高三数学(文)一轮复习课时跟踪训练：第七章 不等式 推理与证明 课时跟踪训练38 Word版含解析

课时跟踪训练(三十八)[基础巩固]一、选择题1．观察下面关于循环小数化分数的等式：0.3·＝39＝13，0.1· 8·＝1899＝211，0.3· 5· 2·＝352999，0.0005· 9·＝11000×5999＝5999000，据此推测循环小数0.23·可化成分数( )A.2390B.9923C.815D.730[解析] 0.23·＝0.2＋0.1×0.3·＝15＋110×39＝730.选D.[答案] D2．已知数列{a n }为11，21，12，31，22，13，41，32，23，14，…，依它的前10项的规律，则a 99＋a 100的值为( )A.3724B.76C.1115D.715[解析] 由给出的数列{a n }的前10项得出规律，此数列中，分子与分母的和等于2的有1项，等于3的有2项，等于4的有3项，…，等于n 的有n －1项，且分母由1逐渐增大到n －1，分子由n －1逐渐减小到1(n ≥2)，当n ＝14时即分子与分母的和为14时，数列到91项，当n ＝15即分子与分母的和为15时，数列到104项，所以a 99与a 100是分子与分母和为15中的第8项与第9项，分别为78，69，∴a 99＋a 100＝78＋69＝3724，选A.[答案] A3．观察下列各式：55＝3125,56＝15625,57＝78125，…，则52018的末四位数字为( )A ．3125B ．5625C ．0625D ．8125[解析] ∵55＝3125,56＝15625,57＝78125，58＝390625,59＝1953125，…，∴最后四位应为每四个循环，2018＝4×504＋2，∴52018最后四位应为5625.[答案] B4．(2017·安徽合肥一中模拟)《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术．得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：223＝223，338＝338，4415＝4415，5524＝5524，…，则按照以上规律，若99n ＝99n 具有“穿墙术”，则n ＝( )A ．25B ．48C ．63D ．80[解析] 由223＝223，338＝338，4415＝4415，5524＝5524，…， 可得若99n ＝99n 具有“穿墙术”，则n ＝92－1＝80，故选D.[答案] D5．(2017·湖北宜昌一中、龙泉中学联考)老师带甲、乙、丙、丁四名学生去参加自主招生考试，考试结束后老师向四名学生了解考试情况，四名学生回答如下：甲说：“我们四人都没考好”；乙说：“我们四人中有人考得好”；丙说：“乙和丁至少有一人没考好”；丁说：“我没考好”．结果，四名学生中有两人说对了，则四名学生中说对了的两人是( )A ．甲 丙B ．乙 丁C ．丙 丁D ．乙 丙[解析] 如果甲对，则丙、丁都对，与题意不符，故甲错，乙对；如果丙错，则丁错，因此只能是丙对，丁错，故选D.[答案] D6．如图所示，面积为S 的平面凸四边形的第i 条边的边长记为a i (i ＝1,2,3,4)，此四边形内任一点P 到第i 条边的距离记为h i (i ＝1,2,3,4)，若a 11＝a 22＝a 33＝a 44＝k ，则1×h 1＋2×h 2＋3×h 3＋4×h 4＝2S k .类比以上性质，体积为V 的三棱锥的第i 个面的面积记为S i (i ＝1,2,3,4)，此三棱锥内任一点Q 到第i 个面的距离记为H i (i ＝1,2,3,4)，若S 11＝S 22＝S 33＝S 44＝k ，则H 1＋2H 2＋3H 3＋4H 4值为( )A.4V kB.3V kC.2V kD.V k[解析] ∵V ＝13S 1H 1＋13S 2H 2＋13S 3H 3＋13S 4H 4＝13(kH 1＋2kH 2＋3kH 3＋4kH 4)∴H 1＋2H 2＋3H 3＋4H 4＝3V k .[答案] B二、填空题7．半径为x (x >0)的圆的面积函数f (x )的导数等于该圆的周长的函数．对于半径为R (R >0)的球，类似的结论为________．[解析] 因为半径为x (x >0)的圆的面积函数f (x )＝πx 2，所以f ′(x ) ＝2πx .类似地，半径为R (R >0)的球的体积函数V (R )＝43πR 3，所以V ′(R )＝4πR 2.故对于半径为R (R >0)的球，类似的结论为半径为R (R >0)的球的体积函数V (R )的导数等于该球的表面积的函数．[答案] 半径为R (R >0)的球的体积函数V (R )的导数等于该球的表面积的函数8．(2017·河北卓越联盟月考)在平面内，三角形的面积为S ，周长为C ，则它的内切圆的半径r ＝2S C .在空间中，三棱锥的体积为V ，表面积为S ，利用类比推理的方法，可得三棱锥的内切球(球面与三棱锥的各个面均相切)的半径R ＝________.[解析] 若三棱锥表面积为S ，体积为V ，则其内切球半径R ＝3V S .理由如下：设三棱锥的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，由于内切球的球心到各面的距离等于内切球的半径，所以V ＝13S 1R ＋13S 2R ＋13S 3R ＋13S 4R ＝13SR ，所以内切球的半径R ＝3V S .[答案] 3V S9．某种平面分形图如图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为1，两两夹角为120°；二级分形图是在一级分段形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来13的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为120°，…，依此规律得到n 级分形图．n级分形图中共有________条线段．[解析]分形图的每条线段的末端出发再生成两条线段，由题图知，一级分形图有3＝(3×2－3)条线段，二级分形图有9＝(3×22－3)条线段，三级分形图中有21＝(3×23－3)条线段，按此规律n级分形图中的线段条数a n＝3×2n－3.[答案]3×2n－3三、解答题10．(2017·山西运城4月模拟改编)宋元时期杰出的数学家朱世杰在其数学巨著《四元玉鉴》中提出了一个“茭草形段”问题：“今有茭草六百八十束，欲令‘落一形’(同垛)之，问底子几何？”他在这一问题中探讨了“垛积术”中的落一形垛(“落一形”即是指顶上一束，下一层3束，再下一层6束，……，)成三角锥的堆垛，故也称三角垛，如图，表示从上往下第二层开始的每层茭草束数，求本问题中三角垛倒数第二层茭草总束数为多少？[解析] 由题意得，从上往下第n 层茭草束数为1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，∴1＋3＋6＋…＋n (n ＋1)2＝680，即12⎣⎢⎡⎦⎥⎤16n (n ＋1)(2n ＋1)＋12n (n ＋1)＝16n (n ＋1)(n ＋2)＝680， ∴n (n ＋1)(n ＋2)＝15×16×17，∴n ＝15.故倒数第二层为第14层，该层茭草总束数为14×152＝105.[答案] 105[能力提升]11．(2017·江西赣州十四县联考)我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一．并五关所税，适重一下．问本持金几何？”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金12，第2关收税金为剩余的13，第3关收税金为剩余的14，第4关收税金为剩余的15，第5关收税金为剩余的16，5关所收税金之和，恰好重1斤，问原本持金多少？”若将“5关所收税金之和，恰好重1斤，问原本持金多少？”改成“假设这个人原本持金为x ，按此规律通过第8关”，则第8关所收税金为________x .[解析] 第1关收税金：12x ；第2关收税金：13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12x ＝x 6＝x 2×3；第3关收税金：14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12－16x ＝x 12＝x 3×4； ……第8关收税金：x 8×9＝x 72. [答案] 17212．(2017·安徽合肥模拟)“已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为(1,2)，解关于x 的不等式cx 2＋bx ＋a >0.”给出如下的一种解法：解：由ax 2＋bx ＋c >0的解集为(1,2)，得a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋c >0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，即关于x 的不等式cx 2＋bx ＋a >0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1. 类比上述解法：若关于x 的不等式b x ＋a ＋x ＋b x ＋c<0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，则关于x 的不等式b x －a －x －b x －c>0的解集为______________________．[解析] 根据题意，由b x ＋a ＋x ＋b x ＋c<0的解集为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1， 得b －x ＋a ＋－x ＋b －x ＋c<0的解集为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1，即b x －a －x －b x －c>0的解集为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1. [答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 13．(2017·河北唐山三模)数列{a n }的前n 项和为S n .若S n ＋a n ＝4－12n －2(n ∈N *)，则a n ＝________. [解析] 解法一：已知S n ＋a n ＝4－12n －2 ①，当n ＝1时，S 1＋a 1＝4－121－2＝2，解得a 1＝1.当n ≥2时，用n －1代换n ，得S n －1＋a n －1＝4－12n －3 ②.①－②，得S n －S n －1＋a n －a n －1＝12n －3－12n －2，整理得2a n －a n －1＝12n －2.两边同时乘2n －1，得2n a n －2n －1a n －1＝2. 令b n ＝2n a n ，则b n －b n －1＝2.所以数列{b n }是公差为2的等差数列，首项b 1＝21a 1＝2. 所以b n ＝2＋(n －1)×2＝2n ，即2n a n ＝2n .所以a n ＝2n 2n ＝n 2n －1. 解法二：(归纳法)：已知S n ＋a n ＝4－12n －2 ①，当n ＝1时，S 1＋a 1＝4－121－2＝2，解得a 1＝1；当n ＝2时，S 2＋a 2＝4－120，即2a 2＋a 1＝3，解得a 2＝1；当n ＝3时，S 3＋a 3＝4－12，即2a 3＋S 2＝72，解得a 3＝34；当n ＝4时，S 4＋a 4＝4－14，即2a 4＋S 3＝154，解得a 4＝12；当n ＝5时，S 5＋a 5＝4－18，即2a 5＋S 4＝318，解得a 5＝516；…，a 1和a 2可以写成分数的形式，显然该数列中每一项的分母都是2的整数幂，分子对应项的序号，即a 1＝120，a 2＝221，a 3＝322，a 4＝423，a 5＝524，…，所以a n ＝n 2n －1. [答案] n2n －114．已知函数y ＝f (x )满足：对任意a ，b ∈R ，a ≠b ，都有af (a )＋bf (b )>af (b )＋bf (a )，试证明：f (x )为R 上的单调递增函数．[证明] 设任意x 1，x 2∈R ，取x 1<x 2，由题意得x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)>x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)，∴x 1[f (x 1)－f (x 2)]＋x 2[f (x 2)－f (x 1)]>0，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)>0， ∵x 1<x 2，∴f (x 2)－f (x 1)>0，即f (x 2)>f (x 1)．∴y ＝f (x )为R 上的单调递增函数．15．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .(1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )；(2)若a ，b ，c 成等比数列，求cos B 的最小值．[解] (1)证明：∵a ，b ，c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b .由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B .∵sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )，∴sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )．(2)∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac .由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac≥2ac －ac 2ac ＝12， 当且仅当a ＝c 时等号成立．∴cos B 的最小值为12.[延伸拓展]中国古代十进位制的算筹记数法，在世界数学史上是一个伟大的创造．如图所示，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算．算筹的摆放形式有纵、横两种，据《孙子算经》记载，算筹记数法则是：凡算之法，先识其位，一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当．即表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空．例如2017用算筹表示就是，则8227可表示为________．[解析]千位数字8为模式，百位数字2为纵式，十位数字2为横式，个位数字7为纵式，所以8227可表示为.[答案]。