数值分析 第1章 插值方法
数值分析插值法
数值分析插值法插值法是数值分析中的一种方法，用于通过已知数据点的函数值来估计介于这些数据点之间的未知函数值。
插值法在科学计算、数据处理、图像处理等领域中得到广泛应用。
插值法的基本思想是通过已知数据点构造一个函数，使得该函数逼近未知函数，并在已知数据点处与未知函数值相等。
插值法的关键是选择适当的插值函数，以保证估计值在插值区间内具有良好的近似性质。
常用的插值法有拉格朗日插值法、牛顿插值法和埃尔米特插值法等。
以下将分别介绍这些插值法的原理及步骤：1. 拉格朗日插值法：拉格朗日插值法通过构造一个多项式函数来逼近未知函数。
假设已知n+1个数据点(x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)，其中x0, x1, ..., xn为给定的节点，y0, y1, ..., yn为对应的函数值。
拉格朗日插值多项式的一般形式为：L(x) = y0 * l0(x) + y1 * l1(x) + ... + yn * ln(x)其中l0(x), l1(x), ..., ln(x)为拉格朗日基函数，定义为：li(x) = (x - x0)(x - x1)...(x - xi-1)(x - xi+1)...(x - xn) / (xi - x0)(xi - x1)...(xi - xi-1)(xi - xi+1)...(xi - xn)拉格朗日插值法的步骤为：a. 计算基函数li(xi)的值。
b.构造插值多项式L(x)。
c.计算L(x)在需要估计的插值点上的函数值f(x)。
2.牛顿插值法：牛顿插值法通过构造一个差商表来逼近未知函数。
差商表的第一列为已知数据点的函数值，第二列为相邻数据点的差商，第三列为相邻差商的差商，以此类推。
最终，根据差商表中的数值，构造一个差商表与未知函数值相等的多项式函数。
牛顿插值法的步骤为：a.计算差商表的第一列。
b.计算差商表的其他列，直至最后一列。
c.根据差商表构造插值多项式N(x)。
数值分析插值知识点总结
数值分析插值知识点总结一、插值的基本概念插值是指在已知数据点的基础上，通过某种数学方法求得两个已知数据点之间的未知数值。
插值方法的基本思想是在已知数据点之间找出一个合适的函数形式，使得该函数穿过已知数据点，并预测未知点的数值。
插值问题通常出现在实际工程、科学计算中，比如天气预报、经济数据的预测、地震勘探等领域。
插值可以帮助人们预测未知点的数值，从而更好地了解数据之间的关系。
二、插值的分类根据插值的基本原理，插值方法可以分为多种类型，常见的插值方法包括：拉格朗日插值、牛顿插值、分段插值、立方插值、样条插值等。
1. 拉格朗日插值拉格朗日插值是一种通过拉格朗日多项式来实现数据插值的方法。
该方法通过已知的数据点(x1,y1), (x2,y2),...,(xn,yn)来确定一个n-1次的多项式P(x)，使得P(xi)=yi。
2. 牛顿插值牛顿插值是利用牛顿插值多项式来实现数据插值的方法。
该方法通过已知的数据点(x1,y1), (x2,y2),...,(xn,yn)来确定一个n-1次的多项式P(x)，使得P(xi)=yi。
3. 分段插值分段插值是将插值区间分割成多个小区间，然后在每个小区间内采用简单的插值方法进行插值。
常见的分段插值方法包括线性插值和抛物线插值。
4. 立方插值立方插值是一种通过构造三次多项式来实现数据插值的方法。
该方法通过已知的数据点(x1,y1), (x2,y2),...,(xn,yn)来确定一个三次多项式P(x)，使得P(xi)=yi。
5. 样条插值样条插值是一种通过构造分段三次多项式来实现数据插值的方法。
该方法通过已知的数据点(x1,y1), (x2,y2),...,(xn,yn)来确定一个分段三次多项式P(x)，使得P(xi)=yi。
三、插值的应用插值方法在实际工程中有着广泛的应用，常见的应用包括图像处理、声音处理、地图绘制、气象预测、经济预测等领域。
1. 图像处理在图像处理中，插值方法主要用于图像的放大、缩小以及图像的重构等操作。
数值分析与计算方法 第一章 插值法
同 理 ： (t) 至 少 有n 个 互 异 零 点；
(t) 至 少 有n 1 个 零 点 ；
(n1) (t ) 至 少 有 一 个 零 点 ； 即 (a ，b)，
(n1) (
)
R(n1) n
(
)
K ( x)n1(n1) (
)
R(n1) n
(
)
K ( x) (n
1)!
f (n1) ( ) K ( x) (n 1)! 0
x x0 x1 x2 xn ， y f ( x)？ y y0 y1 y2 yn
（1）有的函数没有表达式，只是一种表格函数，而我们需要的 函数值可能不在该表格中。
（2）如果函数表达式本身比较复杂，计算量会很大；
对于这两种情况，我们都需要寻找一个计算方便且表达简单
的函数 P x来近似代替 f ( x)，求 P x 的方法称为插值法。
Ln1( x)
为此我们考虑对Lagrange插值多项式进行改写； ——由唯一性，仅是形式上的变化
期望：Ln ( x) 的计算只需要对Ln1( x)作一个简单的修正.
考虑 h( x) Ln ( x) Ln1( x) h( x) 是次数 n 的多项式，且有
h( x j ) Ln ( x j ) Ln1( x j ) 0 ，j 0 ，1，2 ，L ，n 1 ；
)
3
)
1 2
(x
(
4
6
6
)( x
)(
4
3
)
3
)
1
(
x
6
)(
x
4
)
2
(
3
6
)(
3
4
)
3 2
数值分析插值法范文
数值分析插值法范文数值分析是一门研究利用数值方法解决实际问题的学科，它涵盖了数值计算、数值逼近、数值解法等内容。
在数值分析中，插值方法是一种重要的数学技术，用于从给定的数据点集推断出函数的值。
本文将详细介绍插值法的基本原理、常用插值方法以及应用领域等内容。
一、插值法的基本原理插值法是利用已知的数据点集构造一个函数，使得这个函数在给定区间内与已知数据吻合较好。
插值法的基本原理是，假设已知数据点的函数值是连续变化的，我们可以通过构造一个满足这种连续性的函数，将数据点连接起来。
当得到这个函数后，我们可以通过输入任意的$x$值，得到相应的$y$值，从而实现对函数的近似。
插值法的基本步骤如下：1.给定数据点集$\{(x_0,y_0),(x_1,y_1),...,(x_n,y_n)\}$，其中$x_i$是已知的数据点的$x$值，$y_i$是对应的函数值。
2.构造一个函数$f(x)$，使得$f(x_i)=y_i$，即函数通过已知数据点。
3.根据实际需要选择合适的插值方法，使用已知数据点构造函数，得到一个满足插值要求的近似函数。
4.对于输入的任意$x$值，利用插值函数求出相应的$y$值，从而实现对函数的近似估计。
二、常用插值方法1.拉格朗日插值法拉格朗日插值法是一种使用拉格朗日多项式进行插值的方法。
给定数据点集$\{(x_0,y_0),(x_1,y_1),...,(x_n,y_n)\}$，拉格朗日插值多项式可以表示为：$$L(x) = \sum_{i=0}^{n} y_i \prod_{j=0, j \neq i}^{n} \frac{x - x_j}{x_i - x_j}$$其中$L(x)$为插值函数，利用这个函数可以求出任意输入$x$对应的$y$值。
2.牛顿插值法牛顿插值法是一种使用差商来表示插值多项式的方法。
给定数据点集$\{(x_0,y_0),(x_1,y_1),...,(x_n,y_n)\}$，牛顿插值多项式可以表示为：$$N(x) = y_0 + \sum_{i=1}^{n} f[x_0, x_1, ..., x_i]\prod_{j=0}^{i-1} (x - x_j)$$其中$N(x)$为插值函数，$f[x_0,x_1,...,x_i]$是差商，利用这个函数可以求出任意输入$x$对应的$y$值。
数值分析插值法
-
K
(
x)
n
(t
-
xi
)
推广：若 ( x0 ) = ( x1 ) = ( x2 ) = 0
0 ( x0 , x1 ), 1 i (=0x1 , x2 )
(x)有 n使+2得个不(同0 )的= 根(x10)…= 0xn x (0 ,1(n)使1) (得x ) =0(, )=x 0 (a, b)
有 余
娜
原
创
多项式插值----polynomial interpolation
Problem I. 给定y=f(x)的函数表, xi[a,b]
Interpolation interval
Interpolation points
求 次数不超过 n 的多项式
Pn ( x) = a0 a1 x an x n
1 h4 max | 24 x0xx3
f
4(x) |
手 有 余 娜 原 创
证明
n
(1) xikli (x) = xk , k = 0,1, 2, n i=0
n
(2) (xi - x)k li (x) = 0,k = 0,1, 2, n i=0
(3) p(x)是任一最高次项系数为1的n+1次多项式，则
Interpolation polynomial
(2.1)
Interpolation condition
使得
P ( x ) = y , i = 0, ... , n
ni
i
(2.2)
条件：无重合节点，即 i j xi x j
手 有 余 娜 原 创多项式 Nhomakorabea值的几何意义 Pn(x) f(x)
数值分析中的插值算法及其应用
数值分析中的插值算法及其应用数值分析是研究解决数学问题的数值方法的一门学科。
其中，插值算法是数值分析中重要的方法之一。
插值是指在给定一些数据点的情况下，用一些方法建立一个函数，该函数可以在给定区间内的任何一点上计算出函数值。
插值方法有很多种，其中比较常用的有拉格朗日插值法、牛顿插值法和埃尔米特插值法。
1. 拉格朗日插值法拉格朗日插值法是一种将一个多项式函数p(x)与一系列已知数据点相联系的方法。
假设给定n个数据点(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)，其中x1 < x2 < ... < xn，那么可以构造一个次数小于等于n-1的多项式函数p(x)满足p(xi) = yi，i=1,2,...,n。
设p(x)的表达式为：p(x) = Σyi li(x)其中，li(x)为拉格朗日基函数。
每个基函数都满足：li(xi) = 1, li(xj) = 0, j≠i基函数的表达式为：li(x) = Π[j≠i] (x - xj) / (xi - xj)利用拉格朗日插值法，可以在给定数据点的情况下，快速计算函数在其他点上的值。
2. 牛顿插值法牛顿插值法是一种利用差商的方法建立插值多项式的方法。
相比于拉格朗日插值法，牛顿插值法更注重于递推计算。
给定n个数据点(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)，牛顿插值法可以建立一个关于x的n次多项式。
首先，定义一个差商：f[xi] = yif[xi, xi+1, ..., xj] = (f[xi+1, ..., xj] - f[xi, ..., xj-1]) / (xj - xi)差商f[xi, xi+1, ..., xj]是由区间(xi, xj)内的函数值f(xi), f(xi+1), ..., f(xj)所计算得到的。
定义一个新的多项式qk(x)，其中：qk(x) = f[x0, x1, ..., xk] + (x - xk) qk-1(x)其中q0(x) = f[x0]。
数值分析 插值法
1 1 1
x0 x1 xn
2 x0 2 x1
n x0 n x1
0 i j n
2 xn n xn
( x j xi ) 0
, an .
由克莱默法则知，方程组有唯一解 a0 , a1 ,
§2 Lagrange Polynomial
唯一性的另一证明 满足 P( xi ) yi , i 0, ... , n 的 n 阶插 值多项式是唯一存在的。
f (x)
(x0 ,y0)
(x1 ,y1)
P1(x)
x0
x1
可见 P1(x) 是过 ( x0 , y0 ) 和 ( x1, y1 ) 两点的直线。
§2 Lagrange Polynomial
y1 y0 直线方程为: y y0 x x ( x x0 ) 1 0
记 P 1 ( x) L 1 ( x) ，上式等价变形为:
化简得到
L2 ( x ) l0 ( x ) y0 l1 ( x ) y1 l2 ( x ) y2 l i ( x ) yi .
i 3
成立:
l 0 ( x0 ) 1 l ( x ) 0 0 1 l 0 ( x 2 ) 0
l1 ( x 0 ) 0 l ( x ) 1 1 1 l1 ( x 2 ) 0
l 2 ( x0 ) 0 l ( x ) 0 2 1 l 2 ( x 2 ) 1
将以上思路推广到n+1个节点情形，即可得到类似的 插值基函数和插值多项式表示形式。
§2 Lagrange Polynomial
2-3 Lagrange插值多项式
数值分析中的(插值法)
插值法可以与其他数值分析方法结合使用，以获得更准确和可靠的估计结果。例如，可以 考虑将插值法与回归分析、时间序列分析等方法结合，以提高数据分析的效率和精度。
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多项式的阶数
根据数据点的数量和分布情况，选择适当的多项式阶数，以确保多 项式能够更好地逼近真实数据。
计算多项式的系数
通过已知的数据点和多项式阶数，计算出多项式的系数，从而得到 完整的插值多项式。
计算插值多项式的导数
导数的计算
在某些应用中，需要计算插值多项式的导数，例如在 曲线拟合、数值微分等场景中。
总结词
牛顿插值法是一种基于差商的插值方法，通过构造差商表来逼近未知点的数值。
详细描述
牛顿插值法的基本思想是通过构造差商表来逼近未知点的数值，差商表中的每一 项都是根据前一项和后一项的差来计算的。该方法在数值分析中广泛应用于数据 拟合、函数逼近等领域。
样条插值法
总结词
样条插值法是一种通过已知的离散数据点来构造一个样条函 数，用于估计未知点的数值的方法。
常见的插值法
拉格朗日插值法
总结词
拉格朗日插值法是一种通过已知的离散数据点来构造一个多项式，用于估计未 知点的数值的方法。
详细描述
拉格朗日插值法的基本思想是通过构造一个多项式来逼近已知数据点，使得该 多项式在每个数据点的取值与实际值相等。该方法在数值分析中广泛应用于数 据拟合、函数逼近等领域。
牛顿插值法
增加采样点的数量可以减小离散化误差，提高插值结果的稳定
性。
选择合适的插值方法
02
根据具体情况选择适合的插值方法，如多项式插值、样条插值
等，以获得更好的逼近效果和稳定性。
引入阻尼项
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问题的解(插值公式): 点斜式: P 1 ( x) y0
y1 y0 ( x x0 ) x1 x0
对称式: P 1 ( x) y0l0 ( x) y1l1 ( x)
l0 ( x) x xo x x1 ; l1 ( x) x0 x1 x1 x0
插值基函数
max f ( x ) Pn ( x )
0 x 1
第 1章
插值方法
例题2: 设y=f(x)=x4, 试利用拉格朗日余项定理写出以1,0,1,2为插值节点的三次插值多项式. 解:拉格朗日插值余项
f ( n1) ( ) n f ( x) Pn ( x) ( x xk ), (n 1)! k 0 ξ [a,b]
第 1章
2.误差的事后估计
插值方法
考察[a,b]内三个节点x0, x1, x2. 对于给定的插值点x,先用x0
与x1进行线性插值求出y=f(x)的近似值 y1 , 然后取x0与x2 进行线性插值求出另一个近似值 y2 , 则由余项定理得
y-y 1 f ' ' (1 ) ( x x0 )( x x1 ) 2
第 1章
§4
插值方法
埃特金算法
拉格朗日公式的缺点：如果要临时增加一个插值节点,则 拉格朗日公式的所有系数都要重算,会造成计算量的浪费． 几个标记：
,即 ① f1 ( xi )表示取x0 , xi 进行线性插值
P 1 ( x) y0l0 ( x) y1l1 ( x)
x xo x x1 1 P ( x ) y y 1 ( e 1) x 1 0 1 x0 x1 x1 x0
y' ( x) e x ;
y' ' ( x) e x
f ' ' ( ) f ( x ) Pn ( x ) ( x x0 )( x x1 ) 2 1 - e ( x 0)( x 1), ξ [0 ,1] 2
第 1章
2.抛物插值
插值方法
问题:求作二次式P2(x), 使满足条件
P 2 ( x0 ) y0 , P 2 ( x1 ) y1 , P 2 ( x2 ) y2
问题的解(插值公式):
P 2 ( x) y0l0 ( x) y1l1 ( x) y2l2 ( x)
( x x1 )(x x2 ) l0 ( x ) ; ( x0 x1 )(x0 x2 ) ( x x0 )(x x2 ) l1 ( x) ; ( x1 x0 )(x1 x2 ) ( x x0 )(x x1 ) l2 ( x ) . ( x2 x0 )(x2 xx), 使满足条件
P n n ( xi ) yi , i 0,1,...,
xi为插 值节点
第 1章
§2
1.线性插值
插值方法
拉格朗日插值公式
问题:求作一次式P1(x), 使满足条件
P 1 ( x0 ) y0 , P 1 ( x1 ) y1
f (4) ( ) f ( x) P ( x 1)( x 0)( x 1)( x 2) 3 ( x) 4! ( x 1)( x 0)( x 1)( x 2)
P 3 ( x) f ( x) ( x 1)( x 0)( x 1)( x 2) 2 x3 x 2 2 x
f ' ' ( 2 ) y-y 2 ( x x0 )( x x2 ) 2
假设 f ' ' (1 ) f ' ' (2 )
y x-x2 x-x1 y1 y2 x1-x2 x2-x1
y-y1 x-x1 y-y2 x-x2 y-y1 x-x1 ( y2 y1 ) x2 -x1
n
x xj xk x j
)
第 1章
§3
1.拉格朗日余项定理
插值方法
插值余项
称R(x)=f(x)-Pn(x)为插值函数的截断误差,或插值余项. 拉格朗日余项定理:设函数f(x)在含有节点x0,x1,…,xn的
区间[a,b]内有直到n+1阶导数,且f(xi)=yi(i=0,1,…,n)已给, 则当x属于[a,b]时,对于Pn(x),有
第 1章
§1
1.泰勒插值
插值方法
问题的提法
问题:求作n次多项式Pn(x), 使满足条件
Pn
(k )
k) ( x0 ) y ( , k 0,1,..., n 0
泰勒插值问题的解是泰勒多项式：
Pn ( x) f ( x0 ) f ' ( x0 )(x x0 )
(n) f " ( x0 ) f ( x0 ) ( x x0 ) 2 ( x x0 ) n 2 n!
插值基函数
第 1章
3.一般情形 问题的解(插值公式):
插值方法
0, j k lk ( x j ) 1, j k
lk ( x)
j 0 j k n
插值基函数
x xj xk x j
n n
Pn ( x) yk lk ( x) yk (
k 0 k 0 j 0 j k
第 1章
插值方法
f ( x ) Pn ( x )
f ' ' ( ) ( x x0 )( x x1 ) 2 1 e - ( x 0)( x 1), ξ [0 ,1] 2 1 max e - max ( x 0)( x 1) 0 x 1 2 0 x 1 1 1 1 1 2 4 8
f ( n1) ( ) n f ( x) Pn ( x) ( x xk ), (n 1)! k 0 ξ [a,b]
第 1章
P1(x), 并估计误差.
插值方法
例题1: 令x0=0, x1=1. 写出y=f(x)=e-x的一次插值多项式 解: x0=0, y0=1; x1=1, y1=e-1.