数字信号处理08

第八章（有限冲击响应）FIR DF 设计一个离散时间系统H(z)=B(z)/A(z)，若分母多项式A(z)的系数a 1=…=a N =0，那么该系统即变成FIR 系统：n Mn n MM z b zb zb b z H -=--∑=+++=0110)(显然，系数b 0，b 1，…，b M 即是该系统的单位抽样响应h(0)，h(1)，…，h(M)，且当n>M 时，h(n)≡0。

由于FIR 系统只有零点，因此不象IIR 系统那样容易取得较好的通带与带阻衰减特性。

要取得较好的衰减特性，一般要求H(z)的阶次要高，即M 要大。

但FIR 也有自己突出的优点，系统始终是稳定的，既易于实现线性相位，又允许设计多通带、多阻带的滤波器。

而这后两项都是IIR 系统不易实现的。

IIR DF 设计中借助于模拟滤波器、面向极点系统的设计方法并不适用于仅包含零点的FIR 系统，因此，FIR DF 的设计主要建立在对理想滤波器频率特性的某种近似基础上，这些近似方法包括窗函数法、频率抽样法和最佳一致逼近法等。

§8.1 FIR DF 的线性相位特征离散时间系统的频率响应包括幅频响应和相频响应，幅频响应反映信号x (n )通过该系统后各频率成分衰减的情况，而相频响应反映信号x (n )中各成分通过该系统后在时间上发生移位的情况。

一个理想的离散时间系统，除了具有所希望的幅频特性外，最好还能具有线性相位，这在诸如语音合成、波形传输等应用领域会带来极大的便利。

设一个离散时间系统的幅频特性为1，而相频特性具有如下线性相位：arg [H (e j ω)]=-k ω （3-1-4）其中k 为常数，该式表明系统的相移与频率成正比。

则当信号x (n )通过该系统后，其输出y (n )的频率特性为：ωωωωωωωωωjk eX j j eX j j jk j j j j j e e X e e X e e X e H e Y --===)](arg[)](arg[|)(||)(|)()()(所以，y (n )= x (n-k )，这样，输出y (n )等于输入在时间上的移位，达到了无失真传输的目的。

例：若x (n )=cos(ω0n )+ cos(2ω0n )，令H (e j ω)= e -jk ω，那么x (n )通过该系统后输出： y (n )= cos[ω0(n-k )]+ cos[2ω0(n-k )]，x (n )，y (n )分别如图所示，二者仅在时间轴上移了k 个抽样周期。

若再次令|H (e j ω)|=1，而令：πωωωωππω≤<≤≤⎩⎨⎧--=2/32/304/)](arg[00j e H ；则输出y (n )为： y (n )= cos(ω0n-π/4)+ cos(2ω0n-π)，如图c 所示，波形明显发生了失真。

若arg [H (e j ω)]==k ω+β （3-1-5）也称该相频特性为线性相位。

下面将要证明当h (n )=± h (N-1-n )时，FIR 滤波器具有线性相位，因为N 可以取奇数或偶数，所以共有四种情况： 1） 第一类FIR 滤波器，h (n )= h (N-1-n )，即h (n )偶对称当N 为奇数时，导，（3-1-5）则：)613()cos()()(2/)1(12/)1(--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∑-=--N n N j j n n a eeH ωωω，因此，H (e j ω)具有线性相位，即：arg [H (e j ω)]=- (N-1)ω/2 （3-1-7）其幅频特性具有低通特性。

当N 为偶数时，∑∑∑-=-=--=--+==112/)12/0)()()()(N n N N n nj N n jn nj j en h en h en h e H ωωωω；（3-1-8） 其中：b (n )=2h (N /2-n ) （3-1-9）相频特性不变，且幅频特性也是低通的。

2） 第二类FIR 滤波器，h (n )=- h (N-1-n )，即h (n )奇对称当N 为奇数时，这时因为h (n )以中心(N-1)/2为奇对称，所以必有：h [(N-1)/2]=0，经推c (n )=2h [(N-1)/2-n ]， n =1，2，…，(N-1)/2；（3-1-10）相频特性为：arg [H (e j ω)]=- (N-1)ω/2+π/2 （3-1-11）当N 为偶数时，d (n )=2h (N /2-n )， n =1，2，…，N/2；（3-1-12）相频特性不变。

由以上讨论可知，当FIR DF 的抽样响应满足奇偶对称性时，滤波器具有线性相位。

当h (n )奇对称时，通过该滤波器的所有频率成分还会发生90°的相移，这将该信号先通过一个90°的相移器，然后再做滤波，由于这时它的幅频特性是正弦函数的组合，因此第二类FIR 滤波器的幅频特性近似于差分器的幅频特性，因此我们设计一般用途的滤波器时，h (n )多取偶对称，而长度N 则多取为奇数。

一、 全通滤波器与最小相位滤波器对于IIR 系统，单位抽样响应为无限长，很难满足线性相位的条件，h (n )=± h (N-1-n )，所以在实际工作中，经常用一个全通滤波器与已经设计好的IIR DF 相级联，在不改变幅频响应的情况下，对相位做某种校正，尽可能去近似线性相位。

1） 全通滤波器如果一个因果系统的幅频响应对于所有频率都等于1，或其它某个常数，即有：πωω≤≤=01|)(|j ap e H ；则称该系统H ap (z )为全通滤波器。

例如：z=λ处，而零点在z=1/λ处，极点与零点是以单位圆为镜像对称的。

可以证明，其幅频响应和相频响应分别为：一个二阶全通滤波器的转移函数为：λ为复数，且|λ|＜1，显然它存在一对单位圆内的共轭极点，一对共轭零点与极点以单位圆为镜像对称。

将H ap (z )和原离散时间系统相级联，则原系统的幅频响应不变，而相频响应等于二者相加，这样可起到相位校正的目的。

当然，要校正到近似线性相位仍较为困难。

2）最小相位滤波器一个因果的、稳定的离散时间系统，其极点必须位于单位圆内，而对零点没有特殊要求。

如果一个离散系统的H (z )的极点与零点全部在单位圆内，则称该系统为最小相位系统。

而当全部零点都在单位圆外时则称为最大相位系统，而若在单位圆内外都有零点，则该系统称为混合相位系统。

最小相位系统具有以下重要性质：性质1：在一组具有相同幅频响应的因果的且稳定的滤波器中，最小相位滤波器对零相位的ω轴具有最小相位偏移。

性质2：令h (n )为所有具有相同幅频响应的离散时间系统的单位抽样响应，h min (n )为其中最小相位离散系统的单位抽样响应，并定义单位抽样响应的累积能量为：∞<≤=∑=M n h M E Mn 0)()(02，则∑∑==≥Mn Mn n h n h22min)()(；由Parseval 定理，因为幅频响应相同，所以时域的总能量也应相等。

但该性质指出，最小相位系统的抽样响应的能量集中在n 为较小值的范围内，即在所有具有相同幅频响应的离散系统中，最小相位离散系统的单位抽样响应h (n )具有最小的延迟，因此h min (n )也称最小延迟序列。

性质3：设H (z )是一个最小相位系统，H (z )可表示为：H (z )=| H (z )|e jarg[H (z )]，令：)(ˆ)(ˆ)](arg[|)(|ln )(ln )(ˆz H j z H z H j z H z H z H IR +=+==， 则实部与虚部构成一对Hilbert 变换，即：此性质说明了最小相位系统的对数幅频特性与其相频特性的内在联系。

性质4：给定的一个稳定的因果系统：H (z )=N (z )/ D (z )，定义其逆滤波器：H IV (z )=1/ H (z ) = D (z ) / N (z )，当仅当H (z )是最小相位系统时，H IV (z )才是稳定的、因果的，且物理上可实现的。

性质5：任何一个非最小相位的因果系统的转移函数H (z )均可由一个最小相位系统和一个全通系统级联而成。

即：H (z )=H min (z )H ap (z )， §8.2 FIR DF 设计的窗函数法对于如图的理想低通数字滤波器，其频率特性为H d (e j ω)，现在假定其幅频特性为| H d (e j ωh d (n)是以h d (0)为对称的sinc 函数，h d (0)= ωc /π。

我们早已指出，这样的系统是非因果的，因此在物理上不可实现。

但如果将h d (0)截短，比如仅取h d (-M/2)，…，h d (0)，…，h d (M/2)，并将截短后的h d (n)移位，得：h(n)= h d (n-M/2)， n=0，1，…，M (8-1-2) 则h(n)是因果的，且为有限长度M+1，令：)3.1.8()()(0∑=-=Mn nz n h z H ；可得所设计的滤波器的转移函数，H(z)的频率响应应近似H d (e j ω)，而且是线性相位的。

因此以上讨论给出了一个基本可行的FIR DF 设计思路。

如指定H d (e j ω)的相频响应φ(ω)不为0，而令φ(ω)=-M ω/2，即φ(ω)具有线性相位，则(8-1-1)式可改写为：这样，h(n)是以n=M/2为对称的，为此，可取： h(n)= h d (n)， n=0，1，…，M (8-1-5) 则由h(n)构成的H(z)和(8-1-3)式是一样的。

例1：设计一个FIR 低通滤波器，要求频率响应H d (e j ω)在0≤|ω|≤π/4之间为1，在π/4＜|ω|≤π之间为0。

分别取M=10，20，40，观察其幅频响应特性。

解：由题意可知，)6.1.8(||4/04/||0)(2/⎩⎨⎧≤<≤≤=-πωππωωωjM j d e e H由(8-1-4)式，有：当M=10时，求得：h(0)=h(10)=-0.045，h(1)=h(9)=0，h(2)=h(8)=0.075 h(3)=h(7)=0.1592，h(4)=h(6)=0.2251，h(5)=0.25图8.1.2分别给出了M=10，20，40时的H d (e j ω)的幅频特性曲线，可以看出，当M 取不同值时H(e j ω) 以不同程度近似H d (e j ω)，M 较小时，通频带过窄，阻带内纹波较大，且过渡带过宽；M 增大时，H(e j ω) 近似H d (e j ω)程度较好，即通频带接近π/4，阻带纹波小，过渡带变窄。

但应当注意到，当M 增大时，通带内出现纹波，并随M 的继续增大过程中，这种纹波并不消失，只是最大的上冲越来越接近间断点ωc ，这就是所谓的吉布斯(Gibbs)现象。