8.1.n阶常系数线性方程的解法
常系数非齐次线性常微分方程解法之一pdf
常系数线性微分方程复习一、常系数线性微分方程的形式和名词解释1. n 阶常系数线性微分方程的标准形式为：)(1)1(1)(t f y a y a y a y n n n n =+′+++−−L其中 a 1，a 2，L ，a n 是常数，f (t )为连续函数2. n 阶微分方程的含有n 个独立的任意常数的解，叫做一般解（通解）。
3. 微分方程不含任意常数的解，叫做特解。
4. 把微分方程与初始条件合在一起叫做微分方程的初值问题。
初值问题的解是即满足微分方程又满足初始条件的特解。
二、常系数线性齐次微分方程的解法01)1(1)(=+′+++−−y a y a y a y n n n n L其中a 1，a 2，L ，a n 是常数，等号右端自由项为零1. 求齐次线性微分方程的特征方程（只要将齐次线性微分方程式中的 y (k )换写成 λk ，k = 0，1，L ，n ，即得其特征方程）。
0111=++++−−n n n n a a a λλλL2. 求特征方程的根（称为微分方程的特征根）。
3. 求得了方程的 n 个特征根，就可得到微分方程的n 个线性无关的一般解（根的形式不同，解的形式也不同）。
(1) 特征方程有n 个互异的实根 λ1， λ2 ，L ，λn 。
方程的通解为 t n t tc c c y n 21e e e21λλλ+++=L例 求齐次微分方程032=−′−′′y y y 的通解特征方程0322=−−λλ 求出特征方程的根3121=−=λλ方程的通解 t tc c y −+=e e231(2) 特征方程有n 个实根，但存在重根（设λ0是方程的k 重根）。
方程的通解为t n t k t k k c c t c t c c y k n 10e e )e (1121λλλ++++++=++−L L例 求齐次微分方程043=−′′+′′′y y y 的通解特征方程04323=−+λλ 求出特征方程的根21321−===λλλ方程的通解为 t tt t c c c y 23221e ee −−++=(3) n 个特征根中存在复数根的情况（举例说明）a. 存在1对不重复的复数根 a ± j β ，n -2个互异的实根。
常系数线性微分方程的一般解法
如何将常系数线性微分方程与其他领域的知识进行交叉融 合，如人工智能、大数据等，是一个值得探索的方向。
复杂系统建模
随着对复杂系统的研究深入，如何建立更精确的数学模型 ，并求解这些模型，是未来研究的重要挑战。
应用拓展
随着科技的发展，常系数线性微分方程的应用领域也在不 断拓展，如何将其应用于新领域并解决实际问题，是一个 具有挑战性的任务。
二阶常系数线性微分方程
01
方程形式
y'' + p*y' + q*y = r
特征根法
根据特征方程的根的性质，将方程 化为标准形式，然后求解
03
02
解法
通过特征根法或公式法求解
公式法
根据特征方程的根，利用公式求解 通解
04
高阶常系数线性微分方程
方程形式
y(n) + a1*y(n-1) + a2*y(n-2) + ... + an*y = 0
是已知函数的线性组合。
齐次方程的解在求解非齐次方程时也经常用到，因为非齐次项
03
可以通过与齐次方程的解进行运算来消去。
非齐次方程的求解
01
非齐次方程是常系数线性微分 方程的一种常见形式，其解法 相对复杂。
02
非齐次方程的解可以通过常数 变易法或待定系数法求解，其 解的形式通常是已知函数的线 性组合加上一个特解。
常系数线性微分方程的一 般解法
• 引言 • 常系数线性微分方程的解法 • 举例说明 • 总结与展望
01
引言
微分方程的定义与重要性
微分方程是描述数学模型中变量之间 动态关系的数学工具，广泛应用于物 理、工程、经济等领域。
常系数线性微分方程的解法
则
e ，te , ..., t e ，te , ..., t .................. e ，te
m t m t 2 t 2 t
1 t
1 t
k1 1 1 t
e , e , e ,
k2 1 2 t
, ..., t
km 1 m t
为L[ x] 0的一个基本解组。
dnx d n 1 x a1 ( t ) n1 n dt dt dx an1 ( t ) an ( t ) x u( t ) dt
和
dnx d n 1 x a1 ( t ) n1 n dt dt dx an 1 ( t ) a n ( t ) x v ( t ) dt
K ( K 1) ( K n 1) a1 K ( K 1) ( K n 2) an 0
例
求欧拉方程
x 3 y x 2 y 4 xy 0 的通解．
解 作变量变换
x e t 或 t ln x,
原方程的特征方程为
k 2k 3k 0,
2
作业 : P164 2(3),(5),(7);3(2),(4);4(2)
' n n 1
及2l ( k1 + 2l n)个互异复根
i 1 1 i 1 , i 1 1 i 1 , ..., il l i l , il l i l
重次分别为s1 , s2 ,..., sr .显然
k1 k2 ... kr 2( s1 s2 ... sr ) n, 则
练 习 题
求下列欧拉方程的通解 ： 1．x y xy y 0;
2
数值计算08-线性方程组数值解法(优选.)
0
(k=1,2,…,n) ,则可通过高斯消元法求出Ax=b 的解。
引理
A的主元素
a(k) kk
0
(k=1,2,…,n) 的充要条件
是矩阵A的各阶顺序主子式不为零，即
a11
a1k
D1 a11 0 Dk
0, k 2, 3, , n
ak1
akk
定理2 Ax=b 可用高 斯消元法求解的充分必要条件是： 系数矩阵 A 的各阶顺序主子式均不为零。
Page 5
线性代数方程组的计算机解法常用方法：
直接法 迭代法
消去法 矩阵三角分解法
Page 6
直接法：经过有限步算术运算，可求得方程组
的精确解的方法（若在计算过程中没有舍入误差）
迭代法：用某种极限过程去逐步逼近线性方程
组精确解的方法 迭代法具有占存储单元少，程序设计简单，原
始系数矩阵在迭代过程中不变等优点，但存在收 敛性及收敛速度等问题
a(k) ik
a(k) kk
aijk
mik
a
k
kj
bik1 bik mikbkk
xn
bnn annn
bii
n
a
i
ij
x
j
,
xi
ji1
aiii
i, j k 1, k 2,, n
i n 1,,2,1
高斯消元法的条件
Page 20
定理1
如果在消元过程中A的主元素
a(k) kk
即:
a111
a112 a222
a11n a22n
x1 x2
bb1212
an22
an2n
xn
bn2
其中：
阶常系数齐次线性方程解法
dp 代入原方程, 得 P f ( y , P ). dy
４、线性微分方程解的结构
初值问题 求微分方程满足初始条件的解的问题， 叫初值问题．
5-习题课（57）
5
2、一阶微分方程的解法
(1) 可分离变量的微分方程
形如 g( y )dy f ( x )dx
解法
g( y )dy f ( x )dx
分离变量法
dy y (2) 齐次方程 形如 f( ) dx x y 解法 作变量代换 u x
特点 不显含未知函数y. 解法
令 y P ( x ),
y P ,
代入原方程, 得 P f ( x , P ( x )).
5-习题课（57） 15
( 3)
特点 解法
y f ( y , y ) 型
不显含自变量x .
பைடு நூலகம்
令 y P ( x ),
dp y P , dy
其中 du( x , y ) P ( x , y )dx Q( x , y )dy
5-习题课（57） 10
注意： 全微分方程
P Q y x
解法 应用曲线积分与路径无关.
u( x , y ) x P ( x , y )d x y Q( x0 , y )dy
0 0
5-习题课（57） 6
(3) 可化为齐次的方程
dy ax by c 形如 f( ) dx a1 x b1 y c1
当c c1 0时, 齐次方程． 否则为非齐次方程．
解法
令
x X h, y Y k，
化为齐次方程．
（其中h和k是待定的常数）
5-习题课（57） 7
第4节 n阶常系数线性差分方程
其重数为 k ( 2 k ≤ n ) , 则
r t cos ω t , t r t cos ω t , L , t k − 1 r t cos ω t t r sin ω t , t r t sin ω t , L , t k − 1 r t sin ω t 为齐次方程(2)的 个线性无关的特解 个线性无关的特解， 为齐次方程 的2k个线性无关的特解，其中 b 2 2 r = a + b , tan ω = , ω ∈ ( 0 , π ) a
相应齐次方程的通解为
yc ( t ) = C1 ( −3) + 2 (C 2 cos
t t
π
2
t + C 3 sin
π = B ， 入原方程得 B = 1 ， 一特解为 yt = 1 ， 代 方程得 得
故原方程通解为
yt = C1 ( −3) + 2 (C 2 cos
t t
4
阶常系数非齐次线性差分方程的解法 非齐次线性差分方程的 二、 n 阶常系数非齐次线性差分方程的解法
yt +n + a1 yt +n−1 +L+ an−1 yt +1 + an yt = b
对应齐次方程 (1)
常数， 其中 a1 , L , a n −1 , a n , b 为常数，且 a n ≠ 0 , b ≠ 0 ，
3
yt +n + a1 yt +n−1 +L+ an−1 yt +1 + an yt = 0
λn + a1λn−1 +Lan−1λ + an = 0
(2) (3)
上述特解共有n个 将它们用任意常数组合起来， 上述特解共有 个，将它们用任意常数组合起来， 即得齐次方程(2)的通解 的通解. 即得齐次方程 的通解.
常系数线性微分方程的一般解法
初始条件法
根据微分方程和初始条件 ，确定通解中的任意常数 ，从而得到满足初始条件 的特解。
积分因式法
通过对方程进行适当的变 换，使其成为易于积分的 形式，然后求解通解。
05 微分方程的特解
特解的定义与性质
总结词
特解是满足微分方程的特定函数，具有 与原方程不同的形式。
VS
详细描述
特解是微分方程的一个解，它具有与原方 程不同的形式，但满足原方程的约束条件 。特解通常用于求解微分方程时，通过将 特解代入原方程来求解未知数。
二阶常系数线性微分方程
总结词
二阶常系数线性微分方程是形如 (y'' + p(t)y' + q(t)y = r(t)) 的方程，其中 (p(t))、(q(t)) 和 (r(t)) 是关于时间 (t) 的已知函数。
详细描述
二阶常系数线性微分方程的一般形式为 (y'' + p(t)y' + q(t)y = r(t))，其中 (p(t))、(q(t)) 和 (r(t)) 是关于时间 (t) 的已知函数。解这个方程可以得到 (y(t)) 的通解。
间的变化性微分方程在机械振动分析中有着广泛的应用，例如分 析弹簧振荡器、单摆等的振动规律。
电路分析
在电路分析中，微分方程被用来描述电流、电压随时间的变化规 律，以及电路元件的响应特性。
控制工程
在控制工程中，微分方程被用来描述系统的动态特性，以及系统 对输入信号的响应。
在经济中的应用
供需模型
微分方程可以用来描述商品价格 随时间的变化规律，以及供需关 系对价格的影响。
投资回报分析
在投资领域，微分方程可以用来 描述投资回报随时间的变化规律， 以及风险因素对投资回报的影响。
常系数线性微分方程组的解法举例
给定一个n阶常系数线性微分方程组，其一般形式为y' = Ay，其中y是一个n维向量，A是一个n×n的常数 矩阵。
线性微分方程组的分类
按照矩阵A的特征值分类
根据矩阵A的特征值，可以将线性微分方 程组分为稳定、不稳定和临界稳定三种 类型。
VS
按照解的形态分类
根据解的形态，可以将线性微分方程组分 为周期解、极限环解和全局解等类型。
总结解法技巧与注意事项
• 分离变量法：将多变量问题转化 为单变量问题，通过分别求解每 个变量的微分方程来找到整个系 统的解。
总结解法技巧与注意事项
初始条件
在求解微分方程时，必须明确初始条件，以便确定解 的唯一性。
稳定性
对于某些微分方程，解可能随着时间的推移而发散或 振荡，因此需要考虑解的稳定性。
常系数线性微分方程组的 解法举例
• 引言 • 常系数线性微分方程组的定义与性质 • 举例说明常系数线性微分方程组的解
法 • 实际应用举例 • 总结与展望
01
引言
微分方程组及其重要性
微分方程组是描述物理现象、工程问 题、经济模型等动态系统的重要工具。
通过解微分方程组，我们可以了解系 统的变化规律、预测未来的状态，并 优化系统的性能。
04
实际应用举例
物理问题中的应用
电路分析
在电路分析中，常系数线性微分方程组可以用来描述电流、电压和电阻之间的关系。通过解方程组，可以确定电 路中的电流和电压。
振动分析
在振动分析中，常系数线性微分方程组可以用来描述物体的振动行为。通过解方程组，可以预测物体的振动模式 和频率。
经济问题中的应用
供需关系
要点二
详细描述
初始条件是微分方程组中描述系统在初始时刻状态的约束 条件。它们对微分方程组的解具有重要影响，决定了解的 初始状态和行为。在求解微分方程组时，必须考虑初始条 件的影响，以确保得到的解是符合实际情况的。不同的初 始条件可能导致完全不同的解，因此在求解微分方程组时 ，需要仔细选择和确定初始条件。
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第二讲§4.2 n 阶常系数线性齐次方程的解法(2学时)教学目的: 本节主要讨论n 阶常系数线性齐次方程的解法。
教学要求: 掌握n 阶常系数线性齐次方程的一些解法，了解复值函数与复值解的有关结论。
教学重点: n 阶常系数齐次线性方程的特征根法和待定系数法 教学难点: 特征根法和待定系数法教学方法: 讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。
教学手段: 传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。
上一节我们已详细地讨论线性方程通解的结构问题,但是如何求通解的方法还没有具体给出,事实上,对一般的线性方程是没通用的解法.本节介绍求解常系数齐次线性方程通解的方法,是在线性方程基本理论上化为解一个相应的代数方程,而不必进行积分运算.进而介绍可化为常系数齐次线性方程的解法.讨论常系数线性方程的解法时,需要涉及到定变量的变值函数及复指数函数的问题.为此首先作一介绍. 一. 复值函数与复值解 1. 复值函数若)()(t t ψϕ和是区间b t a ≤≤上定义的实函数,我们称)1(),()()(2-=+=i t i t t z ψϕ为区间b t a ≤≤上的复值函数.若)(),(t t ψϕ在b t a ≤≤上连续，则称z(t)在b t a ≤≤上连续.若)(),(t t ψϕ在b t a ≤≤上可微，则称z(t)在b t a ≤≤上可微. 且z(t)的导数为:,dtd i dt d dt dz ψϕ+= 复函数求导法则与实函数相同.2．复指数函数 ()()(cos sin )i tt z t ee t i t αβαββ+==+， 欧拉公式:cos sin i e i θθθ=+3．复值解定义 定义在区间a t b ≤≤上的实变量复值函数)(t z x =称为方程(4.5)的复值解，如果()(1)11()()()()n n n n z p t z p t z p t z f t --'++++=对于a t b ≤≤恒成立。
对线性方程的复值解有下面的两个结论：定理1如果方程(4.11)的所有系数()(1,2,,)i p t i n = 都是实值函数，而)()()(t i t t z x ψϕ+==是方程的复值解，则z(t)的实部)(t ϕ和虚部)(t ψ及z(t)的共轭复数也都是方程(4.11)的解.定理 2 若方程()(1)11()()()()()n n n n y p t y p t y p t y u t iv x --'++++=+ 有复值解()()y u t iv t =+,这里()(1,2,,)i p t i n = 及)(),(t v t u 都只能是实函数，那么这个解的实部)(t u 和虚部)(t v 分别是方程()(1)11()()()()n n n n y p t y p t y p t y u t --'++++=和()(1)11()()()()n n n n y p t y p t y p t y v x --'++++=的解. 二. n 阶常系数线性齐次方程的解法 本节只讨论常驻系数线性齐次方程()(1)110n n n n y a y a y a y --'++++= (4.21)的求解问题，这里n a a a ,,,21 为常数. 由定理4.3，我们知道(4.21)的求解问题归结为求其基本解组即可。
虽然对于一般的线性齐次微分方程，人们至今没有找到一个求其基本解组的 一般方法，但是对于方程(4.21)，这一问题已彻底解决。
其中，一个自然的做法是把(4.21)化成与之等价的一阶线性常驻系数齐次微分方程组，然后按3.5节的有关解法及引理4.1和引理4.2，就可以求得(4.21)的基本解组，但是这样的推导过程并不简洁，因此我们这里将对方程(4.21)采用Euler 待定指数函数法求解。
我们知道，一阶常系数齐次线性方程0y ay '+=有通解axy ce-=，因此，对于方程(4.21)我们也尝试求指数函数形式的解xy e λ= 其中λ是待定常数，可以是实的，也可以是复的，把它代入方程(4.21)得:11[]()0x n n x n L e a a e λλλλ-=+++= 。
因此，xe λ为(4.21)的解的关系条件是:λ是代数方程11()0n n n P a a λλλ-≡+++= (4.22)的根，方程(4.22)称为方程(4.21)的特征方程，它的根为方程(4.21)的特征根.这样求方程(4.21)的解问题，便归结为求方程(4.21)的特征根问题了。
下面我们根据特征根的不同情况分别加以讨论.4.2.1特征根是单根的情形定理4.8 若特征方程(4.22)有n 个彼此不相等的根n λλλ,,,21 ，则1212,,,n x xxn y e y ey e λλλ=== (4.23)是方程(4.21)的一个基本解组。
由于1212111211()1211111112()111[,,]()0n n n n n n x xxxxxnxxxn n n xx x n n n n n xi j j i ne e e e e e w e e e e e e e λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ++-----++≤<≤===-≠∏故解组(4.23)线性无关，即为方程(4.21)的一个基本解组.若),,2,1(n i i =λ均为实数，则(4.23)是方程(4.21)的基本解组，从而(4.21)的通解为11()n x x n y x c e c e λλ=++其中n c c c ,,,21 为任常数.若),,2,1(n i i =λ中有复数，则因方程的系数是实常数，复根将成对共轭出现，设βαλi +=1是特征根，则βαλi -=2也是特征根，相应地方程(4.21)有两个复值解:()(cos sin )i x x e e x i x αβαββ+=+, ()(cos sin )i x x e e x i x αβαββ-=-.由定理1知，它的实部和虚部也是方程的解，这样一来，对应于方程的一对共轭复根为βαλi ±=，由此求得(4.21)的两个实值解为cos ,sin xx ex e x ααββ.4.2.2 特征根有重根的情形设特征方程(4.22)有k 重根1λλ=，则有(1)1111()()()0,()0.k k P P P P λλλλ-'====≠ (4.24) 其次，易见[](),m x xx m xmL e P e e x e λλλλλλ∂==∂ 因此有()[][][]()m x m m m xxx mm m e L x e L L e P e λλλλλλλλ∂∂∂===∂∂∂ ()(1)(2)2(1)()()()()2!m m m m x m m P mP x P x P x e λλλλλ---⎧⎫=++++⎨⎬⎩⎭于是由(4.24)立刻得到1[]0,0,1,2,,1x m L x e m k λ≡=-即函数1111,,,x x xk e xe x e λλλ- 都是方程(4.21)的解。
一般地，当特征方程有多个重根时，如何确定该方程的基本解组，我们有下面的 定理 4.9 如果方程(4.21)有互异的特征根12,,,p λλλ ，它们的重数分别为12,,,,1,p i m m m m ≥ 且12p m m m n +++= ，则与它们对应的方程(4.21)的特解是11112222111,,,,,,,,,p p ppx x m x x x m x xx m xe x e x ee x e x e ex e x e λλλλλλλλλ---(4.25)且(4.25)构成(4.21)在区间(,)-∞+∞上的基本解组。
对于特征方程有复根的情况，例如有k 重根βαλi +=，则βαλi -=也是k 重复根， 如同单复根对那样，我们也可以把方程(4.21)的2k 个复值解换成2k 个实值解1cos ,cos ,,cos ,x x k x e x xe x x e x αααβββ- 1s i n ,s i n ,,s i n .x x k xe x x e x x e x αααβββ- 1．求方程(4.21)通解的步骤：第一步：求(4.21)的特征方程及特征根n λλλ,,,21 . 第二步：计算方程(4.21)相应的解（a ）对每一个实单根k λ，方程有解k xk y eλ=.（b ）对每一个m>1重实根k λ，方程有m 个解1,,,k k k xx x m exe x e λλλ- .（c ）对每一个重数是一的共轭复根βαi ±，方程有两个解cos ,sin xx e x e x ααββ.（d ）对每一个重数是m>1的共轭复根βαi ±，方程有2m 个为以下形式的解：1cos ,cos ,,cos ,x x m x e x xe x x e x αααβββ- 和1sin ,sin ,,sin .x x m x e x xe x x e x αααβββ-第三步： 根据第二步中的(a),(b),(c),(d)写出方程(4.21)的基本解组及通解.例1 求方程0432233=+-x dtxd dt x d 的通解.解：特征方程0)2)(1(43223=-+=+-λλλλ 有根.2,13,21=-=λλ 1λ是单根,3,2λ是二重根，因此有解,,,22t t t te e e -其通解为t t t te c e c e c x 23221++=-，这里的321,,c c c 是任常数.例2 求方程044=-x dtxd 的通解.解: 特征方程 014=-λ有根i i -==-==4321,,1,1λλλλ，有两个实根和两个虚根，均是单根。
故方程的通解为t c t c e c e c t x t t sin cos )(4321+++=-，这里的321,,c c c 是任常数。
例3 求方程033223344=-+-dtdxdt x d dt x d dt x d 的通解. 解: 特征方程 0)1(333234=-=-+-λλλλλλ有根,1,021==λλ 其中01=λ是单根,12=λ是三重根，故方程的通解为t e t c t c c c x )(24321+++=，这里的321,,c c c 是任常数. 例4 求方程 022244=++x dtxd dt x d 的通解. 解: 特征方程0)1(12224=+=++λλλ, 即特征根i ±=2,1λ是二重根，因此，方程有四个实值解，t t t t t t sin ,sin ,cos ,cos故方程的通解为t t c c t t c c x sin )(cos )(4321+++=，这里的321,,c c c 是任常数.注：本节所介绍的求解方程(4.21)的方法，不仅可以求出其通解和初值问题的解，而且还能求出边值问题的解，初值问题和边值问题都是常微分方程的定解问题。