第8章 数字信号处理的实现与应用举例

第8章 思考题参考解答 1．描述数字信号处理算法顺序中，如果每个方程左边的变量不需要该方程下面方程左边变量的结果，则该数字信号处理算法可以形成有效的计算算法，也就是说该算法描述的方程组是可计算的，该算法具有可计算性。反之，则不是有效的计算算法，描述算法的方程组不具有可计算性。 2．(1)因为延时支路的输出结点变量是前一时刻以存储的数据，是已知的，这一特性输入结点相同，所以将延时支路和输入结点都作为变量起始结点，并将输入结点和延时支路的输出结点都排序为k=0。若延时支路的输出结点还有一输入支路时，如图8-1(a)所示，则给延时支路的输出结点专门分配一个结点，如图8-1(b)所示。

(a)延时支路含有输入支路的输出结点 (b)延时支路含有输入支路的输出结点的处理方法 图8-1延时支路的输出结点含有输入支路的处理

(2)从k=0的结点开始计算，所有能用k=0结点计算的结点排序为k=1。 (3)所有能用结点k=0和k=1计算的结点排序为k=2。 (4)以此类推，直到完成全部结点的排序。 (5)最后根据以上排序的次序，写出运算和操作步骤。 3．不论是用专用数字硬件，或是用通用计算机的软件实现，其数字信号处理系统的有关参数以及运算过程中的结果总是以二进制的形式存储在有限字长的存储器中的，显然其精度必定是有限的。如果要处理模拟信号，需要先将其经过采样及模数变换成有限字长的数字信号，必然是有限精度的，必然带来一定的误差。 有限字长引起的误差效应主要有三种： (1)输入信号的量化效应； (2)系统的量化效应； (3)数字运算过程中的有限字长效应等三个来源。 其次，上述三种误差还与系统结构形式、数的表示方法、字的长短以及位数的处理方法有密切的关系。通常分别对三种效应进行分析，以计算出它们的影响，避免综合起来分析的困难。 4．满足叠加定理的系统是线性系统。对模拟信号进行采样、量化和乘加运算的数字系统是线性因果稳定系统。因为仅满足线性性质的系统如果不具备因果性则无法实现，不具备稳定性则系统无法稳定运行。 5．在A/D变换之前要让信号通过一个低通滤波器是为了是被A/D变换器采样量化的信号满足采样定理，否则所得采样信号会有频率混叠，无法恢复原信号；在D/A变换之后要让信号通过一个低通滤波器是为了滤除信号中的高频干扰，以获得平滑模拟信号输出。 6．在D/A变换器输出端串联的”平滑滤波器”是低通型的滤波器，起滤除高频干扰，平滑输出信号的作用，故称之为平滑滤波器。

第8章练习题参考答案 - 226 - 1、由题图得系统时域方程 v’1(n)=x(n)+a1v2(n)，v1(n)=v’1(n-1)，v2(n)=v1(n)+v3(n)，v3(n)=a1b1v2(n-1)+ a2b2v4(n-1) v4(n)=v3(n)+v5(n)，v5(n)= a2b3v4(n-1)+a3b3v5(n-1)，y(n)=a0x(n)+v1(n) 这组方程描述的不是一种有效算法。该滤波器结构的矩阵为





)1()1()1()1()1()1()1('000000000000000000000000000000000000010000000)()()()()()()('0000010000000100101000000000000010100000000000000)(000001)()()()()()()('543211333222115432110543211nynvnvnvnvnvnvbabababanynvnvnvnvnvnvnxanynvnvnvnvnvnv

上式中，方程右边向量[v’1(n)，v1(n)，v2(n)，v3(n)，v4(n)，v5(n)，y(n)]T的系数矩阵 



0000010000000100101000000000000010100000000000000F

因为F对角线上有非零元素，所以上述方程组从上到下的计算顺序是不可计算的，即不是一种有效算法。若将第3行与第4行交换，第5行与第6行交换，则新的计算顺序是一种有效算法。 2、由题图得系统时域方程 v1(n)=b1[a1v2(n-1)+a2v4(n-1)+a3v6(n-1)]，v2(n)=v1(n)+x(n)，v3(n)=a2b2v4(n-1)+a3b2v6(n-1) v4(n)=v2(n)+v3(n)，v5(n)=a3b3v6(n-1)，v6(n)=v4(n)+v5(n)，y(n)=a0x(n)+a1v2(n)+a2v4(n)+a3v6(n) 这组方程描述的是一种有效算法。该滤波器结构的矩阵为





)1()1()1()1()1()1()1(000000000000000000000000000000000010000)()()()()()()(0000001100000000000000110000000000000010000000)(000010)()()()()()()(654321333233221123221312116543213210654321nynvnvnvnvnvnvbabababababababababanynvnvnvnvnvnvaaanxanynvnvnvnvnvnv

由上式可得 



0000001100000000000000110000000000000010000000321aaaF

因为系数矩阵F对角线上全为零元素，所以上述方程组从上到下的计算顺序是可以计算的，即是一种有效算法。 - 227 - 3、参考练习题2的解答。 4、分析练习题1和练习题2所列差分方程组可以了解其可实现性(可计算性)。因为如果要计算某一特定信号(变量)的当前值，则须确定矩阵F(差分方程组等式右边第1个方阵)和G(差分方程组等式右边第2个方阵)相应行的非零项对应的变量值。若矩阵F中的对角线元素非零，则计算其相应的变量需要改变量本身的值，这说明存在一个无延时环，该结构是完全不可计算的。在矩阵F的对角线上方的元素表明相应变量与其它变量的计算关系，同一行存在非零项意味着计算相应变量需要知道其它未计算出的变量，这也使这组方程不可计算。综上所述，为使方程可计算，矩阵F的对角线以及对角线以上的所有元素应为零。 在练习题1差分方程组中，因为对角线以上有非零元素说明在此结构是不可计算的。 在练习题2差分方程组中，因为对角线以上全为零元素，说明在此结构中没有无延时环，对角线元素是可计算的。但矩阵F的对角线上方第一行和第二行存在非零项，说明方程组(9-2) 的计算顺序排列是不合适的。 为使练习题2方程组可计算，调整方程组排列顺序得以下方程组，其矩阵表示为





)1()1()1()1()1()1(000000000000000000000000100000001000)()()()()()(0000100000001000000000000000000000)(00)()()()()()(421534215342153nwnynwnwnwnwnwnynwnwnwnwdbecanxnwnynwnwnwnw

通过上述可计算性检验所得方程组是可计算的。 5、设三阶因果IIR数字滤波器的系统函数为

33221133221101)()()(zazazazbzbzbb

zAzB

zH

则根据其单位脉冲响应h(n)可得 0)()(nnznhzH

比较上述所得两式，得B(z)=H(z)A(z)，即B(z)在时域可表示为卷积 bn=h(n)*an 该式表示了系统函数H(z)的分子和分母系数与其单位脉冲响应之间的关系。对于三阶因果IIR数字滤波器来说，总共有7个系数确定系统。通过式bn=h(n)*an可以得到。利用该式可得对应n=0,1,…,6共7个方程如下 b0=h(0) b1=h(1)+h(0)a1 b2=h(2)+h(1)a1+h(0)a2 b3=h(3)+h(2)a1+h(1)a2+h(0)a3 0=h(4)+h(3)a1+h(2)a2+h(1)a3 0=h(5)+h(4)a1+h(3)a2+h(2)a3 0=h(6)+h(5)a1+h(4)a2+h(3)a3 该方程组可以写成矩阵型式