反比例函数 ---动点、面积专题(附详解)
反比例函数中的面积问题(共26张PPT)
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解：(1)如图，过点 D 作 DH⊥x 轴于点 H， ∵直线 AB 的解析式为 y＝－2x＋4，∴B 点坐标为(0，4)， A 点坐标为(2，0)． ∵∠OAB＋∠DAH＝90°，∠ADH＋∠DAH＝90°， ∴∠BAO＝∠ADH. 又∵∠BOA＝∠AHD，∴△AOB∽△DHA. ∴ADOH＝ABOH＝AADB＝12.∴D2H＝A4H＝12，解得 DH＝4，AH＝8. ∴D(10，4)，则 k＝10×4＝40. 故答案为：40.
③若 M 点的横坐标为 1，△OAM 为等边三角形，则 k＝2＋ 3；
7.如图，函数 y＝kx(k 为常数，k＞0)的图象与过原点的 O 的直线 相交于 A，B 两点，点 M 是第一象限内双曲线上的动点(点 M 在点 A 的左侧)，直线 AM 分别交 x 轴，y 轴于 C，D 两点，连接 BM 分别 交 x 轴，y 轴于点 E，F.现有以下四个结论：
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∵D(10，4)，∴D′(10，－4)． 设直线 CD′的解析式为 y＝ax＋d， 则180a＋a＋dd＝＝8－ ，4，解得da＝＝－566. ， 故直线 CD′的解析式为 y＝－6x＋56. 当 y＝0 时，x＝238，故 P 点坐标为238，0. 延长 CD 交 x 轴于 Q，此时|QC－QD|的值最大， ∵CD∥AB，D(10，4)，∴直线 CD 的解析式为 y＝－2x＋24. ∴Q(12，0)．∴PQ＝12－238＝83. 故 P 点坐标为238，0，Q 点坐标为(12，0)，线段 PQ 的长为83.
专题2 反比例函数中的面积问题
考点解读
反比例函数中的面积类问题是最能体现数形结合思想 方法的一类问题，几何中的函数问题使图形性质代数 化，函数中的几何问题使代数知识图形化，利用“数”
2024年九年级数学中考复习——反比例函数-动态几何问题(含答案)
2024年九年级数学中考复习——反比例函数-动态几何问题1．如图，在矩形ABCD 中，已知点A （2，1），且AB ＝4，AD ＝3，把矩形ABCD 的内部及边上，横、纵坐标均为整数的点称为靓点，反比例函数y＝（x ＞0）的图象为曲线L ．（1）若曲线L 过AB 的中点．①求k 的值．②求该曲线L 下方（包括边界）的靓点坐标．（2）若分布在曲线L 上方与下方的靓点个数相同，求k 的取值范围．2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 与反比例函数 相交于点 ，与 轴相交于点 ，点 的横坐标为-2.（1）求 的值；（2）直接写出当 且 时， 的取值范围；（3）设点 是直线AB 上的一点，过点 作 轴，交反比例函数 的图象于点 .若以A ，O ，M ，N 为顶点的四边形为平行四边形，求点 的坐标.k x12y x =-+2(0)k y x x=<B x A B k 0x <12y y <x M M //MN x 2(0)k y x x=<N M3．如图，在平面直角坐标系中，OA ⊥OB ，AB ⊥x 轴于点C ，点A （，1）在反比例函数y ＝ 的图象上．（1）求反比例函数y ＝ 的表达式； （2）在x 轴上是否存在一点P ，使得S △AOP ＝S △AOB ，若存在，求所有符合条件点P 的坐标；若不存在，简述你的理由．4．如图，点 ， 在 轴上，以 为边的正方形 在 轴上方，点 的坐标为 ，反比例函数 的图象经过 的中点 ， 是 上的一个动点，将 沿 所在直线折叠得到 .（1）求反比例函数 的表达式； （2）若点 落在 轴上，求线段 的长及点 的坐标.k x k x12A B x AB ABCD x C (14)，(0)k y k x=≠CD E F AD DEF EF GEF (0)k y k x=≠G y OG F5．如图，已知反比例函数y＝（x ＞0）的图象经过点A （4，2），过A 作AC ⊥y 轴于点C ．点B 为反比例函数图象上的一动点，过点B 作BD ⊥x 轴于点D ，连接AD ．直线BC 与x 轴的负半轴交于点E ．（1）求k 的值；（2）连接CD ，求△ACD 的面积；（3）若BD ＝3OC ，求四边形ACED 的面积．6．已知：如图1，点是反比例函数图象上的一点．（1）求的值和直线的解析式；（2）如图2，将反比例函数的图象绕原点逆时针旋转后，与轴交于点，求线段的长度；（3）如图3，将直线绕原点逆时针旋转，与反比例函数的图象交于点，求点的坐标．k x(4)A n ，8(0)y x x=>n OA 8(0)y x x =>O 45︒y M OM OA O 45︒8(0)y x x=>B B7．已知：反比例函数的图像过点A （ ， ），B （ ， ）且 （1）求m 的值；（2）点C 在x 轴上，且 ，求C 点的坐标；（3）点Q 是第一象限内反比例函数图象上的动点，且在直线AB 的右侧，设直线QA ，QB 与y 轴分别交于点E 、D ，试判断DE 的长度是否变化，若变化请说明理由，若不变，请求出长度.8．规定：在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标均为整数的点，叫做整点，点，在反比例函数的图象上；（1）m= ；（2）已知，过点、D 点作直线交双曲线于E 点，连接OB ，若阴影区域（不包括边界）内有4个整点，求b 的取值范围．m y x =1x 121m --2x 45m-120x x +=16ABC s ∆=()22A ，()1B m ，()0k y x x=>0b >()40C b -，()0b ，()0k y x x=>9．已知，矩形OCBA 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C 在x 轴的正半轴上，点A 在y 轴的正半轴上，已知点B 坐标为（3，6），反比例函数的图象经过AB 的中点D ，且与BC 交于点E ，顺次连接O ，D ，E ．（1）求m 的值及点E 的坐标；（2）点M 为y 轴正半轴上一点，若△MBO 的面积等于△ODE 的面积，求点M 的坐标；（3）平面直角坐标系中是否存在一点N ，使得O ，D ，E ，N 四点顺次连接构成平行四边形？若存在，请直接写出N 的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，点P 为函数与函数图象的交点，点P 的纵坐标为4，轴，垂足为点B ．（1）求m 的值；（2）点M 是函数图象上一动点，过点M 作于点D ，若，求点M的坐标．m y x=1y x =+()0m y x x=>PB x ⊥()0m y x x =>MD BP ⊥12tan PMD ∠=11．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，与双曲线交于点，直线分别与直线和双曲线交于点、．（1）求和的值；（2）当点在线段上时，如果，求的值；（3）点是轴上一点，如果四边形是菱形，求点的坐标．12．如图，等边和等边的一边都在x 轴上，双曲线经过的中点C 和的中点D ．已知等边的边长为4．（1）求k 的值；（2）求等边的边长；（3）将等边绕点A 任意旋转，得到等边，P 是的中点（如图2所示），连结，直接写出的最大值．xOy 34l y x b =+：x y A B x k H y =：922P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，x m =H E D k b E AB ED BO =m C y BCDE C OAB AEF ()0k y k x=>OB AE OAB AEF AEF AE F '' E F ''BP BP13．如图，点A 、B 是反比例函数y ＝ 的图象上的两个动点，过A 、B 分别作AC ⊥x 轴、BD ⊥x 轴，分别交反比例函数y ＝－ 的图象于点C 、D ，四边形ACBD 是平行四边形. （1）若点A 的横坐标为－4.①直接写出线段AC 的长度；②求出点B 的坐标；（2）当点A 、B 不断运动时，下列关于□ACBD 的结论：①□ACBD 可能是矩形；②□ACBD 可能是菱形；③□ACBD 可能是正方形；④□ACBD 的周长始终不变；⑤□ACBD 的面积始终不变.其中所有正确结论的序号是 .8x2x14．在平面直角坐标系 中，正比例函数 与反比例函数 的图象相交于点 与点Q ． （1）求点Q 的坐标；（2）若存在点 ，使得 ，求c 的值； （3）过点 平行于x 轴的直线，分别与第一象限内的正比例函数 、反比例函数数 的图象相交于点 、点 ，当 时，请直接写出a 的取值范围．15．在平面直角坐标系中，直线y=x+2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，并与反比例函数y=（k≠0）的图象在第一象限相交于点C ，且点B 是AC 的中点xOy ()1110y k x k =≠()2220k y k x=≠(11)P ，(0)C c ，2PQC S = (0)M a ，()1110y k x k =≠()2220k y k x =≠()11A x y ，()22B x y ，1252x x +≤kx（1）如图1，求反比例函数y=（k≠0）的解析式；（2）如图2，若矩形FEHG 的顶点E 在直线AB 上，顶点F 在点C 右侧的反比例函数y=（k≠0）图象上，顶点H ，G 在x 轴上，且EF=4．①求点F 的坐标；②若点M 是反比例函数的图象第一象限上的动点，且在点F 的左侧，连结MG ，并在MG 左侧作正方形GMNP ．当顶点N 或顶点P 恰好落在直线AB 上，直接写出对应的点M 的横坐标．16．如图，动点P 在函数y （x ＞0）的图象上，过点P 分别作x 轴和y 轴的平行线，交函数y 的图象于点A 、B ，连接AB 、OA 、OB ．设点P 横坐标为a ．（1）直接写出点P 、A 、B 的坐标（用a 的代数式表示）；（2）点P 在运动的过程中，△AOB 的面积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由；（3）在平面内有一点Q （，1），且点Q 始终在△PAB 的内部（不包含边），求a 的取值范围．k xk x 3x =1x =-1317．如图1，一次函数y ＝kx ﹣3（k≠0）的图象与y 轴交于点B ，与反比例函数y＝（x ＞0）的图象交于点A （8，1）．（1）求出一次函数与反比例函数的解析式；（2）点C 是线段AB 上一点（不与A ，B 重合），过点C 作y 轴的平行线与该反比例函数的图象交于点D ，连接OC ，OD ，AD ，当CD 等于6时，求点C 的坐标和△ACD 的面积；（3）在（2）的前提下，将△OCD 沿射线BA 方向平移一定的距离后，得到△O'CD'，若点O 的对应点O'恰好落在该反比例函数图象上（如图2），求出点O'，D'的坐标．18．如图1所示，已知 图象上一点 轴于点 ，点 ，动点 是 轴正半轴点 上方的点，动点 在射线AP 上，过点 作AB 的垂线，交射线AP 于点 ，交直线MN 于点 ，连结AQ ，取AQ 的中点 . m x6(0)y x x=>P PA x ⊥，(0)A a ，(0)(0)B b b >，M y B N B D Q C（1）如图2，连结BP ，求 的面积；（2）当点 在线段BD 上时，若四边形BQNC 是菱形，面积为 .①求此时点Q ，P 的坐标；②此时在y 轴上找到一点E ，求使|EQ-EP|最大时的点E 的坐标.19．已知反比例函数y=的图象经过点A （6，1）．（1）求该反比例函数的表达式；（2）如图，在反比例函数y=在第一象限的图象上点A 的左侧取点C ，过点A 作x 轴的垂线交x 轴于点H ，过点C 作y 轴的垂线CE ，垂足为点E ，交直线AH 于点D ．①过点A 、点C 分别作y 轴、x 轴的垂线，两条垂线相交于点B ，求证：O 、B 、D 三点共线；②若AC=2CO ，求证：∠OCE=3∠CDO ．PAB Q k xk x20．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和，与y 轴交于点C ．（1） ， ；（2）过点A 作轴于点D ，点P 是反比例函数在第一象限的图象上一点，设直线与线段交于点E ，当时，求点P 的坐标．（3）点M 是坐标轴上的一个动点，点N 是平面内的任意一点，当四边形是矩形时，求出点M 的坐标．21．如图1，将函数的图象T 1向左平移4个单位得到函数的图象T 2，T 2与y 轴交于点．（1）若，求k 的值（2）如图2，B 为x 轴正半轴上一点，以AB 为边，向上作正方形ABCD ，若D 、C 恰好落在T 1上，线段BC 与T 2相交于点E①求正方形ABCD 的面积；②直接写出点E 的坐标．114y k x =+22k y x=()2A m ，()62B --，1k =2k =AD x ⊥OP AD Δ41ODE ODAC S S =四边形：：ABMN ()0k y x x =>()44k y x x =>-+()0A a ，3a =22．如图1，直线的图像与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，点D 是线段AB 上一点，过D 点分别作OA 、OB 的垂线，垂足分别是C 、E ，矩形OCDE 的面积为4，且．（1）求D 点坐标；（2）将矩形OCDE 以1个单位/秒的速度向右平移，平移后记为矩形MNPQ ，记平移时间为t 秒．①如图2，当矩形MNPQ 的面积被直线AB 平分时，求t 的值；②如图3，当矩形MNPQ 的边与反比例函数的图像有两个交点，记为T 、K ，若直线TK 把矩形面积分成1：7两部分，请直接写出t 的值．23．如图1，在平面直角坐标系中，点，点，直线与反比例函数的图象在第一象限相交于点，26y x =-+CD DE >12y x=()40A -，()04B ，AB ()0k y k x=≠()6C a ，（1）求反比例函数的解析式；（2）如图2，点是反比例函数图象上一点，连接，试问在x 轴上是否存在一点D ，使的面积与的面积相等，若存在，请求点D 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）新定义：如图3，在平面内，如果三角形的一边等于另一边的3倍，这两条边中较长的边称为“麒麟边”，两条边所夹的角称为“麒麟角”，则称该三角形为“麒麟三角形”，如图所示，在平面直角坐标系中，为“麒麟三角形”， 为“麒麟边”， 为“麒麟角”，其中A ，B 两点在反比例函数 图象上，且A 点横坐标为，点C 坐标为，当为直角三角形时，求n 的值．24．如图1，已知点A （a ，0），B （0，b ），且a 、b 满足 +（a +b +3）2＝0，平等四边形ABCD的边AD 与y 轴交于点E ，且E 为AD 中点，双曲线y ＝经过C 、D 两点． （1）a ＝ ，b ＝ ；（2）求D 点的坐标；（3）点P 在双曲线y ＝ 上，点Q 在y 轴上，若以点A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，试求满足要求的所有点Q 的坐标；（4）以线段AB 为对角线作正方形AFBH （如图3），点T 是边AF 上一动点，M 是HT 的中点，MN ⊥HT ，交AB 于N ，当T 在AF 上运动时， 的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围；若()6E m ，()0k y k x=≠CE AE ，ACD ACE ABC AB BAC ∠n y x=1-()02，ABC k x k xMN HT不改变，请求出其值，并给出你的证明．25．在平面直角坐标系中，已知点，点.（1）若将沿轴向右平移个单位，此时点恰好落在反比例函数的图象上，求的值；（2）若绕点按逆时针方向旋转度.①当时，点恰好落在反比例函数图象上，求的值；②问点能否同时落在(1)中的反比例函数的图象上?若能，直接写出的值；若不能，请说明理由.26．如图，已知直线与双曲线交第一象限于点．（1）求点的坐标和反比例函数的解析式；（2）将点绕点逆时针旋转至点，求直线的函数解析式；（3）在（2）的条件下，若点C 是射线上的一个动点，过点作轴的平行线，交双曲线xOy ()A -()60B -，OAB x m A y =m OAB O α()0α180<<α30= B k y x=k A B ，α2y x =(0)k y k x=≠(4)A m ，A O A 90︒B OB OB C y的图像于点，交轴于点，且，求点的坐标．27．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y 轴交于点B ．（1）求a ，k 的值；（2）直线CD 过点A ，与反比例函数图象交于点C ，与x 轴交于点D ，AC ＝AD ，连接CB ．①求△ABC 的面积；②点P 在反比例函数的图象上，点Q 在x 轴上，若以点A ，B ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点P 坐标．28．如图1，反比例函数与一次函数的图象交于两点，已知．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）一次函数的图象与轴交于点，点（未在图中画出）是反比例函数图象上的一个动点，若，求点的坐标：(0)k y k x=≠D x E 23DCO DEO S S = ：：C 112y x =+()0k y x x =>()3A a ，k y x=y x b =+A B ，()23B ，y x b =+x C D 3OCD S = D（3）若点是坐标轴上一点，点是平面内一点，是否存在点，使得四边形是矩形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．29．如图，已知直线y=-2x 与双曲线y=（k<0）上交于A 、B 两点，且点A 的纵坐标为-2 （1）求k 的值；（2）若双曲线y= （k<0）上一点C 的纵坐标为 ，求△BOC 的面积；（3）若A 、B 、P 、Q 为顶点组成的四边形为正方形，直接写出过点P 的反比例函数解析式。
反比例函数(面积、动点)专项训练一 第1课时(解析版)
【热身训练】要求：快速完成！并写出方法小结或感悟！1．已知两点P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2）在反比例函数3y x=的图象上，当021>>x x 时，下列结论正确的是A ．120y y <<B ．210y y <<C ．120y y <<D ．210y y <<答案：A解析：反比例函数3y x=的图象在一、三象限，在每一个象限内，y 随x 的增大而减小，所以，当021>>x x 时，有120y y <<2．（2013•铁岭）如图，点P 是正比例函数y=x 与反比例函数y=在第一象限内的交点，PA ⊥OP 交x 轴于点A ，△POA 的面积为2，则k的值是 ． =y=S =k=1（（3．（2013•淄博）如图，矩形AOBC 的面积为4，反比例函数的图象的一支经过矩形对角线的交点P ，则该反比例函数的解析式是 。
矩形×（矩形．（（交于点A，与反比例函数在第一象限内的图象相交于点B（m，2）．（1）求反比例函数的关系式；（2）将直线y=x﹣2向上平移后与反比例函数图象在第一象限内交于点C，且△ABC的面积为18，求平移后的直线的函数关系式．5．（2013•十堰）如图，已知正比例函数y=2x和反比例函数的图象交于点A（m，﹣2）．（1）求反比例函数的解析式；（2）观察图象，直接写出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x的取值范围；（3）若双曲线上点C（2，n）沿OA方向平移个单位长度得到点B，判断四边形OABC 的形状并证明你的结论．y=（，判断出四边形（上，；OA==CB=y==【问题解决】例．如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，BC ＝2AB ，A ，B两点的坐标分别是（－1，0），（0，2），C ，D 两点在反比例函数)0(<=x x k y 的图象上，则k 的值等于 ． 答案：－12 解析：如图，过C 、D 两点作x 轴的垂线，垂足为F 、G ，CG 交AD于M 点，过D 点作DH ⊥CG ，垂足为H ，∵CD ∥AB ，CD=AB ，∴△CDH ≌△ABO （AAS ），∴DH=AO=1，CH=OB=2，设C （m ，n ），D （m －1，n －2），则mn ＝（m －1）（n －2）=k ，解得n=2－2m ，BC AB BC ＝2AB ， 解得：m ＝－2，n ＝6，所以，k ＝mn ＝－122．（2013•莆田）如图，直线l ：y=x+1与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，点C 与原点O 关于直线l 对称．反比例函数y=的图象经过点C ，点P 在反比例函数图象上且位于C 点左侧，过点P 作x 轴、y 轴的垂线分别交直线l 于M 、N 两点．（1）求反比例函数的解析式；（2）求AN•BM的值．求得：得：，即；，﹣﹣AN=（﹣），﹣（﹣且DM⊥DN．作MF⊥AB于点F，NE⊥AB于点E．（1）特殊验证：如图1，若AC=BC，且D为AB中点，求证：DM=DN，AE=DF；（2）拓展探究：若AC≠BC．①如图2，若D为AB中点，（1）中的两个结论有一个仍成立，请指出并加以证明；②如图3，若BD=kAD，条件中“点M在BC边上”改为“点M在线段CB的延长线上”，其它条件不变，请探究AE与DF的数量关系并加以证明．，即，即，，∴；，∴，∴，即由①同理可得：又∵。
专题、反比例函数的面积问题 (经典问题)
专题、反比例函数中的面积问题一、反比例与矩形面积的关系1、如图，若过双曲线()0≠=k xky 上一点()y x P ,作x PA ⊥于A 点， 作y PB ⊥于B 点，则矩形PABO 的面积为k xy y x PB PA S ==⋅=⋅=. 2、k 的几何意义对于下列三个图形中的情形，利用三角形面积的计算方法和图形的对称性以及上述结论， 可得出对应的面积的结论为：结论1：如图1，在直角三角形ABO 中，k S AOB 21=∆； 结论2：如图2，在矩形ABOC 中，k S OABC =矩形； 结论3：如图3，在ABM ∆中，x AM ⊥轴，k S ABM =∆；结论4：如图4，在ABC ∆中，x BC y AC //,//，则k S ABC 2=∆；结论5：如图5，ACE BPE OACB OAPB S S S S △△梯形梯形），（）（==21； 结论6：如图6，x PA ⊥轴，x CD ⊥轴，()()2211,,,y x C y x P ，则()()2222121x x y y AD CD PA S S PADC OPC -⨯+=⨯+=⨯+==高下底上底梯形△；二、中点坐标公式（1）在平面直角坐标系上，点()11,y x A 与点()22,y x B 的中点是()00,y x C ，则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+02102122y y y x x x .图4图5图6图3图2图1考点一、已知面积，求反比例函数的解析式（或比例系数k ） 例1、(1)如图1，直线OA 与反比例函数()0≠=k xky 的图象在第一象限交于A 点，x AB ⊥轴于点B ，OAB ∆的面积为2，则=k ．（2）如图2，已知双曲线()0>=x xky 经过矩形OABC 的边BC AB ,的中点E F ,，且四边形OEBF 的面积为2，则=k ．如图，矩形ABOD 的顶点A 是函数xky =与函数()1+--=k x y 在第二象限的交点，x AB ⊥轴于y AD B ⊥,轴于D ，且矩形ABOD 的面积为3． （1）求两函数的解析式．（2）求两函数的交点C A ,的坐标．（3）若点P 是y 轴上一动点，且5=∆APC S ，求点P 的坐标．考点二、已知反比例函数解析式，求图形的面积 （1） 在反比例函数xy 4=的图象中，阴影部分的面积不等于4的是（ ）（2）如图，点B A ,是双曲线xy 3=上的点，分别经过B A ,两点向x 轴、y 轴作垂线段，若1=阴影S ，则=+21S S ．图1图2.A .B.C.D考点三、利用点的坐标及面积公式求面积例3、如图，已知()()4,2,4--B n A ，是一次函数b kx y +=的图像和反比例函数xmy =的图像的两个交点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求直线AB 与x 轴的交点C 的坐标及三角形AOB 的面积．如图，直线b kx y +=与反比例函数()0<=x xky 的图象相交于点A 、点B ，与x 轴交于点C ，其中点A 的坐标为()4,2-，点B 的横坐标为4-.（1）试确定反比例函数的关系式； （2）求AOC ∆的面积.考点四、利用对称性求反比例函数有关的面积问题 例4、已知, E D C B A ,,,,是反比例函数()016>=x xy 图象上五个整数点（横、纵坐标均为整数），分别以这些点向横轴或纵轴作垂线段，由垂线段所在的正方形边长为半径作四分之一圆周的两条弧，组成如图5所示的五个橄榄形（阴影部分），则这五个橄榄形的面积总和是 （用含π的代数式表示）如图，⊙A 和⊙B 都与x 轴和y 轴相切，圆心A 和圆心B 都在反比例函数xy 2=的图象上，则图中阴影部分的面积等于 .考点五、反比例函数有关的动点问题 例5、如图，点P 为函数()016>=x xy 的图象上一点，且到两坐标轴距离相等，⊙P 半径为()0,3,2A ，()0,6B 点Q 是⊙P 上的动点，点C 是QB 的中点，则AC 的最小值是 .随堂练习1、如图1，已知21211,A A P OA P ∆∆都是等腰直角三角形，点21,P P 都在函数()04>=x xy 的图象上，斜边211,A A OA 都在x 轴上．则点2A 的坐标为 .1、如图2，已知n n n A A P A A P A A P OA P 132321211,,,,-∆∆∆∆ 都是等腰直角三角形，点n P P P P ,,,,321 都在函数()04>=x xy 的图象上，斜边n n A A A A A A OA 132211,,,,- 都在x 轴上.则点10A 的坐标为 .2、已知点()2,0A 和点()2,0-B ，点P 在函数xy 1-=的图像上，如果PAB ∆的面积为6，求P 点的坐标.图1图23、如图 所示，反比例函数xky =的图象经过点()b A ,3-，过点A 作AB 垂直x 轴于点AOB B ∆,，的面积为3.（1）求k 和b 的值；（2）若一次函数1+=ax y 的图象经过点A ，并且与x 轴相交于点M ，求OM AB :的值.4、如右图，已知点()3,1在函数()0>=x xky 的图像上，矩形ABCD 的边BC 在x 轴上，E 是对角线BD 的中点，函数()0>=x xky 的图象又经过E A ,两点，点E 的横坐标为m ，解答下列各题 （1）求k 的值；（2）求点C 的横坐标（用m 表示）; (3)当oABD 45=∠时，求m 的值.1、已知：如图，矩形ABCD 的边BC 在x 轴上，E 是对角线BD AC ,的交点，反比例函数()02>=x xy 的图象经过E A ,两点，点E 的纵坐标为m ．（1）求点A 坐标（用m 表示）（2）是否存在实数m ，使四边形ABCD 为正方形，若存在，请求出m 的值；若不存在，请说明理由2、在平面直角坐标系中，已知()()1,0,0,1B A ，矩形OMPN 的相邻两边ON OM ,分别在y x ,轴的正半轴上，O 为原点，线段AB 与矩形OMPN 的两边NP MP ,的交点分别为BOE AOF F E ∆∆~,,（顶点依次对应）.（1）求FOE ∠； （2）求证：矩形OPMN 的顶点P 必在某个反比例函数图像上，并写出该函数的解析式.1、如图，在平面直角坐标系中，直线1+-=x y 分别交x 轴、y 轴于B A ,两点，点()b a P ,是反比例函数xy 21=在第一象限内的任意一点，过点P 分别作x PM ⊥轴于点y PN M ⊥,轴于点PN PM N ,,分别交直线AB 于F E ,，有下列结论：①BE AF =；②图中的等腰直角三角形有4个；③()121-+=∆b a S OEF ；④o EOF 45=∠．其中结论正确的序号是 .2、已知反比例函数xky 2=和一次函数12-=x y ，其中一次函数的图象经过()()2,,,+++k b k a b a 两点．（1）求反比例函数的解析式；（2）求反比例函数与一次函数两个交点B A ,的坐标：（3）根据函数图象，求不等式122->x xk的解集； （4）在（2）的条件下，x 轴上是否存在点P ，使AOP ∆为等腰三角形？若存在，把符合条件的P 点坐标都求出来；若不存在，请说明理由。
专题：反比例函数中的面积问题
微专题 反比例函数中的面积问题
模型一 一点一垂线
反比例函数图象上一点与坐标轴垂线、另一坐标轴上一点(含原点)围成的三 角形面积＝ |k|.
1
S△ABC＝ 2 |k|
S△ABC＝12 |k|
1
S△AOC＝ 2 |k|
1. 如图，点A在反比例函数y＝－ 4 的图象上，AM⊥y轴于点M，点P是x轴上的一
方法一：S△EOF＝S△EOD－S△FOD. 方法二：作EM⊥x轴于点M，交OF于点B，FA⊥x轴于点A，则S△OEB＝S四边形 BMAF(划归到模型一)，则S△EOF＝S直角梯形EMAF.
类型一 两交点在反比例函数同一支上
Байду номын сангаас
方法一：当
BE CE
或
BFFA＝m时，则S四边形OFBE＝m|k|.
方法二：作EM⊥x轴于点M，
A. 1
B. m－1
C. 2
D. m
第3题图
模型四 两点两垂线
反比例函数与正比例函数的交点及由交点向坐标轴所作两条垂线围成的图形 面积＝2|k|.
SABC 2 | k |
易得四边形ANBM是平行四边形， ∴S四边形ANBM＝AM·NM＝AM·2OM＝2|k|
模型四 两点两垂线 反比例函数与正比例函数的交点及由交点向坐标轴所作两条垂线围成的图形
＝ ＝
1
2
1
OM·AM＋12 OM·BC |k|＋1 |k|＝|k|
22
S△ABM＝S△ADM＋S△MDB
＝
1 2
MD·|yB－yA|
S△ABM＝S△BMO＋S△AMO
＝
1 2
MO·|xB－xA|
3. 如图，直线y＝mx与双曲线y＝k (k≠0)交于点A，B，过点A作
反比例函数的面积问题课件
面积的计算
面积可以通过几何公式或数值方法进行计算，如长方形面积=长x宽，圆形面积 =πr²等。
反比例函数图像的面积计算
反比例函数图像的特点
反比例函数的图像位于x轴和y轴之间，随着x的增大或减小，y的值会无限接近于 0但不会等于0。
面积计算方法Βιβλιοθήκη 在反比例函数图像上选取一个封闭图形，如矩形、三角形等，根据所选图形的面 积公式进行计算。
求反比例函数 y = -3/x 在第二象限的面积。
进阶练习题
01
02
03
04
总结词
考察反比例函数与一次函数的 交点
练习题1
求反比例函数 y = 1/x 与直线 y = x 的交点坐标。
练习题2
求反比例函数 y = 2/x 与直线 y = 2x 的交点坐标。
练习题3
求反比例函数 y = -3/x 与直 线 y = -x 的交点坐标。
在经济学中，反比例函数面积常用于研究供需关系、市场 均衡等问题，例如计算边际效益、边际成本等。
04
反比例函数面积问题的解 题技巧
解析法求解反比例函数面积问题
总结词
解析法是一种通过数学公式和方程来 求解反比例函数面积问题的方法。
详细描述
解析法通过将反比例函数转化为标准 形式，利用公式或方程求解面积。这 种方法需要掌握反比例函数的性质和 公式，以及代数运算技巧。
高阶练习题
总结词
考察反比例函数与坐标轴围成 的面积变化
练习题1
求反比例函数 y = 1/x 在不同 象限的面积，并分析变化规律 。
练习题2
求反比例函数 y = 2/x 在不同 象限的面积，并分析变化规律 。
初中数学反比例函数及动点问题专题讲解及练习
(K>0)考点二、反比例函数的性质1.2.形状反比例函数的图象是由两支双曲线组成的.因此称反比例函数的图象为双曲线;3.位置当k>0时,两支双曲线分别位于第一,三象限内;当k<0时,两支双曲线分别位于第二,四象限内;4.增减性反比例函数的图象,当k>0时,在每一象限内,y随x的增大而减小; 当k<0时,在每一象限内,y随x的增大而增大.5.图象的发展趋势反比例函数的图象无限接近于x,y轴,但永远达不到x,y轴,画图象时,要体现出这个特点.6.对称性反比例函数的图象是关于原点成中心对称的图形.7.任意一组变量的乘积是一个定值,即xy=k.温馨提示：反比例函数的涉及内容1.ⅰ当路程s 一定时，时间t 与速度v的函数关系t=s/v2.ⅱ当矩形面积S一定时，长a与宽b的函数关系a=s/b3.ⅲ当三角形面积S 一定时，三角形的底边y 与高x的函数关系y=2s/x动点问题（重点）所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题。
“动点型问题”题型繁多、题意创新，考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等，是近几年中考题的热点和难点。
解决动点问题的关键是“动中求静”。
从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。
在动点的运动过程中观察图形的变化情况，理解图形在不同位置的情况，做好计算推理的过程。
在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。
考点一：建立动点问题的函数解析式（或函数图像）函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容。
动点问题反映的是一种函数思想，由于某一个点或某图形的有条件地运动变化，引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系。
与反比例函数有关的面积问题(中考数学复习专题)
（第3题图）
4. 如图，点A，B是双曲线y＝6 上的点，分别过点A，
x
B作x轴和y轴的垂线段，若图中阴影部分的面积为2，
则两个空白矩形面积的和为8________．
【解析】由反比例函数系数k的几 何意义可知，S矩形ODAE＝S矩形OMBN＝ |k|＝6，而阴影部分矩形共用， ∴S矩形EAKN＝S矩形KDMB＝6－2＝4，∴
的图
象于点B，以AB为边作平行四边形ABCDx，其中C、D在x
轴上，则S▱ABCD为5 ________．
精品课件
(第10题图)
【解析】设点A的纵坐标为b，∵点A在反比例函
数 y＝ 2 上，∴ 2
＝b，解得2 x＝
，
x
x
∵AB∥x轴，∴点B的纵坐标为－
3 b ＝b，解得
x
x＝ ﹣3
，∴AB2 ＝
3 －(－5
2
分， ∴S△ODC ＝S四边形ABEC＝1，又∵C是AD的
中点，∴S△ODC＝S△OAC＝1，∴S△AOD＝ S△ODC
＋S△OAC＝2，∴
|k1 |＝2，∴k＝±4，
2
又∵反比例函数图象在第一象限，∴k＝4.
（第2题图）
精品课件
模型二 一点两垂线
模型 分析
过反比例函数图象上一点作两
条坐标轴的垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积等
两个空白矩形面积的和为4＋4＝8.
精品课件
（第4题图）
模型三 原点一垂线
模型
过正比例函数与反比例函数的一
分析
个交点作坐标轴的垂线，两交点与垂足构成的三角形面
积等于|k|.
精品课件
5.如图，一次函数y＝ax＋b与反比例函数y＝k
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y=﹣，
、已知：反比例函数
，的面积是，求代数式
和反比例函数）在反比例函数
4、如图，已知：一次函数：y=﹣x+4的图象与反比例函数：（x＞0）
的图象分别交于A、B两点，点M是一次函数图象在第一象限部分上的任意一点，过M分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为M1、M2，设矩形MM1OM2的面积为S1；点N为反比例函数图象上任意一点，过N分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为N1、N2，设矩形NN1ON2的面积为S2；
（1）若设点M的坐标为（x，y），请写出S1关于x的函数表达式，并求x取何值时，S1的最大值；
（2）观察图形，通过确定x的取值，试比较S1、S2的大小．
5、如图，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（﹣2，﹣1），且P （﹣1，﹣2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB 垂直于y轴，垂足分别是A、B．
（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；
（2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ 与△OAP面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由．
6、如图1，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（﹣2，﹣1），且P （﹣1，﹣2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB 垂直于y轴，垂足分别是A、B．
（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；
（2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ 与△OAP面积相等如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）如图2，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形OPCQ周长的最小值．
能否等于
的图象经过点（﹣
，
2
的图象经过点
，
的面积是
2
，解得﹣﹣
，
OA=
BOD=OD=OB=1
中，得，的图象上．得﹣，﹣的图象上，其中（+2
的面积是，∴，∵
22
、已知：反比例函数
）
y=
的面积是，从而可求出
）反比例函数解析式：
（﹣，﹣为（﹣，﹣
（﹣）
===，∴m=，∴=1
和反比例函数
）在反比例函数
的面积是
的面积是m=1，∴x=±
点的坐标为（﹣22
的图象与反比例函数：
在反比例函数：
，∴
当或时，当
y=
x
，x
y=
1=′= x y=
x
，x
，∴•x x=时，时，x=
Y=
k=y=同样可得，反比例函数解析式为
|OB×BQ|=×m×m=
=|m
，）
+=﹣）﹣）﹣
（
能否等于？若能，求出点
y=
=
等于
图象上第一象限内的两个动点（，d=+=
（
（
=（（=•
=（）﹣•
=（•=（）=
a=，（，。