信号与系统作业第八章
《信号与系统》第8章
) RC
(is
(t
)
iL
(t
))
经整理：
x1
(t
)
x2
(t
)
0
1 L
x1 (t )
1 C
RC L
x2 (t) RL x2 (t)
1 C
RC L
f1 (t )
f1(t)
1 L
f2 (t)
（3）建立输出方程
iuC((tt))uC
(t) iS
(t
RCiL (t) ) iL (t)
RC
iS
RC
iS
(t)
RC
iL (t)......... ...(3)
状态变量与系统输入变量的关系（状态方程）：
duC (t
dt diL (t)
)
1
dt L
uC
(t)
1 L
1 C (RL
RCiL (t) )iL 源自t)1C RC L
iS (t)(4) iS (t).........(5)
1H
x1
1F
+ -
x2
1F
i2
+
+-x3
2
u(t)
-
把该式代入上式，得：
x2
f
x1 x2 x3 (t) x2 x2
x3
x1
x3
x1
1 2
x3
x2
x3
x1 0 x2 x3 0
x2
1 3
x1
2 3
x2
1 6
x3
2 3
f (t)
x3
1 3
x1
1 3
x2
1 3
第八章-Z变换与离散系统z域分析
第八章：Z 变换§8.1 定义、收敛域（《信号与系统》第二版（郑君里）8.1，8.2，8.3）定义（Z 变换）： ♦序列()x n 的双边Z 变换：()(){}()nn X z x n x n z+∞-=-∞∑Z（8-1）♦序列()x n 的单边Z 变换：()(){}()0n n X z x n x n z +∞-=∑Z（8-2）注：1）双边：()()()()10nnn n n n X z x n zx n zx n z +∞-∞+∞---=-∞=-===+∑∑∑（8-3）为Laurent 级数，其中，()1nn x n z-∞-=-∑是Laurent 级数的正则部，()0nn x n z+∞-=∑是主部。
2）z 是复平面上的一点图8-13）对因果序列：单边Z 变换=双边Z 变换。
♦定义（逆Z 变换）：对双边Z 变换()()nn X z x n z+∞-=-∞=∑()1C1d 2j m z X z z π-⎰(1C 12j m n z x π+∞-=-∞⎡=⎢⎣∑⎰ ()C 12j m n x n z π+∞=-∞⎡=⎢⎣∑⎰由Cauchy 定理，有1C d 0,2j m n z z m nπ--=⎨≠⎩⎰ （8-4）其中，C 为包围原点的闭曲线，()()1C1d 2j m x m z X z z π-∴=⎰上式= 定义：()()(){}11C1d 2j n x n z X z z X z π--==⎰Z（8-5）注：（8-4）的求解：j z re θ=，j d j d z r e θθ=，则有()()21110C 2011d 2j 2j 1102j m n m n m n j j m n m n z z r e rje d m n r e d m nπθθπθθππθπ--------==⎧==⎨≠⎩⎰⎰⎰，，图8-2 柯西定理证明示意图收敛域： ♦定义（收敛域）：对有界()x n ，使()()nn X z x n z+∞-=-∞=<∞∑一致的z 的集合。
信号与系统_第八章 z变换、离散时间系统的z域分析
Re(z)
C是包围X(z)zn-1所有极点之逆时针闭合积分路线，通常选 择z平面收敛域内以原点为中心的圆。
➢ 求X(z)的反z变换的三种方法 ✓留数法 ✓幂级数展开和长除法 ✓部分分式展开法
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8.3 逆z变换
二、部分分式展开法求逆z变换（1）
✓ 步骤 （1）将X(z)除以z，得到X(z)/z=X1(z)； （2）将X1(z)按其极点展成部分分式（其方法与拉氏变换 的部分分式展开完全一致）；
3.x(n)为左边序列
x(n)是无始有终的序列，即当n n2 时, x(n)=0 。
X (z)
n2
x(n)
z
n
x(n)z n
jIm(z)
n
n n2
✓若n20，0z RX2
0
RX2 Re(z)
✓若n20，0z RX2
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8.2 z变换的收敛域
4.x(n)为双边序列
x(n)是从n =延伸到n = 的序列 。
（3）X(z)=zX1(z)，得到X(z)的部分分式展开式；
（4）对X(z)的每一个部分分式进行反z变换，就得到X(z) 对应的序列x(n)。
［例］求 X (z)
z2
( z 1) 的逆z变换。
(z 1)( z 0.5)
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8.3 逆z变换
二、部分分式展开法求逆z变换（2）
［例］求收敛域分别为z1和 z1 两种情况下, X (z) 1 2z 1
➢X(z)收敛域的确定必须同时依赖于 ✓ 序列的性质（有限长，右边，左边，双边） ✓ 是对x(n)进行单边还是双边z变换 ✓ X(z)的极点
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《信号与系统》第八章知识要点+典型例题
再稍作变换，写出矩阵形式的动态方程为
x 1 x 2
0 2
1 3
x1 x2
0 1
f
y 8
2
x1 x2
（8.6） （8.7）
2
3、 连续系统状态方程的求解 求解状态方程有时域解法和变换域解法两种。变换域解法比较简单，其求解步骤如下： 一 n 阶连续系统状态方程与输出方程的一般形式分别为
（8.3）
1
若式（8.3）中仅包含状态变量与输入变量，符合状态方程的标准形式，状态方程的编
写到此完成。若式（8.3）中还含有不需要的中间变量，再应用 KCL、KVL 方程消除中间变
量，整理成状态方程的标准形式。
输出方程的编写，要根据电路的具体输出情况而定。有的，可以由状态变量与输入直接
就能简便写出；有的，需要再应用某些 KCL、KVL 及欧姆定律，消除不需要的中间变量而
相连节点的 KCL 方程、电感 L 所在回路的 KVL 方程，即
ìïïïïíïïïïîiucL((t
) = C duc (t ) dt
t ) = L diL(t ) dt
=+ =+
整理以上方程组，有
ìïïïïíïïïïî
duc (t ) dt
diL (t ) dt
= =
1 C 1 L
( + ) ( + )
【分析】本题主要考察状态方程的求解。
5
【解】 故
(s)
sI
A 1
s
1
1
s 4 2
信号与系统-第八章1
2
可见用三种方法计算的结果一样。
§ 8.6 Z 变换分析法 拉氏变换 在连续系统中可以把微分方程 代数方程 在离散系统中可以把差分方程 Z 变换 代数方程
用Z变换法求离散时间系统的响应，亦可以分为
零输入和零状态两种，它们分开求亦可以和在一 起求。 一、求零输入响应 例如 一个二阶齐次差分方程 y(k 2) a1 y( k 1) a0 y(k ) 0
Z 变换
离散时间系统的频域分析
§ 8.1 引言
§ 8.2 Z 变换及收敛域
§ 8.3 Z 变换的性质
§ 8.4 常用序列的Z 变换表
§ 8.5 反Z 变换
§ 8.1 引言，§ 8.2 Z 变换及收敛域
一、引言 时域 连续：微分方程 卷积积分 变换域 付里叶变换 、 拉氏变换
离散：差分方程
卷积和
离散付里叶变换
Roc R1 Roc R2
x 2 ( n) X 2 ( z ) Roc R1 R2
则 a1 x1 ( n) a2 x2 ( n) a1 X 1 ( z ) a 2 X 2 ( z )
R1 R2 表示：R1和R2 相交的部分，但不一定变
小，亦可能扩大。
例1、求序列 a u(n) a u(n 1) 的 Z 变换。
求其反变换？
a.当收敛域Roc位于最外层极点的外边 z 1
∴x(n)必然是一个右边序列。
b.当上面的例子 Roc变成 0.5 z 1 时，
求 X ( z ) x ( n) ?
c.当上面的例子 Roc变成 求 X ( z ) x ( n) ?
z 0.5 时，
三、曲线积分法——留数法 根据复变函数的留数定理 X(z)的反变换x(n)为： 1 n 1 x ( n) X ( z ) z dz 曲线c的选择应保证 2 j c 收敛域（即包含所有的极点），以原点为中心，
信号与系统课后答案第八章作业答案后半部分
频率响应为
H
(e jΩ
)
=
H
(z)
|z = e jΩ
=
4 ⎡⎣ejΩ −1⎤⎦
3
⎡⎢⎣e
jΩ
−
1 3
⎤ ⎥⎦
经计算得极点为 p = 1 ，零点为 z = 1。 3
H（e jΩ）
（Ω）
幅频响应图（横坐标进行了归一化处理）
（c）Yx (z) =
y(−1) + 2 y(−2) + 2 y(−1)z−1 1− z−1 − 2z−2
=
8⋅ z +1⋅ 3 z−2 3
z， z +1
z
>2
其逆
z
变换即零输入响应为
yx
(n)
=
8 3
⋅
2n
u(n)
+
1 3
⋅
(−1)n
u(n)
（d）根据上面计算的零输入和零状态响应可知系统的完全响应为
f (n) = (−1)n u(n) ， y(−1) = 0 ， y(−2) = 1；
解：（1）将原式两边取单边 Z 变换得，
Y (z) −[z−1Y (z) + y(−1)] − 2[z−2Y (z) + y(−2) + y(−1)z−1] = F (z) + z−1F (z)
整理得：
Y (z)
=
题图 8-23
根据系统框图可得 h(n) = h1(n) ∗[h2 (n) + h3 (n)] ，故 h(n) = δ (n) ∗[h2 (n) + h3(n)] = u(n) + u(n − 2)
信号与系统第七、八章课后习题
N k
当
2
2．线性时不变离散时间系统 ①线性 线性=叠加性+均匀性（齐次性）
c1 x1 (n) c2 x2 (n)
系统
c1 y1 (n) c2 y2 (n)
②时不变
x(n N )
系统
y (n N )
x ( n)
1 E
y ( n)
y ( n)
a
ay(n)
单位延时
1 T D z （ ）
已知激励初始状态y(-1)=0,y(-2)=1/2, fk=2ku(k),求系统 的零输入响应,零状态响应和全响应. 解: (1) 零输入响应 根据定义,零输入响应满足方程:
yx (k ) 3 yx (k 1) 2 yx (k 2) 0
其初始状态
1 yx (1) y (1) 0, yx 2 y 2 2
x(n)(n n0 ) x(n0 )(n n0 )
n
x(n)(n) x(0) (n) x(0)
n
n
x(n)(n n ) x(n ) (n n ) x(n )
0 0 n 0 0
x ( n)
k k 零状态响应
2 1 k k k (1) (2) (2) , k 0 3 3
离散时间系统的单位样值响应
(n)
零状态系统
h( n)
单位样值响应h(n)是系统在零状态时，由单位样值信 号作用之下产生的响应。因此，它是一个零状态响应。
同样，单位样值信号δ(n)仅在n=0时刻等于1，其它时 刻δ(n)=0，因此系统在n>0时的响应是零输入响应。
信号与系统(郑君里)课后答案 第八章习题解答
=
z
z −
1
−
z
z −
2
2
当
z
>
2 时为右边序列 x (n)
=
⎡⎛ 1 ⎞n ⎢⎢⎣⎜⎝ 2 ⎟⎠
−
2n
⎤ ⎥
u
(
n
)
⎥⎦
当
z
<
0.5 时为左边序列
x(n)
=
⎡ ⎢2n ⎢⎣
−
⎛ ⎜⎝
1 2
⎞n ⎟⎠
⎤ ⎥ ⎥⎦
u
(
−n
−
1)
当 0.5 <
z
<
2 时为右边序列 x (n)
=
⎛ ⎜⎝
1 2
⎞ ⎟⎠
n
u
(
n
)
+
2n
u
(
−n
−
1)
8-18 解题过程：
因为 H ( z) =
Z ⎡⎣h (n)⎤⎦
=
z(
z−a
z
> a)
X
(z) =
Z
⎡⎣x (n)⎤⎦
=
z− z −1
( z−N +1
z −1
z
> 1)
Y ( z) = X ( z) H ( z) = z ( ) ⋅ z − z−N+1 z > 1
z − a z −1
(
2
z
)n
⎤ ⎦
∑ = 1−
∞
( 2z )n
n=0
=1− 1 1− 2z
= −2z 1− 2z
=
z
z −
1
⎛ ⎜⎝
z
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8.1 已知描述连续时间系统的微分方程和激励信号f(t)分别如所示：(4)''y(t)+5'y(t)+6y(t)=6f (t),f(t)=10cos（2t）u(t)试用MATLAB的lsim函数求出上述系统在0~10秒时间范围内的零状态响应y(t)的样值，并绘出系统零状态响应的时域仿真波形。
a=[1 5 6];b=[6];sys=tf(b,a);p=0.01;t=0:p:10;f=10*cos(2*t);y=lsim(sys,f,t)a=[1 5 6];b=[6];sys=tf(b,a);p=0.01;t=0:p:10;f=10*cos(2*t);lsim(sys,f,t)y =6.9357-0.3218-5.17264.86711.1562-5.82463.69222.7517-5.98242.22758.2用连续系统时域分析的经典方法（求解微分方程的方法）求题8.1所示系统的解析解，并与MATLAB的仿真结果进行比较，验证结果是否相同。
8.3 已知描述系统的微分方程如下，试用MA TLAB求系统在0-10秒时间范围内冲激响应和阶跃响应的数值解，并绘出系统冲激响应和阶跃响应的时域波形。
（1）''y(t)+3'y(t)+2y(t)=f (t)（4）y’’(t)+4y(t)=2f(t)(1)：a=[1 2 1];b=[1];subplot(2,1,1)y=impulse(b,a,10) %冲激信号的数值解impulse(b,a,10) %冲激信号的时域波形subplot(2,1,2)y=step(b,a,10) %阶跃信号的数值解step(b,a,10) %阶跃信号的时域波形y =0.36790.27070.14940.07330.03370.01490.00640.00270.00110.0005y =0.26420.59400.80090.90840.95960.98260.99270.99700.99880.9995（4）a=[1 0 4];b=[2];subplot(2,1,1)y=impulse(b,a,0:1:10) %冲激信号的数值解impulse(b,a,10) %冲激信号的时域波形subplot(2,1,2)y=step(b,a,0:1:10) %阶跃信号的数值解step(b,a,10) %阶跃信号的时域波形y =0.9093-0.7568-0.27940.9894-0.5440-0.53660.9906-0.2879-0.75100.9129y =0.70810.82680.01990.57280.91950.07810.43160.97880.16980.29608.4已知描述离散系统的差分方程和输入序列x(n)分别如下所示：（1）y(n)+2y(n-1)+y(n-2)=x(n),x(n)=(41n)u(n)试用MATLAB的filter函数求出上述系统在0~20时间采样点范围内零状态响应y(n)的序列样值，并绘出系统零状态响应的波形。
a=[1 2 1];b=[1];n=0:20;x=(1/4).^(n);y=filter(b,a,x)stem(n,y,'filled')title('响应序列')8.5用离散系统时域分析的经典方法（求解差分方程的方法）求题8.4所示离散系统的解析解，并与MATLAB的仿真结果进行比较，验证结果是否相同。
8.6利用MA TLAB的impz函数求下列差分方程描述的离散系统在0~20时间采样点范围内的单位序列响应和阶跃响应的数值解，绘出其序列波形图，并根据单位序列响应的时域波形判断系统的稳定性。
（2）y(n)-y(n-2)=x(n)单位序列响应：a=[1 0 -1];b=[1];y=impz(b,a,0:20)impz(b,a,0:20)title('y(n)-y(n-2)=x(n)')axis([0 20 0 1.5])y =11111111111因为这个系统一直是0，1变换，故这个系统是稳定的。
8.7已知LTI离散系统的单位序列响应h(n)和激励x(n)分别如图8-29（a）（b）所示，试用matlab的conv函数求出系统的零状态响应y（n），并绘出时域的波形。
x1=[0 1 2 1 0 0];n1=-2:3;x2=[0 1 1 1 1 0 0];n2=-1:5;x=conv(x1,x2)n=((n1(1)+n2(1)):(n1(1)+n2(1)+length(n1)+length(n2)-2));stem(n,x,'filled')title('y(n)')8.8已知各离散序列的波形如图8-30所示，试用MA TLAB求下列卷积和，并绘出卷积和序列的时域波形。
（2）x2(n)*x3(n)n2=-3:3;x2=[0 1 1 1 1 1 0];n3=-2:3;x3=[0 0 3 2 1 0];[x,n]=gghconv(x2,x3,n2,n3)(3)x3(n)*x4(n)n3=-2:3;x3=[0 0 3 2 1 0];n4=-1:4;x4=[0 1 -1 1 -1 0];[x,n]=gghconv(x3,x4,n3,n4)title('x(n)=x3(n)*x4(n)')8.9 已知各连续信号的波形如图8-31所示，使用解析方法求下列卷积积分，并用MA TLAB 汇出卷积积分信号的时域波形，将其与解析计算结果进行比较。
（1）f2(t)*f3(t)t2=0:0.01:4;f2=Heaviside(t2-1)-heaviside(t2-3);t3=0:0.01:4;f3=0.5*t3.*(Heaviside(t3)-heaviside(t3-2))[t,f]=gggfconv(f2,f3,t2,t3)(5)f3(t)*f4(t)t3=-1:0.01:4;f3=0.5*t3.*(Heaviside(t3)-Heaviside(t3-2))t4=-3:0.01:3;f4=0.5*(t4+2).*(Heaviside(t4+2)-Heaviside(t4))-0.5*(t4-2).*(Heaviside(t4)-Heaviside(t4-2)); [t,f]=gggfconv(f3,f4,t3,t4)附录：function f= Heaviside(t)f=(t>0);% t>0,f=1否则为0endfunction[x,n]=gghconv(x1,x2,n1,n2)x=conv(x1,x2)ns=n1(1)+n2(1);leg=length(x1)+length(x2)-2;n=ns:(ns+leg)subplot(2,2,1)stem(n1,x1,'filled')title('x1(n)')xlabel('n')subplot(2,2,2)stem(n2,x2,'filled')title('x2(n)')xlabel('n')subplot(2,2,3)stem(n,x,'filled')title('x(n)=x1(n)*x2(n)')xlabel('n')p=get(gca,'position');p(3)=2.4*p(3);set(gca,'position',p)function [f,t] =gggfconv(f1,f2,t1,t2)%计算连续信号的卷积积分d=input('请输入时间间隔：');f=conv(f1,f2);f=f*d;ts=t1(1)+t2(2);l=length(f1)+length(f2)-2;t=ts:d:(ts+l*d);subplot(2,2,1)plot(t1,f1)axis([min(t1),max(t1),min(f1)-min(f1)*0.2,max(f1)+max(f1)*0.2]) title('f1(t)')xlabel('t')subplot(2,2,2)plot(t2,f2)axis([min(t2),max(t2),min(f1)-abs(min(f2)*0.2),max(f2)+max(f2)*0.2]) title('f2(t)')xlabel('t')subplot(2,2,3)plot(t,f);axis([min(t),max(t),min(f)-min(f)*0.2,max(f)+max(f)*0.2])p=get(gca,'position');p(3)=2.4*p(3);set(gca,'position',p)title('f(t)=f1(t)*f2(t)')xlabel('t')end..。