第6节一阶和二阶常系数线性差分方程
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第6节一阶和二阶常系数线性差分方程
代人方程，比较同次系数，确定出 B0, B1, B2, , Bn 得到方程的特解。对于 f ( x) 是一般的 n 次多项 式的情况可类似求解。
8/8/2024 1:07 AM
第7章 微分方程与差分方程
当 a 1时，取 s 1，此时将
y x x(B0 B1x Bn xn )
代人方程，比较同次系数，确定出 B0, B1, B2, , Bn 得到方程的特解。这种情况下，方程的左端为 yx , 方程为 yx cxn ，可将 xn化成 x(n) 的形式 求出它的一个特解。
2 , 1
对应的齐次方程的通解为 yx A1(2)x A2 因为 1 a b 1 1 2 0 ,a 1 2 所以特解为
yx
12 x 21
4x
故原方程的通解为
yx 4x A1(2)x A2 ( A1, A2为任意常数)
8/8/2024 1:07 AM
第7章 微分方程与差分方程
其中 r
2 2
b , tan
4b a2 ,
A1, A2 为任意常数。
a
8/8/2024 1:07 AM
第7章 微分方程与差分方程
2.方程（4）中 f ( x)取某些特殊形式的 函数时的特解（利用待定系数法求出）
(1) f ( x) c (c 为常数)
方程（4）为
yx2 a yx1 byx c (6)
8/8/2024 1:07 AM
第7章 微分方程与差分方程
利用待定系数法 设方程具有yx kxs形式 的特解。
当 a 1时，取 s 0 ，代人方程得 k ak c
k c , 1a
所以方程的特解为
yx
c 1
a
又因对应的齐次方程的通解为 yx Aa x
8/8/2024 1:07 AM
第7章 微分方程与差分方程
当 a 1时，取 s 1，此时将
y x x(B0 B1x Bn xn )
代人方程，比较同次系数，确定出 B0, B1, B2, , Bn 得到方程的特解。这种情况下，方程的左端为 yx , 方程为 yx cxn ，可将 xn化成 x(n) 的形式 求出它的一个特解。
2 , 1
对应的齐次方程的通解为 yx A1(2)x A2 因为 1 a b 1 1 2 0 ,a 1 2 所以特解为
yx
12 x 21
4x
故原方程的通解为
yx 4x A1(2)x A2 ( A1, A2为任意常数)
8/8/2024 1:07 AM
第7章 微分方程与差分方程
其中 r
2 2
b , tan
4b a2 ,
A1, A2 为任意常数。
a
8/8/2024 1:07 AM
第7章 微分方程与差分方程
2.方程（4）中 f ( x)取某些特殊形式的 函数时的特解（利用待定系数法求出）
(1) f ( x) c (c 为常数)
方程（4）为
yx2 a yx1 byx c (6)
8/8/2024 1:07 AM
第7章 微分方程与差分方程
利用待定系数法 设方程具有yx kxs形式 的特解。
当 a 1时，取 s 0 ，代人方程得 k ak c
k c , 1a
所以方程的特解为
yx
c 1
a
又因对应的齐次方程的通解为 yx Aa x
8.6 差分方程(包括二阶)PPT课件
设 y * 是方程(1)的一个特解, yc( x)是(2)的通解,
那么方程(1)的通解为 yx yc (x) y* .
问题归结为求方程(1)的一个特解.
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结束
铃
用待定系数法求解. f(x) Pm (x) b x
其中 Pm (x) 是 m 次多项式, b 为非零常数.
设特解的形式为 y* x μQm (x)bx ,
You Know, The More Powerful You Will Be
Thank You
在别人的演说中思考，在自己的故事里成
Thinking In Other People‘S Speeches，Growing Up In Your Own Story
讲师：XXXXXX XX年XX月XX日
（3）( yx zx ) yx zx
4 ( yt zt ) zt1yt yt zt yt1zt zt yt ;
5
yt zt
zt yt yt zt zt zt1
zt1yt yt1zt zt zt1
.
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铃
例1 设 yx x2 2 x 3 ，求yx 2 yx 解
§8.6 差分方程
一、基本概念 二、一阶常系数线性差分方程 三、二阶常系数线性差分方程
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铃
一、基本概念
在经济与管理及其它实际问题中，许多数据都是以等间隔 时间周期统计的。例如，银行中的定期存款是按所设定的 时间等间隔计息，外贸出口额按月统计，国民收入按年统 计，产品的产量按月统计等等。这些量是变量，通常称这 类变量为离散型变量。描述离散型变量之间的关系的数学 模型成为离散型模型。对取值是离散化的经济变量，差分 方程是研究他们之间变化规律的有效方法。 本节介绍差分方程的基本概念、解的基本定理及其解法， 与微分方程的基本概念、解的基本定理及其解法非常类似， 可对照微分方程的知识学习本节内容。
那么方程(1)的通解为 yx yc (x) y* .
问题归结为求方程(1)的一个特解.
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用待定系数法求解. f(x) Pm (x) b x
其中 Pm (x) 是 m 次多项式, b 为非零常数.
设特解的形式为 y* x μQm (x)bx ,
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讲师：XXXXXX XX年XX月XX日
（3）( yx zx ) yx zx
4 ( yt zt ) zt1yt yt zt yt1zt zt yt ;
5
yt zt
zt yt yt zt zt zt1
zt1yt yt1zt zt zt1
.
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例1 设 yx x2 2 x 3 ，求yx 2 yx 解
§8.6 差分方程
一、基本概念 二、一阶常系数线性差分方程 三、二阶常系数线性差分方程
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一、基本概念
在经济与管理及其它实际问题中，许多数据都是以等间隔 时间周期统计的。例如，银行中的定期存款是按所设定的 时间等间隔计息，外贸出口额按月统计，国民收入按年统 计，产品的产量按月统计等等。这些量是变量，通常称这 类变量为离散型变量。描述离散型变量之间的关系的数学 模型成为离散型模型。对取值是离散化的经济变量，差分 方程是研究他们之间变化规律的有效方法。 本节介绍差分方程的基本概念、解的基本定理及其解法， 与微分方程的基本概念、解的基本定理及其解法非常类似， 可对照微分方程的知识学习本节内容。
一阶常系数线性差分方程
常见的供给函数S与需求函数D均为线性函数，于
是得到方程组
Q
s
,t
Pt 1
(3)
Qd ,t Pt
(4)
Qd ,t Qs,t
(5)
16
Q
s
,t
Pt 1
(3)
Qd ,t Pt
(4)
Qd ,t Qs,t
(5)
其中 , , , 都是正的常数，若已知初始价格P0 ，求现 行价格 Pt ，并研究其变化规律.
5yt
5t 2
.
a 5 1 , 设特解 yt At B ，代入方程得
yt1
5
y
t
A(t
1)
B
5( At
B)
6At A 6B 5 t A 5 , B 5 ,
2
12
72
得特解为
yt
5 t 5 , 12 72
原方程通解为
20
练习：
P394 习题九
21
的通解.
解 设特解 yt At B ， 代入方程得
y t 1
yt
A(t
1)
B ( At
B)
A
3t
2,
没有这样的特解。
6
例2 求一阶常系数线性差分方程 yt1 yt 3t 2
的通解.
解 设特解 yt t( At B) At 2 Bt , 代入方程得
一阶常系数线性差分方程
1
一阶常系数线性差分方程标准形式为
yt1 ayt f (t)
是得到方程组
Q
s
,t
Pt 1
(3)
Qd ,t Pt
(4)
Qd ,t Qs,t
(5)
16
Q
s
,t
Pt 1
(3)
Qd ,t Pt
(4)
Qd ,t Qs,t
(5)
其中 , , , 都是正的常数，若已知初始价格P0 ，求现 行价格 Pt ，并研究其变化规律.
5yt
5t 2
.
a 5 1 , 设特解 yt At B ，代入方程得
yt1
5
y
t
A(t
1)
B
5( At
B)
6At A 6B 5 t A 5 , B 5 ,
2
12
72
得特解为
yt
5 t 5 , 12 72
原方程通解为
20
练习：
P394 习题九
21
的通解.
解 设特解 yt At B ， 代入方程得
y t 1
yt
A(t
1)
B ( At
B)
A
3t
2,
没有这样的特解。
6
例2 求一阶常系数线性差分方程 yt1 yt 3t 2
的通解.
解 设特解 yt t( At B) At 2 Bt , 代入方程得
一阶常系数线性差分方程
1
一阶常系数线性差分方程标准形式为
yt1 ayt f (t)
差分方程的阶数
差分方程的阶数差分方程的阶数一、引言差分方程是离散时间系统的重要数学模型，它可以描述许多实际问题，如物理、工程、经济等领域中的动态过程。
在差分方程中，阶数是一个重要的概念，它决定了方程解的形式和求解方法。
本文将从阶数的定义、求解方法和应用等方面进行详细介绍。
二、阶数的定义1. 一阶差分方程一阶差分方程是指未知函数只含有一次时间导数的差分方程，即形如：y(n+1) = f(n, y(n))其中n表示时间步长，y(n)表示未知函数在第n个时间步长处的取值，f(n, y(n))表示已知函数关系。
由于该方程只含有一次时间导数，因此称为一阶差分方程。
2. 二阶差分方程二阶差分方程是指未知函数含有二次时间导数的差分方程，即形如：y(n+2) = f(n, y(n), y'(n), y''(n))其中y'(n)和y''(n)分别表示未知函数在第n个时间步长处的一次和二次时间导数。
由于该方程含有二次时间导数，因此称为二阶差分方程。
3. 高阶差分方程高阶差分方程是指未知函数含有高次时间导数的差分方程，即形如：y(n+k) = f(n, y(n), y'(n), ..., y^(k-1)(n))其中k为正整数，y^(k-1)(n)表示未知函数在第n个时间步长处的(k-1)次时间导数。
由于该方程含有高次时间导数，因此称为高阶差分方程。
三、求解方法1. 一阶差分方程对于一阶差分方程y(n+1) = f(n, y(n))，可以采用欧拉公式或泰勒公式进行逼近求解。
具体来说，可以将y(n+1)和y(n)在第n个时间步长处展开成泰勒级数：y(n+1) = y(n) + h*y'(n) + O(h^2)其中h表示时间步长。
将上式代入一阶差分方程中得到：y(n+1) = y(n) + h*f(n, y(n)) + O(h^2)将O(h^2)忽略不计，则得到欧拉逼近公式：y(n+1) ≈ y(n) + h*f(n, y(n))该公式可以用于迭代求解一阶差分方程的近似解。
差分方程
yt t ( n) t (t 1)(t 2) (t n 1) ，则
( n)
yt (t 1)
.
t
( n)
(t 1)t (t 1) (t 1 n 1)
t (t 1) (t n 2)(t n 1)
( n 1)
称为一阶常系数线性齐次差分方程，相应地， 一阶常系数线性非齐次差分方程.
1．一阶常系数线性齐次差分方程的通解 一阶常系数线性齐次差分方程的通解可用迭代法求得.
设 y0 已知，将 t 0,1,2, 代入方程
yt 1 Pyt 中，得
3
y1 Py0
y2 Py1 P y0
2
如果差分方程的解中含有相互独立的任意常数的个数恰好 等于方程的阶数，则称这个解是差分方程的通解.
定义4 若差分方程中所含未知函数及未知函数的各阶差分均 为一次，则称该差分方程为线性差分方程. 其一般形式为
yt n a1 (t ) yt n 1 an1(t ) yt 1 an (t ) yt f (t )
2．一阶常系数线性非齐次差分方程的通解
定理 设
yt
为齐次方程的通解，
yt 为非齐次方程的一个
*
特解，则
yt yt yt* 为非齐次方程的通解.
y t 1 P y t 0
* * 证明 由题设，有 yt 1 Pyt f (t ) ，及
将这两式相加得 ( y t 1 yt*1 ) P ( y t yt* ) f (t ) ，即
1 3 yt 3( )t 在初始条件 2 2
y0 5
解 这里
1 3 P , C 3, b 2 2
差分方程知识点总结
差分方程知识点总结一、差分方程的概念差分方程是指用差分运算符号（Δ）表示的方程。
差分运算符Δ表示的是某一变量在两个连续时间点的变化量。
差分方程通常用于描述离散时间下的变化规律，比如时间序列、离散动力系统等。
二、常见的差分方程1. 一阶线性差分方程一阶线性差分方程的一般形式为：y(t+1) - y(t) = a*y(t) + b，其中a和b为常数。
一阶线性差分方程常常用于描述某一变量在不同时间点之间的线性变化规律。
2. 二阶线性差分方程二阶线性差分方程的一般形式为：y(t+2) - 2*y(t+1) + y(t) = a*y(t) + b，其中a和b为常数。
二阶线性差分方程通常用于描述某一变量在不同时间点之间的二阶线性变化规律。
3. 线性非齐次差分方程线性非齐次差分方程的一般形式为：y(t+1) - a*y(t) = b，其中a和b为常数。
线性非齐次差分方程通常用于描述某一变量在不同时间点之间的线性变化规律，并且受到外部条件的影响。
4. 滞后差分方程滞后差分方程的一般形式为：y(t+1) = f(y(t))，其中f为某一函数。
滞后差分方程通常用于描述某一变量在不同时间点之间的非线性变化规律。
5. 差分方程组差分方程组是指由多个差分方程组成的方程组。
差分方程组通常用于描述多个变量之间的变化规律，比如混合动力系统、多变量时间序列等。
三、差分方程的解法1. 特征根法特征根法是解一阶或二阶线性差分方程的一种常用方法。
通过求解特征方程，可以求得差分方程的通解。
2. 递推法递推法是解一阶或二阶非齐次差分方程的一种常用方法。
通过递推关系，可以求得差分方程的特解。
3. Z变换法Z变换法是解一阶或二阶差分方程的一种常用方法。
通过对差分方程进行Z变换，可以将其转换为等价的代数方程，然后求解其解。
4. 数值解法对于复杂的差分方程，通常采用数值解法求解。
数值解法包括Euler法、Runge-Kutta法、递推法等，通过迭代计算逼近差分方程的解。
一阶与二阶常系数线性微分方程及其解法PPT课件
y 1 ex C . xx
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例2-6 求一阶线性微分方程 y 2xy 2x 满足初始条件 y |x0 0
的特解。
解
y 2xy 2x,
dy 2xydx 2xdx,
dy yd( x2 ) d(x2 )；
ex2dy ex2 yd(x2 ) ex2d(x2 )；
Q( x)dx
;
x
u
x
u
d ( yea P(t )dt ) d (
x
e a
P ( t )dt
Q(u)du)
;
d ( yea P(t )dt
x
e a
P (t )dt
Q(u)du)
0
;
a
a
故方程的通解为
x
u
yea P(t )dt
x
e a
P
(t
)dt
Q(u)du
C
.
a
x
u
y
e a
P ( t )dt
x)
0,
d( y ) 0;
cos x
故方程的通解为 y C
cos x
即 y x cos x C cos x.
即
y C cos x.
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**例2-8 求一阶线性微分方程 y P( x) y Q( x) 的通解，其中P，Q 都是
x 的连续函数。
解
y P( x) y Q( x) , dy p( x) ydx Q( x)dx ,
人们常称其为已分离变量的形式。 这种方程的解几乎显而易见：
若 f (x)dx g( y)dy,
则 d
差分方程基础知识
整理, 得
2B1 x + B0 + B1 = x +1. 比较系数, 得 2B1 = 1, B0 + B1 = 1, 1 B0 B1 , 2 1 y x C x ( x 1). 2
设特解的待定式为
y x B0 B1 x Bm x m (a 1)
或
(6)
(7)
y x ( B0 B1 x Bm x m ) x (a 1)
其中B0 , B1 , , Bm为待定系数.
例5 求差分方程 yx+1 #43; 3x + 1)
= 3(x + 1)2 + 3(x + 1) + 1 (3x2 + 3x + 1) = 6x + 6, 3(x3) = (6x + 6) = 6(x + 1) + 6 (6x + 6)
= 6, 4(x3) = (6) 6 = 0.
二、差分方程的概念 定义2 含有自变量、未知函数及其差分的方程, 称 为差分方程. 差分方程的一般形式为 F(x, yx, yx, , n yx) = 0. (1)
为二阶差分, 记为2 yx, 即
2 yx = (yx) = yx+2 2 yx+1 + yx
同样可定义三阶差分3yx, 四阶差分4yx, 即
3yx = (2yx), 4yx = (3yx) .
例1 求(x3), 2(x3), 3(x3), 4(x3). 解 (x3) = (x + 1)3 x3 = 3x2 + 3x + 1,
定义1 设函数 y = f (x), 记为 yx, 则差
2B1 x + B0 + B1 = x +1. 比较系数, 得 2B1 = 1, B0 + B1 = 1, 1 B0 B1 , 2 1 y x C x ( x 1). 2
设特解的待定式为
y x B0 B1 x Bm x m (a 1)
或
(6)
(7)
y x ( B0 B1 x Bm x m ) x (a 1)
其中B0 , B1 , , Bm为待定系数.
例5 求差分方程 yx+1 #43; 3x + 1)
= 3(x + 1)2 + 3(x + 1) + 1 (3x2 + 3x + 1) = 6x + 6, 3(x3) = (6x + 6) = 6(x + 1) + 6 (6x + 6)
= 6, 4(x3) = (6) 6 = 0.
二、差分方程的概念 定义2 含有自变量、未知函数及其差分的方程, 称 为差分方程. 差分方程的一般形式为 F(x, yx, yx, , n yx) = 0. (1)
为二阶差分, 记为2 yx, 即
2 yx = (yx) = yx+2 2 yx+1 + yx
同样可定义三阶差分3yx, 四阶差分4yx, 即
3yx = (2yx), 4yx = (3yx) .
例1 求(x3), 2(x3), 3(x3), 4(x3). 解 (x3) = (x + 1)3 x3 = 3x2 + 3x + 1,
定义1 设函数 y = f (x), 记为 yx, 则差
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其根 1,2 a
a2 4b 2
称为特征根。
10/13/2020 4:22 AM
第7章 微分方程与差分方程
根据特征根的情况确定方程通解的形式
特征根
通
解
1 yx A11x A22x yx ( A1 A2 x)1x yx r x ( A1 cos x A2 sin x)
按 (2) 求解。
10/13/2020 4:22 AM
第7章 微分方程与差分方程
于是，方程的特解为 Pt a c
bd
对应的齐次方程的通解为 A( d )t ，所求问题的
b
通解为
Pt
A( d )t b
ac bd
当 t 0 时，Pt P（0 初始价格），代人通解得
A
P0
ac bd
,
则满足初始条件的特解为
求价格随时间变化的规律。
10/13/2020 4:22 AM
第7章 微分方程与差分方程
解 假设在每一时期中价格总是确定在
市场出清的水平上，即 St Dt ，因此得到
c dPt1 a bPt
bPt dPt1 a c
得差分方程
Pt
d b
Pt 1
a
b
c
由于 d 0,b 0
所以
d b
1，故方程是形如（2）的方程，
其中 r
2 2
b , tan
4b a2 ,
A1, A2 为任意常数。
a
10/13/2020 4:22 AM
第7章 微分方程与差分方程
2.方程（4）中 f ( x)取某些特殊形式的 函数时的特解（利用待定系数法求出）
(1) f ( x) c (c 为常数)
方程（4）为
yx2 a yx1 byx c (6)
yx2 2 yx1 yx 2 yx
于是方程转化为 2 yx c
所以 yx cx ，
yx
1 cx(2) 2
10/13/2020 4:22 AM
第7章 微分方程与差分方程
例6 求差分方程 yx2 yx1 2 yx 12 的
通解及 y0 0 , y1 0 时的特解
解 特征方程 2 2 0
k c , 2a
方程有特解
yx
cx 2a
当 1 a b 0 且 a 2 时，取 s 2 ，
即 y x kx2，代人方程得
k 1c, 2
方程有特解
yx
1 2
cx 2
10/13/2020 4:22 AM
第7章 微分方程与差分方程
事实上，当 1 a b 0 ,a 2 时，方程
（6）的左端为
10/13/2020 4:22 AM
第7章 微分方程与差分方程
由通解的定义知，yx AYx 是齐次方程的通解， 而 y x 是非齐次方程的一个特解，故 AYx y x是 非齐次方程的解，而且含有任意常数，因此是
非齐次方程（1）的通解。
非齐次方程 yx1 a yx f ( x)
通解
yx AYx y x ( A为任意常数)
10/13/2020 4:22 AM
第7章 微分方程与差分方程
二阶常系数线性差分方程的通解
=对应的齐次方程的通解+非齐次方程的特解
1）二阶常系数线性齐次差分方程的通解
设 Yx x ( 0) 为一特解， 代人方程
（5）得
x2 a x1 b x 0
2 a b 0 称其为（5）的特征方程
10/13/2020 4:22 AM
第7章 微分方程与差分方程
一阶常系数线性差分方程的解法 1）齐次方程 yx1 a yx 0 (a为非零常数) 的解法
设 y0 已知，将 x 0,1 ,2 , 依次代人 yx1 a yx 中得 y1 ay0 , y2 ay1 a2 y0 , y3 ay2 a3 y0 , 一般地，yx a x y0 ( x 0,1,2, ) , 可以验证， yx ax y0 满足差分方程，因此是差分方程的解 这种解法称为迭代法。
齐次方程 的通解
10/13/2020 4:22 AM
非齐次方 程的特解
第7章 微分方程与差分方程
首先求齐次方程 yx1 a yx 0 的通解 设 Yx x ( 0) 是此方程的一个特解， 代人方程中得 x1 a x 0 ( 0)
a 0 称为特征方程，其根 a 称为特征根，故 Yx a x 是此齐次方程的一个 特解，因此 yx Aa x ( A为任意常数) 是它的通解
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第7章 微分方程与差分方程
2）一般解法 若 y x是方程（1）的一个特解， 即
y x1 a y x f ( x)
它与方程（1）相减得
( yx1 y x1 ) a( yx y x ) 0
令 Yx yx1 y x1 ，即 Yx是对应齐次方程的解， 由前面知，AYx ( A为任意常数) 也是齐次方程的解
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第7章 微分方程与差分方程
因此猜想方程的解为
yx a x y0 c(1 a a2 a x1 )
当
a
1时，yx
ax
y0
1 ax c
1a
( x 0,1,2, )
(
y0
1
c
a
)a
x
1
c
a
当 a 1时，yx y0 c x ( x 0,1,2, ) 可以验证在这两种情况下 yx均为方程的解。
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第7章 微分方程与差分方程
例1 求差分方程 yx1 3 yx 2 的通解 解 由题意 a 3 1 ,c 2 , 代人 (2) 式得通解
yx A• 3x 1
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第7章 微分方程与差分方程
(2) f ( x) cbx (其中c,b 1 均为常数)
方程转化为 yx1 a yx cbx (3)
利用待定系数法 设方程具有形如 y x kxsbx 的特解
当 b a时，取 s 0，即 y x kbx，代人方程得
kbx1 akbx cbx
k c ba
于是
yx
cb x ba
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第7章 微分方程与差分方程
当 b a时，取 s 0，
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第7章 微分方程与差分方程
例3 求差分方程 yx1 2 yx 3x2的通解 解 设 y x B0 B1x B2 x2 ，代人原方程
B0 B1( x 1) B2( x 1)2 2B0 2B1x 2B2 x2 3x2 (B0 B1 B2 ) (B1 2B2 )x B2 x2 3x2
2 , 1
对应的齐次方程的通解为 yx A1(2)x A2 因为 1 a b 1 1 2 0 ,a 1 2 所以特解为
yx
12 x 21
4x
故原方程的通解为
yx 4x A1(2)x A2 ( A1, A2为任意常数)
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第7章 微分方程与差分方程
Pt
( P0
a c )( d )t bd b
ac bd
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第7章 微分方程与差分方程
2. 二阶常系数线性差分方程 形如 yx2 a yx1 byx f ( x) (4)
(其中a,b 0 均为常数，f ( x) 是已知函数)
的差分方程称为二阶常系数线性差分方程。 当 f ( x) 0 时，方程（4）称为非齐次的； 当 f ( x) 0 时，方程 yx2 a yx1 byx 0 (5) 称其为方程（4）对应的齐次方程。
故 yx 2x(2) 2x 2( x(2) x(1) )
所以
yx
2( 1 3
x(3)
1 2
x(2) )
2 3
x( x
1)( x
2)
x( x
1)
2(x3 3x2 2x) x2 x 2 x3 x2 1 x
3
3
3
通解为
yx
2 3
x3
x2
1 3
x
A
( A为任意常数)
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比较系数得 B0 9 , B1 6 , B2 3 原方程的特解为 y x 9 6x 3x2 对应齐次方程的通解为 A • 2x，故原方程的通解
yx 9 6x 3x2 A • 2x ( A为任意常数)
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第7章 微分方程与差分方程
例4 求差分方程 yx1 yx 2x2 的通解 解 方程转化为 yx 2x2 而 x2 x( x 1) x x(2) x
第7章 微分方程与差分方程
例5 在农业生产中，种植先于产出及产 品的出售一个适当的时期，t 时期该产品的价 格 Pt 决定着生产者在下一时期愿意在市场上 提供的产量 St1 ，Pt 还决定着本期该产品的需 求量 Dt，因此有
Dt a bPt , St c dPt1 (a,b,c,d均为正常数)
设方程（6）具有形式为 y x kxs的特解
当 1 a b 0 时，取 s 0 ，即 y x k ，代人
方程得 k c ,
1 a b
方程有特解
yx
1
c a
b
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第7章 微分方程与差分方程
当 1 a b 0 且 a 2 时，取 s 1 ，
即 y x kx ，代人方程得
a
( A为任意常数) (2)
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第7章 微分方程与差分方程
当 a 1 时，取 s 1 ，将 y x kx 代人方程得 k c , 此时方程的特解为 y x cx，而当 a 1时， 对应的齐次方程的通解为 yx A ，故此方程的