二阶常系数线性微分方程的解法
二阶常系数线性微分方程的通解公式
二阶常系数线性微分方程的通解公式，
近年来，随着网络技术的不断发展和人们日益增长的对网络技术的依赖，互联
网技术的优势日益凸显。
比如二阶常系数线性微分方程的通解公式，可以有效地解决多种网络问题。
二阶常系数线性微分方程的通解公式是数学里面的重要概念，它使计算机科学
家们能够把数学理论应用于网络方面的问题解决。
其通解公式简单来说就是一元二次方程的通解公式。
它的标准形式为：y=c11*e~(atanx)+c12*etanx。
式中c11、
c12都是常数，通过不定积分求解得出。
二阶常系数线性微分方程的通解公式具有重要的经济意义，尤其对于处理网络
问题具有重要的应用价值。
比如，在网络重构以及网络安全领域，二阶常系数线性微分方程的通解公式可以有效地解决网络数据的处理、存储以及传输问题；在通信领域，它可以有效地应用于高速网络的传输以及信息的自动处理；在可信计算领域，可以用来分布式计算、网络安全、网络备份以及网络重构等应用问题。
因此可见，二阶常系数线性微分方程的通解公式对于网络技术的发展有着至关
重要的意义，如果知道了这个公式的通解方法，那么就可以有条不紊地解决网络技术相关的复杂问题。
二阶常系数线性微分方程的解法word版
第八章 讲第四节 二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线形微分方程的概念形如 )(x f qy y p y =+'+'' 1的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中p 、q 均为实数,)(x f 为已知的连续函数.如果0)(≡x f ,则方程式 1变成0=+'+''qy y p y 2我们把方程2叫做二阶常系数齐次线性方程,把方程式1叫做二阶常系数非齐次线性方程. 本节我们将讨论其解法.二、二阶常系数齐次线性微分方程1．解的叠加性定理1 如果函数1y 与2y 是式2的两个解, 则2211y C y C y +=也是式2的解,其中21,C C 是任意常数.证明 因为1y 与2y 是方程2的解,所以有0111=+'+''qy y p y 0222=+'+''qy y p y 将2211y C y C y +=代入方程2的左边,得)()()(221122112211y C y C q y C y C p y C y C ++'+'+''+'' =0)()(22221111=+'+''++'+''qy y p y C qy y p y C 所以2211y C y C y +=是方程2的解.定理1说明齐次线性方程的解具有叠加性.叠加起来的解从形式看含有21,C C 两个任意常数,但它不一定是方程式2的通解.2.线性相关、线性无关的概念设,,,,21n y y y 为定义在区间I 内的n 个函数,若存在不全为零的常数,,,,21n k k k 使得当在该区间内有02211≡+++n n y k y k y k , 则称这n个函数在区间I 内线性相关,否则称线性无关.例如 x x 22sin ,cos ,1在实数范围内是线性相关的,因为0sin cos 122≡--x x又如2,,1x x 在任何区间a,b 内是线性无关的,因为在该区间内要使 02321≡++x k x k k必须0321===k k k .对两个函数的情形,若=21y y 常数, 则1y ,2y 线性相关,若≠21y y 常数, 则1y ,2y 线性无关.3.二阶常系数齐次微分方程的解法定理 2 如果1y 与2y 是方程式2的两个线性无关的特解,则212211,(C C y C y C y +=为任意常数是方程式2的通解.例如, 0=+''y y 是二阶齐次线性方程,x y x y cos ,sin 21==是它的两个解,且≠=x y y tan 21常数,即1y ,2y 线性无关, 所以 x C x C y C y C y cos sin 212211+=+=21,C C 是任意常数是方程0=+''y y 的通解.由于指数函数rxe y =r 为常数和它的各阶导数都只差一个常数因子,根据指数函数的这个特点,我们用rx e y =来试着看能否选取适当的常数r ,使rxe y =满足方程2.将rx e y =求导,得 rx rx e r y re y 2,=''='把y y y ''',,代入方程2,得0)(2=++rx eq pr r 因为0≠rx e , 所以只有 02=++q pr r 3只要r 满足方程式3,rx e y =就是方程式2的解.我们把方程式3叫做方程式2的特征方程,特征方程是一个代数方程,其中r r ,2的系数及常数项恰好依次是方程2y y y ,,'''的系数. 特征方程3的两个根为 2422,1q p p r -±-=, 因此方程式2的通解有下列三种不同的情形. (1) 当042>-q p 时,21,r r 是两个不相等的实根. 2421q p p r -+-=,2422q p p r ---= x r x r e y e y 2121,==是方程2的两个特解,并且≠=-x r r e y y )(2121常数,即1y 与2y 线性无关.根据定理2,得方程2的通解为 x r x r e C e C y 2121+=(2) 当042=-q p 时, 21,r r 是两个相等的实根. 221p r r -==,这时只能得到方程2的一个特解x r e y 11=,还需求出另一个解2y ,且≠12y y 常数,设)(12x u y y =, 即 )(12x u e y x r =)2(),(21121211u r u r u e y u r u e y x r x r +'+''=''+'='. 将222,,y y y '''代入方程2, 得 []0)()2(12111=++'++'+''qu u r u p u r u r u e x r 整理,得0])()2([12111=+++'++''u q pr r u p r u e x r由于01≠x r e , 所以 0)()2(1211=+++'++''u q pr r u p r u 因为1r 是特征方程3的二重根, 所以02,01121=+=++p r q pr r从而有 0=''u因为我们只需一个不为常数的解,不妨取x u =,可得到方程2的另一个解 x r xe y 12=.那么,方程2的通解为x r x r xe C e C y 1121+=即 xr e x C C y 1)(21+=.(3) 当042<-q p 时,特征方程3有一对共轭复根 βαβαi r i r -=+=21, 0≠β于是 x i x i e y ey )(2)(1,βαβα-+== 利用欧拉公式 x i x e ix sin cos +=把21,y y 改写为)sin (cos )(1x i x e e e e y x x i x x i ββαβαβα+=⋅==+)sin (cos )(2x i x e e e e y x x i x xi ββαβαβα-=⋅==-- 21,y y 之间成共轭关系,取-1y =x e y y x βαcos )(2121=+, x e y y i y x βαsin )(2121_2=-= 方程2的解具有叠加性,所以-1y ,-2y 还是方程2的解,并且≠==--x x e x e y y x x βββααtan cos sin 12常数,所以方程2的通解为 )sin cos (21x C x C e y x ββα+=综上所述,求二阶常系数线性齐次方程通解的步骤如下:1写出方程2的特征方程02=++q pr r2求特征方程的两个根21,r r3根据21,r r 的不同情形,按下表写出方程2的通解.例1求方程052=+'+''y y y 的通解.解: 所给方程的特征方程为0522=++r ri r i r 21,2121--=+-=所求通解为 )2sin 2cos (21x C x C e y x +=-.例 2 求方程0222=++S dt dS dtS d 满足初始条件2,400-='===t t S S 的特解.解 所给方程的特征方程为0122=++r r121-==r r通解为 te t C C S -+=)(21 将初始条件40==t S 代入,得 41=C ,于是 t e t C S -+=)4(2,对其求导得te t C C S ---=')4(22 将初始条件20-='=t S 代入上式,得 22=C所求特解为t e t S -+=)24(例3求方程032=-'+''y y y 的通解.解 所给方程的特征方程为 0322=-+r r其根为 1,321=-=r r所以原方程的通解为 x x e C e C y 231+=-二、二阶常系数非齐次方程的解法1.解的结构定理3 设*y 是方程1的一个特解,Y 是式1所对应的齐次方程式2的通解,则*+=y Y y 是方程式1的通解.证明 把*+=y Y y 代入方程1的左端:)()()(*++*'+'+*''+''y Y q y Y p y Y=)()(*+*'+*''++'+''qy py y qY Y p Y=)()(0x f x f =+*+=y Y y 使方程1的两端恒等,所以*+=y Y y 是方程1的解. 定理4 设二阶非齐次线性方程1的右端)(x f 是几个函数之和,如 )()(21x f x f qy y p y +=+'+'' 4 而*1y 与*2y 分别是方程 )(1x f qy y p y =+'+''与 )(2x f qy y p y =+'+''的特解,那么**+21y y 就是方程4的特解, 非齐次线性方程1的特解有时可用上述定理来帮助求出.2.)()(x P e x f m x λ=型的解法 )()(x P e x f m x λ=,其中λ为常数,)(x P m 是关于x 的一个m 次多项式. 方程1的右端)(x f 是多项式)(x P m 与指数函数x e λ乘积的导数仍为同一类型函数,因此方程1的特解可能为x e x Q y λ)(=*,其中)(x Q 是某个多项式函数.把 x e x Q y λ)(=*x e x Q x Q y λλ)]()(['+=*'x e x Q x Q x Q y λλλ)]()(2)([2''+'+=*''代入方程1并消去xe λ,得)()()()()2()(2x P x Q q p x Q p x Q m =+++'++''λλλ 5以下分三种不同的情形,分别讨论函数)(x Q 的确定方法:1 若λ不是方程式2的特征方程02=++q pr r 的根, 即02≠++q p λλ,要使式5的两端恒等,可令)(x Q 为另一个m 次多项式)(x Q m :m m m x b x b x b b x Q ++++= 2210)(代入5式,并比较两端关于x 同次幂的系数,就得到关于未知数m b b b ,,,10 的1+m 个方程.联立解方程组可以确定出),,1,0(m i b i =.从而得到所求方程的特解为x m e x Q y λ)(=*2 若λ是特征方程02=++q pr r 的单根, 即02,02≠+=++p q p λλλ,要使式5成立, 则)(x Q '必须要是m 次多项式函数,于是令)()(x xQ x Q m =用同样的方法来确定)(x Q m 的系数),,1,0(m i b i =.3 若λ是特征方程02=++q pr r 的重根,即,02=++q p λλ 02=+p λ.要使5式成立,则)(x Q ''必须是一个m 次多项式,可令)()(2x Q x x Q m =用同样的方法来确定)(x Q m 的系数.综上所述,若方程式1中的x m e x P x f λ)()(=,则式1的特解为x m k e x Q x y λ)(=*其中)(x Q m 是与)(x P m 同次多项式,k 按λ不是特征方程的根,是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0,1或2.例4 求方程x e y y 232-='+''的一个特解.解 )(x f 是x m e x p λ)(型, 且2,3)(-==λx P m对应齐次方程的特征方程为 022=+r r ,特征根根为2,021-==r r . λ=-2是特征方程的单根, 令xe xb y 20-=*,代入原方程解得230-=b故所求特解为 xxe y 223--=* .例5 求方程x e x y y )1(2-='-''的通解.解 先求对应齐次方程02=+'-''y y y 的通解.特征方程为 0122=+-r r , 121==r r齐次方程的通解为 xe x C C Y )(21+=.再求所给方程的特解1)(,1-==x x P m λ由于1=λ是特征方程的二重根,所以x e b ax x y )(2+=*把它代入所给方程,并约去x e 得126-=+x b ax比较系数,得61=a 21-=b于是 xe x x y )216(2-=*所给方程的通解为 x e x x x C C y y y )6121(3221+-+=+=* 3.x B x A x f ϖϖsin cos )(+=型的解法 ,sin cos )(x B x A x f ωω+=其中A 、B 、ω均为常数.此时,方程式1成为x B x A q y p y ωωsin cos +=+'+'' 7这种类型的三角函数的导数,仍属同一类型,因此方程式7的特解*y 也应属同一类型,可以证明式7的特解形式为)sin cos (x b x a x y k ωω+=*其中b a ,为待定常数.k 为一个整数.当ω±i 不是特征方程02=++q pr r 的根, k 取0;当ω±i 不是特征方程02=++q pr r 的根, k 取1;例6 求方程x y y y sin 432=-'+''的一个特解.解 1=ω,ω±i i ±=不是特征方程为0322=-+r r 的根,0=k .因此原方程的特解形式为x b x a y sin cos +=* 于是 x b x a y cos sin +-=*'x b x a y sin cos --=*''将*''*'*y y y ,,代入原方程,得⎩⎨⎧=--=+-442024b a b a 解得 54,52-=-=b a原方程的特解为: x x y sin 54cos 52--=* 例7 求方程x e y y y x sin 32+=-'-''的通解.解 先求对应的齐次方程的通解Y .对应的齐次方程的特征方程为0322=--r r3,121=-=r rx x e C e C Y 321+=-再求非齐次方程的一个特解*y .由于x e x x f -+=2cos 5)(,根据定理4,分别求出方程对应的右端项为,)(1x e x f =x x f sin )(2=的特解*1y 、*2y ,则 **+=*21y y y 是原方程的一个特解.由于1=λ,ω±i i ±=均不是特征方程的根,故特解为)sin cos (21x c x b ae y y y x ++=+=*** 代入原方程,得x e x c b x c b ae x x sin sin )42(cos )24(4=-++--比较系数,得14=-a 024=+c b 142=-c b解之得 51,101,41-==-=c b a . 于是所给方程的一个特解为 x x e y x sin 51cos 10141-+-=* 所以所求方程的通解为x x e e C e C y Y y x x x sin 51cos 10141321-+-+=+=-*.。
二阶微分方程
是线性非齐次方程的解， 这说明函数 y = Y + y* 是线性非齐次方程的解， 是二阶线性齐次方程的通解， 又 Y 是二阶线性齐次方程的通解，它含有两个任意常 数，故 y = Y + y* 中含有两个任意常数 即 y = Y + y* 中含有两个任意常数. 的通解. 是线性非齐次方程 y″ + p(x)y′ + q(x)y = f (x) 的通解 ″ ′ 求二阶线性非齐次方程通解的一般步骤为： 求二阶线性非齐次方程通解的一般步骤为： (1) 求线性齐次方程 y″ + p(x)y′ + q(x)y = 0 的线性 ) ″ ′ 无关的两个特解 y1 与 y2， 得该方程的通解 Y=C1 y1 + C2 y2. (2) 求线性非齐次方程 y″ + p(x)y′ + q(x)y = f (x) 的 ) ″ ′ 一个特解 y*. 那么，线性非齐次方程的通解为 y = Y + y*. 那么，
1.二阶常系数线性齐次方程的解法 .
④ 考虑到左边 p，q 均为常数， 我们可以猜想该方程 ， 均为常数， ′ 形式的解， 为待定常数. 具有 y = erx 形式的解，其中 r 为待定常数 将 y′ = 代入上式， rerx, y″ = r2erx 及 y = erx 代入上式，得 ″ erx (r2 + pr + q) = 0 . ⑤ rx 是上述一元二次方程的根时， 即 r 是上述一元二次方程的根时， y = e 就是 式的解. 方程⑤称为方程④ 特征方程. ④式的解 方程⑤称为方程④的特征方程 特征方 程的根称为特征根 特征根. 程的根称为特征根 由于e 由于 rx ≠ 0，因此，只要 r 满足方程 ，因此， r2 + pr + q = 0， ， 设二阶常系数线性齐次方程为 y″ + py′ + qy = 0 . ″ ′
二阶常系数线性微分方程的解法
二阶常系数齐次线性方程解的性质 回顾
一阶齐次线性方程 y P( x) y 0 (1)
1、方程(1)的任意两个解的和仍是(1)的解； 2、方程(1)的任意一个解的常数倍仍是(1)的解；
2
二阶常系数齐次线性方程解的性质 y ay by 0 (2)
1、方程(2)的任意两个解的和仍是(2)的解； 2、方程(2)的任意一个解的常数倍仍是(2)的解；
Q( x) Qm ( x) , 即 y Qm ( x) erx 情形2 若 r 是特征方程的单根, 即 r2 ar b 0 ,
而 2r a 0 , 则令 Q( x) xQm ( x) , 即
y xQm ( x)erx
14
Q (2r a)Q (r 2 ar b)Q Pm ( x) (*) 情形3 若 r 是特征方程的二重根, 即 r2 ar b 0 ,
2
2
此时原方程的通解为
y
(C1
C 2 x)e2x
1 2
x 2e2x
；
Q( x) Ax2 , Q Pm ( x) , 2 A 1
21
y 4 yAe x ,
代入原方程,得
A
(
1 2)2
,
即特解为
y
(
1 2)2
e
x
,
此时原方程的通解为
于是 y x( 1 x 1)e2x ，
2
2
原方程通解为
y
C1e x
C 2e2 x
x(1 2
x
1) e2 x
.
18
例6 求微分方程 y 6 y 9 y x e3x 的通解.
解 特征方程 2 6 9 0 , 特征根 1,2 3 ，
对应齐次方程通解 Y (C1 C2 x)e3x . 因为 r 3 是二重特征根,
高等数学(3年专科)第四节 二阶常系数线性微分方程-精选文档
又因为 y = Y + y*， y = Y + y*， 所以 y + p(x)y + q(x)y = (Y + y* ) + p(x)(Y + y* ) + q(x)(Y + y*) = (Y + p(x) Y + q(x)Y) + ( y* + p(x) y*+ q(x)y*) = f (x).
定理 1 如果函数 y1 与 y2 是线性齐次方程的 两个解， 则函数 y = C1 y1 + C2 y2
仍为该方程的解，其中 C1， C2 是任意常数.
证 因为 y1 与 y2 是方程 y + p(x)y + q(x)y = 0 的两个解， 所以有
y p ( x ) y q ( x ) y 0 , 1 1 1
即 y1 与 y2 之比为常数. 反之，若y1 与 y2 之比为常数，
y1 设 , 则 y1 = y2，即 y1 - y2 = 0. 所以 y1 与 y2 y2 线性相关. 因此，如果两个函数的比是常数，则它们
线性相关；如果不是常数，则它们线性无关. 例如函 数 y1 = ex，y2 = e -x， 而 y1 常数， 所以，它们是线 y2 性无关的.
定理 2 如果函数 y1 与 y2 是二阶线性齐次方程 y + p(x)y + q(x)y = 0 的两个线性无关的特解， 则
y = C1 y1 + C2 y2
是该方程的通解，其中 C1, C2为任意常数. 证 因为 y1 与 y2 是方程 y + p(x)y + q(x)y = 0 的 解， 所以，由定理 1 知 y = C1 y1 + C2 y2 也是该方程的解. 又因为 y1 与 y2 线性无关，即 y1 与 y2 之比不为常数， 所以它们中任一个都不能用另一个 ( 形如 y1 = ky2 或 y2 = k1 y) 来表示. 故C1 与C2不能合并为一个任意常数， 因此 y = C1 y1 + C2 y2 是二阶线性齐次方程的通解.
二阶常微分方程的几种解法
二阶常系数非齐次线性微分方程的几种解法一 公式解法目前,国内采用的高等数学科书中, 求二阶常系数线性非奇次微分方程[1]:通解的一般方法是将其转化为对应的齐次方程的通阶与它本'''()y ay by f x ++=身的特解之和。
微分方程阶数越高, 相对于低阶的解法越难。
那么二阶常系数齐次微分方程是否可以降价求解呢? 事实上, 经过适当的变量代换可将二阶常系数非齐次微分方程降为一阶微分方程求解。
而由此产生的通解公式给出了该方程通解的更一般的形式。
设二阶常系数线性非齐次方程为(1)'''()y ay by f x ++=这里都是常数。
为了使上述方程能降阶, 考察相应的特征方程b a 、(2)20k ak b ++=对特征方程的根分三种情况来讨论。
1 若特征方程有两个相异实根。
则方程(1) 可以写成12k 、k'''1212()()y k k y k k y f x --+=即 '''212()()()y k y k y k y f x ---= 记 , 则(1) 可降为一阶方程'2z y k y =-由一阶线性方程的通解公'1()z k z f x -= [5]()()[()]p x dx p x dxy e Q x e dx c -⎰⎰=+⎰(3)知其通解为这里表示积分之后的函数是以为自变量的。
1130[()]xk xk tz e f t edt c -=+⎰0()xh t dt ⎰x 再由11230[()]x k xk t dy k y z e f t e dt c dx--==+⎰解得12212()()34012[(())]k k xxuk xk k ue y e ef t dt du c c k k --=++-⎰⎰应用分部积分法, 上式即为1212212()()34001212121[()()]k k xk k xxxk xk tk te e y ef t edt f t edt c c k k k k k k ----=-++---⎰⎰(4)1122121200121[()()]x x k x k t k xk t k k x e f t e dt e f t e dt c e c e k k --=-++-⎰⎰2 若特征方程有重根, 这时方程为k 或'''22()y ky k y f x -+='''()()()y ky k y ky f x ---=由公式(3) 得到'10[()]x kx kt y ky e e f t dt c --=+⎰再改写为'1()xkxkx kt ey key e f t dt c ----=+⎰即10()()x kxkt d e y e f t dt c dx--=+⎰故(5)120()()xkx kt kx kx y ex t e f t dt c xe c e -=-++⎰例1 求解方程'''256xy y y xe -+=解 这里 的两个实根是2 , 32560k k -+=.由公式(4) 得到方程的解是2()x f x xe =332222321200xxx t t x t t x xy e e te dt e e te dt c e c e --=-++⎰⎰32321200xxx t x x xe te dt e tdt c e c e -=-++⎰⎰2232132xx x x x e c e c e ⎡⎤=--++⎢⎥⎣⎦这里.321c c =-例2 求解方程'''2ln x y y y e x-+=解 特征方程 有重根1 , .由公式(5) 得到方程的解是2210k k -+=()ln x f x e x =120()ln xx t t x xy ex t e e tdt c xe c e -=-++⎰120()ln xxx xe x t tdt c xe c e =-++⎰1200[ln ln ]xxxx xe x tdt t tdt c xe c e =-++⎰⎰21213ln 24x x xx e x c xe c e ⎡⎤=-++⎢⎥⎣⎦二 常数变易法二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式是, (6)'''()y py qy f x ++= , (7)'''0y py qy ++=其中 为常数,根构造方程(7) 的两个线性无关的解,再由这两个解构造出方p q 、程(7) 的通解。
(整理)二阶常系数线性微分方程的解法版.
第八章 8.4讲第四节 二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线形微分方程的概念形如 )(x f qy y p y =+'+'' (1)的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中p 、q 均为实数,)(x f 为已知的连续函数.如果0)(≡x f ,则方程式 (1)变成0=+'+''qy y p y (2)我们把方程(2)叫做二阶常系数齐次线性方程,把方程式(1)叫做二阶常系数非齐次线性方程. 本节我们将讨论其解法.二、二阶常系数齐次线性微分方程1．解的叠加性定理1 如果函数1y 与2y 是式(2)的两个解, 则2211y C y C y +=也是式(2)的解,其中21,C C 是任意常数.证明 因为1y 与2y 是方程(2)的解,所以有0111=+'+''qy y p y 0222=+'+''qy y p y 将2211y C y C y +=代入方程(2)的左边,得)()()(221122112211y C y C q y C y C p y C y C ++'+'+''+'' =0)()(22221111=+'+''++'+''qy y p y C qy y p y C 所以2211y C y C y +=是方程(2)的解.定理1说明齐次线性方程的解具有叠加性.叠加起来的解从形式看含有21,C C 两个任意常数,但它不一定是方程式(2)的通解.2.线性相关、线性无关的概念设,,,,21n y y y 为定义在区间I 内的n 个函数,若存在不全为零的常数,,,,21n k k k 使得当在该区间内有02211≡+++n n y k y k y k , 则称这n个函数在区间I 内线性相关,否则称线性无关.例如 x x 22sin ,cos ,1在实数范围内是线性相关的,因为0sin cos 122≡--x x又如2,,1x x 在任何区间(a,b)内是线性无关的,因为在该区间内要使 02321≡++x k x k k必须0321===k k k .对两个函数的情形,若=21y y 常数, 则1y ,2y 线性相关,若≠21y y 常数, 则1y ,2y 线性无关.3.二阶常系数齐次微分方程的解法定理 2 如果1y 与2y 是方程式(2)的两个线性无关的特解,则212211,(C C y C y C y +=为任意常数)是方程式(2)的通解.例如, 0=+''y y 是二阶齐次线性方程,x y x y cos ,sin 21==是它的两个解,且≠=x y y tan 21常数,即1y ,2y 线性无关, 所以 x C x C y C y C y cos sin 212211+=+=( 21,C C 是任意常数)是方程0=+''y y 的通解.由于指数函数rxe y =(r 为常数)和它的各阶导数都只差一个常数因子,根据指数函数的这个特点,我们用rxe y =来试着看能否选取适当的常数r ,使rx e y =满足方程(2).将rx e y =求导,得 rx rx e r y re y 2,=''='把y y y ''',,代入方程(2),得0)(2=++rx eq pr r 因为0≠rx e , 所以只有 02=++q pr r (3)只要r 满足方程式(3),rx e y =就是方程式(2)的解.我们把方程式(3)叫做方程式(2)的特征方程,特征方程是一个代数方程,其中r r ,2的系数及常数项恰好依次是方程(2)y y y ,,'''的系数. 特征方程(3)的两个根为 2422,1q p p r -±-=, 因此方程式(2)的通解有下列三种不同的情形. (1) 当042>-q p 时，21,r r 是两个不相等的实根. 2421q p p r -+-=,2422q p p r ---= x r x r e y e y 2121,==是方程(2)的两个特解,并且≠=-x r r e y y )(2121常数,即1y 与2y 线性无关.根据定理2,得方程(2)的通解为 x r x r e C e C y 2121+=(2) 当042=-q p 时, 21,r r 是两个相等的实根. 221p r r -==,这时只能得到方程(2)的一个特解x r e y 11=,还需求出另一个解2y ,且≠12y y 常数,设)(12x u y y =, 即 )(12x u e y x r =)2(),(21121211u r u r u e y u r u e y x r x r +'+''=''+'='. 将222,,y y y '''代入方程(2), 得 []0)()2(12111=++'++'+''qu u r u p u r u r u e x r 整理,得0])()2([12111=+++'++''u q pr r u p r u e x r由于01≠x r e , 所以 0)()2(1211=+++'++''u q pr r u p r u 因为1r 是特征方程(3)的二重根, 所以02,01121=+=++p r q pr r从而有 0=''u因为我们只需一个不为常数的解,不妨取x u =,可得到方程(2)的另一个解 x r xe y 12=.那么,方程(2)的通解为x r x r xe C e C y 1121+=即 xr e x C C y 1)(21+=.(3) 当042<-q p 时,特征方程(3)有一对共轭复根 βαβαi r i r -=+=21, (0≠β)于是 x i x i e y ey )(2)(1,βαβα-+== 利用欧拉公式 x i x e ix sin cos +=把21,y y 改写为)sin (cos )(1x i x e e e e y x x i x x i ββαβαβα+=⋅==+)sin (cos )(2x i x e e e e y x x i x xi ββαβαβα-=⋅==-- 21,y y 之间成共轭关系,取-1y =x e y y x βαcos )(2121=+, x e y y i y x βαsin )(2121_2=-= 方程(2)的解具有叠加性,所以-1y ,-2y 还是方程(2)的解,并且≠==--x x e x e y y x x βββααt a n c o s s i n 12常数,所以方程(2)的通解为 )sin cos (21x C x C e y x ββα+=综上所述,求二阶常系数线性齐次方程通解的步骤如下:(1)写出方程(2)的特征方程02=++q pr r(2)求特征方程的两个根21,r r(3)根据21,r r 的不同情形,按下表写出方程(2)的通解.例1求方程052=+'+''y y y 的通解.解: 所给方程的特征方程为0522=++r ri r i r 21,2121--=+-=所求通解为 )2sin 2cos (21x C x C e y x +=-.例 2 求方程0222=++S dt dS dtS d 满足初始条件2,400-='===t t S S 的特解.解 所给方程的特征方程为0122=++r r121-==r r通解为 te t C C S -+=)(21 将初始条件40==t S 代入,得 41=C ,于是 t e t C S -+=)4(2,对其求导得te t C C S ---=')4(22 将初始条件20-='=t S 代入上式,得 22=C所求特解为te t S -+=)24(例3求方程032=-'+''y y y 的通解.解 所给方程的特征方程为 0322=-+r r其根为 1,321=-=r r所以原方程的通解为 x x e C e C y 231+=-二、二阶常系数非齐次方程的解法1.解的结构定理3 设*y 是方程(1)的一个特解,Y 是式(1)所对应的齐次方程式(2)的通解,则*+=y Y y 是方程式(1)的通解.证明 把*+=y Y y 代入方程(1)的左端:)()()(*++*'+'+*''+''y Y q y Y p y Y=)()(*+*'+*''++'+''qy py y qY Y p Y=)()(0x f x f =+*+=y Y y 使方程(1)的两端恒等,所以*+=y Y y 是方程(1)的解. 定理4 设二阶非齐次线性方程(1)的右端)(x f 是几个函数之和,如 )()(21x f x f qy y p y +=+'+'' (4) 而*1y 与*2y 分别是方程 )(1x f qy y p y =+'+''与 )(2x f qy y p y =+'+''的特解,那么**+21y y 就是方程(4)的特解, 非齐次线性方程(1)的特解有时可用上述定理来帮助求出.2.)()(x P e x f m x λ=型的解法 )()(x P e x f m x λ=,其中λ为常数,)(x P m 是关于x 的一个m 次多项式. 方程(1)的右端)(x f 是多项式)(x P m 与指数函数xe λ乘积的导数仍为同一类型函数,因此方程(1)的特解可能为x e x Q y λ)(=*,其中)(x Q 是某个多项式函数.把 x e x Q y λ)(=*x e x Q x Q y λλ)]()(['+=*'x e x Q x Q x Q y λλλ)]()(2)([2''+'+=*''代入方程(1)并消去xe λ,得)()()()()2()(2x P x Q q p x Q p x Q m =+++'++''λλλ (5) 以下分三种不同的情形,分别讨论函数)(x Q 的确定方法:(1) 若λ不是方程式(2)的特征方程02=++q pr r 的根, 即02≠++q p λλ,要使式(5)的两端恒等,可令)(x Q 为另一个m 次多项式)(x Q m :m m m x b x b x b b x Q ++++= 2210)(代入(5)式,并比较两端关于x 同次幂的系数,就得到关于未知数m b b b ,,,10 的1+m 个方程.联立解方程组可以确定出),,1,0(m i b i =.从而得到所求方程的特解为x m e x Q y λ)(=*(2) 若λ是特征方程02=++q pr r 的单根, 即02,02≠+=++p q p λλλ,要使式(5)成立, 则)(x Q '必须要是m 次多项式函数,于是令)()(x xQ x Q m =用同样的方法来确定)(x Q m 的系数),,1,0(m i b i =.(3) 若λ是特征方程02=++q pr r 的重根,即,02=++q p λλ 02=+p λ.要使(5)式成立,则)(x Q ''必须是一个m 次多项式，可令)()(2x Q x x Q m =用同样的方法来确定)(x Q m 的系数.综上所述,若方程式(1)中的x m e x P x f λ)()(=,则式(1)的特解为x m k e x Q x y λ)(=*其中)(x Q m 是与)(x P m 同次多项式,k 按λ不是特征方程的根,是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0,1或2.例4 求方程x e y y 232-='+''的一个特解.解 )(x f 是x m e x p λ)(型, 且2,3)(-==λx P m对应齐次方程的特征方程为 022=+r r ,特征根根为2,021-==r r . λ=-2是特征方程的单根, 令x e xb y 20-=*,代入原方程解得230-=b 故所求特解为 x xe y 223--=* . 例5 求方程x e x y y )1(2-='-''的通解.解 先求对应齐次方程02=+'-''y y y 的通解.特征方程为 0122=+-r r , 121==r r齐次方程的通解为 x e x C C Y )(21+=.再求所给方程的特解1)(,1-==x x P m λ由于1=λ是特征方程的二重根,所以x e b ax x y )(2+=*把它代入所给方程,并约去xe 得 126-=+x b ax比较系数,得61=a 21-=b 于是 x e x x y )216(2-=* 所给方程的通解为 x e x x x C C y y y )6121(3221+-+=+=* 3.x B x A x f ϖϖsin cos )(+=型的解法,sin cos )(x B x A x f ωω+=其中A 、B 、ω均为常数.此时,方程式(1)成为x B x A q y p y ωωsin cos +=+'+'' (7)这种类型的三角函数的导数,仍属同一类型,因此方程式(7)的特解*y 也应属同一类型,可以证明式(7)的特解形式为)sin cos (x b x a x y k ωω+=*其中b a ,为待定常数.k 为一个整数.当ω±i 不是特征方程02=++q pr r 的根, k 取0;当ω±i 不是特征方程02=++q pr r 的根, k 取1;例6 求方程x y y y sin 432=-'+''的一个特解.解 1=ω，ω±i i ±=不是特征方程为0322=-+r r 的根，0=k .因此原方程的特解形式为x b x a y sin cos +=* 于是 x b x a y cos sin +-=*'x b x a y sin cos --=*''将*''*'*y y y ,,代入原方程，得⎩⎨⎧=--=+-442024b a b a解得 54,52-=-=b a原方程的特解为: x x y sin 54cos 52--=*例7 求方程x e y y y x sin 32+=-'-''的通解.解 先求对应的齐次方程的通解Y .对应的齐次方程的特征方程为 0322=--r r3,121=-=r rx x e C e C Y 321+=-再求非齐次方程的一个特解*y .由于x e x x f -+=2cos 5)(,根据定理4,分别求出方程对应的右端项为,)(1x e x f =x x f sin )(2=的特解*1y 、*2y ,则 **+=*21y y y 是原方程的一个特解.由于1=λ,ω±i i ±=均不是特征方程的根,故特解为)sin cos (21x c x b ae y y y x ++=+=***代入原方程,得x e x c b x c b ae x x sin sin )42(cos )24(4=-++--比较系数,得14=-a 024=+c b 142=-c b解之得 51,101,41-==-=c b a . 于是所给方程的一个特解为 x x e y x s i n 51c o s 10141-+-=* 所以所求方程的通解为x x e e C e C y Y y x x x sin 51cos 10141321-+-+=+=-*.。
二阶常系数齐次线性微分方程
例3 求方程 y 2 y 3 y 0 的通解. 解 特征方程为 r 2 2r 3 0 ,
解得 r1 1 , r2 3 故所求通解为
y C1e x C2e3 x .
例4 求微分方程 y 4 y 4 y 0 满足初始条件
y x 0 1, y x 0 4的特解
有一对共轭复根 特征根为
( 0)
r2 i ,
rx
,
重新组合
1 y1 ( y1 y2 ) ex cos x, 2 1 y2 ( y1 y2 ) ex sin x , 2i
y2 e( i ) x ,
( D1 D2 x Dk x k 1 )sin x].
例 求微分方程 y (4) 2 y ''' 5 y '' 0 的通解 解 特征方程为
r 4 2r 3 5r 2 0 ,
r 2 (r 2 2r 5) 0 ,
解得 r1 r2 0, r3,4 1 2i. 故所求通解为
作业(P103)：28(2)(3)
n阶常系数齐次线性微分方程解法： y ( n ) p1 y ( n1) pn1 y pn y 0.
其特征方程为
r n p1r n1 pn1r pn 0,
在复数范围内它有 n 个根。 方程通解分三种情况： （1）有 n 个不同实特征根时，通解为 y C1er1x C2er2 x Cnern x ; （2）若 r 为 k 重实特征根时，通解中包含 (C1 C2 x Ck x k 1 )e rx ; （3）若 r i 为 k 重共轭复特征根时，通 解中包含 e x [(C1 C2 x Ck x k 1 )cos x
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3
即原方程的通解为
y
C1e x
C2e3x
x
1 3
.
17
例5 求方程 y 3 y 2 y xe2x 的通解 .
解 特征方程 2 3 2 0 ,
特征根 1 1，2 2 ，
对应齐次方程通解 Y C1ex C2e2x .
2是单根，
定理2 设 y ( x) 是方程(1)的一个特解, Y ( x) 是(2)的通解, 那么方程(1)的通解为
y Y y .
11
三、二阶常系数非齐次线性方程解的性质及求解法
y ay by f ( x) (1)
对应齐次方程 y ay by 0 (2)
定理2 设 y ( x) 是方程(1)的一个特解, Y ( x) 是(2)的通解, 那么方程(1)的通解为
因为 r 0, 2 , r i 2i 不是特征根,故设特解为
x2Qm ( x)， 是二重特征根
然后将y 代入原方程，或根据恒等式(*)来确定 Q( x) ,从而得到特解 y .
若
f
(x)
Pm ( x)，可看成是 r
0
的特殊情形。
16
例4 求微分方程 y 2 y 3 y 3x 1 的通解.
解 特征方程 2 2 3 0
8
例1 求微分方程 y 2 y 3 y 0 的通解. 解 特征方程为 2 2 3 0
特征根为 1 1, 2 3
故所求通解为 y C1e x C2e3x 例2 求方程 y 2 y 5 y 0的通解.
解 特征方程为 2 2 5 0 解得 1，2 1 2i ,
代入原方程,得 A 1 , 即特解为 y 1 x 2e2x ,
2
2
此时原方程的通解为
y
(C1
C 2 x)e2x
1 2
x 2e2x
；
Q( x) Ax2 , Q Pm ( x) , 2A 1
21
y 4 y 4 y e x
2）若 2 , 则设特解为 y Ae x ,
故所求通解为 y e x (C1 cos 2x C2 sin2x)
9
例3
求微分
方
程
d2 dt
s
2
2
ds dt
s
0
满
足初始条件
s(0) 4, s(0) 2 的特解.
解 特征方程为 2 2 1 0 特征根为 1 2 1
故通解为 s (C1 C2t )et s(0) C1 4 , s (C2 C1 C2t)et ,
( y ) Q( x)erx 2Q( x)erx 2Q( x)erx 代入方程 y ay by f ( x) ,
整理并约去erx ,得 Q (2r a)Q (r 2 ar b)Q Pm ( x) (*)
13
Q (2r a)Q (r 2 ar b)Q Pm ( x) (*)
其中 A, B是待定系数，
0 r i 不是特征根; k 1 r i 是特征根.
23
例8 求微分方程 y 2 y 2 y 10sin2x 的通解.
解 特征方程 2 2 2 0 , 特征根 1,2 1 i ，
对应齐次方程通解 Y e x (C1 cos x C2 sin x) .
因此(2)的通解为
y C1e1x C2e2x
5
情形2 若 0 , 则特征方程(3)有两个相等的实根
1,2
a 2
,
只得到方程(2)的一个特解 y1 e1x
,
需要求另一个特解 y2 ,使 y2 / y1 常数.
设 y2 / y1 u( x) , 即 y2 u( x)e1x ,
所以特解 y 1 x3e3x , 6
从而方程的通解为
y
(C1
C2 x)e3x
1 6
x 3e3x
.
19
例6 求微分方程 y 6 y 9 y x e3x 的通解.
解 特征方程 2 6 9 0 , 特征根 1,2 3 ，
对应齐次方程通解 Y (C1 C2 x)e3x . 因为 r 3 是二重特征根,
第三节 二阶常系数线性微分方程的解法
一、二阶常系数线性微分方程解的性质与通解的结构 二阶常系数线性微分方程的标准形式
y ay by f ( x) (1) 其中a,b是常数.
若 f ( x) 0 ,则称为二阶常系数非齐次线性微分方程,
若 f (x) 0 ,即方程 y ay by 0 (2)
于是(2)的通解为 y (C1 C2 x)e1x .
6
情形3 若 0 , 则特征方程(3)有一对共轭复根 1,2 i
可以证明, y1 ex cos x , y2 ex sin x
是(2)的解，且线性无关， 所以方程(2)的通解为
y ex (C1 cos x C2 sin x)
代入原方程 2)2
,
即特解为
y
(
1 2)2
e
x
,
此时原方程的通解为
y
(C1
C2
x)e2 x
(
1 2)2
e
x
.
22
2、f ( x) erx (M cos x N sin x) 型
可以证明,方程(1)具有如下形式的特解:
y xker x ( Acos x B sin x)
所以设特解为 y x2( Ax B)e2x ( Ax3 Bx2 )e2x ,
注意：实际计算时，只要将Q( x) Ax3 Bx2 代入
Q (2r a)Q (r 2 ar b)Q Pm ( x) 现即 Q( x) Pm ( x) , 即得 6Ax 2B x .
代入方程(2),并约去 e1x ,得
u (21 a)u (12 a1 b)u 0 ,
因为 1 是方程 2 a b 0 的二重根,
故有 12 a1 b 0 , 21 a 0 ,
u 0 , 取特解 u x , 即得 y2 x e1x ,
s(0) C2 C1 2 , C2 2 , 所以所求特解为 s (4 2t)et .
10
三、二阶常系数非齐次线性方程解的性质及求解法
y ay by f ( x) (1)
对应齐次方程 y ay by 0 (2)
1、方程(1)的任意一个解加上方程(2)的任意一个 解是(1)的解； 2、方程(1)的任意两个解之差是(2)的解 .
y xQm ( x)erx
14
Q (2r a)Q (r 2 ar b)Q Pm ( x) (*)
情形3 若 r 是特征方程的二重根, 即 r2 ar b 0 ,
且 2r a 0 , 则令 Q( x) x2 Qm ( x) , 即
y x2Qm ( x)erx
称为二阶常系数齐次线性微分方程。
1
二阶常系数齐次线性方程解的性质 回顾
一阶齐次线性方程 y P( x) y 0 (1)
1、方程(1)的任意两个解的和仍是(1)的解； 2、方程(1)的任意一个解的常数倍仍是(1)的解；
2
二阶常系数齐次线性方程解的性质 y ay by 0 (2)
情形1 若 r 不是特征根, 即 r2 ar b 0 , 则可设 Q( x) 为次数与Pm ( x) 次数相同的多项式:
Q( x) Qm ( x) , 即 y Qm ( x)erx 情形2 若 r 是特征方程的单根, 即 r2 ar b 0 ,
而 2r a 0 , 则令 Q( x) xQm ( x) , 即
1、方程(2)的任意两个解的和仍是(2)的解； 2、方程(2)的任意一个解的常数倍仍是(2)的解；
定理1 如果 y1( x), y2( x) 是方程(2)的两个解,则
y C1 y1( x) C2 y2( x)
也是(2)的解.
如果 y1( x) 常数(称线性无关), 则上式为(2)的通解. y2( x)
4
2 a b 0 (3)
记 a2 4b ,
情形1 若 0 , 则特征方程(3)有两个相异的实根
1,2
a 2
,
得到方程(2)的两个特解 y1 e1x ,y2 e2x ,
而 y1 ( x ) / y2 ( x ) e(1 2 ) x C , 故它们线性无关,
7
小结 y ay by 0 2 a b 0
特征根的情况
实根 r1 r2 实根 r1 r2
复根 r1,2 i
通解的表达式
y C1er1x C2er2 x y (C1 C2 x) er1x
y ex (C1 cos x C2 sin x)
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Q (2r a)Q (r 2 ar b)Q Pm ( x) (*)
综上讨论 y ay by erx Pm ( x)
设特解为 y Q( x)erx ，
Qm ( x) ， 不是特征根 其中 Q( x) xQm ( x)， 是单特征根
所以设 y x( Ax B)e2x x( Ax2 Bx)e2x , 代入方程，
得 2A 2Ax B x A 1 ，B 1，