改进的牛顿迭代法
几种具有高阶收敛速度的改进牛顿迭代法
应 用 科 技
几种具有高阶收敛速度的改进 牛顿迭代法
赵 春 阳 牛振 波
（ 河南辉煌科技股份有限公司 ， 河南 郑 州 ４ ５ ０ ０ ０ １ ） 摘 要： 文章中， 我们提 出了具有不同阶的改进牛顿迭代 法来求解非线性方程 。这些改进的牛顿迭代法基 于不 同的思想构造 出
＝
其 中
＝
ｔ － ｔ （ ｘ ． ）
（ １ ４）
ｃ
＋ 志＋ ， 陀 （ ） 一 圭 １ ， （ ） ， （ ）（ Ｊ （ ， 、 ７ ）
４ ｔ
在这里， 我们称它为逆 Ｓ ｉ ｍ ｐ ｓ ｏ ｎ 迭代法。 （ ２ ） 另一 改进 的牛顿 迭 代法 （ Ｈ ａ ｌ ｌ ｅ ｙ 迭 代法 ） 的 建 立 对 函数 ｙ ＝ ｘ ） 采 用 牛 顿公 理 ， 建立 积 分方 程
一 ， 一 一
一
我们都学过 “ 代数精度” 的概念 ， 一个数值积分公式的代数精度 越高 ， 其 近 似计 算 就越 精 确 。
， ， ．
一
Ｙ”
幽 热 一
＝ 一
这时， 将（ ２ ） 式中 Ｘ 。 的用 ｘ 代 替
其 中 一 ， （ ）
一 ” 一 ｆ （ ｘ Ｄ
志 ＋ 志＋
（ ３ ）
进行线性组合 ， 可以得到另一个三阶收敛的新的迭代法 ：
［ 南 １ （ 圳
）
其 中
＝
为 牛顿 迭代 法 。 则（ ３ ） 式 可 写成 如 下 形式
一
．
志 ＋ 志＋
）
七 阶 收敛 速度 的 （ ４ ）
再 将 它与 Ｈ ａ ｌ ｌ ｅ ｙ 迭 代法 相 结合 进 行 两步 迭 代 ， 可 得 到下 面具 有 迭 代 法 。为简 单 起见 ， 将 它称 为 ７ Ｖ Ｃ Ｈ迭 代 法 。
一种修正的牛顿迭代法
万方数据万方数据一种修正的牛顿迭代法作者：王晓峰， WANG Xiaofeng作者单位：渤海大学数学系,锦州,121013刊名：长春理工大学学报(自然科学版)英文刊名：JOURNAL OF CHANGCHUN UNIVERSITY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY年，卷(期)：2010，33(1)被引用次数：0次参考文献(3条)1.陈新一Newton迭代法的一个改进 2006(2)2.张荣.薛国民修正的三次收敛的牛顿迭代法 2005(1)3.易大义.沈云宝.李有法计算方法 2006相似文献(10条)1.期刊论文莫小平.MO Xiao-ping中点牛顿迭代格式的最优性-数学的实践与认识2009,39(13)研究牛顿迭代法的变形格式,在中点迭代格式的基础上,提出了如下形式的一般迭代格式:{P:zk+1=xk-f(xk)/f'(xk){C:xk+1=xk-f(xk)/f'(μxk+(1-μ)zk+1)并证明了中点迭代格式是这类迭代格式中最优的,收敛阶为3.2.期刊论文薛雅萍.吴开谡.刘晓晶.XUE Ya-ping.WU Kai-su.LIU Xiao-jing基于等距节点积分公式的牛顿迭代法及其收敛阶-数学的实践与认识2007,37(24)利用等距节点的数值积分公式构造牛顿迭代法的变形格式.我们证明了利用4等分5个节点的Newton-Cotes公式构造的变形牛顿迭代法收敛阶为3,并进一步证明了对于最常用的3等分4节点、5等分6节点、6等分7节点、7等分8节点积分公式,所得到的变形牛顿迭代法收敛阶都是3.最后,本文猜想,利用任意等分的积分公式构造变形牛顿迭代法,所得的迭代格式收敛阶都是3.3.期刊论文王晓锋.陈静.WANG Xiao-feng.Chen Jing6阶收敛的牛顿迭代修正格式-河南师范大学学报（自然科学版）2010,38(4)给出两种牛顿迭代法的修正格式,证明了该迭代格式是六阶收敛到单根.数值实验表明,与其它已知的牛顿迭代格式相比,该迭代格式具有一定的优越性.4.期刊论文于明明.吴开谡.张妍.YU Ming-ming.WU Kai-SU.ZHANG Yan牛顿迭代法与几种改进格式的效率指数-数学的实践与认识2008,38(18)研究牛顿迭代、牛顿弦截法以及它们的六种改进格式的计算效率,计算了它们的效率指数,得到牛顿迭代、改进牛顿法,弦截法和改进弦截法(即所谓牛顿迭代的P.C格式)、二次插值迭代格式、推广的牛顿迭代法、调和平均牛顿法和中点牛顿法的效率指数分别为0.347/n、0.3662/n、0.481 2/n、0.4812/n、.347/n、0.3662/n、0.3662/n,.3662/n.我们的结果显示,利用抛物插值多项式推出的迭代格式和改进弦截法并没有真正提高迭代的计算效率.此外,我们还证明了改进弦截法与牛顿弦截法等价,并利用这一结论给出了改进弦截法收敛阶为2.618的一个简化证明.5.期刊论文谢文平牛顿迭代收敛的加速-航空计算技术2004,34(4)基于Newton迭代法单根的二阶收敛性和重根的线性收敛性,提出了加速牛顿迭代收敛的思想.利用反函数的性质,取Taylor展开式的前三项进行迭代;并利用差商代替导数的方法,构造出更高收敛阶的迭代公式.大量的数值实验结果表明,本文算法理论上的推导是完全可行的,且有效地提高了迭代公式的收敛速度.6.学位论文薛雅萍牛顿迭代法的改进格式及其收敛阶2008牛顿法是求解非线性方程f(x)=0的一种非常重要的方法，本文主要讨论了牛顿法的变形迭代格式。
牛顿迭代法及其改进方法的收敛性分析-毕业论文
【标题】牛顿迭代法及其改进方法的收敛性分析【作者】彭昌华【关键词】非线性方程牛顿迭代法高阶收敛性收敛阶【指导老师】周均【专业】数学与应用数学【正文】0 引言牛顿法又称牛顿——拉弗森（ Newton __ Raphson ）法或切线法，它是求解非线性方程的零点的一种迭代法，即牛顿迭代法.一般地，该实值函数在实零点的邻域内连续可导，并且 0,当是的近似值时,若在点( , )处作切线, = + ( ) (0-1) 近似代替 ,再以的零点 = - （ =1,2, ） (0-2) 作为的新的近似值,这即是牛顿法.牛顿法是教学科研以及工程技术中的常用数值方法.一般地,牛顿法具有局部二阶收敛性.1 预备知识为了研究牛顿迭代法及其改进方法的收敛性,则需给出与之相关的理论.[1]-[13] 定义1 局部收敛性设是 =0的根,若存在的一个邻域(x*- , x*+ ),当迭代初值 (x*- , x*+ )时,迭代法得到的序列收敛到 ,则称该迭代法关于根具有局部收敛性.定义2 收敛速度设为第次迭代值, 是方程 =0的根,令 = - 且假设迭代收敛,即 = , 若存在实数≥1，使得 .则称此方法于根具有阶收敛速度，c为渐近误差常数.特别地，当 =1时，称为线性收敛；当 >1时，称为超线性收敛. =2时，称为平方收敛.渐近误差常数c与有关，c≠0保证了的唯一性.一般情况下，越大收敛速度就越快.高阶收敛定理对于迭代过程 = ( ) ,若迭代函数在所求根的邻近有连续的阶导数,且满足条件:ⅰ: ;ⅱ: = = = = =0,且 0；则必存在的某个邻域 ,使得对任意初始值 ,迭代过程 = ( )为阶收敛.由此表明:迭代过程的收敛速度取决于迭代函数的选取,且当 0,该迭代过程只可能是线性收敛.牛顿迭代法的局部收敛性定理设是满足 =0，≠0,在的邻域上连续，则牛顿迭代式（0-2）在点具有局部收敛性，且至少平方收敛.牛顿迭代法收敛的充分条件定理1：设函数满足 =0，≠0,在的邻域内有二阶连续导数，则当初值足够接近于时，由迭代公式（0-2）所得的序列至少是二阶收敛的，并有 =由此我们可知，当是单根的时候，牛顿法至少是局部二阶收敛的.但是，对其收敛条件在的邻域内有二阶连续导数是一个限制性很强的条件，我们能否在较弱的条件下仍能得出相同或相仿的结论？下面将给出牛顿迭代法在较弱的条件下的局部收敛性，并加以证明.2、弱条件下的牛顿迭代法的收敛性2.1 减弱条件一将在的邻域上连续减弱为存在，仍能保证其迭代法至少是局部二阶收敛性. 定理2 设函数满足 =0，≠0,存在，则当初值足够接近于时，由迭代公式（0-2）所得的序列至少是二阶收敛的，并有 =证明：不妨考虑因为存在，则由Peano余项的Taylor公式展开得= + /2+0( )= + +0由迭代公式（0-2）得，=（）-即 =（）-== .==故结论得证.2.2减弱条件二将存在减弱为在的邻域内存在且满足中心李普希兹条件也即是：存在L>0,使得≤L ,仍能保证牛顿法至少是局部二阶收敛性.定理3 设函数满足 =0，≠0，在的邻域内存在，且有L>0,使得≤L ; 则当初值足够接近于时，由迭代公式（0-2）所得的序列至少是二阶收敛的.证明: 当初值足够接近于时，由迭代公式（0-2）所得=（）-==[ ]-1[ - ]这里在与之间，所以≤又由题意：≤L所以≤L由此可得，当初值足够接近于时，由迭代公式（0-2）所得的序列至少是二阶收敛的.2.3 实例分析利用牛顿迭代公式(0-2) 数值求解非线性方程 =0的根, ，并考虑牛顿法的局部二阶收敛性.例1: = ,[a, b]=[0,1.5],则 =1解: = , = ,由此可得, 0，在的邻域内连续,则满足定理1 的条件,即牛顿法具有局部二阶收敛性.例2: 设 = ，[a, b]=[-1,1], 则 =0解： = ,=这里， 0，存在，但在的邻域内不连续，故由定理2知，牛顿法是二阶收敛的. 例3: 设，[ a, b ]=[-1,1],则 =0解：这里 =2 0，不存在，不满足对的邻域内任意，，有<α ,但满足，存在L>0,使得≤L .故由定理3知牛顿迭代法是二阶收敛的.3、重根情形下牛顿法的收敛性由定理1 知，如果是 =0的单根，则牛顿迭代法有局部收敛性，如果是 =0的m 重根(m≥2)时，无论怎样选取迭代函数即使迭代收敛也至多是线性收敛.3.1 运用牛顿迭代法的收敛性一般地说，设是 =0的重根( ≥2)，又由重根的定义即 = ，≠0，有二阶导数，它的迭代函数 = - ,易得出 =1- .由此，0< <1,由（0-2）知，只有≠0，则牛顿迭代法是线性收敛的，于是我们可得到如下定理：定理4 如果是方程 =0的重根( ≥2)，在的某邻域内有阶连续导数，则牛顿法具有局部收敛性，且有线性收敛速度.证明：令 = - ，则 = ，对以及在处作Taylor展开，得 = + -= + - （0< , <1）当→0,→ ,则 ===1-即 <1故由局部收敛性的定义知,牛顿法是收敛的.下面证明它的收敛速度：设是方程 =0的重根( ≥2)，则可表示为 = ，≠0，于是， = += [ ]又由牛顿迭代格式（0-2）得，= -=( )[1- ]故 = =1-因为 m>1, 所以 0<1- =c<1故牛顿迭代对重根是线性收敛的.3.2 运用修正牛顿迭代法的收敛性如果是已知时，即：知道重根的重数，则可采用修正牛顿迭代公式 = - ,使该迭代达到二阶收敛速度.即我们有如下定理：定理5 如果是方程 =0的重根( ≥2)，在的某邻域内具有阶连续导数，则修正牛顿迭代公式 = - 具有局部收敛性且具有二阶收敛速度.证明：令 = - ,运用类似定理4的方法，即由条件，及在的Taylor展开，得 = + -= + - (0< , <1)= + -==又由 =0，所以 =0故牛顿迭代法具有局部收敛性.下面证明其二阶收敛速度由迭代公式（0-2）得， = +即（） =（） +令 =（） + ，则 =（） + -因为是方程的重根，故 =0 ( =1,2, , )所以 =（） + - =0 ( =0.1,2, , )=（） - -( )=-则 = 是与之间的某值又 = 是与之间的某值= =即 ==- ，故该牛顿迭代具有二阶收敛速度.当重数未知时,设是 =0的重根,则 = , ≠0，令 = ,则有 = ,即是的单根,则由定理1可得,迭代公式 = -= - ( )是二阶收敛的.3.3 数值实验例子以文献[3]中习题为例，方程有二重根 =1,取 =2，用牛顿迭代公式 (0-2) 和处理重根的修正牛顿迭代公式： = - ，（）为重根的重数，分别求解几步，比较结果.解：即是方程的二重根利用数值实验比较：牛顿法修正牛顿法0 2 21 1.6 1.22 1.347368421 1.0947368423 1.193516664 1.0396649064 1.104014285 1.0145119065 1.054346842 1.0046793996 1.027856159 1.0013654767 1.01411429 1.0003724218 1.007105916 1.0000975419 1.003565448 1.00002498110 1.001785885 1.00000632211 1.000893738 1.0000015912 1.000447068 1.00000039913 1.000223584 1.000000114 1.000111805 1.00000002515 1.000055905 1.00000000616 1.000027953 1.00000000217 1.000013977 118 1.000006989 119 1.000003494 120 1.000001747 1由上述实验知:修正牛顿迭代法的迭代次数比牛顿迭代法的迭代次数要少,也即是说修正牛顿迭代法的收敛速度比牛顿迭代法的收敛速度要稍快一些.4 牛顿迭代的改进方法的收敛性对于牛顿迭代公式（0-2），在计算过程中每一步都要计算导数，为了减少计算量，我们用和处差商代替导数， = =得到 = - （） (4-1) 此方法称为弦割法.与牛顿法不同的是，它需要两个较好的初值，，这两个初始值应尽量取在方程 =0的根的附近.弦割法也具有局部收敛性，且收敛速度介于二次收敛和线性收敛之间，即弦割法是超线性收敛的.以下将给出定理并证明.定理6 设，，在包含 =0的根的区间上连续且是其单根， 0，则如果初始值和，选得充分接近，由式（4-1）产生的序列收敛于，收敛的阶 = 且 = 证明：由公式（4-1）得，两边同时减去，利用均差的记号和性质，=（）-=（）-=( )= (4-2)又因为连续，则有包含在 = ， = ，其中在，之间，包含在，，的最小区间上.记： = ，则（4-2）式可以写成 == ,这里假设 = ， <1当时，有 =0又因为0 ，所以 0，即收敛到以下讨论的收敛阶由，令 = ，则，，（4-3）得，即，，由（4-3）式得， ,一般地，由归纳法得到，，，其中 = =1.有以下递推关系：= + ，，（4-4）这样的称为Fibonacci数列.式（4-4）是二阶线性齐次差分方程.可设 = ，则满足 = +1，解出 = ， = ，可以写成和的线性组合，利用 = =1得， = ，当大时，，，令 = ,当大时有 , ，，故有，，当时，有 = ，即因为 0，所以弦割法是收敛的.故结论得证.5 牛顿法的收敛阶牛顿法对于求非线性方程的单根和重根时的收敛速度可以根据前面已经讨论的方法来判断,那么接下来我们将从另一个角度来分析它的收敛速度.即通过实例从数值实验上来估计牛顿迭代收敛的大致数值.例:以例1为例 = ,[a, b]=[0,1.5] ,则由牛顿迭代公式可得 = - = ,显然 =1是它的不动点.现在假设不知道它的收敛阶,则可设计一个数值实验估计它的收敛阶数.解: 假设它的收敛阶为 ,则应当存在常数＞0使得 (5-1) 成立,当＞＞1时(5-1)可以,近似地写成 ,再两边取对数得到 (5-2). 则(5-2)指出与之间应当近似地有线性关系, 和之间直线的斜率正好是 .取初值 =0.5,用excel迭代k 0 1 2 3 4x* 1xk 0.5 0.833333333 0.976190476 0.99944629 0.999999694|x(k)-x*| 0.5 0.166666667 0.023809524 0.00055371 3.06425E-07|x(k+1)-x*| 0.166666667 0.023809524 0.00055371 3.06425E-07 9.39249E-14 Ln|(x(k)-x*)| -0.693147181 -1.791759469 -3.737669618 -7.498869734-14.99829302Ln|(x(k+1)-x*)| -1.791759469 -3.737669618 -7.498869734 -14.99829302-29.99628121下面用最小二乘法拟合来确定和即得到它的收敛阶. (令 = , = )k 1 2 3 4 5 对每行求和-0.69314718 -1.79175947 -3.737669618 -7.498869734 -1.50E+01 -28.719739 ( )^20.480453015 3.210401998 13.97017417 56.23304729 224.9487929 298.8428694-1.79175947 -3.737669618 -7.498869734 -1.50E+01 -3.00E+01 -58.02458003 ( )* ( |)1.241953025 6.697004934 28.02829757 1.12E+02 449.8930145 598.343316则得到的法方程组为 = ，通过最后计算得 = 1.979808375 =-0.233000048由于误差的原因，则 2，即该牛顿迭代的收敛阶为2，也即该牛顿迭代具有二阶收敛性.6:总结本文主要对牛顿迭代法的收敛性进行分析.即主要对其收敛条件、重根情形下牛顿迭代法的收敛性、改进牛顿法的收敛性以及从数值上去估计牛顿迭代的收敛阶等进行分析.将其收敛条件进行不同层次的减弱,通过理论证明仍能得到其牛顿迭代法的局部收敛性;对重根情形,当重数是已知时,运用牛顿迭代法和修正牛顿迭代法,以实际例题进行分析得出:修正牛顿法的收敛速度较牛顿迭代法快一些.当重数未知时,给出一个定理,并得出牛顿迭代具有二阶收敛速度; 还给出牛顿法的另一改进方法—弦割法的收敛定理,得出弦割法具有超线性收敛速度;在分析牛顿迭代法的收敛速度的基础上，从另一个角度即通过具体的数值实验上估计牛顿迭代法的收敛阶.。
牛顿迭代法的优化算法和改进方法
牛顿迭代法的优化算法和改进方法牛顿迭代法是一种求解非线性方程的方法，在数值计算中被广泛使用。
它基于函数的一阶和二阶导数信息，通过不断逼近零点来求解方程。
然而，牛顿迭代法在实际应用中也存在一些问题，例如收敛速度慢、收敛精度不稳定等等。
为了克服这些问题，人们提出了一系列的优化算法和改进方法，以提高牛顿迭代法的效率和精度。
一、牛顿迭代法的基本原理牛顿迭代法通过不断逼近函数的零点来求解方程，具体步骤如下：1.选取初始点$x_0$；2.根据函数$f(x)$在$x_k$处的一阶和二阶导数信息，计算出$x_k$处的切线和二次曲面，并求出它们与$x$轴（即解的数值）的交点$x_{k+1}$；3.将$x_{k+1}$作为新的初始点，重复步骤2，直至满足收敛条件。
其中，收敛条件通常为$|f(x_{k+1})|<\epsilon$，其中$\epsilon$为预设的误差限。
二、牛顿迭代法的优化算法虽然牛顿迭代法具有较高的精度和收敛性，但在实际应用中，它的收敛速度有时会很慢，甚至不能收敛。
为解决这些问题，人们提出了以下的优化算法。
1.牛顿-拉夫森方法牛顿-拉夫森方法是牛顿迭代法的一种变体，它在求解$x_{k+1}$时，采用了一种修正迭代式：$$x_{k+1}=x_k-f(x_k)/f'(x_k)+O(f''(x_k)f(x_k)^2)$$该方法通过引入$f''(x_k)$来修正$x_{k+1}$的值，进一步减小迭代误差，加快收敛速度。
但该方法的计算量比牛顿迭代法大，需要对$f''(x_k)$进行严格求解。
2.海森矩阵的简化牛顿迭代法海森矩阵是牛顿迭代法中最重要的部分，它在计算二次曲面时起着关键作用。
然而，海森矩阵的计算量很大，而且在高维问题中可能变得非常不稳定。
为了减少计算复杂度和提高数值稳定性，人们提出了一种简化的牛顿迭代法，即使用$f'(x_k)$代替海森矩阵$f''(x_k)$，从而简化了计算过程并提高了数值稳定性。
解非线性方程组的一个改进牛顿法
解非线性方程组的一个改进牛顿法
改进牛顿法（Improved Newton’s Method）是一种算法，通过误差函数的偏导数来求解非线性方程组。
与传统的牛顿法不同的是，它改进了求解的过程，使之更加准确、易于使用。
改进牛顿法基于牛顿法。
它们的区别在于牛顿法只能用于求解非线性方程组，而改进牛顿法除此之外，还可以用于求任意给定的函数极值（最大值和最小值）。
改进牛顿法的原理是使用函数的一阶偏导数的斜率来模拟函数的行为，然后根据斜率来决定如何前进，最后求函数极值。
改进牛顿法的具体实施步骤如下：
（1）首先，给定一个起始点和最大迭代次数；
（2）求出当前点的偏导数；
（3）通过使用偏导数来选择最佳迭代步长；
（4）用最佳步长更新当前点；
（5）重复步骤2-4直到收敛；
（6）返回极值解。
另外，改进牛顿法有一些优点，首先，改进牛顿法更加精确，因为它考虑了函数形式的对搜索点的影响，这使得它不太容易出现搜索参数差错的情况；其次，改进牛顿法的收敛速度快，它能够使迭代成比传统牛顿法更快；此外，改进牛顿法可以有效地避免局部极小值的问题，它有助于快速收敛到最优解。
改进牛顿法在求解非线性方程组方面具有良好的效果及得到了广泛的应用。
它比传统牛顿法更准确、更有效，收敛快，防止出现局部极小值问题，得到了广泛的应用。
未来，改进牛顿法还可以用于更多的科学和工程应用，帮助我们更快地找到更准确的解决方案。
牛顿迭代法的改进格式及其收敛阶
北京化工大学
硕士学位论文
牛顿迭代法的改进格式及其收敛阶
姓名：薛雅萍
申请学位级别：硕士
专业：应用数学
指导教师：吴开谡
20080509
牛顿迭代法的改进格式及其收敛阶
作者：薛雅萍
学位授予单位：北京化工大学
相似文献(1条)
1.期刊论文薛雅萍.吴开谡.刘晓晶.XUE Ya-ping.WU Kai-su.LIU Xiao-jing求解非线性算子方程的梯形牛顿法-
应用泛函分析学报2009,11(1)
在Banach空间中研究非线性算子方程F(x)=0的近似求解问题.首先,把实函数数值积分的梯形公式推广到非线性泛函的Bochner积分中来,得到Bochner积分的梯形公式;然后,利用这一公式来构造牛顿迭代法的变形格式,从而得到梯形牛顿法,并在弱条件的α-判据下借助于优函数技巧证明了它的收敛性.
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牛顿迭代法的一种改进方法
第30卷第5期 佛山科学技术学院学报(自然科学版) Vol.30No.5 2012年9月 Jo ur nal of Fo shan University(Natural Science Edition)Sep.2012文章编号:1008-0171(2012)05-0001-03牛顿迭代法的一种改进方法陈玉骥(佛山科学技术学院环建学院,广东佛山528000)摘要:牛顿迭代法是求解非线性方程的一种常用方法,该法对初值要求较高,只具有局部收敛性。
在牛顿迭代法的基础上,通过调整非线性方程对应曲线切线的斜率,从而保证在取任意初值时,迭代均可收敛,有效改善了牛顿迭代法对初值的苛刻要求。
关键词:牛顿迭代法;非线性方程;初值;斜率中图分类号:O242.23 文献标志码:A工程上,不少实际问题的数学模型都涉及到非线性方程f(x)=0的求解。
由于工程问题对应的方程f(x)=0大多不存在求根公式,因此确定精确解十分困难。
故近似解的计算成为人们关心的主要问题。
目前,人们已提出了不少求解非线性方程f(x)=0近似解的方法[1-8],其中,牛顿迭代法是最基本的方法之一。
由于牛顿迭代法在方程的单根附近具有平方收敛速度,而且还可以求解方程的重根和复根,故该法得到了广泛应用。
但牛顿迭代法对初值的要求较苛刻,只有适当选取初值,才能保证其收敛性。
为保证牛顿迭代法局部收敛,必须对f(x)和初值附加如下条件[9]:(1)f(x)在区间[a,b]上二阶可导;(2)f(a)f(b)<0;(3)f′(x)≠0;(4)f″(x)在区间[a,b]上不变号;(5)初值x0∈[a,b]应使f″(x0)f(x0)>0。
其中,条件(1)、(2)保证了方程f(x)=0根的存在性;条件(3)表示函数单调变化,则方程的根惟一;条件(4)表示函数f(x)的图形凸凹向不变;条件(5)是对初值的要求。
只要满足以上条件,就可保证牛顿迭代法的收敛性。
但当表达式f(x)很复杂时,确定f(x)导数的计算量很大,且求出f″(x)的表达式非常复杂,要满足条件(3)、(4)比较困难。
改进的高斯牛顿法
改进的高斯牛顿法高斯-牛顿法是牛顿法的特例，用于寻找函数的最小值。
而改进的高斯-牛顿法则是在高斯-牛顿法的基础上进行了一些改进，以提高其计算效率和精度。
具体来说，改进的高斯-牛顿法引入了信赖区域的概念，在求解增量Δ x k \Delta {x_k}Δxk时，对其设置了信赖区域。
通过求得增量Δ x k \Delta {x_k}Δxk对其近似效果进行了量化，并根据量化结果对信赖区域进行调整，再从新计算增量Δ x k \Delta {x_k}Δxk，直到近似效果量化结果达到阈值。
此外，改进的高斯-牛顿法还引入了阻尼项，以更好地处理病态问题。
阻尼项的作用是限制步长的大小，避免算法陷入局部最优解，从而提高算法的全局搜索能力。
总的来说，改进的高斯-牛顿法是一种有效的方法，能够提高计算效率和精度，并能够更好地处理病态问题。
牛顿法和改进的高斯牛顿法都是求解无约束最优化问题的方法，但它们在实现方式和收敛速度上存在一些差异。
牛顿法是一种基于目标函数的二阶导数信息进行迭代的方法。
它通过构造一个二次函数来逼近目标函数，并利用牛顿迭代公式求解该二次函数的根，从而得到目标函数的极小值点。
牛顿法的收敛速度较快，但需要计算目标函数的二阶导数信息，计算量较大。
改进的高斯牛顿法是在牛顿法的基础上进行了一些改进。
它利用目标函数的雅可比矩阵和海塞矩阵的关系，将目标函数表示为一个线性函数的转置，从而避免了计算海塞矩阵，减少了计算量。
同时，改进的高斯牛顿法引入了阻尼项和信赖区域的概念，以更好地处理病态问题和提高全局搜索能力。
总的来说，改进的高斯牛顿法在计算量和全局搜索能力方面优于牛顿法，但牛顿法的收敛速度可能更快。
在实际应用中，可以根据问题的特性和需求选择合适的方法。
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改进的牛顿迭代法求解非线性方程
摘要：牛顿法思想是将非线性方程线性化，以线性方程的解逐步逼近非线性方程的解，但是其对初值、波动和可能出现的不收敛等缺点，而牛顿下山法克服了可能出现的发散的缺点。
关键词：牛顿法、牛顿下山法、非线性方程
一、牛顿法的迭代公式
设)(x f 在其零点*x 附近一阶连续可微，且0)(≠'x f ，当*0x x →时，由Taylor 公式有：
))(()()(000x x x f x f x f -'+≈
以方程
0))(()(000=-'+x x x f x f
近似方程0)(=x f ，其解
)
()(0001x f x f x x '-= 可作为方程的近似解，重复上述过程，得迭代公式
),1,0(,)
()(1 ='-=+n x f x f x x n n n n 该方法称为牛顿迭代法。
二、牛顿法的改进
由于牛顿法缺点对牛顿法进行改进，使其计算简单，无需每次迭代都去计算)(x f '，且能够更好的收敛。
2.1简化的牛顿法
牛顿法的缺点之一是每次迭代都得去计算)(k x f '。
为回避该问题，常用一个固定 )(k x f '迭代若干步后再求)(k x f '。
这就是简化牛顿法的基本思想。
简化牛顿法的公式为：
)(1k k k x cf x x -=+
迭代函数 )()(x cf x x -=ϕ
若 2)(0,1)(1)(<'<<'-='x f c x f c x 即ϕ，在根*x 附近成立，则迭代法局部收敛。
显然此法简化了计算量，却降低了收敛速度。
2.2牛顿下山法
牛顿法的缺点二是其收敛依赖与初值0x 的选取，若0x 偏离所求根*x 较远，则牛顿法可能发散。
为防止迭代发散，我们对迭代过程再附加一项条件，即具有单调性：
)()(1k k x f x f <+
保证函数值稳定下降，然后结合牛顿法加快收敛速度，即可达目的。
将牛顿法的计算结果
)
()(1k k k k x f x f x x '-=+ 与前一步的近似值k x 适当加权平均作为新的改进值
k k k x x x )1(11λλ-+=++
其中，称 )10(≤<λλ为下山因子，即为：
)
()(1k k k k x f x f x x '-=+λ 称为牛顿下山法。
选择下山因子λ时，从 1=λ开始逐次将λ减半进行试算，直到条件成立为止。
三 举例说明
例1 求方程013=--x x 的根
（1）取5.10=x ，用牛顿法公式：
1
32131---=-+k k k k x x x x x 计算得：32472.1,32520.1,34783.1321===x x x
迭代3次得到的结果3x 有6位有效数字。
（2）改用6.00=x 作为迭代初值，依牛顿法公式迭代一次得9.171=x 。
该结果反比6.00=x 更偏离了所求根32472.1*=x
（3）用牛顿下山法解：（2）中通过λ逐次取半进行试算，当λ= 1/32时可得，140625.11=x ，此时有,655543.0)(1=x f 而384.1)(0-=x f ，显然)()(01x f x f <。
由1x 计算 ,,32x x 时λ=1均能使条件)()(1k k x f x f <+成立。
计算结果：0000086
.0)(,32472.100667.0)(,32628.11866
.0)(,36181.1443322======x f x x f x x f x
4x 即为*x 的近似。
通过简单例子可以看出改进的牛顿法较牛顿法简便。