2011年湖南普通高中学业水平考试数学试卷真题+答案[1]

湖南普通高中学业水平考试数学试卷
时量120分钟 满分100分
班次：________学号：______ 姓名：___________得分：_________
一、选择题：(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)
1．已知集合{1,2,3,4,5}=A ，{2,5,7,9}=B ，则A B 等于（ ） A ．{1,2,3,4,5} B ．{2,5,7,9}
C ．{2,5}
D ．{1,2,3,4,5,7,9}
2．若函数()3=+f x x ，则(6)f 等于（ ）
A ．3
B ．6
C ．9
D ．6
3．直线1:2100--=l x y 与直线2:3440+-=l x y 的交点坐标为（ ）
A ．(4,2)-
B ．(4,2)-
C ．(2,4)-
D ．(2,4)-
4．两个球的体积之比为8：27，那么这两个球的表面积之比为（ ） A ．2:3
B ．4:9
C ．2:3
D ．22:33
5．已知函数()sin cos =f x x x ，则()f x 是（ ） A ．奇函数
B ．偶函数
C ．非奇非偶函数
D ．既是奇函数又是偶函数
6．向量(1,2)=-a ，(2,1)=b ，则（ ） A ．//a b
B ．⊥a b
C ．a 与b 的夹角为60
D ．a 与b 的夹角为30
7．等差数列{}n a 中，7916+=a a ，41=a ，则12a 的值是（ ） A ．15
B ．30
C ．31
D ．64
8．阅读右边的流程图，若输入的a ，b ，c 分别是6，2，5。

则输出的a ，b ，c 分别是（ ） A ．6，5，2 B ．5，2，6
C ．2，5，6
D ．6，2，5
9．已知函数2
()2=-+f x x x b 在区间（2，4）内有唯一零点， 则b 的取值范围是（ ） A ．R B ．(,0)-∞ C ．(8,)-+∞
D ．(8,0)-
10．在ABC ∆中，已知120=A ，1=b ，2=c ，则a 等于（ ） A ．3
B ．523+
C ．7
D ．523-
二、填空题：(本大题共5小题，每小题4分，满分20分．)
11．某校有高级教师20人，中级教师30人，其他教师若干人，为了了解该校教师的工资收
入情况，拟按分层抽样的方法从该校所有的教师中抽取20人进行调查.已知从其他教师中共抽取了10人，则该校共有教师 人．
12．3log 4
(3)的值是 ．
13．已知0m >，0n >，且4m n +=，则mn 的最大值是 ． 14．若幂函数()y f x =的图像经过点1(9,)3
，则(25)f = ．
15．已知()f x 是定义在[)(]2,00,2-上的奇函数，当0x >时，
()f x 的图像如图所示，那么()f x 的值域是 ．
一、 选择题: 本大题共10小题，每小题4分，满分40分
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案
二、 填空题: 本大题共5小题，每小题4分，满分20分．
9、 ； 10、 ； 11、 ； 12、 ； 13、 ； 14、 ；15、
三、解答题：本大题共5小题，满分40分． 16．（本小题满分6分）一个均匀的正方体玩具，各个面上分别写有1，2，3，4，5，6，将这
个玩具先后抛掷2次，求：
（1）朝上的一面数相等的概率； （2）朝上的一面数之和小于5的概率．
2
3
y 2
x
O
17．（本小题满分8分）如图，圆心C 的坐标为（1，1），圆C 与x 轴和y 轴都相切. （1）求圆C 的方程；
（2）求与圆C 相切，且在x 轴和y 轴上的截距相等的直线方程．
18．（本小题满分8分）如图，在三棱锥P ABC -，PC ⊥底面ABC ，AB BC ⊥，D 、E 分别是AB 、PB 的中点．
（1）求证：//DE 平面PAC ； （2）求证：AB PB ⊥．
1
1 0 x y
19．（本小题满分8分）已知数列{}n a 的前n 项和为2
n S n n =+．
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若()
12
n
a n
b =，求数列{}n b 的前n 项和为n T ．
20．（本小题满分10分）设函数()f x a b =⋅，其中向量(cos 21,1)a x =+，
(1,3sin 2)b x m =+．
（1）求()f x 的最小正周期；
（2）当0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
时，4()4f x -<<恒成立，求实数m 的取值范围．
湖南普通高中学业水平考试数学答卷
一．选择题：1, C 2,A 3,B 4,B 5,A 6,B 7,A 8,C 9,C 10，C 二．填空题11, 100 12, 2 13, 4 14,)2.0(5
1
或 15，]3,2()2,3[⋃--
三．解答题： 16．（本小题满分6分）一个均匀的正方体玩具，各个面上分别写有1，2，3，4，5，6，将这
个玩具先后抛掷2次，求：
（1）朝上的一面数相等的概率； （2）朝上的一面数之和小于5的概率． 解：由题意可把所有可能性列表如下： 1 2 3 4 5 6 1 （1,1） （1,2） （1,3） （1,4） （1,5） （1,6） 2 （2,1） （2,2） （2,3） （2,4） （2,5） （2,6） 3 （3,1） （3,2） （3,3） （3,4） （3,5） （3,6） 4 （4,1） （4,2） （4,3） （4,4） （4,5） （4,6） 5 （5,1） （5,2） （5,3） （5,4） （5,5） （5,6） 6 （6,1） （6,2） （6,3） （6,4） （6,5） （6,6） （1）朝上一面数相等的次数出现6种，故发生的概率为
6
1666=⨯； （2）朝上朝上的一面数之和小于5的的情况共有6种，故发生的概率为
6
1666=⨯。

7．（本小题满分8分）如图，圆心C 的坐标为（1，1），圆C 与x 轴和y 轴都相切. （1）求圆C 的方程；
（2）求与圆C 相切，且在x 轴和y 轴上的截距相等的直线方程． 解：（1）根据题意和图易知圆的半径为1，有圆心坐标为（1,1） 故圆C 的方程为：1)1()1(2
2
=-+-y x ； （2）根据题意可以设所求直线方程截距式为
1=+a
y a x 整理得0=-+a y x ，直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，故 r d =
12
|
11|=-+a 可得22±=a 。

18．（本小题满分8分）如图，在三棱锥P ABC -，PC ⊥底面ABC ，AB BC ⊥，D 、E 分别是AB 、PB 的中点．
（1）求证：//DE 平面PAC ； （2）求证：AB PB ⊥． 证明：
（1） 在三角形ABP 中，D 、E 分别是AB 、PB 的中点
∴DE 是三角形ABP 的中位线，故DE//AP,
又PAC AP PAC DE ⊆⊄,,所以//DE 平面PAC ； （2） PC ⊥底面ABC ，ABC AB ⊆，∴PC ⊥AB,
又题目给定条件AB BC ⊥，且C BC PC = ,所以AB ⊥PBC 又 PB ⊆PBC ，所以AB PB ⊥。

1
1
0 x
y
19．（本小题满分8分）已知数列{}n a 的前n 项和为2
n S n n =+．
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若()
1
2
n
a n
b =
，求数列{}n b 的前n 项和为n T ．
解：（1）当1>n ，n n n n n S S a n n n 2)]1()1[()(2
21=-+--+=-=-，
又当1=n ，2112
11=+==S a 也满足上式， 所以n a n 2=。

（2） 由n n a n n
b )41()21()
2
1(2===，知其为首项为41，公比为4
1
的等比数列， 故4
11]
)41
(1)[4
1(--=n n S =])41(1[31n - 20．（本小题满分10分）设函数()f x a b =⋅，其中向量(cos 21,1)a x =+，
(1,3sin 2)b x m =+．
（1）求()f x 的最小正周期；
（2）当0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
时，4()4f x -<<恒成立，求实数m 的取值范围．
解：()f x a b =⋅=)2sin 3(11)12(cos m x x +⨯+⨯+=1)2
1
2cos 232(sin 2++⋅+⋅m x x =1)6
2sin(2+++m x π
(1)ππ
==
2
2T (2) 当0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
时,。