数值分析4(牛顿迭代法)
分析论述牛顿迭代法
分析论述牛顿迭代法
牛顿迭代法（Newton's Iteration Method）是一种常用的数
值计算方法，它是由英国数学家牛顿发明的。
它的最大优点是收敛速度快，可以快速地求解方程的根，有效地减少计算时间，是解决方程组和非线性方程的有效方法。
牛顿迭代法是一种基于牛顿插值多项式的数值计算方法。
它把待求解函数f（x）看做一个多项式，然后按照牛顿插值
多项式的算法，从x0出发，反复求解f（x）的极值点，直至
收敛，从而找到函数f（x）的根。
牛顿迭代法的具体步骤如下：（1）给定函数f（x）的初
值x0；（2）计算f（x）的极值点x1；（3）根据误差e = |x1 - x0|，选定迭代次数或者误差界限；（4）更新x0 = x
1，重复（2）（3）步骤，直至误差小于指定界限；（5）得到函数f（x）的根。
牛顿迭代法的收敛速度很快，只需要几次迭代就可以求得函数f（x）的根，而且这种方法也比较简单易行，只要给出
初值，就可以用它来求解一般的非线性方程。
牛顿迭代法的主要缺点是只能求解单根问题，即一元函数的根。
另外，牛顿迭代法的初值必须比较接近函数f（x）的根，如果初值比较远，迭代收敛的速度就会变慢，甚至不收敛。
总之，牛顿迭代法是一种有效的求解一元函数的根的方法，它的收敛速度快，可以有效地减少计算时间。
但是，它只能求解单根问题，而且初值也必须比较接近函数f（x）的根，否
则它的收敛速度就会变慢。
牛顿迭代法 数值积分
牛顿迭代法数值积分牛顿迭代法（Newton's method）是一种用于求解方程的迭代数值计算方法，通过不断逼近方程的根来获得精确的解。
其基本思想是利用函数在某点的切线来逼近方程的根，然后通过不断迭代计算来逼近真实的根。
具体而言，假设要求解方程f(x) = 0，首先选择一个初始近似解x_0，然后通过切线的斜率来确定下一个近似解x_1。
切线的斜率可以通过函数的导数f'(x) 来计算，即：k = f'(x_0)。
然后，利用直线的斜截式公式y = k(x - x_0) + f(x_0)，将其与x 轴相交得到新的近似解x_1，即使得f(x_1) = 0 的解。
迭代过程如下：1. 选择初始近似解x_0。
2. 计算切线斜率k = f'(x_0)。
3. 根据切线与x 轴相交的方程，求解f(x) = 0，得到新的近似解x_1。
4. 判断x_1 是否满足精度要求，若满足则停止迭代；若不满足，则令x_0 = x_1，返回步骤2。
需要注意的是，牛顿迭代法并不一定能够收敛到方程的根，可能会陷入局部最优解或者发散。
因此，在使用牛顿迭代法时，需要对初始近似解的选择和迭代过程的控制进行合理的调整。
关于数值积分（numerical integration），也称为数值求积，是通过数值计算来求解定积分的方法。
定积分表示曲线与坐标轴之间的面积，常用于求解函数在某个区间上的总体积、质量、电荷等物理量。
数值积分有多种方法，常见的包括梯形法则、辛普森法则、龙贝格法等。
这些方法的基本思想都是将定积分转化为对函数在一系列离散点上的取值进行计算。
以梯形法则为例，其基本思想是将积分区间等分成多个小区间，然后用每个小区间上的函数值构成的梯形的面积来近似表示积分的结果。
具体步骤如下：1. 将积分区间[a, b] 等分成n 个小区间，每个小区间的宽度为h = (b - a) / n。
2. 在每个小区间上计算函数的取值，得到函数在离散点上的值f(x_0), f(x_1), ..., f(x_n)。
牛顿迭代法原理
牛顿迭代法原理牛顿迭代法是一种数值计算方法，用于寻找方程的根。
它是由英国科学家牛顿提出的，因此得名。
牛顿迭代法的原理非常简单，但却在实际应用中具有广泛的意义和价值。
首先，让我们来了解一下牛顿迭代法的基本原理。
假设我们要求解一个方程f(x)=0的根，我们可以先随机选择一个初始值x0，然后利用切线的斜率来不断逼近方程的根。
具体来说，我们可以利用方程f(x)的导数f'(x)来得到切线的斜率，然后通过迭代的方式不断更新x的取值，直到满足精度要求为止。
具体的迭代公式如下： \[x_{n+1} = x_n \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}\]其中，\(x_n\)表示第n次迭代的值，\(x_{n+1}\)表示第n+1次迭代的值，f(x)表示方程，f'(x)表示方程的导数。
牛顿迭代法的原理就是利用切线不断逼近方程的根，通过迭代更新x的取值，最终找到方程的根。
这种方法的优点在于收敛速度快，但也存在一些局限性，比如对初始值的选择比较敏感，可能会导致迭代过程发散。
接下来，让我们通过一个具体的例子来说明牛顿迭代法的原理。
假设我们要求解方程\(x^2-2=0\)的根，我们可以先对方程进行求导，得到导数为2x。
然后，我们随机选择一个初始值x0=1，带入迭代公式进行计算，直到满足精度要求为止。
具体的迭代过程如下：\[x_1 = x_0 \frac{x_0^2-2}{2x_0} = 1 \frac{1^2-2}{21} = 1.5\]\[x_2 = x_1 \frac{x_1^2-2}{2x_1} = 1.5 \frac{1.5^2-2}{21.5} = 1.4167\]\[x_3 = x_2 \frac{x_2^2-2}{2x_2} = 1.4167\frac{1.4167^2-2}{21.4167} = 1.4142\]通过不断迭代，我们可以得到方程\(x^2-2=0\)的根为 1.4142。
牛顿迭代法(Newton‘s Method)
牛顿迭代法（Newton’s Method）又称为牛顿-拉夫逊（拉弗森）方法（Newton-Raphson Method），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。
与一阶方法相比，二阶方法使用二阶导数改进了优化，其中最广泛使用的二阶方法是牛顿法。
考虑无约束最优化问题：其中 \theta^{\ast} 为目标函数的极小点，假设 f\left( \theta \right) 具有二阶连续偏导数，若第 k 次迭代值为 \theta^{k} ，则可将f\left( \theta \right)在\theta^{k}近进行二阶泰勒展开：这里，g_{k}=x^{\left( \theta^{k} \right)}=∇f\left( \theta^{k} \right)是f\left( \theta \right) 的梯度向量在点 \theta^{k}的值， H\left( \theta^{k} \right) 是 f\left( \theta \right) 的Hessian矩阵：在点 \theta^{\left( k \right)}的值。
函数 f\left( \theta \right) 有极值的必要条件是在极值点处一阶导数为0，即梯度向量为0，特别是当H\left( \theta\right) 是正定矩阵时，函数 f\left( \theta \right) 的极值为极小值。
牛顿法利用极小点的必要条件：这就是牛顿迭代法。
迭代过程可参考下图：在深度学习中，目标函数的表面通常非凸（有很多特征），如鞍点。
因此使用牛顿法是有问题的。
如果Hessian矩阵的特征值并不都是正的，例如，靠近鞍点处，牛顿法实际上会导致更新朝错误的方向移动。
这种情况可以通过正则化Hessian矩阵来避免。
常用的正则化策略包括在Hessian矩阵对角线上增加常数α 。
正则化更新变为：这个正则化策略用于牛顿法的近似，例如Levenberg-Marquardt算，只要Hessian矩阵的负特征值仍然相对接近零，效果就会很好。
牛顿迭代法
牛顿迭代法一、 牛顿迭代法牛顿迭代法也称为牛顿-拉夫森(Newton-Raphson)迭代法，它是数值分析中最重要的方法之一，它不仅适用于方程或方程组的求解，还常用于微分方程和积分方程求解。
二、 迭代公式,...2,1,0,)()(1='-=+k x f x f x x k k k k用迭代法解非线性方程时，如何构造迭代函数是非常重要的，那么怎样构造的迭代函数才能保证迭代法收敛呢？牛顿迭代法就是常用的方法之一，其迭代格式的来源大概有以下几种方式（主要是第一种）：1、设],[)(2b a C x f ∈，对)(x f 在点],[0b a x ∈作泰勒展开： !2))((''))((')()(20000x x f x x x f x f x f -+-+=ξ略去二次项，得到)(x f 的线性近似式：))((')()(000x x x f x f x f -+≈。
由此得到方程=)(x f 0的近似根(假定≠)('0x f 0)，)(')(000x f x f x x -=即可构造出迭代格式(假定≠)('k x f 0)：)(')(1k k k k x f x f x x -=+ 公式(1)这就是牛顿迭代公式，若得到的序列{k x }收敛于α，则α就是非线性方程的根。
2、 牛顿迭代法也称为牛顿切线法，这是由于)(x f 的线性化近似函数)(x l ＝))((')(000x x x f x f -+是曲线y ＝)(x f 过点))(,(00x f x 的切线而得名的，求)(x f 的零点代之以求)(x l 的零点，即切线)(x l 与x 轴交点的横坐标，如右图所示，这就是牛顿切线法的几何解释。
实际上，牛顿迭代法也可以从几何意义上推出。
利用牛顿迭代公式，由k x 得到1+k x ，从几何图形上看，就是过点))(,(k k x f x 作函数)(x f 的切线k l ，切线k l 与x 轴的交点就是1+k x ，所以有1)()('+-=k k k k x x x f x f ，整理后也能得出牛顿迭代公式：)(')(1k k k k x f x f x x -=+。
计算方法---牛顿迭代法的应用
牛顿迭代法的应用一、牛顿法简介牛顿迭代法（Newton's method ）又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method ），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。
多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。
牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f(x) = 0的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根,此时线性收敛，但是可通过一些方法变成超线性收敛。
该方法广泛用于计算机编程中。
简单迭代法是用直接的方法从原方程中隐含地解出x ，从而确定出)(x ϕ。
而牛顿迭代法是用一种间接而特殊的方法来确定)(x ϕ的。
下面具体推到牛顿迭代公式。
假设k x 是非线性方程为0)(=x f 的一个近似根，把)(x f 在k x 处作泰勒展开：+-+-+=2''')(!2)())(()()(k k k k k x x x f x x x f x f x f若取前两项来近似代替)(x f （称为)(x f 的线性化），则得近似的线性方程0))(()()('=-+≈k k k x x x f x f x f设0)('≠k x f ，令其解为1+k x ，则得)()('1k k k k x f x f x x -=+ （1）这称为0)(=x f 的牛顿迭代公式。
它对应的迭代方程为)()('x f x f x x -=显然是0)(=x f 的同解方程，故其迭代函数为)()()('k k k x f x f x x -=ϕ （0)('≠x f ） 在0)(=x f 的根α的某个邻域)|(|δα≤-x R 内，0)(≈x f1|)('||)(||)(||)(|2'''<≤•=L x f x f x f x ϕ 在α的邻域R 内，对任意初值x 0，应用由公式(1)来解方程的方法称为牛顿迭代法，它是解代数方程和超越方程的有效方法之一。
数值分析中的牛顿迭代法
数值分析中的牛顿迭代法在现代科学技术领域中，数值计算是一项不可忽视的内容。
牛顿迭代法是数值计算中的一种重要方法，被广泛应用于数学、物理、化学、航空航天等领域。
下面就让我们来了解一下什么是牛顿迭代法，以及它的原理、特点和应用。
1. 概述牛顿迭代法又称为牛顿-拉夫逊迭代法，是一种求解非线性方程组的数值计算方法。
它的基本思想是：从已知函数的一个近似解出发，借助函数的切线逼近函数的零点，直到达到指定的精度要求为止。
牛顿迭代法的应用非常广泛，如求解函数的根、优化问题、最小二乘拟合、时间依赖问题等。
2. 原理假设$f(x)$是一个在$x0$处有连续二阶导数的函数。
如果要找到它在$x0$处的零点，那么牛顿迭代法的基本公式为：$$ x_{n+1} = x_n -\frac{f(x_n)}{f'(x_n)} $$其中，$n$表示迭代的次数，$x_{n+1}$表示迭代后的值，$x_n$表示当前的值，$f(x_n)$表示函数在$x_n$点的值，$f'(x_n)$表示函数在$x_n$点的导数。
公式的物理意义是：先用当前的$x$值求出函数值$f(x)$，然后用当前的$x$值求出函数的导数$f'(x)$，接着用$f(x)$和$f'(x)$计算出一个斜率，最后用当前的$x$值减去这个斜率，得到一个新的近似解$x_{n+1}$。
迭代过程如下：（1）选取初始值$x_0$；（2）计算出第一个近似值$x_1$，即$x_1=x_0-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}$；（3）计算出第二个近似值$x_2$，即$x_2=x_1-\frac{f(x_1)}{f'(x_1)}$；（4）依此类推，直到$f(x_n)$的值小到满足预设的精度为止。
3. 特点牛顿迭代法具有以下几个特点：（1）收敛速度快。
迭代公式是二阶收敛的，收敛速度远远超出了线性迭代法和高斯-赛德尔迭代法。
（2）精度高。
根据牛顿迭代法的收敛次数和精度估计定理，只要初值足够接近所求的跟，牛顿迭代法就能收敛，并且有二阶精度。
牛顿迭代法的基本原理知识点
牛顿迭代法的基本原理知识点牛顿迭代法是一种求解方程近似解的数值计算方法，通过不断逼近方程的根，以获得方程的解。
它基于牛顿法则和泰勒级数展开，被广泛应用于科学和工程领域。
本文将介绍牛顿迭代法的基本原理和相关知识点。
一、牛顿迭代法的基本原理牛顿迭代法的基本原理可以总结为以下几个步骤：1. 假设要求解的方程为 f(x) = 0，给定一个初始近似解 x0。
2. 利用泰勒级数展开，将方程 f(x) = 0 在 x0 处进行二阶近似，得到近似方程：f(x) ≈ f(x0) + f'(x0)(x - x0) + 1/2 f''(x0)(x - x0)^23. 忽略近似方程中的高阶无穷小，并令f(x) ≈ 0，得到近似解 x1：0 ≈ f(x0) + f'(x0)(x1 - x0) + 1/2 f''(x0)(x1 - x0)^2求解上述方程，得到近似解 x1 = x0 - f(x0)/f'(x0)。
4. 通过反复迭代的方式，不断更新近似解，直到满足精度要求或收敛于方程的解。
二、牛顿迭代法的收敛性与收敛速度牛顿迭代法的收敛性与收敛速度与初始近似解 x0 的选择和方程本身的性质有关。
1. 收敛性：对于某些方程，牛顿迭代法可能无法收敛或者收敛到错误的解。
当方程的导数为零或者初始近似解离根太远时，迭代可能会发散。
因此，在应用牛顿迭代法时，需要对方程和初始近似解进行合理的选择和判断。
2. 收敛速度：牛顿迭代法的收敛速度通常较快，二阶收敛的特点使其在数值计算中得到广泛应用。
在满足收敛条件的情况下，经过每一次迭代，近似解的有效数字将至少加倍，迭代次数的增加会大幅提高精度。
三、牛顿迭代法的优点与局限性1. 优点：1) 收敛速度快：牛顿迭代法的二阶收敛特性决定了它在求解方程时的高效性和快速性。
2) 广泛适用：牛顿迭代法可以用于求解非线性方程、方程组和最优化问题等，具有广泛的应用领域。
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13:30
16/25
表5 初值取 1.5 时牛顿迭代法速度
n xn 0 1.5 1 1.2666666 2 1.1385620 3 1.0707773 4 1.0357918 5 1.0180008 6 1.0090271 7 1.0045203 8 1.0022618 9 1.0011313 10 1.0005657 11 1.0002829 13:30
2
2
xn 1 2 1 2 2 xn ( xn 2 )
| x n1 2 | 1 lim 2 n | x 2| 2 2 n
l i mxn 2
n
由此可知平方根算法具有 2 阶收敛速度。
思考: 如何求倒数、平方根和立方根？
9/25
Newton迭代法的局部收敛性 定理2.7 设 f(x) 在点x*的某邻域内具有二阶连 续导数, 且 f(x*)=0和 f′(x*) ≠ 0, 则对充分靠近 点x*的初值x0, Newton迭代法至少平方收敛。 f ( x) f ( xn ) ( x) x xn 1 xn f ( x ) f ( xn ) * * * * 2 ( x ) f ( x ) f ( x ) / [ f ( x )] 0 1 收敛
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注释1:
牛顿迭代法 : xn1 xn f ( xn ) / f ( xn )
为了二次收敛有意义我们需要f′(x)相除, 这 个假设是关键的。
f(x)=x3 –3x + 2 = 0 在x*=1附近 源自 ( x ) 013:30
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注释2:
Newton方法收敛性依赖于x0 的选取。存 在 x0使Newton迭代法陷入死循环。
xn
| en | 5.00e-001 5.00e-001 1.62e-001 4.57e-002 5.52e-003 1.72e-004 6.31e-007 7.24e-011
| en+1 |/| en |1.618
1.5347 0.4978 0.8691 0.8109 0.7742 0.7785 0.7778
给定初值 x0 , 迭代产生数列
x0, x1, x2,· · · , xn, · · ·
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设 x*是方程 f(x)=0 的根, x0是x*的近似值。 在 x0 附近对函数做局部线性化 化难为易
化繁为简 f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )
f(x ) = 0
1 m重根, ( x ) 1 1 n
*
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若 x*是 f(x)=0 的 m 重根,修正的牛顿迭代法 f ( xn ) 1/m或f(x)/f′(x) [ f ( x )] xn1 xn m f ( xn ) 单根 为二阶收敛
m=2
xn1
f ( xn ) xn 2 f ( xn )
x
0
x0 x 0
x*
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Newton迭代法的变型－弦截法
由于
f ( xn ) f ( x n 1 ) f ( xn ) xn xn -1
代入牛顿迭代格式
xn 1 f ( xn ) xn f ( xn )
x1 x0
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f ( xn ) xn 1 xn ( x n x n 1 ) f ( x n ) f ( x n 1 )
| en | 5.00e-001 2.66e-001 1.38e-001 7.07e-002 3.57e-002 1.80e-002 9.02e-003 4.52e-003 2.26e-003 1.13e-003 5.65e-004 2.82e-004
| en+1 |/| en |
0.5333 0.5196 0.5108 0.5057 0.5029 0.5015 0.5007 0.5004 0.5002 0.5001 0.5000
| en | 5.00e-001 3.33e-002 1.85e-004 5.52e-009 | en+1 |/| en |2 0.1333 0.1639 0.1667
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表5 x*为二重根时修正的牛顿迭代实验
n
0 1 2 3
13:30
xn 1.5 1.03333333333 1.00018214936 1.00000000552
f n ( x ) x2
f 2 ( x ) xn f n ( x ) xn
f1 ( x ) xn
f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) 0 f ( x0 ) x1 x0 f ( x0 )
x*
x0 x1
x1比x0更接近于x*
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应用——求正数平方根算法
设C > 0,
x C
2 n
x2 – C = 0
f ( x ) 2 x
令 f(x ) = x 2 – C , 则
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迭代方法比较 二分法
收敛速度慢
函数值的正负号
不动点家族(牛顿法)
收敛速度快(特别快)
函数值(函数的导数值) 收敛是有条件的
总是收敛
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非线性方程组: Gauss–Newton方法
F ( x) 0
F ( x ) F ( x ( k ) ) F ( x ( k ) )( x x ( k ) ) F ( x ( k ) )( x x ( k ) ) F ( x ( k ) )
3 n
x 10 xn 20 牛顿迭代格式 xn1 xn 2 3 xn 10 表2 牛顿迭代法实验 n xn | en | 0 1.5 1 1.59701492537 0.002452808741981 2 1.59456374876 1.632137654805e-06 3 1.59456211663 7.227551890309e-13 4 1.59456211663 2.220446049250e-16 13:30
n
*
13:30
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《数值分析》4
Newton迭代格式
Newton迭代法的收敛性
Newton迭代法收敛速度
弦截法迭代格式
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Nature and Nature' law lay hid in night. God said, "Let Newton be," and all was light. Alexander Pope 13:30
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表4 初值取 – 1.5 时牛顿迭代法速度
n 0 1 2 3 4 5
xn | en | | en+1 |/| en |2 -1.5 5.00e-001 -2.33333333333 3.33e-001 1.3333 -2.05555555555 5.55e-002 0.5000 -2.00194931773 1.94e-003 0.6316 -2.00000252829 2.52e-006 0.6654 -2.00000000000 4.26e-012 0.6667
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例3.已知方程
有两根:
x 3x 2 0 * * 参考: 数值分析基础, 关冶 陆金甫 x1 2 x2 1
3
取根附近值做初值,分析牛顿迭代法实验的数据。
表3 弦截法收敛速度实验
n 1 2 3 4 5 6 7 8
-1.5 -2.5 -1.83783783783 -1.95420890762 -2.00552244119 -1.99982796307 -1.99999936831 -2.00000000007
不动点框架:
| ( x) | 1
收敛性
( x*) ( x*) ( r 1) ( x*) 0 ( r ) ( x*) 0
收敛速度
x0 x1 ( x0 ) xn ( xn1 )
lim ( xn ) x
set the interval or the starting point (find a range of xvalues over which the function changes sign) iteratively refine the initial guess with a root-finding algorithm (bisection is dependable but slow; Newton is fast if the initial value is good)
2
2
只要x0 0, xn 2 (n 1) (有界)
2 2 xn 1 2 xn1 xn [ xn ] xn = 0 (单调下降) 2 xn 2 xn
13:30
8/25
1 2 xn1 2 [ xn ] 2 2 xn
1 [ xn 2 1 ] ( xn 2)2 2 xn xn
17/25
推论: 设 x*是 f(x)=0 的二重根, 则牛顿迭代法只具
有一阶收敛。
证: x*是二重根 f(x)=(x – x*)2g(x) * * f ( x) ( x x )[2 g( x) ( x x ) g( x)] ( x x * ) g( x ) ( x) x * 2 g( x ) ( x x ) g( x ) 1 * ( x ) 1 牛顿迭代法只是一阶收敛。 2
3/25
x x ( x) f ( x) ( x)
( x ) 1 ( x ) f ( x ) 0