不动点迭代法
7.2 迭代法及其收敛性
k4.1045
1/ 2
表 7.2.1 用不动点迭代法计算例7.2.1的结果
0 (a) 1.5 -0.625 6.447 -378.2 5.3697e7 -1.547e23 (b) 1.5 0.912871 2.454577 (c) (d) (e) 1.5 1.5 1.5 1.241638702 1.333333333 1.365079365 1.424290116 1.305205188 1.387624336 1.332682451 1.370291856 1.344991115 1.362217505 1.350582520 1.358732441 1.355350555 1.354767869 1.355301399 1.355384418 1.355301398 1.355288480 1.355303407 1.355301085 1.355301446 1.355301390
*
k
xk x L x0 x L max x0 a , b x0 ,
* k * k
从而 7.2.4 成立.
再由 7.2.3 , 对m k 1, 我们有
x m x k x m x m 1 x m 1 x m 2 x k 1 x k x m x m 1 x m 1 x m 2 x k 1 x k Lm 1 x1 x0 Lm 2 x1 x0 Lk x1 x0 Lk x1 x0 1 L L2 Lm k 1 .
(7.2.1)
其中 ( x )为连续函数,其取法不唯一,例如可取
方程(7.2.1)的解称为函数 ( x )的不动点, 求方程 (7.2.1)的解的问题称为不动点问题.
非线性方程求跟—不动点迭代法(新)
非线性方程求根——不动点迭代法一、迭代法的基本思想迭代法是一种逐次逼近的方法，用某个固定公式反复校正根的近似值，使之逐步精确化，最后得到满足精度要求的结果。
例：求方程x 3-x -1=0 在x =1.5 附近的一个根。
解：将所给方程改写成31x x =+假设初值x 0=1.5是其根，代入得33101 1.51 1.35721x x =+=+=x 1≠x 0，再将x 1代入得33211 1.357211 1.33086x x =+=+=x 2≠x 1，再将x 2代入得33321 1.330861 1.32588x x =+=+=如此继续下去，结果如下：k x kk x k 01234 1.51.357211.330861.325881.324945678 1.324761.324731.324721.32472仅取六位数字，x 7与x 8相同，即认为x 8是方程的根。
x *≈x 8=1.32472这种逐步校正的过程称为迭代过程。
这里用的公式称为迭代公式，即311k k x x +=+k =0,1,2,……若x *满足f (x*)=0，称x *为ϕ(x )的一个不动点。
将连续函数方程f (x )＝0改写为等价形式：x=ϕ(x )，其中ϕ(x )也是连续函数。
1()k k x x ϕ+=(k =0,1,……)不动点迭代法就是指以迭代格式二、不动点迭代法进行迭代求解的方法。
其中ϕ(x )称为迭代函数。
三、不动点迭代法的实现——MATLAB程序function[root,n]=stablepoint_solver(phai,x0,tol) if(nargin==2)tol=1.0e-5;enderr=1;root=x0;n=0;while(err>tol)n=n+1; %迭代次数r1=root;root=feval(phai,r1); %计算函数值err=abs(root-r1);end程序应用示例：function testmain% x^3-x-1=0% =>x^3=1+x% =>x=(1+x)^(1/3)ph=inline(‘(1+x)^(1/3)’,’x’);[root,n]=stablepoint_solver(ph,1)运行结果：root=1.3247n=8若对任意x 0∈[a , b ]，由不动点迭代格式lim *k k x x →∞=则称迭代过程收敛，且x *=ϕ(x *)即f (x*)=0，x *为不动点。
不动点迭代法及其收敛定理
收敛速度取决于迭代函数在不动点附近的性质，如导数的大 小和符号等。
不动点迭代法的收敛定理
存在唯一不动点的定理
如果迭代函数在某个区间上单 调，那么该区间上存在唯一的
不动点。
收敛定理
对于任意初值$x_0$，迭代序 列$x_{n+1}=f(x_n)$会收敛到
不动点，当且仅当存在常数 $k$使得$|f'(x)| leq k < 1$在 包含不动点的某个区间上成立。
算法的改进和优化
改进现有不动点迭代法
研究现有方法的不足之处，并提出改进方案 ，以提高收敛速度和稳定性。
开发新的不动点迭代法
基于新的数学原理和方法，开发新的不动点迭代法 ，以解决现有方法无法解决的问题。
实现不动点迭代法的并行 化和分布式化
研究如何利用并行计算和分布式计算技术， 提高不动点迭代法的计算效率和可扩展性。
这种方法是将求解区域划分为粗细不 同的网格，并在每个网格上应用不动 点迭代法，以加速收敛。
改进迭代格式
修正不动点迭代法
通过引入修正项，改进不动点迭 代法的格式，以提高收敛速度和 稳定性。
广义极小残量法
这种方法是在不动点迭代法的基 础上，引入残量概念，并构造出 新的迭代格式，以提高求解非线 性方程组的精度和稳定性。
松弛法
粗细网格结合法
通过选择适当的迭代矩阵，可以加速 不动点迭代法的收敛速度。常用的加 速迭代法包括预条件迭代法和共轭梯 度法等。
松弛法是一种通过引入松弛因子来调整迭代矩 阵的方法，以加快收敛速度。常用的松弛法包 括SOR（Successive Over-Relaxation）方法 和SSOR（Symmetric Successive OverRelaxation）方法等。Part05不动点迭代法的未来研究方向
函数迭代与不动点迭代法
函数迭代与不动点迭代法函数迭代和不动点迭代法是数值分析中常用的数值迭代方法，用于求解方程或优化问题。
它们在不同的应用领域都有广泛的应用，并且具有简单易懂、易于实现等优点。
本文将介绍函数迭代的基本原理和步骤，并详细介绍不动点迭代法的定义、性质以及求解过程。
函数迭代函数迭代是一种基本的数值迭代方法，用于求解非线性方程或优化问题。
它的基本思想是通过多次迭代，使得每次迭代得到的结果趋近于方程的根或优化问题的极值点。
函数迭代的基本步骤如下：1.选择一个初始值x0作为迭代的起点。
2.根据迭代公式x n+1=f(x n)，计算出下一个迭代点x n+1。
3.判断是否达到迭代的停止条件。
如果满足停止条件，则输出近似解x n+1；否则，返回第2步。
函数迭代的收敛性与迭代函数f(x)的选择密切相关。
如果函数迭代收敛，即x n收敛于方程的根或优化问题的极值点，那么我们可以通过多次迭代得到近似解。
反之，如果函数迭代发散或者收敛速度非常慢，那么我们需要考虑其他的数值方法。
不动点迭代法不动点迭代法是函数迭代的一种特殊形式，它通过将方程转化为f(x)=x的形式，求解方程的根或优化问题的极值点。
不动点迭代法的基本思想是选择一个适当的迭代函数g(x)，通过迭代公式x n+1=g(x n)，不断迭代，直到找到满足f(x)=x的不动点。
不动点迭代法的步骤如下：1.将方程f(x)=x转化为g(x)=x的形式，即f(x)=x等价于g(x)−x=0。
2.选择一个初始值x0作为迭代的起点。
3.根据迭代公式x n+1=g(x n)，计算出下一个迭代点x n+1。
4.判断是否达到迭代的停止条件。
如果满足停止条件，则输出近似解x n+1；否则，返回第3步。
不动点迭代法的关键是选择合适的迭代函数g(x)。
迭代函数g(x)应该满足以下条件：1.在方程f(x)=x的根或优化问题的极值点附近，迭代函数g(x)的导数g′(x)存在且连续。
2.在方程f(x)=x的根或优化问题的极值点附近，满足|g′(x)|<1。
浅谈用不动点迭代法求解非线性方程解的教学方法
浅谈用不动点迭代法求解非线性方程解的教学方法
不动点迭代法是求解非线性方程的一种有效的解法，它的核心思想是：通过迭代，使得方程的某个特定解变得更加接近，最终达到收敛的程度，从而得到最终的解。
一、教学目标
1、让学生了解不动点迭代法的基本原理；
2、让学生能够熟练使用不动点迭代法求解非线性方程；
3、让学生能够分析不动点迭代法的收敛性，并能够给出合理的迭代步骤。
二、教学步骤
1、讲解不动点迭代法的基本原理：
首先，教师应给学生讲解不动点迭代法的基本原理，包括它的定义、其基本思想、应用场景等。
2、提供实例：
然后，教师可以提供一些简单的实例，让学生熟悉不动点迭代法的使用，并能够熟练求解。
3、分析收敛性：
最后，教师可以让学生分析不动点迭代法的收敛性，并给出合理的迭代步骤，以便更好地求解非线性方程。
三、教学评价
教学评价主要是通过实例检验学生对不动点迭代法的掌握情况，以及分析收敛性的能力，以便更好地指导学生掌握不动点迭代法。
§2 不动点迭代
(2.7)
则称该迭代法为Q-超线性收敛．
现在来讨论迭代法(2.5)的收敛性和收敛速度问题． 若存在 x* R n ,使得
x* ( x* ),
n n 则称 x* 为映射 : R R 的一个不动点.例如, : R R 定义为 ( x) x 2 ,
f ( x) 0,
其中
(2.2)
x1 f1 ( x1 , , xn ) 0, f1 ( x) 0, x f ( x , , x ) 0, f ( x) 0, 2 n 2 . x , f ( x) 2 1 x f ( x , , x ) 0 f ( x ) 0 n n n 1 n
0,
从而有
f ( x0 x) f ( x0 ) f ' ( x0 )(x).
* * 设 x 是非线性方程组 f ( x) 0 的一个解,x0 是 x* 的一个近似.令x x x0 ,
则
f ( x0 ) f ' ( x0 )(x* x0 ) 0.
现考虑线性方程组
由于 0 C 1 ,因此 再据不等式
lim xk x* .
k
xk 1 x * C xk x * ,0 C 1,
知,迭代序列 {xk }至少为线性收敛.
关于不动点的存在唯一性以及误差估计,我们有下面的定理． 定理2( 压缩映射原理 ) 射,即它满足条件： 设D为 R n 中的一个闭集 : D D 为压缩映
还有另一个不动点 y* ,则据(2.13)式,必有
x* y * ( x* ) ( y * ) C x* y * .
6.2不动点迭代法及其收敛定理.docx
第6章方程与方程组的迭代解法§6.2不动点迭代法及其收敛定理将非线性方程/（X）= 0化为一个同解方程X = 0（兀） (2)并且假设旗兀）为连续函数任取一个初值兀。
，代入（2）的右端,得= 0（兀0 ）继续兀2=0（兀1）X* = <p（x k）（k =0,12…•>⑶称0(兀)为迭代函数,称叫为第&步迭代值 如果存在一点兀*,使得迭代序列｛乜｝满足(4)例1 •用迭代法求解方程2x 3-x-l = O 解:(1)将原方程化为等价方程limx^ =兀 *ksx = 2x3— 1如果取初值兀。
=0,由迭代法(3),得(2)如果将原方程化为等价方程V 妙仍取初值兀0=。
書 «0.79371'7^37依此类推，得 x2 = 0.9644x3 = 0.9940x4 = 0.9990 x5 = 0.9998 x6= 1.0000 x7 = 1.0000迭代函数的构造有关 已经收敛，故原方程的解为x —1.0000什么形式的迭代法 能够收敛呢？迭代过程的收敛性定理1设迭代函数卩⑴在SQ上连续，且满足(1)当兀〃耐,a ＜卩(兀)V";(2)存在一正数L,满足Ovtvl,且有I 03 E L------- (5)则1。
・方程r=0(x)在也上呐有唯一解兀*2。
.对于任意初值To e[a,b],迭代法％1 =卩(比)均收敛于**3°. x k—x^ <X, — X *L1-L< ---------一(局部收敛性)--(6)77)设f (x) = x - ^>(x),则/(兀)在⑷勿上连续可导由条件(1) /(a) = a- 0(Q)< 0/(Z?) = b —(p(b) > 0由根的存在定理，方程/(兀)=0在［°力］上至少有一个根证：由| 0‘(x) \< L<1f\x)^l-cp\x) >0贝在［%］上单调递增，/(%) = 0在［%］上仅有一个根所以1°.方程% =(p{x)在［%］内有唯一解X*2°.对于迭代法x k+1 =（p（x k\由微分中值定理| x k+1— X*— 0（耳）—0（h） =（p\^）（x k—x*）兀上+1 —X尸0（耳）—0（忑一1） =0（己）（耳—耳一1）由于|0（兀）\<L耳+1—血I — 4耳—耳一1V丨妙X k+l ~ X k 3 LXk—耳-1-x*< Lx k—x^-LXk+i _ 兀 * 一(忑+1 —<L|x,+1-x*| + L|(x,+1忑+1—兀法X k+1 ~ X k3匸步1-对由于乙 < 1, lim （忑- %*） = 0ks因此对任意初值兀0/迭代法忑+1 = 0（耳）均收敛于兀*Z?< X, — x n 1-L 1°证毕.< ------ 1-LL 21-LXk - X k-1X k-1 ~ Xk-2Xk —X 決L< ------1-LXk - ^-1定理1指出,只要构造的迭代函数满足I 0(%) 乙v 1 迭代法忑+产0(忑)就收敛对于预先给定的误差卩匪即要求I忑-，只要L1-L因此，当丨忑—耳- 迭代就可以终止,忑可以作为方程的近似解x k ~ X k-1,' —L〜< ----------- S〜定义1：如果存在/的某个邻域R.x-x <,5使迭代过程x k+l =（P（"）对于任意初值X。
李雅普诺夫第一方法和第二方法
李雅普诺夫第一方法和第二方法李雅普诺夫第一方法，也称为不动点迭代法或迭代法。
这种方法基于一个重要的定理，即如果函数g(x)在给定区间[a,b]上连续，并且对于这个区间上任意的x，都有g(x)在[a,b]内的闭区间上有g(x)∈[a,b]，那么在这个区间上存在唯一的不动点c，满足c=g(c)。
所谓不动点，即函数g(x)的值等于其自变量x的值。
李雅普诺夫第一方法的核心思想是通过迭代计算不动点c的近似值，即x_n+1=g(x_n)，不断逼近真实的解。
迭代的过程中，从一个初始值x_0开始，通过将x_0代入g(x)得到新的近似值x_1，再将x_1代入g(x)得到新的近似值x_2，以此类推，直到达到预定的精度要求或者迭代次数时停止迭代。
具体地，李雅普诺夫第一方法的步骤如下：1.选择一个合适的初始值x_0。
2.根据迭代公式x_n+1=g(x_n)计算x_1,x_2,...,x_n，直到满足停止条件。
3.如果满足停止条件，则该迭代过程收敛于不动点c，并且c是非线性方程的实根的一个近似解。
李雅普诺夫第二方法，也称为牛顿迭代法，是一种更加高效的求解非线性方程的数值计算方法。
牛顿迭代法的基本思想是利用函数的局部线性近似来逼近非线性方程的根。
根据泰勒级数展开，可以将非线性方程f(x)=0在一些近似解x_n的邻域中展开成一个一次项和高阶项的级数。
利用一次项的值来逼近非线性方程的解，可以得到迭代公式x_n+1=x_n-f(x_n)/f'(x_n)，其中f'(x_n)代表函数f(x)在x_n处的导数值。
具体地，李雅普诺夫第二方法的步骤如下：1.选择一个合适的初始值x_0。
2.根据迭代公式x_n+1=x_n-f(x_n)/f'(x_n)计算x_1,x_2,...,x_n，直到满足停止条件。
3.如果满足停止条件，则该迭代过程收敛于非线性方程的实根，并且x_n是方程的一个近似解。
与李雅普诺夫第一方法相比，李雅普诺夫第二方法的优点在于收敛速度更快。
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中国矿业大学（北京）理学院
数值分析实验报告
实验名称 不动点迭代法求方程的近似根 实验时间 201年3月20日
组长签名
龙纯鹏 班级 信息与计算
科学（1）班
学号
11107200110 成绩
组员签名
11107200101
11107200102
11107200103 11107200119
11107200120
一、实验目的，内容 二、相关背景知识介绍 三、代码
四、数值结果 五、计算结果的分析 六、计算中出现的问题，解决方法及体会 一、实验目的，内容
5、先确定方程x e x 51=
的一个收敛的有根区间[a,b], 然后用不动点迭代法求x
e x 5
1=在此有根区间的近似根,初值0x 自己确定,要求根精确到510-,并求迭代次数. ，掌握二分法，会编写相关代码。
二、相关背景知识介绍
（1）算法原理或计算公式
二分法的基本思路是通过计算隔根区间的中点，逐步将隔根区间缩小，从而可得方程
的近似根数列{}n x 。
ε<-≤-+1*2
k k a
b x x
（2）程序设计思路 二分法原理：
不妨设方程0)(=x f 在隔根区间],[b a 上.0)(,0)(><b f a f . (1)将区间],[b a 二分得中点
2
b a +,计算)(x f 在中点的函数值)2(b a f +，若0)2(=+b
a f ，则2
b
a x +=
*就是方程的根； 否则,若0)2(<+b a f ,由于)(x f 在]2,[b a a +内不变号，所以隔根区间变为],2
[b b
a +.同理，若0)2(>+
b a f , 隔根区间变为]2
,[b a a +.将新区间记为[]11,b a .
(2)将[]11,b
a重复上述步骤(1).得到一系列隔根区间：
[][][]⋯⋯⊃⊃⋯⋯⊃⊃k k b b a b ,a ,,a 11
并有),(,0)(f )(f *k k k k b a x b a ∈<*，且后一区间的长度都是前一区间长度的一半，所以[]k k b ,a 的长度为)(,2
∞→-=
-k a
b a b k k k ，区间[]k k b ,a 的长度趋向于零，即这些区间最终收缩于一点*x ，
显然*x 就是方程0)(=x f 的根。
三、代码（Matlab ） clear x0=1
e=10^(-5) k=1
x1=sqrt(0.2*e^x0)
while (abs(x0-x1)>e) k=k+1 x0=x1
x1=sqrt(0.2*e^x0) end x0
x0 = 0.1753 x1 = 0.1630 k = 100
x0 = 0.1630 x1 = 0.1750 k = 101
x0 = 0.1750 x1 = 0.1633 k = 102
x0 = 0.1633 x1 = 0.1747 k = 103 x0 =
0.1747 x1 = 0.1636 k = 104
x0 = 0.1636 x1 = 0.1744 k = 105 x0 = 0.1744 x1 = 0.1639 k = 106
x0 = 0.1639 x1 = 0.1741
k = 107
x0 = 0.1741 x1 = 0.1642 k = 108
x0 = 0.1642 x1 = 0.1738 k = 109
x0 = 0.1738 x1 = 0.1644 k = 110
x0 = 0.1644 x1 = 0.1735 k = 111
x0 = 0.1735 x1 = 0.1647 k = 112
x0 = 0.1647 x1 = 0.1733 k = 113
x1 =
0.1653
k =
118
x0 =
0.1653
x1 =
0.1727
k =
119
x0 =
0.1727 x1 =
0.1655 k =
120
x0 =
0.1655 x1 =
0.1725 k =
121
x0 =
0.1725 x1 =
0.1657 k =
122
x0 =
x1 =
0.1666 k =
134
x0 =
0.1666 x1 =
0.1714 k =
135
x0 =
0.1714 x1 =
0.1668 k =
136
x0 =
0.1668 x1 =
0.1712 k =
137
x0 =
0.1712 x1 =
0.1669 k =
138
x0 =
0.1669 x1 =
0.1711 k =
139
x0 =
0.1711
x1 =
0.1670 k =
140
x0 =
0.1670 x1 =
0.1710 k =
141
x0 =
0.1710 x1 =
0.1671 k =
142
x0 =
0.1671
x1 =
0.1709 k =
143
x0 =
0.1709 x1 =
0.1672 k =
144
x0 =
0.1672 x1 =
0.1708 k =
145
x0 =
0.1708
x1 =
0.1673 k =
146
x0 =
0.1673 x1 =
0.1707 k =
147
x0 =
0.1707 x1 =
0.1674 k =
148
x0 =
0.1674 x1 =
x1 =
0.1676
k =
154
x0 =
0.1676
x1 =
k =
158
x0 =
0.1678
x1 =
0.1702
k =
159
x0 =
0.1702
x1 = 0.1679
k =160
x0 = 0.1691 x1 = 0.1689 k = 250
x0 = 0.1689 x1 = 0.1691
k = 251
x0 = 0.1691
x1 = 0.1689
k = 252
x0 = 0.1689
x1 = 0.1691
k = 253
x0 = 0.1691
x1 = 0.1689
k = 254
x0 = 0.1689
x1 = 0.1691
k = 255
x0 = 0.1691
x1 = 0.1689
k = 256
x0 = 0.1689
x1 = 0.1691
k = 257
x0 = 0.1691
x1 = 0.1689
k = 258
x0 = 0.1689
x1 = 0.1691
k = 259
x0 = 0.1691
x1 = 0.1689
k = 260
x0 = 0.1689
x1 = 0.1691
k = 261
x0 = 0.1691
x1 = 0.1690
k = 262
x0 = 0.1690
x1 = 0.1691
四、数值结果
k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x 0.50000.75000.62500.68750.65630.64060.64840.64450.6426
k 10 11 12 13 14 15 16 17
x 0.6416 0.6411 0.6414 0.6412 0.6412 0.6412 0.6412 0.6412
f =
-5.4870e-006
k =
17
五、计算结果的分析
这个方程运用二分法求得四位有效数字的解为x=0.6414。
图一
六、计算中出现的问题，解决方法及体会
1.刚开始设计程序，出现死循环，无法得出结果，要经过不断调试。
2.不熟悉Matlab的用法，导致解决问题效率下降，要学好相关基础知识。
3.由图一可以看出二分在区间很大时，收敛接近根的速度很快，而当区间较小时，靠近要求精度根速度变得相当缓慢，计算量也很大，对满足高精度的要求比较困难。
我们想象此法可以和别的后半段接近根较快的方法结合，先求出适用于别的方法的初值，应当会优化算法。
教
师
评
语指导教师：
2013 年 3 月 12 日。