对牛顿迭代法及改进的总结

1.简化 Nowton 迭代法
因为 f ′(x) 的计算较为复杂,将 f ′(x) 用 f (x0) 来代替,则有
xk+1 = xk －
f
f ′(
(xk) xk + 1)
（k=0,1,2……）
改为
xk+1 = xk －
f (xk) f ′(x0)
（k=0,1,2……）
（5）
迭代函数为
ϕ(x) = xk －
个根 3 ，若要求其它根，则要另选初值。 通过试探性地改变初值，有
对牛顿迭代法及改进的总结
科技信息
内蒙古化工职业学院 李慧敏 王晓燕
［摘 要］本文总结了牛顿迭代法及它的收敛性质,对几个经典的牛顿迭代法的改进做出了总结，并通过例题将它们做了比较。 ［关键词］牛顿迭代法 收敛阶 改进 比较 收敛速度
牛顿迭代法（Newton's method）又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-
需要计算，其迭代格式为
xk+1 = xk -
f (xk) c
（7）
证明：根据局部收敛定理中的局部收敛条件可以得到：
| ϕ'(x) | ≤ L < 1 ，∀ x ∈[a - δ,a + δ]
当常数 c 满足 0 <
f
'(x) c
<
2
时迭代格式（7）收敛。
3.Nowton 下山法
在讨论牛顿法的收敛条件时，都要假定初始值 x0 要充分的靠近 x*
顿法做出了一些改进，在本文中如文献[1]。为此，本文总结了几类经典
的牛顿迭代法的改进，并且举例做了比较。数值结果是由 QB 程序得
到。
一、牛顿（Newton）法 牛顿（Newton）法是求非线性方程 f (x) = 0 的根的一种重要方法，其
基本思想是将非线性方程转化为线性方程来求解。
设 f (x) 连续可微，则将 f (x) 在 x0 处 Taylor 展开，
时才能保证收敛并且牛顿（Newton）迭代对初值的要求很高。为了放宽
初值的选取范围，我们采取如下迭代格式。
xk+1 = xk
- λk
f (xk) f ′(xk)
（8）
其中 0 ≤ λk ≤ 1 称为下山因子。可通过适当选取下山因子 λk ，使得
| f | (xk +1) < | f (xk) | 成立。上述迭代方法称为下山 Newton 法。通常,下山
（3）
从而有
ϕ'(x)
=1
-
[
f
'(x)2 - f (x)⋅f [ f '(x)]2
''(x)]
=
f (x)⋅ f ''(x) [ f '(x)]2
（4）
如 果 在 方 程 f (x) = 0 的 根 x* 的 某 个 邻 域 内 f '(x) ≠ 0 ，从 而
f '(x*) ≠ 0 ，即 x* 是单根的情况，f ''(x) 存在并连续，从而有界。则只要
Raphson method），它是牛顿在 17 世纪提出的一种在实数域和复数域上
近似求解方程的方法。大多非线性数方程不存在求根公式，因此求精
确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。 方法级数的前面使用函数 f (x) 的泰勒几项来寻找方程 f (x) =0 的根。 牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程 f (x) =0
x 足够靠近 x* ，从而 | f (x)| 足够靠近 0，就有 | ϕ(x)| ≤ L < 1 ，又根据收敛
性定理，可知，牛顿迭代公式收敛于 x* ，并由 f (x*) = 0 导致 ϕ(x*) = 0 又
根据收敛阶判定定理，可知牛顿迭代公式在单根附近至少是 2 阶收敛
的。
三、牛顿 Nowton 迭代法的改进
因 子 可 用 试 选 法 确 定 。 比 如 ，依 次 取 λk = 1,12,212,⋯ ，直 到 满 足
| f | (xk +1) < | f (xk) |
例如：容易验算，x33 - x = 0 方程有三个根 - 3 ，0 ， 3 ，虽然初值 x0 = -0.99 在前两个根 - 3 ，0 之间，但下山 Newton 法最后收敛于第三
作 f (x) 的切线，其切线方程为 y- f (x) = f '(x0)（ x -x0），此切线与轴交
点就是
x1 = x0 -
f (x0) f ′(x0)
（2）
如图 1。
图 1 牛顿迭代法的几何意义
二、牛顿 Newton 迭代法的收敛性
牛顿迭代公式作为不动点迭代，其迭代函数为
ϕ(x) = x -
f (x) f '(x)
f (xk) f ′(x0)
（6）
并称其为简化牛顿 Nowton 迭）上的点（ xk ，f (xk)）且斜率为 f '(x0) 的
切线方程是
y－ f (xk) = f ′(x0) ( x - xk ),
有时也称这种方法为平行切线法。
简化牛顿迭代法收敛的证明过程如下
x
,
由迭代法的思想将上式左端 x 记为 x1 ，便得到
x1 = x0 -
f (x0) f ′(x0)
一般地有
xk+1 = xk -
f (xk) f ′(xk)
（1）
并称其为 Newton 迭代公式（自然假定 f '(xk) ≠0）
牛顿（Newton）迭代法的几何意义是：当取初始 x0 值后，过 (x0,f (x0))
证
设 c=
1 f ′(x0)
，此时迭代函数 Φ(x) = x - cf (x) ,
| | | Φ′(x) ＝ |1－cf '(x) ≤ L＜1。
即取 0＜ cf '(x) ＜2 与 c 同号，此时迭代法收敛。
2.推广的简化牛顿迭代
对于（5）来说，如果将 f '(x0) 用某个常数 c 取代，则一次导数值都不
的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根。
在求非线性方程式时，它除了具有简单的迭代法的优点外，还具有二阶
收敛速度（在单根邻近处）的特点。缺点是牛顿（Newton）法每迭代一步 都要计算 f (xk) 及 f '(xk) ，且初始值选取比较苛刻（必须充分靠近方程
的根），否则也可能不收敛。为了克服这些缺点很多数学工作者对牛
f (x) =
f (x0) +
f '(x0)（ x -x0）+
f
'' ( x 0) 2!
(x
-
x0)2
+
……
只要 f '(x0) ≠0，取其线性部分近似替代 f (x) ，便得 f (x) =0 的近似
方程：
f (x) ≈ f (x0) + f '(x0)（ x -x0）= 0
即 x = x0 -
f (x0) f ′(x0)