二阶差分是线性函数三次曲线特征指标
第6节一阶和二阶常系数线性差分方程
8/8/2024 1:07 AM
第7章 微分方程与差分方程
当 a 1时，取 s 1，此时将
y x x(B0 B1x Bn xn )
代人方程，比较同次系数，确定出 B0, B1, B2, , Bn 得到方程的特解。这种情况下，方程的左端为 yx , 方程为 yx cxn ，可将 xn化成 x(n) 的形式 求出它的一个特解。
2 , 1
对应的齐次方程的通解为 yx A1(2)x A2 因为 1 a b 1 1 2 0 ,a 1 2 所以特解为
yx
12 x 21
4x
故原方程的通解为
yx 4x A1(2)x A2 ( A1, A2为任意常数)
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第7章 微分方程与差分方程
其中 r
2 2
b , tan
4b a2 ,
A1, A2 为任意常数。
a
8/8/2024 1:07 AM
第7章 微分方程与差分方程
2.方程（4）中 f ( x)取某些特殊形式的 函数时的特解（利用待定系数法求出）
(1) f ( x) c (c 为常数)
方程（4）为
yx2 a yx1 byx c (6)
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第7章 微分方程与差分方程
利用待定系数法 设方程具有yx kxs形式 的特解。
当 a 1时，取 s 0 ，代人方程得 k ak c
k c , 1a
所以方程的特解为
yx
c 1
a
又因对应的齐次方程的通解为 yx Aa x
8.6 差分方程(包括二阶)PPT课件
那么方程(1)的通解为 yx yc (x) y* .
问题归结为求方程(1)的一个特解.
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铃
用待定系数法求解. f(x) Pm (x) b x
其中 Pm (x) 是 m 次多项式, b 为非零常数.
设特解的形式为 y* x μQm (x)bx ,
You Know, The More Powerful You Will Be
Thank You
在别人的演说中思考，在自己的故事里成
Thinking In Other People‘S Speeches，Growing Up In Your Own Story
讲师：XXXXXX XX年XX月XX日
（3）( yx zx ) yx zx
4 ( yt zt ) zt1yt yt zt yt1zt zt yt ;
5
yt zt
zt yt yt zt zt zt1
zt1yt yt1zt zt zt1
.
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铃
例1 设 yx x2 2 x 3 ，求yx 2 yx 解
§8.6 差分方程
一、基本概念 二、一阶常系数线性差分方程 三、二阶常系数线性差分方程
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铃
一、基本概念
在经济与管理及其它实际问题中，许多数据都是以等间隔 时间周期统计的。例如，银行中的定期存款是按所设定的 时间等间隔计息，外贸出口额按月统计，国民收入按年统 计，产品的产量按月统计等等。这些量是变量，通常称这 类变量为离散型变量。描述离散型变量之间的关系的数学 模型成为离散型模型。对取值是离散化的经济变量，差分 方程是研究他们之间变化规律的有效方法。 本节介绍差分方程的基本概念、解的基本定理及其解法， 与微分方程的基本概念、解的基本定理及其解法非常类似， 可对照微分方程的知识学习本节内容。
差分方程(1)-基础知识省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
形如
yx+2 + ayx+1 + byx = f (x).
(10)
(其中 a , b 0, 且均为常数)旳方程, 称为二阶常系数线性 差分方程. 当 f (x) = 0 时, 即
yx+2 + ayx+1 + byx = 0
(11)
称为齐次差分方程; 当 f (x) 0时, 称为非齐次差分方程.
类似于二阶线性常微分方程, 二阶线性差分方程与 其有相同旳解旳构造. 故先求齐次方程(11)旳通解.
故所求通解为
yx
C1
C2 (2)x
10 3
x
2x2.
(2) f (x) = Cqx 设特解旳待定式为
y x Bq x (q不是特征根); y x Bxq x (q是特征方程单根); y x Bx2q x (q是二重特征根). 其中 B 为待定系数.
例11 求差分方程 yx+2 3yx+1 + 2yx = 2x旳一种特解.
x B0 B1x Bm xm (a 1) (6)
或
y x (B0 B1x Bm xm ) x (a 1) (7)
其中B0 , B1 , , Bm为待定系数.
例5 求差分方程 yx+1 2yx = 3x2 旳一种特解.
解 这里 a = 2, 设 y x B0 B1x B2 x2 , 代入差分方程, 得
解 相应旳齐次方程旳特征方程为
2 3 + 2 = 0.
方程旳根为
1 = 1, 2 = 2,
因为 q = 2 =2, 设特解为 y x Bx2x ,
代入原方程, 得
B(x+2)2x+23B(x+1)2x+1+2Bx2x = 2x,
信号与系统题库(完整版)
信号与系统题目部分，(卷面共有200题,0.0分,各大题标有题量和总分) 一、选择题(7小题,共0.0分)[1]题图中，若h '（0）=1，且该系统为稳定的因果系统，则该系统的冲激响应()h t 为。
A 、231()(3)()5tt h t e e t ε-=+- B 、32()()()tt h t e e t ε--=+C 、3232()()55tt e t e t εε--+D 、3232()()55tt e t e t εε--+-[2]已知信号x[n]如下图所示，则x[n]的偶分量[]e x n 是。
[3]波形如图示，通过一截止角频率为50rad sπ，通带内传输值为1，相移为零的理想低通滤波器，则输出的频率分量为（） A 、012cos 20cos 40C C t C t ππ++ B 、012sin 20sin 40C C t C t ππ++ C 、01cos 20C C t π+ D 、01sin 20C C t π+[4]已知周期性冲激序列()()T k t t kT δδ+∞=-∞=-∑的傅里叶变换为()δωΩΩ，其中2TπΩ=；又知111()2(),()()2T T f t t f t f t f t δ⎛⎫==++⎪⎝⎭；则()f t 的傅里叶变换为________。
A 、2()δωΩΩ B 、24()δωΩΩ C 、2()δωΩΩ D 、22()δωΩΩ[5]某线性时不变离散时间系统的单位函数响应为()3(1)2()kkh k k k εε-=--+，则该系统是________系统。
A 、因果稳定B 、因果不稳定C 、非因果稳定D 、非因果不稳定 [6]一线性系统的零输入响应为（23kk --+）u(k), 零状态响应为(1)2()k k u k -+,则该系统的阶数A 、肯定是二阶B 、肯定是三阶C 、至少是二阶D 、至少是三阶 [7]已知某系统的冲激响应如图所示则当系统的阶跃响应为。
2阶差分公式大全
2阶差分公式大全摘要：一、引言二、2阶差分公式概述1.2阶差分的基本概念2.2阶差分公式的重要性三、常见2阶差分公式1.线性差分公式2.二次差分公式3.n阶差分公式4.差分方程四、2阶差分公式的应用1.信号处理2.系统分析3.数据分析五、总结正文：一、引言2阶差分公式作为数学领域中的一个重要知识点，广泛应用于信号处理、系统分析和数据分析等领域。
本文将对2阶差分公式进行全面介绍，包括其基本概念、常见公式及应用。
二、2阶差分公式概述1.2阶差分的基本概念2阶差分是指对一个序列x(n)与其后两个时刻的序列值进行相减，得到一个新的序列。
通常表示为Δx(n) = x(n+2) - 2x(n+1) + x(n)。
2.2阶差分公式的重要性2阶差分公式是研究2阶差分序列的基本工具，通过对2阶差分公式的分析，可以更好地理解差分序列的性质和特点，为实际应用提供理论支持。
三、常见2阶差分公式1.线性差分公式线性差分公式是指以线性函数为函数核的差分公式，如f(n) = a1x(n) + a2x(n-1) + a3x(n-2) + ...+ anx(n-k)。
2.二次差分公式二次差分公式是指以二次函数为函数核的差分公式，如g(n) = b1x(n) + b2x(n-1) + b3x(n-2) + ...+ bnx(n-k)。
3.n阶差分公式阶差分公式是指对序列x(n)与其后n个时刻的序列值进行相减得到的公式，如h(n) = x(n+n) - x(n)。
4.差分方程差分方程是一种特殊的方程，其未知数为差分序列，如i(n) = a1Δx(n) + a2Δx(n-1) + a3Δx(n-2) + ...+ anΔx(n-k)。
四、2阶差分公式的应用1.信号处理在信号处理领域，2阶差分公式常用于滤波器设计、信号调制与解调等。
例如，在数字信号处理中，可以通过线性差分公式设计数字滤波器，对信号进行平滑、锐化等处理。
2.系统分析在系统分析领域，2阶差分公式可用于描述和分析系统的动态性能。
经济数学-二阶常系数差分方程
例 4 求差分方程
y x 2 y x 1 2 y x 12的通解及y0 0, y1 0 的特解. 解 2 2 0
即( 2)( 1) 0 解得1 2, 2 1
Yx A1 (2) A2
x
1是特征方程根（不是重根）
y Cx 代入得 y x x 4x
二、二阶常系数非齐次线性差分方程的求解
二 阶 常 系 数 非 齐 次 线差 性分 方 程 的 通 解 由 两 项 的和组成： 一 项 是 该 方 程 的 一 个解 特y x ， 另 一 项 是 对 应 的 齐 次分 差方 程 的 通 解 Yx .
即差分方程（ 2）的通解为 y x Yx y .
即
( 5) 0
解得
1 2 5
x
y x (C1 C2 x )( 5)
1 x 通解：y x ( ) (C1 cos x C 2 sin x ) 3 2 2
1 y x 2 y x 0的通解 例 3：求差分方程 9 1 2 解 特征方程 0 9 i 即 1,2 3 1 于是 r , 3 2
解
即
特征方程
2 5 6 0
( 2)( 3) 0
解得
1 2, 2 3
x x
y x C1 2 C2 3
例 2：求差分方程 yx 2 10 yx 1 25 yx 0的通解
解
特征方程
2 10 25 0
2
此方程称为对应齐次方 程的特征方程 , 其根
a a 2 4b a a 2 4b 1 , 2 2 2
称为相应方程的特征根 .
差分方程模型的理论和方法
差分方程模型的理论和方法1、差分方程：差分方程反映的是关于离散变量的取值与变化规律。
通过建立一个或几个离散变量取值所满足的平衡关系，从而建立差分方程。
差分方程就是针对要解决的目标，引入系统或过程中的离散变量，根据实际背景的规律、性质、平衡关系，建立离散变量所满足的平衡关系等式，从而建立差分方程。
通过求出和分析方程的解，或者分析得到方程解的特别性质（平衡性、稳定性、渐近性、振动性、周期性等），从而把握这个离散变量的变化过程的规律，进一步再结合其他分析，得到原问题的解。
2、应用：差分方程模型有着广泛的应用。
实际上，连续变量可以用离散变量来近似和逼近，从而微分方程模型就可以近似于某个差分方程模型。
差分方程模型有着非常广泛的实际背景。
在经济金融保险领域、生物种群的数量结构规律分析、疾病和病虫害的控制与防治、遗传规律的研究等许许多多的方面都有着非常重要的作用。
可以这样讲，只要牵涉到关于变量的规律、性质，就可以适当地用差分方程模型来表现与分析求解。
3、差分方程建模：在实际建立差分方程模型时，往往要将变化过程进行划分，划分成若干时段，根据要解决问题的目标，对每个时段引入相应的变量或向量，然后通过适当假设，根据事物系统的实际变化规律和数量相互关系，建立每两个相邻时段或几个相邻时段或者相隔某几个时段的量之间的变化规律和运算关系（即用相应设定的变量进行四则运算或基本初等函数运算或取最运算等）等式（可以多个并且应当充分全面反映所有可能的关系），从而建立起差分方程。
或者对事物系统进行划分，划分成若干子系统，在每个子系统中引入恰当的变量或向量，然后分析建立起子过程间的这种量的关系等式，从而建立起差分方程。
在这里，过程时段或子系统的划分方式是非常非常重要的，应当结合已有的信息和分析条件，从多种可选方式中挑选易于分析、针对性强的划分，同时，对划分后的时段或子过程，引入哪些变量或向量都是至关重要的，要仔细分析、选择，尽量扩大对过程或系统的数量感知范围，包括对已有的、已知的若干量进行结合运算、取最运算等处理方式，目的是建立起简洁、深刻、易于求解分析的差分方程。
时间序列分析练习题
17. 在趋势性检验中，进行单位根检验的意义是什么？
单位根检验就是根据已观测到的时间序列，检验产生这个时间序列的随机过程中的一阶 自回归系数是否为一，这个检验实际上就是对时间序列是否为一个趋势平稳过程的检验，如 果检验表明没有单位根，则它是一个趋势平稳过程，否则，它是一个带趋势的单位根过程。
①（ 均值为常数 ） ②（ 协方差为时间间隔 的函数 ）
则称该序列为宽平稳时间序列，也叫广义平稳时间序列。 8. 对于一个纯随机过程来说，若其期望和方差（均为常数），则称之为白噪声过程。白 噪声过程是一个（宽平稳）过程。 9. 时间序列分析方法按其采用的手段不同可概括为数据图法，指标法和（模型法）
19. 线性趋势平稳的特点：当我们将时间序列中的完全确定的线性趋势去掉以后，所形 成的时间序列就是一个平稳的时间序列。
20. 如何以系统的观点看待时间序列的动态性？ 系统的动态性就是在某一时刻进入系统的输入对系统后继行为的影响，也就是系统的记 忆性，描述记忆性的函数称为记忆函数。
三、证明题
1. AR(1)模型： X t 1 X t1 at ，其中 at 是白噪声，且 E at2
37. ARMA(n,m) 的逆转形式 X t I j X t j at 。 j 1
38.
模型适应性检验的相关函数法，在显著性水平
0.05 下，若
k
1.96 /
N，
则接受 k 0 的假设，认为 at 是独立的。
39. 模型适应性检验的 2 检验法，在显著性水平 下，若统计量
G12
G22
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— 3.462606 4.222445 3.273364 5.546349 4.638605 5.170484 4.371976 4.730039 4.831509 3.591818 2.580217 0.0195 0.1397
y dy lim y t 连续型： t 0 t dt
t : 0,1,2,
yt : y0 , y1 , y2 ,
y
( 2) t
y t y t 1 dy y t 1 dt
d2y yt yt 1 2 dt
以差分代导数，建立样本序列的增长特征指标，研究样 本的变化趋势。
y t 特征指标：ln 2 是线性的 yt
（7）龚珀资曲线
yt kat
dy y t ka bt ln a ln b b t dt yt ln a ln b b t yt
yt ln ln(lna ln b) t ln b yt
y t 是线性的 yt
— — 36.3 -41.8 229.9 -152.9 72.6 -96.8 34.1 12.1 -89.1 -23.1 0.0714 0.2672
— 0.150259 0.243137 0.086022 0.455078 0.155116 0.208877 0.085919 0.109458 0.108057 0.030331 0.010909 — —
特征指标： ln yt 是线性函数
yt 1 b yt
特征指标： yt 的环比指数是常数
（6）逻辑曲线Ⅰ型
k yt 1 be at
dy kabe at yt dt (1 beat ) 2
yt ab at e 2 k yt
yt ab ln 2 ln( ) at k yt
其中：
Z
Z
i2
t
n 1
为增长特征指标值均值
为增长特征指标标准差
1 n 2 Sz ( Z Z ) t n 2 t 2
若 Vt 0.1 ，数据可当作平稳型处理，样本 序列可用直线或指数曲线拟合 （3）对其他增长特征指标与时间t是否有的线性 关系，要进行拟合优度分析，即建立线性回归模型
（3）三次曲线
yt a b1t b2t 2 b3t 3
dy y t b1 2b2 t 3b3 t 2 dt
yt( 2) d2y 2 2b2 6b3t dt d3y 3 6b3 dt
特征指标：二阶差分是线性函数
yt(3)
特征指标：三阶差分是常数
（1）直线:
yt a b t
dy yt b dt
特征指标：一阶差分是一个常数
（2）二次抛物线
yt a b1t b2 t 2
dy yt b1 2b2t dt
特征指标：一阶差分是线性的
d (b1 2b2t ) yt 2b2 dt
2
特征指标：二阶差分是常数
序列 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 可 决 相 关
yt
y t
(1)
y t
y t yt
(1)
指
ln y t
(1) 修 y t
ln
龚
yt
y ln t2 yt
(1)
180.4 — 212.3 31.9 280.5 68.2 306.9 26.4 563.2 256.3 666.6 103.4 842.6 176 921.8 79.2 1035.1 113.3 1160.5 125.4 1196.8 36.3 1210 13.2 系 数 R2 0.0093 系 数 R 0.0964
Zt b0 b1t u
ˆ b b t Z t 0 1
〔例4•3•1〕下表是某地区自行车的年销售量资 料，要求按增长特征法选择最合适的趋势曲线模型。 解：（1）计算增长特征指标列于表中 直线 （2）计算 Z t yt 的变异系数：
Vz S z Z 73.266036 / 93.6 0.7828 0.1
（4）指数曲线
yt abt
dy y t ab t ln b dt y t ln b yt
y t 特征指标： 是一个常数 yt
yt 1 b yt
特征指标：环比指数是一个常数
（5）修正的指数曲线
yt k abt
y t dy ab t ln b dt
ln yt ln(a ln b) t ln b
指数（3） 计算
Zt yt yt
Байду номын сангаас
的变异系数：
Vz S z Z 0.122680 / 0.149378 0.8213 0.1
所以判断样本序列不宜用直线和指数曲线模型拟合。
表 4• 3• 1
时间 销售量 增
某地区自行车的年销售量
长 特
( 2)
单位：百辆
征
指
标
(1)
（Zt）
1，2 次 3次
§4.3
趋势曲线模型的识别与应用
运用回归分析预测的关键在于相关因素的选择
运用时间序列分析法的关键在于模型的选择 根据样本序列选择合适的模型是成功预 测的关键.
4.3.1趋势曲线模型的识别
1．直接观察法 以时间t为横轴，以样本数据或其对数值为纵轴， 绘出散点图；然后根据散点的分布，选择形状与之 最接近的趋势曲线模型。 特点：简单，但是理论依据不足 2．最优判别准则识别法 对于同一样本： y1 , y 2 ,, y n 用不同的趋势曲线，有不同预测值和剩余标准差
ˆ1 , y ˆ 2 ,, y ˆn y
Sy
2 ˆ ( y y ) i i i 1
n
——剩余标准差
n k 1
最优判别准则以 min S y 为选择模型的依据. 此方法较为客观科学,但只能表明样本数据的拟 合情况“最优”;不能表示外推预测功效也一定最优. 3．增长特征法 以各种趋势曲线理论上的变化规律作参照系， 将样本序列的实际变动规律与之比较，根据二者 的吻合程度选择模型 特点：精度较高有利于参数估计
特征指标： ln
常数（平稳）：直线、指数曲线 增长特征指标 线性：2次、3次、修正、逻辑、 龚珀资
如何判别某一特征指标的平稳性？ 4.具体操作步骤： (1) 对样本序列作差分运算，计算增长特征指标值 Z t (2) 计算变异系数，作平稳分析
Sz (2) 计算变异系数，作平稳分析 V z Z n