第3节 二阶常系数线性差分方程
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考研数学重难点之二阶常系数线性非齐次差分方程的通解分析
2018考研数学重难点之二阶常系数线性非齐次差分方程的通解分析
差分方程除了用于对离散变量建立离散数学模型外，也可用于将连续变量及其连续数学模型离散化，换句话说，就是将微分方程离散化为差分方程，这对于难以求出精确解的微分方程来说具有重要的作用，事实上微分方程的数值解法就是如此，它通过差分方程来求出微分方程的近似解。
下面本文对二阶常系数线性非齐次差分方程的求解方法做些分析总结，供有兴趣的2018考研的同学拓展思路参考。
一、二阶常系数线性非齐次差分方程的通解
从前面的分析我们看到，二阶常系数线性非齐次差分方程的通解与二阶常系数线性非齐次微分方程的通解有非常相似的结论，比如其通解都是其特解与对应齐次方程的通解之和，而齐次方程的通解可以通过特征根求出，对于几类常见的自由项blob.png类型，包括：多项式、指数函数及二者乘积，其相应差分方程的特解也与微分方程的情形很类似，当然，二者还是有有些差别的，这一点希望大家注意。
二阶常系数线性差分方程ppt课件
等于对应齐次方程的通解加上非齐次方程的一个
特解.即
yx
yx
y
x
.
一 、二阶常系数齐次线性差分方程的求解
设Yx x ( 0)为对应齐次方程一个解，代入得
x2 ax1 bx 0
即2 a b 0
此方程称为对应齐次方程的特征方程, 其根
1 a
a2 2
4b
, 2
a
a2 4b 2
称为相应方程的特征根.
b
ii)当q2 aq b 0但2q a 0时，取s 1得其特解为
y
x
cx qx1 2q a
iii)当q2 aq b 0但2q a 0时，取s 2得其特解为
y
x
cx qx1 4q a
(3) f ( x) cxn (c为常数)，即方程为
yx2 ayx1 byx cxn 设其具有形式为yx x s (B0 B1 x Bn xn ) 的特解(其中B0 , B1,, Bn为待定系数). i)当1 a b 0时，取s 0; ii)当1 a b 0且a 2时，取s 1;
解 2 2 0
即( 2)( 1) 0 解得1 2,2 1
yx A1(2)x A2
1 a b 1 1 2 0,但a 1 2,
y
x
12x 1 2
4x
所给方程通解为yx 4x A1(2)x A2
由y0 A1 A2 ,即A1 A2 0 y1 4 2A1 A2 ,即2A1 A2 4
a 2
)
x
(
A1
,
A2为 任 意 常 数)
(3)第三种情形 a2 4b时
方程有一对共轭的复特征根,
1
1 2
a
i
4b a2 i
7-13 二阶常系数线性差分方程解析
通解为
yx
x( 7 50
1 10
x)
A1 (4) x
A2
三、小结
1.二阶常系数齐次线性差分方程求通解 2.二阶常系数非齐次线性差分方程求通解
练习题
1.求下列差分方程的通解及特解． (1) yx2 4 yx1 16 yx 0,( y0 1, y1 1) (2) yx2 2 yx1 2 yx 0,( y0 2, y1 2)
的和组成：
一 项 是 该 方 程 的 一 个 特解yx， 另一项是对应的齐次差分方程的通解Yx .
即差分方程（2）的通解为y x
Yx
y
x
.
(1) f ( x) c(c为常数),即方程为 yx2 ayx1 byx c
可设
其
特解
形
式为y
x
kxs .
i)当1
a
b
练习题答案
1.(1) yx
4x ( Acos
3
x
B sin
3
x),
yx
4x ( 1 )sin
23 3
x;
(2) yx (
2)x ( Acos x B sin x),
4
4
yx (
2)x 2 cos x 1
4
§7-13 二阶常系数线性差分方程
一、二阶常系数齐次线性差分方程的求解 二、二阶常系数非齐次线性差分方程的求解 三、小结
1.定义
形如yx2 ayx1 byx f ( x)
(其中a, b 0均为常数，f ( x)为已知函数)
差分方程的全面介绍
当a=-1时,改设特解 y t =(a+bt)t=at+bt2 将其代入方程可求得特解
1 1 2 y = (b0 - b1 )t + b1t 2 2
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方程的通解为
b0 b1 b1 t A( - a ) + 1 + a - (1 + a ) 2 + 1 + a t , a 1, yt = A + (b0 - 1 b1 )t + 1 b1 t 2 , a = -1. 2 2
y(t)=A1y1(t)+A2y2(t)+…+Anyn(t)+y (t)， 这里A1，A2,…,An为n个任意(独立)常数．
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第二节 一阶常系数线性差分方程
一阶常系数线性差分方程的一般形式为 yt+1+ayt=f(t) 和 yt+1+ayt=0, 其中f(t)为t的已知函数,a≠0为常数.分别称为一阶常 系数非齐次线性差分方程和其对应的齐次差分方程.
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一般地,k阶差分(k为正整数)定义为
D yt = D ( D
k
k -1
yt )
k -1
=D
k -1
yt +1 - D
yt ( k = 1,2,3, )
i = ( -1) i C k yt + k - i i =0
k
这里
k! C = i! ( k - i )!
i k
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二、 差分方程
依此定义类推,有 D2yt+1= Dyt+2- Dyt+1=yt+3-2yt+2+yt+1, D2yt+2= Dyt+3- Dyt+2=yt+4-2yt+3+yt+2, ………………
差分方程基础知识
整理, 得
2B1 x + B0 + B1 = x +1. 比较系数, 得 2B1 = 1, B0 + B1 = 1, 1 B0 B1 , 2 1 y x C x ( x 1). 2
设特解的待定式为
y x B0 B1 x Bm x m (a 1)
或
(6)
(7)
y x ( B0 B1 x Bm x m ) x (a 1)
其中B0 , B1 , , Bm为待定系数.
例5 求差分方程 yx+1 #43; 3x + 1)
= 3(x + 1)2 + 3(x + 1) + 1 (3x2 + 3x + 1) = 6x + 6, 3(x3) = (6x + 6) = 6(x + 1) + 6 (6x + 6)
= 6, 4(x3) = (6) 6 = 0.
二、差分方程的概念 定义2 含有自变量、未知函数及其差分的方程, 称 为差分方程. 差分方程的一般形式为 F(x, yx, yx, , n yx) = 0. (1)
为二阶差分, 记为2 yx, 即
2 yx = (yx) = yx+2 2 yx+1 + yx
同样可定义三阶差分3yx, 四阶差分4yx, 即
3yx = (2yx), 4yx = (3yx) .
例1 求(x3), 2(x3), 3(x3), 4(x3). 解 (x3) = (x + 1)3 x3 = 3x2 + 3x + 1,
定义1 设函数 y = f (x), 记为 yx, 则差
2B1 x + B0 + B1 = x +1. 比较系数, 得 2B1 = 1, B0 + B1 = 1, 1 B0 B1 , 2 1 y x C x ( x 1). 2
设特解的待定式为
y x B0 B1 x Bm x m (a 1)
或
(6)
(7)
y x ( B0 B1 x Bm x m ) x (a 1)
其中B0 , B1 , , Bm为待定系数.
例5 求差分方程 yx+1 #43; 3x + 1)
= 3(x + 1)2 + 3(x + 1) + 1 (3x2 + 3x + 1) = 6x + 6, 3(x3) = (6x + 6) = 6(x + 1) + 6 (6x + 6)
= 6, 4(x3) = (6) 6 = 0.
二、差分方程的概念 定义2 含有自变量、未知函数及其差分的方程, 称 为差分方程. 差分方程的一般形式为 F(x, yx, yx, , n yx) = 0. (1)
为二阶差分, 记为2 yx, 即
2 yx = (yx) = yx+2 2 yx+1 + yx
同样可定义三阶差分3yx, 四阶差分4yx, 即
3yx = (2yx), 4yx = (3yx) .
例1 求(x3), 2(x3), 3(x3), 4(x3). 解 (x3) = (x + 1)3 x3 = 3x2 + 3x + 1,
定义1 设函数 y = f (x), 记为 yx, 则差
二阶线性常系数齐次差分方程及其应用
3.3.3
3.模型一（蛛网模型）
市场经济中的蛛网模型
在 x~y 直角坐标系画出需求曲线和供应曲线，两 条曲线相交于点 P ，称为平衡点. 一旦第 k 时 0 ( x0 , y0 ) 段的上市量 xk x0 ， 则 yk y0 ， yk 1 y0 …… xk 1 x0 ， 即以后的上市量和价格永远保持在平衡点 P . 0 但是实际上由于种种干扰使得上市量和价格不 可能保持在 P ，不妨设 x1 偏离 x0 ，利用需求曲线和供 0 应曲线分析 xk 和 yk 的变化趋势， 可发现 P 有渐进稳定 0 或不渐进稳定两种情况. 此图形模型称为蛛网模型.
3.3.3
4. 模型二（差分方程模型）
市场经济中的蛛网模型
在 (3.3.7)式中，令 xk 1 xk x ， yk y ，可求得 平衡点. 由于 α>0，β>0，所以(3.3.7)式有且仅有平衡 点 ( x0 , y0 ) ，即蛛网模型的平衡点 P . 0 由于 α>0，β>0，所以： 当 αβ<1 时，平衡点 P 渐进稳定； 0 当 αβ>1 时，平衡点 P 不稳定. 0 由于 K f ， Kg 1 ，所以差分方程模型的结 果与蛛网模型完全一致.
而供应函数 g 在 P 附近也可以用一次函数近似表示为 0
xk 1 x0 yk y0 , ( 0, k 1,2, )
, k 1, 2, yk y0 xk x0
联立(3.3.5)式与(3.3.6)式，得到差分方程组 xk 1 x0 yk y0
1,2 12 2
于是平衡点 P 渐进稳定当且仅当 αβ<2. 与之前的稳 0 定条件 αβ<1 相比，范围放大了，对经济稳定更有利.
3常系数线性差分方程
该“线性”与线性系统的“线性”含义不 同
2、常系数差分方程的求解：
① 经典解法：类似于模拟系统求解微分方程的方法，要求 齐次解、特解，并由边界条件求待定系数。 由于计算复杂，较少使用。 ② 递推(迭代)法：简单、适于用计算机进行求解。但只能 得到一系列数值解，不易得到封闭式(公 式)解答。 ③ 变换域法：将差分方程变换到z域求解。 ④ 卷积法：由差分方程求出系统的h(n)，再与已知的x(n) 进行卷积，得到y(n)。
前面已经证明： 当 x1(n)=(n) 时，y1(n) = anu(n) 当 x2(n)=(n-1) 时， y2(n) = anu(n)+ an-1u(n-1) 令：x3(n)=(n)+(n-1)， y3(0)=1 y3(1) = ay3(0)+x3(1) = a+1 y3(2) = ay3(1)+x3(2) = a2+a … y3(n) = ay3(n-1)+x3(n) = an+an-1 ∴ y3(n) = anu(n)+ an-1u(n-1) ∵ 当x3(n)=x1(n)+x2(n)时，y3(n)≠y1(n)+y2(n)， 所以，该系统也不是线性系统。
B、当边界条件为y(0)=0时，为线性、移变系统 C、当边界条件为y(-1)=0时，为线性、移不变系统 证：(这里只证明A，B和C留给大家课后思考证明。)
令：x1(n)=(n)， y1(0)=1 y1(1) = ay1(0)+x1(1) = a y1(2) = ay1(1)+x1(2) = a2 … y1(n) = ay1(n-1)+x1(n) = an ∴ y1(n) = anu(n)
§1.3 常系数线性差分方程
差分方程的解法及应用
差分方程的解法及应用随着科学技术的不断进步，人类对于数学这一学科的探索和研究也越来越深入。
在数学的众多分支中，差分方程是一种重要的数学工具。
它具有广泛的应用领域，比如利用差分方程可以对物理、化学、生态学和经济学等领域中的一些现象进行建模和预测。
一、差分方程的定义与类型差分方程是一种描述序列之间关系的数学工具。
简单来说，差分方程就是一种具有递推性质的方程。
通过对序列中前一项和后一项之间的差值进行分析，差分方程可以对序列之间的关系进行确定。
根据差分方程的形式，我们可以将其分为线性差分方程和非线性差分方程两种类型。
线性差分方程通常可以表示为：$$a_n=c_1a_{n-1}+c_2a_{n-2}+···+c_ka_{n-k}+F(n)$$其中，$a_n$表示数列中第n项的值，$F(n)$为非齐次项，$c_1,c_2,...,c_k$为系数。
非线性差分方程则不具有这种明显的简洁形式，但是常常可以利用变量代换的方法将其转化为线性差分方程的形式求解。
二、差分方程的求解方法差分方程的解法依赖于方程的类型和系数，不同的差分方程往往需要使用不同的方法进行求解。
1.一阶线性差分方程一阶线性差分方程的形式通常为：$$a_n=c·a_{n-1}+F(n)$$其中，$c$为常数，$F(n)$为非齐次项。
为求解这种类型的差分方程，我们可以采用欧拉定理，得到方程的通解为：$$a_n=A·c^n+\frac{F(n)}{1-c}$$其中$A$是待定系数。
2.二阶常系数线性差分方程二阶常系数线性差分方程的形式通常为：$$a_n=c_1·a_{n-1}+c_2·a_{n-2}+f(n)$$其中$c_1,c_2$为常数，$f(n)$为非齐次项。
为了求解这种类型的差分方程，我们需要先找到其特征方程：$$\lambda^2-c_1\lambda-c_2=0$$然后，我们可以根据该特征方程的根以及非齐次项来计算该方程的通解。
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yt 2 ayt 1 byt f (t )
对应齐次方程 yt 2 ayt 1 byt 0
(1) (2)
1.方程(1)的任意一个解加上方程(2)的任意一个解 是(1)的解； 2.方程(1)的任意两个解之差是(2)的解 . 定理2 设 yt 是方程(1)的一个特解,
yc (t ) 是(2)的通解, 那么方程(1)的通解为
t 而 0 ,于是有
a b 0
2
(3)
代数方程(3)称为差分方程(2)的特征方程, 它的根称为特征根(或特征值).
4
a b 0
2
(3)
记
a 4b ,
2
情形1 若 0 , 则特征方程(3)有两个相异的实根
a , 1, 2 2 t t 得到方程(2)的两个特解 y1 ( t ) 1 ,y2 ( t ) 2 ,
特征方程为 2 4 4 0
解得 1， 2 , 2
t 故所求通解为 yc (C1 C2t )2
9
例3 求差分方程 yt 2 yt 1 yt 0 的通解.
解 特征方程为
2 1 0
3 0 ,
故所求通解为 yc ( t ) C1 cos t C 2 si n t 3 3
于是(2)的通解为
情形2 若 0 , 则特征方程(3)有两个相等的实根 a a t 1, 2 , 只得到方程(2)的一个特解 y1 ( t ) ( ) , 2 2
a t yc ( t ) (C1 C 2 t )( ) 2
6
情形3 若 0 , 则特征方程(3)有一对共轭复根
y t yc ( t ) y t .
3
一、二阶常系数齐次线性差分方程的解法
yt 2 ayt 1 byt 0
(2)
t 下面来寻找方程 (2)的形如 y t ( 0) 的特解.
将 yt t 代入方程(2),得 (2 a b) t 0 ,
13
例5
解
求差分方程 yt 2 4 yt 1 4 yt 5 t 的通解.
已求出对应齐次方程的通解为
yc (C1 C2t )2t
因为 f (t ) (5 t ) 1t , q 1 不是特征根, 则设形式特解为
yt A Bt , 代入原差分方程得 A 7 , B 1 ,
7
小结 y ay by 0 , 2 a b 0 t 2 t 1 t
特征根的情况
实根 r1 r2 通解的表达式
t yc ( t ) C11 C 2t2 a t yc ( t ) (C1 C 2 t )( ) 2 yc (t ) r t (C1 cos x C2 sin x)
而 y1 (t ) / y2 (t ) (1 / 2 ) C , 故它们线性无关,
t
因此(2)的通解为
yc ( t ) C C 2
t 1 1
t 2
5
a t 直接验证可知 y2 ( t ) t ( ) 也是方程(2)的一个特解, 2 且 y1 (t ), y2 (t ) 线性无关,
2
练习：
P384 习题十
17
故原方程通解为
yt (C1 C2t )2 7 t .
t
14
例6 求差分方程 yt 2 yt 1 2 yt 12 的通解.
解 特征方程为 2 2 0 特征根为 1 1, 2 2 所以对应齐次方程的通解为 yc (t ) C1 C2 (2)t
第三节
标准形式
二阶常系数线性差分方程
(1)
yt 2 ayt 1 byt f (t )
其中 t 0, 1, 2, ，常数b 0 ， 函数 f (t ) 当 t 0, 1, 2,
时有定义.
如果当 t 0, 1, 2, 时有 f ( t ) 0 ，则称方程
t 因为 f ( t ) 12 1 ,
q 1 是单特征根, 则设形式特解为
yt A t , 代入原差分方程得
A(t 2) A(t 1) 2 At 12, A 4 ,
yt C1 C2 (2)t 4t . 故原方程通解为
15
1 t 例7 求差分方程 4 yt 2 4 yt 1 yt 5 ( ) 的通解. 2 解 特征方程为 42 4 1 0
1,2 i
可以证明, y1 (t ) r cos t , y2 (t ) r sin t ,
t t
是(2)的解，且线性无关， 所以方程(2)的通解为
yc ( t ) r (C1 cos x C 2 a 2 ). 其中 r b , arctan( a
12
例4
解
求差分方程 yt 2 5 yt 1 6 yt 10 的通解.
已求出对应齐次方程的通解为
yc (t ) C1 2t C2 3t
因为 f (t ) 10 1 , q 1 不是特征根, 则设形式特解为
t
yt A , 代入原差分方程得 A 5 ,
故原方程通解为 yt C1 2t C2 3t 5 .
yt 2 ayt 1 byt 0
(2)
设 yt 是方程(1)的一个特解,
yc (t ) 是(2)的通解,
那么方程(1)的通解为
y t yc ( t ) y t .
问题归结为求方程(1)的一个特解. 用待定系数法求解.
11
在此只介绍 f (t ) Pm (t ) q 时特解的求法.即差分方程为
1 t2 1 t 5 2 1 t 1 2 1 t 4 A( t 2) ( ) 4 A( t 1) ( ) At ( ) 5( ) , A , 2 2 2 2 2 1 t 5 2 1 t 故原方程通解为 yt (C1 C 2 t ) ( ) t ( ) . 16 2 2 2
a 实根 r1 r2 2 复根 r1, 2 i
4b a r b , arctan arctan( ). a
2 2 2
8
例1 求差分方程 yt 2 5 yt 1 6 yt 0 的通解.
解 特征方程为 2 5 6 0 特征根为 1 2, 2 3 故所求通解为 yc (t ) C1 2t C2 3t 例2 求差分方程 yt 2 4 yt 1 4 yt 0 的通解. 解
yt 2 ayt 1 byt 0
为二阶常系数齐次线性差分方程，
(2)
否则，称为二阶常系数非齐次线性差分方程. (2)称为(1)对应的齐次线性差分方程.
1
二阶常系数齐次差分线性方程解的性质
yt 2 ayt 1 byt 0
(2)
1.方程(2)的任意两个解的和仍是(2)的解；
1 特征根为 1 2 2 1 t 所以对应齐次方程的通解为 yc ( t ) (C1 C 2 t ) ( ) 2 1 t 1 因为 f ( t ) 5 ( ) , q 是特征重根,则设形式特解为 2 2 2 1 t yt A t ( ) , 代入原差分方程得 2
yc (t ) r t (C1 cos x C2 sin x)
4b a 2 r 2 2 b , arctan arctan( ). a
10
二、二阶常系数非齐次线性差分方程的解法
yt 2 ayt 1 byt f (t )
对应齐次方程 (1)
2.方程(2)的任意一个解的常数倍仍是(2)的解；
定理1 如果 y1 (t ), y2 (t ) 是方程(2)的两个解,则
yt C1 y1 (t ) C 2 y2 (t )
也是(2)的解.
y1 ( t ) 如果 常 数(称线性无关), 则上式为(2)的通解. y2 ( t )
2
二阶常系数非齐次线性差分方程解的性质及求解法
t
yt 2 ayt 1 byt Pm (t ) q t
其中 Pm (t ) 是 m 次多项式, q 为非零常数.
设特解的形式为 yt t k Qm (t )qt ,
其中 Qm (t ) 是与 Pm (t ) 同次的多项式,其系数待定，
0, k 1, 2，
q不 是 特 征 根 ， q是 特 征 单 根 ， q是 特 征 重 根 .