导学生思考这些数的排列是否有一定的规律，如果有，我们可以将其称为数列。
步骤二：引出数列的定义根据学生的观察和理解，引出数列的概念和定义。
数列是由一列数按照一定的顺序排列而成的序列，其中每个数称为该数列的项，用an表示，n表示项的位置。
步骤三：数列的通项公式的引入引导学生在观察数列的过程中，思考如何得到数列中的每一项。
例如，对于数列1、2、3、4、5...，如果需要求第n个数，我们可以发现数列中的每一项都比前一项大1，所以第n个数可以表示为an = a1 + (n - 1)。
步骤四：数列的前n项和的引入引导学生思考如何求一个数列的前n项和。
例如，对于数列1、2、3、4、5...，如果需要求前n项的和S，我们可以发现数列中的每一项都比前一项大1，所以可以利用等差数列求和公式Sn = (a1 + an) / 2 * n，其中an = a1 + (n - 1)。
步骤五：应用数列解决实际问题通过实际问题的引入，让学生应用数列的概念解决问题。
例如，有一序列数：1、3、5、7、9...，要求求出第n项的值并求前n 项和。
引导学生观察数列规律，判断数列是等差数列，然后根据通项公式和求和公式计算出结果。
四、教学注意事项1. 引导学生在观察数列的过程中，思考数列的规律；2. 培养学生分析和推断的能力，让其能够根据已知规律求解未知项或和；3. 引导学生在解决实际问题时，将问题转化为数列问题，然后应用数列的概念解决问题。
人教版中职数学基础模块下册《数列的概念》教案 (一)
人教版中职数学基础模块下册《数列的概念》教案 (一)本文将围绕人教版中职数学基础模块下册《数列的概念》教案进行阐述和分析。
文章结构分为引言、教案分析和教学体会。
希望本文能够对数学教学教师以及学生们提供一些参考和帮助。
引言数列是数学中的一个重要概念，在高中数学中便有涉及。
而在中职教学中，更是需要对数列进行更加深入的了解和探究。
为此，人教版编写了《数列的概念》的教案，帮助教师更好地教授这一内容。
接下来将对这一教案进行分析和讨论。
教案分析一、教学目标本教案的教学目标明确，包括基本知识、技能、过程、情感和价值观的培养。
其中包括对数列和等差数列的定义和性质、数列的公式和求和公式以及解决实际问题的能力。
通过教学，学生们可以具备较好的数列分析能力，掌握一定的实际问题解决能力。
二、教学内容本教案的教学内容主要包括以下几个方面：数列的概念、等差数列的定义和性质、数列的公式和求和公式以及解决实际问题。
这些内容相辅相成，包含了数列最基本的知识点，可以帮助学生们全面地了解数列的性质和应用。
三、教学方法本教案的教学方法多样，包括了讲授、自主学习、小组合作等多种形式。
其中，小组合作能够增强学生们的合作意识和解决问题的能力；自主学习则可以培养学生们的自主学习能力。
这些教学方法能够帮助学生们更好地掌握数列相关知识点。
四、教具准备和课堂安排本教案的教具准备比较充足，包括了PPT、教学黑板、教学实物等。
这些教具对于教师讲解、学生学习都有很大的帮助。
此外，教案规定了较为详细的课堂安排，包括了准备、导入、展示、提高、反思等五个环节。
这种严谨的课堂安排有助于教学效果的提高。
教学体会通过对教案的分析和讨论，我们可以看到这份教案的编写有着较为严谨的逻辑和合理的设计。
在实际教学中，我也发现了教案的优点和好处。
例如，教案具有较高的针对性和系统性，能够帮助学生们更好地理解和掌握数列相关知识点；同时，教案的安排合理，能够帮助教师更好地指导和管理整个教学过程。
高中数学教案 第1讲 数列的概念与简单表示法
第1讲数列的概念与简单表示法1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数，理解单调性是数列的一项重要性质，可用来求最值.1.数列的有关概念(1)数列的定义一般地，我们把按照□1确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.(2)数列与函数数列{a n}是从正整数集N*(或它的有限子集{1，2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是□2序号n，对应的函数值是□3数列的第n项a n，记为a n＝f(n).数列是一种特殊的函数，在研究数列问题时，既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性.2.数列的表示法解析式法、表格法、□4图象法.3.数列的单调性从第2项起，每一项都□5大于它的前一项的数列叫做递增数列；从第2项起，每一项都□6小于它的前一项的数列叫做递减数列.特别地，□7各项都相等的数列叫做常数列.4.数列的通项公式和递推公式(1)如果数列{a n}的□8第n项a n与它的□9序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.(2)如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用□10一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.(1)并不是所有的数列都有通项公式；(2)同一个数列的通项公式在形式上未必唯一.5.数列的前n 项和公式如果数列{a n }的前n 项和S n 与它的□11序号n 之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n 项和公式.常用结论1.若数列{a n }的前n 项和为S n ，则通项公式为a n 1，n ＝1，n －S n －1，n ≥2，n ∈N *.2.在数列{a n }中，若a n n ≥a n －1，n ≥a n ＋1(n ≥2)，若a n n ≤a n －1，n ≤a n ＋1(n ≥2).1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个.()(2)1，1，1，1，…，不能构成一个数列.()(3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列.()(4)如果数列{a n }的前n 项和为S n ，则对∀n ∈N *，都有a n ＋1＝S n ＋1－S n .()答案：(1)√(2)×(3)×(4)√2.回源教材(1)已知数列a 1＝2，a n ＝2－1a n －1(n ≥2)，则a 5＝.猜想a n ＝.解析：∵a 1＝2，a n ＝2－1a n －1，∴a 2＝2－12＝32，a 3＝2－23＝43，a 4＝2－34＝54，a 5＝2－45＝65，故猜想a n ＝n ＋1n .答案：65n ＋1n(2)已知数列{a n }的前n 项和公式为S n ＝n 2，则a n ＝.解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1，且a 1＝1也满足此式，故a n ＝2n －1，n ∈N *.答案：2n －1(3)根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式a n＝.解析：由a 1＝1＝5×1－4，a 2＝6＝5×2－4，a 3＝11＝5×3－4，a 4＝16＝5×4－4，…，归纳可知a n ＝5n －4.答案：5n －4由a n 与S n 的关系求通项公式例1(1)数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝5S n (n ≥1)，则a n ＝()A.5×6nB.5×6n ＋1，n ＝1，×6n －2，n ≥2，n ＝1，×6n －2＋1，n ≥2解析：C当n ＝1时，a 2＝5S 1＝5a 1＝5，当n ≥2时，a n ＝5S n －1，所以a n ＋1－a n ＝5(S n －S n －1)＝5a n ⇒a n ＋1＝6a n ，而a 2＝5a 1≠6a 1，所以数列{a n }从第二项起是以5为首项，6为公比的等比数列，所以a n ，n ＝1，×6n －2，n ≥2.(2)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝2n ＋2－3，则a n ＝.解析：根据题意，数列{a n }满足S n ＝2n ＋2－3，当n ≥2时，有a n ＝S n －S n －1＝(2n ＋2－3)－(2n ＋1－3)＝2n ＋1，当n ＝1时，有a 1＝S 1＝8－3＝5，不符合a n ＝2n ＋1，故a n ，n ＝1，n ＋1，n ≥2.，n ＝1，n ＋1，n ≥2反思感悟已知S n 求a n 的3个步骤(1)先利用a 1＝S 1求出a 1.(2)用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式.(3)对n ＝1时的结果进行检验，看是否符合n ≥2时a n 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n ＝1与n ≥2两段来写.训练1(1)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且2a 1＋22a 2＋23a 3＋…＋2n a n ＝n ·2n ，则数列{a n }的通项公式为a n ＝.解析：由题意，2a 1＋22a 2＋23a 3＋…＋2n a n ＝n ·2n ①，当n ＝1时，2a 1＝2，∴a 1＝1，当n ≥2时，2a 1＋22a 2＋23a 3＋…＋2n －1a n －1＝(n －1)·2n －1②，①－②得2n a n ＝n ·2n －(n －1)2n －1＝(n ＋1)2n －1(n ≥2)，∴a n ＝n ＋12(n ≥2).当n ＝1时，a 1＝1满足上式，∴a n ＝n ＋12.答案：n ＋12(2)已知S n 为数列{a n }的前n 项和，a 1＝1，S n S n ＋1＝－a n ＋1(n ∈N *)，则a 10＝.解析：根据题意，数列{a n }满足S n S n ＋1＝S n －S n ＋1，且S n ≠0，则1S n ＋1－1S n ＝1，因为a 1＝1，所以1S 1＝11，公差为1的等差数列，则1S n ＝1＋(n －1)×1＝n ，所以S n ＝1n ，a 10＝S 10－S 9＝110－19＝－190.答案：－190由数列的递推关系求通项公式累加法例2设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为a n ＝.解析：由题意a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n (n ≥2).以上各式相加，得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ＝（n －1）（2＋n ）2＝n 2＋n －22.又因为a 1＝1，所以a n ＝n 2＋n2(n ≥2).因为当n ＝1时也满足此式，所以a n ＝n 2＋n2(n ∈N *).答案：n 2＋n2(n ∈N *)累乘法例3已知a 1＝2，a n ＋1＝2n a n ，则数列{a n }的通项公式a n ＝.解析：因为a n ＋1a n＝2n ，所以a na n －1＝2n －1，a n －1a n －2＝2n －2，…a 3a 2＝22，a 2a 1＝2(n ≥2)，所以a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2…·a 3a 2·a2a 1·a 1＝2n －1·2n －2·…·22·2·2＝21＋2＋3＋…＋(n －1)·2＝2（n －1）·n2＋1＝2n 2－n ＋22，当n ＝1时也满足此式，所以a n ＝2n 2－n ＋22(n ∈N *).答案：2n 2－n ＋22(n ∈N *)反思感悟1.累加法：已知a 1，且a n －a n －1＝f (n )(n ≥2)，可用累加法求a n ，即a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1.2.累乘法：已知a 1，且a na n －1＝f (n )(n ≥2)，可用累乘法求a n ，即a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a2a 1·a 1.训练2(1)已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝a n ＋1n －1n ＋1，则a n ＝()A.4＋1n B.4－1nC.2＋1n D.2－1n解析：B因为a n＋1＝a n＋1n－1n＋1，所以a n＋1－a n＝1n－1n＋1，所以当n≥2时，a2－a1＝1－12，a3－a2＝12－13，…，a n－a n－1＝1n－1－1n(n≥2)，累加可得a n－a1＝(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(a n－a n－1)＝1－12＋12－13＋…＋1n－1－1n＝1－1 n (n≥2)，因为a1＝3，所以a n＝1－1n＋3＝4－1n(n≥2)，当n＝1时，a1＝3，满足上式，所以a n＝4－1n，故选B.(2)在数列{a n}中，已知a n＋1＝nn＋2a n(n∈N*)，且a1＝4，则数列{a n}的通项公式a n＝.解析：由a n＋1＝nn＋2a n，得a n＋1a n＝nn＋2故a2a1＝13，a3a2＝24，…，a na n－1＝n－1n＋1(n≥2)，以上式子累乘得，a na1＝13×24×…·n－3n－1·n－2n·n－1n＋1＝2n（n＋1）.因为a1＝4，所以a n＝8n（n＋1）(n≥2).因为a1＝4满足上式，所以a n＝8n（n＋1）(n∈N*).答案：8n2＋n(n∈N*)数列的性质数列的单调性例4已知数列{a n}的通项公式为a n＝3n＋k2n，若数列{a n}为递减数列，则实数k的取值范围为()A.(3，＋∞)B.(2，＋∞)C.(1，＋∞)D.(0，＋∞)解析：D因为a n＋1－a n＝3n＋3＋k2n＋1－3n＋k2n＝3－3n－k2n＋1，由数列{a n}为递减数列，知对任意n∈N*，a n＋1－a n＝3－3n－k2n＋1＜0，所以k＞3－3n对任意n∈N*恒成立，所以k∈(0，＋∞).数列的周期性例5(2024·哈尔滨质检)已知数列{a n}的前n项积为T n，a1＝2且a n＋1＝1－1 a n，则T2024＝.解析：∵a2＝1－1a1＝12，a3＝1－1a2＝－1，a4＝1－1a3＝2，…，∴数列{a n}是周期为3的数列.又a1a2a3＝2×12×(－1)＝－1，且2024＝3×674＋2，∴T2024＝(－1)674·a2023·a2024＝1×2×12＝1.答案：1数列的最值例6已知数列{a n}的通项公式为a n＝12n－15，其最大项和最小项的值分别为()A.1，－17B.0，－17C.1 7，－17D.1，－111解析：A因为n ∈N *，所以当1≤n ≤3时，a n ＝12n－15＜0，且单调递减；当n ≥4时，a n ＝12n －15＞0，且单调递减，所以最小项为a 3＝18－15＝－17，最大项为a 4＝116－15＝1.反思感悟1.解决数列单调性问题的三种方法(1)用作差比较法，根据a n ＋1－a n 的符号判断数列{a n }是递增数列、递减数列或常数列.(2)用作商比较法，根据a n ＋1a n(a n ＞0或a n ＜0)与“1”的大小关系进行判断.(3)结合相应函数的图象直观判断.2.解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值.3.求数列的最大项或最小项的常用方法(1)函数法，利用函数的单调性求最值.(2)n ≥a n －1，n ≥a n ＋1(n ≥2)n ≤a n －1，n ≤a n ＋1(n ≥2)确定最小项.训练3(1)如表，定义函数f (x )：x 12345f (x )54312对于数列{a n }，a 1＝4，a n ＝f (a n －1)，n ＝2，3，4，…，则a 2023＝()A.1B.2C.5D.4解析：C由题意，a 1＝4，a n ＝f (a n －1)，所以a 2＝f (a 1)＝f (4)＝1，a 3＝f (a 2)＝f (1)＝5，a 4＝f (a 3)＝f (5)＝2，a 5＝f (a 4)＝f (2)＝4，a 6＝f (a 5)＝f (4)＝1，a 7＝f (a 6)＝f (1)＝5，…，则数列{a n }是以4为周期的周期数列，所以a 2023＝a 2020＋3＝a 3＝5，故选C.(2)已知数列{a n }的通项a n ＝2n －192n －21，n ∈N *，则数列{a n }前20项中的最大项与最小项分别为.解析：a n ＝2n －192n －21＝2n －21＋22n －21＝1＋22n －21，当n ≥11时，22n －21＞0，且单调递减；当1≤n ≤10时，22n －21＜0，且单调递减.因此数列{a n }前20项中的最大项与最小项分别为第11项，第10项，a 11＝3，a 10＝－1.答案：3，－1限时规范训练(四十)A 级基础落实练1.已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n3n ＋1，那么这个数列是()A.递增数列B.递减数列C.摆动数列D.常数列解析：A ∵a n ＋1－a n ＝n ＋13n ＋4－n 3n ＋1＝1（3n ＋1）（3n ＋4）＞0，∴a n ＋1＞a n ，∴选A.2.已知数列a 1，a 2a 1，a3a 2，…，a n ＋1a n，…是首项为1，公比为2的等比数列，则下列数中是数列{a n }中的项的是()A.16B.128C.32D.64解析：D a n ＋1＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a n ＋1a n＝1×21×22×…×2n ＝21＋2＋…＋n＝2n （n ＋1）2，当n ＝3时，a 4＝26＝64.3.(2024·莆田质检)九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜.在某种玩法中，用a n 表示解下n (n ≤9，n ∈N *)个圆环所需的最少移动次数，若a 1＝1，且a n ＋1n ＋2，n 为奇数，a n －1，n 为偶数，则解下6个环所需的最少移动次数为()A.13B.15C.16D.29解析：B∵a1＝1，a n＋1n＋2，n为奇数，a n－1，n为偶数，∴a2＝a1＋2＝3，a3＝2a2－1＝5，a4＝a3＋2＝7，a5＝2a4－1＝13，a6＝a5＋2＝15.4.大衍数列，来源于我国的《乾坤谱》，是世界数学史上第一道数列题，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.其前11项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，60，则大衍数列的第41项为()A.760B.800C.840D.924解析：C由题意得，大衍数列的奇数项依次为12－12，32－12，52－12，…，易知大衍数列的第41项为412－12＝840.5.(多选)已知数列{a n}的通项公式为a n＝(n＋2)·(67)n，则下列说法正确的是()A.数列{a n}的最小项是a1B.数列{a n}的最大项是a4C.数列{a n}的最大项是a5D.当n≥5时，数列{a n}递减解析：BCD假设第n项为{a n}n≥a n－1，n≥a n＋1，n＋2）·（67）n≥（n＋1）·（67）n－1，n＋2）·（67）n≥（n＋3）·（67）n＋1，≤5，≥4，又n∈N*，所以n＝4或n＝5，故数列{a n}中a4与a5均为最大项，且a4＝a5＝6574，当n≥5时，数列{a n}递减.6.(2023·珠海质检)数列{a n}满足a1＝1，a2＝2且a n＋2＝a n＋(－1)n，n∈N*，则该数列的前40项之和为()A.－170B.80C.60D.230解析：C由a n ＋2＝a n ＋(－1)n ，n ∈N *，得a 2k ＋2＝a 2k ＋1，a 2k ＋1＝a 2k －1－1，所以a 2k ＋1＋a 2k ＋2＝a 2k －1＋a 2k ＝…＝a 1＋a 2＝3，所以数列{a n }的前40项之和为20(a 1＋a 2)＝60.7.数列1，12，12，12，13，13，13，13，13，14，…的第2024项为()A.144B.145C.146D.12025解析：B 观察可知数列的构成规律为1个1，3个12，5个13，…，(2n －1)个1n，….注意到1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2，而442＝1936＜2024，452＝2025＞2024，由此知数列的第2024项为145.8.数列{a n }满足a 1＝1，对任意n ∈N *，都有a n ＋1＝1＋a n ＋n ，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 99＝()A.9998B.2C.9950D.99100解析：C由a n ＋1＝1＋a n ＋n ，得a n ＋1－a n ＝n ＋1，则a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝n ＋(n －1)＋…＋2＋1＝n （n ＋1）2，则1a n ＝2n （n ＋1）＝2n －2n ＋1，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 99＝2×[(1－12)＋(12－13)＋…＋(199－1100)]＝2×(1－1100)＝9950.9.S n为数列{a n}的前n项和，且log2(S n＋1)＝n＋1，则数列{a n}的通项公式为.解析：由log2(S n＋1)＝n＋1，得S n＋1＝2n＋1，当n＝1时，a1＝S1＝3；当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝2n，显然当n＝1时，不满足上式.所以数列{a n}的通项公式为a n，n＝1，n，n≥2.答案：a n，n＝1，n，n≥210.已知数列{a n}的首项a1＝1，前n项和为S n，且满足2a n＋1＋S n＝2(n∈N*)，则数列{a n}的通项公式a n＝.解析：因为2a n＋1＋S n＝2，①当n≥2时，2a n＋S n－1＝2，②由①式减②式得a n＋1＝12a n，又当n＝1时，2a2＋S1＝2，得a2＝12＝12a1，所以数列{a n}是以1为首项，公比为12的等比数列，a n＝12n－1.答案：1 2n－111.已知数列{a n}中，前n项和为S n，且S n＝n＋23a n，则a na n－1的最大值为.解析：∵S n＝n＋23a n，∴当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝n＋23a n－n＋13a n－1，可化为a na n－1＝n＋1n－1＝1＋2n－1，由函数y＝2x－1在区间(1，＋∞)上单调递减，可得当n＝2时，2n－1取得最大值2.∴a na n－1的最大值为3.答案：312.已知[x]表示不超过x的最大整数，例如：[2.3]＝2，[－1.7]＝－2.在数列{a n}中，a n＝[lg n]，记S n为数列{a n}的前n项和，则a2024＝；S2024＝.解析：∵a n ＝[lg n ]，∴当1≤n ≤9时，a n ＝[lg n ]＝0；当10≤n ≤99时，a n ＝[lg n ]＝1；当100≤n ≤999时，a n ＝[lg n ]＝2；当1000≤n ≤9999时，a n ＝[lg n ]＝3.∴a 2024＝[lg 2024]＝3，S 2024＝9×0＋90×1＋900×2＋1025×3＝4965.答案：34965B 级能力提升练13.(2024·绵阳模拟)若数列{a n }满足(n －1)a n ＝(n ＋1)a n －1(n ≥2)且a 1＝2，则满足不等式a n <462的最大正整数n 为()A.20 B.19C.21D.22解析：A ∵(n －1)a n ＝(n ＋1)a n －1(n ≥2)，∴当n ≥2时，a n a n －1＝n ＋1n －1，∴a n ＝a 1×a 2a 1×a 3a 2×…×a n a n －1＝2×31×42×53×…×n ＋1n －1＝n (n ＋1)，当n ＝1时，a 1＝2＝1×2，∴a n ＝n (n ＋1)，又a n <462，∴n (n ＋1)<462，解得－22<n <21，又n ∈N *，故所求n 的最大值为20.14.已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝116，a n a n ＋2＝4a 2n ＋1，则a n 的最小值为()A.2－12B.2－10C.2－5D.2－6解析：D ∵a 1＝1，a 2＝116，a n a n ＋2＝4a 2n ＋1，∴a n ≠0，a n ＋2a n ＋1＝4a n ＋1a n ，∴是首项为a 2a 1＝116，公比为4的等比数列，∴a n ＋1a n ＝116×4n －1＝4n －3.当n ≥2时，a n＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝4n －4×4n －5×…×4－2×1＝412(n －1)(n －6)，∵n ＝1时，412(n －1)(n －6)＝1＝a 1，∴a n ＝412(n －1)(n －6)＝412(n －72)2－258，n ∈N *，∴当n ＝3或n＝4时，a n取得最小值，最小值为4－3＝2－6.15.已知数列{a n}的通项公式为a n＝n33n，当a n 最大时，n＝.(33≈1.44)解析：设a n是数列{a n}n＋1≤a n，n－1≤a n，≤n33n，≤n33n，解得1 33－1≤n≤3333－1.因为33≈1.44，所以n的值为3.(也可以通过列举得出{a n}的最大项)答案：316.(2024·八省八校联考)数列{a n}：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，称为斐波那契数列，该数列是由意大利数学家莱昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.在数学上，斐波那契数列可表述为a1＝a2＝1，a n＝a n－1＋a n－2(n≥3，n∈N*).设该数列的前n项和为S n，记a2023＝m，则S2021＝.(用m表示)解析：由a n＝a n－1＋a n－2得a n＝a n＋2－a n＋1(n∈N*)，即S2021＝a1＋a2＋…＋a2021＝a3－a2＋a4－a3＋…＋a2023－a2022＝a2023－a2＝m－1.答案：m－1。
高中数学数列概念优秀教案
高中数学数列概念优秀教案教学目标：1. 掌握数列的基本概念，能够区分等差数列和等比数列。
2. 熟练运用数列的通项公式求解各种问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和数学推理能力。
教学重点：1. 掌握数列的定义和分类。
2. 掌握等差数列和等比数列的性质及通项公式。
3. 运用数列的知识解决实际问题。
教学难点：1. 等比数列的通项公式推导。
2. 如何运用数列的知识解决实际问题。
教学过程：一、导入（5分钟）教师引入数列的概念，并举一些实际例子来说明数列在生活中的应用，如等差数列可以表示每天存钱增加的数量，等比数列可以表示细菌繁殖的数量等。
二、概念讲解（15分钟）1. 数列的定义和分类。
2. 等差数列的性质及通项公式。
3. 等比数列的性质及通项公式。
三、例题讲解（20分钟）1. 讲解一些常见的数列题目，如求等差数列和等比数列的前n项和、求某一项的值等。
2. 引导学生运用数列的知识解决实际问题，如经济学中的收入增长问题、物理学中的运动问题等。
四、练习与讨论（15分钟）教师布置一些练习题让学生自行解答，并对学生的答案进行讨论和纠正。
同时，鼓励学生提出自己的解题思路，培养他们的数学思维能力。
五、作业布置（5分钟）布置相关作业，巩固学生的学习成果。
六、总结（5分钟）教师对本节课的重点内容进行总结，激励学生对数列的学习做进一步的思考和总结。
教学反思：通过本节课的教学，学生应该能够掌握数列的基本概念及相关性质，并能够熟练运用数列的通项公式解决各种问题。
同时，教师应该注重引导学生提高数学思维能力，培养他们的逻辑推理能力。
高中教学数列设计数学教案
高中教学数列设计数学教案
教学内容：数列
一、教学目标
1.了解数列的定义和性质。
2.掌握常见数列的求和公式。
3.能够应用数列知识解决问题。
二、教学重点和难点
重点：数列的定义和性质，常见数列的求和公式。
难点：能够灵活运用数列知识解决问题。
三、教学准备
1.教师准备教案和教学PPT。
2.学生准备数学笔记本和作业本。
四、教学过程
1.引入：通过引入一个简单的问题引出数列的概念，让学生思考数列的定义。
2.概念讲解：讲解数列的定义和性质，包括等差数列、等比数列等常见数列的特点。
3.例题讲解：通过几个例题，帮助学生掌握常见数列的求和公式。
4.练习：让学生做一些练习题，巩固所学知识。
5.拓展：提出一些拓展问题，让学生运用所学知识解决问题。
6.总结：总结本节课的重点内容，梳理学生的思路。
五、教学反馈
1.教师让学生口头回答一些问题，检查他们的理解情况。
2.教师布置相关作业，巩固所学知识。
六、教学手段
1.课堂互动：让学生积极参与，通过讨论和解答问题来加深理解。
2.多媒体辅助：通过PPT呈现数列的概念和例题，提高学生的学习效果。
七、教学总结
本节课通过引入、讲解、练习等环节，使学生初步掌握数列的相关知识，为以后的学习打下坚实基础。
数列教案范文
数列教案范文一、教学目标1.知识目标：①了解等差数列和等比数列的概念以及它们的发展规律；②掌握求等差数列和等比数列的公式与方法；③了解数列在生活中的应用。
2.能力目标：①能够熟练地运用等差数列及等比数列求解问题；②能够将所学知识应用到实际生活中。
3.态度目标：①激发学生学习数学的兴趣；②培养学生积极探索、勇于创新的精神。
二、教学重点难点1.重点：等差数列和等比数列的概念、求和公式以及应用；2.难点：应用实例的解决。
三、教学内容及方法1.教学内容（1）等差数列及其求和公式；（2）等差数列在生活中的应用；（3）等比数列及其求和公式；（4）等比数列在生活中的应用。
2.教学方法（1）讲解法：讲解等差数列和等比数列的概念、求和公式及应用，通过例题演示方法，引领学生逐步了解并掌握。
（2）归纳法：在学生学习过程中，引导学生进行概念归纳、规律总结，使学生更深入地理解知识点。
（3）练习法：开展各类型的例题练习，让学生熟练掌握所学知识，提高能力。
（4）探究法：利用生活实际问题，让学生自主探索并解决问题，培养学生创新精神。
四、教学步骤1.导入：与学生讲述数学在生活和科技中的应用，引起学生对数学的兴趣。
2.讲解等差数列和等比数列的概念。
3.介绍等差数列及其求和公式，让学生对等差数列有一个深入的了解。
4.介绍等差数列在生活中的应用，例如：物流运输中的时间问题。
5.介绍等比数列及其求和公式，让学生对等比数列有一个深入的了解。
6.介绍等比数列在生活中的应用，例如：光传输中的问题。
7.练习，让学生能够熟练掌握所学的知识。
8.探究性学习，让学生认识数学应用实际中的作用。
五、教学评价1.能在学生生活中讲述数学的应用，并引起学生对数学的兴趣。
2.能在学生心中形成数学发展规律的认识，掌握等差数列及等比数列的求和方法。
3.能培养学生探究问题的能力，使学生在应用实例上更加熟练。
四、教学总结数列是数学中的重要概念，应用广泛，它既是数学教育的基石，也是日常生活中的基础知识，掌握好数列及其应用，能起到事半功倍的效果。
《数列的概念与简单表示法》教案
《数列的概念与简单表示法》教案第一章：数列的定义1.1 学习目标：理解数列的定义，能够识别数列的基本特征。
1.2 教学内容：1.2.1 数列的定义：按照一定的顺序排列的一列数。
1.2.2 数列的项：数列中的每一个数称为项。
1.2.3 数列的顺序：数列中项的排列顺序称为数列的顺序。
1.3 教学活动：1.3.1 引入数列的概念，让学生通过观察实际例子来理解数列的定义。
1.3.2 引导学生分析数列的基本特征，如顺序、项等。
1.3.3 进行数列的实例练习，让学生能够识别和描述不同的数列。
第二章：数列的表示法2.1 学习目标：掌握数列的常见表示法，能够正确写出数列的前几项。
2.2 教学内容：2.2.1 列举法：将数列的每一项按顺序写出来。
2.2.2 描述法：用数学公式或文字描述数列的规律。
2.2.3 数列的通项公式：用公式表示数列中任意一项的值。
2.3 教学活动：2.3.1 介绍列举法和描述法，让学生通过实际例子学会用不同的方式表示数列。
2.3.2 引导学生理解数列的通项公式，并能够根据规律写出数列的前几项。
2.3.3 进行数列表示法的练习，让学生能够灵活运用不同的表示法。
第三章：数列的性质3.1 学习目标：理解数列的性质，能够运用数列的性质进行问题的解决。
3.2 教学内容：3.2.1 数列的项数：数列中项的个数称为数列的项数。
3.2.2 数列的项的公共性质：数列中所有项都具有的性质称为数列的项的公共性质。
3.2.3 数列的性质：数列的项的公共性质称为数列的性质。
3.3 教学活动：3.3.1 引导学生通过观察和分析数列的实例，发现数列的性质。
3.3.2 让学生通过实际的例题，学会运用数列的性质进行问题的解决。
3.3.3 进行数列性质的练习，让学生能够熟练运用数列的性质。
第四章：数列的分类4.1 学习目标：了解数列的分类，能够识别不同类型的数列。
4.2 教学内容：4.2.1 数列的分类：按照数列的性质和规律，将数列分为不同的类型。
数列的概念教案
数列的概念教案教学目标：1. 理解数列的概念和基本特征；2. 能够识别数列中的常数项和通项；3. 能够根据规律确定数列的公式；4. 能够应用数列的特性解决问题。
教学准备：1. 幻灯片或白板、马克笔；2. 数列的示例题目。
教学过程：导入：（5分钟）1. 引入数列的概念：数列是指按照一定规律排列的一列数的集合。
数列中的每个数称为项。
2. 引导学生思考数列的例子：例如1，3，5，7，9是一个数列，其中的每个数都按加2的规律依次递增。
3. 提出问题：学生们有没有发现数列中的规律？如何确定数列的下一个数？探究：（15分钟）1. 给出示例数列：2，4，6，8，10，...2. 让学生观察数列，推测规律并列出下一个数。
3. 学生演示推理过程，例如：每个数都比前一个数大2，所以下一个数是12。
4. 引导学生总结：这个数列的规律是每个数比前一个数大2。
这个规律被称为数列的公式或通项公式。
5. 引入数列的常数项：数列中的某个特定项，如数列2，4，6，8，10，...中的10。
6. 引导学生区分常数项和通项。
示范与练习：（15分钟）1. 给出新的数列示例，如2，4，8，16，32，...2. 让学生观察数列，思考常数项和通项的确定。
3. 鼓励学生进行讨论，并给予提示，例如：每个数都是前一个数乘以2，所以通项公式为An = 2^n。
4. 让学生尝试应用通项公式计算数列的其他项。
拓展与应用：（10分钟）1. 给出更复杂的数列示例，让学生运用已学知识确定规律和通项公式。
2. 提供问题情境，让学生应用数列的概念解决实际问题。
归纳与总结：（5分钟）1. 学生回顾本节课学到的数列概念、特征和运用方法。
2. 教师总结并强调数列在数学和实际问题中的重要性。
展示与评价：1. 学生展示他们对数列概念的理解，可以通过口头回答问题或完成练习题的形式进行评价。
2. 教师给予反馈和评价，并鼓励学生进一步探究数列的性质和应用。
数列教学设计精选5篇
数列教学设计精选5篇数列教案篇一关键词高中数学；案例式教学问题教学是数学学科知识内涵和要点的有效载体，是教学目标理念展现的重要途径，是能力素养培养的重要平台。
长期以来，问题教学活动方略的实施，一直以来成为广大高中数学教师进行探究和实践的重要课题。
但在传统问题教学活动中，部分教师片面的将问题教学看作是知识内容、解题方法传授的“工具”，在问题内容的设置和问题解答的传授中，不能精心准备，有的放矢，导致问题教学的效能达不到预期目标。
新实施的高中数学课程标准则指出：“要注重发挥数学问题承载知识内涵的重要载体以及学生能力培养的功能特性”，“设置‘少而精’的数学问题，实现学生知识内涵有效掌握和能力品质的有效提升。
”可见，传统“胡子眉毛一把抓”的“题海式”问题教学模式，已经不能适应新课改的要求。
“少而精”的“典型性”的案例式教学模式，以其在反映教学内涵要义上的精准性，培养学生学习能力上的功能性等特征，成为有效教学的重要组成部分。
近几年来，本人就如何做好案例式教学活动进行了尝试，现就如何选取典型案例，培养学生学习能力方面进行简要阐述。
一、问题案例应凸显“精”字，体现精辟性，使学生在感知问题内涵中领会设计意图案例1 已知A（-2，-3），B（4,1），延长AB至点P，使AP的绝对值等于PB绝对值的三倍，求点P的坐标。
上述问题是教师在教学“平面向量的坐标运算”知识内容，在讲解“向量定比分点的几何运用”考察点时所设置的一道问题案例。
教师在引导学生进行问题分析过程中，使学生了解到该问题是考查学生向量的定比分点坐标公式的应用。
然后，教师再次引导学生进行问题解答方法的探索，通过对问题条件关系的分析，发现该问题可以采用两种不同的解答方法，一种是利用向量定比分点坐标公式求，考虑P为分点，应用定比分点坐标公式求点P的坐标。
第二种是把向量的定比分点坐标公式看做是一个等量关系，通过解方程的思想处理问题。
学生在上述问题解答过程中，对向量定比分点坐标公式的运用有较为准确和深刻的掌握，并对如何运用该知识点内容做到“胸中有数”。
数学教案小学三年级数列的学习
数学教案小学三年级数列的学习数学教案：小学三年级数列的学习教学目标：1. 学生能够理解数列的概念，并能够正确地描述数列的规律。
2. 学生能够确定数列的下一个数或缺失的数。
3. 学生能够应用数列的概念解决实际问题。
教学准备：1. 教师准备一些数列的例子，包括等差数列和等比数列。
2. 教师准备黑板、白板、彩色粉笔或白板笔。
3. 教师准备数列的学习资料，如教科书、练习册等。
教学步骤：第一步：引入教师用年级学生熟悉的数列来引入数列的概念，比如1、4、7、10、...，请学生观察并回答：这组数有什么规律？第二步：概念讲解教师向学生解释数列的概念，数列是按照一定规律排列的一组数。
教师可使用黑板或白板，将数列写出来，并解释数列中的数字如何变化以及变化的规律。
第三步：数列的分类教师引导学生观察数列的规律，提问学生是否发现数列中数字的变化有没有规律。
引导学生将数列分为等差数列和等比数列，并解释它们的特点。
第四步：等差数列的学习教师以等差数列为例进行详细讲解。
教师写出一个等差数列的例子并解释它们之间的差值。
然后教师向学生提问：下一个数是多少？让学生通过观察和思考找出规律，并给出答案。
第五步：等比数列的学习教师以等比数列为例进行详细讲解。
教师写出一个等比数列的例子并解释它们之间的比值。
然后教师向学生提问：下一个数是多少？让学生通过观察和思考找出规律，并给出答案。
第六步：数列问题的解决教师提供一些数列问题，让学生利用所学的数列知识解决。
教师可以组织学生小组合作解决问题，并在课堂上展示解决方法和答案。
第七步：总结教师对本节课的内容进行总结，并强调数列的重要性和应用。
教学延伸：教师可以给学生更多的数列练习题，以巩固所学的知识。
教师还可以引导学生探索更多有趣的数列，如斐波那契数列等。
评估方式：教师可以以小组答题的方式评估学生的学习情况。
教师还可以提供一份笔试或口头测试，测试学生对数列的理解和应用能力。
教学反思：本节课的教学目标主要是让学生理解数列的概念，并能够正确地描述数列的规律。
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数列教案
本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址§2.1数列的概念
一、知识要点
、数列的定义：按照一定
排列的一列数叫数列.数列中的
都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项,…,第n项,…数列的一般形式可以写成：，其中是数列的
，叫做数列的
，我们通常把一般形式的数列简记作。
2、数列的表示:
列举法:将每一项一一列举出来表示数列的方法.
图像法:由点构成的一些孤立的点;
解析法:用通项公式an=f（）表示.
通项公式：如果数列{}中的第n项与n之间的关系可以用一个公式来表示，则称此公式为数列的
.
数列通项公式的作用：
①求数列中任意一项；
②检验某数是否是该数列中的一项.
思考与讨论:
①数列与数集有什么区别？
与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质；
确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的。
可重复性：数列中的数可以重复。
有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列次序也有关。
②是否所有的数列都有通项公式？
③{}与有什么区别？
⑷递推公式法:用前n项的值与它相邻的项之间的关系表示各项.递推公式也是求数列的一种重要的方法，但并不是所有的数列都有递推公式。
3、数列与函数
从函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为
（或它的
）的函数，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值.数列的
是相应的函数的解析式，它的图像是。
4、数列分类：
按项数分类：
，
.
按项与项间的大小关系分类：
，
，
，
.
5、任意数列{an}的前n项和的性质
=a1+a2+a3+……+an
6、求数列中最大最小项的方法：
最大
最小
，考虑数列的单调性.
二、典例分析
题型1:用观察法求数列的通项公式
例1、根据下面各数列前几项，写出一个通项.
⑴-1,7,-13,19,…；
⑵7,77,777,777,…；
⑶，，…；
⑷
，，，，…；
⑸，，，，，…；
根据数列前几项的规律，写出数列的一个通项公式，主要从以下几个方面来考虑：
⑴通常先将每项分解成几部分（如符号、绝对值、分子、分母、底数、指数等），然后观察各部分与项数n的关系写通项.
⑵正负相间的问题，符号用（－1）n或（－1）n+1来调节，这是因为n和n+1奇偶交错.
⑶分式形式的数列，分子找通项，分母找通项，要充分借助分子、分母的关系.
⑷较复杂的数列的通项公式，可借助一些熟知数列，如数列{n2}，{}，{2n}，
，{10n－1}，{1－10¬¬—n}等.
⑸有些数列的通项公式可用分段函数形式来表示.
题型2:运用an与Sn的关系求通项
例2、已知数列的前n项的和.
⑴写出数列的通项公式；
⑵判断的单调性.
题型3:运用函数思想解决数列问题
例3、已知数列中，它的最小项是（
）
A.第一项
B.第二项c.第三项D.第二项或第三项
题型4:递推数列
例4、⑴若数列中，，且各项满足，写出该数列的前5项．
⑵已知数列{an}中，，且各项满足，写出该数列的前5项.
三、课时作业
.数列…的一个通项公式是（
）
.
.
.
.
2.已知数列满足,则数列是
A.递增数列
B.递减数列c.摆动数列D.常数列
3.已知数列的首项且,则等于
A.
B.
c.
D.
4.已知数列中,,
则等于
A.
B.
c.
D.
5.已知数列对任意的满足，且，那么等于（
）
A．
B．
c．
D．
6.已知数列{}的前项和，第项满足，则（
）
A．
B．
c.
D．
7.数列，…，则按此规律，是这个数列的第
项.
8.已知数列的通项公式，则=
，65是它的第
项.
9.在数列1,1,2,3,5,8,x,21,34,55中，x应为_______.
0.写出下列数列的通项公式：
①，，，，．．．；
②，，，，．．．；
③，，，，．．．；
④，，，，，．．．；
⑤，，，，．．．；
⑥1,0,1,0,1,0,…；
1.已知数列
（1）求这个数列的第10项；
（2）是不是该数列中的项，为什么？
（3）求证：数列中的各项都在区间（0，1）内；
（4）在区间内有无数列中的项？若有，有几项？若无，说明理由.
2.已知数列的通项公式为.
试问是否是数列中的项?
求数列的最大项.。