6[1]2_不动点迭代法及其收敛定理(精)
不动点迭代总结
非线性算子不动点理论是非线性泛函分析的重要组成部分，利用迭代算法逼近非线性算子不动点的越来越广泛。
从具体的空间（如pL 空间或pl 空间）到抽象空间（如Hilbert 空间，Banach 空间，赋范线性空间）；从单值映象到集值映象；从一般意义的映象（如非扩张映象，严格伪压缩映象；强伪压缩映象等）到渐进意义的映象（如渐进非扩张映象，渐进伪压缩映象，k-强渐进伪压缩映象等）；从迭代序列的构造（如Mann 与Ishikawa 迭代序列，具误差（或混合误差）Mann 与Ishikawa 迭代序列， Halpern 迭代序列等）到迭代序列的强（弱）收敛性，稳定性。
可以说成果丰富。
迭代序列构成了非线性算子不动点理论中的重要问题。
在不动点理论方面，从20世纪初著名的Banach 压缩映射原理和Browder 不动点定理问世以来，特别是近30年来，由于实际需要的推动和数学工作者的不断努力，这门科学的理论及应用的研究已经取得重要的进展，并且日趋完善。
下面我们主要介绍一些近几年来不动点的迭代格式： 首先，我们先看下一算子的发展一 算子1 T 称为非扩张的，如果Tx Ty x y -≤- ，,x y C ∀∈。
2 T 称为压缩的，如果存在(0,1)α∈，使得,,Tx Ty x y x y C α-≤-∀∈:()T D T E →3 T 称为渐进非扩张的，如果存在一序列{}[0,)n k ∈∞，lim 1n n k →∞=，使得 ,,(),1n n n T x T y k x y x y D T n -≤-∈≥4 T 称为渐进伪压缩的，如果存在一序列{}[0,),lim 1n n n k k →∞∈∞=，，对任意给定的,()x y D T ∈存在()()j x y J x y -∈-，使得2,(),1n n n T x T y j x y k x y n <-->≤-∀≥5 T 称为严格渐进伪压缩的，如果存在一序列{}[0,),lim (0,1)n n n k k k →∞∈∞=∈，，对任意给定的,()x y D T ∈存在()()j x y J x y -∈-，使得2,(),1n n n T x T y j x y k x y n <-->≤-∀≥如果1,1,n k n T =∀≥ 称为伪压缩的。
不动点迭代法及其收敛定理
收敛速度取决于迭代函数在不动点附近的性质，如导数的大 小和符号等。
不动点迭代法的收敛定理
存在唯一不动点的定理
如果迭代函数在某个区间上单 调，那么该区间上存在唯一的
不动点。
收敛定理
对于任意初值$x_0$，迭代序 列$x_{n+1}=f(x_n)$会收敛到
不动点，当且仅当存在常数 $k$使得$|f'(x)| leq k < 1$在 包含不动点的某个区间上成立。
算法的改进和优化
改进现有不动点迭代法
研究现有方法的不足之处，并提出改进方案 ，以提高收敛速度和稳定性。
开发新的不动点迭代法
基于新的数学原理和方法，开发新的不动点迭代法 ，以解决现有方法无法解决的问题。
实现不动点迭代法的并行 化和分布式化
研究如何利用并行计算和分布式计算技术， 提高不动点迭代法的计算效率和可扩展性。
这种方法是将求解区域划分为粗细不 同的网格，并在每个网格上应用不动 点迭代法，以加速收敛。
改进迭代格式
修正不动点迭代法
通过引入修正项，改进不动点迭 代法的格式，以提高收敛速度和 稳定性。
广义极小残量法
这种方法是在不动点迭代法的基 础上，引入残量概念，并构造出 新的迭代格式，以提高求解非线 性方程组的精度和稳定性。
松弛法
粗细网格结合法
通过选择适当的迭代矩阵，可以加速 不动点迭代法的收敛速度。常用的加 速迭代法包括预条件迭代法和共轭梯 度法等。
松弛法是一种通过引入松弛因子来调整迭代矩 阵的方法，以加快收敛速度。常用的松弛法包 括SOR（Successive Over-Relaxation）方法 和SSOR（Symmetric Successive OverRelaxation）方法等。Part05不动点迭代法的未来研究方向
一元方程的不动点迭代法
第六章非线性方程组的迭代解法
例6.5 已x知 (x)的 '(x)满足 '(x)31 ,试问如
利用 (x)构造一个收敛的代 简函 单数 迭？
解 由x(x)，可得
x3x(x)3x,
即可得等价方程
因此，令
x 1(3x(x))。 (2x)1(3x(x))
其中 在x与y之间，从而 6.2.4条 ）件 成（ 立。
第六章非线性方程组的迭代解法
由估计式（6.2.5）可知，只要相邻两次计算结果的偏差 xk xk1
足够小，且L不很接近1，既可保证近似值 x k具有足够的精度。因
此，可以通过检查 xk xk1的大小来判断迭代过程是否终止。并
且，由（6.2.5）有
0。因为 (x)是连续函数，[a故 ,b]上 它有 在零点， (x)既 在[a,b]上有不动 x*。点若 (x)在[a,b]上有两个相异的
x1*,x2*,则有
第六章非线性方程组的迭代解法
x 1 * x 2 *( x 1 * ) ( x 2 * ) L x 1 * x 2 * x 1 * x 2 * ,
ek 1 ekp
c
（6.2.8）
则称序 xk是 列 p阶收敛的 p1时 ，， 当称为线
敛。 p 当 1时，称为超线 当 p 性 2时 收， 敛称 。为
方收敛。
式 6 .2 （ .8 ）表 k 明 时 ， e k ， 1 是 e 当 k 的 p 阶无穷 因此，p阶 越数 大，收敛越是 快线 。性 如收 果敛的，
(Lp1 L1)xk1xk。
因 0 L 为 1 ， ( 1 从 L ) 1 而 L k 1 L L p 1 , k 0 xk pxk1 1 Lxk 1xk 1 L Lxkxk 1。
函数迭代与不动点迭代法
函数迭代与不动点迭代法函数迭代和不动点迭代法是数值分析中常用的数值迭代方法，用于求解方程或优化问题。
它们在不同的应用领域都有广泛的应用，并且具有简单易懂、易于实现等优点。
本文将介绍函数迭代的基本原理和步骤，并详细介绍不动点迭代法的定义、性质以及求解过程。
函数迭代函数迭代是一种基本的数值迭代方法，用于求解非线性方程或优化问题。
它的基本思想是通过多次迭代，使得每次迭代得到的结果趋近于方程的根或优化问题的极值点。
函数迭代的基本步骤如下：1.选择一个初始值x0作为迭代的起点。
2.根据迭代公式x n+1=f(x n)，计算出下一个迭代点x n+1。
3.判断是否达到迭代的停止条件。
如果满足停止条件，则输出近似解x n+1；否则，返回第2步。
函数迭代的收敛性与迭代函数f(x)的选择密切相关。
如果函数迭代收敛，即x n收敛于方程的根或优化问题的极值点，那么我们可以通过多次迭代得到近似解。
反之，如果函数迭代发散或者收敛速度非常慢，那么我们需要考虑其他的数值方法。
不动点迭代法不动点迭代法是函数迭代的一种特殊形式，它通过将方程转化为f(x)=x的形式，求解方程的根或优化问题的极值点。
不动点迭代法的基本思想是选择一个适当的迭代函数g(x)，通过迭代公式x n+1=g(x n)，不断迭代，直到找到满足f(x)=x的不动点。
不动点迭代法的步骤如下：1.将方程f(x)=x转化为g(x)=x的形式，即f(x)=x等价于g(x)−x=0。
2.选择一个初始值x0作为迭代的起点。
3.根据迭代公式x n+1=g(x n)，计算出下一个迭代点x n+1。
4.判断是否达到迭代的停止条件。
如果满足停止条件，则输出近似解x n+1；否则，返回第3步。
不动点迭代法的关键是选择合适的迭代函数g(x)。
迭代函数g(x)应该满足以下条件：1.在方程f(x)=x的根或优化问题的极值点附近，迭代函数g(x)的导数g′(x)存在且连续。
2.在方程f(x)=x的根或优化问题的极值点附近，满足|g′(x)|<1。
§2 不动点迭代
(2.7)
则称该迭代法为Q-超线性收敛．
现在来讨论迭代法(2.5)的收敛性和收敛速度问题． 若存在 x* R n ,使得
x* ( x* ),
n n 则称 x* 为映射 : R R 的一个不动点.例如, : R R 定义为 ( x) x 2 ,
f ( x) 0,
其中
(2.2)
x1 f1 ( x1 , , xn ) 0, f1 ( x) 0, x f ( x , , x ) 0, f ( x) 0, 2 n 2 . x , f ( x) 2 1 x f ( x , , x ) 0 f ( x ) 0 n n n 1 n
0,
从而有
f ( x0 x) f ( x0 ) f ' ( x0 )(x).
* * 设 x 是非线性方程组 f ( x) 0 的一个解,x0 是 x* 的一个近似.令x x x0 ,
则
f ( x0 ) f ' ( x0 )(x* x0 ) 0.
现考虑线性方程组
由于 0 C 1 ,因此 再据不等式
lim xk x* .
k
xk 1 x * C xk x * ,0 C 1,
知,迭代序列 {xk }至少为线性收敛.
关于不动点的存在唯一性以及误差估计,我们有下面的定理． 定理2( 压缩映射原理 ) 射,即它满足条件： 设D为 R n 中的一个闭集 : D D 为压缩映
还有另一个不动点 y* ,则据(2.13)式,必有
x* y * ( x* ) ( y * ) C x* y * .
一元方程的不动点迭代法
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神经网络训练
在神经网络训练中，不动点迭代法可以用于优化神经网络的权重和偏置参数， 提高网络的性能。
04 一元方程不动点迭代法的 改进
加速收敛的方法
预处理技术
通过预处理迭代矩阵，使其接近于单位矩阵，从而加 快收敛速度。
松弛方法
引入松弛参数，使迭代过程更加稳定，加快收敛速度。
混合迭代法
结合多种迭代方法，利用各自的优势，提高收敛速度。
目前对于不动点迭代法的收敛性分析 主要基于局部收敛性，对于全局收敛 性的研究相对较少。因此，需要加强 不动点迭代法的全局收敛性分析，以 提高该方法在求解一元方程时的稳定 性和可靠性。
不动点迭代法在求解一元方程时需要 选择合适的初值和迭代参数，这些参 数的选择对迭代结果的影响较大。因 此，需要进一步研究如何选择合适的 参数，以提高不动点迭代法的求解精 度和效率。
并行化编程模型
选择适合并行计算的编程模型，如OpenMP、 MPI等，实现高效的并行计算。
并行化优化技术
利用缓存优化、负载均衡等技术，提高并行计算 的效率。
05 结论与展望
研究结论
1
迭代法在求解一元方程时具有高效性和稳定性， 能够快速逼近方程的解。
2
不动点迭代法在求解一元方程时具有较好的收敛 性和精度，能够得到较为精确的结果。
3
通过不动点迭代法，可以求解一些难以用传统方 法求解的一元方程，拓宽了求解一元方程的方法 和途径。
研究不足与展望
虽然不动点迭代法在求解一元方程时 具有较好的效果，但对于一些特殊的 一元方程，如具有多个解或解在无穷 远处的情况，该方法可能无法得到正 确的结果。因此，需要进一步研究不 动点迭代法的适用范围和局限性。
《迭代法及其收敛性》课件
2 建立迭代公式
根据问题的特性和已 知条件，建立迭代公 式。
3 判断迭代是否收敛
判断迭代得到的解是 否足够接近真实解， 停止迭代。
迭代法的例子
牛顿迭代法
用于求解方程的数值方 法，通过不断迭代逼近 方程的根。
埃特金迭代法
用于求解线性方程组的 数值方法迭代法
用于求解线性方程组的 数值方法，通过不断迭 代逼近方程组的解。
迭代法的收敛性
收敛性是指迭代得到的解越来越接近真实解，而收敛速度是指迭代得到的解 的收敛速度有快有慢。
收敛速度的度量方法
1 零点误差
迭代得到的解与真实 解之间的差距。
2 牛顿数列
迭代得到的解之间的 差值的变化规律。
3 收敛阶
《迭代法及其收敛性》 PPT课件
迭代法及其收敛性
迭代法是一种求解数值问题的方法，通过反复迭代得到更精确的解。这个PPT 课件将讲解迭代法的定义、步骤、例子以及收敛性的度量方法。
什么是迭代法？
迭代法是一种求解某些数值问题的方法，从一个猜测的解开始，通过反复迭 代得到更精确的解。
迭代法的步骤
1 猜测初始解
迭代得到的解的收敛 速度的量化指标。
如何判断迭代是否收敛？
1 绝对误差减小
迭代得到的解的绝对 误差逐渐减小。
2 相对误差减小
迭代得到的解的相对 误差逐渐减小。
3 后验估计准则
通过计算后验估计准 则判断迭代的结果是 否满足要求。
总结
1 迭代法是一种常用的数值求解方法 2 收敛性和收敛速度是迭代法的重要评价指标 3 判断迭代收敛的方法有多种，需要根据问题具体情况选择
不动点收敛定理
不动点收敛定理引言：在数学中，不动点收敛定理是一种重要的收敛性证明方法，它在多个领域有着广泛的应用。
不动点收敛定理指出，对于某种函数或操作，如果存在一个不动点，即函数或操作的输出与输入相等的点，那么通过迭代运算，可以将输入逐步靠近不动点，从而实现收敛。
本文将介绍不动点收敛定理的基本概念、原理以及应用。
一、不动点的定义：在函数论中，给定一个函数 f(x)，如果存在一个实数 a，使得 f(a) = a，那么 a 就是函数 f(x) 的不动点。
不动点可以看作是函数f(x) 的输入与输出相等的点，即满足 f(a) = a 的点。
二、不动点收敛定理：不动点收敛定理是指，如果一个函数 f(x) 在某个区间上连续且导数存在，且在该区间上 f'(x) 的绝对值小于 1，那么通过迭代运算x_{n+1} = f(x_n)，其中 x_0 是初始值，可以将 x_n 逐步靠近不动点 a。
定理的证明如下：假设函数 f(x) 在区间 [a, b] 上连续且导数存在，且在该区间上f'(x) 的绝对值小于 1。
我们设 x_0 是初始值，通过迭代运算x_{n+1} = f(x_n)，我们希望证明 x_n 逐步靠近不动点 a。
根据函数的导数存在性，我们可以使用拉格朗日中值定理。
根据拉格朗日中值定理，存在一个点c，使得f(c) - f(x_0) = f'(c)(x_0 - c)。
由于 f'(x) 的绝对值小于 1，所以 |f'(c)| < 1，从而我们可以得到 |f(c) - f(x_0)| < |x_0 - c|。
接下来，我们将证明在每一步迭代中，x_n 与不动点 a 的差值不断减小。
假设在第 n 步迭代后，x_n 与不动点 a 的差值为 d_n = x_n - a，那么根据迭代运算有 x_{n+1} = f(x_n)。
我们可以将x_{n+1} 和 a 分别表示为 x_{n+1} = a + d_{n+1} 和 a + d_n，其中 d_{n+1} = x_{n+1} - a。
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xk 1 xk L xk xk 1
xk 1 x * L xk x *
L xk 1 x * ( xk 1 xk )
L xk 1 x * L ( xk 1 xk )
xk 1 L x* xk 1 xk 1 L
L xk x * xk xk 1 1 L 2 L xk 1 xk 2 1 L
第6章 方程与方程组的迭代解法
§ 6.2 不动点迭代法及其收敛定理
一、迭代法原理
将非线性方程 f (x) = 0 化为一个同解方程
x ( x)
并且假设 ( x)为连续函数
--------(2)
任取一个初值 x0 , 代入(2)的右端, 得 x1 ( x0 ) 继续 x2 ( x1 )
例2. 用迭代法求方程的近似解,精确到小数
点后6位
解:
e 10x 2 0 x 由于e 0,
x
则2 10x 0
x 0 .2
x 0时,
0 e 1,
x
2 10 x 2
3 2
显然迭代法发散 (2) 如果将原方程化为等价方程
x1 2
仍取初值
x0 0
x1 3
x2
3
x1 1 3 1.7937 0.9644 2 2
x0 1 3 1 2 2
0.7937
同样的方程 不同的迭代格式 有不同的结果
依此类推,得 x2 = 0.9644 x3 = 0.9940 x4 = 0.9990 x5 = 0.9998 x6 = 1.0000 x7 = 1.0000 已经收敛,故原方程的解为
x1
x3 x * x2
x0
发散
y ( x)
O
x2
x1
x0 x *
( x)在x * 附近较陡峭
O
x3 x1 x * x0 x2
迭代过程的收敛性 定理1. 设迭代函数 ( x )在[a, b]上连续, 且满足 (1) 当x [a, b]时, a ( x ) b;
(2) 存在一正数L, 满足0 L 1, 且x [a, b], 有
迭代函数的构造有关
什么形式的迭代法
能够收敛呢?
x 1.0000
如果将(2)式表示为 y ( x ) 与方程(2)同解 yx y x
y ( x)
yx
收敛
y ( x)
O x * x2
x1
y ( x)
( x)在x * 附近较平缓
yx yx
x0
O
(局部收敛性)
--------(6) --------(7)
证:
设f ( x) x ( x),
则f ( x)在[a , b]上连续可导
由条件(1) f ( a) a ( a) 0
f (b) b (b) 0
由根的存在定理,
方程f ( x) 0在[a, b]上至少有一个根
--------(3) xk 1 ( xk ) (k 0,1,2 ,)
称(3)式为求解非线性方程(2)的简单迭代法
称 ( x)为迭代函数, 称xk 为第k步迭代值
如果存在一点x*, 使得迭代序列{ xk }满足
lim xk x *
k
--------(4)
则称迭代法(3)收敛,否则称为发散
Lk x1 x0 1 L 由于L 1, lim( xk x *) 0 k
因此对任意初值 x0 , 迭代法xk 1 ( xk )均收敛于x *
L Lk xk x * xk xk 1 x1 x0 1 L 1 L
证毕.
定理1指出, 只要构造的迭代函数满足 | ( x) | L 1
| ( x )| L
--------(5)
则1o. 方程x ( x)在[a, b] 内有唯一解x *
2o.对于任意初值x0 [a, b], 迭代法xk 1 ( xk )均收敛于x *
3o .
4o .
L xk x * xk xk 1 1 L Lk xk x * x1 x0 1 L
由微分中值定理
xk 1 x * ( xk ) ( x*) ( )(xk x*)
xk 1 xk ( xk ) ( xk 1 ) ( )(xk xk 1 )
由于| ( x)| L
xk 1 xk
L xk xk 1
xk 1 ( xk ) 对于任意初值 x0 R均收敛，则称迭代过程 xk 1 ( xk ) 在根 x * 邻近具有局部收敛性。
定理 2 若x*是 的不动点, 在x*的某邻域上存在 且连续, 并满足
* * 0 | ( x ) | 1, 则迭代过程
xk 1 ( xk ) 在x 的邻域是线性收敛的.
迭代法xk 1 ( xk )就收敛
|xk x*| 对于预先给定的误差限 即要求
由(6)式,只要
L xk xk 1 1 L 1 L xk xk 1 --------(8) L
因此,当
迭代就可以终止, xk可以作为方程的近似解
定义1：如果存在 x * 的某个邻域 R : x x由 | ( x )|
f ( x) 1 ( x) 0
则f ( x)在[a, b]上单调递增 ,
f ( x) 0在[a, b]上仅有一个根
所以 1 . 方程x ( x)在[a, b] 内有唯一解 x*
o
2o. 对于迭代法 xk 1 ( xk ),
例1. 解:
用迭代法求解方程 2x x 1 0
3
(1) 将原方程化为等价方程
x 2x 1
3
如果取初值 x0 0,由迭代法 (3), 得
x0 0
x1 2 x 1 1
3 0
x2 2 x 1 3
3 1
x3 2 x 1 55
x3