2016年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷及答案

2016年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷及答案
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2016年湖南省普通高中学业水平考试试卷
数 学
本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分。

时量120分钟，满分100分。

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 图1是某圆柱的直观图，则其正
视图是
A ．三角形
B ．梯形
C ．矩形
D ．圆
2. 函数cos ,y x x R =∈ 的最小正周期是
A ．2π
B ．π
C ．2π
D ．4
π 3. 函数()21f x x =- 的零点为
A ．2
B ．12
C ．12
- D ．2-
3
8. 已知函数()
=-的图象如图3所示，则不等
y x x a
式()0
-<的解集为
x x a
A．{|02}
≤≤
x x
B．{|02}
<<
x x
C．{|0
x x≤或2}
x≥
D．{|0
x x<或2}
x>
9. 已知两直线20
+-=的交点为M，
x y
x y
-=和30
则以点M为圆心，半径长为1的圆的方程是
A．22
-+-=
x y
(1)(2)1
x y
+++=B．22
(1)(2)1
C．22
(2)(1)1
x y
-+-= +++=D．22
x y
(2)(1)1
10. 某社区有300户居民，为了解该社区居民的
用水情况，从中随机
抽取一部分住户某
年每月的用水量(单
位：t)进行分析，得
到这些住户月均用
水量的频率分布直方图（如图4），由此可以
4
估计该社区居民月均用水量在[4,6)的住户
数为
A．50
B．80
C．120
D．150
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分2，0分.
11. 若sin5cos
αα
=，则tanα=____________.
12. 已知直线1:320
-+=. 若12//l l，
l mx y
-+=，2:10
l x y
则m=________.
13. 已知幂函数y xα=（α为常数）的图象经过点A，则α=________.
(4,2)
14. 在ABC
∆中，角,,
A B C的对边分别为,,a b c. 若
a=，3
b=，1
2
C=-，则c=_______.
cos
4
15. 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零
件所花费的时间，为此收集若干数据，并对
数据进行分析，得到加工时间(min)
y与零件
5
6
数x （个）的回归方程为0.6751y x =+ . 由此可以预测，当零件数为100个时，加工时间为__________.
三、解答题：本大题共5小题，满分40分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16. (本小题满分6分)
从一个装有3个红球123,,A A A 和2个白球12
,B B 的盒子中，随机取出2个球.
（1）用球的标号列出所有可能的取出结果；
（2）求取出的2个球都是红球的概率.
17. (本小题满分8分)
已知函数2
()(sin cos ),f x x x x R =+∈ .
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（1）求()4
f π 的值； （2）求()f x 的最小值，并写出()f x 取最小值
时自变量x 的集合.
18. (本小题满分8分)
已知等差数列{}n a 的公差2d =，且126a a += .
（1）求1a 及n
a ； （2）若等比数列{}n
b 满足11b a =，22b a =， 求
数列{}n n a
b +的前n 项的和n S .
19. (本小题满分8分)
如图5，四棱锥P ABCD
-的底面是边长为2的菱形，PD⊥底面ABCD.
（1）求证：AC⊥平面PBD；
（2）若2
PD=，直线PB
与平面ABCD所成的角为
-的
45，求四棱锥P ABCD
体积.
20. (本小题满分10分)
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已知函数()log a f x x = (0a >，且1a ≠ )，且(3)1f = .
(1) 求a 的值，并写出函数()f x 的定义域；
(2) 设()(1)(1)g x f x f x =+-- ，判断()g x 的奇偶性，并说明理由；
(3) 若不等式(4)(2)x x f t f t ⋅≥- 对任意[1,2]x ∈ 恒
成立，求实数的取值范围.
2016年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷
参考答案及评分标准
一、选择题(每小题4分，满分40分)
1. C
2. A
3. B
4. D
5. C
6.
A 7. A 8.
B 9. D 10. C
二 、填空题(每小题4分，满分20分)
11. 5 12. 3 13. 12
14. 4 15. 118
三 、解答题(满分40分)
16. 【解析】(1) 所有可能的取出结果共有10
个： 12A A ，13A A ，11A B ，12A B ，23A A ，21A B ，22
A B ，
31A B ，32A B ，12
B B . (3)
10 分
（2）取出的2个球都是红球的基本事件共有3个：12A A ，13A A ，23
A A .
所以，取出的2个球都是红球的概率为310 . …… 6分 17. 【解析】()12sin cos 1sin 2f x x x x =+=+ . (1)
()1sin 242f ππ=+= .
…… 4分
(2) 当sin 21x =- 时，()f x 的最小值为0，此时222
x k ππ=-+ ，即 ()
4x k k Z π
π=-+∈ . 所以()f x 取最小值时
x 的集合为{|,}4
x x k k Z ππ=-+∈. …… 8分 18. 【解析】(1) 由126a a
+=，得1
26a d +=. 又2d =，所以12a =，… 2分
故22(1)2n a n n =+-= .
…… 4分 (2) 依题意，得122,24b b q ===，即2q =，所以2n n b =.
于是22n
n n
a b n +=+ . 故
2(242)(222)n n
S n =+++++++21
2 2.n n n +=++- ………
8分
19.【解析】(1) 因为四边形ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥ .
又因为PD ⊥ 底面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以PD AC ⊥.
故 AC ⊥
平面PBD . …… 4分
(2) 因为PD ⊥底面ABCD ，
所以PBD ∠是直线PB 与平面ABCD 所成的角.
于是45PBD ∠=，因此2BD PD == ，又2AB AD == ，所以菱形ABCD 的面积为sin 602 3.S AB AD =⋅⋅=
故四棱锥P ABCD -的体积1433V S PD =⋅= …… 8分 20.【解析】(1) 由(3)1f = ，得log 31a = ，所以3a = . …… 2分
函数3()log f x x =的定义域为(0,)+∞. …… 4分
(2) 33
()log (1)log (1)g x x x =+--，定义域为(1,1)-.
因为33
()log (1)log (1)()g x x x g x -=--+=-，所以()g x 是奇函数. …… 7分
(3) 因为函数3
()log f x x =在(0,)+∞上是增函数，所以. 不等式(4)(2)x x
f t f t ⋅≥- 对任意[1,2]x ∈ 恒成
立，等价于不等式组
40,()20,
()42.()
x x x x t i t ii t t iii ⎧⋅>⎪->⎨⎪⋅≥-⎩对任意[1,2]x ∈ 恒成立. 由()i 得0t >；由()ii 得2x t <，依题意得2t <；由()iii 得
2114122x x x x
t ≥=++. 令2x u =，则[2,4]u ∈. 易知1y u u =+ 在区间[2,4]上是增函数，所以1y u u =+在区间[2,4]上的最小值为
5
2，故11
22x x +的最大值为25，依题意，得25t ≥.
综上所述，t 的取值范围为225
t ≤<. …… 10分。