牛顿迭代法文献综述
牛顿迭代法.
牛顿迭代法李保洋数学科学学院信息与计算科学学号：060424067指导老师：苏孟龙摘要：牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法，即牛顿迭代法.迭代法是一种不断用变量的旧值递推新值的过程•跟迭代法相对应的是直接法或者称为一次解法，即一次性解决问题•迭代法又分为精确迭代和近似迭代“牛顿迭代法”属于近似迭代法，本文主要讨论的是牛顿迭代法，方法本身的发现和演变和修正过程，避免二阶导数计算的Newton迭代法的一个改进，并与中国古代的算法，即盈不足术，与牛顿迭代算法的比较•关键词：Newton迭代算法；近似求解；收敛阶；数值试验；中国古代数学;九章算术；Duffing方程；非线性方程；收敛速度；渐进性0引言：迭代法也称辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程，跟迭代法相对应的是直接法或者称为一次解法，即一次性解决问题•迭代法又分为精确迭代和近似迭代•“二分法”和“牛顿迭代法”属于近似迭代法•迭代算法是用计算机解决问题的一种基本方法•它利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点，让计算机对一组指令（或一定步骤）进行重复执行，在每次执行这组指令（或这些步骤）时，都从变量的原值推出它的一个新值•具体使用迭代法求根时应注意以下两种可能发生的情况：（1）如果方程无解，算法求出的近似根序列就不会收敛，迭代过程会变成死循环，因此在使用迭代算法前应先考察方程是否有解，并在程序中对迭代的次数给予限制•（2）方程虽然有解，但迭代公式选择不当，或迭代的初始近似根选择不合理，也会导致迭代失败•所以利用迭代算法解决问题，需要做好以下三个方面的工作：1、确定迭代变量•在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量，这个变量就是迭代变量2、建立迭代关系式.所谓迭代关系式，指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式（或关系）.迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键，通常可以使用递推或倒推的方法来完成.3、对迭代过程进行控制，在什么时候结束迭代过程？这是编写迭代程序必须考虑的问题.不能让迭代过程无休止地重复执行下去.迭代过程的控制通常可分为两种情况：一种是所需的迭代次数是个确定的值，可以计算出来；另一种是所需的迭代次数无法确定.对于前一种情况，可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制；对于后一种情况，需要进一步分析出用来结束迭代过程的条件.1牛顿迭代法：洛阳师范学院本科毕业论文X 0 牛顿迭代有十分明显的几何意义，如图所示:牛顿 迭代法(Newton method)又称为牛顿-拉夫逊方法(Newto n-Rapfsonmethod)，它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方 法.多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要•方法使用函数f x 的泰勒级数的前面几项来寻找方程f x =0的根•牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f x =0的单根附近具有平方收敛性，而且该法还可以用来求方程的重根、复根. 另外该方法广泛用于计算机编程中：解非线性方程f x ]=0的牛顿(Newton)法是把非线性的方程线性化的一种近似方法•把f x 的x 点附近展开泰勒(Taylor )级' 2 f x = f x 0 f X - X 0 f x 0 ］亠 ix - X 0取其线性部分作为非线性方程f x =0的近似方程，则有:f X 。
分析论述牛顿迭代法
分析论述牛顿迭代法
牛顿迭代法（Newton's Iteration Method）是一种常用的数
值计算方法，它是由英国数学家牛顿发明的。
它的最大优点是收敛速度快，可以快速地求解方程的根，有效地减少计算时间，是解决方程组和非线性方程的有效方法。
牛顿迭代法是一种基于牛顿插值多项式的数值计算方法。
它把待求解函数f（x）看做一个多项式，然后按照牛顿插值
多项式的算法，从x0出发，反复求解f（x）的极值点，直至
收敛，从而找到函数f（x）的根。
牛顿迭代法的具体步骤如下：（1）给定函数f（x）的初
值x0；（2）计算f（x）的极值点x1；（3）根据误差e = |x1 - x0|，选定迭代次数或者误差界限；（4）更新x0 = x
1，重复（2）（3）步骤，直至误差小于指定界限；（5）得到函数f（x）的根。
牛顿迭代法的收敛速度很快，只需要几次迭代就可以求得函数f（x）的根，而且这种方法也比较简单易行，只要给出
初值，就可以用它来求解一般的非线性方程。
牛顿迭代法的主要缺点是只能求解单根问题，即一元函数的根。
另外，牛顿迭代法的初值必须比较接近函数f（x）的根，如果初值比较远，迭代收敛的速度就会变慢，甚至不收敛。
总之，牛顿迭代法是一种有效的求解一元函数的根的方法，它的收敛速度快，可以有效地减少计算时间。
但是，它只能求解单根问题，而且初值也必须比较接近函数f（x）的根，否
则它的收敛速度就会变慢。
牛顿迭代法论文
南昌工程学院课程设计姓名：专业：年级：学号：年月日牛顿迭代算法摘要: 牛顿迭代法（Newton's method）又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphsonmethod），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。
多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。
牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f(x) = 0的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根,此时线性收敛，但是可通过一些方法变成超线性收敛。
另外该方法广泛用于计算机编程中。
牛顿迭代法是一个重要的计算方法和思想。
牛顿迭代法的主要功能：计算方程时可以比较快速方便的计算出来结果但并不影响计算出来结果的精确度，运用于多种工业设计和数学设计方面.关键字: 牛顿迭代方程根算法一 .牛顿迭代法简介1.1 牛顿迭代法的概述牛顿迭代法（Newton's method）又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。
多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。
方法使用函数f(x)的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x) = 0的根。
设r是f(x) = 0的根，选取x0作为r初始近似值，过点（x0,f(x0)）做曲线y = f(x)的切线L，L的方程为y = f(x0) f'(x0)(x-x0)，求出L与x轴交点的横坐标 x1 = x0-f(x0)/f'(x0)，称x1为r的一次近似值。
过点（x1,f(x1)）做曲线y = f(x)的切线，并求该切线与x轴的横坐标 x2 = x1-f(x1)/f'(x1)，称x2为r的二次近似值。
重复以上过程，得r的近似值序列，其中x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f'(x(n))，称为r的n+1次近似值，上式称为牛顿迭代公式。
牛顿迭代法(Newton‘s Method)
牛顿迭代法（Newton’s Method）又称为牛顿-拉夫逊（拉弗森）方法（Newton-Raphson Method），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。
与一阶方法相比，二阶方法使用二阶导数改进了优化，其中最广泛使用的二阶方法是牛顿法。
考虑无约束最优化问题：其中 \theta^{\ast} 为目标函数的极小点，假设 f\left( \theta \right) 具有二阶连续偏导数，若第 k 次迭代值为 \theta^{k} ，则可将f\left( \theta \right)在\theta^{k}近进行二阶泰勒展开：这里，g_{k}=x^{\left( \theta^{k} \right)}=∇f\left( \theta^{k} \right)是f\left( \theta \right) 的梯度向量在点 \theta^{k}的值， H\left( \theta^{k} \right) 是 f\left( \theta \right) 的Hessian矩阵：在点 \theta^{\left( k \right)}的值。
函数 f\left( \theta \right) 有极值的必要条件是在极值点处一阶导数为0，即梯度向量为0，特别是当H\left( \theta\right) 是正定矩阵时，函数 f\left( \theta \right) 的极值为极小值。
牛顿法利用极小点的必要条件：这就是牛顿迭代法。
迭代过程可参考下图：在深度学习中，目标函数的表面通常非凸（有很多特征），如鞍点。
因此使用牛顿法是有问题的。
如果Hessian矩阵的特征值并不都是正的，例如，靠近鞍点处，牛顿法实际上会导致更新朝错误的方向移动。
这种情况可以通过正则化Hessian矩阵来避免。
常用的正则化策略包括在Hessian矩阵对角线上增加常数α 。
正则化更新变为：这个正则化策略用于牛顿法的近似，例如Levenberg-Marquardt算，只要Hessian矩阵的负特征值仍然相对接近零，效果就会很好。
牛顿迭代法及其应用
牛顿迭代法及其应用牛顿迭代法是一种求解函数零点的迭代方法，具有快速收敛、精度高等优点，被广泛应用于计算机、数学、物理等领域。
本文将从理论和实际应用两方面介绍牛顿迭代法，并对其应用进行探讨。
一、理论基础牛顿迭代法是通过一点处的切线来逼近函数零点的方法。
设$f(x)$在$x_0$点有一个零点，且其导数$f'(x_0)$存在且不为零，那么该零点可以通过一点$(x_0,f(x_0))$处的切线与$x$轴的交点来逐步逼近。
假设切线的方程为$y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$，则其中$x$轴上的交点为$x_1=x_0-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}$，这是零点的一个更好的近似值。
用$x_1$代替$x_0$，再利用同样的方法得到$x_2$，不断重复这个过程，即可逐步逼近零点。
这个过程可以用下面的公式表示：$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$这就是牛顿迭代法的基本公式。
从初始值$x_0$开始迭代，不断利用公式进行逼近，直到找到满足$f(x_n)=0$的解。
二、实际应用牛顿迭代法在实际应用中广泛存在，比如在计算机图形学中，通过牛顿迭代法可以精确计算出圆的周长、面积等参数，也可以实现快速的路径追踪和光线追踪。
在金融领域中，牛顿迭代法可以用来计算隐含波动率，即在期权定价模型中，寻找满足期权定价公式的波动率。
由于这个过程中往往要用到反函数，所以牛顿迭代法可以快速找到隐含波动率。
另外，在机器学习、神经网络中，多次用到牛顿迭代法进行梯度下降，智能化运用牛顿迭代法可以提高计算效率，降低误差。
三、应用探讨牛顿迭代法的应用范围较广，但在实际应用中也存在一些问题。
如何避免迭代过程中出现抖动、越界、阻尼等现象，可以通过设置收敛条件、调整步长等方式进行优化。
此外，当函数的导数存在零点或迭代公式不存在时，牛顿迭代法也会失效。
因此，在选择牛顿迭代法时，需要了解函数特性，根据情况选择适合的迭代方法。
Newton迭代法浅析
目录第一章：绪论 (2)第二章 Newton迭代原理 (3)2.1 一般迭代思想的设计 (3)2.2 Newton迭代法的原理 (3)2.3小结： (5)第三章 Newton迭代法的收敛性 (6)3.1 Newton迭代法中不收敛的情况 (6)3.2 定理证明 (7)3.3 Newton迭代法的收敛性分析 (10)3.4小结： (12)第四章两种改进的Newton迭代法 (14)4.1 改进初值x的Newton下山法 (14)4.2 一种新的Newton迭代法加速设计 (15)4.3小结： (16)第五章 Newton迭代法的应用 (17)5.1 Newton迭代法的Matlab实现 (17)5.2 数值举例 (17)5.3小结： (20)总论 (21)参考文献 (22)致谢 (23)第一章绪论在自然科学和工程技术中很多问题的解决常常归结为解非线性方程（组）或者线性方程（组)代数方程组，例如电学中的网络问题，船体数学放样中建立三次样条函数问题，用最小而乘求是实验数据的曲线拟合问题，用差分或者有限元方法解常微分方程等。
关于非线性方程（组）的求解，一般有两类解法：直接法和迭代法。
我们知道，只有一次、二次和三次方程有规范的求根公式，而高于三次的方程0)xf是不存在求根公式的。
因此求根变得一异常的困难。
而科学计算却(很好解决了这一问题，其中最基本的算迭代法了，它对于解决非线性方程（组）的根变得异常方面。
就迭代法而言，Newton迭代法可算是其经典之作。
Newton迭代法又称为Newton-Raphson迭代法，它是Newton在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。
牛顿迭代法是求非线性方程（组）根的重要方法之一，其迭代格式简单，且在单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根。
关于Newton迭代法，许多学者为之做了相当多的研究，并且留下了很多经典的文献([2-6])。
Newton迭代法在解决Banach空间中非线性方程或方程组的应用更为重要，如梯形Newton迭代法。
牛顿迭代法文献综述
“牛顿迭代法”最新进展文献综述牛顿法是一种重要的迭代法，它是逐步线性化的方法的典型代表。
牛顿迭代法又称为牛顿-拉夫逊方法，它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。
多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。
方法使用函数f(x)的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x) = 0的根。
牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f(x) = 0的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根。
另外该方法广泛用于计算机编程中。
介绍一下牛顿迭代法研究的前沿进展，1992年南京邮电学院基础课部的夏又生写的一篇题名一类代数方程组反问题的牛顿迭代法，对一类代数方程组反问题提出了一个可行的迭代解法。
从算法上看,它是一种解正问题—迭代—解正问题迭代改善的求解过程。
湖南师范大学的吴专保;徐大发表的题名堆浸工艺中浸润面的非线性问题牛顿迭代方法，为了研究堆浸工艺的机理,用牛顿迭代公式寻求浸润面的非线性方程的数值解,经过14次迭代的误差达到了,说明此算法收敛有效。
浙江大学电机系的林友仰发表的牛顿迭代法在非线性电磁场解算中的限制对非线性电磁场解算中的限制做了分析，求解非线性方程组时迭代法是不可避免的。
牛顿—拉斐森迭代法由于它的收敛速度快常被优先考虑。
应用这个方法的主要问题是求雅可比矩阵。
因为雅可比矩阵元素的计算非常费时。
然而,本文要说明的是当利用以三角形为单元的有限元法求解非线性方程组时,应用牛顿法其雅可比矩阵容易求得,并且它保持了原系数的对称性和稀疏性,因而节省了时间。
与此相反,若在差分法中应用牛顿迭代,并且按习惯用矩形网格进行剖分,则雅可比阵的计算很费时,而且不再保持原有对称性,这就使得存贮量和计算时间大为增加。
南株洲工学院信息与计算科学系的吕勇;刘兴国发表的题名为牛顿迭代法加速收敛的一种修正格式，主要内容牛顿迭代法是求解非线性方程的一种重要的数值计算方法,在通常情况下,它具有至少平方收敛。
牛顿法和拟牛顿法的文献
牛顿法和拟牛顿法的文献牛顿法和拟牛顿法是数值计算中常用的一类优化算法，它们在求解非线性方程、最优化问题等数学模型中具有重要的应用价值。
牛顿法是由英国科学家牛顿于17世纪提出的，而拟牛顿法则是在牛顿法的基础上提出的一种改进算法。
本文将对牛顿法和拟牛顿法进行详细介绍，并从算法原理、优缺点等多个方面进行讨论。
首先，我们来了解一下牛顿法。
牛顿法是一种迭代法，通过不断逼近函数的零点来求解方程。
它的基本思想是利用函数的一阶导数和二阶导数来近似表示函数的局部特征，并通过迭代的方式不断逼近零点。
具体而言，牛顿法通过构造一个切线来逼近函数的零点，并利用切线与坐标轴的交点作为新的近似解，从而实现求解方程的目的。
牛顿法收敛速度快，但对初值的选取较为敏感。
接下来，我们介绍一下拟牛顿法。
拟牛顿法是由牛顿法改进而来的一种优化算法，它通过近似构造目标函数的海森矩阵来代替牛顿法中的二阶导数。
在拟牛顿法中，通过不断修正海森矩阵的估计值，来逐步逼近最优解。
拟牛顿法在迭代过程中不需要计算二阶导数，相比于牛顿法具有更低的计算成本。
同时，拟牛顿法还可以克服牛顿法中对初始点选取的敏感性。
牛顿法和拟牛顿法在求解非线性方程和最优化问题时都具有一定的优势和局限性。
牛顿法的收敛速度较快，但对初值选取敏感，可能会出现发散的情况。
而拟牛顿法虽然克服了牛顿法的一些缺点，但由于要对海森矩阵进行估计，所以在高维问题中计算量较大。
此外，牛顿法和拟牛顿法都对目标函数的可导性要求较高，不适用于无导数或高度非线性的问题。
综上所述，牛顿法和拟牛顿法是常用的数值优化算法，它们在求解非线性方程和最优化问题中发挥着重要作用。
牛顿法通过构造切线逼近零点，具有较快的收敛速度；而拟牛顿法通过近似构造海森矩阵来代替牛顿法中的二阶导数，克服了牛顿法的一些缺点。
然而，牛顿法和拟牛顿法都有自己的优缺点，选择适合的方法需要考虑问题的特点和求解需求。
在实际应用中，应根据具体情况选择合适的算法以获得更好的结果。
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“牛顿迭代法”最新进展文献综述牛顿法是一种重要的迭代法，它是逐步线性化的方法的典型代表。
牛顿迭代法又称为牛顿-拉夫逊方法，它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。
多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。
方法使用函数f(x)的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x) = 0的根。
牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f(x) = 0的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根。
另外该方法广泛用于计算机编程中。
介绍一下牛顿迭代法研究的前沿进展，1992年南京邮电学院基础课部的夏又生写的一篇题名一类代数方程组反问题的牛顿迭代法，对一类代数方程组反问题提出了一个可行的迭代解法。
从算法上看,它是一种解正问题—迭代—解正问题迭代改善的求解过程。
湖南师范大学的吴专保;徐大发表的题名堆浸工艺中浸润面的非线性问题牛顿迭代方法，为了研究堆浸工艺的机理,用牛顿迭代公式寻求浸润面的非线性方程的数值解,经过14次迭代的误差达到了,说明此算法收敛有效。
浙江大学电机系的林友仰发表的牛顿迭代法在非线性电磁场解算中的限制对非线性电磁场解算中的限制做了分析，求解非线性方程组时迭代法是不可避免的。
牛顿—拉斐森迭代法由于它的收敛速度快常被优先考虑。
应用这个方法的主要问题是求雅可比矩阵。
因为雅可比矩阵元素的计算非常费时。
然而,本文要说明的是当利用以三角形为单元的有限元法求解非线性方程组时,应用牛顿法其雅可比矩阵容易求得,并且它保持了原系数的对称性和稀疏性,因而节省了时间。
与此相反,若在差分法中应用牛顿迭代,并且按习惯用矩形网格进行剖分,则雅可比阵的计算很费时,而且不再保持原有对称性,这就使得存贮量和计算时间大为增加。
南株洲工学院信息与计算科学系的吕勇;刘兴国发表的题名为牛顿迭代法加速收敛的一种修正格式，主要内容牛顿迭代法是求解非线性方程的一种重要的数值计算方法,在通常情况下,它具有至少平方收敛。
本文利用文献[4]所建立的迭代格式xn+1=xn-αf(xfn)(x+n)f′(xn),对迭代格式中的参数α的讨论,实现了牛顿迭代法加速收敛的一种修正格式。
O5年江南大学理学院张荣和他的伙伴薛国民发表了一篇名为修正的三次收敛的牛顿迭代法的论文，给出了牛顿迭代法的两种修正形式,证明了它们都是三阶收敛的,给出的相互比较的数值例子有力地说明了这一点。
哈尔滨工程大学水声工程学院的王大成和雷亚辉一块和丁士圻在07年做了一篇题名基于牛顿迭代法的频不变响应阵设计的文献，为了避免空间指向性随频率变化造成发射或接收信号失真,目标检测与分类用主动声呐常采用频不变响应阵。
频域加权矢量的计算是设计频不变响应阵的关键技术。
首先根据基阵对空间信号的接收模型给出频不变响应阵的定义,接着从描述基阵实际空间响应和预成空间响应之间差异的数学表达式出发,提出了频不变指数的概念,进而结合所研究问题的目标函数特性给出了利用牛顿迭代法获得实现频不变响应阵所需频域加权矢量的新算法。
针对均匀线阵和圆弧阵所作的计算机仿真结果表明,新算法不但收敛速度快、计算精度高,而且不受基阵类型和阵元指向性的限制。
张子贤河北工程技术高等专科学校在93年发表一篇题名牛顿迭代法在内部回收率推求中的应用主要内容是<正> 在水利工程经济分析和财务分析中,内部回收率是《水利经济计算规范》中规定的方法之一。
所谓内部回收率是指工程内在的回收投资的能力或内在的取得报酬的能力。
也就是要计算出什么利率下,该工程在整个经济计算期内的效益现值与该工程的全部投资、年运行费用现值相等。
湖南师范大学的吴专保，徐大为了研究堆浸工艺的机理,用牛顿迭代公式寻求浸润面的非线性方程的数值解,经过14次迭代的误差达到了,说明此算法收敛有效，发表了堆浸工艺中浸润面的非线性问题牛顿迭代方法。
85年浙江大学电机系的林悠扬发表题名牛顿迭代法在非线性电磁场解算中的限制，在文献中讨论了求解非线性方程组时迭代法是不可避免的。
牛顿—拉斐森迭代法由于它的收敛速度快常被优先考虑。
应用这个方法的主要问题是求雅可比矩阵。
因为雅可比矩阵元素的计算非常费时。
然而,本文要说明的是当利用以三角形为单元的有限元法求解非线性方程组时,应用牛顿法其雅可比矩阵容易求得,并且它保持了原系数的对称性和稀疏性,因而节省了时间。
与此相反,若在差分法中应用牛顿迭代,并且按习惯用矩形网格进行剖分,则雅可比阵的计算很费时,而且不再保持原有对称性,这就使得存贮量和计算时间大为增加。
08年奥运会中北京化工大学数学系的余明明和吴开谡，张妍发表牛顿迭代法与几种改进格式的效率指数，主要研究牛顿迭代、牛顿弦截法以及它们的六种改进格式的计算效率,计算了它们的效率指数,得到牛顿迭代、改进牛顿法、弦截法和改进弦截法(即所谓牛顿迭代的P.C格式)、二次插值迭代格式、推广的牛顿迭代法、调和平均牛顿法和中点牛顿法的效率指数分别为0.347/n、0.3662/n、0.4812/n、0.4812/n、0.347/n、0.3662/n、0.3662/n、0.3662/n.我们的结果显示,利用抛物插值多项式推出的迭代格式和改进弦截法并没有真正提高迭代的计算效率。
他们还改进弦截法与牛顿弦截法等价。
牛顿迭代法在日常生活中应用非常广泛，许多论文介绍了这种方法，利用这种方法解决了很多实际问题，多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。
为此我们在学习中要体会这种方法的重要性。
牛顿迭代法是以微分为基础的，微分就是用直线来代替曲线，由于曲线不规则，那么我们来研究直线代替曲线后，剩下的差值是不是高阶无穷小，如果是高阶无穷小，那么这个差值就可以扔到不管了，只用直线就可以了，这就是微分的意义。
牛顿法是牛顿在17世纪提出的一种求解方程f(x)=0.多数方程不存在求根公式，从而求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。
牛顿迭代法是取x0之后，在这个基础上，找到比x0更接近的方程的跟，一步一步迭代，从而找到更接近方程根的近似跟。
方法使用函数f(x)的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x) = 0的根。
牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f(x) = 0的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根。
另外该方法广泛用于计算机编程中。
罗佑新，李晓峰，罗烈雷，廖德岗组成小组在07年发表一篇题名混沌映射牛顿迭代法与平面并联机构正解研究，主要研究了自然科学与工程中的许多问题都可以转化为非线性方程组的求解问题,牛顿迭代法是重要的一维及多维的迭代技术,其迭代本身对初始点非常敏感。
运用混沌映射xn+1=cos(2/xn)产生初始点,首次提出了基于混沌映射的牛顿迭代法求解非线性方程组的新方法。
对3-RPR平面并联机构正解问题进行了研究,给出了算例。
该方法简单、实用,为实际机构的设计提供了多种选择方案,为机构学设计提供了全新的方法。
北京联合大学应用文理学院的廖章钜写了牛顿迭代法与剖分相结合的一种多项式求根算法，主要解决了牛顿迭代法是多项式求根的一种效率很高的算法，但是它有两个缺点：第一每次只能求出一个ε－根，求其它根时若采用降次处理又会产生精度降低的问题。
第二有时会遇到由于初始点选择不当而使算法失效。
如果将牛顿迭代法与剖分相结合，可以产生一个新的多项式求根算法。
经过对１１０个１０次到２０次多项式的求根检验发现：１）一次求根率（求出根数与应有根数之比）达到８８％以上；２）已经求出的每一个根的平均迭代次数Ｋ（ｄ）＝ｃ（ｄ）·ｄ，其中ｄ为多项式的次数，ｃ（ｄ）＜１４；３）在复数域内求一个根的计算量为Ｏ（ｄ３）次实数乘法。
中国科学院地理信息产业发展中心的张立立发表对牛顿迭代法进行普通多圆锥投影的逆变换算法的改进，研究普通多圆锥投影坐标逆变换可以使用牛顿迭代法来求解超越方程。
但是使用杨启和设计的牛顿迭代法只能对多圆锥投影坐标的部分区域内的数据进行逆变换,不能求解全球范围内的经纬度。
本文对杨启和设计的牛顿迭代法的初值确定进行了改进,可以对全球范围内的数据进行逆变换,利于程序设计和实现。
周新年,罗仙仙,罗桂生,郑丽凤,官印生从悬链线的标准线形出发 ,推导悬索无荷线形及拉力的计算式 ;通过建立状态协调方程 ,导出有荷水平拉力与有荷挠度的关系 ,运用牛顿迭代的数值解法求解悬索有荷线形与拉力。
题名为牛顿迭代法悬索线形与拉力的研究。
廖章钜发表题名与剖分相结合的牛顿迭代法使牛顿迭代法与剖分相结合所产生的新算法显示出: l.几乎可以求出一元复n次多项式的所有根。
2.可以求出二元n次多项式的等位线。
南京师范大学李贤成发表题名3000m障碍跑场地设计的一种新方案——牛顿迭代法在场地设计中的应用，本文用牛顿迭代法求得3000m障碍跑第二弯道所需设计线应对圆心角的弧度和圆的半径,给障碍跑场地的设计和测画提供了理论依据。
兰州工业高等专科学校机械工程系,兰石总厂石化公司的罗文翠,王玉虎写了一篇基于牛顿迭代法计算圆弧齿轮传动公法线长度的文献，这篇文献主要讲述了以圆弧齿轮传动及其测量尺寸公法线长度的计算原理和公式为依据 ,以 6 7型单圆弧齿轮为例 ,提出利用牛顿迭代法计算圆弧齿轮公法线的原理、求解方程流程图、迭代方程及编程 ,比手工计算大大降低了工作量 ,而且精度也得到了很好保证。
宁波高等专科学校电子系洪立给出了牛顿迭代的广义收敛条件，并在Ｂａｎａｃｈ空间中建立了相应的收敛定理．用自己题名为牛顿迭代的收敛条件的文章说明了此收敛条件比ＳｍａｌｅＳ在１９８６年的结果更佳。
武汉化工学院自动化系杨帆,郭德文用题名为“牛顿迭代法”构造高阶 M -J分形图阐述了用“牛顿迭代法”构造高阶 M J分形图的原理、方法及分形图特征 ;并用 VB编制了分形演示程序软件包 ;用计算机模拟了大量分形图。
沈阳化工学院邵国万,刘玉芹发表基于牛顿迭代法的移动机器人编队算法，该文借鉴滚动规划的思想,探究了全局环境未知,障碍物分散条件下移动机器人系统的编队问题。
文中提出的基于牛顿迭代法的移动机器人编队算法,将机器人系统的编队问题分解为各个机器人自主移向预定目标的过程,利用实时探得的局部环境信息,不断修整预定目标而完成编队。
该算法计算量小,实时性强,不受编队形状所限。
仿真结果表明了该算法的有效性。
兰州工业高等专科学校机械系,兰州兰石国民油井工程公司,兰州工业高等专科学校机械系,电源车辆研究所的罗文翠,王玉虎,刘哲,于海滨共同发表题名利用牛顿迭代法计算双圆弧齿轮传动公法线长度，以双圆弧齿轮传动及其测量尺寸公法线长度的计算原理和公式为依据,以 81型双圆弧齿轮为例,提出利用牛顿迭代法计算双圆弧齿轮公法线长度的原理、流程及迭代方程,与手工计算相比大大降低了工作量,而且精度也得到了很好的保证。