2 差分法
CFD2013-第4讲-差分方法2
色散误差： 数值解传播的速度与精确解不一致
快格式(FST) ： dki / d 1 慢格式(SLW): dki / d 1 混合格式(MXD):
特点： 波数越高，误差越严重
0： 精确解； 1： 2阶迎风 ； 2： 5阶迎风偏心
3： 3阶迎风紧致 ；4： 5阶迎风紧致
14
【数值实验】 波的传播问题
精度特性 分辨率特性
3
概念澄清2： 有效网格
1
0.5
目的： 计算差分
u x
，x [0, 2 ]
u
0
-0.5
-1
Case 1 u sin x , x 2
0
10
1
Case 2 u sin 2x , x 2
0.5
20
u
0
网格点数增加了一倍， -0.5
但问题也复杂了一倍
-1 0
精度： 反映 x 0 时的情况
分辨率：网格点数很少（例如波里面只有6个点）时的性能 对于多尺度问题，分辨率更重要。 牺牲精度，提高分辨率
8
如何计算修正波数？
方法1. 理论计算 根据差分具体表达式及定义计算
定义： u(x j ) eikxj
~
xu j
k eikx j x
例1：
xu j
vˆk
1 N
N
v eikx j j
j 1
根据修正波数的定义， 有 k~ vˆk x
仅提取波数为k 的波
Step 5) 改变k的值，重复2-5， 得到 k~ 对于 kx 的依赖关系。画图
非线性情况会产生高次谐波，造成 step 4 中隐含的假设无法成立 将Fourier分析手段拓展到非线性系统 需要研究的课题
光谱求导操作方法
光谱求导操作方法
光谱求导操作方法有两种主要方法：差分法和曲线拟合法。
1. 差分法：差分法是光谱求导的一种简单而常用的方法。
差分法的基本思想是通过计算相邻波长处的光谱数值差异来获得导数信息。
具体操作步骤如下：
a. 对原始光谱进行平滑处理，例如使用滑动平均或高斯滤波器平滑。
b. 对平滑后的光谱进行差分运算，通常使用中心差分或前向/后向差分方法来计算相邻波长处的数值差异。
c. 可选的步骤是进一步平滑或滤波导数结果，以减小噪音或去除高频振荡。
2. 曲线拟合法：曲线拟合法是一种更精确的光谱求导方法，它通过拟合光谱数据点的曲线来计算导数。
这种方法通常使用多项式或B样条曲线来表示光谱曲线，然后通过求导数公式对所拟合的曲线进行微分。
具体操作步骤如下：
a. 对原始光谱进行平滑处理，以减小噪音或去除高频振荡。
b. 选择拟合曲线的类型，例如多项式曲线或B样条曲线，并确定拟合的阶数。
c. 使用某种曲线拟合算法对平滑后的光谱数据进行拟合，以获得拟合曲线的各个系数。
d. 根据拟合曲线的系数，计算导数的数值。
以上是光谱求导的两种常用方法，根据具体的实验目的和数据特点，可以选择合适的方法进行光谱求导操作。
双重差分模型、相关方法及stata代码
面板数据模型设定的不同会对回归结果产生较大的影响，因此需要进行相关检验确定具体设定为何种面板数据模型。
第一步：F检验。
将得到F统计量的值与临界值进行比较，确定选择混合估计模型还是变截距或变系数模型；第二步：Hausman检验。
判断是选择固定效应模型还是随机效应模型；第三步：时间效应检验。
判断在个体固定/随机效应中是否应加入时间固定效应。
F检验代码：xtreg y1 did size cash tar tq roa largest lev ret ,feHausman检验代码：xtset id yearxtreg y1 did size cash tar tq roa largest lev ret ,fe /个体固定效应回归/ esti store FE1 /存储为FE1/ xtreg y1 did size cash tar tq roa largest lev ret ,re /随机效应变截距模型/ esti store RE1 /存储为RE1/ hausman FE1 RE1, constant sigmamore得到的结果原假设则随机效应拒绝原假设固定效应时间效应检验代码：xtset id yeartab year, gen(year)xtreg y1 size cash tar tq roa largest lev ret year2-year16, fe restimates store FE_TWtest year2 year3 year4 year5 year6 year7 year8 year9 year10 year11 year12 year13 year14 year15 year16 /检验所有年度虚拟变量的联合显著性/ 得到的结果原假设为无时间效应拒绝原假设则认为模型中应包含时间效应个体固定效应+时间固定效应，即双向固定效应一、常用的两种双重差分模型：（一）传统DIDy it=α0+α1treated i+α2time t+α3treated i×time t+γx it+εit（1）treated i为实验组和控制组的分组变量。
数值计算中的偏微分方程数值解法
数值计算中的偏微分方程数值解法数值计算在现代科学技术中扮演着重要的角色，它的应用范围不断扩大。
数值计算中的偏微分方程数值解法是其中最为重要的一部分。
在数学中，偏微分方程是一类涉及未知函数及其偏导数的方程，应用广泛，如机械、天气预报、波动、电磁等领域。
针对偏微分方程求解的方法称为数值解法，本文将讨论偏微分方程数值解法的相关知识。
1. 介绍偏微分方程数值解法是指通过计算，以得到近似解的方法。
由于大多数偏微分方程都没有精确解，因此需要使用数值计算方法求解。
迄今为止，已经发展出各种数值解法，如差分法、有限元法、边界元法、谱方法等。
这些方法都有其特点和优劣，选择何种方法要根据问题特点而定。
2. 差分法差分法是求解偏微分方程最基本的数值方法之一，它是将连续函数的导数用有限差商代替，通过计算有限差商的值得到近似解。
差分法的精度取决于差分的精度和步长，差分法通常易于实现和理解，也可以用于一些较简单的问题。
下面以热传导方程为例，来说明差分法的求解过程。
热传导方程的数学形式为$$\frac{\partial u}{\partial t} = k \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$其中，$u(x, t)$表示温度分布，$k$为热传导系数。
将空间尺度和时间尺度分别离散化，即用网格对$x$和$t$上的点进行离散，得到$$u_{i, j+1} = u_{i,j} + \frac{k \Delta t}{\Delta x^2} (u_{i+1,j} - 2u_{i,j} + u_{i-1,j})$$其中，$u_{i,j}$表示$u(x_i,t_j)$的近似值，$\Delta x$和$\Deltat$分别是$x$和$t$的步长。
3. 有限元法有限元法是一种广泛使用的偏微分方程数值解法，它将求解区域分成有限个小区域，建立适当的数学模型和计算方法，通过求解模型方程得到物理问题的近似解。
有限元法一般需要进行大量计算，但准确度较高，适用于非线性、复杂问题的求解。
差分法
差分法李委明提示：“差分法”是在比较两个分数大小时，用“直除法”或者“化同法”等其他速算方式难以解决时可以采取的一种速算方式。
适用形式：两个分数作比较时，若其中一个分数的分子与分母都比另外一个分数的分子与分母分别仅仅大一点，这时候使用“直除法”、“化同法”经常很难比较出大小关系，而使用“差分法”却可以很好地解决这样的问题。
基础定义：在满足“适用形式”的两个分数中，我们定义分子与分母都比较大的分数叫“大分数”，分子与分母都比较小的分数叫“小分数”，而这两个分数的分子、分母分别做差得到的新的分数我们定义为“差分数”。
例如：324/53.1与313/51.7比较大小，其中324/53.1就是“大分数”，313/51.7就是“小分数”，而324-313/53.1-51.7=11/1.4就是“差分数”。
“差分法”使用基本准则——“差分数”代替“大分数”与“小分数”作比较：1、若差分数比小分数大，则大分数比小分数大；2、若差分数比小分数小，则大分数比小分数小；3、若差分数与小分数相等，则大分数与小分数相等。
比如上文中就是“11/1.4代替324/53.1与313/51.7作比较”，因为11/1.4＞313/51.7（可以通过“直除法”或者“化同法”简单得到），所以324/53.1＞313/51.7。
特别注意：一、“差分法”本身是一种“精算法”而非“估算法”，得出来的大小关系是精确的关系而非粗略的关系；二、“差分法”与“化同法”经常联系在一起使用，“化同法紧接差分法”与“差分法紧接化同法”是资料分析速算当中经常遇到的两种情形。
三、“差分法”得到“差分数”与“小分数”做比较的时候，还经常需要用到“直除法”。
四、如果两个分数相隔非常近，我们甚至需要反复运用两次“差分法”，这种情况相对比较复杂，但如果运用熟练，同样可以大幅度简化计算。
【例1】比较7/4和9/5的大小【解析】运用“差分法”来比较这两个分数的大小关系：大分数小分数9/5 7/49－7/5－1=2/1(差分数)根据：差分数=2/1＞7/4=小分数因此：大分数=9/5＞7/4=小分数李委明提示：使用“差分法”的时候，牢记将“差分数”写在“大分数”的一侧，因为它代替的是“大分数”，然后再跟“小分数”做比较。
《因果推断实用计量方法》大学教学课件--第9章-双重差分法
控制组在处置事件发生前 的均值（图9.2中C点）为：
E = 0， = 0 = 0
•
控制组在处置事件发生后 的均值（图9.2中D点）为：
E = 0， = 1 = 0 + 2
•
处置组在处置事件发生前 的均值(图9.2中A点)为：
组处置后 的均值差异 B − D − 处置组
和控制组处置前 的均值差异 A − C 等
于：
(B − D) − A − C
= ሾE = 1， = 1
− E = 0， = 1 ሿ
−ሾE = 1， = 0
• 我们通过条件期望值来看横截面差分模型 系数1 是否反映了事件的处置效应。
• 处置组2014年后的业绩均值为：
= 1 = 0 + 1 + = 1
• 控制组2014年后的业绩均值为：
= 0 = 0 + = 0
መ0 = 5.78：在税改发生的2014年前，控制组的平均业绩为5.78。
መ1 = 1：在税改发生的2014年前，处置组比控制组的平均业绩高1。
መ2 = 0.17：在税法通过的2014年前后，控制组的平均业绩提高了0.17。
መ3 = 0.4：在税法通过的2014年前后，处置组的平均业绩变化比控制组的平均变化高了0.4，它反映了新税法对企业
• 处置组和控制组在2014后的业绩均值差异为：
= 1 − = 0
= 1 + = 1 − = 0
横截面单重差分估计偏差
横截面单重差分的偏差
• 如果这个模型回归得到的 的系数መ1 能够得到1 无偏估计的条件是
时间序列单重差分
• 我们还是通过条件期望值来看时间序列单重差分模型系数是否反映了事件的处置效应。
2 差分法
★【速算技巧五：差分法】李委明提示：“差分法”是在比较两个分数大小时，用“直除法”或者“化同法”等其他速算方式难以解决时可以采取的一种速算方式。
适用形式：两个分数作比较时，若其中一个分数的分子与分母都比另外一个分数的分子与分母分别仅仅大一点，这时候使用“直除法”、“化同法”经常很难比较出大小关系，而使用“差分法”却可以很好地解决这样的问题。
基础定义：在满足“适用形式”的两个分数中，我们定义分子与分母都比较大的分数叫“大分数”，分子与分母都比较小的分数叫“小分数”，而这两个分数的分子、分母分别做差得到的新的分数我们定义为“差分数”。
例如：324/53.1与313/51.7比较大小，其中324/53.1就是“大分数”，313/51.7就是“小分数”，而324-313/53.1-51.7=11/1.4就是“差分数”。
“差分法”使用基本准则——“差分数．．．”与．“小分数．．．”．．“大分数．．．”代替作比较．．．：1、若差分数比小分数大，则大分数比小分数大；2、若差分数比小分数小，则大分数比小分数小；3、若差分数与小分数相等，则大分数与小分数相等。
比如上文中就是“11/1.4代替324/53.1与313/51.7作比较”，因为11/1.4＞313/51.7（可以通过“直除法”或者“化同法”简单得到），所以324/53.1＞313/51.7。
特别注意：一、“差分法”本身是一种“精算法”而非“估算法”，得出来的大小关系是精确的关系而非粗略的关系；二、“差分法”与“化同法”经常联系在一起使用，“化同法紧接差分法”与“差分法紧接化同法”是资料分析速算当中经常遇到的两种情形。
三、“差分法”得到“差分数”与“小分数”做比较的时候，还经常需要用到“直除法”。
四、如果两个分数相隔非常近，我们甚至需要反复运用两次“差分法”，这种情况相对比较复杂，但如果运用熟练，同样可以大幅度简化计算。
【例1】比较7/4和9/5的大小【解析】运用“差分法”来比较这两个分数的大小关系：大分数小分数9/5 7/49－7/5－1=2/1(差分数)根据：差分数=2/1＞7/4=小分数因此：大分数=9/5＞7/4=小分数李委明提示：使用“差分法”的时候，牢记将“差分数”写在“大分数”的一侧，因为它代替的是“大分数”，然后再跟“小分数”做比较。
DID双重差分法
双重差分法是估计处理效应的常见方法，但也有被滥用的倾向，因为有些应用者对于双重差分法的优点与局限缺乏了解，特别是其潜在的平行趋势（parallel trend）假定……差分法的局限经济学家常关心某政策实施后的效应，比如对于收入（ y ）的作用。
最简单（天真）的做法是比较处理组（即受政策影响的地区或个体）的前后差异，比如这称为“差分估计量”（difference estimator），即将处理组（treatment group）政策实施后的样本均值，减去政策实施前的样本均值。
然而，由于宏观经济环境也随时间而变（时间效应），故政策实施地区的前后差异未必就是处理效应（treatment effects）。
双重差分法的反事实逻辑为了解决差分法的局限性，常用方法是寻找适当的控制组（control group），即未实施政策的地区（或未参加项目的个体），作为处理组的反事实（counterfactual）参照系。
具体来说，可将未受政策影响的控制组之前后变化视为纯粹的时间效应，即综合以上两个差分，即将处理组的前后变化减去控制组的前后变化，可得到对于政策处理效应更为可靠的估计：(1)这就是所谓的双重差分估计量（Difference in Differences，简记DD或DID），因为它是处理组差分与控制组差分之差。
该法最早由 Ashenfelter（1978）引入经济学，而国内最早的应用或为周黎安、陈烨（2005）。
从以上推理可知，DID的反事实逻辑能够成立，其基本前提是，处理组如果未受到政策干预，其时间效应或趋势应与控制组一样（故可以后者来控制时间效应），这就是所谓的“平行趋势”（parallel trend）或“共同趋势”（common trend）假定。
下图直观地展示了DID的思想与平行趋势假定。
其中，t = 1 表示政策实施前（before），而t = 2 表示政策实施后（after）。
然而，通过双重差分得到的DID估计量并不易计算其标准误，无法加入控制变量，也不易推广到多期数据。
斜率的2种求法-概述说明以及解释
斜率的2种求法-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述斜率是数学中一个基本概念，在几何学、物理学、经济学等各个领域都有着重要的应用。
斜率是描述函数曲线的变化率的指标，它能够告诉我们函数在某一点处的变化速率和方向。
本文将介绍斜率的两种求法，并比较两种方法的优缺点。
第一种求斜率的方法是通过函数的导数来求取，而第二种方法是通过两个点的坐标差值来求取。
通过对比两种方法，我们可以更好地理解和应用斜率的概念。
在第一种方法中，我们利用导数的定义来求取斜率。
导数可以看作是函数在一点处的斜率，它描述了函数曲线在该点处的切线斜率。
导数的求取需要一定的数学知识和计算技巧，但它能够提供函数在每一点处的精确斜率值。
因此，通过此方法求取的斜率在很多情况下能够给出准确的结果。
而在第二种方法中，我们利用两个点的坐标差值来求取斜率。
这种方法相对简单，只需要计算两个点的坐标差值，然后用纵坐标差值除以横坐标差值即可得到斜率。
尽管这种方法相对简便，但它在一些特殊情况下可能会出现误差，特别是当两个点的距离较近时。
因此，我们需要注意使用这种方法时的条件和限制。
比较这两种方法的优缺点，第一种方法通过导数可以提供准确的斜率值，适用于较复杂的函数曲线和需要较高精度的应用场景。
而第二种方法相对简便，适用于较简单的直线和具有较大间隔的点对之间的斜率计算。
本文将分析和比较这两种方法在不同场景下的适用性，总结两种方法的应用场景，并对斜率求法的意义和价值进行评价。
最后，我们还将展望未来斜率求法的研究方向，为进一步探索和应用斜率概念提供指导和启示。
1.2文章结构文章结构部分的内容可以参考如下：1.2 文章结构本文主要分为三个部分进行讨论，分别是引言、正文和结论。
下面将对每个部分的内容进行简要介绍：引言部分主要从概述、文章结构和目的三个方面介绍了整篇文章的基本情况。
在概述中，将解释斜率的概念和重要性，引起读者的兴趣。
文章结构部分则对整篇文章的目录进行了具体的展示，使读者能够预先了解到后续的内容。
差分法
“差分法”是在比较两个分数大小时，用“直除法”或者“化同法”等其他速算方式难以解决时可以采取的一种速算方式。
适用形式：两个分数作比较时，若其中一个分数的分子与分母都比另外一个分数的分子与分母分别仅仅大一点，这时候使用“直除法”、“化同法”经常很难比较出大小关系，而使用“差分法”却可以很好地解决这样的问题。
基础定义：在满足“适用形式”的两个分数中，我们定义分子与分母都比较大的分数叫“大分数”，分子与分母都比较小的分数叫“小分数”，而这两个分数的分子、分母分别做差得到的新的分数我们定义为“差分数”。
例如：324/53.1与313/51.7比较大小，其中324/53.1就是“大分数”，313/51.7就是“小分数”，而324-313/53.1-51.7=11/1.4就是“差分数”。
“差分法”使用基本准则——“差分数”代替“大分数”与“小分数”作比较：1、若差分数比小分数大，则大分数比小分数大；2、若差分数比小分数小，则大分数比小分数小；3、若差分数与小分数相等，则大分数与小分数相等。
例3】比较29320.04/4126.37和29318.59/4125.16的大小【解析】运用“差分法”来比较这两个分数的大小关系：29320.04/4126.37 29318.59/4125.16很明显，差分数=1.45/1.21＜2＜29318.59/4125.16=小分数因此：大分数=29320.04/4126.37＜29318.59/4125.16=小分数一、B、C两城2005年的GDP分别为：984.3/1＋7.8%、1093.4/1＋17.9%；观察特征（分子与分母都相差一点点）我们使用“差分法”：984.3/1＋7.8% 1093.4/1＋17.9%109.1/10.1%运用直除法，很明显：差分数＝109.1/10.1%＞1000＞984.3/1＋7.8%＝小分数，故大分数＞小分数所以B、C两城2005年GDP量C城更高。
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★【速算技巧五：差分法】
李委明提示：
“差分法”是在比较两个分数大小时，用“直除法”或者“化同法”等其他速算方式难以解决时可以采取的一种速算方式。
适用形式：
两个分数作比较时，若其中一个分数的分子与分母都比另外一个分数的分子与分母分别仅仅大一点，这时候使用“直除法”、“化同法”经常很难比较出大小关系，而使用“差分法”却可以很好地解决这样的问题。
基础定义：
在满足“适用形式”的两个分数中，我们定义分子与分母都比较大的分数叫“大分数”，分子与分母都比较小的分数叫“小分数”，而这两个分数的分子、分母分别做差得到的新的分数我们定义为“差分数”。
例如：324/53.1与313/51.7比较大小，其中324/53.1就是“大分数”，313/51.7就是“小
分数”，而324-313/53.1-51.7=11/1.4就是“差分数”。
“差分法”使用基本准则——
“差分数
．．．”与．“小分数
．．．”
．．“大分数
．．．”代替
作比较
．．．：
1、若差分数比小分数大，则大分数比小分数大；
2、若差分数比小分数小，则大分数比小分数小；
3、若差分数与小分数相等，则大分数与小分数相等。
比如上文中就是“11/1.4代替324/53.1与313/51.7作比较”，因为11/1.4＞313/51.7（可以通过“直除法”或者“化同法”简单得到），所以324/53.1＞313/51.7。
特别注意：
一、“差分法”本身是一种“精算法”而非“估算法”，得出来的大小关系是精确的关系而非粗略的关系；
二、“差分法”与“化同法”经常联系在一起使用，“化同法紧接差分法”与“差分法紧接化同法”是资料分析速算当中经常遇到的两种情形。
三、“差分法”得到“差分数”与“小分数”做比较的时候，还经常需要用到“直除法”。
四、如果两个分数相隔非常近，我们甚至需要反复运用两次“差分法”，这种情况相对比较复杂，但如果运用熟练，同样可以大幅度简化计算。
【例1】比较7/4和9/5的大小
【解析】运用“差分法”来比较这两个分数的大小关系：
大分数小分数
9/5 7/4
9－7/5－1=2/1(差分数)
根据：差分数=2/1＞7/4=小分数
因此：大分数=9/5＞7/4=小分数
李委明提示：
使用“差分法”的时候，牢记将“差分数”写在“大分数”的一侧，因为它代替的是“大分数”，然后再跟“小分数”做比较。
【例2】比较32.3/101和32.6/103的大小
【解析】运用“差分法”来比较这两个分数的大小关系：
小分数大分数
32.3/101 32.6/103
32.6－32.3/103－101=0.3/2(差分数)
根据：差分数=0.3/2=30/200＜32.3/101=小分数（此处运用了“化同法”）
因此：大分数=32.6/103＜32.3/101=小分数
［注释］本题比较差分数和小分数大小时，还可采用直除法，读者不妨自己试试。
李委明提示（“差分法”原理）：
以例2为例，我们来阐述一下“差分法”到底是怎样一种原理，先看下图：
上图显示了一个简单的过程：将Ⅱ号溶液倒入Ⅰ号溶液当中，变成Ⅲ号溶液。
其中Ⅰ号溶液的浓度为“小分数”，Ⅲ号溶液的浓度为“大分数”，而Ⅱ号溶液的浓度为“差分数”。
显然，要比较Ⅰ号溶液与Ⅲ号溶液的浓度哪个大，只需要知道这个倒入的过程是“稀释”还是“变浓”了，所以只需要比较Ⅱ号溶液与Ⅰ号溶液的浓度哪个大即可。
【例3】比较29320.04/4126.37和29318.59/4125.16的大小
【解析】运用“差分法”来比较这两个分数的大小关系：
29320.04/4126.37
29318.59/4125.16
1.45/1.21
根据：很明显，差分数=1.45/1.21＜2＜
29318.59/4125.16=小分数
因此：大分数=29320.04/4126.37＜29318.59/4125.16=小分数
［注释］本题比较差分数和小分数大小时，还可以采用“直除法”（本质上与插一个“2”是等价的）。
【例4】下表显示了三个省份的省会城市（分别为A、B、C城）2006年GDP及其增长情况，请根据表中所提供的数据回答：
1.B、C两城2005年GDP哪个更高？
2.A、C两城所在的省份2006年GDP 量哪个更高？
【解析】一、B、C两城2005年的GDP 分别为：984.3/1＋7.8%、1093.4/1＋17.9%；
观察特征（分子与分母都相差一点点）我们使用“差分法”：
984.3/1＋7.8% 1093.4/1＋17.9%
109.1/10.1%
运用直除法，很明显：差分数＝109.1/10.1%＞1000＞984.3/1＋7.8%＝小分数，故大分数＞小分数
所以B、C两城2005年GDP量C城更高。
二、A、C两城所在的省份2006年GDP 量分别为：873.2/23.9%、1093.4/31.2%；同样我们使用“差分法”进行比较：
873.2/23.9% 1093.4/31.2%
220.2/7.3%=660.6/21.9%
212.6/2%=2126/20%
上述过程我们运用了两次“差分法”，很明显：2126/20%＞660.6/21.9%，所以873.2/23.9%＞1093.4/31.2%；
因此2006年A城所在的省份GDP量更高。
【例5】比较32053.3×23487.1和32048.2×23489.1的大小
【解析】32053.3与32048.2很相近，23487.1与23489.1也很相近，因此使用估算法或者截位法进行比较的时候，误差可能会比较大，因此我们可以考虑先变形，再使用“差分法”，即要比较32053.3×23487.1和32048.2×23489.1的大小，我们首先比较32053.3/23489.1和32048.2/23487.1的大小关系：
32053.3/23489.1 32048.2/23487.1
5.1/2
根据：差分数=5.1/2＞2＞32048.2/23487.1=小分数
因此：大分数=32053.3/23489.1＞32048.2/23487.1=小分数
变型：32053.3×23487.1＞32048.2×23489.1
李委明提示（乘法型“差分法”）：
要比较a×b与a′×b′的大小，如果ａ与ａ＇相差很小，并且ｂ与ｂ＇相差也很小，这时候可以将乘法a×b与a′×b′的比较转化为除法ab′与a′b的比较，这时候便可以运用“差分法”来解决我们类似的乘法型问题。
我们在“化除为乘”的时候，遵循以下原则可以保证不等号方向的不变：
“化除为乘”原则：相乘即交叉。