高数6.3
大一上学期高数知识点大全
大一上学期高数知识点大全1. 代数的基本概念1.1. 实数和复数1.2. 整式与分式1.3. 幂与根1.4. 指数与对数2. 函数与极限2.1. 函数的基本概念2.2. 一次函数与二次函数2.3. 指数函数与对数函数2.4. 极限的定义与性质3. 导数与微分3.1. 导数的定义与性质3.2. 常见函数的导数3.3. 高阶导数3.4. 微分的定义与应用4. 积分与不定积分4.1. 不定积分的定义与性质 4.2. 基本积分公式4.3. 定积分的定义与性质4.4. 牛顿-莱布尼茨公式5. 一元函数的应用5.1. 函数的增减性与最值问题 5.2. 函数与导数的几何意义 5.3. 曲线的图像与拐点5.4. 泰勒展开与近似计算6. 二元函数与多元函数6.1. 二元函数的性质与图像 6.2. 多元函数的极值与最值6.3. 偏导数与全微分6.4. 隐函数与参数方程7. 重积分与曲线积分7.1. 二重积分的定义与计算 7.2. 三重积分的定义与计算 7.3. 曲线积分的定义与计算 7.4. 曲面积分的定义与计算8. 空间解析几何8.1. 点、直线和平面的方程 8.2. 空间曲线与曲面8.3. 空间向量与坐标系8.4. 空间几何运算和投影9. 常微分方程9.1. 基本概念与一阶微分方程9.2. 可降阶的一阶微分方程9.3. 二阶线性常微分方程9.4. 高阶常微分方程的初值问题以上是大一上学期高等数学的主要知识点，通过深入学习这些内容，可以为后续学习及应用数学打下坚实的基础。
希望对你的学习有所帮助！。
《高数》第6章
把 x t t 0 1, x t t 0 3 代入 x t c1 cos t c2 sin t 和
x t c1 sin t c2 cos t 得 c1 1, c2 3 ．故所求的解为： x t cos t 3sin t
得到通解
G ( y ) F ( x) c 1 其中G(y)与F(x)分别是 与f(x)的一个原函数， c是 g ( y) 任意常数，式(2)就是方程(1)的隐式通解. 第 三 步 ， 在 第 一 步 中 ， 用 g(y) 除 方 程 的 两 边 ， 而 g(y)=0 是 不 能 做 除 数 的 ， 所 以 对 g(y)=0 要 单 独 考 虑．由g(y)=0解出的y是常数，它显然满足原方程， 是原方程的特解，这种特解可能包含在所求出的通解 中，也可能不包含在所求出的通解中（此时要把它单 独列出）． 例1 分方程 y 2 xy 的通解．
例3(推广普通话问题) 在某地区推广普通话，该地 区的需要推普的人数为N，设t时刻已掌握普通话的 人数为p(t)，推普的速度与已推普的人数和还未推普 的人数之积成正比，比例常数为k＞0于是得到 dp kp ( N p ) dt
此方程称为logisitic方程，在生物学，经济学等学科 领域有着广泛应用． 定义1 含有未知函数的导数(或微分)的方程叫微分方 程．未知函数为一元函数的微分方程称为常微分方 程．如 (1) y x dp kp ( N p ) (2) dt
y P ( x ) y Q ( x ) 的方程称为一阶线性微分方程，其中P(x)为Q(x)的已 知函数．当Q(x)不恒为0时，方程(5) 称为一阶线性非 齐次微分方程.当 Q( x) 0时，方程(5)变成 y P ( x ) y 0 该方程称为一阶线性齐次微分方程． 显然，一阶线性齐次微分方程是可分离变量的方 程．一阶线性非齐次微分方程的求解步骤如下： 第一步，先求解其对应的齐次方程： y P ( x ) y 0
高等数学-6.3.2教学课件
2．已知某种电子元件的寿命服从正态分布 N(, 2 ) ，现随
机抽取10个，测得各电子元件的寿命(单位：小时)如下：
3100 3480 2520 3700 2520 3200 2800 3800 3020 3260
试估计这种电子元件寿命的均值 与方差 2 .
s 2 9 1 1 i 9 1 ( x i x _ ) 2 1 8 ( 3 2 2 2 0 1 0 1 1 1 3 2 ) 3 . 2 5
故得该日营业额均值 的点估计值 ˆ 7 ，
方差 2 的点估计值为 ˆ2 3.25 .
X
94
1
95 n
9n3 96 Xi
i914 93
93 93
94 95
分析
我们只要2算.样出本甲方、差乙：两S位2员n工1的1得in1分(X的i 平X均)2值，
谁高就说明谁的服务态度更好
《高等数学》 (经济类专业适用） 高等教育出版社
back
next
退出
*
分析 在实际问题中，当所研究的总体分布类型已知，
但分布中含有未知参数时，如何根据样本来估计未知参数， 问题引导
这就是参数估计问题. 参数估计包括点估计和区间估计两类. 先来介绍点估计. 我们先初步了解一下，
什么是估计 概念 用样本的某一个统计量的值作为总体未知参数
的估计值，这种参数估计方法叫做点估计.
《高等数学》 (经济类专业适用） 高等教育出版社
back
next
退出
*
1．书面作业 必做：《习题集》中的“练习6.3.2” 选做：习题6.3的1 2．拓展作业
高数第六章知识点总结
高数第六章知识点总结高数第六章主要涉及到一元函数的积分学，是高等数学中的重要内容之一。
在本章中，我们将学习积分的定义、基本性质和计算方法，以及一些常见函数的积分。
首先，我们需要了解积分的定义。
在高数中，积分是一个函数的反导数。
如果函数f(x)的导函数是F(x)，那么F(x)就是f(x)的一个原函数。
积分的符号表示为∫f(x)dx，其中f(x)是要求积分的函数，dx表示变量x的微元。
积分的结果是一个函数，它表示了原函数的一类。
在积分的计算中，我们可以利用一些基本性质和计算法则来简化计算。
例如，积分具有线性性质，即∫(af(x)+bg(x))dx = a∫f(x)dx + b∫g(x)dx，其中a和b是常数。
此外，我们还可以利用换元法、分部积分法等方法来求解一些复杂的积分。
在本章中，我们将学习一些常见函数的积分。
例如，对于多项式函数，我们可以利用求和法则来求解。
对于幂函数，我们可以利用幂函数的积分法则来求解。
此外，三角函数和指数函数的积分也是高数中的重点内容。
在实际应用中，积分可以帮助我们求解曲线下的面积、求解定积分和计算平均值等。
例如，对于曲线y=f(x)和x轴所围成的图形的面积可以通过计算定积分∫f(x)dx来求解。
对于一些变量在某个区间上的平均值，我们可以通过计算平均值的定义积分来求解。
总结起来，高数第六章是关于一元函数的积分学的内容。
通过学习本章，我们可以掌握积分的定义、基本性质和计算方法，以及一些常见函数的积分。
积分在实际应用中具有广泛的应用，可以帮助我们求解曲线下的面积、求解定积分和计算平均值等。
高等数学教材下册目录
高等数学教材下册目录第一章：极限与连续1.1 极限的概念与性质1.1.1 数列极限的定义1.1.2 常用的数列极限1.1.3 函数极限的定义1.1.4 常用的函数极限1.2 极限运算法则1.2.1 有界函数的极限1.2.2 极限的四则运算法则1.2.3 极限的复合运算法则1.3 连续与间断1.3.1 连续函数的定义1.3.2 间断点与间断类型1.3.3 切线与连续函数的性质第二章：导数与微分2.1 导数的概念与性质2.1.1 导数的定义2.1.2 微分中值定理2.1.3 罗尔中值定理2.2 常用函数的导数与微分2.2.1 幂函数与指数函数的导数2.2.2 对数函数与反三角函数的导数 2.2.3 反函数与隐函数的导数2.3 高阶导数与高阶微分2.3.1 高阶导数的定义2.3.2 微分法的应用2.4 凹凸性与曲线的形状2.4.1 凹凸性的判定条件2.4.2 拐点与曲率第三章：定积分与不定积分3.1 定积分的概念与性质3.1.1 定积分的定义3.1.2 定积分的性质与运算3.1.3 定积分的几何应用3.2 不定积分与原函数3.2.1 不定积分的定义与性质3.2.2 基本积分公式与换元法3.2.3 分部积分法与定积分求值3.3 牛顿—莱布尼兹公式与定积分的应用 3.3.1 牛顿—莱布尼兹公式的表述3.3.2 定积分的物理应用3.4 定积分的近似计算3.4.1 零散数据的近似积分计算3.4.2 定积分上和下的近似计算第四章：微分方程4.1 微分方程的基本概念4.1.1 微分方程的定义与解4.1.2 初等函数与初等微分方程4.1.3 常见的一阶微分方程4.2 可分离变量与线性微分方程4.2.1 可分离变量的微分方程4.2.2 线性微分方程的解法4.2.3 齐次和非齐次线性微分方程4.3 高阶线性微分方程4.3.1 高阶线性微分方程的解法4.3.2 常系数与非齐次线性微分方程 4.4 变量可分离与齐次微分方程4.4.1 变量可分离的微分方程4.4.2 齐次微分方程的解法4.5 常见微分方程的物理与几何应用 4.5.1 指数增长模型与对数增长模型 4.5.2 简谐振动与受阻振动4.5.3 驻点与稳定性分析第五章：向量与空间解析几何5.1 空间直角坐标系与向量的基本概念 5.1.1 空间直角坐标系的建立5.1.2 空间向量的定义与运算5.1.3 向量的数量积与数量积的几何应用 5.2 空间中的直线和平面5.2.1 空间中直线的方程及性质5.2.2 空间中平面的方程及性质5.3 空间曲面与二次曲线5.3.1 空间曲面的分类与方程5.3.2 二次曲线的分类与方程5.3.3 曲面与曲线的几何应用5.4 空间解析几何的应用5.4.1 空间几何的物理与工程应用5.4.2 空间几何的计算机图形学应用第六章：多元函数与偏导数6.1 多元函数的概念与性质6.1.1 多元函数的定义与取值空间6.1.2 多元函数的极限与连续6.1.3 多元函数的偏导数6.2 多元函数的方向导数与梯度6.2.1 多元函数的方向导数6.2.2 多元函数的梯度与最速上升方向 6.3 多元复合函数与隐函数6.3.1 多元复合函数的求导法则6.3.2 多元隐函数的求导法则6.3.3 多元隐函数的微分与线性近似 6.4 多元函数的极值与条件极值6.4.1 多元函数的极值与极值判定条件 6.4.2 多元函数的条件极值与约束条件 6.5 多元函数的泰勒公式与误差估计6.5.1 多元函数的二阶泰勒公式6.5.2 误差估计与局部线性化第七章：重积分7.1 重积分的概念与性质7.1.1 二重积分的定义与性质7.1.2 二重积分的计算与重要定理7.2 二重积分与坐标变换7.2.1 极坐标系下的二重积分 7.2.2 广义换元公式与坐标变换 7.3 三重积分的概念与计算7.3.1 三重积分的定义与性质 7.3.2 直角坐标系下的三重积分 7.4 三重积分与坐标变换7.4.1 柱面坐标系下的三重积分 7.4.2 球面坐标系下的三重积分 7.5 重积分的应用7.5.1 重心、质心与形心7.5.2 质量、质心与转动惯量 7.5.3 重积分的物理与几何应用第八章：曲线积分与曲面积分8.1 曲线积分的概念与性质8.1.1 曲线积分的定义与性质 8.1.2 第一类曲线积分的计算 8.1.3 第二类曲线积分的计算8.2 曲线积分的应用8.2.1 质量、质心与转动惯量8.2.2 流量与环量8.3 曲面积分的概念与性质8.3.1 曲面积分的定义与性质8.3.2 曲面积分的计算与重要定理 8.4 曲面积分的应用8.4.1 曲面的质量与曲面的质心8.4.2 流量与散度定理8.4.3 曲面积分的物理与几何应用第九章：无穷级数与傅里叶级数9.1 无穷级数的概念与性质9.1.1 数项级数的收敛性判定9.1.2 幂级数的收敛域与求和9.1.3 函数展开成级数9.2 函数项级数的点态与一致收敛性 9.2.1 函数项级数的定义与性质9.2.2 函数项级数的收敛定理9.3 傅里叶级数与傅里叶级数展开9.3.1 傅里叶级数的定义与性质9.3.2 傅里叶级数的收敛定理9.4 傅里叶级数的应用9.4.1 周期信号与频谱分析9.4.2 偏微分方程的分离变量法此为《高等数学教材下册》目录，供参考学习之用。
大一高数微积分下册答案
第六章 定积分§6.1~6.2 定积分的概念、性质一、填空题1、设()f x 在[,]a b 上连续，n 等分011[,]:n n a b a x x x x b -=<<<<=，并取小区间左端点1i x -，作乘积1()i b af x n --⋅，则11lim ()ni n i b a f x n -→∞=-⋅=∑()d b af x x⎰.2、根据定积分的几何意义，20d x x =⎰2，1x -=⎰2π，sin d x x ππ-=⎰0.3、设()f x 在闭区间[,]a b 上连续，则()d ()d b baaf x x f t t -=⎰⎰0.二、单项选择题1、定积分()d b af x x ⎰(C) .(A) 与()f x 无关 (B) 与区间[,]a b 无关 (C) 与变量x 采用的符号无关 (D) 是变量x 的函数 2、下列不等式成立的是 (C) . (A) 222311d d x x x x >⎰⎰ (B) 22211ln d (ln )d x x x x <⎰⎰(C)110d ln(1)d x x x x >+⎰⎰ (D) 11e d (1)d xx x x <+⎰⎰3、设()f x 在[,]a b 上连续，且()d 0b af x x =⎰，则 (C) .(A) 在[,]a b 的某小区间上()0f x = (B) [,]a b 上的一切x 均使()0f x = (C) [,]a b 内至少有一点x 使()0f x = (D) [,]a b 内不一定有x 使()0f x = 4、积分中值公式()d ()()b af x x f b a ξ=-⎰中的ξ是 (B) .(A) [,]a b 上的任一点 (B) [,]a b 上必存在的某一点(C) [,]a b 上唯一的某一点 (D) [,]a b 的中点5、d arctan d d bax x x =⎰ (D) .析：arctan d b ax x ⎰是常数(A) arctan x (B)211x+ (C) arctan arctan b a - (D) 06、设244123d ,s i n d I x x Ix x ππ===⎰⎰⎰，则123,,I I I 的关系为 (B) .(A) 123I I I >> (B) 213I I I >> (C) 312I I I >> (D) 132I I I >> 7、设41I x =⎰，则I 的值 (A) . (A) 0I ≤≤(B) 115I ≤≤ (C) 1165I ≤≤ (D) 1I ≥析：4()f x =[]0,1上的最大值是2，最小值是0，所以0I ≤≤.三、估计定积分220e d x x I x -=⎰的值.解 记2()e ,[0,2]xxf x x -=∈，则2()(21)e x x f x x -'=-，令()0f x '=，得12x =. 因为1241e ,(0)1,(2)e 2f f f -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，所以()f x 在[0,2]上的最大值为2e ，最小值为14e -，从而 212242ee d 2e x x I x --≤=≤⎰.四、设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且1()d ()baf x x f b b a =-⎰.求证：至少存在一点(,)a b ξ∈，使得()0f ξ'=.证明 由积分中值定理，存在一点[,]a b η∈，使得()d ()()b af x x f b a η=-⎰，即1()d ()b af x x f b a η=-⎰.又由题设可知，()f x 在[,]b η上连续，在(,)b η内可导，且有()()f f b η=，根据罗尔定理，存在一点(,)(,)b a b ξη∈⊂，使得()0f ξ'=.§6.3微积分的基本公式一、填空题1、若20()x f x t t =⎰，则()f x '=32x .2、32d d x x x⎰23、极限0sin 3d lim1cos x x t tx→=-⎰3.4、定积分412d x x -=⎰52.5、设,0()sin ,0x x f x x x ≥⎧=⎨<⎩，则11()d f x x -=⎰1cos12-.6、由方程2d cos d 0e y xt t t t +=⎰⎰所确定的隐函数()y y x =的导数d d y x=2cos ey x-.7、设()f x 是连续函数，且31()d x f t t x -=⎰，则(7)f =112.8、设13201()()d 1f x x f x x x =++⎰，则10()d f x x =⎰3π.析：设10()d f x x A =⎰，则等式两端同时积分得111320001()d d d 1f x x x x A x x =+⋅+⎰⎰⎰ 1013arctan |,,4443A x A A A ππ=+⋅∴==. 9、设()f x 在闭区间[,]a b 上连续，且()0f x >，则方程1()d d 0()x x abf t t t f t +=⎰⎰在开区间(,)a b 内有1个实根.析：设1()()d d ()x x abF x f t t t f t =+⎰⎰，则有 1()d 0,()()d 0()a b ba F a t Fb f t t f t =<=>⎰⎰,由根的存在定理知至少有存在一个(),a b ξ∈使得()0F ξ=；若方程有两个根，不妨设1,2ξξ即12()0,()0F F ξξ==,则由罗尔定理知,(),a b ξ∃∈使得()0F ξ'=, 即使得1()0()f x f x +=成立，这与()0f x >矛盾， 所以方程又且只有一个根.二、单项选择题1、下列积分中能用微积分基本公式的只有 (C) .(A) 11d x x -⎰ (B) 31e d ln x x x ⎰(C) 1-⎰(D) 1-⎰2、设2()()d xa x F x f t t x a=-⎰，其中()f x 是连续函数，则lim ()x a F x →= (B) . (A) 2a (B) 2()a f a (C) 0 (D) 不存在3、设561cos 2()sin d ,()56x x x f x t t g x -==+⎰，则当0x →时，()f x 是()g x 的 (B) .(A) 低阶无穷小 (B) 高阶无穷小 (C) 等价无穷小 (D) 同阶但不等价无穷小 析: 1cos 42056450004()sin d ()2limlimlim 0()56xx x x x xt tf x x xg x x x-→→→⋅===++⎰. 三、求020(e 1)d limsin x t x t t x x→-⎰.解 根据洛必得法则，得202322000(e 1)d (e 1)d (e 1)1limlimlim lim sin 333x x t t x x x x x t t t t x x x xx x x →→→→---====⎰⎰.四、求函数20()e d xtI x t t -=⎰的极值.解 2()e x I x x -'=，()2222()ee (2)12e x x x I x x x x ---''=+-=-.令()0I x '=，得驻点0x =,又(0)10I ''=>，所以0x =是()I x 得极小值点，极小值为(0)0I =.五、求x .解x x x ==⎰()()24204sin cos d cos sin d sin cos d x x x x x x x x x ππππ=-=-+-⎰⎰⎰()()42042sin cos cos sin x x x x πππ=++--=.六、已知0()()d 1cos xx t f t t x -=-⎰，证明：20()d 1f x x π=⎰.证明 原式可化为 0()d ()d 1cos x xx f t t tf t t x -=-⎰⎰，两边对x 求导，得()d ()()sin xf t t xf x xf x x +-=⎰，即0()d sin xf t t x =⎰，令2x π=，得20()d sin12f t t ππ==⎰，即 20()d 1f x x π=⎰.§6.4 定积分的换元积分法一、填空题1、设()f x 在区间[,]a a -上连续，则2[()()]d a ax f x f x x ---=⎰.2、91x =⎰2ln 2. 3、09912(21)d x x -+=⎰1200.4、31e =⎰2. 5、(211d x x -=⎰2.6、222d 2x xx x -+=+⎰ln3. 7、x =⎰4π.8、设211e ,22()11,2x x x f x x ⎧-≤<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩，则212(1)d f x x -=⎰12-.二、单项选择题1、设()f x 是连续函数，()d ()d b baaf x x f a b x x -+-=⎰⎰ (A) .(A) 0 (B) 1 (C) a b + (D) ()d b af x x ⎰析：令a b x y +-=，则()d ()d ()d ()dy 0b bbaaaabf x x f a b x x f x xg x -+-=+=⎰⎰⎰⎰2、设()f x 是连续函数，()F x 是()f x 的原函数，则 (A) . (A) 若()f x 是奇函数，()F x 必为偶函数 (B) 若()f x 是偶函数，()F x 必为奇函数 (C) 若()f x 是周期函数，()F x 必为周期函数 (D) 若()f x 是单调增函数，()F x 必为单调增函数 析：(B)反例：()cos ,()sin 1f x x F x x ==+(C)反例：()1,()f x F x x ==(D)反例：212(),()f x x F x x == 三、计算下列定积分1、()234332011311211222d 3d 32233t t t t t t t t -+⎛⎫⋅=+=+= ⎪⎝⎭⎰⎰. 2、()1ln 1122000021d 21d 2arctan 2112t t t t t t t t π⎛⎫⋅=-=-=- ⎪++⎝⎭⎰⎰.3、d d t t t t =⎰1t=-=.四、设()f x 是连续函数，证明：02(sin )d (sin )d xf x x f x x πππ=⎰⎰.证明(sin )d ()(sin )(d )=()(sin )d x txf x xt f t t t f t t ππππππ=-=---⎰⎰⎰令(sin )d (sin )d (sin )d (sin )d f t t tf t t f x x xf x x ππππππ=-=-⎰⎰⎰⎰.从而 02(sin )d (sin )d xf x x f x x πππ=⎰⎰，即 02(sin )d (sin )d xf x x f x x πππ=⎰⎰.五、设(),()f x g x 在[,](0)a a a ->上连续，且()f x 满足条件()()f x f x A +-=（A 为常数）,()g x 为偶函数. （1）证明:()()d ()d a aaf xg x x A g x x -=⎰⎰；（2）利用（1）的结论计算定积分22sin arctan e d xx x ππ-⎰.(1)证明00()()d ()()d ()()d a aaaf xg x x f x g x x f x g x x --=+⎰⎰⎰,而000()()d ()()(d )()()d ()()d a aaax tf xg x xf tg t t f t g t t f x g x x -=----=-=-⎰⎰⎰⎰令,所以()()d ()()d ()()d a aaaf xg x x f x g x x f x g x x -=-+⎰⎰⎰[]0()()()d ()d a af x f xg x x A g x x =-+=⎰⎰.(2)解 取()arctan e ,()sin ,2xf xg x x a π===，令 ()()()arctan earctan e xx F x f x f x -=-+=+，则 ()2222e e e e ()arctan e arctan e 01e 1e 1e 1e x x x x xx x x x xF x -----''=+=+=+=++++，所以 ()F x A =（常数），又(0)arctan1arctan12arctan12F π=+==，即 ()()2f x f x A π-+==.于是有22202sin arctan e d sin d sin d 222xx x x x x x πππππππ-===⎰⎰⎰.§6.5 定积分的分部积分法一、填空题1、cos d x x x π=⎰2-.2、已知()f x 的一个原函数是2ln x ，则1e()d xf x x '=⎰1.3、11()e d xx x x --+=⎰124e --.4、设0sin ()d xtf x t t π=-⎰，则0()d f x x π=⎰2. 析：0000sin sin ()d ()|d ()d x x f x x xf x x x x x x xπππππππ=-=---⎰⎰⎰0(cos )|2x π=-=. 二、计算下列定积分1、2001d arccos 122x x x x =+=-⎰⎰12==+. 2、1e111e1e 1e 1111eeee11ln d (ln )d ln d ln d ln d x x x x x x x x x x x x x x x x =-+=-+⋅+-⋅⎰⎰⎰⎰⎰1121e e 12e e e=-+-+-+=-. 3、ln 2ln 2ln 20ln 2ln 211e d d(e )e e d ln 2e (1ln 2)22x x xx xx x x x x -----=-=-+=--=-⎰⎰⎰. 4、2222200001cos 211sin d d d cos 2d 222x x x x x x x x x x x ππππ-=⋅=-⎰⎰⎰⎰22220022011d(sin 2)sin 2sin 2d 44164x x x x x x x πππππ⎛⎫⎪=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰22201110cos 21642164x πππ⎛⎫ ⎪=-+=+ ⎪⎝⎭. 5、1102x x =⎰⎰（被积函数为偶函数）方法一 ：122arcsin dx =-⎰1202arcsin x x ⎫=--⎪⎪⎝⎭212x ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭1202d 1x ⎫=--=-⎪⎪⎝⎭⎰. 方法二：166sin arcsin cos dt cos t txt x t t ππ-=⎰⎰602d(-cos )1t t π==-⎰. 6、111120000ln(1)1ln(1)1d ln(1)d d ln(1)(2)222x x x x x x x x x ++⎛⎫=+=-+ ⎪----⎝⎭⎰⎰⎰ 11001111ln 2d ln 2d (2)(1)321x x x x x x ⎛⎫=-=-+ ⎪-+-+⎝⎭⎰⎰[]1121ln 2ln(2)ln(1)ln 2ln 2ln 2333x x =---++=-=.三、设()f x 是连续函数，证明：000()d d ()()d x u xf t t u x u f u u ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰.证明()0000()d d ()d d()d ()d ()d xx u u x u x xf t t u u f t t u f t t x f t t uf u u ⎡⎤=-=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰()d ()d ()d ()d xxx xx f u u uf u u xf u u uf u u =-=-⎰⎰⎰⎰()()d xx u f u u =-⎰.§6.6 广义积分与Γ函数一、单项选择题1、下列广义积分收敛的是 (D) . (A)e d xx +∞⎰(B) e1d ln x x x +∞⎰(C) 1x +∞⎰ (D) 321d x x +∞-⎰2、以下结论中错误的是 (D) .(A) 201d 1x x +∞+⎰收敛 (B) 20d 1x x x +∞+⎰发散 (C) 2d 1x x x +∞-∞+⎰发散 (D) 2d 1x x x +∞-∞+⎰收敛 3、1211d x x -=⎰ (D) .(A) 0 (B) 2 (C) 2- (D) 发散析：1101222210101111d d d ,d x x x x x x x x --=+⎰⎰⎰⎰发散，0211d x x-⎰也发散。
《高等数学(上册)》 第六章
(1) 给出描述 净资 产 W（ t） 的微分 方程； (2) 求 方 程 的 解 ， 假 设 初 始 净 资 产 为 W0； 讨 论 在 W0=500,600,700 三 种 情 况 下 ， W （ t） 变 化 的 特 点 .
2x
y x1 2
的解就是一个初值问题.
定义 7 微分方程的解的图形是一条曲线，叫做微分方程的积分曲线．
6.1 微分方程的基本概念
例 3 验证函数
x C1 cos kx C2 sin kx
(6)
是微分方程
d2x dt 2
k
2
x
0
，
(k 0)
(7)
的通解.
6.1 微分方程的基本概念
证 求出所给函数(6)的一阶及二阶导数：
dx dt
C1k
sin
kt
C2k
cos
kt
d2x dt 2
k 2(C1
cos kt
C2
sin
kt)
(8)
把(6)及(8)代入方程(7)，得
k 2(C1 cos kt C2 sin kt) k 2(C1 cos kt C2 sin kt) ，而(7)为二阶微 分方程，所以函数(6)是方程(7)的通解.
6.2 可分离变量的微分方程
定义 1 如果一个一阶微分方程能写成 g(y)dyf(x)dx (或写成 y (x) (y))
的形式，即能把微分方程写成一端只含 y 的函数和 dy，另一端只含 x 的函数和 dx，那么原方程就称为可分离变量的微分方程
大一高等数学教材课本目录
大一高等数学教材课本目录第一章函数与极限1.1 实数与数轴1.2 函数概念和图像1.3 函数的极限1.4 极限的性质1.5 无穷小量与无穷大量1.6 极限存在准则1.7 常用极限1.8 函数连续概念1.9 连续函数性质第二章导数与微分2.1 导数的定义2.2 基本导数公式2.3 高阶导数2.4 微分中值定理2.5 泰勒公式与展开2.6 隐函数导数2.7 弧微分与相对误差2.8 函数的单调性与凹凸性第三章微分中值定理与导数应用 3.1 高阶导数的应用3.2 导数在近似计算中的应用3.3 中值定理的证明3.4 罗尔中值定理与其应用3.5 拉格朗日中值定理与其应用 3.6 卡内尔中值定理与其应用3.7 泰勒中值定理及其应用第四章不定积分4.1 不定积分的定义与符号4.2 基本积分表4.3 定积分与微元法4.4 牛顿-莱布尼兹公式4.5 分部积分法4.6 有理分式的积分4.7 函数积分法4.8 徒手计算的积分第五章定积分5.1 定积分定义与性质5.2 定积分的几何意义5.3 定积分的计算方法5.4 定积分在几何学中的应用5.5 牛顿-莱布尼兹公式的积分形式 5.6 广义积分的定义与判敛5.7 瑕积分的计算方法第六章微分方程6.1 微分方程的基本概念6.2 可分离变量的微分方程6.3 齐次微分方程6.4 一阶线性微分方程6.5 高阶线性微分方程6.6 化简与降阶第七章多元函数及其偏导数7.1 二元函数的概念与图像7.2 二元函数的极限与连续性 7.3 偏导数的定义与几何意义 7.4 偏导数的计算方法7.5 高阶偏导数与混合偏导数 7.6 隐函数偏导数7.7 多元函数的微分学基本定理 7.8 方向导数与梯度第八章多重积分8.1 二重积分概念与性质8.2 二重积分的计算方法8.3 二重积分在几何学中的应用 8.4 三重积分概念与性质8.5 三重积分的计算方法8.6 三重积分在几何学中的应用第九章曲线与曲面积分9.1 曲线积分的概念与性质9.2 第一类曲线积分的计算方法9.3 第二类曲线积分的计算方法9.4 曲面积分的概念与性质9.5 曲面积分的计算方法9.6 格林公式与高斯公式第十章空间曲线与格林公式10.1 空间曲线的参数方程10.2 第一类曲线积分10.3 第二类曲线积分10.4 空间曲面的参数方程10.5 曲面的面积与曲面元10.6 曲面积分10.7 格林公式和高斯公式的空间推广第十一章广义积分11.1 广义积分的概念与性质11.2 广义积分判敛方法11.3 正项级数的判敛11.4 参数积分的连续性条件11.5 瑕积分的计算方法第十二章泰勒展开与无穷级数12.1 函数的泰勒展开12.2 常用函数的泰勒展开式12.3 泰勒展开的应用12.4 函数项级数与定理12.5 幂级数的求和与收敛域12.6 函数项级数的运算与应用以上为大一高等数学教材的目录，各章节主要包括基础概念的介绍，公式的推导及性质的阐述，相关定理的证明，以及典型例题和习题的讲解。
高数数学必修一《6.3.1平面向量基本定理》教学课件
量都可用这组基底唯一表示．( √ )
4e1＋3e2
2．如图所示，向量OA可用向量e1，e2表示为________．
解析：由图可知e1，e2为平面内的一组正交单位基底，A点在e1方向有4个单位，在e2方向有3个单位，所以
＝4e1＋3e2.
题后师说
用基底表示向量的两种基本方法
跟踪训练2 在△ABC中，AB＝c，AC＝b，若点D满足2BD＝DC，以
， 为基底，则AD＝(
)
2
1
5
2
A． b＋ c
B． c－ b
3
3
2
1
C． b－ c
3
3
3
3
1
2
D． b＋ c
3
3
答案：D
解析：因为2BD＝DC，AB＝c，AC＝b，
1
1
1
1
所以BD＝3 BC＝3 (AC − AB)＝3b－3c，
的向量表示未知的向量，或找到已知的向量与未知的向量的关系，用
方程的观点求出未知量．
跟踪训练3 △ABC中，D是BC边靠近B的四等分点，AD＝λAB＋
1
μAC，则λ＋μ＝________．
1
解析：因为D是BC边靠近B的四等分点，所以BD＝4 BC，
1
1
3
1
所以AD＝AB + BD＝AB + 4 BC＝AB + 4 (AC − AB)＝4 AB + 4 AC，
学霸笔记
(1)两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共线．若
共线，则不能作基底，反之，则可作基底．
(2)一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这
高数六参考答案
高数六参考答案高数六参考答案高等数学是大学本科阶段的一门重要课程，它是理工科学生的必修课之一。
而高数六是高等数学的最后一门课程，也是最为复杂和难以理解的一门课程。
在学习高数六的过程中，很多学生会遇到各种各样的难题，而参考答案就成为了他们的救命稻草。
本文将为大家提供一份高数六的参考答案，希望能够帮助到正在学习高数六的同学们。
高数六主要包括微分方程、级数和傅里叶级数三个部分。
微分方程是高数六的重点和难点，它是研究自变量与函数、函数的导数和高阶导数之间的关系的数学工具。
在解微分方程时，我们需要运用到一系列的方法和技巧，如变量分离法、齐次方程法、一阶线性微分方程法等。
这些方法和技巧的掌握对于解微分方程至关重要。
下面是一道微分方程的参考答案：示例题目：求解微分方程 dy/dx = x^2 + y^2解答：首先，我们将方程变形为 dy/(x^2 + y^2) = dx。
然后，我们对两边同时进行积分，得到∫dy/(x^2 + y^2) = ∫dx。
对于左边的积分，我们可以使用反正切函数的性质进行化简，得到 arctan(y/x) = x + C，其中C为常数。
最后，我们可以将方程化简为 y = x*tan(x + C)。
除了微分方程，高数六还包括级数的研究。
级数是由无穷多个数按照一定规律排列而成的数列。
在高数六中，我们将主要学习无穷级数和幂级数。
无穷级数是指由无穷多个数相加而成的数列，而幂级数是指由无穷多个幂函数相加而成的数列。
解析无穷级数的方法有很多，如比较判别法、积分判别法、绝对收敛和条件收敛等。
下面是一道级数的参考答案：示例题目：判断级数∑(n=1 to ∞) (1/n^2) 的收敛性。
解答：我们可以使用比较判别法来判断该级数的收敛性。
首先，我们可以将该级数与一个已知的收敛级数进行比较，如∑(n=1 to ∞) (1/n^2) < ∑(n=1 to ∞) (1/n(n+1))。
然后，我们可以对右边的级数进行求和，得到∑(n=1 to ∞)(1/n(n+1)) = 1。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
扇、片、壳 等.
(2) 然后用定积分来表示整体量 Q , 并计算之.
2.定积分的物理应用:
变力作功 , 侧压力 , 引力等。
机动
目录
上页
下页
返回
结束
作业: P287 5 , 9
备用题 斜边为定长的直角三角形薄板, 垂直放置于
水中, 并使一直角边与水面相齐, 问斜边与水面交成的 锐角 取多大时, 薄板所受的压力 P 最大 . 解: 选取坐标系如图. 设斜边长为 l , 则其方程为 y cot x l cos
机动 目录 上页 下页 返回 结束
机动 目录 上页 下页 返回
o
xdx x l x
结束
棒对质点的引力的垂直分力为 l dx 2 Fy 2 k m a 2 2 32 0 (a x )
d Fy
y M a d Fx
x k m a 2 2 2 a a x 0
l 2
dF
l 2
2k m l 1 a 4a 2 l 2
第三节 定积分在物理学上的应用
一、 变力沿直线所作的功 二、 液体的侧压力 三、 引力问题
第六章
机动
目录
上页
下页
返回
结束
一、 变力沿直线所作的功
设物体在连续变力 F(x) 作用下沿 x 轴从 x＝a 移动到
力的方向与运动方向平行, 求变力所做的功 .
在其上所作的功元
素为
d W F ( x ) dx
a r r dr b k q 则功的元素为 d W d r r2 1 b 1 1 所求功为 k q k q ( ) a b r a
说明:
机动 目录
q o
1 1
r
kq a
上页 下页 返回 结束
例2 一蓄满水的圆柱形水桶高为 5 m, 底圆半径为3m,
y M dF a x
d Fa y
[ x , x dx] 对质点的引力大小为 m dx dF k 2 a x2
故垂直分力元素为
l 2
dF
2 d Fy dF cos dx a m dx k m a k 2 3 2 2 2 2 2 a x a x (a x ) 2
因此变力F(x) 在区间
a
x xdx b x
上所作的功为
W F ( x ) dx.
a
机动 目录 上页 下页 返回 结束
b
例1. 在一个带 +q 电荷所产生的电场作用下, 一个单
位正电荷沿直线从距离点电荷 a 处移动到 b 处 (a < b) , 求电场力所作的功 . 解: 当单位正电荷距离原点 r 时, 由库仑定律电场力为
的液体 , 求桶的一个端面所受的侧压力.
解: 建立坐标系如图. 所论半圆的 方程为
(0 x R )
o x y d P 2 g x R 2 x 2 dx xdx 端面所受侧压力为 R 2g 3 x R 2 2 R P 2 g x R x dx 0 3 小窄条上各点的压强
5
机动 目录 上页
3m x
设水的密 度为
下页 返回 结束
二、液体侧压力
设液体密度为
深为 h 处的压强: p g h
• 当平板与水面平行时, 平板一侧所受的压力为
h
P pA
• 当平板不与水面平行时, 所受侧压力问题就需用积分解决 . 面积为 A 的平板
机动
目录
上页
下页
返回
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
结束
例3. 一水平横放的半径为R 的圆桶,内盛半桶密度为
利用对称性 , 侧压力元素
pgx
上页 下页
机动
目录
返回
结束
三、 引力问题
质量分别为 的质点 , 相距 r ,
二者间的引力 : 大小:
方向: 沿两质点的连线
m2
r
m1
若考虑物体对质点的引力, 则需用积分解决 .
机动
目录
上页
下页
返回
结束
例4. 设有一长度为 l, 线密度为 的均匀细直棒, 在
其中垂线上距 a 单位处有一质量为 m 的质点 M, 试计算 该棒对质点的引力. 解: 建立坐标系如图. 细棒上小段
o
xdx x l x
2
利用对称性
棒对质点引力的水平分力 Fx 0 . 2k m l 故棒对质点的引力大小为 F
a
1 4 a 2 l 2
目录 上页 下页 返回 结束
机动
内容小结
1.用定积分求一个分布在某区间上的整体量 Q 的步骤: (1) 先用微元分析法求出它的微分表达式 dQ 一般微元的几何形状有: 条、段、环、带、
试问要把桶中的水全部吸出需作多少功 ? 解: 建立坐标系如图. 在任一小区间 [ x , x dx] 上的一薄层水的重力为
o
5m
xdx
g 32 dx (KN)
这薄层水吸出桶外所作的功(功元素)为
x
d W 9 g x dx
故所求功为
x2 5 W 9 g x d x 9 g 0 2 0 112.5 g ( KJ )
y
P
l sin 0
g yx d x
( x 2 cot l x cos ) d x
l
g
l sin 0
机动
目录
上页
下页
返回
结束
dP 令 0, 即 d
故得唯一驻点 3 0 arccos 3
y
l
由实际意义可知最大值存在 , 故此唯一驻点 0 即为所求.