牛顿迭代法.
研究生数值分析(5)牛顿(Newton)迭代法
z
0.612547 0.641384 0.641186
6 求方程 m重根的Newton法 设 s 是方程 f(x)=0 的 m 重根(m≥2), f(x)
在 s 的某邻域内有m阶连续导数 ,这时
f (s) f (s) f (m1) (s) 0, f (m) (s) 0
由Taylor公式,得
设 f '(x) 0 ，上式解为
x
xk
f (xk ) f ' (xk )
于是方程 f(x)=0的新的近似根xk+1，可由牛顿
迭代公式
xk 1
xk
f (xk ) f ' (xk )
k 0,1, 2,
求出
牛顿迭代公式具有明显的几何意义。 方程 y f (xk ) f '(xk )(x xk ) 是曲线 y=f(x)在点 (xk , f (xk )) 处的切线方程，迭代公式就是切线与x轴 交点的横坐标。因此，牛顿迭代法又称为切线法。
这表明牛顿迭代法用于求单根时至少是二阶收敛的。
（2）若 x* 是方程 f (x) 0 的 m(m 2) 重根，
即
f (x) (x x*)m q(x)
(q(x*) 0)
此时有
g ' (x*) lim g ' (x) lim
x x*
x x*
f (x) f '' (x) [ f ' (x)]2
k
xk
k
xk
4 0.635498 8 0.640964
5 0.643719 9 0.641285
6 0.640061 10 0.641142
牛顿迭代法
一 牛顿法及其收敛性
牛顿法是一种线性化方法，其基本思想是将非线性方 程 f ( x) 0逐步归结为某种线性方程来求解. 设已知方程 f ( x) 0 有近似根 xk（假定 f ( xk ) 0)， 将函数 f ( x) 在点 xk 展开，有
f ( x) f ( xk ) f ( xk )( x xk ),
x
表7 5 计算结果 k 0 1 2 3 xk 0.5 0.57102 0.56716 0.56714
5
二 牛顿法应用举例 对于给定的正数 C，应用牛顿法解二次方程
x 2 C 0,
可导出求开方值 C 的计算程序
xk 1 1 C ( xk ). 2 xk
（3.5）
这种迭代公式对于任意初值 x0 0 都是收敛的. 事实上，对（3.5）式施行配方手续，易知
10
在（3.7）中取C
1 ，则称为简化牛顿法，这 f ( x0 )
类方法计算量省，但只有线性收敛，其几何意义是用平行 弦与 x 轴交点作为 x *的近似. 如图7-4所示.
图7-4
11
（2）
牛顿下山法.
牛顿法收敛性依赖初值 x0的选取. 如果x0 偏离所求根 x* 较远，则牛顿法可能发散.
xk 1 xk 1 1 C ( xk 2 xk C 1 ( xk 2 xk C )2 ; C )2 .
6
以上两式相除得
xk 1 xk 1 xk C x C k C . C
2
据此反复递推有
xk 1 xk 1 x0 C x C 0 C C .
14
x1 17.9，它不满足条件（3.10）.
牛顿迭代法(Newton‘s Method)
牛顿迭代法（Newton’s Method）又称为牛顿-拉夫逊（拉弗森）方法（Newton-Raphson Method），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。
与一阶方法相比，二阶方法使用二阶导数改进了优化，其中最广泛使用的二阶方法是牛顿法。
考虑无约束最优化问题：其中 \theta^{\ast} 为目标函数的极小点，假设 f\left( \theta \right) 具有二阶连续偏导数，若第 k 次迭代值为 \theta^{k} ，则可将f\left( \theta \right)在\theta^{k}近进行二阶泰勒展开：这里，g_{k}=x^{\left( \theta^{k} \right)}=∇f\left( \theta^{k} \right)是f\left( \theta \right) 的梯度向量在点 \theta^{k}的值， H\left( \theta^{k} \right) 是 f\left( \theta \right) 的Hessian矩阵：在点 \theta^{\left( k \right)}的值。
函数 f\left( \theta \right) 有极值的必要条件是在极值点处一阶导数为0，即梯度向量为0，特别是当H\left( \theta\right) 是正定矩阵时，函数 f\left( \theta \right) 的极值为极小值。
牛顿法利用极小点的必要条件：这就是牛顿迭代法。
迭代过程可参考下图：在深度学习中，目标函数的表面通常非凸（有很多特征），如鞍点。
因此使用牛顿法是有问题的。
如果Hessian矩阵的特征值并不都是正的，例如，靠近鞍点处，牛顿法实际上会导致更新朝错误的方向移动。
这种情况可以通过正则化Hessian矩阵来避免。
常用的正则化策略包括在Hessian矩阵对角线上增加常数α 。
正则化更新变为：这个正则化策略用于牛顿法的近似，例如Levenberg-Marquardt算，只要Hessian矩阵的负特征值仍然相对接近零，效果就会很好。
牛顿迭代法
牛顿迭代法一、 牛顿迭代法牛顿迭代法也称为牛顿-拉夫森(Newton-Raphson)迭代法，它是数值分析中最重要的方法之一，它不仅适用于方程或方程组的求解，还常用于微分方程和积分方程求解。
二、 迭代公式,...2,1,0,)()(1='-=+k x f x f x x k k k k用迭代法解非线性方程时，如何构造迭代函数是非常重要的，那么怎样构造的迭代函数才能保证迭代法收敛呢？牛顿迭代法就是常用的方法之一，其迭代格式的来源大概有以下几种方式（主要是第一种）：1、设],[)(2b a C x f ∈，对)(x f 在点],[0b a x ∈作泰勒展开： !2))((''))((')()(20000x x f x x x f x f x f -+-+=ξ略去二次项，得到)(x f 的线性近似式：))((')()(000x x x f x f x f -+≈。
由此得到方程=)(x f 0的近似根(假定≠)('0x f 0)，)(')(000x f x f x x -=即可构造出迭代格式(假定≠)('k x f 0)：)(')(1k k k k x f x f x x -=+ 公式(1)这就是牛顿迭代公式，若得到的序列{k x }收敛于α，则α就是非线性方程的根。
2、 牛顿迭代法也称为牛顿切线法，这是由于)(x f 的线性化近似函数)(x l ＝))((')(000x x x f x f -+是曲线y ＝)(x f 过点))(,(00x f x 的切线而得名的，求)(x f 的零点代之以求)(x l 的零点，即切线)(x l 与x 轴交点的横坐标，如右图所示，这就是牛顿切线法的几何解释。
实际上，牛顿迭代法也可以从几何意义上推出。
利用牛顿迭代公式，由k x 得到1+k x ，从几何图形上看，就是过点))(,(k k x f x 作函数)(x f 的切线k l ，切线k l 与x 轴的交点就是1+k x ，所以有1)()('+-=k k k k x x x f x f ，整理后也能得出牛顿迭代公式：)(')(1k k k k x f x f x x -=+。
牛顿迭代法原理
牛顿迭代法原理
牛顿迭代法是一种常用的数值解法，用于求解方程f(x)=0的根。
该方法的原理是利用牛顿近似定理，通过迭代不断逼近方程的根。
具体来说，牛顿迭代法的步骤如下：
1、选取一个初始点x0。
2、计算f(x0)和f'(x0)。
3、计算x1 = x0 - f(x0)/f'(x0)。
4、重复步骤2和3，不断迭代，直到满足精度要求为止。
牛顿迭代法具有收敛速度快、计算量少的优点，常用于求解非线性方程的根。
但是，牛顿迭代法也有一些缺点，例如需要计算函数的导数，对于复杂的函数可能较难求解；此外，该方法也存在收敛不保证的情况。
希望这些信息对您有帮助！。
最优化理论与方法——牛顿法
牛顿法牛顿法作为求解非线性方程的一种经典的迭代方法，它的收敛速度快，有内在函数可以直接使用。
结合着matlab 可以对其进行应用，求解方程。
牛顿迭代法（Newton Newton’’s s method method ）又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method ）,它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法,其基本思想是利用目标函数的二次Taylor 展开，并将其极小化。
牛顿法使用函数()f x 的泰勒级数的前面几项来寻找方程()0f x =的根。
牛顿法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程()0f x =的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根，此时非线性收敛，但是可通过一些方法变成线性收敛。
收敛。
牛顿法的几何解释：牛顿法的几何解释：方程()0f x =的根*x 可解释为曲线()y f x =与x 轴的焦点的横坐标。
如下图：轴的焦点的横坐标。
如下图：设k x 是根*x 的某个近似值，过曲线()y f x =上横坐标为k x 的点k P 引切线，并将该切线与x 轴的交点轴的交点 的横坐标1k x +作为*x 的新的近似值。
鉴于这种几何背景，牛顿法亦称为切线法。
牛顿法亦称为切线法。
2 牛顿迭代公式：（1）最速下降法：x-d gk k×Gg sks×GGd 101x x x -（1）令k k G v I k G -=+，其中：，其中：0k v =，如果k G 正定；0,k v >否则。
否则。
（2）计算_k G 的Cholesky 分解，_T k k k k G L D L =。
（3）解_k k G d g =-得k d 。
（4）令1k k k x x d +=+牛顿法的优点是收敛快，缺点一是每步迭代要计算()()'k k f x f x 及，计算量较大且有时()'k fx 计算较困难，二是初始近似值0x 只在根*x附近才能保证收敛，如0x 给的不合适可能不收敛。
牛顿迭代法的基本原理知识点
牛顿迭代法的基本原理知识点牛顿迭代法是一种求解方程近似解的数值计算方法，通过不断逼近方程的根，以获得方程的解。
它基于牛顿法则和泰勒级数展开，被广泛应用于科学和工程领域。
本文将介绍牛顿迭代法的基本原理和相关知识点。
一、牛顿迭代法的基本原理牛顿迭代法的基本原理可以总结为以下几个步骤：1. 假设要求解的方程为 f(x) = 0，给定一个初始近似解 x0。
2. 利用泰勒级数展开，将方程 f(x) = 0 在 x0 处进行二阶近似，得到近似方程：f(x) ≈ f(x0) + f'(x0)(x - x0) + 1/2 f''(x0)(x - x0)^23. 忽略近似方程中的高阶无穷小，并令f(x) ≈ 0，得到近似解 x1：0 ≈ f(x0) + f'(x0)(x1 - x0) + 1/2 f''(x0)(x1 - x0)^2求解上述方程，得到近似解 x1 = x0 - f(x0)/f'(x0)。
4. 通过反复迭代的方式，不断更新近似解，直到满足精度要求或收敛于方程的解。
二、牛顿迭代法的收敛性与收敛速度牛顿迭代法的收敛性与收敛速度与初始近似解 x0 的选择和方程本身的性质有关。
1. 收敛性：对于某些方程，牛顿迭代法可能无法收敛或者收敛到错误的解。
当方程的导数为零或者初始近似解离根太远时，迭代可能会发散。
因此，在应用牛顿迭代法时，需要对方程和初始近似解进行合理的选择和判断。
2. 收敛速度：牛顿迭代法的收敛速度通常较快，二阶收敛的特点使其在数值计算中得到广泛应用。
在满足收敛条件的情况下，经过每一次迭代，近似解的有效数字将至少加倍，迭代次数的增加会大幅提高精度。
三、牛顿迭代法的优点与局限性1. 优点：1) 收敛速度快：牛顿迭代法的二阶收敛特性决定了它在求解方程时的高效性和快速性。
2) 广泛适用：牛顿迭代法可以用于求解非线性方程、方程组和最优化问题等，具有广泛的应用领域。
牛顿迭代法
4.优缺点 • 优点：收敛速度快，稳定性好，精度高
• 缺点：在重根附近收敛速度会降阶；每次都要计算函
数及其导数值，计算量大。
• 注解：牛顿法是局部收敛的，所以要求初值选在解的 附近，实际计算时，常先用简单迭代法算几步，估计 出一个质量较好的初值！！
5.牛顿迭代法的改进——弦割法
基本思想：牛顿迭代法每一步要计算 f 和 f ，为了避免计算 导数值，现用 f 的差商近似代替微商 f ，从而得到弦割法。
( x) x
1 f ( x*)2 f ( x*) f ( x*) 1 1 | ( x*) | 1 2 n f ( x*)
f ( x) f ( x )
，则
A1: 有局部收敛性，但重数 n 越高，收敛越慢。 Q2: 如何加速重根的收敛？ A2: 根的重数已知，可将 f 的重根转化为另一函数的单根。
从而可构造出相应的迭代法格式为
xk 1
f ( xk ) f ( xk ) xk [ f ( xk )]2 f ( xk ) f ( xk )
f ( xk ) f ( xk )
若已知根的重数为 n，可将迭代格式改为，
xk 1 xk n k 0,1, 2,
* 则 ( x ) 0 ，所以上述格式是平方收敛的。
割线 切线 收敛比牛顿迭代法慢，且对 初值要求同样高。 x2 x1 x0
切线斜率
割Hale Waihona Puke 斜率f ( xk )( xk xk 1 ) f ( xk ) f ( xk 1 )
f ( x1 )
f ( x1 ) f ( x0 ) x1 x0
xk 1 xk
需要2个初值 x0 和 x1。
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牛顿迭代法李保洋数学科学学院信息与计算科学学号：060424067指导老师：苏孟龙摘要：牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法，即牛顿迭代法.迭代法是一种不断用变量的旧值递推新值的过程•跟迭代法相对应的是直接法或者称为一次解法，即一次性解决问题•迭代法又分为精确迭代和近似迭代“牛顿迭代法”属于近似迭代法，本文主要讨论的是牛顿迭代法，方法本身的发现和演变和修正过程，避免二阶导数计算的Newton迭代法的一个改进，并与中国古代的算法，即盈不足术，与牛顿迭代算法的比较•关键词：Newton迭代算法；近似求解；收敛阶；数值试验；中国古代数学;九章算术；Duffing方程；非线性方程；收敛速度；渐进性0引言：迭代法也称辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程，跟迭代法相对应的是直接法或者称为一次解法，即一次性解决问题•迭代法又分为精确迭代和近似迭代•“二分法”和“牛顿迭代法”属于近似迭代法•迭代算法是用计算机解决问题的一种基本方法•它利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点，让计算机对一组指令（或一定步骤）进行重复执行，在每次执行这组指令（或这些步骤）时，都从变量的原值推出它的一个新值•具体使用迭代法求根时应注意以下两种可能发生的情况：（1）如果方程无解，算法求出的近似根序列就不会收敛，迭代过程会变成死循环，因此在使用迭代算法前应先考察方程是否有解，并在程序中对迭代的次数给予限制•（2）方程虽然有解，但迭代公式选择不当，或迭代的初始近似根选择不合理，也会导致迭代失败•所以利用迭代算法解决问题，需要做好以下三个方面的工作：1、确定迭代变量•在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量，这个变量就是迭代变量2、建立迭代关系式.所谓迭代关系式，指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式（或关系）.迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键，通常可以使用递推或倒推的方法来完成.3、对迭代过程进行控制，在什么时候结束迭代过程？这是编写迭代程序必须考虑的问题.不能让迭代过程无休止地重复执行下去.迭代过程的控制通常可分为两种情况：一种是所需的迭代次数是个确定的值，可以计算出来；另一种是所需的迭代次数无法确定.对于前一种情况，可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制；对于后一种情况，需要进一步分析出用来结束迭代过程的条件.1牛顿迭代法：洛阳师范学院本科毕业论文X 0 牛顿迭代有十分明显的几何意义，如图所示:牛顿 迭代法(Newton method)又称为牛顿-拉夫逊方法(Newto n-Rapfsonmethod)，它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方 法.多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要•方法使用函数f x 的泰勒级数的前面几项来寻找方程f x =0的根•牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f x =0的单根附近具有平方收敛性，而且该法还可以用来求方程的重根、复根. 另外该方法广泛用于计算机编程中：解非线性方程f x ]=0的牛顿(Newton)法是把非线性的方程线性化的一种近似方法•把f x 的x 点附近展开泰勒(Taylor )级' 2 f x = f x 0 f X - X 0 f x 0 ］亠 ix - X 0取其线性部分作为非线性方程f x =0的近似方程，则有:f X 。
f ' X 。
X - x 0 =0 ；设f ' x 。
=0,则其解为：再把f x 在％附近展开泰勒(Taylor)级数，也取其现行部分作为f x i ； = 0的近似方 程.若f % = 0，则得:这样，得到牛顿(Newton)法的一个迭代序列:当选取初值X o以后，过X o,f X o「|做f X的切线，其切线方程为:y - f X。
= f' & x - X。
；求此切线方程和X轴的交点，即得：x— X。
一f X ' f X牛顿法正因为有这一明显的几何意义，所以也叫切线法例：用牛顿法求下面方程的根f X = X3 2x2 10x - 20 = 0 ；解：因f x]=3x2・4x *10，所以迭代公式为:x n勺.二焉一X32x210x -20 3x24x 10 ；选取X（）=1计算结果列表:从结果可以看出，牛顿法的收敛是很快的，X5误差10」较大，因每次计算迭代除了计算函数值外还要计算微商值•为此我们提出了简化牛顿法：其公式为X n1=X n-f X n「f' X ；用上面的公式计算，不再需要每步重新计算微商值，所以计算量小一些，但收敛也要慢一些•为了避免计算导数还可以采用差商代导数的方案：-5 "X n —f X n -f X n^关于牛顿迭代的收敛有下面结果：如果f X在零点附近存在连续的二阶微商,•是f X的一重零点，且初始X0充分接近于，那么牛顿迭代是收敛的，且有&十仝|十"卩）/0'（匕）卜焉仝2这表明牛顿法是二阶收敛的（平方收敛的）最后考虑f x是多项式的特殊情况，此时f X , f x在某个x值，比如x = c 时的计算可用综合除法•设 f (x )=ax n+ax n半+川a n」x + a n，除以x —c，得商q(x)，余r:f x 二q x x c ; r(1)其中:q x i=b o x n‘ bx n，川b n/ ;r = 0 = f c；比较(1)式两边x k的系数便知这些b k可以按下表进行：这一过程其实就是秦九韶算法，计算多项式值的嵌套算法：f c 二丨|| a o a i c ■ a?c c 川a.」c a n ；每个括号的值就是这里的bollllllbn.至于导数的计算，注意到(1)式可得：f'x=qx q'x x-c ；于是：fc =q c；'因此再对b0||||||bn进行上述过程，或者再用一次秦九韶算法即可•2一种修正的牛顿迭代法：给出了牛顿迭代法的一种修正形式，并证明了当r=1/2时修正的牛顿迭代法是二阶收敛的，当参数r =1/2时是三阶收敛的，数值实验表明，与经典牛顿迭代法相比，该修正牛顿迭代法具有一定的优势•众所周知，数值求解非线性方程f x =0的根的方法很多.经典的牛顿迭代法是非线性方程组求根的一个基本方法，它二次收敛到单根，线性收敛到重根•牛顿法因收敛速度快而得到广泛应用，也倍受学者的重视，近年来很多文献中提出各种改进的牛顿方法•文献［8］中利用Newton迭代法和微分中值定理“中值点”的渐进性，提出了一种多点迭代法.设f （x ）满足下述条件:f x 卢 c 2 l.a,b ］, f a f b ：： 0 ；因此，当b 与a 的距离无限接近时有:1:a - b-a .也就是说，在区间（a,b ）不甚大时，中值点 一定在其渐近位置2:a 2 ^a 附近，并随区间变小而趋于其渐近位置.图所示迭代法构造图本方 案基于上述考虑，给出一种通过迭代点选取另一个点，利用两个点进行迭代求近 似根的新方法•这种方法虽然在迭代中又只利用了一个其它点，但其计算精度却相 当高，它的某一种特殊情形恰是通常的 Newt on 迭代法.为了更加直观起见，我们 通过几何直观图来构造这种迭代法•设f x 满足条件（A ），当选定初值x o （仅要求f x o f " x 0），如图所示，作交点的切线交x 轴于B x o -丄旦,0I f （ X 。
）AQ 线段的斜率为:f ' x - 0， f" x 在［a,b ］上保号. 根据微分中值定理，存在• （a,b ），使得:f (沧)一 f x o - (A)=f ，而 12 图1 迭代法构适图f (Xo )f '(x o )」使得:由微分中值定理知，存在f x oX 。
/ ;:应丫。
f r 。
“ "仏）丿重复上述过程，得到多点迭代公式f （X k ） X k 1 =Xk -f （ X k f Xk-Crf^H、、、 f （兀）丿其中 X k [a,b]，k =1,2,3,111.下面我们对上述事实，从理论上加以严格证明.定理 设f X 满足条件（A ），则由多点迭代公式（1）产生的序列｛X n ｝必收敛于 ［a, b ］上的唯一 a ，这里 x n ：= a,b 丨，f a ］=0 .证明函数f X 在上连续，由连续函数根的存在定理，从 f a f b ：：：0知道 f X 在〔a,b 上根存在，又由条件f x =0及f X 保号知道，f X 在〔a,b 1上不 变号，故f x 在l.a,b 1上是单调函数，因此f x 在l.a,b ］上根a 存在且唯一.由定理条件曲线y 二f x 可有如下四种不同情况：（1）f a ：： 0, f b 0, f " x 0，则 f ' x 单调上升，f ' a f ' b0 ； （2） f a <0, f b 0,f " x0，则 f ' x而.：、x 0 - P X 。
- 1 -rf （X 。
），因此，我们取数「V ,在点X 0「1「r b 作切线PC ，图中 AD 平行于PC .即用 点P 的导数门X 。
- 1 - r0）丿代替点A 的导数，而仍用点 A 的迭代格式得到点 D 的坐标x 0 一 Xo -（X 。
） （X 。
单调下降，f' a f' b 0 ；H I I I⑶ fa 0, f b <0, f x 0,则 f x 单调上升，f a f b ：： 0 ；⑷ fa 0, f b ::: 0, f " x ：0,则 f ' x 单调下降，f ' a f ' b ：： 0.通过对自变量的变号或对函数的变号可将四种情况归结为一种情况，所以我 们只需对情况(一)证明迭代过程(1)收敛就可以了 •若初值人：=[a,b],x 0 . a,所以f x o • 0，故有般地，若X n = a ，同样可以证明由式(2)得到的x n *满足ax n 十：：：焉.所以由 式⑴产生的迭代序列｛x n ｝单调下降且有下界.依极限理论必有极限.对式(2)两边取 极限，由极限理论可以求得 f a i=0.再由f ' x =0，x^ ■ l-a,b 1，可知函数方程 f x =0在〔a,b 】上的根是唯一的，因此有a 二a .当r =1时，式⑵即为Newton 迭代公式.f （a ）+f （f x 。
一a ） xf (加-a ) - 、T"鳥f x d J%）丿 一方面, 匚三［a.x ° ，且 f x 0 二 f x°-a .下证 f x < f&_（1_「）吕* . I f （x 。