求一个整数开根号--二分法和牛顿迭代法(求根)
迭代法求根号
迭代法求根号
迭代法是一种数值计算方法，用于逼近函数的根。
在求解根号的迭代法中，通常采用牛顿-拉弗森方法（Newton-Raphson method）或二分法（Bisection method）。
1.牛顿-拉弗森方法：
这是一种迭代方法，通过不断更新初始猜测值来逼近函数的根。
具体来说，对于要求解的根号函数f(x)，牛顿-拉弗森方法的迭代公式如下：
x n+1=x n−f(x n) f′(x n)
其中，x n是第n次迭代的猜测值，x n+1是第n+1次迭代的猜测值，f′(x n)是函数f在x n处的导数。
2.二分法：
二分法是一种简单而直观的迭代方法，通过不断缩小根所在的区间来逼近根。
具体来说，对于要求解的根号函数f(x)，二分法的迭代步骤如下：
(1)首先确定一个初始区间[a, b]，使得f(a) 与f(b) 异号。
(2)然后计算区间的中点c = (a + b) / 2，并计算f(c)。
如果f(c) 等于零或者满足预先设定的精度要求，则 c 就是所求根的近似值；否则，根据f(a) 与f(c) 的符号确定新的区间[a, c] 或[c, b]，然后重复上述步骤。
使用牛顿迭代法求解平方根
使用牛顿迭代法求解平方根牛顿迭代法是一种用于求解方程的数值方法，它可以用来近似求解平方根。
本文将介绍牛顿迭代法的原理和步骤，并通过一个简单的示例来说明其应用。
牛顿迭代法的基本思想是通过不断逼近函数的零点来求解方程。
对于求解平方根的问题，我们可以将其转化为求解方程f(x) = x^2 - a = 0的根，其中a为待求平方根的数。
我们需要选择一个初始点x0作为迭代的起点。
然后，通过牛顿迭代公式x = x0 - f(x0)/f'(x0)来计算下一个近似解x1，其中f'(x)表示函数f(x)的导数。
这个公式的意义是用切线与x轴的交点作为下一个近似解。
接下来，我们用x1作为新的起点，再次应用迭代公式计算x2。
不断重复这个过程，直到我们得到一个满足精度要求的近似解。
下面，通过一个具体的例子来演示牛顿迭代法的求解过程。
假设我们要求解的平方根是2，我们可以选择初始点x0 = 1作为起点。
我们计算f(x0)和f'(x0)的值。
代入f(x) = x^2 - 2的表达式，我们得到f(1) = 1^2 - 2 = -1和f'(1) = 2。
然后，代入牛顿迭代公式，得到x1 = 1 - (-1)/2 = 1.5。
接着，我们计算f(x1)的值，代入f(1.5) = 1.5^2 - 2 = 0.25。
由于f(x1)的值不满足精度要求，我们继续迭代。
以x1作为新的起点，计算f(x1)和f'(x1)的值。
代入公式，得到x2 = 1.5 - 0.25/2 = 1.375。
计算f(x2)的值，代入f(1.375) = 1.375^2 - 2 = -0.140625。
再次迭代，以x2作为新的起点，计算f(x2)和f'(x2)的值。
代入公式，得到x3 = 1.375 - (-0.140625)/2 = 1.4140625。
计算f(x3)的值，代入f(1.4140625) = 1.4140625^2 - 2 = -0.0009765625。
解算术平方根
解算术平方根解算术平方根是数学中常见的计算方法，用于求一个数的平方根。
平方根是指一个数的平方等于该数的结果。
解算术平方根可以帮助我们找到一个数的近似值，从而更好地理解和应用数学知识。
本文将介绍解算术平方根的方法和应用，以及一些与其相关的知识。
一、解算术平方根的方法解算术平方根的方法有多种，其中最常用的是牛顿迭代法和二分法。
1. 牛顿迭代法牛顿迭代法是一种通过不断逼近的方式来求解方程的数值解的方法。
对于求解一个数的平方根，可以使用以下迭代公式：X(n+1) = (X(n) + a/X(n))/2其中，X(n) 表示第 n 次迭代得到的近似值，a 表示待求平方根的数。
通过不断迭代，当迭代值的变化小到一定程度时，就可以得到一个较为精确的结果。
牛顿迭代法在求解平方根方面具有较高的效率和精确度。
2. 二分法二分法是一种搜索算法，通过将问题划分为两个子问题，然后选择一个子问题来进行下一步的搜索。
对于求解一个数的平方根，可以使用二分法来逼近平方根的值。
具体步骤如下：- 设定一个初始的范围，保证平方根在其中。
- 将范围的中点作为候选平方根的一个近似值。
- 比较候选平方根的平方与待求数的大小关系。
- 若平方大于待求数，则缩小范围至中点左侧；若平方小于待求数，则缩小范围至中点右侧。
- 重复以上步骤，直到范围的大小足够小，可以得到一个较为精确的近似平方根。
二、解算术平方根的应用解算术平方根在实际生活和学习中有广泛的应用，例如：1. 几何学中，求解直角三角形的斜边长度时，常需要使用平方根进行计算。
2. 物理学中，求解物体的速度、加速度、加速度等问题时，常需要使用平方根进行计算。
3. 统计学中，求解方差和标准差等问题时，也需要使用平方根进行计算。
4. 工程领域中，求解误差和不确定度等问题时，常常需要使用平方根进行计算。
总结解算术平方根作为一种常见的计算方法，有着广泛的应用。
通过牛顿迭代法和二分法等方法，我们可以高效地求解一个数的平方根。
C语言复习---迭代法，牛顿迭代法，二分法求根
C语⾔复习---迭代法，⽜顿迭代法，⼆分法求根⼀：⽤迭代法求 x=√a。
求平⽅根的迭代公式为：X(n+1)= (Xn+a/Xn) /2。
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#include <math.h>int main(){double x1, x2;float a;scanf("%f", &a);x2 = 1.0;do{x1 = x2;x2 = (x1 + a / x1) / 2;} while (fabs(x1-x2)>pow(10,-5));printf("value:%lf", x2);system("pause");return0;}⼆：⽤求⽅程在1.5附近的根（2x3-4x2+3x-6=0）例：⽅程求根⽜顿迭代法求⽅程 f(x)=x3+x2-3x-3=0在1.5附近的根f(x)=x^3+x^2-3x-3f'(x)=3x^2+2x-3x(n+1)=xn-f(xn)/f'(xn)令x1=1.5x2=1.777778x3=1.733361x4=1.732052x5=1.732051x6=1.732051如果精确到0.000001,则x=1.732051准确值=根号3重要公式#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#include <math.h>int main(){double x1=0, x2;double fx1, fx2;x2 = 1.5;while (fabs(x1 - x2)>=1e-6){x1 = x2;fx1 = 2 * x1*x1*x1 - 4 * x1*x1 + 3 * x1 - 6; //f(xn)fx2 = 6 * x1*x1 - 8 * x1 + 3; //f(xn)'x2 = x1 - fx1 / fx2;}printf("value:%lf", x2);system("pause");return0;}三：⼆分法求⽅程的根给定精确度ξ,⽤⼆分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下:1确定区间[a,b],验证f(a)·f(b)<0（这是前提，选取的区间必须满⾜这个条件）,给定精确度ξ. 2求区间(a,b)的中点c.3计算f(c).(1) 若f(c)=0,则c就是函数的零点;(2) 若f(a)·f(c)<0,则令b=c;(3) 若f(c)·f(b)<0,则令a=c.(4) 判断是否达到精确度ξ:即若|a-b|<ξ,则得到零点近似值a(或b),否则重复2-4.#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#include <math.h>double fx(double x){return2 * x*x*x - 4 * x*x + 3 * x - 6;}int main(){double x1 , x2;double fx1, fx2;double e = 1e-6;do{printf("enter (x1,x2):\n");scanf("%lf", &x1);scanf("%lf", &x2);if (x1>x2){double temp = x1;x1 = x2;x2 = temp;}fx1 = fx(x1);fx2 = fx(x2);} while (fx1*fx2>0);if (fabs(fx1) < e)printf("solution1:%lf\n", x1);else if (fabs(fx2) < e)printf("solution2:%lf\n", x2);else{while (fabs(x1 - x2) >= e){double mid = (x1 + x2) / 2;if (fx(mid)*fx2 < 0)x1 = mid;elsex2 = mid;}printf("solution3:%lf", x2);}system("pause");return0;}。
整数开方快速算法
整数开方快速算法整数开方是计算一个正整数的平方根的操作，即找到一个整数x，使得x的平方小于或等于给定的整数n，而x+1的平方大于n。
在计算机科学中，常用的整数开方算法有三种：二分法、牛顿迭代法和位操作法。
下面将详细介绍这三种算法。
1.二分法：二分法是一种基于二分查找的算法，在整数范围内逐渐缩小查找区间，直到找到最接近目标整数的平方根。
算法步骤如下：-初始化左边界l为0，右边界r为给定整数n。
-循环直到找到最接近目标整数的平方根：- 计算中间值mid = (l + r) / 2- 如果mid的平方大于n，则将r更新为mid-1，否则将l更新为mid+1-返回l作为整数开方的结果。
二分法的时间复杂度为O(logn)，因为每次区间减半。
2.牛顿迭代法：牛顿迭代法是一种迭代求解方程的方法，通过反复迭代的方式逼近函数的根。
对于求解整数开方的问题，可以将其转化为求解方程x^2-n=0，其中n为给定整数。
算法步骤如下：-初始化初始值x0为n。
-循环直到收敛：-计算新的近似值x1=(x0+n/x0)/2-如果x1与x0的差值小于一个很小的阈值，则停止迭代。
-否则，将x1作为新的近似值，继续迭代。
-返回x1作为整数开方的结果。
牛顿迭代法的时间复杂度取决于迭代次数，通常收敛得非常快，因此可以认为是常数时间复杂度。
3.位操作法：位操作法是一种利用位运算的技巧来计算整数开方的方法。
算法步骤如下：-初始化变量x为给定整数n。
-如果x大于1：- 计算tmp = (x + n / x) / 2- 如果tmp等于x，则返回x作为整数开方的结果。
- 否则，将tmp赋值给x，继续循环。
位操作法的时间复杂度同样取决于迭代次数，但通常比牛顿迭代法多一些迭代次数。
综上所述，整数开方的三种常见算法为二分法、牛顿迭代法和位操作法。
不同的算法在时间复杂度和实际运行效率上有所差异，选择合适的算法取决于具体的应用场景和需求。
开根号的计算方法
开根号的计算方法开根号是数学中常见的运算方法，它在代数、几何、物理等领域都有着广泛的应用。
在学习和工作中，我们经常会遇到需要进行开根号运算的情况，因此掌握开根号的计算方法对我们来说是非常重要的。
本文将介绍开根号的计算方法，希望能够帮助大家更好地掌握这一技巧。
首先，我们来看开平方根的计算方法。
对于一个非负实数a，其平方根记作√a，满足(√a)²=a。
在实际计算中，我们可以通过不断逼近的方法来求解开平方根。
例如，我们可以利用二分法、牛顿迭代法等数值计算方法来逼近开平方根的值。
其次，我们来看开立方根的计算方法。
对于一个实数a，其立方根记作³√a，满足(³√a)³=a。
计算开立方根的方法与开平方根类似，也可以通过数值计算方法来逼近开立方根的值。
除了开平方根和开立方根外，我们还可以计算更高次的根。
对于一个正整数n和一个非负实数a，我们可以计算a的n次根，记作ⁿ√a，满足(ⁿ√a)ⁿ=a。
计算ⁿ√a的方法也可以通过数值计算方法来逼近其值。
在实际应用中，我们通常会遇到需要计算开根号的情况。
例如，在几何学中，我们需要计算三角形的边长或面积；在物理学中，我们需要计算物体的体积或密度；在工程学中，我们需要计算结构的强度或稳定性等。
因此，掌握开根号的计算方法对我们来说是非常重要的。
总之，开根号是数学中常见的运算方法，我们可以通过数值计算方法来逼近开根号的值。
在实际应用中，我们经常会遇到需要计算开根号的情况，因此掌握开根号的计算方法对我们来说是非常重要的。
希望本文所介绍的开根号的计算方法能够帮助大家更好地掌握这一技巧。
求平方根的算法
求平方根的算法算法是计算机科学中的重要概念，它是由一系列有序的、清晰而且可行的步骤所组成的一种解题方法。
在数学中，求平方根是一种重要的运算，因为它可以解决很多实际问题，比如在物理学中计算速度、加速度等等。
在这篇文章中，我们将学习几种常用的求平方根的算法。
1. 牛顿迭代法牛顿迭代法又称牛顿-拉弗森方法，是一种求解方程的经典算法。
它也可以用于求解平方根，以下是其算法步骤：（1）设给定的数字为n。
（2）设一个初始值x0，通常是n的一半。
（3）根据牛顿迭代公式，计算出下一个迭代值xn+1。
公式为：xn+1 = (xn + n / xn) / 2。
（4）如果xn+1和xn的差不太大，即 | xn+1 - xn | < ε，其中ε是一个足够小的正数，则停止迭代，此时xn+1就是n的平方根。
（5）否则，将xn+1作为下一次迭代的初始值，进入步骤（3）。
下面是使用Python语言实现牛顿迭代法求平方根的代码：```python def sqrt_newton(n): x0 = n / 2 while True: x1 = (x0 + n / x0) / 2if abs(x1 - x0) < 1e-6: return x1 x0 = x1 ```2. 二分法二分法也是一种经典的算法，在计算平方根时也可以使用。
这种算法的思想是：如果目标值在某个区间内，那么不断缩小这个区间，最终就可以得到它的值。
以下是具体步骤：（1）设给定的数字为n。
（2）设left和right分别为计算区间的起点和终点。
（3）当left <= right，执行以下操作：a. 计算区间的中点mid，即mid = (left + right) / 2。
b. 如果mid * mid小于n，则将left更新为mid + 1。
c. 如果mid * mid大于n，则将right更新为mid - 1。
d. 否则，mid* mid等于n，停止二分查找，返回mid。
平方根计算方法
平方根计算方法平方根是数学中常用的一个概念，求一个数的平方根可以帮助我们理解数的大小关系以及解决一些实际问题。
在计算平方根的过程中，我们常常用到各种不同的方法和公式。
本文将介绍几种常用的平方根计算方法。
一、牛顿迭代法牛顿迭代法是一种求函数零点的数值逼近方法，也可以用来计算平方根。
以下是使用牛顿迭代法计算平方根的步骤：1. 我们要求解的平方根是x，我们先随意猜测一个近似值y。
2. 计算出y的平方，如果y的平方接近于x，那么y就是x的平方根。
3. 如果y的平方与x相差较大，我们可以利用牛顿迭代法进行改进。
a. 我们可以通过求函数f(y)=y^2-x的导数f'(y)来得到曲线的切线斜率。
b. 曲线上的一点(x, f(x))和曲线的切线交点(x', f(x'))可以近似地代表函数f(y)的零点。
c. 利用切线和x轴的交点求出新的近似值，再通过重复步骤3，直到y的平方接近于x。
牛顿迭代法是一种快速高效的平方根计算方法，但在实际应用中可能会出现收敛性问题。
因此，当使用牛顿迭代法时，我们需要注意收敛性的检验。
二、二分法二分法是一种基于区间逼近的方法，也可以用来计算平方根。
以下是使用二分法计算平方根的步骤：1. 我们要求解的平方根是x，我们先确定一个范围[a, b]，其中a为x的下界，b为x的上界。
2. 计算出区间的中点c，即c=(a+b)/2。
3. 如果c的平方接近于x，那么c就是x的平方根。
4. 如果c的平方大于x，说明平方根落在区间[a, c]内，那么我们将b更新为c。
5. 如果c的平方小于x，说明平方根落在区间[c, b]内，那么我们将a更新为c。
6. 重复步骤2到5，直到区间的长度足够小或满足精度要求。
三、连分数法连分数法是一种用连分数表示平方根的方法，每一项都是一个有理数。
以下是使用连分数法计算平方根的步骤：1. 将待求的平方根表示为一个连分数形式：√x = a0 + 1/(a1 + 1/(a2 + 1/(a3 + ...)))。
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求一个整数开根号--二分法和牛顿迭代法（求根）
问题叙述
求解1232cos 0x x -+=的解；通过编写matlab 程序分别用分析二分法和牛顿迭代法求解方程，通过两种方法的比较，分析二者求解方程的快慢程度。
一、问题分析
由matlab 画图命令，容易得到此方程解的范围为（2，4）；两种迭代方法，在使用相同的误差（0.00001）的情况下，得出matlab 迭代次数，通过次数的比较得出二者求解速度快慢比较。
二、实验程序及注释
（1）、二分法程序：
clear; %清除所有内存数据； f=inline('12-3*x+2*cos(x)');
format long %数据显示格式设为长型； a=2;b=4; %求解区间； er=b-a;ya=f(a);k=0;er0=0.00001; %误差分析； while er>er0 x0=.5*(a+b); y0=f(x0); if ya*y0<0
b=x0; %二分法求解程序； else
a=x0; ya=y0; end
disp([a,b]);er=b-a;k=k+1 %显示各个区间值和求解次数； end
disp([a,b]); %显示最后一个区间值； （2）、牛顿迭代法程序：
clear; %清除所有内存数据； f=inline('12-3*x+2*cos(x)');
format long %数据显示格式设为长型； b=3;a=4;k=0; %求解区间； y0=f(b);y=f(a);
while abs(b-a)>0.00001 t=a-y*(a-b)/(y-y0);
b=a;y0=y; %牛顿迭代法求解程序； a=t;y=f(a); k=k+1;
disp([b,a]);k %显示各个区间值和求解次数； end
disp([b,a]); %显示最后一个区间值；
三、实验数据结果及分析
表2：牛顿迭代法程序结果
四、实验结论
通过表1可知，在二分法下，程序迭代了17次后和第18次的结果一致，即程序迭代了17次达到要求的试验误差；通过表2可知，在牛顿迭代法下，程序迭代了4次后和第5次的结果一致，即程序迭代了4次达到要求的试验误差；
二者比较明显可以看出牛顿迭代法的求解效率要远远优于二分法。
多面体旋转实验
200822401018 徐小良
一、问题叙述：
编写matlab 程序实现对正立方体的旋转，并用适当的方法来验证程序设计的正确性。
二、问题分析：
使用相对应的三个正交矩阵即可实现对三位图形进行各个方向的旋转，在此不再赘述。
⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=αααααcos sin 0sin cos 0001
)(x Q ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=βββββcos 0sin 010sin 0cos )(y Q ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=1000cos sin 0sin cos )(γγγγγz Q 使用moviein 命令，就可以对原正立方体和旋转以后的三位图形进行全方位的观测；为观测的方便，可在立方体各个面上涂不同的颜色加以区分。
三、试验程序以及注释：
（1）、主题函数：
clear; %清除以前所有数据，以防干扰
[X,Y,Z]=peaks(30);
m=moviein(30); %扑捉相关画面
B0=[0 0 0;1 0 0;1 1 0;0 1 0;0 0 1;1 0 1;1 1 1;0 1 1];
n=8; %延时相关因子
view(-25,16);
B=B0;cube(B);
for i=1:30
view(10*(i-1),10*(i-1)) %设置观测点
m(:,i)=getframe; %观察立方体
delay(n); %延时一定时间，以便观测
end
Qz=[cos(pi/2) -sin(pi/2) 0;sin(pi/2) cos(pi/2) 0;0 0 1];
Qy=[cos(-pi/4) 0 sin(-pi/4);0 1 0;-sin(-pi/4) 0 cos(-pi/4)];
Qx=[1 0 0;0 cos(pi/4) -sin(pi/4);0 sin(pi/4) cos(pi/4)];
B=B*Qz';cube(B);
B=B*Qz';cube(B); %立方体旋转B=B*Qz';cube(B);
B=B0*Qy';B=B*Qx';B(:,3)=B(:,3)+1;
cube(B);
view(-25,16);
for i=1:30
view(3-10*(i-1),10)
m(:,i)=getframe;
delay(n);
end
（2）、Cube函数：
function cube(B)
fac=[1 2 3 4;1 2 6 5;1 4 8 5;7 8 5 6;7 3 2 6;7 3 4 8];
patch('faces',fac(1,:),'vertices',B,'faceColor','m'); %在不同面涂不同颜色patch('faces',fac(2,:),'vertices',B,'faceColor','b');
patch('faces',fac(3,:),'vertices',B,'faceColor','r');
patch('faces',fac(4,:),'vertices',B,'faceColor','c');
patch('faces',fac(5,:),'vertices',B,'faceColor','g');
patch('faces',fac(6,:),'vertices',B,'faceColor','y');
（3）、delay函数： %延时函数function delay(n)
tic
M=10000000;
N=M*n;
for k=0:N
M=M*1-1;
end
toc %延时时间计算
四、试验结果：
通过程序仿真可观测到，立方体不同侧面的颜色，以此检测图色的正确性。
当旋转后，经过程序仿真观测旋转后的图形各个侧面的颜色，以此观测旋转的正确性。
五、试验结论：
在程序中我们设置：
第一个面为‘m’紫色；（最下面一个面）
第二个面为‘b’蓝色；
第三个面为‘r’红色；
第四个面为‘c’青色；（最上面一个面）
第五个面为‘g’绿色；
最后一个面为‘y’黄色。
其分析图形如下如所示：
通过分析图形与最终结果的比对我们很容易看出，不管是颜色的涂写还是立方体的旋转，程序仿真的结果时正确的。