第6节 一阶和二阶常系数线性差分方程
第6节一阶和二阶常系数线性差分方程
8/8/2024 1:07 AM
第7章 微分方程与差分方程
当 a 1时，取 s 1，此时将
y x x(B0 B1x Bn xn )
代人方程，比较同次系数，确定出 B0, B1, B2, , Bn 得到方程的特解。这种情况下，方程的左端为 yx , 方程为 yx cxn ，可将 xn化成 x(n) 的形式 求出它的一个特解。
2 , 1
对应的齐次方程的通解为 yx A1(2)x A2 因为 1 a b 1 1 2 0 ,a 1 2 所以特解为
yx
12 x 21
4x
故原方程的通解为
yx 4x A1(2)x A2 ( A1, A2为任意常数)
8/8/2024 1:07 AM
第7章 微分方程与差分方程
其中 r
2 2
b , tan
4b a2 ,
A1, A2 为任意常数。
a
8/8/2024 1:07 AM
第7章 微分方程与差分方程
2.方程（4）中 f ( x)取某些特殊形式的 函数时的特解（利用待定系数法求出）
(1) f ( x) c (c 为常数)
方程（4）为
yx2 a yx1 byx c (6)
8/8/2024 1:07 AM
第7章 微分方程与差分方程
利用待定系数法 设方程具有yx kxs形式 的特解。
当 a 1时，取 s 0 ，代人方程得 k ak c
k c , 1a
所以方程的特解为
yx
c 1
a
又因对应的齐次方程的通解为 yx Aa x
第六章 第节 差分方程
1 (2r 1) C2 n)(1 ) n . 2
2
例 求yn2 yn1 yn 0的通解。
解 由r r 1 0 得r1, 2
2
1 3i . 2
2 2 4 1 1 r c 1, tan 3, . 3 1 2 2 n 通解 yn 1 (C1 cos n C2 sin n). 3 3 2 2 即 yn C1 cos n C2 sin n. 3 3
6.7
差分方程
1、差分方程基础 2、一节常系数线性差分方程 3、二阶常系数线性差分方程
4、差分方程的应用
一、差分方程概念
设整变量函数yn f (n)，n 0,1, 2,, 则yn＋1 yn 称为yn的一阶差分，记为yn
yn yn1 yn f n 1 f n
代入原方程 ,得
1 5 求yn1 yn ( ) n 的通解。 2 2
5 n 1 1 5 n 5 n A( ) A( ) ( ) , 2 2 2 2 5 1 1 A( ) 1, A , 2 2 2 1 5 n yn * ( ) 2 2 1 n 1 5 n 原方程通解 y n C ( ) ( ) . 2 2 2
2
n
研究yn1 byn (n)的解法，
定理: 非齐次线性差分方程通解等于相应 齐次线性差分方程通解加上非齐次线性差 分方程的一个特解 现在问题归结为求出非齐次线性差分方程 的一个特解。
设 (n) a pm (n)型(a 0),其中pm (n)
n
为已知m次多项式，可以证明非齐次方 程 的特解形式是
则 r cos, r sin , 所以 r1 r cos i sin , r2 r cos i sin .
差分方程的阶数
差分方程的阶数差分方程的阶数一、引言差分方程是离散时间系统的重要数学模型，它可以描述许多实际问题，如物理、工程、经济等领域中的动态过程。
在差分方程中，阶数是一个重要的概念，它决定了方程解的形式和求解方法。
本文将从阶数的定义、求解方法和应用等方面进行详细介绍。
二、阶数的定义1. 一阶差分方程一阶差分方程是指未知函数只含有一次时间导数的差分方程，即形如：y(n+1) = f(n, y(n))其中n表示时间步长，y(n)表示未知函数在第n个时间步长处的取值，f(n, y(n))表示已知函数关系。
由于该方程只含有一次时间导数，因此称为一阶差分方程。
2. 二阶差分方程二阶差分方程是指未知函数含有二次时间导数的差分方程，即形如：y(n+2) = f(n, y(n), y'(n), y''(n))其中y'(n)和y''(n)分别表示未知函数在第n个时间步长处的一次和二次时间导数。
由于该方程含有二次时间导数，因此称为二阶差分方程。
3. 高阶差分方程高阶差分方程是指未知函数含有高次时间导数的差分方程，即形如：y(n+k) = f(n, y(n), y'(n), ..., y^(k-1)(n))其中k为正整数，y^(k-1)(n)表示未知函数在第n个时间步长处的(k-1)次时间导数。
由于该方程含有高次时间导数，因此称为高阶差分方程。
三、求解方法1. 一阶差分方程对于一阶差分方程y(n+1) = f(n, y(n))，可以采用欧拉公式或泰勒公式进行逼近求解。
具体来说，可以将y(n+1)和y(n)在第n个时间步长处展开成泰勒级数：y(n+1) = y(n) + h*y'(n) + O(h^2)其中h表示时间步长。
将上式代入一阶差分方程中得到：y(n+1) = y(n) + h*f(n, y(n)) + O(h^2)将O(h^2)忽略不计，则得到欧拉逼近公式：y(n+1) ≈ y(n) + h*f(n, y(n))该公式可以用于迭代求解一阶差分方程的近似解。
差分方程的一般表达式
差分方程的一般表达式嘿，朋友们！今天咱们来唠唠差分方程那点事儿。
差分方程就像是时间长河里的一个个小脚印，记录着事物的变化规律呢。
一般来说，一阶常系数线性差分方程长这样：\(y_{n + 1}-ay_{n}=f(n)\)。
这就好比是一个小火车在轨道上跑，\(y_{n}\)是火车在第\(n\)站的状态，\(a\)呢就像是这个火车的速度调整系数。
如果\(f(n) = 0\)，那就像是火车在一条平坦的轨道上匀速行驶，没有什么额外的干扰。
再说说二阶常系数线性差分方程\(y_{n + 2}+ay_{n+1}+by_{n}=f(n)\)。
这就像一场双人舞蹈，\(y_{n}\)、\(y_{n + 1}\)和\(y_{n+2}\)就像是舞者在不同节拍下的姿势。
\(a\)和\(b\)呢，就像是舞蹈的规则参数，决定着舞者如何从一个姿势转换到另一个姿势。
要是\(f(n)=0\)，就像是舞者在一个没有外界干扰的舞台上，按照自己的节奏翩翩起舞。
还有那种齐次差分方程，就像是一群小伙伴整齐划一地做着同一件事。
比如说\(y_{n + 1}-ay_{n}=0\)，这就像一群小蚂蚁，每一只小蚂蚁的行动都和前一只有着固定的比例关系，\(a\)就是这个比例的关键。
非齐次差分方程呢，就像是平静的湖水里突然扔进了一颗小石子。
比如\(y_{n + 1}-ay_{n}=g(n)\)，\(g(n)\)就像是那颗小石子激起的涟漪，打破了原本齐次方程那种和谐又规律的状态。
差分方程有时候还能像魔法咒语一样预测未来呢。
就拿简单的人口增长模型来说，如果人口数量满足差分方程\(P_{n+1}=(1 + r)P_{n}\)，这里\(r\)是人口增长率，就像一个魔法数字。
这个方程就像一个神奇的水晶球，告诉我们未来人口的大致情况。
对于差分方程组，那就像是一场多角色的戏剧。
每个方程都是一个角色的行动指南，它们之间相互关联又相互影响，就像戏剧里的人物关系一样复杂又有趣。
差分方程知识点总结
差分方程知识点总结一、差分方程的概念差分方程是指用差分运算符号（Δ）表示的方程。
差分运算符Δ表示的是某一变量在两个连续时间点的变化量。
差分方程通常用于描述离散时间下的变化规律，比如时间序列、离散动力系统等。
二、常见的差分方程1. 一阶线性差分方程一阶线性差分方程的一般形式为：y(t+1) - y(t) = a*y(t) + b，其中a和b为常数。
一阶线性差分方程常常用于描述某一变量在不同时间点之间的线性变化规律。
2. 二阶线性差分方程二阶线性差分方程的一般形式为：y(t+2) - 2*y(t+1) + y(t) = a*y(t) + b，其中a和b为常数。
二阶线性差分方程通常用于描述某一变量在不同时间点之间的二阶线性变化规律。
3. 线性非齐次差分方程线性非齐次差分方程的一般形式为：y(t+1) - a*y(t) = b，其中a和b为常数。
线性非齐次差分方程通常用于描述某一变量在不同时间点之间的线性变化规律，并且受到外部条件的影响。
4. 滞后差分方程滞后差分方程的一般形式为：y(t+1) = f(y(t))，其中f为某一函数。
滞后差分方程通常用于描述某一变量在不同时间点之间的非线性变化规律。
5. 差分方程组差分方程组是指由多个差分方程组成的方程组。
差分方程组通常用于描述多个变量之间的变化规律，比如混合动力系统、多变量时间序列等。
三、差分方程的解法1. 特征根法特征根法是解一阶或二阶线性差分方程的一种常用方法。
通过求解特征方程，可以求得差分方程的通解。
2. 递推法递推法是解一阶或二阶非齐次差分方程的一种常用方法。
通过递推关系，可以求得差分方程的特解。
3. Z变换法Z变换法是解一阶或二阶差分方程的一种常用方法。
通过对差分方程进行Z变换，可以将其转换为等价的代数方程，然后求解其解。
4. 数值解法对于复杂的差分方程，通常采用数值解法求解。
数值解法包括Euler法、Runge-Kutta法、递推法等，通过迭代计算逼近差分方程的解。
差分方程
称为函数 yx 的一阶差分, 记为yx, 即 yx = yx+1 yx.
(yx) = yx+1 yx = (yx+2 yx+1) (yx+1 yx) = yx+2 2 yx+1 + yx
为二阶差分, 记为2 yx, 即 2 yx = (yx) = yx+2 2 yx+1 + yx
例6 求差分方程 yx+1 yx = x +1 的通解.
解 对应的齐次方程 yx+1 yx = 0的通解为 y*x C.
这里 a = 1, 设 yx x(B0 B1x), 代入差分方程, 得
(x+1)[B0+B1(x+1)] x(B0+B1x) = x +1. 整理, 得
2B1 x + B0 + B1 = x +1.
y x B0 B1x Bm xm (a 1) (6)
或
y x (B0 B1x Bm xm ) x (a 1) (7)
其中B0 , B1 , , Bm为待定系数.
例5 求差分方程 yx+1 2yx = 3x2 的一个特解.
解 这里 a = 2, 设 yx B0 B1x B2 x2,
yx = C(2)x .
再讨论非齐次差分方程 yx+1 ayx = f (x)解的结构
定理 设 y0*是非齐次差分方程(3)对应的齐次差分方
程(4)的通解, yx 是(3)的一个特解, 则 yx y*x yx 是方
程(3)的通解.
下面用待定系数法来求两种类型函数的特解.
一阶常系数线性差分方程
目录
• 引言 • 差分方程的基本理论 • 一阶常系数线性差分方程的求解方法 • 一阶常系数线性差分方程的应用 • 一阶常系数线性差分方程的数值解法 • 一阶常系数线性差分方程的变种与扩展
01 引言
差分方程的概念
差分方程是描述离散 时间系统动态行为的 数学模型。
差分方程在经济学、 物理学、生物学等领 域有广泛应用。
分析经济周期
通过差分方程模型分析经济变量的 周期性变化，为政策制定提供参考。
评估政策效果
模拟不同政策对经济系统的影响， 评估政策的实施效果。
在信号处理中的应用
滤波处理
利用一阶常系数线性差分 方程构建数字滤波器，对 信号进行滤波处理，去除 噪声和干扰。
信号预测
基于差分方程模型对信号 未来走势进行预测，实现 信号的实时跟踪和监控。
与常系数线性差分方程不同，变 系数线性差分方程的系数可以随 时间变化，这使得方程的求解更
加复杂。
求解方法
变系数线性差分方程通常无法通 过简单的代数方法求解，而需要 使用迭代法、变换法或数值方法
等更复杂的求解方法。
应用领域
变系数线性差分方程在经济学、 金融学、信号处理等领域有广泛 应用，如描述股票价格、利率、
05 一阶常系数线性差分方程 的数值解法
欧拉法
基本思想
利用泰勒级数展开式，忽略高阶项， 得到差分方程的近似解。
迭代公式
通过给定的初始值，利用迭代公式逐 步求解差分方程的解。
误差分析
欧拉法是一种显式方法，其局部截断 误差与步长成正比，全局误差随步长 减小而减小。
稳定性分析
对于某些问题，欧拉法可能不稳定， 需要采用其他方法。
01
二阶常系数差分方程的解
二阶常系数差分方程的解二阶常系数差分方程是一种常见的数学模型，用于描述离散时间的动态系统。
它的解决方案可以帮助我们了解系统的行为和特性。
在本文中，我们将探讨二阶常系数差分方程的解，并通过一个具体的例子来说明其应用。
让我们来了解一下什么是二阶常系数差分方程。
二阶常系数差分方程是指形如y(n+2) + ay(n+1) + by(n) = 0的方程，其中a和b为常数。
这个方程表示了当前时刻的值与前两个时刻的值之间的关系。
通过求解差分方程，我们可以得到关于系统的一些重要信息，比如稳定性、振荡频率等。
接下来，我们来看一个具体的例子来说明二阶常系数差分方程的解法。
假设我们有一个简单的二阶差分方程y(n+2) + 3y(n+1) + 2y(n) = 0，其中初始条件为y(0) = 1和y(1) = -1。
我们可以使用递推的方法来求解这个方程。
我们将初始条件代入方程中，得到y(2) + 3y(1) + 2y(0) = 0，即y(2) + 3(-1) + 2(1) = 0，解得y(2) = 1。
接下来，我们可以使用递推关系y(n+2) = -3y(n+1) - 2y(n)来求解其他时刻的值。
我们先计算y(3)：y(3) = -3y(2) - 2y(1) = -3(1) - 2(-1) = -1。
然后继续计算y(4)：y(4) = -3y(3) - 2y(2) = -3(-1) - 2(1) = 1。
依此类推，我们可以得到y(5) = -1，y(6) = 1，以及后续时刻的值。
通过上述计算，我们可以得到二阶常系数差分方程y(n+2) + 3y(n+1) + 2y(n) = 0的解为y(n) = {1, -1, -1, 1, -1, 1, -1, ...}。
这个解表示了在给定的初始条件下，系统的值随着时间的推移呈周期性的振荡。
除了递推法，我们还可以使用特征方程法来求解二阶常系数差分方程。
通过将差分方程转化为特征方程，我们可以得到方程的根，从而得到方程的解。
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的差分方程称为二阶常系数线性差分方程。 当 f ( x ) 0 时，方程（4）称为非齐次的； 当 f ( x ) 0 时，方程
y x 2 a y x 1 by x 0 (5)
7/9/2013 2:11 AM
第7章
微分方程与差分方程
例5 在农业生产中，种植先于产出及产 品的出售一个适当的时期， 时期该产品的价 t 格 Pt 决定着生产者在下一时期愿意在市场上
P 提供的产量 St 1 ， t 还决定着本期该产品的需
因此有 求量 Dt，
Dt a bPt , St c dPt 1 (a , b, c , d均为正常数)
由前面知， x ( A为任意常数) 也是齐次方程的解 AY
7/9/2013 2:10 AM
第7章
微分方程与差分方程
x
y 由通解的定义知， AYx 是齐次方程的通解，
y y 而 x 是非齐次方程的一个特解，故 AYx x 是
而且含有任意常数， 非齐次方程的解， 因此是
非齐次方程（1）的通解。 非齐次方程 y x 1 a y x f ( x ) 通解
称其为方程（4）对应的齐次方程。
7/9/2013 2:11 AM
第7章
微分方程与差分方程
二阶常系数线性差分方程的通解 =对应的齐次方程的通解+非齐次方程的特解 1）二阶常系数线性齐次差分方程的通解
设 Yx x ( 0) 为一特解， 代人方程 （5）得
其根 1,2
7/9/2013 2:11 AM
x 0,1,2, 代人方程得 y1 a y0 c
y2 a y1 c a y0 c(1 a )
2
y3 a y2 c a 3 y0 c(1 a a 2 )
7/9/2013 2:10 AM
第7章
微分方程与差分方程
因此猜想方程的解为
y x a x y0 c(1 a a 2 a x 1 )
x x 1
1,2 i
y r x ( A1 cos x A2 sin x ) x
A1 , A2 为任意常数。
7/9/2013 2:11 AM
4b a 2 2 2 , 其中 r b , tan a
7/9/2013 2:11 AM
第7章
微分方程与差分方程
例2
1 5 x 求差分方程 y x 1 y x ( ) 的通解 2 2 1 5 由题意 a , b , c 1 , 2 2
解
代人 (3) 式得通解
1 x 1 5 x y x A( ) ( ) 2 2 2
7/9/2013 2:11 AM
7/9/2013 2:11 AM
第7章
微分方程与差分方程
当 b a 时，取 s 0 ，
cb 通解为 y x Aa ba
x x
( A为任意常数) (3)
当 b a 时，取 s 1 ，
y x Aa x cxb x 1 通解为
( A为任意常数) (3)
（自己推出）
求价格随时间变化的规律。
7/9/2013 2:11 AM
第7章
微分方程与差分方程
解 假设在每一时期中价格总是确定在
即 市场出清的水平上， St Dt ，因此得到
c dPt 1 a bPt bPt dPt 1 a c
d ac 由于 d 0, b 0 Pt Pt 1 b b
2 2
2
( B0 B1 B2 ) ( B1 2 B2 ) x B2 x 2 3 x 2
比较系数得 B0 9 , B1 6 , B2 3
9 6 x 3 x 2 原方程的特解为 y x
对应齐次方程的通解为 A 2 x 故原方程的通解 ，
7/9/2013 2:10 AM
第7章
微分方程与差分方程
y 取 当 a 1 时， s 1 ，将 x kx 代人方程得
而当 a 1时， y k c , 此时方程的特解为 x cx ，
y A ， 故此方程的 对应的齐次方程的通解为 x
通解为
y x A cx ( A为任意常数) (2)
1 ax x ( x 0,1,2,) 当 a 1 时，y x a y0 c 1 a c c x ( y0 )a 1 a 1 a
当 a 1 时， y x y0 c x
( x 0,1,2,)
可以验证在这两种情况下 y x 均为方程的解。
7/9/2013 2:10 AM
7/9/2013 2:11 AM
第7章
微分方程与差分方程
例1 求差分方程 y x 1 3 y x 2 的通解 解 由题意 a 3 1 , c 2 ,
代人 (2) 式得通解
yx A 3x 1
7/9/2013 2:11 AM
第7章
微分方程与差分方程
x
(2)
f ( x ) cb (其中c , b 1 均为常数)
第7章
微分方程与差分方程
y 利用待定系数法 设方程具有 x kx s形式
的特解。 当 a 1 时， s 0 ，代人方程得 k ak c 取
c c k , 所以方程的特解为 y x 1 a 1 a
又因对应的齐次方程的通解为 y Aa
x
x
x
c ( A为任意常数) 故此方程的通解为 y x Aa 1 a (2)
y x 9 6 x 3 x 2 A 2 x ( A为任意常数)
7/9/2013 2:11 AM
第7章
微分方程与差分方程
例4 解
y x 1 y x 2 x 2 的通解 求差分方程
方程转化为 y x 2 x 2
而
故
x 2 x( x 1) x x (2) x
y x 2 x (2) 2 x 2( x (2) x (1) ) 2( 1 x (3) 1 x (2) ) 2 x( x 1)( x 2) x( x 1) 所以 y x 3 2 3 2 3 2 3 1 2 2 2 ( x 3 x 2 x) x x x x x 3 3 3 2 3 1 2 通解为 y x x x x A ( A为任意常数) 3 3
y x 1 a y x cb x (3)
方程转化为
y 利用待定系数法 设方程具有形如 x kx s b x
的特解
kb x， 取 代人方程得 当 b a 时， s 0 ， y x 即
cb x c y k 于是 x ba ba
kb x 1 akb x cb x
f ( x ) 为已知函数，y x 为未知函数， f ( x ) 0 当
时，方程（1）称为非齐次的； 时，方程（1）称为齐次的。
7/9/2013 2:10 AM
当 f ( x) 0
第7章
微分方程与差分方程
一阶常系数线性差分方程的解法 1）齐次方程 y x 1 a y x 0 (a为非零常数) 的解法
y x AYx x y
齐次方程 的通解
7/9/2013 2:10 AM
( A为任意常数)
非齐次方 程的特解
第7章
微分方程与差分方程
首先求齐次方程 y x 1 a y x 0 的通解
设 Yx x ( 0) 是此方程的一个特解，
代人方程中得 x1 a x 0 ( 0) 其根 a a 0 称为特征方程， 称为特征根，故 Yx a x 是此齐次方程的一个
特解，因此 y Aa ( A为任意常数) 是它的通解
x
7/9/2013 2:10 AM
x
第7章
微分方程与差分方程
再求非齐次方程 y x 1 a y x f ( x ) 的特解
(1) f ( x ) c (c为常数) y x 1 a y x c (2)
方程转化为
依次将 利用迭代法 设给定初值 y0 ，
求出它的一个特解。
7/9/2013 2:11 AM
第7章
微分方程与差分方程
y x 1 2 y x 3 x 2的通解 例3 求差分方程 B B x B x2 ， 代人原方程 解 设 y
x 0 1 2
B0 B1 ( x 1) B2 ( x 1) 2 B0 2 B1 x 2 B2 x 3 x
第7章
微分方程与差分方程
n
(3)
f ( x ) cx (c 为常数)
y x 1 a y x cx n (4)
方程转化为
xs (B B x B xn ) 设方程具有形如 y x 0 1 n
的特解。 B B x B xn 取 当 a 1 时， s 0 ， y x 将 0 1 n 确定出 B0 , B1 , B2 ,, Bn 比较同次系数， 代人方程， 对于 f ( x ) 是一般的 n 次多项 得到方程的特解。 式的情况可类似求解。
x2 a x1 b x 0
a a 2 4b 称为特征根。 2
2 a b 0 称其为（5）的特征方程
第7章
微分方程与差分方程
根据特征根的情况确定方程通解的形式
特征根 通 解
1 1 实数
a 1 1 2
y A11x A22x x y ( A1 A2 x )