高中数学选修2-1新教学案：第三章空间向量与立体几何检测题
高中数学选修2-1《空间向量与立体几何》测试题
高二数学空间向量测试题第一卷一 选择题(每道题的四个选择答案中有且只有一个答案是正确的) 1、在以下命题中：①假设向量a 、b 共线，那么a 、b 所在的直线平行；②假设向量a 、b 所在的直线是异面直线，那么a 、b 一定不共面； ③假设a 、b 、c 三向量两两共面，那么a 、b 、c 三向量一定也共面；④三向量a 、b 、c ，那么空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p ＝x a ＋y b ＋z c ． 其中正确命题的个数为 〔 〕A .0 B. 1 C. 2 D. 3 2、空间四边形ABCD 中，,,,c AD b BC a AB ===那么=CD ( )A ．c b a -+B.c b a --C ．c b a +--D ．c b a ++-3、平行四边形ABCD 中，A (4，1，3)、B (2，－5，1)、C (3，7，－5)，那么顶点D 的坐标为( )A ．)1,4,27(-B ．(2，3，1)C ．(－3，1，5)D ．(5，13，－3)4、a ＝(－1，－5，－2)，b ＝(2,2,+x x )，假设b a ⊥，那么x ＝( )A ．0B ．314-C ．－6D ．±65、设a ＝(2,1,-m )，b ＝(n ,4,3-)，假设b a //，那么m ，n 的值分别为( )A ．43，8 B ．43-，—8 C ．43-，8 D ．43，－8 6、向量a (0，2，1)，b (－1，1，－2)，那么a 与b 的夹角为( )A ．0°B ．45°C ．90°D ．180°7、假设斜线段AB 是它在平面α 内的射影长的2倍，那么AB 与α 所成的角为( )A ．60°B ．45°C ．30°D ．120°8、a ＝〔2，－1，3〕，b ＝〔－1，4，－2〕，c ＝〔7，5，λ〕，假设a 、b 、c 三向量共面，那么实数λ等于 〔 〕A ．627 B. 637 C. 647 D. 6579、在正三角形ABC 中，AD ⊥BC 于D ，沿AD 折成二面角B －AD －C 后，AB BC 21=，这时二面角B －AD －C 的大小为( )A ．60°B ．45°C ．90°D ．120°10、矩形ABCD 中，AB ＝1，2=BC ，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝1，那么PC 与平面ABCD 所成的角是( ) A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°11、设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足0,0,0=⋅=⋅=⋅AD AC AD AB AC AB那么△BCD 是 〔 〕 A ．钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 不确定12、P A 、PB 、PC 是从P 点引出的三条射线，每两条的夹角为60°，那么直线PC 与平面APB所成角的余弦值为( )A ．21 B ．36 C ．33 D ．23第二卷二、填空题13、向量a ＝(4，－2，－4)，b ＝(6，－3，2)，那么a 在b 方向上的投影是______． 14、)1,1,2(),2,0,1(==AC AB ，那么平面ABC 的一个法向量为____________．15、∠BOC 在平面α 内，OA 是平面α 的一条斜线，假设∠AOB ＝∠AOC ＝60°，OA ＝OB ＝OC ＝a ，BC ＝2a ，那么OA 与平面α 所成的角是______．16、以下命题中：(1)0=⋅b a 那么a ＝0或b ＝0；(2)==⋅⋅⋅⋅⋅22||||)3();()(q p c b a c b a2)(q p ⋅；(4)假设a 与b c a c b a ⋅⋅⋅⋅-)()(均不为0，那么它们必垂直．其中真命题的序号是______．三、解答题17、如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，1,,AA b AD a AB ==,2,MC AM c ==ND N A 21=，试用基底},,{c b a 表示.MN18、如图，底面ABCD 为矩形，侧棱P A ⊥底面ABCD ，3=AB ，BC ＝1，P A ＝2，求直线AC与PB 所成角的余弦值．19、一条线段夹在一个直二面角的两个面内，它和两个面所成的角都是30°，求这条线段与这个二面角的棱所成的角。
高中数学选修2-1第三章《空间向量与立体几何》单元检测卷含解析
选修2-1第三章《空间向量与立体几何》单元检测题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．空间四个点O 、A 、B 、C ，OA →，OB →，OC →为空间的一个基底，则下列说法不正确的是( ) A ．O 、A 、B 、C 四点不共线 B ．O 、A 、B 、C 四点共面，但不共线 C ．O 、A 、B 、C 四点中任意三点不共线 D ．O 、A 、B 、C 四点不共面2．已知a ＋3b 与7a －5b 垂直，且a －4b 与7a －2b 垂直，则〈a ，b 〉等于( ) A ．30° B ．60° C ．90° D ．45°3．已知A (2，－5,1)，B (2，－2,4)，C (1，－4,1)，则向量AB →与AC →的夹角为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°4．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点E 为上底面A 1C 1的中心，若AE →＝AA 1→＋xAB →＋yAD →，则x ，y 的值分别为( )A ．x ＝1，y ＝1B ．x ＝1，y ＝12C ．x ＝12，y ＝12D ．x ＝12，y ＝135．设E ，F 是正方体AC 1的棱AB 和D 1C 1的中点，在正方体的12条面对角线中，与截面A 1ECF 成60°角的对角线的数目是( )A ．0B ．2C ．4D ．66．已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4,2,0)，AP →＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的法向量；④AP →∥ BD →.其中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．47．已知a ＝(－3,2,5)，b ＝(1，x ，－1)且a·b ＝2，则x 的值是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．68．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足AB →·AC →＝0，AC →·AD →＝0，AB →·AD →＝0，则△BCD 是( ) A ．钝角三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形 D ．不确定9．正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1，则异面直线BA 1与AC 1所成的角等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 10．若向量a ＝(2,3，λ)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1，63的夹角为60°，则λ等于( ) A.2312 B.612 C.23612 D ．－2361211．已知OA →＝(1,2,3)，OB →＝(2,1,2)，OP →＝(1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动，则当QA →·QB →取得最小值时，点Q 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34，13B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，34C.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83D.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，73 12．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，平面A 1BD 与平面C 1BD 所成二面角的余弦值为( ) A.12 B.32 C.13 D.33第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．若向量a ＝(1,1，x )，b ＝(1,2,1)，c ＝(1,1,1)，满足条件(c －a )·(2b )＝－2，则x ＝________. 14．若A ⎝⎛⎭⎪⎫0，2，198，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－1，58，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，1，58是平面α内的三点，设平面α的法向量a ＝(x ，y ，z )，则x ∶y ∶z ＝__________.15．平面α的法向量为m ＝(1,0，－1)，平面β的法向量为n ＝(0，－1,1)，则平面α与平面β所成二面角的大小为__________． 16.在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝AA 1＝2，点D 是A 1C 1的中点，则异面直线AD 和BC 1所成角的大小为________．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)如图，已知ABCD —A 1B 1C 1D 1是平行六面体．设M 是底面ABCD 的中心，N 是侧面BCC 1B 1对角线BC 1上的34分点，设MN →＝αAB →＋βAD →＋γAA 1→，试求α、β、γ的值．18.(本小题满分12分)如图，四棱锥S —ABCD 的底面是边长为2a 的菱形，且SA ＝SC ＝2a ，SB ＝SD ＝2a ，点E 是SC 上的点，且SE ＝λa (0<λ≤2)．(1)求证：对任意的λ∈(0,2]，都有BD ⊥AE ；(2)若SC ⊥平面BED ，求直线SA 与平面BED 所成角的大小．19.( 本小题满分12分)已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →. (1)求a 和b 的夹角θ的余弦值；(2)若向量ka ＋b 与ka －2b 互相垂直，求k 的值．20．(本小题满分12分)如图所示，在三棱锥S —ABC 中，SO ⊥平面ABC ，侧面SAB 与SAC 均为等边三角形，∠BAC ＝90°，O 为BC 的中点，求二面角A —SC —B 的余弦值．21.(本小题满分12分)如图，在底面是矩形的四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝2，BC＝4，E是PD的中点．(1)求证：平面PDC⊥平面PAD；(2)求点B到平面PCD的距离．22．(本小题满分12分)如图，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P为侧棱SD上的点．(1)求证： AC ⊥SD ；(2)若SD ⊥平面PAC ，求二面角P —AC —D 的大小；(3)在(2)的条件下，侧棱SC 上是否存在一点E ，使得BE ∥平面PAC .若存在，求SE ∶EC 的值；若不存在，试说明理由．选修2-1第三章《空间向量与立体几何》单元检测题参考答案【第1题解析】如果O 、A 、B 、C 四点共面，则OA ，OB ，OC 共面，则OA ，OB ，OC 不可能为空间的一个基底.故选B.【第4题解析】AE →＝AA 1→＋A 1E →＝AA 1→＋12(A 1B 1→＋A 1D 1→)＝AA 1→＋12AB →＋12AD →，由空间向量的基本定理知，x ＝y ＝12.故选C.【第5题解析】利用线面角的公式可以求得其中有BD ，11B D ，11,B A C D 四条直线对角线满足题意，由题得C 是正确答案，故选C.【第6题解析】∵AB →·AP →＝－2－2＋4＝0，∴AP ⊥AB ，①正确；∵AP →·AD →＝－4＋4＝0，∴AP ⊥AD ，②正确；由①②知AP →是平面ABCD 的法向量，∴③正确，④错误．故选C. 【第7题解析】32525x x -+-=∴=，故选C.【第8题解析】△BCD 中，BC →·BD →＝(AC →－AB →)·(AD →－AB →)＝AB →2>0.∴∠B 为锐角，同理，∠C ，∠D 均为锐角，∴△BCD 为锐角三角形．故选B. 【第9题解析】建系如图，设AB ＝1，则B (1,0,0)，A 1(0,0,1)，C 1(0,1,1)．∴BA 1→＝(－1,0,1)，A C 1→＝(0,1,1)∴cos 〈BA 1→，A C 1→〉＝＝12·2＝12.∴〈BA 1→，A C 1→〉＝60°，即异面直线BA 1与AC 1所成的角等于60°.故选C.【第11题解析】∵Q 在OP 上，∴可设Q (x ，x,2x )，则QA →＝(1－x ，2－x,3－2x )，QB →＝(2－x,1－x,2－2x )．∴QA →·QB →＝6x 2－16x ＋10，∴x ＝43时，QA →·QB →最小，这时Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83.故选C.【第12题解析】以点D 为原点，DA 、DC 、DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A 1C →＝(－1,1，－1)，A C 1→＝(－1,1,1)．可以证明A 1C ⊥平面BC 1D ，AC 1⊥平面A 1BD .又cos 〈A C 1→，A 1C →〉＝13，结合图形可知平面A 1BD 与平面C 1BD所成二面角的余弦值为13.故选C.【第13题解析】∵a ＝(1,1，x )，b ＝(1,2,1)，c ＝(1,1,1)，∴c －a ＝(0,0,1－x )，2b ＝(2,4,2)． ∴(c －a )·(2b )＝2(1－x )＝－2，∴x ＝2. 故填2.【第14题解析】AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－3，－74，AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－1，－74，由a ·AB →＝0，a ·AC →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23y z ＝－43y ，x ∶y ∶z ＝23y ∶y ∶⎝ ⎛⎭⎪⎫－43y ＝2∶3∶(－4)．故填2∶3∶(－4)【第15题解析】∵cos 〈m ，n 〉＝m·n |m||n |＝－12·2＝－12，∴〈m ，n 〉＝120°，即平面α与β所成二面角的大小为60°或120°.故填60°或120°. 【第16题解析】建立如图所示坐标系，则AD →＝(－1,1，－2)， B C 1→＝(0,2，－2)， ∴cos 〈AD →，B C 1→〉＝622·6＝32，∴〈AD →，B C 1→〉＝π6.即异面直线AD 和BC 1所成角的大小为π6.故填π6.【第18题答案】（1）证明见解析；（2）SA 与平面BED 所成的角为π6.【第18题解析】(1)证明 连结BD ，AC ，设BD 与AC 交于O .由底面是菱形，得BD ⊥AC . ∵SB ＝SD ，O 为BD 中点， ∴BD ⊥SO . 又AC ∩SO ＝O ， ∴BD ⊥面SAC .又AE ⊂面SAC ，∴BD ⊥AE . (2)解 由(1)知BD ⊥SO ，同理可证AC ⊥SO ，∴SO ⊥平面ABCD .取AC 和BD 的交点O 为原点建立如图所示的坐标系，设SO ＝x ，则OA ＝4a 2－x 2，OB ＝2a 2－x 2. ∵OA ⊥OB ，AB ＝2a ，∴(4a 2－x 2)＋(2a 2－x 2)＝4a 2，解得x ＝a .∴OA ＝3a ，则A (3a,0,0)，C (－3a,0,0)，S (0,0，a )． ∵SC ⊥平面EBD ，∴SC →是平面EBD 的法向量． ∴SC →＝(－3a,0，－a )，SA →＝(3a,0，－a )． 设SA 与平面BED 所成角为α，则sin α＝||||||SC SA SC SA ⋅⋅＝|－3a 2＋a 2|3＋1a·3＋1a ＝12， 即SA 与平面BED 所成的角为π6.(2)ka ＋b ＝(k ，k,0)＋(－1,0,2)＝(k －1，k,2)，ka －2b ＝(k ，k,0)－(－2,0,4)＝(k ＋2，k ，－4)，∴ (k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4) ＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝0. 即2k 2＋k －10＝0，∴k ＝－52或k ＝2.【第20题答案】二面角A —SC —B 的余弦值为33. 【第20题解析】以O 为坐标原点，射线OB ，OA ，OS 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立如图所示的空直角坐标系Oxyz .设B (1,0,0)，则C (－1,0,0)，A (0,1,0)，S (0,0,1)，SC 的中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，12.【第21题答案】（1）证明见解析；（2）455. 【第21题解析】(1)证明 如图，以A 为原点，AD 、AB 、AP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则依题意可知A (0,0,0)，B (0,2,0)，C (4,2,0)，D (4,0,0)，P (0,0,2)．∴PD →＝(4,0，－2)，CD →＝(0，－2,0)，PA →＝(0,0，－2)．设平面PDC 的一个法向量为n ＝(x ，y,1)，则⇒⎩⎪⎨⎪⎧ －2y ＝04x －2＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝0x ＝12，所以平面PCD 的一个法向量为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，1. ∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥AB ，又∵AB ⊥AD ，PA ∩AD ＝A ，∴AB ⊥平面PAD .∴平面PAD 的法向量为AB →＝(0,2,0)．∵n ·AB →＝0，∴n ⊥AB →.∴平面PDC ⊥平面PAD .(2)由(1)知平面PCD 的一个单位法向量为n |n|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫55，0，255. ∴＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ 4，0，0 ·⎝ ⎛⎭⎪⎫55，0，255＝455，∴点B 到平面PCD 的距离为455.于是S (0,0，62a )，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22a ，0，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22a ，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22a ，0，0， OC →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，22a ，0， SD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22a ，0，－62a ，∴OC →·SD →＝0.∴OC ⊥SD ，即AC ⊥SD .(2)由题意知，平面PAC 的一个法向量DS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22a ，0，62a ，平面DAC 的一个法向量 OS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，62a ， 设所求二面角为θ，则cos θ＝＝32， 故所求二面角P —AC —D 的大小为30°.。
数学选修2-1苏教版：第3章 空间向量与立体几何 章末检测试卷(三)
章末检测试卷(三)(时间：120分钟 满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．已知a ＝(－3,2,5)，b ＝(1，x ，－1)，且a ·b ＝2，则x 的值是________． 答案 5解析 ∵a ·b ＝－3＋2x －5＝2， ∴x ＝5.2.如图，在空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，点N 为BC 的中点，则MN →＝________.(用a ，b ，c 表示)答案 －23a ＋12b ＋12c解析 如图，连结ON ，由向量的加法法则，可知MN →＝MO →＋ON →＝－23OA →＋12(OB →＋OC →)＝－23a ＋12(b ＋c )＝－23a ＋12b ＋12c .3．设i ，j ，k 为单位正交基底，已知a ＝3i ＋2j －k ，b ＝i －j ＋2k ，则5a ·3b ＝________. 答案 －15解析 ∵a ＝(3,2，－1)，b ＝(1，－1,2)，∴5a ·3b ＝15a ·b ＝－15.4．设平面α，β的法向量分别为u ＝(1,2，－2)，v ＝(－3，－6，6)，则α，β的位置关系为________．考点 向量法求解平面与平面的位置关系 题点 向量法解决面面平行 答案 平行或重合解析 ∵平面α，β的法向量分别为u ＝(1,2，－2)，v ＝(－3，－6,6)，满足v ＝－3u ，∴α∥β或重合．5．若空间向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，且a 与b 的夹角为60°，则a ·a ＋a ·b ＝________. 答案 32解析 由空间向量数量积的性质，知a ·a ＝|a |2＝1. 由空间向量数量积的定义，得a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝1×1×cos60°＝12，从而a ·a ＋a ·b ＝1＋12＝32.6．A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足AB →·AC →＝0，AC →·AD →＝0，AB →·AD →＝0，M 为BC 中点，则△AMD 为________三角形． 答案 直角解析 ∵M 为BC 中点， ∴AM →＝12(AB →＋AC →)．∴AM →·AD →＝12(AB →＋AC →)·AD →＝12AB →·AD →＋12AC →·AD →＝0. ∴AM ⊥AD ，△AMD 为直角三角形．7.在三棱锥P －ABC 中，CP ，CA ，CB 两两垂直，AC ＝CB ＝1，PC ＝2，如图，建立空间直角坐标系，则下列向量中是平面P AB 的法向量的是________．(填序号)①⎝⎛⎭⎫1，1，12；②(1，2，1)；③(1,1,1)；④(2，－2,1)． 答案 ①解析 由题意知，C (0,0,0)，A (1,0,0)，B (0,1,0)，P (0,0,2)，则P A →＝(1,0，－2)，AB →＝(－1,1,0)， 设平面P AB 的一个法向量为n ＝(x ，y,1)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝0，－x ＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，∴n ＝(2,2,1)．又⎝⎛⎭⎫1，1，12＝12n ，∴①正确． 8．已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝4，D 为AB 的中点，沿中线将△ACD 折起使得AB ＝13，则二面角A －CD －B 的大小为________． 答案 120°解析 如图，取CD 中点E ，在平面BCD 内过点B 作BF ⊥CD ，交CD 延长线于点F .据题意知AE ⊥CD ，AE ＝BF ＝3，EF ＝2，AB ＝13. 且〈EA →，FB →〉为二面角的平面角， 由AB →2＝(AE →＋EF →＋FB →)2得13＝3＋3＋4＋2×3×cos 〈AE →，FB →〉， ∴cos 〈EA →，FB →〉＝－12，又∵〈EA →，FB →〉∈[0°，180°]， ∴〈EA →，FB →〉＝120°. 即所求的二面角为120°.9.如图，在空间四边形ABCD 中，AC 和BD 为对角线，G 为△ABC 的重心，E 是BD 上一点，BE ＝3ED ，若以{AB →，AC →，AD →}为基底，则GE →＝________.答案 －112AB →－13AC →＋34AD →解析 GE →＝AE →－AG →＝AD →＋DE →－23AM →＝AD →＋14DB →－13(AB →＋AC →)＝AD →＋14AB →－14AD →－13AB →－13AC →＝－112AB →－13AC →＋34AD →.10.如图，在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AB ＝8，AD ＝6，AA ′＝8，∠BAD ＝∠BAA ′＝∠DAA ′＝60°，则AC ′的长为________．答案 18解析 ∵AC ′—→＝AC →＋CC ′—→＝AB →＋AD →＋AA ′—→，|AC ′—→|2＝(AB →＋AD →＋AA ′—→)2＝|AB →|2＋|AD →|2＋|AA ′—→|2＋2(AB →·AD →＋AB →·AA ′—→＋AD →·AA ′—→) ＝82＋62＋82＋2×(24＋32＋24)＝324， ∴|AC ′—→|＝324＝18.11.如图，S 是正三角形ABC 所在平面外一点，M ，N 分别是AB 和SC 的中点，SA ＝SB ＝SC ，且∠ASB ＝∠BSC ＝∠CSA ＝90°，则异面直线SM 与BN 所成角的余弦值为________．答案105解析 不妨设SA ＝SB ＝SC ＝1，以点S 为坐标原点，SA ，SB ，SC 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系S －xyz ，则相关各点坐标为A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，S (0,0,0)，M ⎝⎛⎭⎫12，12，0，N ⎝⎛⎭⎫0，0，12. 因为SM →＝⎝⎛⎭⎫12，12，0， BN →＝⎝⎛⎭⎫0，－1，12， 所以|SM →|＝12，|BN →|＝54， SM →·BN →＝－12，cos 〈SM →，BN →〉＝SM →·BN →|SM →| |BN →|＝－105，因为异面直线所成的角为锐角或直角， 所以异面直线SM 与BN 所成角的余弦值为105. 12.如图所示，已知二面角αlβ的平面角为θ⎝⎛⎭⎫θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，AB ⊥BC ，BC ⊥CD ，AB 在平面β内，BC 在l 上，CD 在平面α内，若AB ＝BC ＝CD ＝1，则AD 的长为________．答案3－2cos θ解析 因为AD →＝AB →＋BC →＋CD →，所以AD →2＝AB →2＋BC →2＋CD →2＋2AB →·CD →＋2AB →·BC →＋2BC →·CD →＝1＋1＋1＋2cos(π－θ)＝3－2cos θ.所以|AD →|＝3－2cos θ， 即AD 的长为3－2cos θ.13．已知OA →＝(1,2,3)，OB →＝(2,1,2)，OP →＝(1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动，则当QA →·QB →取得最小值时，点Q 的坐标为________． 答案 ⎝⎛⎭⎫43，43，83解析 设Q (x ，y ，z )，因为Q 在OP →上，故有OQ →∥OP →， 设OQ →＝λOP →(λ∈R )，可得x ＝λ，y ＝λ，z ＝2λ， 则Q (λ，λ，2λ)，QA →＝(1－λ，2－λ，3－2λ)， QB →＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，所以QA →·QB →＝6λ2－16λ＋10＝6⎝⎛⎭⎫λ－432－23， 故当λ＝43时，QA →·QB →取最小值，此时Q ⎝⎛⎭⎫43，43，83. 14．给出下列命题：①若AB →＝CD →，则必有A 与C 重合，B 与D 重合，AB 与CD 为同一线段； ②若a ·b <0，则〈a ，b 〉是钝角；③若a 为直线l 的方向向量，则λa (λ∈R )也是l 的方向向量；④非零向量a ，b ，c 满足a 与b ，b 与c ，c 与a 都是共面向量，则a ，b ，c 必共面． 其中不正确的命题为________．(填序号) 答案 ①②③④解析 ①错误，如在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB →＝A 1B 1—→，但线段AB 与A 1B 1不重合；②错误，a ·b <0，即cos 〈a ，b 〉<0⇒π2<〈a ，b 〉≤π，而钝角的取值范围是⎝⎛⎭⎫π2，π；③错误，当λ＝0时，λa ＝0不能作为直线l 的方向向量；④错误，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，令AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1—→＝c ，则它们两两共面，但显然AB →，AD →，AA 1—→是不共面的． 二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →. (1)求a 和b 的夹角θ的余弦值；(2)若向量k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求k 的值． 解 a ＝AB →＝(－1,1,2)－(－2,0,2)＝(1,1,0)， b ＝AC →＝(－3,0,4)－(－2,0,2)＝(－1,0,2)． (1)cos θ＝a ·b |a ||b |＝－1＋0＋02×5＝－1010，∴a 与b 的夹角θ的余弦值为－1010. (2)k a ＋b ＝(k ，k,0)＋(－1,0,2)＝(k －1，k,2)， k a －2b ＝(k ，k,0)－(－2,0,4)＝(k ＋2，k ，－4)， ∴(k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4) ＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝0. 即2k 2＋k －10＝0， ∴k ＝－52或k ＝2.16．(14分)已知空间内三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)． (1)求以向量AB →，AC →为一组邻边的平行四边形的面积S ；(2)若向量a 与向量AB →，AC →都垂直，且|a |＝3，求向量a 的坐标． 解 (1)∵AB →＝(－2，－1,3)，AC →＝(1，－3,2)，∴cos ∠BAC ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝714×14＝12，又∵∠BAC ∈[0°，180°]，∴∠BAC ＝60°，∴S ＝|AB →||AC →|sin60°＝7 3. (2)设a ＝(x ，y ，z )，由a ⊥AB →，得－2x －y ＋3z ＝0， 由a ⊥AC →，得x －3y ＋2z ＝0， 由|a |＝3，得x 2＋y 2＋z 2＝3， ∴x ＝y ＝z ＝1或x ＝y ＝z ＝－1. ∴a ＝(1,1,1)或a ＝(－1，－1，－1)．17．(14分)如图所示，已知几何体ABCD －A 1B 1C 1D 1是平行六面体．(1)化简12AA 1—→＋BC →＋23AB →，并在图上标出结果；(2)设M 是底面ABCD 的中心，N 是侧面BCC 1B 1对角线BC 1上的点，且C 1N ＝14C 1B ，设MN→＝αAB →＋βAD →＋γAA 1—→，试求α，β，γ的值．解 (1)取AA 1的中点E ，在D 1C 1上取一点F ，使得D 1F ＝2FC 1，连结EF ，则12AA 1—→＋BC →＋23AB → ＝EA 1—→＋A 1D 1—→＋D 1F —→＝EF →. (2)MN →＝MB →＋BN → ＝12DB →＋34BC 1—→ ＝12(DA →＋AB →)＋34(BC →＋CC 1—→)＝12AB →＋14AD →＋34AA 1—→， 所以α＝12，β＝14，γ＝34.18．(16分)如图所示，已知直三棱柱(侧棱垂直于底面的三棱柱)ABC －A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，D 是AB 的中点，AC ＝BC ＝BB 1.(1)求证：BC 1⊥AB 1； (2)求证：BC 1∥平面CA 1D .证明 如图所示，以C 1为坐标原点，C 1A 1，C 1B 1，C 1C 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，设AC ＝BC ＝BB 1＝2，则A (2,0,2)，B (0,2,2)，C (0,0,2)，A 1(2,0,0)，B 1(0,2,0)，C 1(0,0,0)，D (1,1,2)．(1)由于BC 1—→＝(0，－2，－2)，AB 1—→＝(－2,2，－2)， ∴BC 1—→·AB 1—→＝0－4＋4＝0， 即BC 1—→⊥AB 1—→，故BC 1⊥AB 1. (2)取A 1C 的中点E ，连结DE . 由于E (1,0,1)，∴ED →＝(0,1,1)，又BC 1—→＝(0，－2，－2)， ∴ED →＝－12BC 1—→，且ED 与BC 1不共线，∴ED ∥BC 1，又ED ⊂平面CA 1D ，BC 1⊄平面CA 1D ， ∴BC 1∥平面CA 1D .19．(16分)如图，已知四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，且ABCD 为正方形，P A ＝AB ＝a ，点M 是PC 的中点．(1)求BP 与DM 所成的角的大小； (2)求二面角M －DA －C 的大小．解 (1)以A 为坐标原点，AB →，AD →，AP →为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立空间直角坐标系． 由已知得A (0，0,0)，B (a,0,0)，C (a ，a,0)，D (0，a,0)，P (0,0，a )，M ⎝⎛⎭⎫a 2，a 2，a 2.设直线BP 与DM 所成的角为θ. ∵BP →＝(－a,0，a )，DM →＝⎝⎛⎭⎫a 2，－a 2，a 2， ∴BP →·DM →＝0.∴BP 与DM 所成的角θ＝90°.(2)∵AP →＝(0,0，a )，AB →＝(a,0,0)，AD →＝(0，a,0)， BP →＝(－a,0，a )，∴BP →·AD →＝0，AP →·AB →＝0，AP →·AD →＝0. 又由(1)知BP →·DM →＝0，∴BP →是平面MDA 的法向量，AP →是平面ABCD 的法向量，则cos 〈BP →，AP →〉＝BP →·AP →|BP →||AP →|＝22.∴所求的二面角M －DA －C 的大小为45°.20．(16分)如图所示，四边形ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，△ABE 为等边三角形，且平面ABCD ⊥平面ABE ，AB ＝2CD ＝2BC ＝2，P 为CE 的中点．(1)求证：AB ⊥DE ；(2)求平面ADE 与平面BCE 所成的锐二面角的余弦值；(3)在△ABE 内是否存在一点Q ，使PQ ⊥平面CDE ？如果存在，求PQ 的长；如果不存在，请说明理由．(1)证明 取AB 的中点O ，连结OD ，OE ， 因为△ABE 是正三角形，所以AB ⊥OE .因为四边形ABCD 是直角梯形，DC ＝12AB ，AB ∥CD ，所以四边形OBCD 是平行四边形， 所以OD ∥BC .又AB ⊥BC ，所以AB ⊥OD ，又OE ∩OD ＝O ，所以AB ⊥平面ODE ， 所以AB ⊥DE .(2)解 因为平面ABCD ⊥平面ABE ，AB ⊥OE ，OE ⊂平面ABE ，平面ABCD ∩平面ABE ＝AB . 所以OE ⊥平面ABCD ， 所以OE ⊥OD .如图所示，以O 为坐标原点，OA ，OE ，OD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则A (1,0,0)，B (－1,0,0)， D (0,0,1)，C (－1,0,1)， E (0，3，0)，所以AD →＝(－1,0,1)，DE →＝(0，3，－1)．最新中小学教案、试题、试卷设平面ADE 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·DE →＝0，n 1·AD →＝0，即⎩⎨⎧3y 1－z 1＝0，－x 1＋z 1＝0， 令z 1＝1，则x 1＝1，y 1＝33， 所以n 1＝⎝⎛⎭⎫1，33，1， 同理可求得平面BCE 的一个法向量为 n 2＝(－3，1,0)，设平面ADE 与平面BCE 所成的锐二面角为θ， 则cos θ＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝⎪⎪⎪⎪33－373×2＝77， 所以平面ADE 与平面BCE 所成的锐二面角的余弦值为77. (3)解 假设存在Q (x 2，y 2,0)满足题意，因为P ⎝⎛⎭⎫－12，32，12，所以PQ →＝⎝⎛⎭⎫x 2＋12，y 2－32，－12， 又CD →＝(1,0,0)，DE →＝(0，3，－1)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧PQ →·CD →＝0，PQ →·DE →＝0，即⎩⎨⎧ x 2＋12＝0，3⎝⎛⎭⎫y 2－32＋12＝0， 解得⎩⎨⎧x 2＝－12，y 2＝33， 易知点Q ⎝⎛⎭⎫－12，33，0在△ABE 内， 所以△ABE 内存在点Q ⎝⎛⎭⎫－12，33，0，使PQ ⊥平面CDE ，此时PQ ＝33.。
高中数学选修2-1章末检测卷12：第三章 空间向量与立体几何
第三章综合测试时间120分钟，满分150分．一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，把正确的选项填在答题卡中)1．若向量a 与b 不共线，a·b ≠0，且c ＝a －⎝⎛⎭⎫a·a a·b b ，则a 与c 的夹角为( ) A ．0 B ．π6C.π3D ．π2[[答案]] D[[解析]] a·c ＝|a |2－⎝⎛⎭⎫a·a a·b (a·b )＝|a |2－a·a ＝0，∴a ⊥b . 2．对于任意向量a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，给出下面两个命题： ①a ∥b ⇔a 1b 1＝a 2b 2＝a 3b 3；②若a 1＝a 2＝a 3＝1，则a 为单位向量． 其中正确命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 [[答案]] A[[解析]] 由a 1b 1＝a 2b 2＝a 3b 3⇒a ∥b 但a ∥b ⇒/ a 1b 1＝a 2b 2＝a 3b 3；若a 1＝a 2＝a 3＝1，则|a |＝3，∴①②都不正确．故选A.3．与向量(－3，－4,5)共线的单位向量是( ) A ．(3210，4210，－22)和(－3210，－4210，22)B ．(3210，4210，－22)C ．(－3210，－4210，22)D ．(3210，4210，22)和(－3210，－4210，－22)[[答案]] A[[解析]] 所求的单位向量e 与(－3，－4,5)方向相同或相反，且|e |＝1，求得(3210，4210，－22)和(－3210，－4210，22)．4．若直线l 与平面α所成的角为π3，直线a 在平面α内，且与直线l 异面，则直线l 与直线a 所成的角的取值范围是( ) A ．[0，2π3]B ．[π3，2π3]C ．[π2，2π3]D ．[π3，π2][[答案]] D[[解析]] 由定理知直线l 与直线a 所成的最小角为π3.又l ，a 为异面直线，则所成角的最大值为π2.5．(2013·淄博模拟)已知空间四边形ABCD 中，M ，G 分别为BC ，CD 的中点，则AB →＋12(BD→＋BC →)等于( ) A.AG → B ．CG → C.BC → D ．12BC →[[答案]] A[[解析]] 如下图所示：12(BD →＋BC →)＝BG →，AB →＋BG →＝AG →. 6．已知ABCD 是四面体，O 为△BCD 内一点，且AO →＝13(AB →＋AC →＋AD →)，则AO →是O 为△BCD的重心的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件[[答案]] C[[解析]] 用向量的运算法则，充要条件的概念来判定．7．已知向量a ＝(8，x2，x )，b ＝(x,1,2)，其中x >0.若a ∥b ，则x 的值为( )A ．8B ．4C ．2D ．0 [[答案]] B[[解析]] a ∥b ⇔存在λ∈R 使a ＝λb ⇔(8，x2，x )＝(λx ，λ，2λ)⇔⎩⎪⎨⎪⎧λx ＝8x 2＝λx ＝2λ⇔⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2，x ＝4.8．如下图，正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB .则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为( )A.15B ．25 C.35D ．45 [[答案]] D[[解析]] 用坐标法求向量夹角．9．已知向量n ＝(1,0，－1)与平面α垂直，且α经过点A (2,3,1)，则点P (4,3,2)到α的距离为( ) A.32B．22 C.2D ．322[[答案]] B[[解析]] P A →＝(－2,0，－1)，又n 与α垂直，所以P 到α的距离为|－2，0，－1·1，0，－1|12＋－12＝12＝22，故选B.10．在60°的二面角的一个面内有一个点，它到棱的距离是8，那么它到另一个面的距离是( ) A.3B ．2 3 C ．33D ．4 3 [[答案]] D[[解析]] 设二面α—l —β为60°，α内一点为A ，过A 作AB ⊥β于B ，AO ⊥l 于O ，连OB ，则OB ⊥l ，∴∠AOB ＝60°，∴AB ＝8sin60°＝4 3.11．已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点M 与点A ，B ，C 一定共面的是( )A.OM →＝OA →＋OB →＋OC →B.OM →＝2OA →－OB →－OC →C.OM →＝OA →＋12OB →＋13OC →D.OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →[[答案]] D[[解析]] 选项D 中的三个系数和：13＋13＋13＝1，故M 与点A ，B ，C 一定共面．12．如下图，P 是边长为a 的正六边形ABCDEF 平面外一点，P A ⊥AB ，P A ⊥AF ，为求P 与CD 的距离作PQ ⊥CD 于Q ，则( )A ．Q 为CD 的中点B ．Q 与D 重合C ．Q 与C 重合D ．以上都不对 [[答案]] C[[解析]] 连AC ，则AC ⊥CD ，由三垂线定理知PC ⊥CD ，∴Q 与C 重合． 故选C.二、填空题(本大题共4个小题，每空4分，共16分，把正确[答案]填在题中横线上) 13．三个平面两两垂直，它们交于一点O ，空间一点P 到三个面的距离分别为2，3和25，则PO ＝________. [[答案]] 5 [[解析]] PO ＝22＋32＋252＝5.14．已知a ＝(2，－1,2)，b ＝(2,2,1)，则以a 、b 为邻边的平行四边形的面积为________． [[答案]]65[[解析]] 因为|a |＝|b |，所以平行四边形为菱形．又a ＋b ＝(4,1,3)，a －b ＝(0，－3,1)，|a ＋b |＝26，|a －b |＝10， S ＝12|a ＋b ||a －b |＝12×26×10＝65. 15．给出命题：①在▱ABCD 中，AB →＋AD →＝AC →；②在△ABC 中，若AB →·AC →>0，则△ABC 是锐角三角形；③在梯形ABCD 中，E 、F 分别是两腰BC 、DA 的中点，则FE →＝12(AB →＋DC →)；④在空间四边形ABCD 中，E 、F 分别是边BC 、DA 的中点，则FE →＝12(AB →＋DC →)．以上命题中，正确命题的序号是____．[[答案]] ①③④[[解析]] ①满足向量运算的平行四边形法则，①正确；AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos A >0⇒∠A <90°，但∠B 、∠C 无法确定，△ABC 是否是锐角三角形无法确定，②错误；③符合梯形中位线，正确；④如图：DC →＝DA →＋AC →；DC →＋AB →＝DA →＋AB →＋AC →＝DA →＋2AE →＝2(F A →＋AE →)＝2FE →，则FE →＝12(AB →＋DC →)．16．正△ABC 边长为a ，AD ⊥BC 于点D ，沿AD 把△ABC 折起来使∠BDC ＝90°，这时点B 到AC 的距离是______________． [[答案]]74a [[解析]] 过D 作DH ⊥AC 于H ，连BH ，则DH ＝34a ，∴BH ＝a 22＋34a 2＝74a .三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，AD ＝2，AA 1＝3，∠BAD ＝90°，∠BAA 1＝∠DAA 1＝60°，求AC 1的长． [[解析]] AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→， ∴|AC 1→|2＝(AB →＋AD →＋AA 1→)2＝AB →2＋AD →2＋AA 1→2＋2AB →·AD →＋2AB →·AA 1→＋2AD →·AA 1→＝1＋22＋32＋2|AB →|·|AD →|·cos 〈AB →，AD →〉＋2|AB →|·|AA 1→|·cos 〈AB →，AA 1→〉＋2|AD →|·|AA 1→|·cos 〈AD →，AA 1→〉＝14＋2×1×2cos90°＋2×1×3cos60°＋2×2×3cos60°＝23， ∴|AC 1→|＝23，即AC 1＝23.18．(本小题满分12分)在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为DD 1和BB 1的中点．(1)求证：AEC 1F 是平行四边形； (2)求AE 和AF 之间的夹角的余弦值； (3)求四边形AEC 1F 的面积．[[解析]] (1)证明：如下图，以DA ，DC ，DD 1所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则A (a,0,0)，E (0,0，a 2)，F (a ，a ，a2)，C 1(0，a ，a )．∴AE →＝(－a,0，a 2)，FC 1→＝(－a,0，a 2)．∴AE →＝FC 1→，∴AEC 1F 为平行四边形．(2)解：由AF →＝(0，a ，a 2)，得cos 〈AE →，AF →〉＝AE →·AF →|AE →||AF →|＝15.(3)解：由(2)知sin ∠EAF ＝25 6.∴S ▱AEC 1F ＝|AE →||AF →|sin ∠EAF ＝62a 2.19．(本小题满分12分)已知空间四边形OABC ，棱OA ，OB ，BC 互相垂直，OA ＝OB ＝BC ＝1，N 是OC 的中点，点M 在AB 上，且MN ⊥AB ，求AM AB 的值． [[解析]] 如下图所示，设AM AB＝x ，则AM →＝xAB →.OM →＝(1－x )OA →＋xOB →，ON →＝12OC →＝12(OB →＋BC →)，MN →＝ON →－OM →＝12OB →＋12BC →－(1－x )OA →－xOB →＝(x －1)OA →＋(12－x )OB →＋12BC →.又知AB →＝OB →－OA →，MN ⊥AB ，所以MN →·AB →＝0. 即[(x －1)OA →＋(12－x )OB →＋12BC →]·(－OA →＋OB →)＝0.进行向量运算，考虑到OA →、OB →、BC →互相垂直且它们的长度都为1，运算结果得12－x ＋1－x＝0.解得x ＝34.所以MN AB ＝34.20．(本小题满分12分)如下图，设动点P 在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1上，记D 1PD 1B＝λ，当∠APC 为钝角时，求λ的取值范围．[[解析]] 以DA →，DC →，DD 1→为单位正交基底，建立空间直角坐标系Dxyz ，则有A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0,1,0)，D 1(0,0,1)，从而D 1B →＝(1,1，－1)，D 1A →＝(1,0，－1)，D 1C →＝(0,1，－1)，D 1P →＝λD 1B →＝(λ，λ，－λ)，P A →＝PD 1→＋D 1A →＝(－λ，－λ，λ)＋(1,0，－1)＝(1－λ，－λ，λ－1)， PC →＝PD 1→＋D 1C →＝(－λ，1－λ，λ－1)，显然∠APC 不是平角，所以∠APC 为钝角等价于P A →·PC →<0， 即－λ(1－λ)－λ(1－λ)＋(λ－1)2＝(λ－1)(3λ－1)<0，解得13<λ<1，因此λ的取值范围是(13，1).21．(本小题满分12分)已知三棱锥P －ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，P A ＝AC ＝12AB ，N 为AB 上一点，AB ＝4AN ，M ，S 分别为PB ，BC 的中点． (1)证明：CM ⊥SN ；(2)求SN 与平面CMN 所成角的大小．[[解析]] 以A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，设P A ＝1，则P (0,0,1)，C (0,1,0)，B (2,0,0)，M (1,0，12)，N (12，0,0)，S (1，12，0)．(1)CM →＝(1，－1，12)，SN →＝(－12，－12，0)，因为CM →·SN →＝－12＋12＋0＝0，所以CM →⊥SN →，所以CM ⊥SN .(2)易得NC →＝(－12，1,0)，设n ＝(x ，y ，z )为平面CMN 的一个法向量，则⎩⎨⎧CM →·n ＝x －y ＋12z ＝0，NC →·n ＝－12x ＋y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y z ＝－2y ，取x ＝2，则y ＝1，z ＝－2，n ＝(2,1，－2)．因为|cos 〈n ，SN →〉|＝|n ·SN →||n |·|SN →|＝22，所以SN 与平面CMN 所成角的大小为45°.22．(本小题满分14分)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1C 1C 是边长为4的正方形．平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，AB ＝3，BC ＝5. (1)求证：AA 1⊥平面ABC ；(2)求二面角A 1－BC 1－B 1的余弦值；(3)证明：在线段BC 1上存在点D ，使得AD ⊥A 1B ，并求BDBC 1的值．[[解析]] (1)因为AA 1C 1C 为正方形，所以AA 1⊥AC ，因为平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，且AA 1垂直于这两个平面的交线AC ，所以AA 1⊥平面ABC . (2)由(1)知AA 1⊥AC ，AA 1⊥AB .由题知AB ＝3，BC ＝5，AC ＝4，所以AB ⊥AC .如下图，以A 为原点建立空间直角坐标系A －xyz ，则B (0,3,0)，A 1(0,0,4)，B 1(0,3,4)，C 1(4,0,4)，设平面A 1BC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·A 1B →＝0，n ·A 1C 1→＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧3x －4z ＝0，4x ＝0.令z ＝3，则x ＝0，y ＝4，所以n ＝(0,4,3)．同理可得，平面B 1BC 1的法向量为m ＝(3,4,0)， 所以cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝1625.由题知二面角A 1－BC 1－B 1为锐角，所以二面角A 1－BC 1－B 1的余弦值为1625.(3)设D (x ，y ，z )是直线BC 1上一点，且BD →＝λBC 1→.所以(x ，y －3，z )＝λ(4，－3,4)． 解得x ＝4λ，y ＝3－3λ，z ＝4λ.所以AD →＝(4λ，3－3λ，4λ)． 由AD →·A 1B →＝0，即9－25λ＝0，解得λ＝925.因为925∈[0,1]，所以在线段BC 1上存在点D ，使得AD ⊥A 1B .此时，BD BC 1＝λ＝925.。
高中数学选修2-1 第三章《空间向量与立体几何》单元测试题(含答案)
这时Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83.答案：C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若A (x,5－x,2x －1)，B (1，x ＋2,2－x )，则当|AB →|取最小值时，x 的值等于________．解析：AB →＝(1－x,2x －3，－3x ＋3)，则 |AB →|＝1－x2＋2x －32＋－3x ＋32＝14x 2－32x ＋19＝14⎝⎛⎭⎪⎫x －872＋57，故当x ＝87时，|AB →|取最小值．答案：8714．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1与平面A 1BD 夹角的正弦值是________． 解析：如图，以DA 、DC 、DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A (1,0,0)，B (1,1,0)，C 1(0,1,1)， 易证AC 1→是平面A 1BD 的一个法向量．AC 1→＝(－1,1,1)，BC 1→＝(－1,0,1)． cos 〈AC 1→，BC 1→〉＝1＋13×2＝63. 所以BC 1与平面A 1BD 夹角的正弦值为63.答案：63设AC ∩BD ＝N ，连结NE ，则N ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，0，E (0,0,1)， ∴NE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1. 又A (2，2，0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，1， ∴AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1. ∴NE →＝AM →，且NE 与AM 不共线．∴NE ∥AM .又NE ⊂平面BED ，AM ⊄平面BDE ，∴AM ∥平面BDE .(2)设P (t ，t,0)(0≤t ≤2)，则PF →＝(2－t ，2－t,1)，CD →＝(2，0,0)．又∵PF →与CD →所成的角为60°，|2－t ·2|2－t2＋2－t 2＋1·2＝12， 解之得t ＝22，或t ＝322(舍去)． 故点P 为AC 的中点．22．(本小题满分12分)如图，在圆锥PO 中，已知PO ＝2，⊙O 的直径AB ＝2，C 是AB 的中点，D 为AC 的中点．。
高二数学选修2-1第三章 空间向量与立体几何练习题及答案
第三章 空间向量与立体几何空间向量的数乘运算 测试题姓名：_________班级：________ 得分：_______ 1. 下列命题中不正确的命题个数是( )①若A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则有AB +BC + CD +DA =0；②对空间任意点O 与不共线的三点A 、B 、C ，若OP =x OA +y OB +z OC （其中x 、y 、z ∈R ），则P 、A 、B 、C 四点共面；③若a 、b 共线，则a 与b 所在直线平行。
A .1B .2C .3D .42.设OABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上一点，且OG =3GG 1，若OG =x OA +y OB +z OC ，则（x ，y ，z ）为( )A .（41，41，41） B .（43，43，43） C .（31，31，31） D .（32，32，32） 3．在平行六面体ABCD －EFGH 中，AG xAC y AF z AH =++，________.x y z ++=则4.已知四边形ABCD 中，AB =a －2c ，CD =5a +6b －8c ，对角线AC 、BD 的中点分别为E 、F ，则EF =_____________.5.已知矩形ABCD ，P 为平面ABCD 外一点，且P A ⊥平面ABCD ，M 、N 分别为PC 、PD 上的点，且M 分PC 成定比2，N 分PD 成定比1，求满足MN xAB y AD z AP =++的实数x 、y 、z 的值.§3.1.3空间向量的数量积运算1.已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA =2AB ，E 为1AA 重点，则异面直线BE 与1CD 所形成角的余弦值为( ) A .1010 B . 15 C .31010 D . 352．如图，设A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足0AB AC ⋅=，0AC AD ⋅=，0AB AD ⋅=，则△BCD 的形状是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定的_ C _ D _ A _ P_ N _ B_ M3．已知ABCD －A 1B 1C 1D 1 为正方体，则下列命题中错误的命题为__________．;221111111①(A A+A D +A B )=3(A B )()0;C ⋅-=1111②A A B A A 60;︒11向量与向量的夹角为AD A B ③ ⋅⋅11111立方体ABCD-A B C D 的体积为|AB AA AD |;④4．如图，已知：平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，且∠C 1CB =∠C 1CD =∠BCD =60° （1）证明：C 1C ⊥BD ； （2）当1CDCC 的值为多少时，能使A 1C ⊥平面C 1BD ？请给出证明． §3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示§3.1.5空间向量运算的坐标表示1．已知向量(2，2，3)OA =-，(，1，4)OB x y z =-，且平行四边形OACB 的对角线的中点坐标为M 31(0，，)22-，则(，，)x y z =( ) A ．(2，4，1)--- B ．(2，4，1)-- C ．(2，4，1)-- D ．(2，4，1)--2．已知(2，2，4)a =-，(1，1，2)b =-，(6，6，12)c =--，则向量、、a b c ( ) A ．可构成直角三角形 B ．可构成锐角三角形 C ．可构成钝角三角形 D ．不能构成三角形3．若两点的坐标是A （3cosα，3sinα，1），B （2cosθ，2sinθ，1），则|AB |的取值范围是( )A ．[0，5]B ．[1，5]C ．（1，5）D ．[1，25] 4.设点C （2a +1，a +1，2）在点P （2，0，0）、A （1，－3，2）、B （8，－1，4）确定的平面上，则a 的值为 . 5.如图，正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底边长为a ，侧棱长为2a .建立适当的坐标系，⑴写出A ，B ，A 1，B 1的坐标；⑵求AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角.3.2立体几何中的向量方法1．到一定点（1，0，1）的距离小于或等于2的点的集合为( ) A ．222{(,,)|(1)(1)4}x y z x y z -++-≤ B ．222{(,,)|(1)(1)4}x y z x y z -++-= C ．222{(,,)|(1)(1)2}x y z x y z -++-≤ D ．222{(,,)|(1)(1)2}x y z x y z -++-=C 1 B 1 A 1B A2. 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1与平面A 1BD 所成角的余弦值为( ) A ．42 B ．32 C ．33 D ．23 3. 已知斜三棱柱111ABC A B C -，90BCA ∠=，2AC BC ==，1A 在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点D ，又知11BA AC ⊥.（1）求证：1AC ⊥平面1A BC ； （2）求1C 到平面1A AB 的距离； （3）求二面角1A A B C --余弦值的大小.B 4. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中， AB =1，13AC AA ==，∠ABC =60°. (1)证明：1AB A C ⊥；（2）求二面角A —1A C —B 的大小.5. 如右图，四棱锥S-ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P 为侧棱S D 上的点. （1）求证：AC ⊥SD ；（2）若SD ⊥平面P AC ，求二面角P-AC-D 的大小 （3）在（2）的条件下，侧棱S C 上是否存在一点E ， 使得BE ∥平面P AC .若存在，求S E ：EC 的值； 若不存在，试说明理由.参考答案第三章 空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算§3.1.1空间向量及其加减运算§3.1.2空间向量的数乘运算1.A2.A3.324.3a +3b －5c5.如图所示，取PC 的中点E ，连结NE ，则MN EN EM =-.∵1122EN CD BA ===12AB -，CBA C 1B 1 A1 D 1C 1B 1A 1DABC_ C_ D_ A_S_ F_ B_ P_ N_ EEN PM PE =-=211326PC PC PC -=，连结AC ，则PC AC AP AB AD AP =-=+- ∴11()26MN AB AB AD AP =--+-=211366AB AD AP --+，∴211,,366x y z =-=-=.§3.1.3空间向量的数量积运算1.C2.B3. ③④4.（1）设1,,CB a CD b CC c === ，则||||a b =，BD CD CB b a =-=- ，所以1()||||cos 60||||cos 600CC b a c b c a c b c a c ⋅=-⋅=⋅-⋅=︒-︒=BD ，11BD CC BD CC ∴⊥⊥即 ；（2）1,2,CD x CD CC ==1设则 2CC =x， 111,BD AA C C BD A C ⊥∴⊥ 面 ，11:0x AC CD ∴⋅= 只须求满足， 设1,,A A a AD b DC c ===，11,A C a b c C D a c =++=-，2211242()()6A C C D a b c a c a a b b c c xx ∴⋅=++⋅-=+⋅-⋅-=+-， 令24260x x+-=，则2320x x --=，解得1x =，或23x =-（舍去），111,.A C C BD ∴=⊥1CD时能使平面CC §3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示§3.1.5空间向量运算的坐标表示1.A2.D3.B4.165. （1）建系如图，则A （0，0，0） B （0，a ，0）A 1（0，0，2a )，C 1（-23a ，a 2,2a) (2)解法一：在所建的坐标系中，取A 1B 1的中点M ， 于是M （0，a 2,2a），连结AM ，MC 1 则有1(,0,0)2MC =-(0,,0)AB a=，1)AA =， ∴10MC AB ⋅=，110MC AA ⋅=，所以，MC 1⊥平面ABB 1A 1.因此，AC 1与AM 所成的角就是AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角.1(,)2a AC =-，(0,)2aAM =，A∴2194a AC AM ⋅=，而|13||3,||2AC a AM a ==，由cos<1,AC AM >=1132||||AC AM AC AM ⋅=，∴ <1,AC AM >=30°.∴AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角为30°.3.2立体几何中的向量方法1.A2.C3.（1）如右图，取AB 的中点E ，则//DE BC ，因为BC AC ⊥， 所以DE AC ⊥，又1A D ⊥平面ABC ， 以1,,DE DC DA 为,,x y z 轴建立空间坐标系， 则()0,1,0A -，()0,1,0C ，()2,1,0B ，()10,0,A t ，()10,2,C t ，()10,3,AC t =，()12,1,BA t =--，()2,0,0CB =，由10AC CB ⋅=，知1A C CB ⊥， 又11BA AC ⊥，从而1AC ⊥平面1A BC .（2）由1AC ⋅2130BA t =-+=，得3t = 设平面1A AB 的法向量为(),,n x y z =，(13AA =，()2,2,0AB =，所以130220n AA y z n AB x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，设1z =，则()3,3,1n =-， 所以点1C 到平面1A AB 的距离1AC n d n⋅==221. （3）再设平面1A BC 的法向量为(),,m x y z =，(10,3CA =-，()2,0,0CB =， 所以13020m CA y z m CB x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩，设1z =，则()0,3,1m =， 故cos ,m n m n m n⋅<>==⋅77-，根据法向量的方向， 可知二面角1A A B C --7. 4.（1）三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，11AB AA AC AA ∴⊥⊥，，Rt ABC ∆，1,3,60AB AC ABC ==∠=︒，由正弦定理030ACB ∠=.090BAC ∴∠=AB AC ⊥即 .如右图，建立空间直角坐标系，则 1(0,0,0),(1,0,0)(0,3,0),(0,0,3)A B C A1(1,0,0),(0,3,3)AB AC ∴==， 110030(3)0AB AC ⋅=⨯+⨯+⨯-=， 1AB A C ∴⊥.(2) 如图可取(1,0,0)m AB ==为平面1AA C 的法向量， 设平面1A BC 的法向量为(,,)n l m n =， 则10,0,130BC n AC n BC ⋅=⋅==-又（，，）， 303,330l m l m n m m n ⎧-+=⎪∴∴==⎨-=⎪⎩. 不妨取1,(3,1,1)m n ==则，22222231101015cos ,5(3)11100m n m n m n ⋅⨯+⨯+⨯<>===⋅++⋅++.1A AC BD ∴--15二面角的大小为arccos 5. 5. （1）连结BD ，设AC 交于BD 于O ，由题意知SO ABCD ⊥平面.以O 为坐标原点，OB OC OS ，，分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立坐标系O xyz -如右图.设底面边长为a ，则高62SO a =.于是 62(0,0,),(,0,0)22S a D a -，2(0,,0)2C a ，2(0,,0)2OC a =，26(,0,)2SD a =-，0OC SD ⋅= ，故OC SD ⊥.从而 AC SD ⊥. _ C_ A_S_ F_ BO(2)由题设知，平面PAC 的一个法向量(,0,)22DS a a =，平面DAC 的一个法向量002OS =（，，），设所求二面角为θ，则cos 2OS DS OS DSθ⋅==，得所求二面角的大小为30°. （3）在棱SC 上存在一点E 使//BE PAC 平面.由（2）知DS 是平面PAC 的一个法向量，且,0,),(0,,)2222DS a a CS a a ==-（.设,CE tCS = 则(,(1),)222BE BC CE BC tCS a t at =+=+=--，而 103BE DC t ⋅=⇔=.即当:2:1SE EC =时，BE DS ⊥.而BE 不在平面PAC 内，故//BE PAC 平面.（完）。
人教A版高中数学高二选修2-1单元目标检测 第三章 空间向量与立体几何
数学人教A 选修2-1第三章 空间向量与立体几何单元检测(时间：45分钟，满分：100分)一、选择题(每小题6分，共48分)1．已知点A (－4,8,6)，则点A 关于y 轴对称的点的坐标为( )． A ．(－4，－8,6) B ．(－4，－8，－6) C ．(－6，－8,4) D ．(4,8，－6)2．若a ＝(0,1，－1)，b ＝(1,1,0)，且(a ＋λb )⊥a ，则实数λ的值为( )． A ．－1 B ．0 C ．1 D ．－23．若向量a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1,2)，a ，b 夹角的余弦值为89，则λ等于( )， A ．2 B ．－2 C ．－2或255 D ．2或255- 4．已知a ＝(2，－1,2)，b ＝(2,2,1)，则以a ，b 为邻边的平行四边形的面积为( )．A B C ．4 D ．8 5．如图，在四面体ABCD 中，已知AB ＝b ，AD ＝a ，AC ＝c ，12BE EC =，则DE 等于( )．A ．2133-++a b c B ．2133++a b c C ．2133-+a b c D ．2133-+a b c 6．在三棱锥P －ABC 中，△ABC 为等边三角形，PA ⊥平面ABC ，且PA ＝AB ，则二面角A －PB －C 的平面角的正切值为( )．A B C D 7．已知A (1,2,3)，B (2,1,2)，P (1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动(O 为原点)，则当QA QB ⋅取最小值时，点Q 的坐标为( )．A ．444,,333⎛⎫⎪⎝⎭ B ．848,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．884,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．448,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭8．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，E ，F 分别是BB 1，CD 的中点，则点F 到平面A 1D 1E 的距离为( )．A ．310a B ．10a C ．10a D ．710a 二、填空题(每小题6分，共18分)9．若向量a ＝(4,2，－4)，b ＝(1，－3,2)，则2a ·(a ＋2b )＝________．10．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝1，EF ∥BC 且AE ＝2EB ，G 为BC 的中点，K 为△AFD 的外心，沿EF 将矩形折成120°的二面角A －EF －B ，此时KG 的长为__________．11．已知直线AB ，CD 是异面直线，AC ⊥AB ，AC ⊥CD ，BD ⊥CD ，且AB ＝2，CD ＝1，则异面直线AB 与CD 所成角的大小为________．三、解答题(共3小题，共34分)12．(10分)已知向量a ＝(1，－3,2)，b ＝(－2,1,1)，点A (－3，－1,4)，B (－2，－2,2)． (1)求|2a ＋b |；(2)在直线AB 上，是否存在一点E ，使得OE ⊥b ？(O 为原点)13．(10分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面是边长为BAD ＝120°，且PA ⊥平面ABCD ，PA ＝，M ，N 分别为PB ，PD 的中点．(1)证明：MN∥平面ABCD；(2)过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A－MN－Q的平面角的余弦值．14．(14分)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝1．D是棱CC1上的一点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点，且PB1∥平面BDA1．(1)求证：CD＝C1D；(2)求二面角A－A1D－B的平面角的余弦值；参考答案1答案：D2答案：D 解析：a ＋λb ＝(λ，1＋λ，－1)． 由(a ＋λb )⊥a ，知(a ＋λb )·a ＝0， 所以1＋λ＋1＝0，解得λ＝－2． 3答案：C解析：由公式cos 〈a ，b 〉＝||||⋅a ba b ，知89==λ＝－2或255．4答案：A 解析：|a |＝3，|b |＝3，而a·b ＝4＝|a||b|cos ,a b ，∴cos ,a b ＝49，故sin ,a b=于是以a ，b 为邻边的平行四边形的面积为 S ＝|a||b|sin ,a b＝33⨯= 5答案：A 解析：DE ＝DA ＋AB ＋BE ＝DA ＋AB ＋13(AC －AB )＝2133-++a b c ．6答案：A 解析：设PA ＝AB ＝2，建立空间直角坐标系，平面PAB 的一个法向量是m ＝(1,0, 0)，平面PBC 的一个法向量是n＝⎫⎪⎪⎝⎭． 则cos 〈m ，n〉＝·3||||||||3===m nm n m n ． ∴正切值tan 〈m ，n．7答案：D 解析：由题意可知OQ ＝λOP ，故可设Q (λ，λ，2λ)，∴QA ·QB ＝6λ2－16λ＋10＝242633λ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∴43λ=时，QA ·QB 取最小值，此时Q 的坐标为448,,333⎛⎫⎪⎝⎭． 8答案：C 解析：建立如图所示的坐标系，则A 1(a,0，a )，D 1(0,0，a )，A (a,0,0)，B (a ，a,0)，B 1(a ，a ，a )，E ,,2a a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，F 0,,02a ⎛⎫⎪⎝⎭．设平面A 1D 1E 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则11·0A D =n ，11·0A E =n ，即(x ，y ，z )·(－a,0,0)＝0，(x ，y ，z )·0,,2a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝0， ∴－ax ＝0，02aay z -=． ∴x ＝0，2z y =． ∴n ＝0,,2z z ⎛⎫ ⎪⎝⎭． ∴10,||||2FD d ⎛ ⋅⎝==n n ． 9答案：32解析：2a·(a ＋2b )＝2|a|2＋4a·b ＝2×36＋4×(－10)＝32． 10解析：如图，过K 作KM ⊥EF ，M 为垂足，则向量MK 与FC 的夹角为120°.KG ＝KM ＋MF ＋FC ＋CG ，2KG ＝2KM ＋2MF ＋2FC ＋2CG ＋2KM ·MF ＋2FC ·CG ＋2KM ·FC ＋2KM ·CG . ∴2KG ＝1＋14＋1＋14＋0＋0＋2×1×1×cos 60°＋0＋0＋2×12×12×cos 180°＝2＋12＋1－12＝3． ∴3KG =．答案：60° 解析：设AB 与CD 所成的角为θ， 则cos θ＝cos ,AB CD ＝AB CD AB CD⋅．由于AB ·CD ＝(AC ＋CD ＋DB )·CD ＝AC ·CD ＋2CD ＋DB ·CD ＝0＋12＋0＝1，∴cos θ＝11212AB CD AB CD⋅==⨯． 由于0°＜θ≤90°，∴θ＝60°，故异面直线AB 与CD 所成角的大小为60°．12答案：解：(1)2a ＋b ＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5,5)，故|2a ＋b|＝答案：解：OE ＝OA ＋AE ＝OA ＋t AB ＝(－3，－1,4)＋t (1，－1，－2)＝(－3＋t ，－1－t,4－2t )．若OE ⊥b ，则OE ·b ＝0，所以－2(－3＋t )＋(－1－t )＋(4－2t )＝0，解得95t =，因此存在点E ，使得OE ⊥b ，此时E 点坐标为6142,,555⎛⎫--⎪⎝⎭． 13答案：证明：连结BD ，因为M ，N 分别是PB ，PD 的中点， 所以MN 是△PBD 的中位线．所以MN ∥BD ． 又因为MN ⊄平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， 所以MN ∥平面ABCD ．答案：解法一：连结AC 交BD 于O ，以O 为原点，OC ，OD 所在直线为x ，y 轴，建立空间直角坐标系O －xyz ，如图所示．在菱形ABCD 中，∠BAD ＝120°，得AC ＝AB＝BD＝6． 又因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥AC ．在直角△PAC中，AC =PA =AQ ⊥PC ，得QC ＝2，PQ ＝4，由此知各点坐标如下：A(，0,0)，B (0，－3,0)，C，0,0)，D (0,3,0)，P(0,，M 3,22⎛-- ⎝，N 3,22⎛- ⎝，Q 33⎛ ⎝⎭． 设m ＝(x ，y ，z )为平面AMN 的法向量． 由AM＝32-⎝，AN＝32-⎝，知30,230.2x y x y -+=+=取z ＝－1，得m ＝(0，－1)． 设n ＝(x ，y ，z )为平面QMN 的法向量．由QM＝32⎛- ⎝⎭，QN＝32⎛- ⎝⎭知30,62330.2x y z x y ⎧--+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩ 取z ＝5，得n ＝(0,5)． 于是cos 〈m ，n〉＝·||||33=m n m n ． 所以二面角A －MN －Q的平面角的余弦值为33．解法二：在菱形ABCD 中，∠BAD ＝120°，得AC ＝AB ＝BC ＝CD ＝DA ，BDAB ． 又因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥AB ，PA ⊥AC ，PA ⊥AD ． 所以PB ＝PC ＝PD ． 所以△PBC ≌△PDC ．而M ，N 分别是PB ，PD 的中点，所以MQ ＝NQ ，且AM ＝12PB ＝12PD ＝AN ． 取线段MN 的中点E ，连结AE ，EQ ， 则AE ⊥MN ，QE ⊥MN ，所以∠AEQ 为二面角A －MN －Q 的平面角．由AB ＝PA ＝，故在△AMN 中，AM ＝AN ＝3，MN ＝12BD ＝3，得AE ＝2.在直角△PAC 中，AQ ⊥PC ，得AQ ＝QC ＝2，PQ ＝4，在△PBC 中，cos ∠BPC ＝222526PB PC BC PB PC +-=⋅，得MQ =在等腰△MQN 中，MQ ＝NQ MN ＝3，得QE ==.在△AEQ 中，2AE =，2QE =，AQ =cos ∠AEQ ＝222233AE QE AQ AE QE +-=⋅.所以二面角A －MN －Q ． 14答案：解：如图，以A 1为原点，A 1B 1，A 1C 1，A 1A 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系A 1xyz ，则A 1(0,0,0)，B 1(1,0,0)，C 1(0,1,0)，B (1,0,1)．答案：解：如图，以A 1为原点，A 1B 1，A 1C 1，A 1A 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系A 1xyz ，则A 1(0,0,0)，B 1(1,0,0)，C 1(0,1,0)，B (1,0,1)．设C 1D ＝x ，∵AC ∥PC 1， ∴111C P C D xAC CD x==-． 由此可得D (0,1，x )，P 0,1,01x x ⎛⎫+⎪-⎝⎭， ∴1A B ＝(1,0,1)，1A D ＝(0,1，x )，1B P ＝1,1,01x x ⎛⎫-+⎪-⎝⎭． 设平面BA 1D 的一个法向量为n 1＝(a ，b ， c )，则11110,0.A B a c A D b cx ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩n n 令c ＝－1，则n 1＝(1，x ，－1)． ∵PB 1∥平面BA 1D ，高中数学-打印版精心校对 ∴n 1·1B P ＝1×(－1)＋x ·11x x ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭＋(－1)×0＝0． 由此可得12x =，故CD ＝C 1D ． 答案：解：由(1)知，平面BA 1D 的一个法向量n 1＝11,,12⎛⎫- ⎪⎝⎭．又n 2＝(1,0,0)为平面AA 1D 的一个法向量， ∴cos 〈n 1，n 2〉＝1212123||||312⋅==⨯n n n n ． 故二面角A －A 1D －B 的平面角的余弦值为23． (3)求点C 到平面B 1DP 的距离． 答案：解：∵1PB ＝(1，－2,0)，PD ＝10,1,2⎛⎫- ⎪⎝⎭， 设平面B 1DP 的一个法向量n 3＝(a 1，b 1，c 1)， 则311113120,0.2PB a b c PD b ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩n n 令c 1＝1，可得n 3＝11,,12⎛⎫ ⎪⎝⎭． 又10,0,2DC ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴点C 到平面B 1DP 的距离33||1||3DC d ⋅==n n ．。
高中数学选修2-1第三章《空间向量与立体几何》典型练习题(含答案)
高中数学选修2-1第三章《空间向量与立体几何》典型练习题一、选择题1．下列各组向量中不平行的是（ ）A ．)4,4,2(),2,2,1(--=-=b a ρρB ．)0,0,3(),0,0,1(-==d c ρρC ．)0,0,0(),0,3,2(==f e ρρD ．)40,24,16(),5,3,2(=-=h g ρρ2．已知点(3,1,4)A --，则点A 关于x 轴对称的点的坐标为（ ） A ．)4,1,3(-- B ．)4,1,3(--- C ．)4,1,3( D ．)4,1,3(--3．若向量)2,1,2(),2,,1(-==b a ρρλ，且a ρ与b ρ的夹角余弦为98，则λ等于（ ）A ．2B ．2-C ．2-或552D ．2或552-4．若A )1,2,1(-，B )3,2,4(，C )4,1,6(-，则△ABC 的形状是（ ） A ．不等边锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等边三角形5．若A )12,5,(--x x x ，B )2,2,1(x x -+，当B A ρ取最小值时，x 的值等于（ ）A ．19B ．78-C ．78D ．14196．空间四边形OABC 中，OB OC =，3AOB AOC π∠=∠=，则cos <,OA BC u u u r u u u r>的值是（ ）A ．21B ．22C ．－21D ．0二、填空题1．若向量)2,3,6(),4,2,4(-=-=b a ρρ，则(23)(2)a b a b -+=r r rr g __________________。
2．若向量,94,2k j i b k j i a ρρρρρρρρ++=+-=，则这两个向量的位置关系是___________。
3．已知向量),2,4(),3,1,2(x b a -=-=ρρ，若a ⊥r b ρ，则=x ______；若//a r b ρ则=x ______。
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第三章 空间向量与立体几何 检测题1．α、β为两个确定的相交平面， a 、b 为一对异面直线，下列条件： ①a b αβ⊂∥，； ②,a b αβ⊥∥； ③βα⊥⊥b a ,； ④,a b αβ∥∥，且α与a 的距离等于β与b 的距离.其中能使a 、b 所成的角为定值的有 ( ) A.0个 B. 1个 C. 2个 D. 4个2．在正三棱锥P ABC -中，M 、N 分别是侧棱PB 、PC 的中点，若截面AMN ⊥侧面PBC ，则此三棱锥的侧棱与底面所成角的正切值是 （ ） A .23B.25 D .26 3.在正三棱锥S ABC -中，E 为SA 的中点，F 为△ABC 的中心，SA BC =，则异面直线EF 与AB 所成的角是 （ ） A. 90︒ B. 60︒ C. 45︒ D. 30︒4.正四棱锥P ABCD -的高为PO ，2AB PO =2cm =，则AB 与侧面PCD 的距离为( )B. 2cmC.D. 3cm5.在底面边长为a 的正三棱柱111ABC A B C -中，D 、E 分别为侧棱1BB 、1CC 上的点且2EC BC BD ==，则截面ADE 与底面ABC 所成的角为 ( ) A .30︒ B. 45︒ C. 60︒ D. 75︒6．若二面角l αβ--为23π，直线m α⊥，则β所在平面内的直线与m 所成角的取值范围是_______________________；7．已知正四棱锥的所有棱长均相等，则侧面与底面所成二面角的余弦值为______________. 8.空间四边形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 中点.若1AB =，CD =，AB CD ⊥. 则EF 与CD 所成的角为_________________.9.半球内有一内接正方体, 正方体的一个面在半球的底面圆内. 若正方体的棱长为6, 则半球的体积为 ___.10.在正四棱柱1111ABCD A BC D -中，122AB BB ==,P 为11B C 的中点． （1）求直线AC 与平面ABP 所成的角；（2）求异面直线AC 与BP 所成的角； （3）求点B 到平面APC 的距离．11.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形1是矩形，AB BC ⊥，3BC =，4AB =，160A AB ∠=︒.P（1）求证：平面1CA B ⊥平面11A ABB ；（2）求直线1AC 与平面11BCC B 所成角的正切值； （3）求点1C 到平面1A BC 的距离.12.如图，已知长方体1111,ABCD A BC D -12,1,AB AA ==直线BD 与平面11AAB B 所成的角为30︒，AE 垂直BD 于E ，F 为11A B 的中点. (1) 求异面直线AE 与BF 所成的角；（2）求平面BDF 与平面1AA B 所成的二面角； （3）求点A 到平面BDF 的距离.13.如图，在四面体P ABC -中， 6PA BC ==，10PC AB ==，8AC =，PB =，F 是线段PB 上一点，173415=CF ，点E 在线段AB 上，且EF PB ⊥. （1）求证：PB ⊥平面CEF ； （2）求二面角B CE F --的大小.14.在四棱锥P ABCD -中，AD AB ⊥，CD ∥AB ，PD ⊥底面ABCD ，ABAD=直线PA 与底面ABCD 成60︒角，点M 、N 分别是PA 、PB 的中点． （1）求二面角P MN D --的大小； （2）如果△CDN 为直角三角形，求CDAB的值．A1A BCD1B F 1C 1D E15.如图,已知四棱锥P ABCD -，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，90A ∠=︒,且AB ∥CD ，12AB CD =.（1）点F 在线段PC 上运动，且设||||PF FC λ=,问λ为何值时， BF ∥平面PAD ？并证明你的结论；(2)若二面角F CD B --为45°，求二面角B PC D --的大小；（3）在（2）的条件下，若2AD =，3CD =，求点A 到平面PBC 的距离.答案1.B2.C3.C4.A5.B6.,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦7.33 8.30︒ 9.18π 10．（1）∵AB ⊥平面1BC ，PC ⊂平面1BC ，∴AB PC ⊥.在矩形11BCC B 中，2BC =，11BB =，P 为11B C 的中点， ∴PC PB ⊥.∴PC ⊥平面ABP ，∴CAP ∠为直线AC 与平面ABP 所成的角.∵PC =AC =∴在Rt APC △中，30PAC ∠=︒,∴直线AC 与平面ABP 所成的角为30︒. （2）取11A D 中点Q ，连结AQ 、CQ ，在正四棱柱中，有AQ ∥BP ， ∴CAQ ∠为异面直线AC 与BP 所成的角.在ACQ △中，AQ AC CQ ====∴60CAQ ∠=︒.∴异面直线AC 与BP 所成的角为60︒. （也可用向量法） （3）过点B 作BH AP ⊥于H ， 由题（1）PC ⊥平面ABP ， ∴BH PC ⊥,∴BH ⊥平面APC ,∴BH 的长即为点B 到平面APC 的距离.在Rt ABP △中，2AB =，BP =∴3BH =. 11.（1）证:∵四边形11BCC B 是矩形， ∴1BC BB ⊥.又∵AB BC ⊥，1AB BB B = ∴BC ⊥平面11A ABB .∵BC ⊂平面1ACB ，∴平面1CA B ⊥平面11A ABB .（2）解：过1A 作11AD BB ⊥于D ，连接DC . ∵BC ⊥平面11A ABB ， ∴1BC A D ⊥，∴1A D ⊥平面11BCC B ，故1ACD ∠为直线1AC 与平面11BCC B 所成的角.在矩形11BCC B 中，CD =∵四边形11A ABB 是菱形，160AAB ∠=︒，3BC =，4AB =∴1A D =，∴11tan A D ACD CD ∠∠===. （3）∵11B C ∥BC ，∴11B C ∥平面1A BC ， ∴1C 到平面1A BC 的距离即为1B 到平面1A BC 的距离. 连结1AB ，设11AB A B O = . ∵四边形11A ABB 是菱形， ∴11A B B O ⊥.∵平面1A BC ⊥平面11A ABB ， ∴1B O ⊥平面1A BC ，∴1B O 即为1C 到平面1A BC 的距离.∵1BO =， ∴1C 到平面1A BC 的距离为32.12.在长方体1111ABCD A BC D -中，以AB 所在的直线为x 轴，以AD 所在的直线为y 轴，1AA 所在的直线为z 轴,建立如图示空间直角坐标系.由已知12,1,AB AA ==可得(0,0,0),(2,0,0)A B ,(1,0,1)F . 又AD ⊥平面11AAB B ，从而BD 与平面11AAB B 所成的角为30DBA ∠=︒. 又2AB =，AE BD ⊥，1,AE AD ==.从而易得1,2E D ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. (1)∵12AE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭,(1,0,1)BF =- ,∴cos ,AE BFAE BF AE BF⋅<>=14-==-. 易知异面直线AE BF 、所成的角为arccos4 （2）易知平面1AA B 的一个法向量(0,1,0)m =. 设(,,)n x y z =是平面BDF 的一个法向量. (BD =- .由00n BF n BF n BD n BD ⎧⎧⊥⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⊥⋅=⎪⎪⎩⎩020x z x y -+=⎧⎪⇒⎨=⎪⎩x z y =⎧⎪⇒=.即(1n = .∴cos ,m n m n m n⋅<>==即平面BDF 与平面1AA B所成的二面角的大小（锐角）为. （3）点A 到平面BDF 的距离，即AB在平面BDF 的法向量n 上的投影的绝对值，∴距离cos ,d AB AB n =⋅<>AB n n⋅==. ∴点A 到平面BDF的距离为513.（I ）证明：∵2221006436PC AC PA ==+=+,∴△PAC 是以PAC ∠为直角的直角三角形.同理可证,△PAB 是以PAB ∠为直角的直角三角形，△PCB 是以PCB ∠为直角的直角三角形.故PA ⊥平面ABC .又∵11||||1063022PBC S AC BC ∆==⨯⨯=.而11||||302217PBC PB CF S ∆=⨯==. 故CF PB ⊥,又已知EF PB ⊥. ∴PB ⊥平面CEF .（II ）由（I ）知CE PB ⊥, PA ⊥平面ABC , ∴AB 是PB 在平面ABC 上的射影，故AB CE ⊥.在平面PAB 内，过F 作1FF 垂直于AB 于1F ，则1FF ⊥平面ABC . 1EF 是EF 在平面上的射影，∴EF EC ⊥.故BEF ∠是二面角B CE F --的平面角.35610cot tan ===∠=∠AP AB PBA FEB , ∴二面角B CE F --的大小为35arctan .14．解法一：（1）PMD ∠为二面角P MN D --的平面角. 计算得二面角P MN D --的大小为120︒. （2）①若90CDN ∠=︒，与题意不符；②若90DCN ∠=︒，可算得12CD AB =； ③若90CND ∠=︒，可算得32CD AB =. 解法二：用向量方法(略).15.（1）当1λ=时, BF ∥平面PAD .证明：取PD 中点E ，则EF ∥CD ，且12EF CD =. 又AB ∥CD ,且12AB CD =, ∴四边形ABFE 为平行四边形. ∴BF ∥AE .又AE ⊂平面PAD , ∴BF ∥平面PAD .（2）⊥PA 平面ABCD ，CD AD ⊥,∴CD PD ⊥,PDA ∠即是二面角的平面角,︒=∠45PDA . ∴△PAD 为等腰直角三角形，∴AE PD ⊥. ∵CD AD ⊥, ∴AE CD ⊥.∴AE ⊥平面PCD . 又BF ∥AE ，∴BF ⊥平面PCD . ⊂BF 平面PBC ，∴平面PCD ⊥平面PBC ，即二面角B PC D --的大小为90︒. （3）在平面PCD 内作EH PC ⊥于点H ，由平面PCD ⊥平面PBC ,且平面PCD 平面PBC PC =,∴EH ⊥平面PBC .在Rt PCD ∆中, PC ==在Rt PEF ∆中, EH PF PE EF ⋅=⋅,将32PE PF EF ===代入得, EH =.即点E 到平面PBC . 又//AE BF ,∴//AE 平面PBC ,∴点A 到平面PBC .。