2018届高考数学(文)大一轮复习讲义课件：第三章+三角函数、解三角形+3-6-2
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高考数学第一轮章节复习课件 第三章 三角函数 解三角形
2.已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一 点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数 的定义来求相关问题，若直线的倾斜角为特殊角，也 可直接写出角α的值.
【注意】 若角α的终边落在某条直线上，一般要分类讨论.
已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sinα， cosα，tanα的值.
.
解析：tan= 答案：
5.某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm，秒针均匀 地绕点O旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B
重
合.将A、B两点间的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d
＝
，其中t∈[0,60].
解析：∵经过t(s)秒针转了 弧度
d
5. t
, d
t
10 sin
.
2 60
)内的单调性.
知识点
考纲下载
考情上线
函数y＝ Asin(ωx ＋φ)的图 象
1.考查图象的变换和 1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)
解析式的确定，以 的
及通过图象描绘， 物理意义；能画出y＝
观察讨论有关性质. Asin(ωx＋φ)的图象，了解
2.以三角函数为载体， 参数A、ω、φ对函数图象
考查数形结合的思想. 变化的影响.
当且仅当α＝ ，即α＝2时取等号， 此时 故当半径r＝1 cm，圆心角为2弧度时，扇形面积最大， 其最大值为1 cm2.
法二：设扇形的圆心角为α(0<α<2π)，半径为r，面积为S，
则扇形的弧长为rα，由题意有：2r＋rα＝4⇒α＝
×r2＝2r－r2＝－(r－1)2＋1，
∴当r＝1(cm)时，S有最大值1(cm2)，
为余弦线
有向线段 AT 为正切线
【注意】 若角α的终边落在某条直线上，一般要分类讨论.
已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sinα， cosα，tanα的值.
.
解析：tan= 答案：
5.某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm，秒针均匀 地绕点O旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B
重
合.将A、B两点间的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d
＝
，其中t∈[0,60].
解析：∵经过t(s)秒针转了 弧度
d
5. t
, d
t
10 sin
.
2 60
)内的单调性.
知识点
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考情上线
函数y＝ Asin(ωx ＋φ)的图 象
1.考查图象的变换和 1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)
解析式的确定，以 的
及通过图象描绘， 物理意义；能画出y＝
观察讨论有关性质. Asin(ωx＋φ)的图象，了解
2.以三角函数为载体， 参数A、ω、φ对函数图象
考查数形结合的思想. 变化的影响.
当且仅当α＝ ，即α＝2时取等号， 此时 故当半径r＝1 cm，圆心角为2弧度时，扇形面积最大， 其最大值为1 cm2.
法二：设扇形的圆心角为α(0<α<2π)，半径为r，面积为S，
则扇形的弧长为rα，由题意有：2r＋rα＝4⇒α＝
×r2＝2r－r2＝－(r－1)2＋1，
∴当r＝1(cm)时，S有最大值1(cm2)，
为余弦线
有向线段 AT 为正切线
2018届高考数学理科全国通用一轮总复习课件：第三章 三角函数、解三角形 3-5-1 精品
4
[1 2sin2( )] 4
2sin2( ) 1 7 .
4
9
命题方向2:三角恒等变换的变“形”问题
【典例3】(2015·滨州模拟)在△ABC中,C=120°,
tanA+tanB= 2 3 ,则tanAtanB的值为 ( )
3
A. 1
B. 1
C. 1
D. 5
4
3
2
3
【解题导引】根据A+B=180°-C=60°,先求出tan(A+B)
7
,所以上式=
1 2
7
1 1 2
3.
7
答案:3
【加固训练】
(2016·枣庄模拟)设α为锐角, cos( ) 4 ,则sin(2 )
65
12
的值为
.
【解析】设α+ =β,因为α为锐角, cos( ) 4 ,
6
65
所以 cos 4 ,sin 3，cos 2 7 ,sin 2 24，
4
(1)求a,θ的值.
(2)若 f( ) 2， ( ，)，求sin( ) 的值.
45
2
3
【解析】(1)因为y=(a+2cos2x)是偶函数,所以g(x)
=cos(2x+θ)为奇函数,而θ∈(0,π),故θ= ,
2
所以f(x)=-(a+2cos2x)sin2x,代入( ,0)得a=-1.所
3.(2016·芜湖模拟)已知 cos( ) sin 4 3,
6
5
则 sin( 7 ) 的值是 ( )
6
A. 2 3
B. 2 3
C. 4
D. 4
5
5
2018年秋高考数学一轮总复习课件：第三章 三角函数、三角恒等变形、解三角形3-4 精品
周期变大(小),x的系数变小(大).
【教材母题巧变式】
题号 源自
1 P53 T3(2)
2 P53练习2· T3(1)
3 P60 A组·T2
4 P58例
1.为了得到函数y=2sin(2x- )的图像,可以将函数 3 y=2sin2x的图像 ( ) A.向右平移
B.向右平移 6 个单位长度 C.向左平移 个单位长度 3 D.向左平移 个单位长度 6 3
4.某地农业监测部门统计发现:该地区近几年的生猪收
购价格每四个月会重复出现.下表是今年前四个月的统
计情况:
月份x 收购价格y(元/斤)
1 6
2 7
3 6
4 5
选用一个函数来近似描述收购价格(元/斤)与相应月份
之间的函数关系为____________.
【解析】设y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0),
位长度,得到y=g(x)的图像.若y=g(x)图像的一个对称
中心为 求θ的最小值.
5 ( ,0), 12
【解题指南】(1)解答本题的依据:函数y=f(x)的图像
向右平移φ(φ>0)个单位,可得函数y=f(x-φ)的图像.
A 5, (2)①根据已知表格中的数据可得方程组 , 2 3 5 . 3 解之可得函数f(x)的解析式,进而可补全其表格 , 2 6
第四节 函数y=Asin(ωx+φ)的图像及三角
函数模型的简单应用
【教材知识精梳理】 1.“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的简 图
(1)定点:如表所示.
___ 2 _____ _____ 3 2 _____ 2 _____
2018届高考数学理科全国通用一轮总复习课件：第三章 三角函数、解三角形 3.5.2 精品
S()
S
OAP
S
BAP
1 2
OA
OPsin
3 AP2 4
sin 3 (5 4cos) sin 3cos 5 3
sin
sin
【规律方法】 1.三角恒等变换的化简、求值问题的求解策略 (1)对于和、差式子,见到平方要降幂、消项、逆用公 式等. (2)对于分式,通分后分子分母化简时尽量出现约分的 式子,或逆用公式.
(3)对于二次根式,要用升幂公式,或配方,出现完全平 方,注意倍角公式的逆用. (4)观察角的关系,尽量异角化同角,合理拆分角. (5)观察三角函数的名称的关系,常用弦切互化,异名化 同名. (6)观察结构特征,明确变形方向,遇到分式要通分,整 式要因式分解.
4
4
cos2α·cos2β+cos2α+cos2β)- ·1cos2α·cos2β
2
=1 .2Fra bibliotek答案: 1
2
【一题多解】解答本题,还有以下解法:
方法一:(从“名”入手,异名化同名)
原式=sin2α·sin2β+(1-sin2α)·cos2β-
1 cos2α·cos2β=cos2β-sin2α(cos2β-sin2β)
3
3
ON=OD-NcoDs= 3 sin,
3
S=ON·PD(=cos 3 sin·s)inθ
3
sincos 3 sin 2 1 sin 2 3 (1 cos 2)
3
2
6
1 sin 2 3 cos 2 3
2
6
6
3 sin(2 ) 3，因为 (0, )，
3
66
3
所以2 ( , 5 )，sin(2 ) (1 ,1].
2018年高三数学(文)一轮复习课件 解三角形
关闭
由正弦定理,得 sin Acos A=sin Bcos B, 即 sin 2A=sin 2B, 所以 2A=2B 或 2A=π-2B, 即 A=B 或 A+B=2. 故△ABC 为等腰三角形或直角三角形. 等腰三角形或直角三角形
解析
π
关闭
答案
第四章
知识梳理 双基自测 自测点评
4.7
解三角形
知识梳理 核心考点
解析
关闭
答案
第四章
知识梳理 双基自测 自测点评
4.7
解三角形
知识梳理 核心考点
-10-
1
2
3
4
5
3.(2016 全国乙卷,文 4)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c. 已知 a=√5,c=2,cos A= ,则 b=( A.√2 B.√3
2 3
) C.2 D.3
关闭
由余弦定理,得 a =b +c -2bccos A,即 5=b 又 b>0,解得 b=3,故选 D.
a b c
余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A; b2=a2+c2-2accos B; c2=a2+b2-2abcos C cos A= cos B=
b 2 +c 2 -a 2 2bc a 2 +c 2 -b 2
; ;
cos C=
2ac a 2 +b 2 -c 2 2ab
第四章
知识梳理 双基自测 自测点评
������ ������ ������sin������ 21 21 又因为sin������ = sin������,所以 b= sin������ = 13. 13
2018高考数学(文)一轮复习课件：第三章 三角函数、解三角形 第1讲 课件
半径 长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的 (1)定义： 把长度等于______ 负数 ，零角的 正数 ，负角的弧度数是______ 角，正角的弧度数是______ 零 ． 弧度数是____
180 ° π
π π rad， (2)角度制和弧度制的互化： 180°＝____ 1°＝____ 180 rad，
2．活用两个方法 (1)三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、 三正切、四余弦． (2)在解简单的三角不等式时， 利用单位圆及三角函数线是一个 小技巧．
1.教材习题改编 －2 017°6′8″是第几象限角( B ) A．第一象限 C．第三象限 B．第二象限 D．第四象限
[解析] 因为－2 017°6′8″＝142°53′52″－6³360°， 142°53′52″是第二象限角，故选 B.
第三章
三角函数、解三角形
知识点
考纲下载
1.了解任意角的概念． 任 意 角 的 概 念 2． 了解弧度制的概念， 能进行弧度与角度的 与弧度制、 任意 互化． 角的三角函数 3．理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切) 的定义． 1.理解同角三角函数的基本关系式： sin2x＋ 同 角 三 角 函 数 cos2x＝1， sin x ＝tan x. cos x 的基本关系式 π 2．能利用单位圆中的三角函数线推导出 ± 与诱导公式 2 α，π±α 的正弦、余弦、正切的诱导公式．
第三章
三角函数、解三角形
知识点 式． 和与差的三 角函数公式
考纲下载 1. 会用向量的数量积推导出两角差的余弦公 2．能利用两角差的余弦公式导出两角差的正 弦、正切公式． 3．能利用两角差的余弦公式导出两角和的正 弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余 弦、正切公式，了解它们的内在联系．
2018版高考一轮总复习数学理课件 第3章 三角函数、解
[双基夯实] 一、疑难辨析 判断 下列 结论 的正 误． ( 正确 的打 “√” ，错 误的打 “×”) 4 1．已知 sinα＝ ，α∈ 5
π ， π ，则 2
3 cosα＝ .( × ) 5
2．sin(π＋ α)＝－ sin α 成立的条件是 α 为锐角．( × ) 3．六组诱导公式中的角 α 可以是任意角．( √ ) 1 1 4．若 cos(nπ－θ)＝ (n∈Z)，则 cosθ＝ .( × ) 3 3
sinx＝－ 3， 5 π ∵－ <x<0，∴ 2 4 cosx＝ ， 5
7 ∴ sin x－ cosx＝－ . 5
1 1 2 2 解法二：∵ sinx＋ cosx＝ ，∴ (sinx＋ cosx) ＝ ， 5 5 1 24 即 1＋2sin xcosx＝ ，∴ 2sinxcosx＝－ . 25 25
六组诱导公式 π＋α
－sin α －cosα tanα
角 2kπ＋α (k∈ Z)
－α
－sin α
π－α
π －α 2
π ＋α 2
sinα
sinα
－cosα －tan α
cosα
sinα—Βιβλιοθήκη cosα－sin α
cosα
tanα
cosα
－tan α
—
[必会结论] 1．特殊角的三角函数值 α sinα cosα tanα 0 0 1 0 π 6 1 2 3 2 3 3 π 4 2 2 2 2 1 π 3 3 2 1 2 3 π 2 1 0 不存在 π 0 －1 0 3π 2 －1 0 不存在
2． 诱导公式可简记为： 奇变偶不变， 符号看象限． “奇” π 与“偶”指的是诱导公式 k·＋α 中的整数 k 是奇数还是偶 2 数． “变”与“不变”是指函数的名称的变化， 若 k 是奇数， 则正、余弦互变；若 k 为偶数，则函数名称不变．“符号看 π π 象限”指的是在 k·＋α 中， 将 α 看成锐角时 k·＋α 所在的 2 2 象限．
2018版高考一轮总复习数学理课件 第3章 三角函数、解
1 3． 设 M 和 m 分别是函数 y＝ cosx－1 的最大值和最小 3 －2 值，则 M＋m＝________.
解析 2 4 ∵ M＝－ ， m＝－ ，∴ M＋ m＝－ 2. 3 3
4．函数
x π y＝tan ＋ 的单调递增区间是 2 3
5π π 2 k π － ， 2 k π ＋ (k∈ Z) 2π 3 3 _______________________ ，最小正周期是________ ．
5π ≤x≤2 kπ＋ (k∈ Z)． 6
(2)函数 y＝cos
5 1－ 2 ， 4 2 __________ ．
2
π x＋ sinx|x|≤ 的最大值与最小值分别为 4
[解析 ]
∴ t∈ －
π 令 t＝ sin x，∵ |x|≤ ， 4 2 2 ， . 2 2
无最值
时，ymin＝－1
奇偶性 对 称 对称 中心
奇
偶
π k π ＋ ， 0 ，k∈ Z 2
奇
kπ ， 0 ， 2
(kπ，0)，k∈Z
π x＝kπ＋ ，k∈Z 2 2π
k∈ Z
x＝kπ，k∈Z 2π
性 对称 轴 最小正 周期
无对称轴
π
[必会结论] 1．函数 y＝Asin(ωx＋ φ)和 y＝Acos(ωx＋ φ)的最小正周 2π π 期为 T＝ ，函数 y＝ tan(ωx＋ φ)的最小正周期为 T＝ . |ω| |ω| 2．正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称 轴之间的距离是半周期， 相邻的对称中心与对称轴之间的距 1 离是 周期．而正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周 4 期． 3 ．三角函数中奇函数一般可化为 y＝ A sinωx 或 y＝ Atanωx 的形式， 而偶函数一般可化为 y＝A cosωx＋b 的形式．
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解析：设 PQ＝x，QR＝2x，∠OPQ＝α.如图，
因为∠POQ＝90° ，∠QOR＝60° ， 所以∠ORP＝30° －α， 在 Rt△OPQ 中，OQ＝xsinα.① OQ QR 在△OQR 中，由正弦定理，得 ＝ ， sin30° －α sin60°
4 3x 解得 OQ＝ 3 sin(30° －α)．② 4 3x 由①②，得 xsinα＝ 3 sin(30° －α)， 2 3 4 2 解得 tanα＝ 9 ，即 tan α＝27.
答案：A
热点二 三角形与平面几何的综合问题 【例 2】 (2017· 广东惠州调研)如图所示，在四边形 ABCD 中， 3 ∠D＝2∠B，且 AD＝1，CD＝3，cosB＝ 3 .
(1)求△ACD 的面积； (2)若 BC＝2 3，求 AB 的长．
1 【解】 (1)cosD＝cos2B＝2cos B－1＝－3.
3π 3cos2x＋2sin 2 ＋x
【解】 (1)f(x)＝
π 3cos2x－sin2x＝－2sin2x－3，
∴f(x)的最小正周期为 π， π π 3 5 11 令 2kπ＋2≤2x－3≤2kπ＋2π(k∈Z)，得 kπ＋12π≤x≤kπ＋12 π(k∈Z)，
(2017· 台州模拟)在 O 点测量到远处有一物体在做匀速直线运 动，开始时该物体位于 P 点，一分钟后其位置在 Q 点，且∠POQ ＝90° ， 再过两分钟后， 该物体位于 R 点， 且∠QOR＝60° ， 则 tan2 ∠OPQ 的值等于( 4 A.27 4 C.9 ) 2 3 B. 9 D．以上均不正确
在 Rt △ BCD 中 ， ∠ CBD ＝ 30° ， CD ＝ BCtan ∠ CBD ＝ 300 2· tan30° ＝100 6 m.
【答案】 (1)A (2)100 6
【角、仰角的概念，它们都是视线与水平线 的夹角；理解方向角的概念； (2)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量 所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知 量，则把未知量放在另一确定三角形中求解． (3)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就 选择更便于计算的定理.
【总结反思】 解三角形的最值问题常需结合基本不等 式求解，关键是由余弦定理得到两边关 系，再结合不等式求解最值问题，或者 将所求转化为某个角的三角函数，借助 三角函数的值域求范围.
5 11 ∴单调递增区间为kπ＋12π，kπ＋12π(k∈Z)．
(2)由 f(A)＝－ 3得
π sin2A－3＝
π 3 π 0 ， 2 ，又 A∈ 2，∴A＝3.由
余弦定理得 a2＝b2＋c2－2bccosA， 得 9＝b2＋c2－bc≥bc， 即 bc≤9(当 且仅当 b＝c 时取等号)． 1 1 设 BC 边上的高为 h， 由三角形等面积法知2ah＝2bcsinA， 得 3h 3 9 3 3 3 3 3 ＝ 2 bc≤ 2 ，∴h≤ 2 ，即 h 的最大值为 2 .
【总结反思】 此类题目求解时，一般有如下思路： (1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个 三角形内利用正弦、余弦定理求解； (2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出 结果． 做题过程中，要用到平面几何中的一些知识点，如相似三 角形的边角关系、平行四边形的一些性质，要把这些性质 与正弦、余弦定理有机结合，顺利解决问题.
第三章
三角函数、解三角形
第六节 正弦定理和余弦定理
第2课时 解三角形的应用
热点命题· 突破 02
课堂升华 强技提能
热点一
正、余弦定理的实际应用
【例 1】 (1)如图，设 A、B 两点在河的两岸，一测量者在 A 的同侧，选定一点 C，测出 AC 的距离为 50 m，∠ACB＝45° ，∠ CAB＝105° ，则 A，B 两点的距离为( )
21 答案： 2
热点三 三角形中的最值问题 【例 3】 (2017· 临川一中模拟)已知 f(x)＝ sin(π－x)，x∈R. (1)求 f(x)的最小正周期及单调增区间； (2)已知锐角△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 f(A)＝－ 3，a＝3，求 BC 边上的高的最大值．
(2017· 福建师大附中联考)如图，在矩形 ABCD 中，AB＝ 3，BC ＝3，E 在 AC 上，若 BE⊥AC，则 ED＝________.
解析：在 Rt△ABC 中，BC＝3，AB＝ 3，所以∠BAC＝60° . 3 因为 BE⊥AC，AB＝ 3，所以 AE＝ 2 ， 在△EAD 中，∠EAD＝30° ，AD＝3， 3 由余弦定理知，ED2＝AE2＋AD2－2AE· AD· cos∠EAD＝4＋9 3 3 21 21 －2× 2 ×3× 2 ＝ 4 ，故 ED＝ 2 .
A．50 2 m
B．50 3 m
C．25 2 m
25 2 D. 2 m
(2)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A 处时 测得公路北侧一山顶 D 在西偏北 30° 的方向上，行驶 600 m 后到达 B 处，测得此山顶在西偏北 75° 的方向上，仰角为 30° ，则此山的高 度 CD＝________m.
2
2 2 因为∠D∈(0，π)，所以 sinD＝ 3 ， 1 所以△ACD 的面积 S＝2· AD· CD· sinD＝ 2. (2)在△ACD 中， AC2＝AD2＋DC2－2AD· DC· cosD＝12， 所以 AC ＝2 3.在△ABC 中，AC2＝AB2＋BC2－2AB· BC· cosB＝12，把已知条 件代入并化简得 AB2－4AB＝0，因为 AB≠0，所以 AB＝4.
【解析】 (1)由正弦定理得 2 AC· sin∠ACB 50× 2 AB＝ ＝ 1 ＝50 2(m)． sinB 2 (2)在△ABC 中，AB＝600，∠BAC＝30° ，∠ACB＝75° －30° 600 BC AB BC ＝45° ，由正弦定理得 ＝ ，即sin30° ＝sin45° ， sin∠BAC sin∠ACB 所以 BC＝300 2.