单纯不动点算法
brower定理证明
brower定理证明在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石。
布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（英语：L. E. J. Brouwer）。
布劳威尔不动点定理说明：对于一个拓扑空间中满足一定条件的连续函数f，存在一个点x0，使得f(x0) = x0。
布劳威尔不动点定理最简单的形式是对一个从某个圆盘D射到它自身的函数f。
而更为广义的定理则对于所有的从某个欧几里得空间的凸紧子集射到它自身的函数都成立。
●定理表述不动点定理（fixed-point theorem）：对应于一个定义于集合到其自身上的映射而言，所谓不动点，是指经过该映射保持“不变的”点。
不动点定理是用于判断一个函数是否存在不动点的定理。
常用的不动点定理有：(1)布劳威尔不动点定理(1910年)：若A⊂R(N维实数集合)且A为非空、紧凸集，f：A→A是一个从A到A的连续函数，则该函数f(·)有一个不动点，即存在x∈A，x=f(x)。
该定理常被用于证明竞争性均衡的存在性。
(2)角谷(kakutani)不动点定理(1941年)：若A⊂R且A为非空、紧凸集，f ：A→A是从A到A的一个上半连续对应，且f(x)⊂A对于任意x∈A是一个非空的凸集，则f(·)存在一个不动点。
不动点定理一般只给出解的存在性判断，至于如何求解，则需要用到20世纪60年代末斯卡夫(H.E.Scarf)提出的不动点算法。
因此，不动点定理常被用于解决经济模型中出现的存在性问题，例如多人非合作对策中均衡点的存在性等。
数学定义设(A，d)为完备的度量空间，f为从A到其自身中的李普希茨映射。
如果李普希茨比的级数λ(fn)收敛，则存在A的唯一的点a，在f下该点不动。
其次，对A的任一元素x0，由递推关系：定义的级数(xn)必收敛于a。
这一定理尤其适用于f为压缩映射的情况。
角谷静夫不动点定理
一、不动点算法又称固定点算法。
所谓不动点，是指将一个给定的区域A,经某种变换ƒ(x),映射到A时,使得x=ƒ(x)成立的那种点。
最早出现的不动点理论是布劳威尔定理(1912)：设A为R n中的一紧致凸集, ƒ为将A映射到A的一连续函数，则在A中至少存在一点x，使得x=ƒ（x）。
其后，角谷静夫于1941年将此定理推广到点到集映射上去。
设对每一x∈A，ƒ(x)为A的一子集。
若ƒ(x)具有性质：对A上的任一收敛序列x i→x0，若y i∈ƒ(x i)且y i→y0，则有y0∈ƒ(x0),如此的ƒ(x)称为在A上半连续，角谷静夫定理：设A为R n中的一紧致凸集，对于任何x∈A，若ƒ(x)为A的一非空凸集，且ƒ(x)在A上为上半连续，则必存在x∈A,使x∈ƒ(x)。
J.P.绍德尔和J.勒雷又将布劳威尔定理推广到巴拿赫空间。
不动点定理在代数方程、微分方程、积分方程、数理经济学等学科中皆有广泛的应用。
例如，关于代数方程的基本定理，要证明ƒ(x)=0必有一根，只须证明在适当大的圆│x│≤R内函数ƒ(x)+x有一不动点即可；在运筹学中，不动点定理的用途至少有二：一为对策论中用来证明非合作对策的平衡点的存在和求出平衡点；一为数学规划中用来寻求数学规划的最优解。
对于一个给定的凸规划问题：min{ƒ(x)│g i(x)≤0，i=1,2,…,m}，在此,ƒ和g1,g2,…,g m皆为R n中的凸函数。
通过适当定义一个函数φ,可以证明：若上述问题的可行区域非空，则φ的不动点即为该问题的解。
在1964年以前，所有不动点定理的证明都是存在性的证明，即只证明有此种点存在。
1964年，C.E.莱姆基和J.T.Jr.豪森对双矩阵对策的平衡点提出了一个构造性证明。
1967年，H.斯卡夫将此证法应用到数学规划中去。
其后，不动点定理的构造性证明有了大的发展和改进。
H.斯卡夫的证明是基于一种所谓本原集，后来的各种发展皆基于某种意义下的三角剖分。
不动点定理
不动点定理不动点定理（Fixed Point Theorem）是数学中的一项重要定理，它在现代数学的许多领域中都有广泛的应用。
该定理的推导和证明过程相对复杂，但是可以通过举例来更直观地理解。
不动点定理最基本的形式是：对于一个连续函数f，如果存在一个数a使得f(a) = a，那么这个数a就被称为函数f的不动点。
假设有一个长度为1的线段，你可以将它折叠成任何形状的折线。
对于一条折线上的每一点，你都可以轻松地找到一个它的对应点，使得折线的对折后这两个点重合。
这个过程中，不动点就是指那些折线上的点，对折后依然保持不动。
我们先来看一个简单的例子，假设有一条直线y = x，我们希望找到这条直线上的一个不动点。
我们可以将其代入方程中，得到x = x，即x满足这个等式。
很明显，所有的实数都满足这个等式，所以直线y = x上的所有点都是它的不动点。
现在我们将问题扩展到更一般的函数。
假设有一个函数f(x) =x^2，我们可以将其图像绘制出来，并找到它的不动点。
通过描点，我们可以发现这个函数的图像在x = 0和x = 1处都与直线y = x有交点，也就是不动点。
这两个点分别是函数f(x)= x^2的两个不动点。
不动点定理告诉我们，如果一个函数在某个区间上满足某些条件，那么它一定存在一个不动点。
这个定理有着广泛的应用，例如在经济学中的均衡问题、微积分中的方程求解、组合数学中的图像理论等等。
不动点定理的推导和证明过程相对较为复杂，需要利用到现代数学中的许多高级概念和理论。
例如，需要使用到连续性、紧致性、度量空间等概念，以及开集、闭集、紧集等性质。
这些都是数学中非常重要的概念，它们为不动点定理提供了坚实的理论基础。
总结起来，不动点定理是数学中的一项重要定理，它有着广泛的应用。
通过找到函数中的某个不动点，我们可以解决一些实际问题或者推导出一些有意义的结论。
不动点定理的证明过程相对复杂，但通过举例可以更加直观地理解。
在日常生活中，我们也可以通过不动点定理来理解一些问题，例如折纸和折线、函数的交点问题等等。
不动点定理研究
前言不动点理论的研究兴起于20世纪初,荷兰数学家布劳维在1909年创立了不动点理论[1]．在此基础上，不动点定理有了进一步的发展，并产生了用迭代法求不动点的迭代思想．美国数学家莱布尼茨在1923年发现了更为深刻的不动点理论，称为莱布尼茨不动点理论[2]．1927年，丹麦数学家尼尔森研究不动点个数问题，并提出了尼尔森数的概念[3]．我国数学家江泽涵、姜伯驹、石根华等人则大大推广了可计算尼森数的情形，并得出了莱布尼茨不动点理论的逆定理[4]．最后给出结果的是波兰数学家巴拿赫(Bananch)[6]，他于1922年提出的压缩映像（俗称收缩映射）原理发展了迭代思想，并给出了Banach不动点定理[6]．这一定理有着及其广泛的应用，像代数方程、微分方程、许多着名的数学家为不动点理论的证明及应用作出了贡献.例如，荷兰数学家布劳威尔在1910年发表的《关于流形的映射》[2]一文中就证明了经典的不动点定理的一维形式.即,设连续函数()fx()fx把单位闭区间[0,1]映到[0,1][0,1]中，则有0[0,1]x，使00()fxx.波利亚曾经说过：“在问题解决中，如果你不能解答所提的问题，那么就去考虑一个适当的与之相关联的辅助问题”.“不动点”就是一个有效的可供选择的辅助问题。
作为Brouwer不动点定理从有限维到无穷维空间的推广，1927年Schauder 证明了下面不动点定理，我们称其为Sehauder不动点定理I：定理2设E是Banach 空间，X为E中非空紧凸集，XXf:是连续自映射，则f在X中必有不动点.Sehauder 不动点定理的另一表述形式是将映射的条件加强为紧映射(即对任意Xx，xf是紧的)，这时映射的定义域可不必是紧集，甚至不必是闭集。
1935年，Tyehonoff进一步将Sehauder不动点定理I推广到局部凸线性拓扑空间，得到了下面的不动点定理，我们称其为Tyehonoff不动点定理（吉洪诺夫不动点定理）。
非线性方程求解的不动点算法及研究数学专业设计大学本科毕业论文
长沙学院CHANGSHA UNIVERSITY 本科生毕业论文摘要非线性方程在工程实践、经济学信息安全和动力学等方面的大量实际问题中有着极为广泛的应用，而不动点迭代算法作为数学研究的一个新方向，是求解非线性方程问题的一个最基本而又重要的方法.本文主要介绍了非线性方程求解的不动点算法及其研究，首先，综述了非线性方程求解的不动点算法的研究背景、并阐述了本文的主要工作以及介绍了误差、有限差等基本知识；然后，详细介绍了不动点迭代算法的基本思想、在什么条件下方程存在不动点的收敛定理、不动点的收敛阶定理和Atiken加速公式；最后，考虑到方程可能会不满足不动点迭代收敛定理的两个条件的情况提出了反函数法、牛顿迭代法、Steffensen 迭代法和松弛法这四中处理方法.关键词：非线性方程，不动点原理，迭代法ABSTRACTA large number of practical problems of nonlinear equations in engineering practice,economics of information security and other the dynamics has a very wide range of applications.As a new direction in the study of mathematics,fixed point iterative algorithm is a basic and important methods to solving nonlinear equations problem.This paper describes the solving nonlinear equations fixed point algorithm and research. First, the research background of solving nonlinear equations fixed point algorithm and the main word are introduced, the basic knowledge of errors,finite difference are introduced ; Second, the fixed point iterative basic idea, algorithm convergence and convergence rate and the aitken formula are detailed; Last, inverse function method, the newton iterative method,Steffensen iterative method and the relaxation method are proposed when the equation dose not satisfy the fixed point iteration convergence conditions.Keywords:Nonlinear Equation, Fixed Point Theorem, Iterative Method目录摘要 (I)ABSTRACT (I)第1章绪论 (1)1.1 研究背景 (1)1.2 预备知识 (2)1.2.1 误差 (2)1.2.2 有限差 (3)第２章非线性方程求解的不动点迭代算法 (5)2.1不动点迭代算法的基本思想 (6)2.2 不动点迭代算法的收敛性 (7)2.3 不动点迭代算法的收敛速度 (11)2.4 加速不动点迭代算法及其收敛性 (12)第3章非收敛不动点迭代格式的几类处理方法与比较 (14)3.1 非收敛不动点迭代格式的几类处理方法 (15)3.1.1 反函数法 (15)3.1.2 牛顿迭代法 (15)3.1.3 Steffensen迭代法 (15)3.1.4 松弛法 (16)3.2 数值实例 (17)结论 (21)参考文献 (23)附录 (24)致谢 (35)第1章绪论1.1 研究背景非线性数值解的问题是现代数学的主要研究课题之一，这不仅是由于科学技术发展的需要，而且也是由于计算技术的高速发展提供了解决这类问题的可能，利用计算机解决非线性问题时，最终总是将其化成为有限维非线性问题，或称为非线性代数问题．对于求解非线性方程，无论从理论上还是从计算机上，都比解线性问题要复杂的多，一般的非线性方程是很难求出精确解的，往往只能求出近似解、数值解，而长期以来，人们为了得到满足条件的近似值，许多计算工作者致力于研究求解非线性方程的有效方法，尤其是计算机出现后函数方程求根的数值解法得到了蓬勃发展，十七世纪，微积分出现时，Newton和Halley发明了各自的新的数学工具去解非线性方程，十八世纪，随着微积分的快速蓬勃发展，Euler和Lagrange分别找到了一个无穷级数来表示方程解，并以各自的名字来命名，十九世纪，人们开始注重问题分析的严密性，柯西建立了优级数技巧，该技巧不断的被以后的事实证明对于研究方程近似解序列的收敛性是很有成效的，在分析严密性发展的时代，Ostrowski对Newton迭代法的收敛性问题规定了一个合理的假设和一个令人满意的解法，在软件分析完善的年代，Kantorovich把Newton迭代法和Ostrowski的结果推广到Banach空间，从而使许多用硬分析去做非常棘手的有关问题被轻轻松松地推论中得到了令人满意的解决，等等，总之，这些方法不断地被后人完善，但在目前，实际问题中可能还需要求方程的负根，求非线性方程（组）的迭代法，求微分方程迭代法等等，迭代方法还需要更深入的研究，同时意味着迭代法的发展空间将会更广阔．本文将着重介绍求解非线性方程的不动点算法，其中文献[3]是由王则柯先生于1988年总结的单纯不动点算法，他简述了不动点在非线性方程数值解、微分方程初值问题、边值问题、分支问题等许多应用问题方面的十多年的发展，以及对单值连续映射的不动点或零点问题进行了讨论，在文献[4]中，许炎先生简单的阐述了国内外有关不动点理论的发展状况，并主要讨论了L-Lipschitz映射的不动点迭代逼近定理，[3][4]这两篇文献都总结出了不动点问题的研究和解决在实际问题中起到了至关重要的作用，这一系列的文献还有[5][6][7][8]，而秦小龙先生在文献[9]中介绍了迭代法的发展情况以及相关定理，为本篇论文提供了大量的基础信息，王公俊先生在文献[10]中分别介绍了常用的求解非线性方程的方法以及收敛性，在文献[11]中，张卷美主要研究了一类不动点迭代法的求解，在迭代格式不满足迭代条件的情况下，运用的几种处理方法，并且用Ｃ语言编程上机进行了计算，对迭代收敛结果进行了分析和比较，为本文提供了大量的信息，另外，本文还借鉴了2本不同出版社的《数值分析》教材的大量内容．本文主要介绍了非线性方程求解的不动点算法及其应用，第一章为绪论部分，主要介绍了为什么要研究本文的一些原因、目的，以及价值，也准备了一些预备知识作为对正文的补充；第二章介绍迭代法与不动点的相关思想原理、定理以及迭代法的收敛条件，是本文的一个主要章节和工作重心，并且举出了几个实例来辅助证明了运用不动点迭代法求解非线性方程的方便以及准确性；第三章作为对第二章节的一个完善，非常具有实用性，主要讨论了非收敛不动点迭代格式的几类处理方法，并通过数值实例给予了证明.1.2 预备知识1.2.1 误差误差的来源有多个方面，主要有模型误差、观测误差、截断误差、舍入误差等．例1.1 可微函数)(x f 用泰勒(Taylor)多项式 ,!)0(...!2)0(!1)0()0()()(2n n n x n f x f x f f x p +''+'+= 近似代替，则数值方法的截断误差是 ,)!1()()()()(1)1(+++=-=n n n n x n f x p x f x R ξ ξ在0与x 之间．也就是说，截断误差就是近似值与精确值之间的误差．例1.2 用3.14159近似代替π，表示舍入误差..0000026.014159.3⋅⋅⋅=-=πR同样，可以定义舍入误差是指由于计算机字长有限在表示时产生的误差．定义1.1[1] 设x 为准确值，*x 为x 的一个近似值，称x x e -=**为近似值的绝对误差，简称误差．然而，在实际中，人们是无法准确计算出误差*e 的精确值的，一般是根据需要估计出误差的绝对值不超过某正数*ε，也就是误差绝对值的一个上界，*ε叫做近似值的误差限，它总是正数．对于一般情形，**||ε≤-x x ，即,****εε+≤≤-x x x (1.1)这个不等式有时也表示为.**ε±=x x (1.2)误差的大小有时还不能完全表示近似值的好坏，例如，有两个量110±=x ，51000±=y ，则.5,1000;1,10****====y x y x εε虽然*y ε是*x ε的5倍，但是%5.0**=y y ε比%10**=xx ε小得多，这就说明了*y 近似y 的程度比*x 近似x 的程度要好得多，因此，除了需要考虑误差的大小之外，还应该考虑准确值本身的大小．我们把近似值的误差*e 与准确值x 的比值 ,**xx x x e -= (1.3) 称为近似值*x 的相对误差，记作*r e ．在实际计算中，由于真值x 总是不知道的，通常取 ,*****xx x x e e r -== (1.4) 作为*x 的相对误差，条件是***xe e r =较小，此时 ,)(1)()()()(**2*****2*******x e x e e x x e x x x x e x e x e -=-=-=- (1.5) 是*r e 的平方项级，故可忽略不计．相对误差也可正可负，它的绝对值上界叫做相对误差限，记作*r ε，即 .||***x r εε= (1.6) 根据定义，上例中 %10||**=x x ε与%5.0||**=y y ε分别为x 与y 的相对误差限，很显然*y 近似y 的程度比*x 近似x 的程度好得多．在实际运算中，为了避免误差危害，数值计算中通常不采取数值不稳定算法，在设计算法是应该尽量避免误差危害，防止有效数字损失，通常要避免两个相近数字相减和用绝对值很小的数做除数，还要注意运算次序和减少运算次数．1.2.2 有限差定义1.2[2] 分别称),()()(x f h x f x f -+=∆ (1.7) ),()()(h x f x f x f --=∇ (1.8) ⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=22)(h x f h x f x f δ (1.9)为函数)(x f 在点x 的一阶向前差分，一阶向后差分和一阶中心差分，或者分别简称为一阶前差，一阶后差，一阶中心差，统称为(一阶)有限差，其中)0(>h 表自变量的有限增量，称为步长，∇∆,和δ分别成为(一阶)前差算子、(一阶)后差算子和(一阶)中差算子，统称为(一阶)有限差算，仿此，可以定义高阶有限差，例如，二阶前差记作)(2x f ∆，定义为[]).()()()(2x f h x f x f x f ∆-+∆=∆∆=∆ (1.10) 于是，有).()(2)2()(2x f h x f h x f x f ++-+=∆ (1.11) n 阶前差记作)(x f n ∆，定义为[]).()()()(111x f h x f x f x f n n n n ---∆-+∆=∆∆=∆ (1.12) 同样，二阶后差)(2x f ∇和n 阶后差)(x f n ∇分别定义为[])()()()(2h x f x f x f x f -∇-∇=∇∇=∇ (1.13)和[]).()()()(111h x f x f x f x f n n n n -∇-∇=∇∇=∇--- (1.14) 二阶中心差 )(2x f δ 和n 阶中心差)(x f n δ分别定义为[],22)()(2⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+==h x f h x f x f x f δδδδδ (1.15)和[].22)()(111⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫⎝⎛+==---h x f h x f x f x f n n n n δδδδδ (1.16)我们规定0()()f x f x ∆=, 0()()f x f x ∇=, 0()()f x f x δ=.有限差有下列一下性质：（1）常数的有限差恒为零．（2）有限差算子为线性算子，即对任意的实数α,β恒有()),()()()(x g x f x g x f ∆+∆=+∆βαβα (1.17) ()),()()()(x g x f x g x f ∇+∇=+∇βαβα (1.18)()).()()()(x g x f x g x f βδαδβαδ+=+ (1.19)（3）用函数值表示高阶有限差：()),)((1)(0h i n x f C x f ni in i n -+-=∆∑= (1.20)()),(1)(0ih x f C x f n i in i n --=∇∑= (1.21)()),)2((1)(0h i hx f C x f n i i n i n -+-=∑=δ (1.22)其中 .!)1()1(i i n n n C i n +-⋅⋅⋅-= （4）用有限差表示函数值 .)()(0∑=∆=+n i i i nx f C nh x f (1.23)第２章 非线性方程求解的不动点迭代算法2.1不动点迭代算法的基本思想首先讨论解非线性方程)(x g x = (2.1) 的问题. 方程(2.1)的解又称为函数g 的不动点. 为求g 的不动点，选取一个初始值0x ，令⋅⋅⋅==-,2,1),(1k x g x k k (2.2) 已产生序列}{k x . 这一类迭代法称为不动点迭代. )(x g 又被称为迭代函数， 很显然，若迭代序列}{k x 收敛，即有,lim p x k k =∞→ (2.3) 且)(x g 连续，则p 是g 的一个不动点．例2.1[2] 方程042)(23=-+=x x x f 在区间[]2,1中有唯一跟. 我们可以用不同的方法将它化为方程：（1）;42)(231+--==x x x x g x（2）;22)(212⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-==x x x g x （3）;22)(2133⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==x x g x （4）;212)(214⎪⎭⎫ ⎝⎛+==x x g x （5）,4342)(2235xx x x x x g x +-+-== 等等.取初始值5.10=x ，分别用式(2.2)的迭代格式计算，结果如下表．表2.1 例2.1迭代公式计算结果从表2.1中可以看到，选取迭代函数为)(4x g ，)(5x g ，分别12次和4次，得到方程的近似根1.130395435．若选取)(3x g 作为迭代函数，则k 为奇数时迭代子序列单调增加，k 为偶数时迭代子序列单调减小，迭代120次得到近似根1.130395436． 若选取)(1x g 作为迭代函数，则迭代序列不收敛， 若选取)(2x g 为迭代函数，则出现了负数开方，因而无法继续进行迭代．2.2 不动点迭代算法的收敛性通过例2.1，可以总结出，对于同一个非线性方程的求解问题，在转化为迭代方程时应该要使其解的迭代次数达到最小，且得到的解应该最精确. 在选择迭代函数)(x g 的基本原则是，首先必须保证不动点迭代序列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,,,21k x x x 在)(x g 的定义中，以使迭代过程不至于中断；其次要求迭代序列}{k x 收敛且尽可能收敛得快.定理2.1[2] 假设)(x g 为定义在有限区间[]b a ,上的一个函数，它满足以下条件 （1）对任意[]b a x ,∈有[];,)(b a x g ∈ (2.4) （2）)(x g 的导数)(x g '在[]b a ,上有界，且存在正数1<L 使得对一切[]b a x ,∈有 ,1|)(|<≤'L x g (2.5) 那么对于任意初始值[]b a x ,0∈由不动点迭代(2.2)产生的序列都收敛于g 在[]b a ,的唯一不动点p ，并且有误差估计式|,|1||01x x LL e kk --≤,1≥k (2.6) 其中p x e k k -=.证明 首先证明g 的不动点存在且唯一. 令 ).()(x g x x h -= (2.7)据条件(1),0)()(≤-=a g a a h .0)()(≥-=b g b b h又据条件(2)，在)(x g '上存在，因此)(x g 在[]b a ,上连续，从而)(x h 在[]b a ,上也连续，因此方程0)(=x h 在[]b a ,上至少有一个跟．现假设方程0)(=x h 在[]b a ,上有两个根q p q p ≠,,，则由Lagrange 中值定理知，在p 与q 之间存在ξ使得|,||)(||))((||)()(|||q p g q p g q g p g q p -'=-'=-=-ξξ 再由(2.5).|||||||)(|q p q p L q p g -<-≤-'ξ这就得到矛盾式：.||||q p q p -<- 因此q p =，即0)(=x h 在[]b a ,中的根是唯一的．其次证明由不动点迭代格式(2.2)产生的序列}{k x 是收敛于p 的．根据定理条件(1)[]b a x k ,∈，⋅⋅⋅=,2,1,0k ，因此不动点迭代过程不会中断．由(2.5)式有).()(1p g x g p x k k -=-- (2.8) 应用Lagrange 中值定理，并根据(2.5)式有|||||)(||)()(|||111p x L p x g p g x g p x k k k k -≤-'=-=----ξ.||0p x L k -≤⋅⋅⋅≤ (2.9) 因为10<<L ，所以,0||lim ||lim 0=-≤-∞→∞→p x L p x k k k k即.lim p x k k =∞→ (2.10)最后，推导估计式(2.6)．应用收敛性的证明过程，有|||)()(|||111-++-+++++-≤-=-j k j k j k j k j k j k x x L x g x g x x|,|01x x L j k -≤⋅⋅⋅≤+ (2.11) 于是()∑∑-=+++-=++++-≤-=-11101||m j j k j k m j j k j k k m k x x x xx x||1)1(||010110x x LL L x x Lm k m j jk ---=-≤∑-=+.||101x x LL k--≤ (2.12)在上式中令∞→m ，得.1||||01x x L L p x e kk k --≤-= (2.13) (2.6)式得证．例2.2[2] 讨论例2.1中不动点迭代⋅⋅⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==--,2,1,22)(213113k xx g x k k k (2.14) 的收敛性. 为使解的近似值的误差不超过810-，试确定迭代次数．解 迭代法(2.14)的迭代函数为.22)(2133⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=x x g )(3x g 的定义域为]4,(3-∞．取初始值5.10=x ，由不动点迭代(2.21)得559016994.01=x ，因此取区间[][]5.1,5.0,=b a ．由于,02243)(22133<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--='-x xx g [],5.1,5.0∈x 因此)(3x g 在[]5.1,5.0上单调减小． 而[],559.0)5.1()(min 335.1,5.0≈=∈g x g x[],399.1)5.0()(max 335.1,5.0≈=∈g x g x于是，当[]5.1,5.0∈x 时，[]5.1,5.0)(3∈x g ，但,04432243)(232333<⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=''-x x x xx g [],5.1,5.0∈x )(3x g '在[]5.1,5.0上单调减小，因此 [][]{}3330.5,1.50.5,1.5max |()|max |(0.5)|,|(1.5)|x x g x g g ∈∈'''=.019.3)5.1(3≈'=g 因此，定理2.1的条件(2)不成立．从表2.1看到，取133074649.130=x 作为初始值0x ，128116321.131=x 作为1x ．当[]3031,x x x ∈时，[]303132,31,x x x x ∈从而[]30313,)(x x x g ∈．又由于[]313033,|()|max |()|x x x g x g x ∈''≤{}331330max |()|,|()|g x g x ''= ,1853541077.0)(303<=≈'=L x g因此定理2.1的条件成立．故迭代过程收敛[]3031,x x 中任意取初值，为使解p 的近似值k x 的误差不超过810-，根据误差估计式(2.6)|,|1||01x x L L p x kk --≤- 只要.10||1801-<--x x L L k因此，k 应取为810||lg10lg1lg x x L k L ---->853541077.0lg 146458923.0128116321.1133074649.1lg 8⎪⎭⎫⎝⎛---≈.69977.137≈取138=k ．于是迭代138+30=168次必可使近似解的误差不超过810-． 实际上，从表2.1中可以看到，只要迭代110次便可达到所要求解的精度．(2.6)式右端是最大可能的误差界． 就本例来说，估计的迭代次数偏大了.2.3 不动点迭代算法的收敛速度定理2.2[2] 在定理2.1的假设条件下，再设函数)(x g 在区间[]b a , 上)2(≥m 次连续可微，且在方程(2.1)的跟p 处,0)()(=p g j ,1,,1-⋅⋅⋅=m j ,0)()(≠p g m (2.15) 则不动点迭代为m 阶收敛.证明 据定理2.1知，方程（2.1）在[]b a ,上有唯一根p ．且对任意初始值[]b a x ,0∈，不动点迭代序列{}k x 收敛于p 由于),()()()(11p g e p g p g x g p x e k k k k -+=-=-=++ (2.16) 据Taylor 公式和定理条件有()mkk k m m k m k k k e e p g m e p g m e p g e p g e )(!1)()!1(1)(!21)()(1121θ++-+⋅⋅⋅+''+'=--+ ,)(!1)(mk k k m e e p g m θ+=其中10<<k θ. 易知，对于充分大的k ，若 01≠-k e ，则 ),1,(0⋅⋅⋅+=≠k k i e k ，从而()).(!1lim 1p g m e e m m k k k =+∞→ (2.17）故证得不动点迭代为m 阶收敛．关于不动点的迭代，还有下面的局部收敛定理.定理2.3[2] 设p 是方程(2.1)的一个根，)(x g 在p 的某领域内m 次连续可微，且 ,0)()(=p g j ,1,,1-⋅⋅⋅=m j ,0)()(≠p g m ),2(≥m则当初始值0x 充分接近p 时（存在正数r ，对一切[]r p r p x +-∈,0），不动点迭代序列{}k x 都收敛于p ，且收敛阶数为m .证明 由于假设()x g '在p 的某领域内连续且()0='p g ，因此必存在0>r 使得对一切[]r p r p x +-∈, 有.1|)(|<≤'L x g 又据Lagrange 中值定理，有),)(()()(p x g p g x g -'=-ξ ξ在x 与p 之间，从而,|||||)(||)()(|r p x p x g p g x g ≤-<-'=-ξ 即.|)()(|r p g x g <- (2.18) 因此当[]r p r p x +-∈,时，[]r p r p x g +-∈,)(．据定理2.2和定理2.3知，对于任意初始值[]r p r p x +-∈,0，不动点迭代收敛，且收敛阶数为m ．2.4 加速不动点迭代算法及其收敛性一个收敛的迭代过程将产生一个收敛序列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,,,,21n x x x ，如p x n n =∞→lim ．这样，只要迭代足够多次，即n 充分大时，如m n =，则可取m x p ≈．但若迭代过程收敛缓慢，则会使计算量变得很大，因此需要加速收敛过程．假设一个序列{}n x ：⋅⋅⋅⋅⋅⋅,,,,21n x x x ，线性收敛于p (收敛缓慢)，即有λ=--+∞→p x px n n n 1lim ().0≠λ (2.19) 于是当n 足够大时，有,121px px p x p x n n n n --≈---++ 即),)(()()221p x p x p x n n n --≈-++亦即.)(22222121p p x x x x p p x x n n n n n n ++-≈+-++++ (2.20) 解得nn n n n n x x x x x x p +--=++++12212222221121222n n n n n n n n n n n nx x x x x x x x x x x x ++++++-+--=-+.2)(1221nn n n n n x x x x x x +---=+++ 定义⋅⋅⋅=+---=++++,2,1,0,2)(~12211n x x x x x x x nn n n n n n ， (2.21)(2.21)称为Aitken 加速公式（方法）．Aitken 加速方法得到的序列{}n x ~：⋅⋅⋅⋅⋅⋅,~,,~,~21n x x x 较原来的序列{}n x 更快地收敛于p . 有下面的定理．定理 2.4[2] 设序列}{n x 是线性收敛于p 的，并且对于所有足够大的整数n 有0))((1≠--+n n x p x ，则由Aitken 加速方法(2.21)产生的序列{}n x ~有.0~lim 1=--+∞→p x px n n n (2.22) 证明 由假设序列}{n x 线性收敛于p ，即有,lim 1λ=--+∞→p x px nn n ，0≠λ.记,1λ---=+px px q n n n (2.23) 则有 0lim =∞→n n q ，0lim 1=+∞→n n q ． 据(2.21)式，()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+----=--++++p x x x x x x p x p x p x nn n n n n n n n 1221121~2121()1()(2)n n n n n n x x x p x x x +++-=---+21221212111[()]()1()[2()]111..21n n n n n n n n n n n n n n n x p x p x p x p x p x p x p x p x p x p x p x p x p x p x p ++++++++----=-----+-⎡⎤-=--⎢⎥-⎡⎤---⎣⎦-+⎢⎥---⎣⎦ .1)(2))((1)1(112++-++⋅-+-=+λλλλn n n n q q q q (2.24)因此有.012)1(1~lim 221=+---=--+∞→λλλp x p x nn n在绪论中有讲到一阶前差：,1n n n x x x -=∆+ ⋅⋅⋅=,2,1,0n 二阶前差：,2)(122n n n n x x x x x +-=∆∆=∆++ .,2,1,0⋅⋅⋅=n 于是，Aitken 加速公式(2.21)可改写成,)(~221n n n n x x x x ∆∆-=+ .,2,1,0⋅⋅⋅=n (2.25)由于这个缘故，Aitken 加速方法又称为Aitken 2∆加速方法．例2.3[2] 设nx n 1cos =，则1lim =∞→n n x . 由于,111cos 111cos lim 11lim 1=--+=--∞→+∞→nn x x n n n n 因此序列{}nx 收敛于1． 由序列{}nx 应用Aitken 加速方法计算得{}nx ~的开头几项列表如下（表2.2）．{}n x ~确实比{}n x 更快的收敛于1．第3章 非收敛不动点迭代格式的几类处理方法与比较在第2章中主要介绍了求解非线性方程的不动点迭代法，其要求是迭代函数要满足收敛定理假定条件，而在现实生活中，明确满足这些条件的迭代函数是很少见的，本章对于迭代函数不满足收敛条件的情况，提出了几类处理方法.3.1 非收敛不动点迭代格式的几类处理方法一个方程的迭代格式不是唯一的，且迭代也不都是收敛的，其收敛性取决于迭代函数)(x g 和初值0x ，关于不动点迭代函数的收敛性，上一章已经进行了讨论， 但假若[]b a x ,∈时，1)(>≥'L x g ，就不满足定理2.1的条件(2)了，于是下面分别介绍了反函数法、牛顿迭代法、Steffensen 迭代法和松弛法这四中处理方法.3.1.1 反函数法因为)(x g x =，有[])(1)(1x g x g '='-，则当[]b a x ,∈时，[]11)(1<≤'-Lx g ，所以方程)(x g x =可写成等价形式)(1x g x -=，从而构造迭代格式)(11k k x g x -+=, ),1,0(⋅⋅⋅=k (3.1) 很明显，)(11k k x g x -+=满足收敛条件.对于)(x g 简单情况, 其反函数)(1x g -容易得到.3.1.2 牛顿迭代法对于迭代格式)(x g x =的情形，采用Newton 迭代格式有 ,)(1)()()(1)(1k k k k k k k k k x g x g x x g x g x g x x x '-'-='---=+ ),1,0(⋅⋅⋅=k (3.2)3.1.3 Steffensen 迭代法根据Aitken 加速算法，对迭代格式)(1k k x g x =+,),1,0(⋅⋅⋅=k ，进行如下修改：),(k k x g y = ),(k k y g z =[]kk k k k k k k k k k k k x x g x g g x g x g g x g g x y z y z z x +---=+---=+)(2))(()())(())((2)(221 (3.3)其中⋅⋅⋅=,1,0k .3.1.4 松弛法将)(x g x =化成等价形式)()1(x wg x w x +-= , 称w 为松弛因子, 从而构造迭代格式),()1(1k k k x wg x w x +-=+ (3.4)其迭代函数为)()1()(x wg x w x g +-= . 记)(min minx g g bx a '='≤≤，)(max max x g g bx a '='≤≤，得到如下结论:（1）当1)(>≥'L x g 时，w 取01)(2max <<-'-w x g 时，)()1(1k k k x wg x w x +-=+迭代收敛；（2）当1)(-<-≤'L x g 时，w 取)(120minx g w '-<< 时，)()1(1k k k x wg x w x +-=+迭代收敛；（3）当1)(<≤'L x g 时，w 取)(1)(11minminx g x g w '-'+<< 时，迭代格式)()1(1k k k x wg x w x +-=+比迭代格式)(1k k x g x =+收敛快． 推导如下：（1）当1)(>≥'L x g 时，由01)(2max<<-'-w x g 得到2)(max->-'w x g w ，其迭代函数为)()1()(x wg x w x f +-=． 因为()()()()()()()max1111111f x w wg x w wg x f x w wg x w g x '''=-+≥-+>-'''=-+=+-<所以有1)(<'x g ，从而)()1(1k k k x wg x w x +-=+迭代收敛.（2）当1)(-<-≤'L x g 时, 由)(120min x g w '-<<得到2)(min->'+-x g w w . 因为()()()()()()()min111,1111f x w wg x w wg x f x w wg x w g x '''=-+≥-+>-'''=-+=+-<所以有1)(<'x f , 从而)()1(1k k k x wg x w x +-=+迭代收敛.（3）当1)(<≤'L x g 时, w 取)(1)(11min minx g x g w '-'+<<，由1>w 得到[]0)(1)1(<'--x g w ,()()()()()1(1)1f x w wg x w g x g x g x '''''=-+=--+<⎡⎤⎣⎦ 由)(1)(1minminx g x g w '-'+<得到0)()(1min min>'+-'+x g w w x g .()()min()11f x w wg x w wg x '''=-+≥-+()()()()minmin 1w wg x g x g x g x ''''≥-++->-所以有)()(x g x f '<', 从而迭代格式)()1(1k k k x wg x w x +-=+ 比迭代格式)(1k k x g x =+收敛快.3.2 数值实例通过以上四种方法都可以解决非收敛不动点迭代格式的问题，现对上述四种给出几个不满足不动点迭代收敛定理的实例，并对结果进行分析和比较. 例3.1 求方程033=--x x 在区间[]2,1内的根，要求精度为510-．解 对于方程033=--x x ，将它化为33-=x x ，所以3)(3-=x x g ，则当[]2,1∈x 时，13)(2>='x x g ，不满足定理2.1的条件(2),因此不能由(2.2)的迭代格式计算.下面分别用反函数方法、牛顿（Newton ）迭代法、Steffensen 迭代法、松弛法对迭代函数进行修改，得到相应新的迭代函数，并用C 语言编程上机计算. (1)反函数法：迭代格式为),(11k k x g x -+= 即.)3(311+=+k k x x 取初值5.10=x ，运用程序见附录1．(2)牛顿（Newton ）迭代法：迭代格式为,)(1)()()(1)(1k k k k k k k k x g x g x x g x g x g x x x '-'-='---=+即.133231)3(23231-+=----=+k k k k k k k x x x x x x x 取初值5.10=x ，运用计算程序见附录二； (3) Steffensen 迭代法：迭代格式为),(k k x g y = ),(k k y g z = [][].)(2))(()())(())((2221kk k k k k kk k k k k k x x g x g g x g x g g x g g x y z y z z x +---=+---=+即,33-=k k x y,3)3(33--=k k x z[].)3(23)3()3(3)3(3)3(3332333331kk k k kk k x x x x xx x +-----------=+ 取初值5.10=x ，运用如下程序可以得到结果： (4)松弛法：迭代格式为),()1(1k k k x wg x w x +-=+ 即),3()1(31-+-=+k k k x w x w x当[]2,1∈x 时，13)(2>='x x g ，且3)(min='x g ，12)(max ='x g ，所以w 的取值范围为01122>>--w ，现取5.10=x ，15.0-=w ，运用C 语言编程可得到起结果． 以上这四种方法的计算结果见表(3.1)，本例中以上四种方法都是收敛的，因此这四种方法均可以解决不满足收敛条件的不动点迭代收敛问题，同时本例中变换后的Newton 迭代法收敛的最快.例 3.2 求方程0124=--x x 在区间[]2,1内的根，要求精度为510-.解 对于方程0124=--x x ，将它化为21214-=x x ，所以2121)(4-=x x g ，则当[]2,1∈x 时，14)(3>='x x g ，因此不满足不动点迭代收敛条件，为求此次方程的解，下面同样分别用本章介绍的四种方法求解此方程. (1)反函数法：迭代格式为),(11k k x g x -+= 将方程变为迭代格式为().12411+=+k k x x取初值5.10=x ，运行附录5的相应程序即可得计算结果. (2)牛顿（Newton ）迭代法:迭代格式为,)(1)()()(1)(1k k k k k k k k x g x g x x g x g x g x x x '-'-='---=+代人例题中的数据.12212321212134341-+=-⎪⎭⎫ ⎝⎛---=+k k k k k k k x x x x x x x 取初值5.10=x ，运行附录6的程序即可的计算结果. (3)Steffensen 迭代法：迭代格式为),(k k x g y =),(k k y g z = [][].)(2))(()())(())((2221kk k k k k kk k k k k k x x g x g g x g x g g x g g x y z y z z x +---=+---=+代入例题中的数据有,21214-=k k x y ,2121212144-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=k k x z.2121221212121212121212121212121214442444441k k k k k k k x x x x x x x +⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+ 取初值5.10=x ，运行附录7即可算得计算结果. (4)松弛法：迭代格式为),()1(1k k k x wg x w x +-=+ 代入例题中的数据有.2121)1(41⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=+x w x w x k k当[]2,1∈x 时，14)(3>='x x g ，13224)(3max>=⨯='x g ，所以w 取值在01322<<--w ，现取05.0-=w ，初值5.10=x ，运行附录8的程序即可得到计算结果.以上这四种方法的计算结果见表(3.2)，本例中以上四种方法都是收敛的，因此这四种方法均可以解决不满足收敛条件的不动点迭代收敛问题，同时本例中变换后的Newton 迭代法收敛的最快．例3.3 求方程032=-+x e x 在区间[]1,0内的根，要求精度为510-.解 将方程化为等价形式x e x 23-=，那么此时x e x g 23)(-=.当[]1,0∈x 时，12)(>-='x e x g ，因此不满足不动点迭代收敛条件.按下面这四种方法处理可以得到近似解.(1)反函数法：首先由反函数处理方法可得到迭代格式,223ln 1⎪⎭⎫⎝⎛-=+k k x x取初值5.00=x ，运用程序见附录9.(2)牛顿（Newton ）迭代法：由牛顿迭代法得到迭代格式,21321kk x x k k k e e x x x +-+-=+ 取初值5.00=x ，运用程序见附录10.(3)Steffensen 迭代法：由Steffensen 迭代法得到迭代格式,23k x k e y -= ,2322⎪⎭⎫ ⎝⎛--=k x e k e z()()[](),)23(223232323223231kx e e e k x e e e e x kkx kx kx +------=---+ 取初值5.00=x ，运用程序见附录11. (4)松弛法：由松弛法得到迭代格式为(),23)1(1x k k e w x w x -+-=+当[]1,0∈x 时，122)(-<-≤-='x e x g ，e x g 2)(min-='，所以w 取ew 2120+<<之间的值，现取2.0=w ，初值5.00=x ，运用程序见附录12.以上这四种方法的计算结果见表(3.2)，本例中以上四种方法都是收敛的，因此这四种方法均可以解决不满足收敛条件定理的不动点迭代收敛问题，同时本例中变换后的Newton 迭代法收敛的最快．结 论非线性代数问题的解法是现代计算数学的一个重要研究课题，而不动点迭代算法是求解非线性方程近似根的一个重要方法.本文通过搜集大量资料了解了非线性方程求解的不动点迭代算法的的研究背景，以及研究价值，然后通过介绍不动点迭代法的基本思想，对不动点迭代法的收敛性、收敛速度以及加速不动点迭代算法的收敛性进行了研究，并结合实例经行了比较分析，对于不满足收敛条件的情况，本文通过翻阅大量资料和文献，归纳总结出了四种处理方法，分别为反函数法、牛顿（Newton)迭代法、Steffensen 迭代法、松弛法，使得不满足收敛不动点迭代格式的非线性方程的求解得到了解决，同样也给出了相关实例进行了比较和验证.具体来说，对于一般的非线性方程，只要满足第2章定理2.1中的条件(1)和条件(2)，那么对于任意的初始值[]b a x ,0∈，则由不动点迭代⋅⋅⋅==-,2,1),(1k x g x k k 产生的迭代序列都收敛于g 在[]b a ,的唯一不动点p ，那么要考虑的是光是收敛还不能很好的解决一个迭代效率问题，于是本文还致力研究了不动点迭代法的收敛速度，以及加速不动点迭代法.而对于一般不满足第2章定理2.1中的条件（1）或者条件（2）的情况，那么有不动点迭代算法产生的迭代序列不是收敛的，就不能求出函数的近似解，那么本文通过阅读大量的资料以及文献，总结出了四种比较好用的处理方法，并且通过3个实例，可以发现这几种方法不仅能得到收敛的迭代序列，而且收敛的速度也比较快，通过分析比较这四种方法，牛顿迭代法的迭代效果最好.这也是本文的亮点所在.由于诸多条件限制，本文也有很多不足之处，比如说没有足够多的实例来充分的证明第2章的定理2.2与定理2.3，并且对于第3章给出的3个实例中的精度要求较低，有待于继续研究，若有条件，可以更深层次的研究非线性方程组的不动点算法及其应用.参考文献[1] 李庆扬，王能超，易大义.数值分析[M].北京：清华大学出版社，2008,32(2)：3-8[2] 林成森.数值分析[M].北京：科学出版社，2007,18(1):133-135,255-265[3] 王则柯．单纯不动点算法[J]．广州：中山大学数学系，1988,12(12)：113-127[4] 许炎．Banach空间中的不动点迭代逼近[J]．苏州：苏州科技学院数理学院，2010，13(2)：1-44[5] 李素红．非线性算子的不动点迭代逼近[J]．天津工业大学学报，2006，16(1)：51-58[6] 孙俊萍，徐裕生．非线性算子的不动点定理[J]．长春大学学报，2000，10(5)：30-31[7] 宋娜娜．几类非线性算子的不动点定理[J]．长春工程学院学报（自然科学版），2003,4(3)：1-4[8] 段华贵．几类非线性算子的不动点定理及应用[J]．哈尔滨师范大学自然科学学报，2004，20(4)：31-33[9] 秦小龙．非线性算子方程的迭代算法[J]．科学技术与工程研究简报，2010，10(13)：3169-3170[10] 王公俊．非线性方程的迭代法研究[J]．河北大学学报（自然科学版），2000，20(3)：228-231[11] 张卷美．一类不动点迭代法的求解[J]．燕山大学学报，1998，22(2)：140-142[12] 高尚.不动点迭代法的一点注记[J]．大学数学．2003,19(4):30-37[13] 代璐璐．非线性方程组的迭代解法[J]．合肥工业大学学报，2012，5(4):1-57[14] Halikias, Galanis, Karcanias, Milonidis.Nearest common root of polynomials,approximate greatest common divisor and the structured singular value[J].IMA Journal of Mathematical Control & Information,2013，30(4)：423-442附录附录1（反函数处理法）：%main()为主函数%用途：用反函数法求解非线性方程在非收敛不动点迭代格式情况下的解%格式：solut (double x,int k),solut为被调用函数，x为返回输出的值，即为迭代函数产生的迭代序列，k为在一定精度下的迭代次数#include <stdio.h>#include <math.h>double solut (double x,int k){double f;int i;for(i=0;i<k;i++){f=pow(x+3,1.0/3.0);x=f;}return(x);}main( ){double x0=1.5;int i,k;printf("\n input k(k>0):");scanf("%d",&k);for(i=1;i<=k;i++){printf("\n x=%6.5lf\n",solut(x0,i));}}附录2（牛顿(Newton)迭代法）：%main()为主函数%用途：用牛顿(Newton)迭代法求解非线性方程在非收敛不动点迭代格式情况下的解%格式：solut (double x,int k),solut为被调用函数，x为返回输出的值，即为迭代函数产生的迭代序列k为在一定精度下的迭代次数#include <stdio.h>#include <math.h>double solut(double x,int k){double f;int i;for(i=0;i<k;i++){f=x-(pow(x,3)-x-3)/(3*pow(x,2)-1);x=f;}return(x);}main( ){double x0=1.5;int i,k;printf("\n input k(k>0):");scanf("%d",&k);for(i=1;i<=k;i++){printf("\n x=%6.5lf\n",solut(x0,i));}}附录3（Steffensen迭代法）：%main()为主函数%用途：用Steffensen迭代法求解非线性方程在非收敛不动点迭代格式情况下的解%格式：solut (double x,int k),solut为被调用函数，x为返回输出的值，即为迭代函数产生的迭代序列，k为在一定精度下的迭代次数#include <stdio.h>#include <math.h>double solut(double x ,int k){double f,f1,f2;Int i;for(i=0;i<k;i++){f1=pow(x,3)-3;f2=pow(f1,3)-3;f=f2-(pow(f2-f1,2)/(f2-2*f1+x);x=f;}return(x);}main( ){double x0=1.5;int i,k;printf(“\n input k(k>0):”);scanf(“%d”,&k);for(i=1;i<=k;i++){printf(“\n x=%6.5lf\n”,solut(x0,i);}｝附录4（松弛法）：%main()为主函数%用途：用松弛法求解非线性方程在非收敛不动点迭代格式情况下的解%格式：solut (double x,int k),solut为被调用函数，x为返回输出的值，即为迭代函数产生的迭代序列，k为在一定精度下的迭代次数#include <stdio.h>。
不动点理论的发展历程及
2023-11-08CATALOGUE 目录•不动点理论概述•不动点理论的核心概念•不动点理论的应用场景•不动点理论的挑战与解决方案•不动点理论的未来发展趋势及展望01不动点理论概述不动点理论是指函数在某一点上达到平衡状态，即函数在该点上的值不再发生改变。
这个概念被广泛应用于数学、物理学、经济学等多个领域。
不动点理论在数学中通常是指对于某个映射或函数，存在一个点使得该映射或函数在该点上的作用结果等于该点的原始值。
这个概念可以用于研究函数的单调性、收敛性等性质。
不动点理论定义不动点理论的重要性不动点理论在数学、物理学、经济学等领域中具有重要的应用价值。
例如，在数学中，不动点理论可以用于证明某些函数的收敛性；在物理学中，不动点理论可以用于研究系统的平衡状态；在经济学中，不动点理论可以用于研究市场的稳定性和均衡价格。
不动点理论的发展历程中涌现出了许多重要的数学家和物理学家，他们对不动点理论的形成和发展做出了重要的贡献。
不动点理论的发展可以追溯到19世纪末期，当时一些数学家开始关注函数的不动点性质。
其中最为著名的是法国数学家皮埃尔·弗朗索瓦·韦尔辛斯基，他在1890年左右证明了连续函数的不动点的存在性和唯一性定理。
不动点理论的历史与发展随后，不动点理论得到了广泛的应用和发展。
在20世纪初期，一些数学家开始研究拓扑学中的不动点理论，并取得了重要的成果。
同时，不动点理论也被应用于物理学、经济学等领域中，成为研究系统平衡状态的重要工具之一。
近年来，不动点理论仍然是一个活跃的研究领域。
随着计算机科学和人工智能的发展，不动点理论在机器学习、神经网络等领域中也得到了广泛的应用和发展。
02不动点理论的核心概念压缩映射原理是指对于两个非空集合A和B，如果存在一个映射f，使得对于A中的任意元素x，f(x)都在B中，并且对于B中的任意元素y，都存在一个x属于A，使得f(x)=y。
那么我们就称f是一个压缩映射，A和B是满足压缩映射原理的。
不动点方法及其在压缩感知核磁共振成像中的应用
点， 我们 必须要解决 定义在 大量数据集合上 的非 光滑 函数 的最 小化这 一 困难 问题 。为 了解决这一 问题 ， 我 们应
用 了在 Ｂ Ｂ—ｓ ｔ ｅ ｐ和 线性搜 索下的不动 点算法 ， 来快速重构核磁 共振 图像 。数值 实验证 明， 核磁共振 图像 可以 由不 动点算法从全部数据的 ４ Ｏ ％一 ５ ０ ％抽 样 中几乎精确重构。 关键词 ： 压缩感知 ； 稀疏表示 ； 核磁共振成像 ； 不动点算法 中图分类号 ： Ｔ Ｎ ９ １ １ ． ７ ３ 文献标识码 ： Ａ 文章编号 ： １ ６ ７ ３— ４ ７ ９ ３ （ ２ ０ １ ４ ） ０ １ —０ ０ ２ ８— ０ ７
Ａｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ： Ｂｅ ｃ ａ ｕ ｓ ｅ ｉ ｎ ｆ ｏ ｒ ｍａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ｕ ｃ ｈ ａ ｓ ｂ ｏ ｕ ｎ ｄ ａ ｉｅ ｒ ｓ ｏ ｆ ｏ ｒ ｇ ａ ｎｓ ｉ ｓ ｖ ｅ ｒ ｙ ｓ ｐ ａ ｒ ｓ ｅ ｉ ｎ ｍｏ ｓ ｔ ＭＲ ｉ ｍａ ｇ ｅ ｓ ，ｃ ｏ ｍｐｒ ｅ ｓ — ｓ ｉ ｖ ｅ ｓ ｅ ｎｓ ｉ ｎ ｇ ｍａ ｋ ｅ ｓ ｉ ｔ ｐｏ ｓ ｓ ｉ ｂ ｌ ｅ ｔ ｏ ｒ ｅ ｃ ｏ ｎｓ ｔ ｒ ｕ ｃ ｔ ｔ ｈｅ ｓ ａ ｍｅ ＭＲ ｉ ｍａ ｇ ｅ ｓ ｆ ｒ ｏ ｍ ａ ｖ ｅ ｙ ｒ ｌ ｉ ｍｉ ｔ ｅ ｄ ｓ ｅ ｔ ｏ ｆ ｍｅ ａ ｓ ｕ ｒ ｅ ｍｅ ｎ ｔ ｓ
Ｆｉ ｘ ｅ ｄ Ｐｏ ｉ ｎｔ Ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ａ ｎ ｄ Ｉ ｔ ｓ Ａｐｐ ｌ ｉ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ｉ ｎ Ｃｏ ｍ ｐｒ ｅห้องสมุดไป่ตู้ｓ ｓ ｉ ｖ ｅ
Ｓ ｅ ｎｓ ｉ ｎ ｇ Ｍａ ｇ ｎ ｅ ｔ ｉ ｃ Ｒｅ ｓ ｏ ｎ ａ ｎｃ ｅ Ｉ ｍａ ｇ ｉ ｎｇ
一元方程的不动点迭代法
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神经网络训练
在神经网络训练中，不动点迭代法可以用于优化神经网络的权重和偏置参数， 提高网络的性能。
04 一元方程不动点迭代法的 改进
加速收敛的方法
预处理技术
通过预处理迭代矩阵，使其接近于单位矩阵，从而加 快收敛速度。
松弛方法
引入松弛参数，使迭代过程更加稳定，加快收敛速度。
混合迭代法
结合多种迭代方法，利用各自的优势，提高收敛速度。
目前对于不动点迭代法的收敛性分析 主要基于局部收敛性，对于全局收敛 性的研究相对较少。因此，需要加强 不动点迭代法的全局收敛性分析，以 提高该方法在求解一元方程时的稳定 性和可靠性。
不动点迭代法在求解一元方程时需要 选择合适的初值和迭代参数，这些参 数的选择对迭代结果的影响较大。因 此，需要进一步研究如何选择合适的 参数，以提高不动点迭代法的求解精 度和效率。
并行化编程模型
选择适合并行计算的编程模型，如OpenMP、 MPI等，实现高效的并行计算。
并行化优化技术
利用缓存优化、负载均衡等技术，提高并行计算 的效率。
05 结论与展望
研究结论
1
迭代法在求解一元方程时具有高效性和稳定性， 能够快速逼近方程的解。
2
不动点迭代法在求解一元方程时具有较好的收敛 性和精度，能够得到较为精确的结果。
3
通过不动点迭代法，可以求解一些难以用传统方 法求解的一元方程，拓宽了求解一元方程的方法 和途径。
研究不足与展望
虽然不动点迭代法在求解一元方程时 具有较好的效果，但对于一些特殊的 一元方程，如具有多个解或解在无穷 远处的情况，该方法可能无法得到正 确的结果。因此，需要进一步研究不 动点迭代法的适用范围和局限性。
6[1].2_不动点迭代法及其收敛定理
(1) x 2 x3 1 1( x ) ,迭代法发散.
(2)
x3
x 1 2
2( x ),可验证2( x )
1,x 0,1
迭代法收敛.
Newton 迭代法
1. Newton迭代公式建立
将f(x)在点xn作Taylor展开:
f (x)
f ( xn )
f '( xn )( x xn )
则f (x)在[a,b]上单调递增 , f (x) 0在[a,b]上仅有一个根
所以 1o. 方程x (x)在[a,b]内有唯一解 x *
2o. 对于迭代法 xk 1 ( xk ),
由微分中值定理
xk 1 x * (xk ) (x*) ( )( xk x*)
xk 1 xk (xk ) (xk 1 ) ( )( xk xk 1 )
迭代函数的构造有关与方程2同解收敛附近较平缓发散附近较陡峭上连续且满足存在一正数满足对于任意初值迭代法均收敛于局部收敛性迭代过程的收敛性由根的存在定理上至少有一个根方程所以均收敛于迭代法因此对任意初值只要构造的迭代函数满足就收敛迭代法由6式只要因此当迭代就可以终止可以作为方程的近似解定义1
第6章 方程与方程组的迭代解法 § 6.2 不动点迭代法及其收敛定理
f"(n
2 f' ( xn
) )
(
x
*
xn
)2
注意到ξn 在xn 及x*之间,及
lim xn x*
n
,故
lim | xn1 x* | c (c 0) n xn x* |p
x*
xn
f ( xn ) f' ( xn )
f" 2 f'
(n
不动点与稳定点存在性关系及判定定理
不动点与稳定点存在性关系及判定定理作者：叶留青， 刘瑞华， YE Liu-qing， LIU Rui-hua作者单位：焦作师范高等专科学校数学系,河南焦作,454003刊名：河南理工大学学报（自然科学版）英文刊名：JOURNAL OF HENAN POLYTECHNIC UNIVERSITY(NATURAL SCIENCE)年，卷(期)：2008，27(4)被引用次数：0次1.江泽涵不动点类理论 19792.江泽涵拓扑学引论 19783.JIANG B Lectures on Nielsen Fixed Point Theory.contemp 19834.TODD M J The computation of Fixed Points and Applications 19765.王则柯单纯不动点算法基础 19866.叶留青.贾长虹复平面上广义有理Newton插值的误差公式[期刊论文]-河南理工大学学报(自然科学版) 2005(06)7.张卷美一类不动点迭代法的求解[期刊论文]-河南理工大学学报(自然科学版) 2006(02)1.学位论文顾永玉渗碳炉模糊控制系统设计与建模及稳定性分析2005模糊控制模拟自然语言特征进行控制，不依赖被控对象的精确数学模型，在许多领域得到广泛应用，成为控制领域中大有发展前途的一个分支。
模糊控制以语言控制规则实现其推理过程，属于典型的非线性控制。
常规模糊控制器直接用作控制装置显得较为粗糙，因而目前模糊控制的研究主要集中在改善模糊控制器的控制品质上，而对模糊控制系统的响应特性和稳定性分析，因模糊控制器的数学模型难以建立，进展比较慢，这方面的研究一直是模糊控制理论研究的难点和重点。
目前比较常用的方法是多值继电器模型及描述函数方法，而能够将稳定性分析和控制规则的修改联系起来的则是语言模型方法。
本文在为渗碳炉设计一套实用控制装置的基础上，以所设计的渗碳炉模糊控制系统为例，探讨模糊控制器的数学建模和稳定性分析方法。
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｛Ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｖｅ Ｐｒｏｏｆｓ Ｏｆ Ｎａｇｕｍｏ Ｔｈｅｏｒｅｍｓ Ｆｏｒ ＼＼［－５ ｍｍ］ Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ Ｉｎｃｌｕｓｉｏｎｓ Ｂｙ Ｓｉｍｐｌｉｃｉａｌ Ａｌｇｏｒｉｔｈｍｓ｝ ＼＼［－５ｍｍ］ ＼ｅｎｄ｛ｃｅｎｔｅｒ｝ ＼ｖｓｋｉｐ１５ｍｍ ＼ｖｂｏｘ ｔｏ ７０ｔｒｕｅｍｍ｛ ＼ｓｏｎｇｔｉ＼ｚｉｈａｏ｛３｝ ＼ｌｅｆｔｓｋｉｐ ２０ｔｒｕｅｍｍ 作者姓名： 郭红斌 ＼ｖｓｓ 专 业：运筹学与控制论 ＼ｖｓｓ 导师姓名：李￣￣勇 ＼ｖｓｓ 职 称：教 授 ＼ｖｓｓ 论文起止年月：＼Ｌａｒｇｅ２００１ 年 ３ 月至 ２００２ 年 ５ 月 ＼ｖｓｓ ＼ｌｅｆｔｓｋｉｐ０ｍｍ ｝ ＼ｎｅｗｐａｇｅ ％％％％ 致 谢 ＼ｔｈｉｓｐａｇｅｓｔｙｌｅ｛ｅｍｐｔｙ｝ ％％ 这一页不标页码 ＼ｖｂｏｘ ｔｏ ２５ｔｒｕｅｍｍ｛｝ ＼ｂｅｇｉｎ｛ｃｅｎｔｅｒ｝ ＼ｚｉｈａｏ｛２｝＼ｈｅｉｔｉ 致 谢 ＼ｅｎｄ｛ｃｅｎｔｅｒ｝ ＼ｖｓｋｉｐ１０ｍｍ＼ｓｏｎｇｔｉ＼ｚｉｈａｏ｛４｝ ＼ｐａｒｉｎｄｅｎｔ＝２．０４＼ｃｃｗｄ 衷心感谢导师李勇教授，在学业上不仅对我精心指导， 而且在生活上， 也对我悉心关怀。 李老师严谨的治学态度和坦荡的胸襟令我终生受益，能够成为李老师的学生是我一生的荣幸。 ＼ｖｓｋｉｐ０．２ｃｍ 李老师学识渊博，思维敏捷。每一次与李老师促膝畅谈，都如沐春风，获益颇多。 李老师在本文成文过程中给予了启发性的指导，在此表示谢意。 ＼ｖｓｋｉｐ０．２ｃｍ
＼ｄｅｆ＼ｈａｎｇ｛＼ｈａｎｇｉｎｄｅｎｔ＼ｐａｒｉｎｄｅｎｔ｝ ＼ｄｅｆ＼ｔｅｘｔｉｎｄｅｎｔ＃１｛＼ｉｎｄｅｎｔ＼ｌｌａｐ｛＃１＼ｅｎｓｐａｃｅ｝＼ｉｇｎｏｒｅｓｐａｃｅｓ｝ ＼ｄｅｆ＼ｒｅ｛＼ｐａｒ＼ｈａｎｇ＼ｔｅｘｔｉｎｄｅｎｔ｝ ％％％％％％％ 自定义结束 ＼ｓｅｔｃｏｕｎｔｅｒ｛ｐａｇｅ｝｛－２｝ ％％ 设置前几页不标页码 ％％％％ 封 页 ＼ｔｈｉｓｐａｇｅｓｔｙｌｅ｛ｅｍｐｔｙ｝ ％％ 这一页不标页码 ＼ｖｂｏｘ ｔｏ ５ｔｒｕｅｍｍ｛｝ ＼ｌｅｆｔｓｋｉｐ ０ｔｒｕｅｍｍ 论文分类号：０１７５．８ ＼ｈｓｋｉｐ４．２５ｃｍ 单￣￣位￣￣代￣￣号：１０１８３ ＼ｐａｒ 密＼ｑｑｕａｄ￣级：＼ｈｓｋｉｐ ０．２ｍｍ 内￣部 ＼ｈｓｋｉｐ４．２ｃｍ 研＼ｈｓｋｉｐ１．６ｍｍ 究＼ｈｓｋｉｐ１．６ｍｍ 生＼ｈｓｋｉｐ１．６ｍｍ 学＼ｈｓｋｉｐ１．６ｍｍ 号：９９０１０３２ ＼ｐａｒ ＼ｖｂｏｘ ｔｏ ５ｔｒｕｅｍｍ｛｝ ＼ｂｅｇｉｎ｛ｃｅｎｔｅｒ｝ ＼ｚｉｔｉ｛Ｆ｝＼ｚｉｈａｏ｛１｝＼ｚｉｊｕ｛１．５｝ 吉林大学 ＼ｅｎｄ｛ｃｅｎｔｅｒ｝ ＼ｖｓｋｉｐ ４ｍｍ ＼ｂｅｇｉｎ｛ｃｅｎｔｅｒ｝ ＼ｚｉｔｉ｛Ｆ｝＼ｚｉｈａｏ｛２｝＼ｚｉｊｕ｛１．５｝ 硕士学位论文 ＼ｅｎｄ｛ｃｅｎｔｅｒ｝ ＼ｖｂｏｘ ｔｏ １０ｔｒｕｅｍｍ｛｝ ＼ｂｅｇｉｎ｛ｃｅｎｔｅｒ｝ ＼ｈｅｉｔｉ＼ｚｉｈａｏ｛３｝＼ｚｉｊｕ｛０．６｝ 微分包含形式 ｛＼ｈｅｉｔｉ＼ｂｆ＼ｌａｒｇｅ｛Ｎａｇｕｍｏ｝｝定理的＼＼ 单纯算法的构造性证明 ＼ｅｎｄ｛ｃｅｎｔｅｒ｝ ＼ｖｓｋｉｐ５ｍｍ ＼ｂｅｇｉｎ｛ｃｅｎｔｅｒ｝ ＼Ｌａｒｇｅ＼ｓｓｓ
％％％％ 使用 ＣＣＴ－ＬａＴｅＸ 编译， 用 ＣＣＴ－ＤＶＩ 显示打印 ％％％％ 或使用 ＣＣＴ－ＰＳ－ＬａＴｅＸ 编译， 用 ＹＡＰ 显示打印或 ＰＳ 显示打印 ＼ｄｏｃｕｍｅｎｔｃｌａｓｓ［１２ｐｔ，ｔｗｏｓｉｄｅ］｛ｌｕｎｗｅｎ｝ ＼ｕｓｅｐａｃｋａｇｅ｛ａｍｓｓｙｍｂ，ａｍｓｍａｔｈ｝ ＼ｐａｇｅｓｔｙｌｅ｛ｈｅａｄｉｎｇｓ｝ ＼ｈｅａｄｈｅｉｇｈｔ＝８ｍｍ ＼ｔｅｘｔｗｉｄｔｈ＝１４．５ｔｒｕｅｃｍ ＼ｔｅｘｔｈｅｉｇｈｔ＝１９ｔｒｕｅｃｍ ＼ｏｄｄｓｉｄｅｍａｒｇｉｎ＝０ｍｍ ＼ｅｖｅｎｓｉｄｅｍａｒｇｉｎ＝０ｍｍ ＼ｈｅａｄｓｅｐ＝５ｍｍ ＼ｔｏｐｍａｒｇｉｎ＝０ｍｍ ＼ｆｏｎｔ＼ｓｓｓ＝ｃｍｓｓ１０ ｓｃａｌｅｄ １７２８ ＼ｕｓｅｐａｃｋａｇｅ｛ｇｒａｐｈｉｃｘ｝ ％％％％％％％ 宏定义 ＼ｃａｔｃｏｄｅ｀！＝１１ ＼ｃａｔｃｏｄｅ｀！＝１２ ＼ｌｅｔ＼ｏｌｄｓｅｃｔｉｏｎ＼ｓｅｃｔｉｏｎ ＼ｒｅｎｅｗｃｏｍｍａｎｄ＼ｓｅｃｔｉｏｎ｛＼ｓｅｔｃｏｕｎｔｅｒ｛ｅｑｕａｔｉｏｎ｝｛０｝＼ｏｌｄｓｅｃｔｉｏｎ｝ ＼ｒｅｎｅｗｃｏｍｍａｎｄ＼ｔｈｅｓｅｃｔｉｏｎ｛＼ａｒａｂｉｃ｛ｓｅｃｔｉｏｎ｝｝ ＼ｒｅｎｅｗｃｏｍｍａｎｄ＼ｔｈｅｅｑｕａｔｉｏｎ｛＼ｔｈｅｓｅｃｔｉｏｎ．＼ａｒａｂｉｃ｛ｅｑｕａｔｉｏｎ｝｝ ＼ｎｅｗｔｈｅｏｒｅｍ｛ｔｈｅｏｒｅｍ｝｛＼ｉｎｄｅｎｔ 定理｝［ｓｅｃｔｉｏｎ］ ＼ｎｅｗｔｈｅｏｒｅｍ｛ｌｅｍｍａ｝｛＼ｉｎｄｅｎｔ 引理｝［ｓｅｃｔｉｏｎ］ ＼ｎｅｗｔｈｅｏｒｅｍ｛ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ｝｛＼ｉｎｄｅｎｔ 命题｝［ｓｅｃｔｉｏｎ］ ＼ｎｅｗｔｈｅｏｒｅｍ｛ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ｝｛＼ｉｎｄｅｎｔ 定义｝［ｓｅｃｔｉｏｎ］ ＼ｎｅｗｔｈｅｏｒｅｍ｛ｒｅｍａｒｋ｝｛＼ｉｎｄｅｎｔ 注｝［ｓｅｃｔｉｏｎ］ ＼ｎｅｗｔｈｅｏｒｅｍ｛ｃｏｒｏｌｌａｒｙ｝｛＼ｉｎｄｅｎｔ 推论｝［ｓｅｃｔｉｏｎ］ ＼ｎｅｗｔｈｅｏｒｅｍ｛ｅｘａｍｐｌｅ｝｛＼ｉｎｄｅｎｔ 例｝ ＼ｂｅｇｉｎ｛ｄｏｃｕｍｅｎｔ｝ ％％％％％％％ 自定义书眉和参考文献格式 ＼ｆｏｎｔ＼ｔｅｎｒｍ＝ｃｍｒ１０ ＼ｆｏｎｔ＼ｓｊｌｄｘ＝ｓｊｌｄｘ ％＼ｄｅｆ＼ＪＬＤＸ｛＼ｓｊｌｄｘ＼ｈｂｏｘ ｔｏ １６ｍｍ％ ％｛＼ｃｈａｒ０＼ｈｓｓ＼ｃｈａｒ１＼ｈｓｓ＼ｃｈａｒ２＼ｈｓｓ＼ｃｈａｒ３｝｝ ％ ｄｐｉ６００ ＼ｄｅｆ＼ＪＬＤＸ｛＼ｓｊｌｄｘ＼ｈｂｏｘ ｔｏ ２０ｍｍ ｛＼ｃｈａｒ０＼ｈｓｓ＼ｃｈａｒ１＼ｈｓｓ＼ｃｈａｒ２＼ｈｓｓ＼ｃｈａｒ３｝｝ ％ ｄｐｉ３００ ＼ｄｅｆ＼ｅｖｅｎｈｅａｄ｛＼ｓｏｎｇｔｉ＼ＪＬＤＸ 硕士学位论文｝ ＼ｄｅｆ＼ｏｄｄｈｅａｄ｛＼ｓｏｎｇｔｉ 微分包含形式 Ｎａｇｕｍｏ 定理的单纯算法的构造性证明｝ ＼ｄｅｆ＼ｍｙｐａｇｅ｛＼ｈｂｏｘ｛＼ｓｏｎｇｔｉ 第｝＼ ＼ｒｍ＼ｔｈｅｐａｇｅ＼ ＼ｈｂｏｘ｛＼ｓｏｎｇｔｉ 页｝｝
＼ｍａｉｎｍａｔｔｅｒ ＼ｌａｒｇｅ＼ｚｉｈａｏ｛４｝ ＼ｖｂｏｘ ｔｏ ２５ｔｒｕｅｍｍ｛｝ ＼ｂｅｇｉｎ｛ｃｅｎｔｅｒ｝ ＼ｂｉａｏｓｏｎｇ ＼ｚｉｈａｏ｛２｝ 微分包含形式 ｛＼ｈｕｇｅ｛Ｎａｇｕｍｏ｝｝ 定理的＼＼单纯算法的构造性证明 ＼ｅｎｄ｛ｃｅｎｔｅｒ｝ ＼ｖｂｏｘ ｔｏ ５ｍｍ｛｝ ＼ｓｅｃｔｉｏｎ｛ 引＼ｑｑｕａｄ 言｝ ＼ｓｕｂｓｅｃｔｉｏｎ｛单纯算法的发展史 ｝ 上世纪六十年代后期出现的单纯算法（ｓｉｍｐｌｉｃｉａｌ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ）， 也称不动点算法（ｆｉｘｅｄ ｐｏｉｎｔ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ），单纯同伦算法（ｓｉｍｐｌｉｃｉａｌ ｈｏｍｔｏｐｙ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ），在过去的几十年里得到迅 猛发展，现已成为求解高度非线性问题数值解的有效方法之一。 不动点算法是拓扑学与计算数学以及其它应用学科相结合的产物。“不动点”来自 拓扑学中的不动点概念和著名的不动点定理。不动点算法的理论基础是拓扑学中著名的 Ｓｐｅｒｎｅｒ 引理。 自 １９１２ 年 Ｂｒｏｕｗｅｒ 不动点定理出现以来，各种不动点定理（像 Ｓｃｈａｕｄｅｒ＇ｓ 不动点定理， Ｋａｋｕｔａｎｉ 不动点定理等）成为应用数学领域中许多问题解的存在性讨论的有力工具。不动点 定理的条件一般都比较弱，而结论却很强，许多应用问题都可以方便地表达为等价的不动点 问题，像方程组的求解，零点问题等等。 然而从计算角度看，除了基于压缩原理的不动点定理以外，其它不动 点定理的具体数值求解，也即把肯定存在的不动点找出来，还要借助一定的迭代过程，但各种 迭代方法通常要对问题提出比较苛刻的条件才能保证计算收敛。但所有这些结果都是作 为存在性定理（非构造方式）来处理问题的，具体的数值求解却一直无人问津。 １９６７ 年， 美国耶鲁大学经济系教授 Ｈ．Ｅ．Ｓｃａｒｆ 发表论文，提出以有限点列的计算来逼近不动点的算法 （计算单纯形连续自映射不动点的一种有限算法）。这是著名的 Ｂｒｏｕｗｅｒ 不动点定理的第一个 构造性证明，从此，不动点算法便蓬勃发展起来。 大致说来，不动点算法共经历了四代。第一代算法以“Ｋｕｈｎ 人工启动算法”和原始的 “Ｋｕｈｎ 变维数算法”为典型，但其计算效率不尽如人意。随后出现了第二代算法，“Ｍｅｒｒｉｌｌ
造性证明 的同时也给出了具体的数值方法。 考虑下述二阶微分包含边值问题： ￥￥ ＼ｌｅｆｔ＼｛ ＼ｂｅｇｉｎ｛ａｒｒａｙ｝｛ｌｌ｝ ｙ＾｛＇＇｝ ＼ｉｎ ｆ（ｔ，ｙ）， ＼＼ ｙ（０）＝ｙ（１）＝０， ＼ｅｎｄ｛ａｒｒａｙ｝ ＼ｒｉｇｈｔ． ＼ｅｑｎｏ｛（ＢＶＰ）｝ ￥￥ 其中￥ｆ：［０，１］＼ｔｉｍｅｓ ＼ｍａｔｈｂｂ Ｒ＾ｎ ＼ｒｉｇｈｔａｒｒｏｗ ＣＫ（＼ｍａｔｈｂｂ Ｒ＾ｎ）￥是上半连续的集值映射。 若存在两 个￥Ｃ＾２￥映射￥＼ａｌｐｈａ，＼ｂｅｔａ：［０，１］＼ｒｉｇｈｔａｒｒｏｗ ＼ｍａｔｈｂｂ Ｒ＾ｎ ￥，分别称为原问题的下解与上 解， 使得 ￥￥ ＼ｌｅｆｔ＼｛ ＼ｂｅｇｉｎ｛ａｒｒａｙ｝｛ｌｌｌｌ｝ ＼ａｌｐｈａ（ｔ） ＼ｌｅｑ ＼ｂｅｔａ（ｔ）， ｔ＼ｉｎ ［０，１］，＼＼ ＼ａｌｐｈａ（ｉ）＜ ０＜ ＼ｂｅｔａ（ｉ），ｉ＝０，１，＼＼ ＼ａｌｐｈａ＾｛＼ｐｒｉｍｅ＼ｐｒｉｍｅ｝＞＼ｍａｘ ＼｛ ｆ（ｔ，＼ａｌｐｈａ）＼｝，＼＼ ＼ｂｅｔａ＾｛＼ｐｒｉｍｅ＼ｐｒｉｍｅ｝＜＼ｍｉｎ＼｛ ｆ（ｔ，＼ｂｅｔａ）＼｝． ＼ｅｎｄ｛ａｒｒａｙ｝ ＼ｒｉｇｈｔ． ￥￥ 则该边值问题有解￥ｙ（ｔ）￥，满足 ￥￥ ＼ａｌｐｈａ（ｔ）＼ｌｅｑ ｙ（ｔ）＼ｌｅｑ ＼ｂｅｔａ（ｔ）， ￣￣￣ ＼ｆｏｒａｌｌ ｔ＼ｉｎ ［０，１］． ￥￥ 最后给出了一个具体的数值例子，并用 ＭＡＴＬＡＢ 给出了最后计算结果。强调了单纯不动点算法 在解决高度非线性问题时的诸多优点并展望了在最优控制领域的应用前景。 ％％％％％％ 生成目录 ＼ｚｉｈａｏ｛４｝ ＼ｆｒｏｎｔｍａｔｔｅｒ ＼ｔａｂｌｅｏｆｃｏｎｔｅｎｔｓ ％％％％％％ 顾，不时的问寒问暖使我有回家的感觉。 ＼ｖｓｋｉｐ０．２ｃｍ 感谢吕显瑞老师，王国明，黄庆道，史少云，刘柏枫，周佰成，徐乐顺等师兄及师姐对我的 帮助。 怀念与韩月才，祝文壮一起学习、生活过的七年时光。学习上的互相帮助，师兄弟间的真情 令我难以忘怀，在此特别感谢他们。也感谢师弟师妹们对我的衷心祝福。 ＼ｖｓｋｉｐ０．２ｃｍ 感谢数学学院、所领导及众多老师们对我的培养。 ＼ｖｓｋｉｐ０．２ｃｍ 感谢资料室杨老师，姚老师在查阅资料时给予的热情帮助。 ＼ｖｓｋｉｐ０．２ｃｍ 感谢父母的养育之恩，使我有无穷的动力去刻苦拼搏。也感谢我的妹弟对我的殷切希望，使 我勇往直前，做好表率。 ＼ｎｅｗｐａｇｅ ％％％％ 提要 ＼ｔｈｉｓｐａｇｅｓｔｙｌｅ｛ｅｍｐｔｙ｝ ％％ 这一页不标页码 ＼ｖｂｏｘ ｔｏ １０ｔｒｕｅｍｍ｛｝ ＼ｂｅｇｉｎ｛ｃｅｎｔｅｒ｝ ＼ｚｉｈａｏ｛２｝＼ｈｅｉｔｉ 提 要 ＼ｅｎｄ｛ｃｅｎｔｅｒ｝ ＼ｖｂｏｘ ｔｏ １０ｍｍ｛｝ ＼ｓｏｎｇｔｉ 本文首先用较多的篇幅详细地回顾与介绍了上世纪 ６０ 年代末出现的单纯不动点算法 ｛＼ｌａｒｇｅ｛（ｓｉｍｐｌｉｃｉａｌ ａｌｇｏｒｉｔｈｍ）｝｝， 将现在经常使用的效率较高的｛＼ｌａｒｇｅ｛Ｍｅｒｒｉｌｌ｝｝重复开始算法做了适当的归纳与整理，使之 更容 易理解和应用。包括引言，算法基础和￥＼ｍａｔｈｂｂ｛Ｒ｝＾｛ｎ｝￥中的｛＼ｌａｒｇｅ｛Ｍｅｒｒｉｌｌ｝｝算法共三部 分。 其次介绍了｛＼ｌａｒｇｅ｛Ｂａｎａｃｈ｝｝空间中的单纯不动点算法。｛＼ｌａｒｇｅ｛Ｋｌａｕｓ Ｓｋｉｌｌｉｎｇ｝｝在［１］ 中 将￥＼ｍａｔｈｂｂ｛Ｒ｝＾｛ｎ｝￥中的｛＼ｌａｒｇｅ｛Ｍｅｒｒｉｌｌ｝｝算法推广到｛＼ｌａｒｇｅ｛Ｂａｎａｃｈ｝｝空间中，形成了赋 范空间中 的｛＼ｌａｒｇｅ｛Ｍｅｒｒｉｌｌ｝｝算法，这构成了本文的第四部分。 在第五部分中，我们的主要结果是考察了微分包含中如下形式的｛＼ｌａｒｇｅ｛Ｎａｇｕｍｏ｝｝定理，在构