《概率学》1.5全概率公式与贝叶斯公式
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全概率公式与贝叶斯公式之间的关系
全概率公式与贝叶斯公式之间的关系
全概率公式和贝叶斯公式都是概率论中经典的公式，它们之间存在一定的联系和区别。
全概率公式描述了一种基于先验概率和条件概率推导出后验概率的方法，它是由贝叶斯公式演化而来的。
全概率公式通过将所有可能的事件划分为互斥且完备的事件集合，并计算它们的概率从而推导出后验概率。
贝叶斯公式是用于计算“逆概率”的公式，即已知某种结果出现的概率，求当前这种结果的特定概率。
它同样也是通过先验概率和条件概率计算出后验概率的方法。
贝叶斯公式的主要应用是在分类、估计、预测等实际问题中，例如在医学领域中用于诊断疾病。
总的来说，全概率公式是用来求解不同情况下的条件概率的，而贝叶斯公式是用来根据观察到的事件推测其原因的。
两者都是基于先验概率和条件概率计算出后验概率的方法。
1.5 条件概率、全概率公式与贝叶斯公式
解1 以Ai (i 1,2,3)表示事件"透镜第 i 次落下打破", 以B 表示事件“透镜落下三次而未打破”.
因为 B A1 A2 A3 ,
所以 P(B) P( A1 A2 A3 ) P( A1)P( A2 A1)P( A3 A1 A2 )
(1 1)(1 7 )(1 9 ) 3 . 2 10 10 200
r ra t
ta .
r t r t a r t 2a r t 3a
此模型被波利亚用来作为描述传染病的数学模型.
三、全概率公式与贝叶斯公式
1. 样本空间的划分 (完备事件组)
定义 设 S 为试验E的样本空间, B1, B2 ,, Bn 为 E 的一组事件,若
(i) Bi Bj , i j, i, j 1,2,, n; (ii) B1 B2 Bn S, 则称 B1, B2 ,, Bn 为样本空间 S 的一个划分.
常用：
1、若AB=A,则A B; 若A B=A,则B A;
2、B A B A B AB，而AB B; 3、B S B,如：A B A (S B); 4、A AS A(B B) AB AB,
AB AB ; 5、AB BC B
6. P(B A) P(B A) P(B) P(AB) 对于任意事件A, B成立。
30 性质
不难验证，条件概率P( |A)复合概率定义中的三个条件
1°非负性： P(B | A) 0
2°规范性： P(S | A) 1
3°可列可加性：设B1 , B2 ,是两两互不相容的事
件，有 P( Bi | A) P(Bi | A)
i 1
i 1
从而，对概率所证明的重要结果都适用于条件概率。
以 (i, j) 表示第一次、 第二次分别取到第i 号、 第
因为 B A1 A2 A3 ,
所以 P(B) P( A1 A2 A3 ) P( A1)P( A2 A1)P( A3 A1 A2 )
(1 1)(1 7 )(1 9 ) 3 . 2 10 10 200
r ra t
ta .
r t r t a r t 2a r t 3a
此模型被波利亚用来作为描述传染病的数学模型.
三、全概率公式与贝叶斯公式
1. 样本空间的划分 (完备事件组)
定义 设 S 为试验E的样本空间, B1, B2 ,, Bn 为 E 的一组事件,若
(i) Bi Bj , i j, i, j 1,2,, n; (ii) B1 B2 Bn S, 则称 B1, B2 ,, Bn 为样本空间 S 的一个划分.
常用：
1、若AB=A,则A B; 若A B=A,则B A;
2、B A B A B AB，而AB B; 3、B S B,如：A B A (S B); 4、A AS A(B B) AB AB,
AB AB ; 5、AB BC B
6. P(B A) P(B A) P(B) P(AB) 对于任意事件A, B成立。
30 性质
不难验证，条件概率P( |A)复合概率定义中的三个条件
1°非负性： P(B | A) 0
2°规范性： P(S | A) 1
3°可列可加性：设B1 , B2 ,是两两互不相容的事
件，有 P( Bi | A) P(Bi | A)
i 1
i 1
从而，对概率所证明的重要结果都适用于条件概率。
以 (i, j) 表示第一次、 第二次分别取到第i 号、 第
1.5(全概率公式和贝叶斯公式)
由全概率公式得
α = P (B )
= P ( A0 ) P ( B A0 ) + P ( A1 ) P ( B A1 ) + P ( A2 ) P ( B A2 ) = 0.94
1.5.2 贝叶斯公式
(2) 由贝叶斯公式 P ( A0 ) P ( B A0 ) β = P ( A0 B ) = P ( B)
i =1 n
n
n
n
i =1
由假设及乘法公式得到
P ( B ) = ∑ P ( BAi ) = ∑ P ( Ai )P ( B Ai ).
i =1 i =1 n n
利用全概率公式求事件B的概率， 利用全概率公式求事件 的概率，关键是寻求完 的概率 备事件组A1，A2，…，An; 备事件组 ， 寻求完备事件组A 寻求完备事件组 1 ， A2 ， …， An 相当于找导致 ， 事件B发生的所有互不相容的事件 发生的所有互不相容的事件． 事件 发生的所有互不相容的事件．
(1.8)式称为贝叶斯公式． 式称为贝叶斯公式． 式称为贝叶斯公式
1.5.2 全概率公式知： 条件概率公式、乘法公式及全概率公式知
P ( BAi ) P ( Ai B ) = P( B)
= P ( B Ai ) P ( Ai )
n
,
j
∑ P( B A )P( A )
下面就介绍为解决这类问题而引出的公式： 下面就介绍为解决这类问题而引出的公式：
Bayes(贝叶斯 公式 贝叶斯)公式 贝叶斯
1.5 全概率公式和贝叶斯公式
1.5.2 贝叶斯公式
定理1.3 设试验 的样本空间为Ω ，B为E的事件， 设试验E的样本空间为 的事件， 定理 为 的事件 A1，A2，…，An为完备事件组，且P(B) > 0， ， 为完备事件组， ， P(Ai) > 0，i = 1，2，…，n，则 ， ， ， ， ，
1-5全概率公式贝叶斯公式
= 0.087.
即平均1000个具有阳性反应的人中大约只有 人 个具有阳性反应的人中大约只有87人 即平均 个具有阳性反应的人中大约只有 患有癌症. 患有癌症
课堂练习
社会调查把居民按收入分为高、 低三类, 社会调查把居民按收入分为高、中、低三类 调查结果是这三类居民分别占总户数的10%， 调查结果是这三类居民分别占总户数的 ， 60%，30%，而银行存款在一万元以上的户数 ， ， 在这三类居民中分别为100 %，60%， 在这三类居民中分别为100 %，60%，5%. 1. 求存款在一万元以上的户数在全体居民中 的比率. 2. 若已知某户的存款在一万元以上，求该户 若已知某户的存款在一万元以上， 属中等收入家庭的概率. 属中等收入家庭的概率
= P( A B0 ) P( B0 ) + P( A B1 ) P( B1 ) + P( A B2 ) P( B2 )
≈ 0.94
P( AB1 ) P( A B1 ) P ( B1 ) = P( B1 A) = P( A) P ( A)
≈ 0.0848
i =1 n
全概率公式
证明 B = BΩ = B I ( A U A U L A ) 1 2 n
= BA1 U BA2 U L U BAn .
由 Ai A j = ∅ ⇒ ( BAi )( BA j ) = ∅
⇒ P ( B ) = P ( BA1 ) + P ( BA2 ) + L + P ( BAn ) ⇒ P ( B ) = P ( A1 ) P ( B | A1 ) + P ( A2 ) P ( B | A2 ) + L + P ( An ) P ( B | An )
A2
1.5 全概率公式和逆贝叶斯公式
于是有
B B
B( A1 A2 Ak )
A1B A2 B Ak B 且有 A B, A B,, A B 两两互斥，所以有 1 2 k P( B) P( A1B A2 B Ak B) P( A1B) P( A2 B) P( Ak B) P( A1 ) P( B A1 ) P( Ak ) P( B An )
1.5
全概率公式与贝叶斯公式
一、全概率公式 二、逆概率公式
1.5
全概率公式与贝叶斯公式
例： 袋中有10个球，其中8个白球，2个黑球。若甲先从袋 中任取一球不放回，乙在从袋中任取一球，求乙取到的是白 球的概率？
解：设 A 表示“甲取得白球”，A 为“甲取到黑球” B， 表示 “乙取得白球”。
A A , A A
设有 n 张答卷，其中 k 张答“是”，于是回答“是”的比率 是 w，可用频率 k / n 去估计，记为 w ˆ k/n 这里答“是”有两种情况： 一种是摸到白球后，回答问题1，答“是”，这是一个条件 概率，它是“生日是在7月1日之前”的概率，一般认为是； 0.5 0.5，即P(回答是 摸到白球） 另一种是摸到红球后，回答问题2，答“是”，这也是一 个条 件概率，它不是别的，就是考试作弊同学在全体学生中 占比率 所 ，即 P(回答是 摸到红球） 最后利用全概率公式把上述各项概率（或其估计值）联 系起来
例： 玻璃杯成箱出售，每箱20只。假设各箱含0，1，2 只残次品的概率分别为0.8，0.1和0.1。一顾客欲购买一箱 玻璃杯，售货员随机的查看四只，若无残次品，则买下该箱 玻璃杯，否则退回。试求顾客买下该箱玻璃杯的概率？ 解： A1 , A2 , A3 分别表示有0，1，2件残次品，则它们构 成互斥完备群，B表示顾客买下该箱玻璃，则 P( A1 ) 0.8 P( A2 ) 0.1 P( A3 ) 0.1
B B
B( A1 A2 Ak )
A1B A2 B Ak B 且有 A B, A B,, A B 两两互斥，所以有 1 2 k P( B) P( A1B A2 B Ak B) P( A1B) P( A2 B) P( Ak B) P( A1 ) P( B A1 ) P( Ak ) P( B An )
1.5
全概率公式与贝叶斯公式
一、全概率公式 二、逆概率公式
1.5
全概率公式与贝叶斯公式
例： 袋中有10个球，其中8个白球，2个黑球。若甲先从袋 中任取一球不放回，乙在从袋中任取一球，求乙取到的是白 球的概率？
解：设 A 表示“甲取得白球”，A 为“甲取到黑球” B， 表示 “乙取得白球”。
A A , A A
设有 n 张答卷，其中 k 张答“是”，于是回答“是”的比率 是 w，可用频率 k / n 去估计，记为 w ˆ k/n 这里答“是”有两种情况： 一种是摸到白球后，回答问题1，答“是”，这是一个条件 概率，它是“生日是在7月1日之前”的概率，一般认为是； 0.5 0.5，即P(回答是 摸到白球） 另一种是摸到红球后，回答问题2，答“是”，这也是一 个条 件概率，它不是别的，就是考试作弊同学在全体学生中 占比率 所 ，即 P(回答是 摸到红球） 最后利用全概率公式把上述各项概率（或其估计值）联 系起来
例： 玻璃杯成箱出售，每箱20只。假设各箱含0，1，2 只残次品的概率分别为0.8，0.1和0.1。一顾客欲购买一箱 玻璃杯，售货员随机的查看四只，若无残次品，则买下该箱 玻璃杯，否则退回。试求顾客买下该箱玻璃杯的概率？ 解： A1 , A2 , A3 分别表示有0，1，2件残次品，则它们构 成互斥完备群，B表示顾客买下该箱玻璃，则 P( A1 ) 0.8 P( A2 ) 0.1 P( A3 ) 0.1
1_5全概率与贝叶斯公式
P ( A) P ( Bk )P ( A / Bk ) , 其中，
k 1 n
于是， P ( Bi / A)
P ( Bi ) P ( A / Bi )
P( B )P( A / B )
k k k 1
n
( i 1, 2, , n) .
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3. 应用举例 例5.某商店由三个厂购进一批灯泡，其中甲厂占25%，乙厂 占35%，丙厂占40%，且各厂的次品率分别为5%，4%，2%. 如 果消费者已经买到一个次品灯泡，问是哪个厂出产的可能性大？ 解：设B1={灯泡是甲厂出产的}，B2={灯泡是乙厂出产的}， B3={灯泡是丙厂出产的}，A={买到一个次品灯泡}. 由题设知 P(B1)=0.25， P(B2)=0.35， P(B3)=0.4， P(A/B1)=0.05，P(A/B2)=0.04，P(A/B3)=0.02， 由全概率公式得
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[例5]. 设袋中有12个乒乓球，9个新球，3个旧球．第一次比 赛取3球，比赛后放回；第二次比赛再任取3球，求第二次比赛取
得3个新球的概率．
解：令Bi={第一次比赛恰取出i个新球}（i=0,1,2,3 ), A={求第二次比赛取得3个新球}． 显然B0, B1, B2, B3为第一次比赛取3球试验样本空间的一个 划分，由全概率公式得
§１.5 全概率公式与贝叶斯公式
一、全概率公式引入 二、全概率公式与证明
三、全概率公式应用 四、贝叶斯公式及其应用
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§１.5 全概率公式与贝叶斯公式
一、全概率公式问题引入 引例1. 设甲袋有3个白球4个红球，乙袋有1个白球2个红球， 现从甲袋中任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取2球，求从乙袋 取出2个红球的概率. 引例2. 设仓库中共有10箱产品，其中甲乙丙三厂各有5、3、 2箱，且已知甲乙丙三厂的次品率分别为10%、15%、20%，现
k 1 n
于是， P ( Bi / A)
P ( Bi ) P ( A / Bi )
P( B )P( A / B )
k k k 1
n
( i 1, 2, , n) .
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3. 应用举例 例5.某商店由三个厂购进一批灯泡，其中甲厂占25%，乙厂 占35%，丙厂占40%，且各厂的次品率分别为5%，4%，2%. 如 果消费者已经买到一个次品灯泡，问是哪个厂出产的可能性大？ 解：设B1={灯泡是甲厂出产的}，B2={灯泡是乙厂出产的}， B3={灯泡是丙厂出产的}，A={买到一个次品灯泡}. 由题设知 P(B1)=0.25， P(B2)=0.35， P(B3)=0.4， P(A/B1)=0.05，P(A/B2)=0.04，P(A/B3)=0.02， 由全概率公式得
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[例5]. 设袋中有12个乒乓球，9个新球，3个旧球．第一次比 赛取3球，比赛后放回；第二次比赛再任取3球，求第二次比赛取
得3个新球的概率．
解：令Bi={第一次比赛恰取出i个新球}（i=0,1,2,3 ), A={求第二次比赛取得3个新球}． 显然B0, B1, B2, B3为第一次比赛取3球试验样本空间的一个 划分，由全概率公式得
§１.5 全概率公式与贝叶斯公式
一、全概率公式引入 二、全概率公式与证明
三、全概率公式应用 四、贝叶斯公式及其应用
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§１.5 全概率公式与贝叶斯公式
一、全概率公式问题引入 引例1. 设甲袋有3个白球4个红球，乙袋有1个白球2个红球， 现从甲袋中任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取2球，求从乙袋 取出2个红球的概率. 引例2. 设仓库中共有10箱产品，其中甲乙丙三厂各有5、3、 2箱，且已知甲乙丙三厂的次品率分别为10%、15%、20%，现
全概公式与贝叶斯公式
注意：一定要找到样本空间的一个完备事件组.
注：该公式于1763年（这个指的是发表文章的年限） 由贝叶斯(Bayes)给出. 它是在观察到事件B已 发生的条件下，寻找导致B发生的每个原因的概率.
例5：某村麦种放在甲乙病三个仓库保管，其保管 数量分别占总数量的40%、35%、25%，所 保管麦种发芽率分别为0.95、0.92、0.90， 现将三个仓库的麦种全部混合，求 ⑴其发芽率； ⑵在发芽的情况下，该麦种是乙厂库的概率.
5
基本思想 把复杂事件分解为互不相容的较简单事件之和，
通过分别计算这些较简单事件的概率，再利用概率的 可加性，得到复杂事件的概率。
样本空间划分
n
Ai Aj ,
Ai ,
i 1
n
B Ai B i 1
A1
A3
B
A5
A2
A4 A6
6
定理1.1(全概率公式)
如果事件 A1, A2 , , An 构成一个完备事件组，而且
B的条件概率
注意：一定要找到样本空间的一个完备事件组.
【例2】市场上某种商品由三个厂家同时供获,其供应 量为:甲厂家是乙厂家的2倍,乙.丙两个厂家相等,且各 厂产品的次品率为2%,2%,4%,
(1)求市场上该种商品的次品率.
解：设Ai表示取到第i 个工厂产品，i=1,2,3,B表示取到 次品, 由题意 得:P(A1)=0.5,P(A2)=P(A3)=0.25, P(B|A1)=0.02,P(B|A2)=0.02,P(B|A3)=0.04
?
1红4白
12 3
15
记 Ai={球取自i号箱}, i=1,2,3;
?
B ={取得红球}
求P(A1|B)
1红4白
1-5全概率与贝叶斯公式
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四、全概率公式应用
例3. 两台机床加工同样的零件，第一台的废品率为0.04，第二台 的废品率为0.07，加工出来的零件混放，并设第一台加工的零件 是第二台加工零件的2倍，现任取一零件，问是合格品的概率为 多少？
解：令Bi={零件为第i台机床加工的} (i=1,2)， A={取到的零件为合格品}.
C42 C72
C42 C52
C32 C72
C22 C52
C31C41 C72
C32 C52
8 35
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四、全概率公式应用
例2.某人去某地，乘火车、轮船、汽车、飞机的概率分别为0.3, 0.2, 0.1, 0.4，迟到的概率分别为 0.25, 0.3, 0.1, 0, 求他迟到的 概率．
P( A) P(Bi)P( A / Bi)
i 1
推导：Ｅ2的P(A), 实质上是 P(A/Ω1) ! 关键所在! 难点所在!
［这里的P(A/Ω1), 其实是全条件下的概率, 这就是全概率的含义］
引甲个由例袋红条中球1件P. (概设任的AB率甲取概1公袋率2A球式B有。2放得3个入，L P白乙(AA球袋B/n)4，1个)再P红P(从PA(球(AB乙1，)11)袋)乙P中(PA袋(B任A2有)取11L)个2球P白P[，(AA球(B求Bn12)个从B红乙2 球袋L ，取B现出n)]从2
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二、全概率公式与证明
设试验Ｅ的样本空间为Ω，设事件B1，B2，…，Bn为样本空
间Ω的一个划分，且Ｐ(Bi)>0, i =1,2, …，n．
则对任意事件A，有
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贝叶斯公式:
设事件A1，A2，…，An为样本空间Ω的一个划分， 且P(Ai)>0, i =1,2, …，n． 则对任意事件B，若P(B)>0 则
P(Aj | B)
P(Aj )P(B | Aj )
n
P(Ai )P(B | Ai )
i1
j 1, 2,..., n
证明:由条件概率的定义及全概率公式有
(2)如果把样本空间的一个划分A1,A2,…,An看作是导 致事件B发生的各种原因，如果B发生了，求P(Ai|B) 可以用贝叶斯公式.
1 2
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第5节 全概率与贝叶斯公式
第一章 事件与概率
例4 某商店从三个厂家购进一批灯泡，其中甲厂占 25%，乙厂占35%，丙厂占40%。各厂产品的次品率分 别为5%, 4%, 2%. 如果消费者已经买到一个次品灯泡， 问是哪个厂生产的可能性大?
A1
n
A2
P(B) P( Ai)P(B | Ai).
… An
i 1
证明 因为 Ai Aj , (i j).
A3 B …
n
Ai Ai B
Aj B , (i j).
i 1
按概率的可加性及乘法公式有
n
B B ( Ai )B ( A1B A2B AnB),
n i1
n
n
P(B) P( AiB) P( AiB) P( Ai)P(B | Ai)
3 i0
P( Ai)P(B
|
Ai)
3 i0
C9i C33i C132
C3 9i
C132
C33 C132
C93 C132
C91C32 C132
C83 C132
C92C31 C132
C73 C132
C93 C132
C63 C132
441 3025
0.145ห้องสมุดไป่ตู้.
7
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解:设A1= “发出信号“.” ” B= “收到信号“-” ” .
由贝叶斯公式得
A2= “发出信号“-” ”,
P( A1 | B)
P( A1)P(B | A1)
P( A1)P(B | A1) P( A2 )P(B | A2 )
0.4 0.99
0.97
0.6 0.02 0.4 0.99
1 7
解 由贝叶斯公式得
P(A | B)
P( A)P(B | A)
P( A)P(B | A) P( A)P(B | A)
0.0004 0.99
0.284
0.0004 0.99 0.99960.001
1
5
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第5节 全概率与贝叶斯公式
第一章 事件与概率
练习： 已知一批产品中96%是合格品，检查产品时，一 个合格品被误认为是次品的概率是0.02，一个次品被误认 为是合格品的概率是0.05，求在检查后认为是合格品的产 品确是合格品的概率．
第一章
事件与概率
任课教师： 授课班级：
第一章 事件与概率
第一节 随机事件及其概率 第二节 概率的定义 第三节 概率的性质 第四节 条件概率与独立性 第第五五节节 全全概概率率公公式式与与贝贝叶
叶斯斯公公式式
第五节 全概率公式与贝叶斯公式
一、全概率公式 二、贝叶斯公式
第5节 全概率与贝叶斯公式
第一章 事件与概率
解：用1、2、3分别记甲、乙、丙厂，设
Ai =“取到第i 个工厂的产品”，B=“取到次品”， 由题意得: P(A1)=0.25, P(A2)=0.35，P(A3)=0,4，
P(B|A1)=0.05， P(B|A2)=0.04, P(B|A3)=0.02.
由Bayes公式得: P( A1 | B)
P( A1)P(B | A1)
解:设A1= “产品是合格品” A2= “产品是不合格品”, B= “检查认为是合格品” .
已知P(A1)=0.96，P(A2)=0.04 ；P(B|A1)=0.98，P(B|A2)=0.05． 需要求的概率为P(A1 |B). 由贝叶斯公式
P( A1
|
B)
P( A1)P(B | A1) P(A1)P(B | A1) P( A2 )P(B
第5节 全概率与贝叶斯公式
第一章 事件与概率
例2.某人去某地，乘火车、轮船、汽车、飞机的概 率分别为0.3,0.2, 0.1, 0.4，迟到的概率分别为 0.25, 0.3, 0.1, 0, 求他迟到的概率． 解：设 A1＝“乘火车去”， A2＝“乘轮船去”，
A3＝“乘汽车去”， A4＝“乘飞机去”， B＝“迟到”. 易见, A1∪A2∪A3∪A4=Ω，且两两互不相容， 由全概率公式得
解：令B=“取到的零件为合格品”，
Ai=“零件为第i台机床的产品”,i=1,2. 此时,全部的零件构成样本空间Ω， A1, A2为Ω的一个 划分,由全概率公式得:
P(B) P( A1)P(B | A1) P( A2 )P(B | A2 )
2 0.96 1 0.93 0.95.
3
3
9
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例6 用甲态蛋白法检验肝癌. 令
A = “被检验者患有肝癌”,
B= “甲态蛋白检验结果为阳性”
由过去的资料已知P(B | A) 0.99 , P(B | A) 0.999 已知某地区居民肝癌发病率P(A) = 0.0004，在普查
中发现某人的甲态蛋白检验结果为阳性，求这批人中真
正患有肝癌的概率P(A | B) .
3
= 0.3628
同理可得
P( Ai )P(B | Ai )
i 1
P( A2 | B) 0.4058, P( A3 | B) 0.2319,
由此可知：次品由乙厂生产的可能性大.
1 3
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第5节 全概率与贝叶斯公式
第一章 事件与概率
例5 从银行的大数据分析得：当某人信誉良好时， 按时还款率为90%，而当某人信誉不好时，其按时还款率 为30%. 统计表明，信誉良好人的概率为75%，试求某人 按时还款时，其信誉是良好的概率。
A1, A２, A3 两两互斥，且A1 A２ A3 =Ω, 所以
P( A1
|
B)
P( A1B) P(B)
P( A1)P(B | A1)
3
P( Ai )P(B | Ai )
1/ 70 1 . 3 / 70 3
i 1
1 0
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第5节 全概率与贝叶斯公式
第一章 事件与概率
第5节 全概率与贝叶斯公式
第一章 事件与概率
二、 贝叶斯公式
引例：设甲盒有3个白球，2个红球，乙盒有４个 白球，１个红球，现从甲盒任取2球放入乙盒，再从乙 盒任取2球，已知从乙盒取出2个红球,求从甲盒取出两 个红球的概率
解：设A1=“从甲盒取出2个红球”，A２＝“从甲盒取 出2个白球”, A3＝“从甲盒取出1个白球1个红球 ”； B=“从乙盒取出2个红球
例1．设袋中有12个乒乓球，9个新球，3个旧球．
第一次比赛取3球，比赛后放回，第二次比赛再任取
3球，求第二次比赛取得3个新球的概率．
解：Ai=“第一次比赛恰取出i个新球”（i=0,1,2,3 )；
B=“第二次比赛取得3个新球”．
显然A0,A1，A2，A3构成一个完备事件组，由全概率公式得：
P(B)
第5节 全概率与贝叶斯公式
第一章 事件与概率
样本空间的一个划分（完备事件组）
定义1 设事件A1，A2，…，An为样本 空间Ω的一组事件
A1
A2
如果 （1） AiAj=Φ （i≠j）
… An
n
（2） Ai
A3
…
i 1
则称A1，A2，…，An为样本空间Ω的一个划分.
如引例中的
A1=“从甲盒取出2个红球”，
P( Aj
|
B)
P( Aj B) P(B)
P(Aj )P(B | Aj )
n
P( Ai )P(B | Ai )
i 1
j 1, 2,..., n
1 1
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第5节 全概率与贝叶斯公式
贝叶斯公式的应用
第一章 事件与概率
(1) 如果试验E有两个相关的试验E1，E2复合而 成，E１有若干种可能的结果，E2在E１的基础上也有 若干种可能的结果，如果已知和E2的结果有关某事件 发生了，求与试验E１的结果有关事件的概率，可以用 贝叶斯公式．试验E１的几种可能的结果就构成了完备 事件组．
一、 全概率公式
引例：设甲盒有3个白球，2个红球，乙盒有4个 白球，1个红球，现从甲盒任取2球放入乙盒，再从乙 盒任取2球，求从乙盒取出2个红球的概率．
解：设Ａ1=“从甲盒取出2个红球”，Ａ2＝“从甲盒取 出2个白球”, Ａ3＝“从甲盒取出1个白球1个红球 ”； B=“从乙盒取出2个红球
A1, A２, A3 两两互斥，且A1 A２ A3 =Ω, 所以 B=ΩB=(A1 A２ A3 )B＝A1BA２BA3B
|
A2 )
0.75 0.9
0.9
0.75 0.9 0.25 0.3
P(A1)（0.75）, P(A2) （0.25） P(A1|B)（0.9）, P(A2|B)（0.1）
通常称为验前概率.
通常称为验后概率.1 4 山东农业大学公共数学系概率统计课程组 版权所有
第5节 全概率与贝叶斯公式
第一章 事件与概率
4
P(B) P( Ai)P(B / Ai) i 1