2016-2017学年安徽省宣城市郎溪中学等四校联考高二(上)数学期中试卷带解析答案(理科)

2016-2017学年安徽省宣城市郎溪中学等四校联考高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本小题共12小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案填在答题卷的相应位置）1．（5分）对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为P1，P2，P3，则（）A．P1=P2＜P3B．P2=P3＜P1C．P1=P3＜P2D．P1=P2=P32．（5分）有五组变量：①汽车的重量和汽车每消耗l升汽油所行驶的平均路程；②平均日学习时间和平均学习成绩；③某人每日吸烟量和其身体健康情况；④正方形的边长和面积；⑤汽车的重量和百公里耗油量；其中两个变量成正相关的是（）A．①③B．②④C．②⑤D．④⑤3．（5分）甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则（）A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差4．（5分）利用秦九韶算法求当x=2时，f（x）=5x6+4x5+x4+3x3﹣81x2+9x﹣1的值时，进行的加法、乘法运算的次数分别为（）A．6，11 B．6，6 C．7，5 D．6，135．（5分）设a∈R，则“a=1”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）将甲，乙两名同学5次物理测验的成绩用茎叶图表示如图，若甲，乙两人成绩的中位数分别是x甲，x乙，下列说法正确的是（）A．x甲＜x乙，乙比甲成绩稳定B．x甲＞x乙；甲比乙成绩稳定C．x甲＞x乙；乙比甲成绩稳定D．x甲＜x乙；甲比乙成绩稳定7．（5分）从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A．至少有1个白球；都是白球B．至少有1个白球；至少有1个红球C．恰有1个白球；恰有2个白球D．至少有一个白球；都是红球8．（5分）总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（）A．08 B．07 C．02 D．019．（5分）下列有关命题的说法错误的是（）A．命题“同位角相等，两直线平行”的逆否命题为：“两直线不平行，同位角不相等”B．“若实数x，y满足x2+y2=0，则x，y全为0”的否命题为真命题C．若p∧q为假命题，则p、q均为假命题D．对于命题p：∃x0∈R，，则¬p：∀x∈R，x2+2x+2＞0 10．（5分）下列各数中最小的数是（）A．85（9）B．210（6）C．1000（4）D．111111（2）11．（5分）椭圆的离心率为e，点（1，e）是圆x2+y2﹣4x﹣4y+4=0的一条弦的中点，则此弦所在直线的方程是（）A．3x+2y﹣4=0 B．4x+6y﹣7=0 C．3x﹣2y﹣2=0 D．4x﹣6y﹣1=012．（5分）若直线2ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x﹣4y+1=0截得的弦长为4，则的最小值是（）A．B．﹣ C．﹣2 D．4二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.请把答案填在答题纸的相应位置）13．（5分）已知x1，x2，x3，…x n的平均数为4，标准差为7，则3x1+2，3x2+2，…，3x n+2的平均数是；标准差是．14．（5分）某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如表根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为．15．（5分）命题p：实数x满足3a＜x＜a，其中a＜0，q：实数x满足x2﹣x﹣6＜0，￢p是￢q的必要不充分条件，则a的范围是．16．（5分）2016年国庆节前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）分别求满足下列条件的椭圆方程（1）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点p1（，1），p2（﹣，﹣）；（2）已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点P（3，0）．18．（12分）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）分组的频率分布直方图如图．（1）求直方图中x的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为，[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？19．（12分）将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求：（1）两数中至少有一个奇数的概率；（2）以第一次向上的点数为横坐标x，第二次向上的点数为纵坐标y的点（x，y）在圆x2+y2=15的外部或圆上的概率．20．（12分）已知命题P：方程x2+kx+4=0有两个不相等的负实数根；命题q：过点（1，2）总可以作两条直线与圆x2+y2+kx+2y+k2﹣15=0相切，若p∨q”为真，p ∧q为假，求实数k的取值范围．21．（12分）已知椭圆G：=1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点为（2，0），斜率为1的直线l与椭圆G交与A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P（﹣3，2）．（Ⅰ）求椭圆G的方程；（Ⅱ）求△PAB的面积．22．（12分）已知椭圆=1（a＞b＞c＞0，a2=b2+c2）的左、右焦点分别为F1，F2，若以F2为圆心，b﹣c为半径作圆F2，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，且|PT|的最小值不小于（a﹣c）．（1）证明：椭圆上的点到点F 2的最短距离为a﹣c；（2）求椭圆的离心率e的取值范围；（3）设椭圆的短半轴长为1，圆F2与x轴的右交点为Q，过点Q作斜率为k（k ＞0）的直线l与椭圆相交于A、B两点，若OA⊥OB，求直线l被圆F2截得的弦长s的最大值．2016-2017学年安徽省宣城市郎溪中学等四校联考高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本小题共12小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案填在答题卷的相应位置）1．（5分）对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为P1，P2，P3，则（）A．P1=P2＜P3B．P2=P3＜P1C．P1=P3＜P2D．P1=P2=P3【解答】解：根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义可知，无论哪种抽样，每个个体被抽中的概率都是相等的，即P1=P2=P3．故选：D．2．（5分）有五组变量：①汽车的重量和汽车每消耗l升汽油所行驶的平均路程；②平均日学习时间和平均学习成绩；③某人每日吸烟量和其身体健康情况；④正方形的边长和面积；⑤汽车的重量和百公里耗油量；其中两个变量成正相关的是（）A．①③B．②④C．②⑤D．④⑤【解答】解：①汽车的重量和汽车每消耗1升汽油所行驶的平均路程是负相关的关系；②平均日学习时间和平均学习成绩的关系是一个正相关；③某人每日吸烟量和其身体健康情况是负相关的关系；④正方形的边长和面积的倒数的关系是函数关系；⑤汽车的重量和百公里耗油量是正相关的．故两个变量成正相关的是②⑤．故选：C．3．（5分）甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则（）A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差【解答】解：=×（4+5+6+7+8）=6，=×（5+5+5+6+9）=6，甲的成绩的方差为×（22×2+12×2）=2，以的成绩的方差为×（12×3+32×1）=2.4．故选：C．4．（5分）利用秦九韶算法求当x=2时，f（x）=5x6+4x5+x4+3x3﹣81x2+9x﹣1的值时，进行的加法、乘法运算的次数分别为（）A．6，11 B．6，6 C．7，5 D．6，13【解答】解：f（x）=5x6+4x5+x4+3x3﹣81x2+9x﹣1=（（（（（5x+4）x+1）x+3）x﹣81）x+9）x﹣1，因此利用“秦九韶算法”计算多项式f（x）当x=2的值的时候需要做乘法和加法的次数分别是：6，6．故选：B．5．（5分）设a∈R，则“a=1”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵当a=1时，直线l1：x+2y﹣1=0与直线l2：x+2y+4=0，两条直线的斜率都是﹣，截距不相等，得到两条直线平行，故前者是后者的充分条件，∵当两条直线平行时，得到，解得a=﹣2，a=1，∴后者不能推出前者，∴前者是后者的充分不必要条件．故选：A．6．（5分）将甲，乙两名同学5次物理测验的成绩用茎叶图表示如图，若甲，乙两人成绩的中位数分别是x甲，x乙，下列说法正确的是（）A．x甲＜x乙，乙比甲成绩稳定B．x甲＞x乙；甲比乙成绩稳定C．x甲＞x乙；乙比甲成绩稳定D．x甲＜x乙；甲比乙成绩稳定【解答】解：∵x甲=79，x乙=82，且在茎叶图中，乙的数据更集中，∴x甲＜x乙，乙比甲成绩稳定．故选：A．7．（5分）从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A．至少有1个白球；都是白球B．至少有1个白球；至少有1个红球C．恰有1个白球；恰有2个白球D．至少有一个白球；都是红球【解答】解：A、“至少有1个白球”包含“1个白球，1个红球”和“都是白球”，故A不对；B、“至少有1个红球”包含“1个白球，1个红球”和“都是红球”，故B不对；C、“恰有1个白球”发生时，“恰有2个白球”不会发生，且在一次实验中不可能必有一个发生，故C对；D、“至少有1个白球”包含“1个白球，1个红球”和“都是白球”，与都是红球，是对立事件，故D不对；故选：C．8．（5分）总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（）A．08 B．07 C．02 D．01【解答】解：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字开始向右读，第一个数为65，不符合条件，第二个数为72，不符合条件，第三个数为08，符合条件，以下符合条件依次为：08，02，14，07，01，故第5个数为01．故选：D．9．（5分）下列有关命题的说法错误的是（）A．命题“同位角相等，两直线平行”的逆否命题为：“两直线不平行，同位角不相等”B．“若实数x，y满足x2+y2=0，则x，y全为0”的否命题为真命题C．若p∧q为假命题，则p、q均为假命题D．对于命题p：∃x0∈R，，则¬p：∀x∈R，x2+2x+2＞0【解答】对于A，原命题的逆否命题命题是交换条件和结论，并同时否定，所以“同位角相等，两直线平行”的逆否命题为：“两直线不平行，同位角不相等“，故A正确；对于B，若实数x，y满足x2+y2=0，则x，y全为0”的否命题为“若实数x，y满足x2+y2≠0，则x，y不全为0“，是真命题，故B正确；C，若p∧q为假命题，则p，q至少一个为假命题，故C错；D，特称命题的否定要换量词，再否定结论；对于命题p：∃x 0∈R，，则¬p：∀x∈R，x2+2x+2＞0，故D正确；故答案为C．10．（5分）下列各数中最小的数是（）A．85（9）B．210（6）C．1000（4）D．111111（2）=8×9+5=77，【解答】解：85（9）210（6）=2×62+1×6=78，1000（4）=1×43=64，111111（2）=1×26﹣1=63，故最小的数是111111（2）故选：D．11．（5分）椭圆的离心率为e，点（1，e）是圆x2+y2﹣4x﹣4y+4=0的一条弦的中点，则此弦所在直线的方程是（）A．3x+2y﹣4=0 B．4x+6y﹣7=0 C．3x﹣2y﹣2=0 D．4x﹣6y﹣1=0【解答】解：椭圆的离心率为：，圆的圆心坐标（2，2），所以弦的斜率为：=，所以过点（1，）的一条弦的中点，则此弦所在直线的方程是y﹣=（x﹣1）即：4x+6y﹣7=0．故选：B．12．（5分）若直线2ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x﹣4y+1=0截得的弦长为4，则的最小值是（）A．B．﹣ C．﹣2 D．4【解答】解：圆x2+y2+2x﹣4y+1=0，即（x+1）2+（y﹣2）2 =4，表示以（﹣1，2）为圆心、半径等于2的圆．再根据弦长为4，可得2ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）经过圆心，故有﹣2a﹣2b+2=0，求得a+b=1，则=+=2++≥4，当且仅当a=b=时，取等号，故则的最小值为4，故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.请把答案填在答题纸的相应位置）13．（5分）已知x1，x2，x3，…x n的平均数为4，标准差为7，则3x1+2，3x2+2，…，3x n+2的平均数是14；标准差是21．【解答】解：∵样本x1，x2，…，x n的平均数为4，标准差为7，∴方差是72=49；∴3x1+2，3x2+2，3x3+2，…，3x n+2的平均数是3×4+2=14，方差是32×72，标准差是3×7=21．故答案为：14，21．14．（5分）某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如表根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为65.5万元．【解答】解：∵=3.5，=42，∵数据的样本中心点在线性回归直线上，回归方程中的为9.4，∴42=9.4×3.5+a，∴=9.1，∴线性回归方程是y=9.4x+9.1，∴广告费用为6万元时销售额为9.4×6+9.1=65.5，故答案为：65.5万元．15．（5分）命题p：实数x满足3a＜x＜a，其中a＜0，q：实数x满足x2﹣x﹣6＜0，￢p是￢q的必要不充分条件，则a的范围是[﹣，0）．【解答】解：p：实数x满足3a＜x＜a，其中a＜0，q：实数x满足x2﹣x﹣6＜0，解得：﹣2＜x＜3，若￢p是￢q的必要不充分条件，即q是p的必要不充分条件，故（3a，a）⊊（﹣2，3），故，解得：﹣≤a＜0，故答案为：．16．（5分）2016年国庆节前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是．【解答】解：设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x，y，由题意可得0≤x≤4，0≤y≤4，它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒，则|x﹣y|≤2，由几何概型可得所求概率为上述两平面区域的面积之比，由图可知所求的概率为：；故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）分别求满足下列条件的椭圆方程（1）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点p1（，1），p2（﹣，﹣）；（2）已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点P（3，0）．【解答】解：（1）设椭圆方程为mx2+ny2=1（m＞0，n＞0且m≠n）．∵椭圆经过点P1，P2，∴点P1，P2的坐标适合椭圆方程．则，解得．∴所求椭圆方程为；（2）若焦点在x轴上，设方程为（a＞b＞0），∵椭圆过P（3，0），∴，即a=3，又2a=3×2b，∴b=1，则椭圆方程为+y2=1．若焦点在y轴上，设方程为（a＞b＞0）．∵椭圆过点P（3，0）．∴，即b=3．又2a=3×2b，∴a=9，则椭圆方程为．∴所求椭圆的方程为+y2=1或．18．（12分）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）分组的频率分布直方图如图．（1）求直方图中x的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为，[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？【解答】解：（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1，解方程可得x=0.0075，∴直方图中x的值为0.0075；（2）月平均用电量的众数是=230，∵（0.002+0.0095+0.011）×20=0.45＜0.5，∴月平均用电量的中位数在[220，240）内，设中位数为a，由（0.002+0.0095+0.011）×20+0.0125×（a﹣220）=0.5可得a=224，∴月平均用电量的中位数为224；（3）月平均用电量为[220，240）的用户有0.0125×20×100=25，月平均用电量为[240，260）的用户有0.0075×20×100=15，月平均用电量为[260，280）的用户有0.005×20×100=10，月平均用电量为[280，300）的用户有0.0025×20×100=5，∴抽取比例为=，∴月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取25×=5户．19．（12分）将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求：（1）两数中至少有一个奇数的概率；（2）以第一次向上的点数为横坐标x，第二次向上的点数为纵坐标y的点（x，y）在圆x2+y2=15的外部或圆上的概率．【解答】解：（1）由题意，先后抛掷2次，向上的点（x，y）共有n=6×6=36种等可能结果，为古典概型．记“两数中至少有一个奇数”为事件B，则事件B与“两数均为偶数”为对立事件，记为．∵事件包含的基本事件数m=3×3=9．∴P（）==，则P（B）=1﹣P（）=，因此，两数中至少有一个奇数的概率为．（6分）（2）点（x，y）在圆x2+y2=15的内部记为事件C，则表示“点（x，y）在圆x2+y2=15上或圆的外部”．又事件C包含基本事件：（11），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），共8种．∴P（C）==，从而P（）=1﹣P（C）=1﹣=．∴点（x，y）在圆x2+y2=15的外部或圆上的概率为．（12分）20．（12分）已知命题P：方程x2+kx+4=0有两个不相等的负实数根；命题q：过点（1，2）总可以作两条直线与圆x2+y2+kx+2y+k2﹣15=0相切，若p∨q”为真，p ∧q为假，求实数k的取值范围．【解答】解：对于P：，则得k＞4（2分）对于q：把圆的方程化为标准方程得（x+）2+（y+1）2=16﹣所以16﹣＞0，解得﹣＜k＜．由题意知点（1，2）应在已知圆的外部，把点代入圆的方程得1+4+k+4+k2﹣15＞0，即（k﹣2）（k+3）＞0，解得k＞2或k＜﹣3，则实数k的取值范围是﹣＜k＜﹣3，或2＜k＜．（7分）若p∨q”为真，p∧q为假，则p，q一真一假（1）p为真，q为假时，易得k∈（4，+∞）．（9分）（2）p为假，q为真时，易得（11分）所以所求实数m的取值范围是（12分）21．（12分）已知椭圆G：=1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点为（2，0），斜率为1的直线l与椭圆G交与A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P（﹣3，2）．（Ⅰ）求椭圆G的方程；（Ⅱ）求△PAB的面积．【解答】解：（Ⅰ）由已知得，c=，，解得a=，又b2=a2﹣c2=4，所以椭圆G的方程为．（Ⅱ）设直线l的方程为y=x+m，由得4x2+6mx+3m2﹣12=0．①设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）（x1＜x2），AB的中点为E（x0，y0），则x0==﹣，y0=x0+m=，因为AB是等腰△PAB的底边，所以PE⊥AB，所以PE的斜率k=，解得m=2．此时方程①为4x2+12x=0．解得x1=﹣3，x2=0，所以y1=﹣1，y2=2，所以|AB|=3，此时，点P（﹣3，2）．到直线AB：y=x+2距离d=，所以△PAB的面积s=|AB|d=．22．（12分）已知椭圆=1（a＞b＞c＞0，a2=b2+c2）的左、右焦点分别为F1，F2，若以F2为圆心，b﹣c为半径作圆F2，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，且|PT|的最小值不小于（a﹣c）．（1）证明：椭圆上的点到点F2的最短距离为a﹣c；（2）求椭圆的离心率e的取值范围；（3）设椭圆的短半轴长为1，圆F2与x轴的右交点为Q，过点Q作斜率为k（k ＞0）的直线l与椭圆相交于A、B两点，若OA⊥OB，求直线l被圆F2截得的弦长s的最大值．【解答】解：（1）设椭圆上任一点Q的坐标为（x0，y0），Q点到右准线的距离为d=﹣x0，则由椭圆的第二定义知：=，∴|QF 2|=a﹣，又﹣a≤x0≤a，∴当x0=a时，∴|QF2|min=a﹣c．（2）依题意设切线长|PT|=∴当且仅当|PF2|取得最小值时|PT|取得最小值，∴≥（a﹣c），∴0＜≤，从而解得≤e＜，故离心率e的取值范围是解得≤e＜，（3）依题意Q点的坐标为（1，0），则直线的方程为y=k（x﹣1），与抛物线方程联立方程组消去y得（a2k2+1）x2﹣2a2k2x+a2k2﹣a2=0得，设A（x1，y1）（x2，y2），则有x1+x2=，x1x2=，代入直线方程得y1y2=，x1x2=﹣y1y2=，又OA⊥OB，∴=0，∴k=a，直线的方程为ax﹣y﹣a=0，圆心F2（c，0）到直线l的距离d=，∴≤e＜•，∴≤c＜1，≤2c+1＜3，∴s∈（0，），所以弦长s的最大值为．。