几种具有高阶收敛速度的改进牛顿迭代法

（11 ）
） 式为 Halley 迭代法。 我们简称 （11 1.1.2 收敛阶为七阶的 7VCH 迭代法 思路： 将 3 阶 Halley 迭代法 （11 ） 式与文献与中介绍的 EulerChebyshev f (x ) f (x ) f (x ) 迭代法 z x [1 ] f (x ) 2 f (x ) 进行线性组合， 可以得到另一个三阶收敛的新的迭代法：
随着变压器不断向着高电压、 大容量的方向发展， 在变压器维 护方面， 人们不仅重视油中溶解气体分析， 以便及时发现变压器内 部早期故障， 而且对油中气体的总含量也引起了广泛的注意。含氧 量高会加速绝缘油的老化并使油氧化， 进而腐蚀固体绝缘。有的文 献指出， 如果运行中保持含氧量小于 500μL/L 时， 可以使油老化速 如果仍按原寿命计算的话， 率大为减缓， 变压器的寿命将延长 5 倍， 油中总含气量的大小 则可以明显的提高出力。除了氧气的影响外， 对变压器的安全运行也是有不可忽视的影响的。对含气量来说， 在 施加电压时间较短时， 即使油中含有大量溶解气体， 也不会影响介 质的耐压强度。但是它对游离放电却有不可忽视的影响， 因为气体 可以聚集起来形成气泡， 特别是当温度和压力骤然下降而形成气泡 时， 其影响是较大的。这时， 这种气体在电场中被拉成长体， 极易发 生气体碰撞游离， 甚至造成热击穿。 这也就是电晕产生的原因。 如果 气体骤集在高场强的部位， 更是极为危险的。 实践证明， 监测并控制变压器油中的气体含量不仅能防止油中 气泡和氧气对绝缘的危害， 而且把油中含气量的实测数据与不同油 保护方式变压器油中正常含气量水平进行比较， 可获得设备内部状 态的某些信息， 特别是与油中溶解气体分析数据综合判断更是有益 的。事实上以往人们利用真空脱气法进行油中溶解气体分析时， 首 先就很重视测定油中总含气量和含氧量。对于密封变压器， 当油中 总含气量超过 6%， 而氧气含量明显增长时， 则可能存在大气泄漏于 油箱内。如果油中含气量很高 （＞6% ） ， 但含氧量却很低， 甚至为零或 出现负峰时， 则变压器内部可能存在早期热性或电性故障。对于开 且氧气含量低于 16%时， 则 放式变压器， 如果油中含气量超过 11%， 预示着设备存在内部故障。如果油中总含气量和含氧量均很高， 则 可能油中溶解空气过饱和， 这随着温度或压力的变化， 将会形成大 量气泡进入气体继电器而引起动作报警。 下面介绍几种油中含气量测定的方法。 1 真空法 早在 20 世纪 70 年代国内就采用真空脱气法测量油中总含气 量即在油中溶解气体分析过程中的脱气阶段就读出油中总含气量 。 我国在 20 世纪 80 年代制订了 YS-C-3-1-84 真空脱气法，该方法 虽有操作简单、 分析速度快的优点， 但因受平衡时间、 注油速度等因 素影响。其重复性较差， 且存在气体回溶现象。 1991 年， 我国先后发布了 DL/T 423-1991 （采用真空压差法 ） 和 DL/T 450-1991(采用二氧化碳洗脱法)。 真空压差法除了存在与真空 脱气法类似的缺点之外， 还因真空仪器不易普及的问题而难以推广 应用。 2 二氧化碳洗脱法 二氧化碳洗脱法采用高纯度的二氧化碳气体以极其分散的形 式通过一定体积的试样油，将油中溶解的气体洗脱并携带出来， 并 与二氧化碳同时通过装有氢氧化钾溶液的吸收管， 这时二氧化碳被 完全吸收， 所留下来的溶解气体就进入有精确刻度的量管里， 从刻 度管可以测得气体的体积数。该测量方法重复性较好， 但实际应用 表明， 两次平行测定结果的精确度一般可以达到 DL/T 450-1991 的 要求。 但是该方法操作较为繁琐， 需使用干冰亦不方便， 加之需用水 银， 易造成分析人员的健康损害。尤其是该方法不能测出油中二氧 本文所构建的迭代格式均比牛顿迭代法优越， 且具有较快的收 敛速度； 在实验的过程中， 有的迭代格式甚至出现全局收敛的情况。 从实验中还可以看出， 具有三阶收敛速度的 Simpson 迭代法和 Hal－ ley 迭代法比二阶牛顿迭代法迭代次数少 、 收敛速度快；七阶的 7VCH 和九阶的 9VCH 迭代次数最少， 它们的收敛速度非常快， 但计 算量也相应的较大。
x( y ) x (t )dt ， 这 里我们将利用 Simpson 数 值积分公
f (t )dt 中的定积分采 用待 定系数 法， 这 时 我们可 得到 另 一
将上式等号右边的 xn+1 用 x*n+1 代替 （x*n+1 由 （3 ） 式计算得到） ， 最 后可得到三阶迭代法为：
x x f (x ) f (x ) f (x ) f (x ) 2 f (x )
f (x ) f (x ) f (x ) 2 f (x ) x z 1 f (z ) [ f (z ) 1 l (x ) 1 l ( x )] 2
x ) / 2)
f (x )
f ( x )(
x
xห้องสมุดไป่ตู้
)
） （13
其中
l (x )
f (z ) f (x ) f (z )
（14 ）
1.1.3 收敛阶为九阶的 9VCH 迭代法 思路 ： 如果 将 （14 ）式中 的 f"(xn) 改为 f'(zn)， 而 其它 均 不 变 ， 则 1.1.2 中所述的迭代法将具有九阶收敛速度 。但此时每步迭代计算 量要增加 1 次， 收敛效率也会改变， 这些将在下面的收敛效率分析 中给予详细阐述。 迭代格式为： f (x )
f (( x x ) / 2)
（6 ） ） 式、 （5 ） 式和 （6 ） 式代入 （4 ） 式， 可得到一种新的改进牛顿 将 （3 迭代法：
2
x x f (x ) f (x ) [ 6 f (x ) f ( x ) f (x ) 1 f (x ) 4 f (x ) ] 1 ） f (x ) f ( x ) f ( x ) （7 2
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2013 年第 27 期
应用科技
（河南辉煌科技股份有限公司， 河南 郑州 450001 ）
要： 文章中， 我们提出了具有不同阶的改进牛顿迭代法来求解非线性方程。这些改进的牛顿迭代法基于不同的思想构造出
p c
x ) f (x )
(x
x ) f (x ) 2
） （10
f ( x )(3 f
(x ) 2 f (x ) f 288 f (x )
( x ))
f (x )


35(3 f
(x )
f (x ) f
(x ))( 3 f ( x ) 2 f ( x ) f 9! f ( x )
(x ))
科技创新与应用
几种具有高阶收敛速度的改进牛顿迭代法
赵春阳 牛振波
摘
来： （1 ） 通过对函数 y=f(x)的反函数 x=x(y) 进行考察， 得 到积分 方程 x ( y) 较高且每步迭代计算量较少的迭代法， 对积分方程 y ( x)
y( x )
式来计算定积分， 并结合 Taylor 展式， 就可以得到一个三阶的改进牛顿迭代法； （2 ） 我们已经学过代数精度的概念， 为了得到精度
参考文献
化碳气体， 这对新安装或大修变压器虽影响不大， 但对于运行变压 器则是不可忽视的， 因此也不易推广使用。 3 气相色谱法 利用气相色谱法测定油中总含气量是 DL/T 703-1999 推荐的 方法。如上所述， 由于真空压差法和二氧化碳洗脱法推广应用收到 该方法的原理、 分析 局限， 因此气相色谱法已成为普遍采用的方法。 仪器、 流程、 脱气方法以及分析手续， 实质上与油中溶解气体分析法 基本相同。即将定体积的油样加入一个密封系统中， 注入该油样中 不需测定的惰性气体， 如高纯氩气,置于很稳振荡器内充分振动， 使 油中溶解气体在油 、 气两相达到动态平衡状态后， 取其气相中的气 体，利用具有热导池和氢火焰离子化鉴定器的气相色谱仪进行分 析， 然后根据分配定律计算出油中溶解的气体浓度。对于新安装或 运行中无内部故障变压器测定油中含气量时，一般只计入 O2、 N2、 CO 和 CO2 等气体之和。 当运行中变压器内部存在严重故障时， 则应 将氢、 烃类气体均一起计入总含气量中。 DL/T 703-1999 推荐的方法具有灵敏度高， 重复性好的优点， 但 需另备一套气相色谱系统， 这是不经济的。鉴于油中气体总含量测 定与油中溶解气体分析一般是同时取样， 而且二者均采用震荡脱气 和色谱分析法， 因此实际应用中应该把他们结合起来， 一次完成全 分析。实际上只要 DGA 色谱分析系统能够分离分析包括 O2、 N2 在 内的九中油中气体， 就能完成油中故障特征气体含量的总气量及其 O2/N2 比的分析计算。这既节约实验成本， 也有利于对设备内部状态 进行综合判断。 最后说明总气量的判断标准。 绝缘油中总含气量作为一个质量 指标是随着变压器向超高压、 大容量发展而提出的， 其目的是监控 运行中超高压、 大容量变压器， 使之不存在产生气泡的危险。 1976 年 国际大电网会议认为，当含气量在 3%以下时，产生气泡的危险很 小， 因此， 建议采用如下标准， 并与含水量互相协调： 对电压等级为 151kv 变压器含气量要求在 2%以下； 对电压等级为 275kv 变压器含 气量要求在 1% 以下；对电压等级为 500kv 变压器含气量要求在 0.5%以下。 我国对于变压器油中含气量，已对投入运行前 330kv 和 500kv 变压器做出了明确的规定 （见下表 ） 。虽然对 500kv 运行中变压器油 暂未做明确规定， 但一般均控制在 2%以下。对于 110kv 和 220kv 封 闭式变压器， 目前国内亦无明确的要求， 但实践表明， 这些设备运行 中油的含气量控制在 3%， 甚至更低是完全可行的， 也是必要的。 附表 对油中含气量的要求
a 0 b x x
） 式可写为 所以， （9
f (t ) dt (x